离散傅里叶变换DFT
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0
离散傅里叶变换(DFT)
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) = x(( n)) N 将
~
x(n) = x((n)) N 左移m位得到 x(n + m)
(3.2.4)
例： ( n) = 3e n , o ≤ n ≤ 15 ，求 f ( n) = x(( n + 5))15 R15 (n) x
的16点离散傅立叶变换DFT。
N=16; n=0:N-1; xn=3*exp(n); m=5; fn=xn(mod((n+m),N)+1); XK=fft(xn, N); subplot(2, 2, 1); stem(n,xn); subplot(2, 2, 2); stem(n,abs(XK)); FK=fft(fn,N); subplot(2, 2, 3); stem(n,fn); subplot(2, 2, 4); stem(n,abs(FK));
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x (n ) =
~
~
m =∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x ( n ) RN (n )
~
~
主值区间：周期序列 x( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
~
主值序列：而主值区间上的序列称为 x( n) 的主值序列。
m
~2 m )) N) R x 2 (( (( m )) N ( n ) x (m x
2
离散傅里叶变换 DFT
数字信号处理第五章离散傅里叶变换授课教师：胡双红联系QQ：79274544长沙理工大学计算机与通信工程学院DFT:离散傅里叶变换引言DFSDFTDFT性质DFT应用快速算法：FFT引言DTFT对绝对可加序列给出了频域（ω）表示 Z变换对任意序列给出了广义频域（z）表示 特点：变换都是对无限长序列定义的；变换都是连续变量（ω或z ）的函数；用MATLAB实现时必须将序列截断然后在有限点上求表达式。
即DTFT和ZT都不是数值可计算的变换数值可计算的变换DFT方法：通过在频域对DTFT采样获得。
步骤：通过分析周期序列来建立傅里叶级数(DFS)将DFS推广到有限长序列得DFT优点：适合计算机实现的数值可计算的变换缺点：对长序列的数值计算费时多改进方法：快速傅里叶变换（FFT）第一次课5.1 离散傅里叶级数定义MATLAB实例与Z变换和DTFT的关系Z域采样与重建~式中：x解：由题设可得基波周期~~令x周期，⎪⎧±±==−,2,,02N Lk j N N k L π"作出L=5和N=20的周期序列图>> x=[1,1,1,1,1,zeros(1,15)];>> xtilde=x'*ones(1,3);>> xtilde=xtilde(:);>> xtilde=xtilde';>> n=[-20:39];>> stem(n,xtilde)>> axis([-20,39,-0.5,1.5]);>> xlabel('n');ylabel('x(n)');title('周期方波序列')2）对L=5和N=20的MATLAB脚本如下------------------------MATLAB脚本--------------------->> L=5;N=20;k=[-N/2:N/2];% 方波参数>> xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];% 方波序列x(n) >> Xk=dfs(xn,N);% DFS>> magXk=abs([Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1)]);% DFS幅度>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,0.5]);>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,5.5]);>> xlabel('k');ylabel('Xtilde(k)');>> title('L=5,N=20 的方波的DFS');3）结论：方波DFS的DFT包络为抽样函数"sinc"函数k=0时幅度为L，函数的零点在N/L的整数倍点 方波持续时间相同时，周期越大，其频谱越密设x(n)是一有限长的序列，长度为N,即：那么它的z 变换和DTFT 为：,01()0,n N x n n ≤≤−⎧=⎨⎩非零其余()()()()∑∑−=−−=−==1010N n jwnjw N n n e n x e X zn x z X 与Z 变换和DTFT 的关系（了解）~现在以周期3）在4）在解：序列x(n)不是周期的，但是有限长的在设x(n)任意序列N−∞1上式表明：单位圆上对X(z)采样，时域将得到一个周期序列，是原序列x(n)和它的无穷多个移位±rN 的副本的线性组合。
离散傅里叶变换(DFT)(图)
离散傅里叶变换（DFT）（图）上一回说到，在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时域是离散的n ，其频谱是离散频率周期序列，在频域也是离散的k，理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。
但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序列。
无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。
为此我们必须取有限长序列来建立其时域离散和频域离散的对应关系。
一、DFS的主值序列上一回讨论我们知道，离散时间周期序列是一个无限长序列，其傅立叶级数展开式为（1）可以看出时间点序号n 是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列：（2）主值序列x（n）就是一个长度为N的有限长离散时间序列。
同理，的DFS也是一个无限长序列，即傅立叶系数：（3）也可以看出频率点序号k 也是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列：（4）主值序列X（k）是一个长度为N的有限长离散频率序列。
可见，离散时间周期序列在时域和频域的主值序列，均为有限长离散序列。
且主值序列的长度均为N（即n，k＝0，1，2，…，N－1）。
二、离散傅里叶变换（DFT）的定义在离散傅立叶级数（DFS）中，取其时域和频域的主值序列，变换仍然成立。
这就是离散傅里叶变换（DFT），即：（5）和其逆变换（IDFT）：（6）可见离散傅里叶变换（DFT）只不过是特殊的离散傅立叶级数（DFS），如果其时域和频域都仅取主值序列。
离散傅立叶级数（DFS）中的无限长序列和都是以N为周期的周期序列，所以在计算离散时间周期序列及其频谱时，可以利用DFS的周期性，只需要在时域和频域各取一个主值序列，用计算机各计算一个周期中的N个样值，最后将所得的主值序列x（n）和X（k）进行周期延拓，即可得到原来的无限长序列和。
三、DFT的推广应用由DFT的导入过程可以发现，DFT不仅可以解决无限长周期序列的计算机运算问题，而且更可以解决有限长序列的计算机运算问题。
事实上，对于有限长离散序列，总可以把时域和频域的变换区间（序列长度）均取为N（包括适当数量的补0点），通常把N称之为等间隔采样点数，我们可以把这个N点的变换区间视为某个周期序列的一个主值序列，直接利用DFT的定义计算其N点变换。
dft与离散傅里叶变换
dft与离散傅里叶变换DFT与离散傅里叶变换引言：数字信号处理中，频域分析是一项重要的技术。
DFT（离散傅里叶变换）和离散傅里叶变换（DFT）是两种常用的频域分析方法。
本文将介绍DFT和离散傅里叶变换的基本原理、应用领域以及它们之间的区别。
一、DFT的基本原理离散傅里叶变换（DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它的基本原理是将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加。
DFT 可以将信号从时域转换到频域，帮助我们分析信号的频谱特征。
DFT的计算公式是通过对信号的采样点进行离散计算得到的。
它将信号分解为一系列复数，表示不同频率的正弦和余弦波的振幅和相位信息。
通常情况下，DFT的输入信号是离散时间的有限长度序列，输出信号也是离散时间的有限长度序列。
二、DFT的应用领域DFT在信号处理领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 音频信号处理：DFT可以用于音频信号的频谱分析，帮助我们了解音频信号的频率组成以及频谱特征。
它在音频编码、音频效果处理等方面有着重要作用。
2. 图像处理：DFT可以用于图像的频域分析，帮助我们了解图像的频率特征，如边缘、纹理等。
它在图像压缩、图像增强等方面有着广泛的应用。
3. 通信系统：DFT可以用于通信信号的频谱分析，帮助我们了解信号在频域上的特征，如信号的带宽、频率偏移等。
它在调制解调、信道估计等方面有着重要作用。
三、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶变换（FT）的区别离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换（FT）在离散时间上的应用。
它们之间的区别主要体现在以下几个方面：1. 定义域：傅里叶变换是定义在连续时间上的，而离散傅里叶变换是定义在离散时间上的。
2. 输入信号类型：傅里叶变换可以处理连续时间的信号，而离散傅里叶变换可以处理离散时间的信号。
3. 计算方法：傅里叶变换通过积分计算得到频域信号，而离散傅里叶变换通过对输入信号的采样点进行离散计算得到频域信号。
4. 结果表示：傅里叶变换的结果是连续的频域信号，而离散傅里叶变换的结果是离散的频域信号。
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅⾥叶变换（DFT） 对于第⼀幅图来说，它侧重展⽰傅⾥叶变换的本质之⼀：叠加性，每个圆代表⼀个谐波分量。
第⼆幅图直观的表⽰了⼀个周期信号在时域与频域的分解。
周期信号的三⾓函数表⽰ 周期信号是每隔⼀定时间间隔，按相同规律⽆始⽆终重复变化的信号。
任何周期函数在满⾜狄利克雷条件下（连续或只有有限个间断点，且都是第⼀类间断点；只有有限个极值点），都可以展开成⼀组正交函数的⽆穷级数之和。
使⽤三⾓函数集的周期函数展开就是傅⾥叶级数。
对于周期为T 的信号f(t)，可以⽤三⾓函数集的线性组合来表⽰，即f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n \omega t) 式中\omega=\frac{2\pi}{T}是周期信号的⾓频率，也成基波频率，n\omega称为n次谐波频率；a_0为信号的直流分量，a_n和b_n分别是余弦分量和正弦分量幅度。
根据级数理论，傅⾥叶系数a_0、a_n、b_n的计算公式为：\left\{\begin{matrix}a_0=\frac{1}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt \\ a_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos{n\omegat}dt,n=1,2,3,... \\ b_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin{n\omega t}dt,n=1,2,3,... \end{matrix}\right. 若将式⼦中同频率的正弦项和余弦项合并，得到另⼀种形式的周期信号的傅⾥叶级数，即f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega t+\varphi_n) 其中，A_0为信号的直流分量；A_1\cos(\omega t+\varphi_1)为信号的基频分量，简称基波；A_n\cos(n\omega t+\varphi_n)为信号的n次谐波，n ⽐较⼤的谐波，称为⾼次谐波。
离散傅里叶变换DFT的性质
讨论DFT的性质有何意义呢？
1.加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT 的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在 联系。
2.这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取， 降低计算的复杂性。例如后面重点学习的FFT算法 就利用了DFT的周期性和对称性。
仔细看书中的性质列表，与DTFT性质表进行对比
N1
[XR(k)cos
k0
2kn
N
Xl
(k)sin
2kn]
N
(2)实偶序列
x(n)x(Nn) 0nN1XI(k)0
N1
2kn
X(k) x(n)cos
n0
N
0kN1
XI(k)0x(n)N 1N k01X(k)cos2Nkn
0nN1
DFT: XR(k)Nn01xR(n)cos2NknxI(n)sin2Nkn XI (k)Nn01xR(n)sin2NknxI(n)cos2Nkn
x'(n)=x(nk,对N求余) x((nk))N
当 k 2和 N 4 x (n ) x ((n 2 )) 4 x (0 ) x (( 2 )) 4 x (2 ) x (1 ) x (( 1 )) 4 x (3 ) x (2 ) x ((0 )) 4 x (0 ) x (3 ) x ((1 )) 4 x (1 )
加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
1 7、序列的圆周时域移位
j
x[n] X (e )e d 这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取，降低计算的复杂性。
jn
3 DFT的隐含周期性、线性、对称性
2
2 加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
五种傅里叶变换
五种傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域都有广泛的应用。
傅里叶变换可以分为五种：离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和希尔伯特-黄变换（HHT）。
一、离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是指将一个有限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的复数序列。
它是一种计算量较大的方法，但在某些情况下精度更高。
DFT 的公式如下：$$F(k)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)e^{-i2\pi kn/N}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(k)$ 是频域表示。
二、快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种计算 DFT 的高效算法，它可以减少计算量从而加快计算速度。
FFT 的实现方法有多种，其中最常用的是蝴蝶运算法。
FFT 的公式与 DFT 相同，但计算方法不同。
三、连续时间傅里叶变换（CTFT）连续时间傅里叶变换是指将一个连续的时间信号，通过一定的算法转化成一个连续的频域函数。
CTFT 的公式如下：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$其中 $f(t)$ 是原始信号，$F(\omega)$ 是频域表示。
四、离散时间傅里叶变换（DTFT）离散时间傅里叶变换是指将一个无限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的周期性复数序列。
DTFT 的公式如下：$$F(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-j\omegan}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(e^{j\omega})$ 是频域表示。
五、希尔伯特-黄变换（HHT）希尔伯特-黄变换是一种基于经验模态分解（EMD）和 Hilbert 变换的非线性时频分析方法。
它可以对非平稳信号进行时频分析，并提取出信号中的本征模态函数（IMF）。
离散信号傅里叶变换
离散信号傅里叶变换
离散信号傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将离散时间域信号转换到离散频率域信号的数学技术。
离散信号傅里叶变换广泛用于数字信号处理、图像处理等领域。
离散信号傅里叶变换将离散信号x[n]分解为一组基函数的加权和，这些基函数是正弦和余弦函数，其频率为信号的一组离散频率。
这样，我们可以知道信号在不同频率下的能量分布，从而用于周期性信号分析、滤波等应用。
DFT算法的核心是蝴蝶运算，即将一个复数序列分解为两个复数序列的加权和，这是一种基于分治思想的算法，可以通过递归实现，具有高效性和可扩展性。
离散信号傅里叶变换的逆变换也是存在的，可以将一组离散频率域的信号转换回离散时间域信号。
这种逆变换与正变换形式相同，只需对应的权重取相反数即可。
总之，离散信号傅里叶变换是一种非常有用的数学技术，可以用于数字信号处理、滤波、频率分析、压缩等领域。
DSP-离散傅里叶变换(DFT)
由于：
N1
N 1 W k0
k(mn) N
{1 0
mnM N,MM为整数
mnM N,M
所以， 在变换区间上满足下式：
IDFT[X(k)]=x(n),
0≤n≤N-1
离散傅里叶逆变换是唯一的。
3.1 离散傅里叶变换的定义
[例]
解:
序(1)列设x变(n换)=区R4间(nN) ，=8求，x(则n)：的X (8k点) 和n1760 点x(DnF)WT 8。kn
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
N1
X(z)ZT[x(n)] x(n)zn
n0
N1
X(k)DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
比较上面二式可得关系式
0kN-1
X(k) XXX(((kkkX )))(XXX(z(z(z)z)))zzezej2jN 2Njk2ke ,k,j,2N k00,0kkkNN--N 11-10((33k ..1(1.3.33. )1).3)N ze N
离散傅里叶变换(DFT)
本章主要内容
▪ 离散傅里叶变换的定义 ▪ 离散傅里叶变换的基本性质 ▪ 频率域采样 ▪ 离散傅里叶变换的应用举例
离散傅里叶变换(DFT)
DFT变换的实质：有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采
样(时域和频域都是离散化的有限点长的序列)。
DFT变换的意义：
▪ 开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域中进 行处理，增加了数字信号处理的灵活性。 ▪ DFT具有多种快速算法(FFT)，实现了信号的实时处理和设备 的简化。
3 N 0
j 2 kn
e8
XX(k(k)
77
)
n n0 0
离散傅里叶变换(DFT)
X (k) DFT[x(n)]
x
(n)W
kn N
n0
比较上面二式可得关系式
0 k N-1
X (k ) X (z) , j2 k ze N
0 k N -1
(3.1.3)
X (k ) X (e j ) 2 k ,
0 k N -1
(3.1.4)
N
（3.1.3）式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上
1 N 1 N k0
X (k )WNkn ,
n 0,
1,
, N - 1 (3.1.2)
▪
式中， WN
j 2
e N
，N称为DFT变换区间长度， N M
1
二、DFT和Z变换的关系
▪ 设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
N 1
X (z) ZT[ x(n)] x() x(n mN ) (3.1.5)
m
x(n) x(n) RN (n)
(3.1.6)
为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：
x(n) x((n))N
有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，正好是x(n)的
周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数 X(k)的主值序
• x2n=cos(pi*n/8); • X2k=fft(x2n,N); %计算N点DFT[x2(n)] • Xk2=fft(x2n,N1); %计算N1点DFT[x1(n)] • %产生序列x3(n),计算DFT[x3(n)]
• x3n=sin(pi*n/8); • X3k=fft(x3n,N); %计算N点DFT[x3(n)] • Xk3=fft(x3n,N1); %计算N1点DFT[x1(n)]
DFT(离散傅里叶变换).
X(k) = XR(k) + XI(k)
18
证明：
N 1
X * (k) x * (n)W nk
n0
N 1
[ x(n)W nk ]*
n0
N 1
[ x(n)W n( N k ) ]* n0
= X*(N k)
由线性性质
X(k) = XR(k) + XI(k) X*(k) = XR(k) XI(k) XR(k) = [ X(k) + X*(N k)]/2 XI(k) = [ X(k) X*(N k)]/2
W 6 X (2)
W
9
X
(3)
1 1 1 1 4 1
1 1 j 1 j 0 1 4 1 1 1 1 0 1
1 j 1
j
0
1
8
3.5.2 DFT与DTFT的关系
通常把信号的傅里叶变换称为信号的频谱，那么有 限长序列的离散傅里叶变换是否就是它的频谱呢？
有限长序列作为非周期序列，它的频谱即它的傅里 叶变换DTFT---- X(e j)，是一个连续的周期性的频谱； 而有限长序列的DFT---- X(k)却是离散的频谱，两者显然 不是等同的。但两者也不是截然无关的，相反，存在着 相当重要的联系，这就是有限长序列的离散傅里叶变换 X(k)正是此序列的傅里叶变换X(e j)的抽样值。
时移特性1圆周移位22我们看到当序列xn向右移m位时超出n1以外的m个样值又从左边依次填补了空位因此可以想象序列xn排成在一个n等分的圆周上n个样点首尾相接圆周移m个单位表示xn在圆周上旋转m位
3.5 DFT（离散傅里叶变换）
---------Discrete Fourier Transform 3.5.1 DFT定义式
离散傅里叶变换DFT
X2(n)= 1 1 1 1
……………………………………………………
1 2 4 8
1 2 4 8
1 2 4 8
解：
N=5时：
N=10,N=50时类同
2.5 DFT的性质
2.5.1.线性
1.两序列都是N点时
如果 则有：
2.5.2圆周移位
一、定义
一个有限长序列 的圆周移位定义为：
这里包括三层意思：
1)先将 进行周期延拓
2)再进行移位
3)最后取主值序列：
二、时域圆周移位定理
证明：
由DFS和DFT的关系：
表明：有限序列的圆周移位，在频域引入一个和频率成正比的线性相移，对幅度没影响。
第2章离散傅里叶变换（DFT)
2.1引言
一.DFT是重要的变换
分析有限长序列的有用工具。
在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题：
一是离散与量化，
二是快速运算。
三.傅氏变换的几种可能形式
1.连续时间、连续频率的傅氏变换
时域信号连续的非周期的
时间函数
频率函数
连续和非周期
非周期和连续
连续和周期
非周期和离散
离散和非周期
周期和连续
散和周期
周期和离散
2.2周期序离散傅里叶级数DFS
一、.周期序列DFS的引入
周期序列：
周期序列可以表示成成谐波关系的复指数序列：
正变换：
逆变换：
二、的周期性
三、 和Z变换、X（ejw）的关系
※ 是Z变换X(Z)在单位圆上采样，
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
~ X ( k ) N k ( r pn)
k 0
N 1
~ NX ( r pN ) ~ NX ( r )
j 2 nr N
1 ~ 因此, X (r ) N
~ ( n )e x
n 0
N 1
将r换成k则有 1 ~ X (k ) N
n 0
则有
~ ~ ~ (n) b~ (n) aX (k ) bX (k ) DFSax1 x2 1 2
其中，a,b为任意常数。
二.序列的移位
~ ~(n) X (k ) 如果 DFSx
则有：
~ ~(n m) W mk X (k ) DFSx N e
2 j mk N
即：
N 1 n 0 j 2 kn N
~ ~( n )e X (k ) x ~( n ) 1 x N
N 1 k 0
~ X ( k )e
2 j kn N
~ X (k ) 的周期性 2 N 1 j ( k mN ) n ~ 周期性： ( k m N) ~( n )e N X x
) X (k )
0
0 20
N 0 N
k
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
x(nT)=x(n)
1 2 T0 F0 0
T0 NT
0
x (e
j k 0T
T 2T
1 2
( N 1) ( N 1)
NT N
0
)
2 T s 1 T 2
x(k )
n 0 N 1 j 2 nk N
~ ( n )W nk x N
N 1 n 0
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
时域循环移位定理表明：有限长序列的循环移位，在离散 频域中相当于引入一个和频率成正比的线性相移WN-mk 频域循环移位定理表明：时域序列的调制(相移)等效于频域 的循环移位
(3.1.7)
注：若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当N<M时，(3.1.5) 式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6)和 (3.1.7)式仅对 N≥M时成立。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.2（a）中x(n)实际长度M=6，
x (n) 如图 当延拓周期N=8时，~
3.1.2（b）所示。
DTFT:X(e )= x( n)e
M 1 n0
N (n) RN (n) xN ( n) x
(k ) x N (n)WNkn DFS : X
DFT与ZT关系：
k
z e
j k N
X (k ) X ( z )
k ,, ,..., N k ,, ,..., N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
（2）时/频域循)] X (k )
k 0,1,..., N 1
则
且
mk DFT [ x(( n m)) N RN (n)] WN X (k )
nl IDFT [ X (( k l )) N RN (k )] WN x ( n)
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
mk kn [ x ( m ) W ] W N N k 0 m 0 k ( mn ) W N k 0 N 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
M为整数 M为整数
x (n ) =
m = −∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x (n ) ⋅ RN (n )
~
~
x(n)=x((n))N，
% X (k ) =
m =− ∞
∑ X (k + mN )
∞
% X (k ) = X (k ) RN (k )
回到本节
N k=0
k =0 N
为DFT变换 长度N≥M， ， N 为DFT变换 长度N≥M， WN = e DFT 有限长 离散序列 有限长 离散序列
−j
2π N
第三章 离散傅里叶变换DFT
例1
解：
已知 x(n) = R4 (n)，分别求N = 8和N =16 时的X (k)。
N = 8时
N−1 n=0 nk N
第三章 离散傅里叶变换DFT
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N 表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如 N = 5, x N (n) = x((n))5 则有
~
M为整数，
x (5) = x ((5))5 = x (0) x (6) = x ((6))5 = x (1)
∑e
n=0
k =0 8, = 0, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
x(n)的16点DFT为
k 1 − W168 1 − e k X (k ) = W16 n = = k 2π −j k 1 − W16 n=0 1 − e 16 π 7π sin k −j k 2 = e 16 , k = 0,1, 2,L ,15 π sin k 16
第3章 3.1-3.2离散傅里叶变换(DFT)
n0
WNkm X (k)
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
对比记忆：
循环时移：
x((n
m))
N
RN
(n)
W mkm N
X(k
)
线性时移：
x(n n0 ) e jn0 X(e j )
29
时域移位，频域相移
2020/4/5
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
3. 频域循环移位定理 如果： X (k) DFT[x(n)], 0 k N 1 则 ： Y (k) X ((k l))N RN (k)
e8
n0
n0
j 3k
e8
sin(
2
sin(
k) k)
,k
0,1,, 7
8
17 2020/4/5
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
提高谱密度
18
图3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系
2020/4/5
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
3.3.2 DFT和DTFT、ZT的关系
设序列x(n)的长度为N， 其ZT、DTFT和
对任意整数m， 总有：
WNk WN(kmN) , k, m, N均为整数
所以(3.3.6)式中， X(k)满足：
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n
n0
N 1
x(n)WNkn X (k)
n0
同理可证明(3.3.7)式中：
14 2020/4/5
x(n mN) x(n)
1．
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的
L点循环卷积定义为：L1
kn
e4
n0
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DTFT：离散时间傅立叶变换 ，它用于离散非周期序列分析，由于信号是非周期序列， 它必包含了各种频率的信号，所以对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时 域离散非周期对应频域连续周期的特点。
DFS：离散时间傅立叶级数 ，离散周期序列信号，取主值序列 ，得出每个主值在各 频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特性。
离散性 谐 波性 衰减 性
密度性 连续性 衰 减性
采样
周 期
连续 离散 周期 FS DFS
周 期
非周期 FT DTFT
采样
0 离散性 谐波性 周期性
密度性 连续性 周期性
（1）用傅立叶级数求信号的幅度频谱和相位频谱。
（2）求傅立叶级数逆变换的图形，与原信号图形进行对比。
clear; N=16; xn=[ones(1,N/4),zeros(1,3*N/4)]; xn=[xn,xn,xn]; n=0:3*N-1; k=0:3*N-1; Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n‘*k); %DFS变换 x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n‘*k))/N; %IDFS变换 subplot(2,2,1),stem(n,xn); title('x(n)'); axis([-1,3*N,1.1*min(xn),1.1*max(xn)]); subplot(2,2,2),stem(n,abs(x)); %显示IDFS结果 title(‘IDFS|X(k)|’); axis([-1,3*N,1.1*min(x),1.1*max(x)]); subplot(2,2,3);stem(k,abs(Xk)); %序列幅度谱 title('|X(k)|'); axis([-1,3*N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(Xk))]); subplot(2,2,4); stem(k,angle(Xk)); %序列相位谱 title('arg|X(k)|'); axis([-1,3*N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk))]);
§0、离散时间傅立叶变换
“DTFT”是“Discrete Time Fourier Transformation”的缩写。传统的傅立叶 变换（FT）一般只能用来分析连续时间信号的频谱，而计算机只会处理离 散的数字编码消息，所以应用中需要对大量的离散时间序列信号进行傅立 叶分析。DTFT就是对离散非周期时间信号进行频谱分析的数学工具之一。
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
ekrN (n)
ej
2 N
n(
k
rN
)
ej
2 N
nk
ek (n)
e ∴
j
2 N
nk
也是以N为周期的周期序列
e 故 独所立有成谐分波将~x成(分n)中展{开。j
2 N
nk
}
只有N个是独立的，可以用这N个
因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。因此在展开成 离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量，通常取k=0到(N-1).
X~(k) ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对
称关系可表为：
~x (n) IDFS[ X~(k)]
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
• 傅立叶级数（DFS） • 傅立叶变换（DFT） • DFT应用 • DFT存在的问题
FS FT DFS DTFT ：
FS：傅立叶级数展开 ,用于分析连续周期信号 ,时域上任意连续的周期信号可以分解为 无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应 频域离散非周期的特点 。
1
N 1
X~ (k )e
j
2
N
nk
N k 0
X~ (k )
DFS[~x (n)]
N
1
~x (n)e
j
2
N
nk
n0
习惯上：记
j 2
WN e N
~
X (k) 是周期序列离散傅立叶级数第k次谐波分量的系数，也称为周期序列的
频谱。可将周期为N的序列分解成N个离散的谐波分量的加权和，各谐波
频率ω上却是连续的周期函数。而计算机只能处理变量离散的数字信号。所以，
如果要想利用计算机实现DTFT的运算，必须建立时域离散和频域离散的对应 关系。
当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的， 因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要 条件，但是采用DFS（离散傅里叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅 里叶分析。
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
的频率为
2 N
k
，幅度为
1 N
~
X (k)
WN的性质:
WN
e
j
2 N
1.周期性
WNnΒιβλιοθήκη W (nrN N)
2.共轭对称性 WNn (WNn )*
3.可约性
W rn rN
WNn
4.正交性
1
N
N 1
WNkn (WNmn )*
n0
1 N
N 1
W (mk)n N
n0
1 0
mk mk
则DFS变换对可写为
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
与连续周期信号的傅立叶级数相比较，周期序列的离散傅立叶 级数的特点：
（1）连续性周期信号的傅立叶级数对应的谐波分量的系数有 无穷多。而周期为N的周期序列，其离散傅立叶级数谐波分量 只有N个是独立的。
（2）周期序列的频谱
~
X
(k)
也是一个以N为周期的周期序列。
例：一个周期矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/4，一个周 期的采样点数为16点，显示3个周期的信号序列波形，并要 求：
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数变换
IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。
DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知 道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都 知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因 此周期序列与有限长序列有着本质的联系。