函数逼近与曲线拟合(1)PPT课件
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定理 若 f ( x) C[a, b], 则总存在Pn*( x) H , 使得 || f ( x) Pn* ( x) || En
定义（偏差点）
若 f ( x) C[a, b], P( x) Hn , 若在x x0上有
|
P( x0 )
f ( x0 ) |
max |
a xb
P(x)
内积与内积空间
定义 设X 是数域K上的线性空间，对u, v X , 存在K中的一个数(u, v)与之对应，满足 （1）(u, v) (v, u)
(2) ( u, v) (u, v), K
(3) (u v, w) (u, w) (v, w) (4) (u, u) 0,(u, u) 0 u 0 称( , ) 0为X 上的内积，定义了内积的线性空间 称为内积空间.
n ( x)
1 2n1
Tn ( x)与零的偏差最小，其偏差为
1 2n1
.
证明
n ( x)
1 2n1
Tn ( x)
xn
P* n1
(
x
)
max
1 x1
|
n
(
x
)
|
1 2n1
max
1 x1
|
Tn
(
x
)
|
1 2n1
, 又知道
k
xk cos n (k 0,1, 2,
, n)是切比雪夫交错点组，
由此知道Pn*1 ( x)是xn的区间[- 1,1]上的最佳逼近多项式，
1 2n n!
dn dx n
{( x2
1)n }
勒让德多项式旳性质
1. 正交性
0,
1 －1
Pn
数值分析---函数逼近与曲线拟合
xk
cos 2k 1 , k
2n
1,2,
若将xn用T0(x),T1(x), …,Tn(x)的线性组合表 示,则其公式为
n
x n
21n
2 k 0
n
k
Tn
2
k
( x).
3.3 最佳一致逼近多项式
• 最佳一致逼近多项式 是讨论 f∈C[a, b],在Hn=span{1,x,…xn}中求 多项式 Pn* ( x) , 使其误差
第3章 函数逼近与曲线拟合
本章基本内容
• 函数逼近的基本概念 • 正交多项式—Lagrange and Chebyshev • 最佳一致逼近多项式 • 最佳平方逼近多项式 • 曲线拟和的最小二乘法
拟合与逼近
本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函 数的问题.上章提到的插值就是近似代替的方 法之一,插值的近似标准是在插值点处误差为 零. 但在实际应用中,有时不要求具体某些点 误差为零,而要求考虑整体的误差限制 ,这就 引出了拟合和逼近的概念.
例题：利用 Gram-schmidt 方法构造 [0,1] 上带权
( x)
ln
1 x
的前3个正交多项式
0 ,1, 2
解：利用正交化公式来求
( x) ln 1 ln x
x
0 (x) 1
1 (x)
x
( x 0 ) ( 0 0 )
0
2 (x)
x2
(x
(
2 0
0 0
) )
0
(x 21 (11
(正定性) (2)‖αx‖＝|α|‖x‖,α∈R;
(齐次性) (3)‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖,x,y∈S. (三角不等式) 则称 || || 为线性空间S上的范数, S与 || || 一起称为赋范线性空间,记为X.
逼近和拟合专题教育课件
则在[a,b]上g( x) 0；
就称( x)为[a,b]上的权函数.
例2 设f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数 ,则可
定义内积
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx. 1,( f , g) ab f (x)g(x)dx.
容易验证内积定义中的 四个性质，并导出范数
项式正交.
（4）有递推关系
pn1( x) ( x n ) pn( x) n pn1( x), n 0,1,, (2.4)
其中 p0( x) 1，p1( x) 0，
n ( xpn , pn ) /( pn , pn ), n ( pn , pn ) /( pn1, pn1)，n 1,2,,
称为Gram矩阵，则G非奇异的充要条件是 u1, u2,, un线性
无关.
证明：1) G非奇异 以G为系数矩阵的齐次线性 方程组
n
n
( ju j , uk ) (u j , uk ) j 0,
j1
j1
只有零解。
k 1,,n.
n
n
n
2) juj 0 ( juj , juj ) 0
有限维空间 vs 无限维空间.
Rn, C[a,b],
定理 1(维尔斯特拉斯 ) 如果f ( x) C[a,b], 那么 0,
多项式p( x),使得
| f ( x) p( x) | , 对于一切a x b.
伯恩斯坦(1912)给出一种构造性证明：伯恩斯坦多项式
Bn (
f
,
x)
n
k0
f
(n ,n )
根据定理 3，0,,n线性无关 det(G) 0.
§2 正交多项式
《函数的数值逼近》PPT课件
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P(x) 存在，如何构造P(x)？ （3）如何估计用P (x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
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7
2、插值多项式的存在唯一性
定理 若插值结点 x0,x1,…, xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
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10
§2 代数多项式插值
一、线性插值与抛物线插值
1. 线性插值(n =1)
设已知区间[ xk , xk+1]端点处的函数值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，
求线性插值多项式L 1(x ) ，使其满足
L1 ( xk ) yk
L1
(
xk
1
)
yk 1
x 0 xk
y = L1(x)
P(x) = a0 + a1 x + ⋯ + an xn
则称P( x)为n 次插值多项式. 相应的插值法称为多项式插 值法(代数插值法)。
x
y = f (x) •
(xi, yi)
y = P(x) 曲线 P ( x)
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
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6
研究问题：
构造法：
先求 插值基函数l k-1(x), l k (x), l k+1(x) (二次函数), 满足：
lk1(xk1)1, lk1(xk)lk1(xk1)0;
lk(xk)1,
lk(xk1)lk(xk1)0;
(4)
lk1(xk1)1, lk1(xk1)lk1(xk)0,
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2、插值多项式的存在唯一性
定理 若插值结点 x0,x1,…, xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
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10
§2 代数多项式插值
一、线性插值与抛物线插值
1. 线性插值(n =1)
设已知区间[ xk , xk+1]端点处的函数值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，
求线性插值多项式L 1(x ) ，使其满足
L1 ( xk ) yk
L1
(
xk
1
)
yk 1
x 0 xk
y = L1(x)
P(x) = a0 + a1 x + ⋯ + an xn
则称P( x)为n 次插值多项式. 相应的插值法称为多项式插 值法(代数插值法)。
x
y = f (x) •
(xi, yi)
y = P(x) 曲线 P ( x)
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
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6
研究问题：
构造法：
先求 插值基函数l k-1(x), l k (x), l k+1(x) (二次函数), 满足：
lk1(xk1)1, lk1(xk)lk1(xk1)0;
lk(xk)1,
lk(xk1)lk(xk1)0;
(4)
lk1(xk1)1, lk1(xk1)lk1(xk)0,
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例 已知点集 {xi} i=0,1,…,4 ={0,0.25,0.5,0.75,1} 和 权数{ i}i=0,…4 ={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关于
该点集的正交多项式 P0(x),P1(x),P2(x)
解 先令 P0(x)=1 ，由此得
4
(P0, P0 ) iP02 (xi ) 5 i0
)
k
(x)
k
k
(x), k 1, 2,
k 1
n 1
给出的多项式序列
n
Pk(x)
(n
k 0
m)
是正交多项式序列
，其中
(x , )
(,
P P P P
k k,
k
a b k ( , ) k ( ,
P P P P k k
k 1
) k.
)
k 1
（5）
三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公 式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一 步讨论。
有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。
第12页/共81页
若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
(i , j )
0,i j ai 0,i
j
(3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集 {xi} i=0,1,…,m 上的带权 { i}i=0,…m的正交多项式序列.
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更一般函数逼近的概念：
可用一
组
在C
a,
b上线
性
无
关
的函数
集
合
i
x
n i0
例 已知点集 {xi} i=0,1,…,4 ={0,0.25,0.5,0.75,1} 和 权数{ i}i=0,…4 ={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关于
该点集的正交多项式 P0(x),P1(x),P2(x)
解 先令 P0(x)=1 ，由此得
4
(P0, P0 ) iP02 (xi ) 5 i0
)
k
(x)
k
k
(x), k 1, 2,
k 1
n 1
给出的多项式序列
n
Pk(x)
(n
k 0
m)
是正交多项式序列
，其中
(x , )
(,
P P P P
k k,
k
a b k ( , ) k ( ,
P P P P k k
k 1
) k.
)
k 1
（5）
三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公 式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一 步讨论。
有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。
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若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
(i , j )
0,i j ai 0,i
j
(3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集 {xi} i=0,1,…,m 上的带权 { i}i=0,…m的正交多项式序列.
第8页/共81页
更一般函数逼近的概念：
可用一
组
在C
a,
b上线
性
无
关
的函数
集
合
i
x
n i0
小波分析之函数逼近与曲线拟合
∞
=
max
f (x)
a≤ x≤b
绝对值与
n上范数的扩充关系 R
• 数a的绝对值(a离开原点0的距离)：∣a∣ • 数a与b的差异(距离)： ∣a-b∣ • 向量A=( 1, a2,…,an)的范数(A离开0向量 A=(a , 的范数 A=( 的距离) ： n • x = ∑ x i
1 i = 1
x x
距离空间定义
• 设X是非空集合，对于X中的任意两元素x与y ，按某一法则都对应唯一的实数ρ(x, y)，并满足 以下三条公理： • 1.非负性：ρ(x, y) ≥0,ρ(x, y) =0当且仅当x=y; • 2.对称性：ρ(x, y) =ρ(y, x)； • 3.三角不等式；对任意的x, y, z ρ(x, y) ≤ρ(x, z) + ρ(z, y), 则称ρ(x, y)为x与y间的距离（或度量），并称X是 以ρ为距离的距离空间(或度量空间),记为(X, ρ)．
2
2
2
即
内积空间的性质
定理 设 X 为内积空间，{u1 , u2 ,⋯ , un } ⊆ X , 格拉姆(Gram)矩阵
(u1 , u1 ) (u2 , u1 ) ⋯ (u n , u1 ) (u1 , u2 ) (u2 , u2 ) ⋯ (u n , u2 ) G= ⋮ ⋮ ⋮ (u , u ) (u , u ) ⋯ (u , u ) 2 n n n 1 n
内积空间
设X 是定义在实(或复)数域K上的线性空 间，若对于X中 任意一对有序元素x,y, 恒对应 数域K的值(x, y)，且满足: • (x, x) ≥0，且(x, x)=0的充要条件是x=0; • (ax, y) = a(x, y); • (x+y, z) = (x, z) + (x, z). 则称X为内积空间，(x, y)称为x, y的内积. 正交: 正交 若(x, y)=0,称x与y正交.
第三章函数逼近和曲线拟合
则称 x1, x2 ,..., xn 为空间S的一组基，记为：
S=span{ x1,..., xn}
并称该空间为n维空间。1,2 ,...,n P
称为x在这组基下的坐标。 例：n次多项式
p(x) Hn , p(x)=a0 + a1x ... an xn Hn span{1, x, x2 ,..., xn}
4
11
4.5
12
4.6
强 度 yi 编 号 拉伸倍数 xi
1.4
13
5
1.3
14
5.2
1.8
15
6
2.5
16
6.3
2.8
17
6.5
2.5
18
7.1
3
19
8
2.7
20
8
4
21
8.9
3.5
22
9
4.2
23
9.5
3.5
24
10
强 度 yi
5.5 5
5.5
6.4 6
5.3 6.5
7 8.5
8 8.1 8.1
6
内积与内积空间 定义3：设X为数域K（R或C）上的线性空
间，满足条件：
u, v X , k (u, v) K, st.
(1) (u, v) (v, u)
(2) (u, v) (u, v), for K
(3) (u v, w) (u, w) (v, w), for w X
(4) (u, u) 0, u 0 iff (u, u) 0
存在唯一实数 g ，满足条件：
(1) x 0; x 0 iff x 0
(2) x x , R
(3) x y x y , x, y R
S=span{ x1,..., xn}
并称该空间为n维空间。1,2 ,...,n P
称为x在这组基下的坐标。 例：n次多项式
p(x) Hn , p(x)=a0 + a1x ... an xn Hn span{1, x, x2 ,..., xn}
4
11
4.5
12
4.6
强 度 yi 编 号 拉伸倍数 xi
1.4
13
5
1.3
14
5.2
1.8
15
6
2.5
16
6.3
2.8
17
6.5
2.5
18
7.1
3
19
8
2.7
20
8
4
21
8.9
3.5
22
9
4.2
23
9.5
3.5
24
10
强 度 yi
5.5 5
5.5
6.4 6
5.3 6.5
7 8.5
8 8.1 8.1
6
内积与内积空间 定义3：设X为数域K（R或C）上的线性空
间，满足条件：
u, v X , k (u, v) K, st.
(1) (u, v) (v, u)
(2) (u, v) (u, v), for K
(3) (u v, w) (u, w) (v, w), for w X
(4) (u, u) 0, u 0 iff (u, u) 0
存在唯一实数 g ，满足条件：
(1) x 0; x 0 iff x 0
(2) x x , R
(3) x y x y , x, y R
函数逼近与曲线拟合(演示)精编
第三章 函数逼近与曲线拟合1 函数的逼近与基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()kk k f x a x∞==∑，()(0)!k k f a k =在[1,1]-上收敛。
当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。
这个误差分布是不均匀的。
当0x =时，(0)0ne=，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。
为了使[1,1]-的所有x 满足()()nf x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。
插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。
更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。
如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。
由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。
如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
1.2范数与逼近实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近图1一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。
最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用nH 表示，称为多项式空间。
数值分析 第五章 曲线拟合和函数逼近
an xi n yi ) 0 an xi n yi ) xi 0
an xi n yi ) xi n 0
6
可以化为如下的法方程组或正则方程组：
1 xi n 1 xi
x x
i
i 2
x x x
i
2 3
i i
x x
x
,n 1
( xPk , Pk ) 由 ( Pk 1 , Pk ) 0 k 1 ( Pk , Pk )
2 x P i i k ( xi ) i 0 m
m
P ( x )
i 0 2 i k i
， k 0,1, 2,
, n 1
由 ( Pk 1 , Pk 1 ) 0 k
12
y 1 /(ax b) y x /(ax b) y 2 ax2 bx c y x /(ax bx c)
2
设y 1 / y 设y 1 / y , x 1 / x 设y y 2 x 设y y 设x 1 / x
b c y a 2 x x
求解线性方程组有 a 2, b 1.05 。
3
最小二乘原理
曲线拟合问题：对给定的数据 ( xi , yi ) (i 0,1,
, m) ，在取定的函 , m)
(i 0,1, 数类 中， 求函数 P( x) ， 使偏差 ri P( xi ) yi ，
的平方和最小，即
2 r ( P ( x ) y ) i i i min 2 i 0 i 0 m m
,x 。
n
11
非线性最小二乘拟合
可化为线性拟合问题的常见函数类型
第三章函数逼近1
6.7941 -5.3475
-653..32457859
5.1084 -49.0086
63.2589 10-0429..50086
-2126...763718262837
Go!
用Gauss列主元消去法,得
a b c
0--.0113..020467113035
y(x) a0 a1x
为拟合函数，其基函数为
0(x) 1 1(x) x
建立法方程组 根据内积公式，可得
(0 ,0 ) 24 (0 , f ) 113.1
法方程组为
(0 ,1 ) 127.5 (1 ,1 ) 829.61 (1 , f ) 731.6
m
*
2 2
(S * ( xi ) yi )2
i0
m
min S ( x)
2 2
min
S ( x)
i0
(S(xi )
yi
)2
m
其中S(x) a j j (x)为中的任意函数 j0
---------(3)
n
称满足条件(3)的求函数S * (x) a*j j (x)的方法为 j0
mn
m
a j j (xi )k (xi ) yik (xi )
i0 j0
i0
mn
m
a j j (xi )k (xi ) yik (xi )
i0 j0
i0
nm
m
[ j (xi )k (xi )]a j yik (xi )
mn
是 (a0 , a1 , , an ) ( a j j ( xi ) yi )2 的最小值 i0 j0
第五章曲线拟合和函数逼近
0
注：多项式拟合实际上是选取
0 ( x), 1 (x ), , ( ) 为 1, x,, x 。 n x
n
11
非线性最小二乘拟合
可化为线性拟合问题的常见函数类型
1 y ae (a 0) 设y ln y, x x y 1 /(a be x )(a 0) 设x e x , y 1 / y
中求函数 P( x) akk ( x) ，使得平方和
k 0
n
Q i P( xi ) yi
i 0
2
n i akk ( xi ) yi min 。 k 0 i 0
m
2
10
问题如何求解系数 a0 , a1,, an ？
b/ x
y a bx (a ln a ) y a bx y ax b y a bx y ax2 bx c y ax2 bx c y a bx cx 2
12
y 1 /(ax b) y x /(ax b) y 2 ax2 bx c y x /(ax bx c)
i 0 i 0
3
3
i
2, xi 6, yi 8.2, xi yi 14.1,
2 i 0 i 0 i 0
3
3
3
4 2 a0 8.2 对应的法方程组为 a 2 6 14.1 1
得到 a0 1.05, a1 2 ,
Байду номын сангаас
( x ) ( x ) a ( x ) ( x ) a
i n i 0 i i n i 1 i
注：多项式拟合实际上是选取
0 ( x), 1 (x ), , ( ) 为 1, x,, x 。 n x
n
11
非线性最小二乘拟合
可化为线性拟合问题的常见函数类型
1 y ae (a 0) 设y ln y, x x y 1 /(a be x )(a 0) 设x e x , y 1 / y
中求函数 P( x) akk ( x) ，使得平方和
k 0
n
Q i P( xi ) yi
i 0
2
n i akk ( xi ) yi min 。 k 0 i 0
m
2
10
问题如何求解系数 a0 , a1,, an ？
b/ x
y a bx (a ln a ) y a bx y ax b y a bx y ax2 bx c y ax2 bx c y a bx cx 2
12
y 1 /(ax b) y x /(ax b) y 2 ax2 bx c y x /(ax bx c)
i 0 i 0
3
3
i
2, xi 6, yi 8.2, xi yi 14.1,
2 i 0 i 0 i 0
3
3
3
4 2 a0 8.2 对应的法方程组为 a 2 6 14.1 1
得到 a0 1.05, a1 2 ,
Байду номын сангаас
( x ) ( x ) a ( x ) ( x ) a
i n i 0 i i n i 1 i
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第三章 函数逼近与曲线拟合
§3.1 函数逼近的基本概念
§3.2 正交多项式
§3.3 最佳一致逼近多项式
§3.4 最佳平方逼近
§3.5 曲线拟合的最小二乘法
§3.6 最佳平方三角逼近与FFT
§3.7
➢练习
§3.1 函数逼近的基本概念(返回)
函数逼近与函数空间 范数与赋范线性空间 常用范数 内积与内积空间
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
T T1 1
T2
偏差与偏差点(返回)
最佳一致逼近多项式(返回)
切比雪夫定理(返回)
最佳一致逼近 多项式的构造(例题)
切比雪夫多项式 与零的偏差(定理)
最佳一致逼近例题(继续)
最佳一致逼近例题(返回)
最佳一次逼近多项式(例题)
最佳一次逼近多项式图示(返回)
y
f (x)
P1 ( x )
函数逼近与函数空间(返回)
范数与赋范线性空间(返回)
常用范数1(继续)
常用范数2(返回)
内积与内积空间(性质)
Rn及C[a,b]上的内积(返回)
内积空间的性质(返回)
正交函数族与正交多项式(返回)
正交多项式的性质(返回)
勒让德(Legendre)多项式(性质)
Legendre多项式的性质(返回)
§3.2 正交多项式(返回)
正交函数族与正交多项式 正交多项式的性质 勒让德(Legendre)多项式 切比雪夫(Chebyshev)多项式 其他正交多项式
§3.3 最佳一致逼近多项式(返回)
偏差与偏差点 最佳一致逼近多项式 切比雪夫定理 最佳一致逼近多项式的构造 最佳一次逼近多项式
§3.4 最佳平方逼近(返回)
三角二乘拟合及插值(返回)
三角二己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
问题的描述 法方程的建立 用正交函数做最佳平方逼近 最佳平方逼近多项式
§3.5 曲线拟合的最小二乘法(返回)
问题的描述 法方程的建立 常用模型 用正交多项式最小二乘拟合
最小二乘法拟合问题(返回)
法方程的建立(返回)
常用模型(返回)
用正交多项式最小二乘拟合(返回)
哈尔(Haar)条件(法方程)
用正交函数做最佳平方逼近(返回)
最佳平方逼近多项式(例题)
最佳平方逼近多项式例题(返回)
线性模型例题(返回)
线性模型图例(返回)
指数模型例题(返回)
指数模型图例(返回)
双曲模型图例(返回)
S-曲线模型图例(返回)
§3.6最佳平方三角逼近与FFT(返回)
最佳平方三角逼近 三角二乘拟合及插值 离散傅立叶变换 快速傅立叶变换(FFT)
最佳平方三角逼近(返回)
离散傅立叶变换(返回)
快速傅立叶变换(FFT)(返回)
§3.7 有理逼近(返回)
有理逼近及其计算 用Taylor展式求连分式 帕德(Padé)逼近
有理逼近及其计算(返回)
用Taylor展式求连分式(返回)
帕德(Padé)逼近(例题)
Padé逼近例题(继续)
Padé逼近例题(返回)
E1
a
x2
bx
最佳一次逼近多项式例题1(继续)
最佳一次逼近多项式例题2(返回)
切比雪夫定理图示(定理)
E2
P2 (x)
f (x)
E3
E4
P4 (x ) f (x)
P3 ( x ) f (x)
最佳平方逼近问题(返回)
法方程的建立(特例)
C[0,1]上的最佳平方逼近(例题)
C[0,1]上的最佳平方逼近例题(返回)
Chebyshev多项式(性质)
Chebyshev多项式性质
Chebyshev多项式 与幂基的转换(返回)
其他正交多项式(返回)
Weierstrass定理图示(定理)
N=2150
Legendre多项式图示(返回)
P0
P P3
P1 P2
Chebyshev多项式图示(返回)
T0
T0
T3
T2 T3
§3.1 函数逼近的基本概念
§3.2 正交多项式
§3.3 最佳一致逼近多项式
§3.4 最佳平方逼近
§3.5 曲线拟合的最小二乘法
§3.6 最佳平方三角逼近与FFT
§3.7
➢练习
§3.1 函数逼近的基本概念(返回)
函数逼近与函数空间 范数与赋范线性空间 常用范数 内积与内积空间
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
T T1 1
T2
偏差与偏差点(返回)
最佳一致逼近多项式(返回)
切比雪夫定理(返回)
最佳一致逼近 多项式的构造(例题)
切比雪夫多项式 与零的偏差(定理)
最佳一致逼近例题(继续)
最佳一致逼近例题(返回)
最佳一次逼近多项式(例题)
最佳一次逼近多项式图示(返回)
y
f (x)
P1 ( x )
函数逼近与函数空间(返回)
范数与赋范线性空间(返回)
常用范数1(继续)
常用范数2(返回)
内积与内积空间(性质)
Rn及C[a,b]上的内积(返回)
内积空间的性质(返回)
正交函数族与正交多项式(返回)
正交多项式的性质(返回)
勒让德(Legendre)多项式(性质)
Legendre多项式的性质(返回)
§3.2 正交多项式(返回)
正交函数族与正交多项式 正交多项式的性质 勒让德(Legendre)多项式 切比雪夫(Chebyshev)多项式 其他正交多项式
§3.3 最佳一致逼近多项式(返回)
偏差与偏差点 最佳一致逼近多项式 切比雪夫定理 最佳一致逼近多项式的构造 最佳一次逼近多项式
§3.4 最佳平方逼近(返回)
三角二乘拟合及插值(返回)
三角二己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
问题的描述 法方程的建立 用正交函数做最佳平方逼近 最佳平方逼近多项式
§3.5 曲线拟合的最小二乘法(返回)
问题的描述 法方程的建立 常用模型 用正交多项式最小二乘拟合
最小二乘法拟合问题(返回)
法方程的建立(返回)
常用模型(返回)
用正交多项式最小二乘拟合(返回)
哈尔(Haar)条件(法方程)
用正交函数做最佳平方逼近(返回)
最佳平方逼近多项式(例题)
最佳平方逼近多项式例题(返回)
线性模型例题(返回)
线性模型图例(返回)
指数模型例题(返回)
指数模型图例(返回)
双曲模型图例(返回)
S-曲线模型图例(返回)
§3.6最佳平方三角逼近与FFT(返回)
最佳平方三角逼近 三角二乘拟合及插值 离散傅立叶变换 快速傅立叶变换(FFT)
最佳平方三角逼近(返回)
离散傅立叶变换(返回)
快速傅立叶变换(FFT)(返回)
§3.7 有理逼近(返回)
有理逼近及其计算 用Taylor展式求连分式 帕德(Padé)逼近
有理逼近及其计算(返回)
用Taylor展式求连分式(返回)
帕德(Padé)逼近(例题)
Padé逼近例题(继续)
Padé逼近例题(返回)
E1
a
x2
bx
最佳一次逼近多项式例题1(继续)
最佳一次逼近多项式例题2(返回)
切比雪夫定理图示(定理)
E2
P2 (x)
f (x)
E3
E4
P4 (x ) f (x)
P3 ( x ) f (x)
最佳平方逼近问题(返回)
法方程的建立(特例)
C[0,1]上的最佳平方逼近(例题)
C[0,1]上的最佳平方逼近例题(返回)
Chebyshev多项式(性质)
Chebyshev多项式性质
Chebyshev多项式 与幂基的转换(返回)
其他正交多项式(返回)
Weierstrass定理图示(定理)
N=2150
Legendre多项式图示(返回)
P0
P P3
P1 P2
Chebyshev多项式图示(返回)
T0
T0
T3
T2 T3