集合充分条件、必要条件、充要条件间关系论文

小议集合与充分条件、必要条件、充要条件间的关系设a、b为两个集合。则ab是指：

xaxb ①

即有：”xa”是”xb”的充分条件，

“xb”是”xa”的必要条件。

反过来，若”xa”是”xb”的充分条件，即xaxb，则ab。

设a、b为两个集合，则a=b是指：

xaxb ②

即有：”xa”是”xb”的充要条件。

反过来，若”xa”是”xb”的充要条件，即xaxb，则a=b。

设p，q为含有变量x的语句，我们引入如下两个集合：

a=，

b=

如果ab，那么每个使p成立的变量x也使得q成立，即：若p 成立，则q也成立，也就使说，从而p是q的充分条件，q是p的必要条件。

反过来，如果p是q的充分条件，那么由p成立可以推出q成立，也就是说，若xa，则一定有xb，从而有ab。

这样一来，要判断p是q的什么条件，只需判断集合a与集合b 的关系即可。有如下结论：

①若ab，则a是b的充分条件：②若a=b，则a是b的充要条件：③除①②外的情况都是既不充分也不必要条件。

总结：小充分大必要，相等是充要。

例题讲解：

例1 已知全集u={1，2，3，4，5，6}，命题p：a={1，2}，命题q：b={1，2，3，4}。试问：①p是q的什么条件？；②的什么条件？

解：①由a={1，2}，b={1，2，3，4}得

ab

所以p是q的充分不必要条件

②从补集角度去分析：p：a在u中的补集，q：b在u中的补集。

即：p ：={3，4，5，6}，q：={5，6}

有（小的补变大，大的补反而小）

所以的必要补充分条件

例2 已知命题p：|x-2|≥6，q：，若”pq”与”q”同时为假，求x的值。

解：由|x-2|≥6得 p：x≥8，或x≤-4

又“pq”与”q”同时为假，所以 p假 q真

从而x的取值范围就是p与q的集合的公共部分，即：

x的值为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8。

例3 已知命题p：|4-x|≤6，q：x2-2x+1-a2≥0（a>0）若非p 是q的充分不必要条件，求a的取值范围。

解：由|4-x|≤6解得 -2≤x≤10

所以 p：x10 记p：a={x|x10}

由q：x2-2x+1-a2≥0解得x≥1+a，或x≤1-a

记q：b={x|x≥1+a，或x≤1-a}

因为非p是q的充分不必要条件，即：

从而由。

例4命题方程有两个不等的正实数根，命题方程无实数根。若”或”为真命题，求的取值范围。

解：由方程有两个不等的正实数根得：

解得得：p：

由方程无实数根得：

得：q：-32

由方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根得：得得：q：1

法一：由p或q为真，p且q为假得：p真q假，或p假q真两种情况。

①当p真q假时，有

②当p假q时，有

由①②（取并）得：

法二：直接将p、q解出的m呈现在数轴上取并集后挖去公共部分剩于部分。

由数轴可得：