集合充分条件、必要条件、充要条件间关系论文

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充分条件与必要条件

但ｑＰ
ｑ
Ｐ，Ｐｑ但
Ｐ，
Ｐｑ且ｑ即Ｐ圆ｑＰ
（）充分条件（ＡＢ）必要条件（Ｃ）充要条件（）既不充分也不必要条件Ｄ分析根据题设］Ｂ成立，以其所逆否命题］Ｂ成立，故是］Ｂ的必要条件，（．选Ｂ）说明当所给命题的充分条件、要条必件不便直接判定时，利用互为逆否命题的可等价转化。通问题、难为易．变化例３指出下列各组命题中，是ｇ的什Ｐ么条件（分而不必要条件，要而不充分条充必件，要条件，不充分也不必要条件）充既：
条件的判断例１设甲、、是三个命题，果甲是乙丙如乙的必要条件，是乙的充分而不必要条件．丙
那么（）．
｛ｄ，）ａ≠ ｂ，一｛ｄ，）『＋ｂＩ（６Ｉ｝Ｂ（ｂｌａ — Ｉ＋ａＩＩ｝一｛ｄ，Ｉｂ≥ ０｝由于ｂＩ（ｂ）ａ，Ｂ且Ｂ故户是口的既不充分也不必要的条件．说明涉及解集与点集的充分条件．必要条件，要条件的逻辑判断问题，妨从集充不合角度入手，辟蹊径，繁为简．另化类型 Ⅱ 充要条件的论证侈在三棱锥． — ｑ４ｓ
设Ａ一｛Ｉ一１｝Ｕ｛Ｉ一２｝Ｂ — Ｙ，ｆＩ一１｝ｎ｛Ｉ一２，ＢＹＹ｝则的必要而不充分条件．

浅谈判断充分、必要条件的方法

浅谈判断充分、必要条件的方法王红明(江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学㊀２２５５００)摘㊀要:充要条件是高中数学中极其重要的一个概念.条件充要性的判定问题是高考常考题型ꎬ综合性较强ꎬ也易于和其他知识相结合从而增加题目难度.本文精选几种简洁高效的解题方法予以说明ꎬ帮助大家熟悉基本知识ꎬ掌握基本解题技巧.关键词:充要条件ꎻ定义ꎻ传递中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００６８－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:王红明(１９８１.１－)ꎬ男ꎬ江苏省泰州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀解决判断充分㊁必要条件这类问题ꎬ需熟练掌握充要条件的概念ꎬ准确理解其含义ꎬ结合题设条件分清条件与结论的关系ꎬ结合正确高效的解题方法ꎬ最终得出正确结果.㊀下面主要对如何准确高效判断条件的充要性作一归纳整理ꎬ希望可以有所帮助.㊀㊀一㊁定义法按照课本上面的定义ꎬ有如下基本结论:１.若ｐ⇒ｑꎬ则ｐ是ｑ的充分条件ꎻ２.若ｑ⇒ｐꎬ则ｐ是ｑ的必要条件ꎻ３.若ｐ⇒ｑꎬｑ⇒/ｐꎬ则ｐ是ｑ的充分不必要条件ꎻ４.若ｐ⇒/ｑꎬｑ⇒ｐꎬ则ｐ是ｑ的必要不充分条件ꎻ５.若ｐ⇒ｑꎬｑ⇒ｐꎬ则ｐ是ｑ的充要条件ꎻ６.若ｐ⇒/ｑꎬｑ⇒/ｐꎬ则ｐ是ｑ的既不充分也不必要条件.㊀例１㊀设集合Ｍ＝ｘｌｏｇ２ｘ>１{}ꎬＰ＝ｘ３ｘ<２７{}ꎬ问ｘɪＭ或ｘɪＰ是ｘɪＰɘＭ的什么条件.解析㊀先解得集合Ｍ＝ｘｘ>２{}ꎬＰ＝ｘｘ<３{}ꎬ条件ｐ:ｘɪＭ或ｘɪＰꎬ即ＰɣＭ＝Ｒꎬ结论ｑ:ｘɪＰɘＭꎬ而ＰɘＭ＝ｘ２<ｘ<３{}.显然ｘɪＰɘＭ⇒ｘɪＭ或ｘɪＰꎬ反之则不然.所以ｘɪＭ或ｘɪＰ是ｘɪＰɘＭ的必要不充分条件.㊀点评㊀从命题的角度判断条件的充要性ꎬ应先把题目写成命题的形式ꎬ并对条件和结论进行明确或者求解ꎬ然后按照定义ꎬ直接判断.练习１㊀试判断ｍ＝３是直线(ｍ－１)ｘ＋２ｍｙ＋１＝０与直线(ｍ＋３)ｘ－(ｍ－１)ｙ＋３＝０相互垂直的什么条件.解析㊀ȵ直线(ｍ－１)ｘ＋２ｍｙ＋１＝０与直线(ｍ＋３)ｘ－(ｍ－１)ｙ＋３＝０互相垂直ꎬʑ(ｍ－１)(ｍ＋３)＋２ｍ[－(ｍ－１)]＝０ꎬ解得ｍ＝３或ｍ＝１.ʑ ｍ＝３是直线(ｍ－１)ｘ＋２ｍｙ＋１＝０与直线(ｍ＋３)ｘ－(ｍ－１)ｙ＋３＝０互相垂直的充分不必要条件.㊀㊀二㊁集合法一般地ꎬ若ｐ以集合Ａ的形式出现ꎬｑ以集合Ｂ的形式出现ꎬ有如下基本结论:１.若Ａ⊆Ｂꎬ则ｐ是ｑ的充分条件ꎻ２.若Ａ⊇Ｂꎬ则ｐ是ｑ的必要条件ꎻ３.若Ａ⫋Ｂꎬ则ｐ是ｑ的充分不必要条件ꎻ４.若Ｂ⫋Ａꎬ则ｑ是ｐ的必要不充分条件ꎻ５.若Ａ＝Ｂꎬ则ｐ是ｑ的充要条件ꎻ６.若Ａ⊈Ｂꎬ且Ａ⊉Ｂꎬ则ｐ是ｑ的既不充分也不必要条件.例２㊀已知ｐ:ｘ－１()ｘ＋４()ȡ０ꎬｑ:ｘ＋４ｘ－１ȡ０ꎬ则ｐ是ｑ成立的什么条件?８６解析㊀设命题ｐ㊁ｑ分别对应集合Ｍ㊁Ｎꎬ解得Ｍ＝－ɕꎬ－４(]ɣ１ꎬ＋ɕ[)ꎬＮ＝－ɕꎬ－４(]ɣ１ꎬ＋ɕ()ꎬ显然Ｎ⫋Ｍꎬ所以ｐ是ｑ的必要不充分条件.点评㊀用集合的观点来判断条件的充要性ꎬ体现数形结合的思想ꎬ方便高效.练习２㊀请问命题ｐ: 函数ｆ(ｘ)＝ｘ３＋２ｘ２＋ｍｘ＋１在Ｒ上单调增是命题ｑ: 不等式ｍȡ８ｘｘ２＋９对任意的正数ｘ恒成立的什么条件?解析㊀设命题ｐ㊁ｑ分别对应集合Ｍ㊁Ｎꎬ函数ｆ(ｘ)＝ｘ３＋２ｘ２＋ｍｘ＋１在Ｒ上单调增⇔导函数ｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２＋４ｘ＋ｍȡ０恒成立⇔Δ＝１６－１２ｍɤ０⇔ｍɪ４３ꎬ＋ɕ[öø÷ꎬ即Ｍ＝４３ꎬ＋ɕ[öø÷.不等式ｍȡ８ｘｘ２＋９对任意的正数ｘ恒成立⇔ｍȡ８ｘｘ２＋９æèçöø÷ｍａｘ＝８ｘ＋９ｘæèççöø÷÷ｍａｘȵｘ＋９ｘȡ２ｘ９ｘ＝６ꎬʑｍȡ４３ꎬ即Ｎ＝４３ꎬ＋ɕ[öø÷.显然Ｍ＝Ｎꎬʑｐ是ｑ的充要条件.㊀㊀三㊁传递法１.若ｐ是ｑ的充分条件ꎬｑ是ｒ的充分条件ꎬ则ｐ是ｒ的充分条件ꎻ２.若ｐ是ｑ的必要条件ꎬｑ是ｒ的必要条件ꎬ则ｐ是ｒ的必要条件ꎻ３.若ｐ是ｑ的充要条件ꎬｑ是ｒ的充要条件ꎬ则ｐ是ｒ的充要条件.例３㊀若甲是乙的必要不充分条件ꎬ丙是乙的充要条件ꎬ试判断丙是甲的什么条件.解析㊀ȵ甲是乙的必要不充分条件ꎬʑ甲⇒/乙ꎬ乙⇒甲ꎬ又ȵ丙是乙的充要条件ꎬ即丙⇔乙ꎬʑ丙⇒甲ꎬ甲⇒/丙ꎬʑ丙是甲的充分不必要条件.点评㊀对于看上去较复杂的关系ꎬ常用⇒㊁⇐㊁⇒/等符号进行传递ꎬ画出它们的综合结构图ꎬ可降低解题难度ꎬ直观快捷形象.练习３㊀已知ｐ是ｒ的充分不必要条件ꎬｓ是ｒ的必要条件ꎬｑ是ｓ的必要条件ꎬ那么ｐ是ｑ的什么条件?解析㊀依题意有:ｐ⇒ｒꎬｒ⇒ｓꎬｓ⇒ｑꎬʑｐ⇒ｒ⇒ｓ⇒ｑ.又ȵｒ⇒/ｑꎬʑｑ⇒/ｐ.ʑｐ是ｑ的充分不必要条件.㊀㊀四㊁等价命题法由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性ꎬ因而ꎬ当判断原命题真假比较困难时ꎬ可转化为判断它的逆否命题的真假ꎬ这就是常说的正难则反 .例４㊀设ｐ:ｘ－１－２<１ꎬｑ:ｘ－２ｘ２＋ｘ－２>０ꎬ试判断¬ｐ是¬ｑ的什么条件.解析㊀设命题ｐ㊁ｑ分别对应集合Ｐ㊁Ｑꎬ则Ｐ＝ｘ－２<ｘ<０ꎬ或２<ｘ<４{}ꎬＱ＝ｘ－２<ｘ<１ꎬ或ｘ>２{}.ȵＰ⊄Ｑꎬʑｑ是ｐ的必要不充分条件ꎬʑ¬ｐ是¬ｑ的必要不充分条件.点评㊀由于原命题与逆否命题等价ꎬ逆命题与否命题等价ꎬ因此ꎬ对于那些带有否定性的命题ꎬ可先转化为它的等价命题ꎬ再进行判断ꎬ体现等价转化的思想ꎬ培养思维的灵活性.练习４㊀已知条件ｐ:ｘ＋ｙʂ－２ꎬ条件ｑ:ｘꎬｙ不都为－１ꎬ试判断ｐ是ｑ的什么条件.解析㊀直接判断比较困难ꎬ考虑采用原命题与逆否命题同真假的方法.等价的逆否命题为若ｘꎬｙ都为－１ꎬ则ｘ＋ｙ＝－２ ꎬ显然成立ꎬʑｐ是ｑ的充分而不必要条件.总之ꎬ条件充要性的判定是高中课程中很重要的知识ꎬ高考经常进行考查ꎬ我们在备考时一定要熟练掌握四种基本判断方法:定义法㊁集合法㊁传递法㊁等价命题法.同时由于条件充要性的判定在出题时很容易与其他知识进行交汇考查ꎬ所以我们有必要夯实基础ꎬ适当增加训练量ꎬ以到达稳步拿分的理想状态.㊀㊀参考文献:[１]黄中.充要条件经典题型解析[Ｊ].中学生数理化(高二版)ꎬ２０１０(１０):１５.[２]吴纲华.高中数学充要条件教学三误区[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１５(１８):４１.[３]杨鲜枝ꎬ张生. 充要条件教学设计[Ｊ].中国数学教育ꎬ２０１９(１２):３－６.[责任编辑:李㊀璟]９６。

《充分条件、必要条件》集合与常用逻辑用语

《充分条件、必要条件》集合与常用逻辑用语汇报人：日期:•集合与常用逻辑用语概述•充分条件•必要条件•充分条件与必要条件的联系与区别•集合与充分条件、必要条件的应用目录01集合与常用逻辑用语概述由具有某种特定性质的元素组成的整体，称为集合。

集合元素子集集合中的每一个成员称为元素。

如果一个集合中的每一个元素都是另一个集合中的元素，那么称这个集合为另一个集合的子集。

03集合的基本概念0201集合的基本概念如果一个集合是另一个集合的子集，但并非等于另一个集合，则称这个集合为真子集。

真子集并集交集补集将两个或多个集合中的所有元素组合在一起，形成一个新的集合，称为并集。

在两个或多个集合中共有的元素组成的集合，称为交集。

在全集中去掉一个或多个集合的所有元素后，剩余的元素组成的集合，称为补集。

常用逻辑用语简介01命题用语言表述一个事实或观点，称为命题。

02真命题如果一个命题符合实际情况，称为真命题。

03假命题如果一个命题不符合实际情况，称为假命题。

04充分条件如果一个条件成立，可以导致另一个条件成立，则称这个条件为充分条件。

05必要条件如果一个条件的成立必须依赖于另一个条件，则称这个条件为必要条件。

06充分必要条件如果一个条件既是充分条件又是必要条件，则称这个条件为充分必要条件。

02充分条件在计算机科学中，充分条件通常指一个程序的输入能够完全确定程序的输出，而不依赖于其他任何输入或程序的状态。

充分条件的定义充分条件又称“充分条件”或“充足条件”，指的是在逻辑推理中，只要有这个条件就足以推导出结论，无需考虑其他条件。

在数学中，充分条件指的是如果有一个集合A，使得集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么称A是B的充分条件。

充分条件的分类充分条件的分类主要有以下几种充分条件归纳判断：指的是在某个时间点或某个事件发生之前，如果有多个事件发生，则可以推导出另一个事件一定会发生。

充分条件假言判断：指的是在某个时间点或某个事件发生之前，如果有某个事件发生，则可以推导出另一个事件一定会发生。

充分条件,必要条件,充要条件模板

名师导引:Δ=b2-4ac 与方程有何关系?当 Δ=0,Δ>0 或 Δ<0 时一元二次方程的根的情况如何?(可利用 Δ=b -4ac 的值判断方程根的情况,Δ=0 方程有两相等实根;Δ>0 方程有两不等实根;Δ<0 方程无实根) 解析:①对,Δ≥0⇔方程 ax2+bx+c=0 有实根;
2
②对,Δ=0⇒方程 ax +bx+c=0 有实根; 2 ③错,Δ>0⇒方程 ax +bx+c=0 有实根,但 2 ax +bx+c=0 有实根 Δ>0; 2 ④对,Δ<0⇔方程 ax +bx+c=0 无实根.故选 D.
即 1<a≤2 或 a≥10 是方程有两个正根的充要条件.
【例 2】求证:关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个
负实根的充要条件是 m≥2. 证明:(1)充分性: 因为 m≥2, 所以 Δ=m2-4≥0. 所以 x +mx+1=0 有实根,两根设为 x1、x2. 由韦达定理,知 x1x2=1>0, 所以 x1 与 x2 同号. 又 x1+x2=-m≤-2<0, 所以 x1,x2 同为负实数, 2 即 x +mx+1=0 有两个负实根的充分条件是 m≥2.
充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件充要条件 1.2.2
【课标要求】
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义. 2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 3.会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、系或进行充要性的证明.
充分条件、必要条件、充要条件的应用

充分条件与必要条件充要条

1．充要条件整体设计教材分析《充要条件》是高中数学教材中的重要内容，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考的热点．由于本节内容涉及对概念下概念和运用概念进行推理，因此需要全面的把握概念；本节教材是在给出了充分条件，必要条件的概念的基础上，导出了充要条件的概念．由于这节课概念性、理论性较强，内容相对照较抽象，学生较难明白得和把握，因此一样的教学方式容易使学生感到枯燥乏味．为此，教材紧密结合了已学过的数学实例和生活实例导出概念，幸免了空泛地讲数学概念、思想、方式．始终以学生为主，让学生在自我试探、彼此交流中去总结概念、“下概念”，去体会概念的本质属性，同时结合问题激发学生的学习爱好，引发学生探讨的好奇心．课时划分1课时教学目标知识与技术(1)明白得充要条件的概念，了解充分而没必要要条件，必要而不充分条件，既不充分也没必要要条件的概念；(2)学会对命题进行充分没必要要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也没必要要条件的判定；(3)通过学习，使学生明白得对条件的判定应该归结为判定命题的真假．进程与方式在观看、试探、解题进程中，培育学生思维的周密性品质；在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维能力，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础．情感、态度与价值观激发学生的学习热情和学生的求知欲，培育严谨的学习态度和踊跃进取的精神．重点难点教学重点：明白得充要条件的概念；学会对命题进行充要性的判定；教学难点：充分性与必要性的推导顺序及充要条件的证明．教学过程引入新课温习提问：1．什么叫做p是q的充分条件？什么叫做q是p必要条件？请说出“p q”的含义．2．指出以下各组命题中，p q 及q p是不是成立：(1)p：内错角相等；q：两直线平行．(2)p：三角形三边相等；q：三角形三个角相等．活动设计：让学生稍作试探，以提问的形式回忆相关知识．学情预测：对问题1，通过上节课的学习学生能够顺利回答充分条件与必要条件的概念，但对符号“p q”的含义，学生可能回答不够严谨，教师给予补充完善．活动结果：(1)一样的，“假设p，那么q”为真命题，，咱们就说，由p可推出q，记作p q，而且说p是q的充分条件；同时q是p的必要条件．“p q”的含义指由p通过推理能够得出q.(2)问题2中的两个命题都有p q及q p成立，即原命题和逆命题都是真命题．设计用意：引导学生从熟悉的知识动身，发觉新问题、新知识．探讨新知提出问题问题1：请同窗们举出形如“假设p，那么q”形式的命题的例子，且原命题和逆命题都是真命题．活动设计：学生先口答，教师板书．学情预测：学生的回答可能不满是原命题和逆命题都是真命题的例子，教师要帮忙学生加以甄别．问题2：关于命题“假设p，那么q”，具有p q及q p成立，即原命题和逆命题都是真命题．那么p是q的什么条件？q是p的什么条件呢？活动设计：学生先独立试探，然后学生分小组讨论，教师适时介入全班引导．活动结果：上述问题中，p q，p是q的充分条件，q是p的必要条件．另一方面q p，q是p的充分条件，p是q的必要条件．教师(板书)：充要条件的概念：一样的，若是既有p q，又有q p，就记作p，咱们说，p是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，若是p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．归纳地说，若是p q，那么p与q互为充要条件．设计用意：充要条件的概念与原命题和逆命题真假的判定，和具有“假设p，那么q”形式的命题真假的判定是分不开的，因此充要条件的概念引入结合了具体命题真假的判定，以加深明白得．明白得新知1以下各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；(2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；(3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c.思路分析：要判定p是不是是q的充要条件，就要看p可否推出q，同时看q可否推出p，二者必需同时成立．解：在(1)(3)中，p q，因此(1)(3)中的p是q的充要条件．在(2)中，尽管有p q，可是q p，因此(2)中的p不是q的充要条件．点评：充要条件的判定方式：若是“假设p，那么q”与“假设q，那么p”都是真命题，那么p确实是q的充要条件，不然不是．说明：(1)符号“”叫做等价符号．“p q”表示“p q且q p”；也表示“p 等价于q”．(2)“充要条件”有时还能够改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”“仅当”表示“必要”．巩固练习对任意实数a，b，c，给出以下命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的个数是…()A．1 B．2 C．3 D．4答案：B提出问题：在“假设p，那么q”形式的命题中，有的p是q的充分条件，有的p既是q的充分条件又是必要条件，可否对存在的各类情形作分类？对存在的各类情形结合下面的试探题加以说明．试探：以下各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：x是6的倍数，q：x是2的倍数；(2)p：x是2的倍数，q：x是6的倍数；(3)p：x是2的倍数，也是3的倍数，q：x是6的倍数；(4)p：x是4的倍数，q：x是6的倍数．活动设计：学生随着教师的引导，试探问题、回答下列问题、合理地对数学命题进行分类．学情预测：学生踊跃试探，结合试探题进行分类，但分类标准不唯一，可能显现多种分类方式，现在教师结合试探题踊跃引导．活动结果：分析总结取得四种情形(1)p是q的充要条件；(即p q)(2)p是q的充分但没必要要条件；(即p q且q p)(3)p是q的必要但不充分条件；(即p q且q p)(4)p是q的既不充分也没必要要条件．(即p q且q p)设计用意：通过以上这些问题的讨论，能够进一步加深对充分条件、必要条件、充要条件的明白得．运用新知2已知：⊙O的半径为r，：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．思路分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要别离证明充分性(p q)和必要性(q p)即可．证明：如下图，作OP⊥l于点P，那么OP＝d.(1)充分性(p q)：假设d＝r，那么点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)△OPQ中，OQ>OP＝r.因此，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙⊙O相切．(2)必要性(q p)：假设直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，那么OP⊥l.因此d＝OP＝r.点评：(1)证明充要条件时，既要证明原命题成立，又要证明逆命题成立．(2)证明原命题成立，即证明命题条件的充分性；证明原命题的逆命题成立，即证明命题条件的必要性．(3)证明充要条件时，第一要明确命题的条件和结论别离是什么，即命题的要求是什么．变练演编3判定以下各组命题中，p是q的什么条件：(1)p：x>5；q：x>－1；(2)p：x>－1；q：x>5；(3)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x－2＝0；(4)p：x ＝±1；q：x2－1＝0.思路分析：依照充分条件、必要条件、充要条件的概念，一一进行判定．解：(1)p是q的充分但没必要要条件；(2)p是q的必要但不充分条件；(3)p是q的必要但不充分条件；(4)p是q的充要条件．点评：四种“条件”的情形反映了命题的条件与结论之间的因果关系，因此在判按时应该：(1)确信条件是什么，结论是什么；(2)尝试从条件推出结论，从结论推出条件(方式有：直接证法或间接证法)；(3)确信条件是结论的什么条件；(4)充要性包括：充分性p q，必要性q p，这两个方面缺一不可．提出问题：试探以下问题：(1)将例3的第(3)题p：(x－2)(x－3)＝0；q：x－2＝0中的所有“＝“换成“＞”，会有如何的结果？(2)同上，如假设换成“≠”会有如何的结果？活动设计：引导学生适当改变题目的条件和结论，进行一题多变，学生自己设计题目进行研究，将所有发觉的结果一一列举，熟练充要条件的判定方式．活动结果：(1)p 是q 的既不充分也没必要要条件．(2)p 是q 的充分但没必要要条件．达标检测1．假设集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件2．以下各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m ＜－2或m ＞6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点．②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f(x)是偶函数． ③p ：cosα＝cosβ；q ：tanα＝tanβ.④p ：A ∩B ＝A ；q ：U B U A.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．有限集合S 中元素的个数记做card(S)，设A ，B 都为有限集合，给出以下命题： ①A ∩B ＝的充要条件是card(A ∪B)＝card(A)＋card(B)；②A B 的必要不充分条件是card(A)≤card(B)；③A B 的充分没必要要条件是card(A)≤card(B)；④A ＝B 的充要条件是card(A)＝card(B)．其中真命题的序号是( )A ．③④B ．①②C ．①④D ．②③答案：课堂小结1．知识收成：(1)充要条件的概念：假设p q 且q p ，那么p 是q 的充要条件．(2)判定p 是q 的什么条件，不仅要考查p q 是不是成立，还要考查q p 是不是成立．2．方式收成：(1)判定p q 是不是成立，方式1：判定假设p 那么q 形式命题的真假．方式2：假设p 那么q 形式命题真假难判按时，判定其逆否命题的真假．方式3：集合的观点．(2)证明充要条件，需证明充分性(p q)和必要性(q p)．3．思维收成：体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，养成严谨缜密的思维适应．布置作业讲义习题 A 组 3(2)(4)，4补充练习基础练习1．设M ，N 是两个集合，则“M ∪N ≠”是“M ∩N ≠”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又没必要要条件2．设p ，q 是两个命题，p ：log 12(|x|－3)＞9，q ：x 2－56x ＋16＞0，那么p 是q 的…( ) A ．充分而没必要要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件3．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件4．设集合M ＝{x|0＜x ≤3}，N ＝{x|0＜x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件答案：拓展练习5．设p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，问(1)s 是r 的什么条件？(2)p 是q 的什么条件？答案：(1)s 是r 的充要条件；(2)p 是q 的必要条件．设计说明设计思想由于这节课概念性、理论性较强，因此要多借助学生熟悉的实例去帮忙学生明白得概念；另外本节用符号语言表述数学命题也增加了学习的难度，要在用的进程中，慢慢提高学生对数学语言、符号语言的转换能力．设计用意用类比的方式，将有些概念进行类比，以便更好地明白得和运用；同时还要用联系的观点去熟悉相关知识，用集合的观点去明白得相关概念，以此提高学生分析问题和解决问题的能力．设计特点引导学生之前面学习的“充分条件”和“必要条件” 动身，对新知有所熟悉．结合学生熟知的原命题与逆命题真假的判定归纳出新知识的特点，同时在应用新知的进程中，将所学的知识层次化，体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，感受对立统一思想，培育良好的思维品质．备课资料备选例题1．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋mx －1和点A(3,0)，B(0,3)．求证：抛物线C 与线段AB有两个不同的交点的充要条件是3＜m ≤103. 思路分析：要证p 是q 的充要条件，只需要别离证明充分性(p q)和必要性(q p)即可．解：(1)必要性：由已知得，线段AB 的方程为y ＝－x ＋3(0≤x ≤3)．由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，因此方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋mx －1，y ＝－x ＋3(0≤x ≤3)(*)有两个不同的实数解．消元得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0(0≤x ≤3)．设f(x)＝x 2－(m ＋1)x ＋4，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(m ＋1)2－4×4＞0，f (0)＝4≥0，f (3)＝9－3(m ＋1)＋4≥0，0＜m ＋12＜3，解得3＜m ≤103. (2)充分性：当3＜m ≤103时， x 1＝m ＋1－(m ＋1)2－162＞m ＋1－(m ＋1)22＝0，因此x 1＞0. x 2＝m ＋1＋(m ＋1)2－162≤103＋1＋(103＋1)2－162＝3，因此x 2≤3. 因此方程x 2－(m ＋1)x ＋4＝0有两个不等的实根x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2≤3，方程组(*)有两组不同的实数解．因此，抛物线y ＝－x 2＋mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件是3＜m ≤103. 点评：证明充要条件时，要分清充分性是证明如何一个式子成立，即当3＜m ≤103时，证明抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点；必要性是证明如何一个式子成立，即当抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点时，证明：m 的取值范围是3＜m ≤103. 2．已知p ：|1－x －12|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．思路分析：p 是q 的必要而不充分条件，即p 是q 的充分而没必要要条件，从集合的角度可知集合P 是集合Q 的真子集．解： (法一)：∵p 是q 的必要而不充分条件，∴q 是p 的必要而不充分条件．∴p 是q 的充分而没必要要条件．由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m(m>0)，∴q ：Q ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．又由|1－x －13|≤2，得－2≤x ≤10. ∴p ：P ＝{x|－2≤x ≤10}．又∵p 是q 的充分而没必要要条件，∴P Q ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ≥10. 解得m ≥9.(法二)：由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m.∴q ：A ＝{x|x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}由|1－x －13|≤2，得－2≤x ≤10. ∴p ：B ＝{x|x ＞10或x ＜－2}．∵p 是q 的必要而不充分条件，∴A B ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.点评：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一样地，在涉及求字母参数的取值范围的充要条件问题中，常常要利用集合的包括、相等关系来考虑．(设计者：赵海彬)。

怎样利用集合关系探究充要条件

利用集合思想探究一类充要条件问题陈凌宗平芬六盘水市第一中学 553002数学思维活动中，探究命题的充要条件有极为重要的数学思维价值，这是因为充要条件与等价转化思想如同孪生兄弟，而等价转化思想的广泛应用可将待证（待解）数学问题转化为与之等价的易证（已解）问题。

数学关系中的各种充要条件的应用，是实现这种转化的基本手段。

集合思想早已渗透到现代数学研究的各个领域，它也就很自然地成为探索各种充要条件的基础。

对于那些可以转化为集合关系的充要条件问题，若能用好集合思想，则能简化思维过程，提高思维效率。

并能有效避免对原命题及相应的四种命题形式进行繁琐的转化和过多的（有时甚至是不必要）真假判定，这对于初涉充要条件问题的学生，有更积极的意义。

引导学生探究集合思想在充要条件问题中的应用，对提高学生探索充要条件的能力将大有帮助。

一、子集，真子集及相等集合关系中所所蕴含的充要条件问题首先，从子集关系理解充分条件与必要条件，是指：对于集合A 、B ，若B A ⊆，则“A x ∈”是“B x ∈”的充分条件，同时称“B x ∈”是“A x ∈”的必要条件。

其次，将充要条件问题以集合思想表现出来，是指：① 当B A =时，“A x ∈”是“B x ∈”的充分且必要条件； ② 当A B 时（真子集），“A x ∈”是“B x ∈”的充分不必要条件；同时，称“B x ∈”是“A x ∈”的必要不充分条件；③ 若上述条件都不成立，则称“B x ∈”是“A x ∈”的既不充分也不必要条件。

二、将充要条件问题以集合关系表现出来，这是用集合关系探究数学知识中的各种充要条件问题的基础，如：探索方程或不等式的解集，即是求方程或不等式成立的充要条件；直角坐标系下的曲线交点问题的求解过程，也就是探索以对应的方程组的解集为其充要条件的过程。

对于条件p 与结论q ，若“p 真”等价于集合})(|{真x p x A =，“q 真”等价于集合})(|{真x q x B =，则条件p 与结论q 的关系可通过集合B A ,之间的集合关系来体现：① 当B A =时，条件p 是结论q 的充分且必要条件；② 当A B 时，条件p 是结论q 的充分但不必要条件；③ 当A B 时，条件p 是结论q 的必要但不充分条件；④ 若在上述情况之外，则条件p 是结论q 的称为既不充分也不必要条件。

关于“充分、必要条件”的几点思考

充分、必要条件是中学数学里的一个重要的逻辑概念，“充分条件与必要条件”作为数学语言来学习，不仅可使学生及早地接触它们，增加使用的机会，更重要的是可以使学生更好地理解和掌握“等价转化”的数学思想，为后续学习奠定理论基础。

正确地理解好充分条件、必要条件、必要而非充分条件、充分而非必要条件、充要条件，可以迅速清楚地看出命题的条件和结论之间的关系，准确地判断出命题的正误，纠正错误的命题，证明正确的命题，经常运用充分、必要条件分析问题，能培养思维的严密性、逻辑性。

学习“充分、必要条件”应注意以下几点：掌握充分、必要、充要条件的概念
在命题“若则”中，是条件，是结论。

如果，则是的充分条件，的必要条件；
如果，则是的充要条件，也是的充要条件。

上述意义可从以下两方面理解：
1．明确充分、必要、充要条件不一定都是唯一的
例如：（1）是的充分条件，也是的充分条件。

（2）是的充分条件，也是的充分条件。

（3）≌的必要条件，可以是，也可以是对应边上的高相等。

（4）“四边形是平行四边形”的充要条件可以是“两组对边分别平行”，也可以是“对角线互相平分。

”
2．学会判定充分、必要条件的双重性
由或，前者是后者的充分条件，反
之，由或，前者是后者的必要条件，所以，
或，前者是后者成立的充要条件，后者也
是前者成立的充要条件。

借助四种命题之间的关系，可以迅速准确地判断一个命题是否具有充分、必要条件的双重性。

（1）原命题与逆命题同时成立，该命题的条件与结论互为充要条件。

（2）原命题与否命题同时成立，该命题的条件与结论互为充要条件。

四种条件与集合间的包含关系

四种条件与集合间的包含关系四种条件是指充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件，建立与p 、q 相应的集合，即{}{})(:,)(:x q x B q x p x A p ==四种条件与集合间的包含关系如下：1、充分必要条件若q q p 但,⇒≠>p ，则p 是q 的充分不必要条件。

从集合间的包含关系看B A ⊄例1 已知)0(012:,102:22>≤-+-≤≤-m m x x q x p ，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。

思路点拨：先求不等式的解集，然后根据充分不必要条件的意义建立不等式组求解即可。

解：102:≤≤-x p 设集合{}102≤≤-=x x A由)0(01222>≤-+-m m x x 得)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x)0(11:>+≤≤-∴m m x m q 设集合{})0(11>+≤≤-=m m x m x B的充分不必要条件是p q ΘA B ⊄∴ ⎩⎨⎧≤+->-⎩⎨⎧<+-≥-∴101211012m 1m m m 或解得 33<≤m m 或3≤∴m 又0>m所求实数m 的取值范围为30≤<m2、必要不充分条件若p p q 但,⇒≠>q ，则p 是q 的必要不充分条件。

从集合的包含关系看A B ⊄ 例2 已知0541:,325:2>-+>-x x q x p ，求p 是q 的什么条件？思路点拨：先求不等式的解集，然后根据p 、q 相应的集合间的包含关系确定p 是q 的什么条件。

解：由325>-x 得 325325-<->-x x 或511:-<>∴x x p 或记⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>=511x x x A 或由032032122>-+>-+x x x x 得即0)3)(1(>+-x x{}31-<>=∴x x x B 或A B ⊄∴∴P 是q 的必要不充分条件3、充要条件若p q q p ⇒⇒且,则p 是q 的充要条件。

怎样理解充分条件、必要条件和充要条件

怎样理解充分条件、必要条件和充要条件充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念，准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题，可以使同学们养成严谨的思维品质，提高大家的逻辑思维能力。

怎样理解这三个概念呢？1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系（条件关系），是条件对于结论成立的作用。

谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时，这个命题必须是确定的。

2. 充分条件的特征是“有之必然，无之未必不然”，即对于给定的命题“若A则B”，有了条件A，结论B一定成立（）；没有条件A，结论B未必不成立，也有可能成立。

这样的条件A就是结论B的充分条件。

例如，在命题“若x>0，则”中，有了条件“x>0”，就一定有结论“ ”成立。

把条件“x>0”换成“ ”或“ ”，仍有结论“ ”成立。

因此条件“ ”是结论“ ”的充分条件。

教材中由“ ”定义“p 是q的充分条件”，说的就是命题“若p则q”中条件p对于结论q 成立的作用。

3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A则B”，没有条件A，结论B一定不成立（）；但是有了条件A，结论B却未必一定成立。

这样的条件A就是结论B的必要条件。

例如，在命题“若”中，没有条件“ ”，就一定不会有结论“ ”。

但是有了条件“ ”，却未必有结论“ ”，还有可能是。

因此条件“ ”是结论“ ”的必要条件。

利用“ ”判断条件A是结论B的必要条件，有时是很困难的。

我们可以利用“ ”的等价命题“ ”来判断，但一定要注意A还是条件，B还是结论，即若由结论B能推出条件A，则条件A对于结论B的成立是必要的。

教材中由“ ”定义“q是p的必要条件”，说的就是命题“若q则p”中条件q对于结论p成立的作用（）。

4. 充要条件的特征是“有之必然，无之必不然”，即对于给定的命题“若A则B”，有了条件A，结论B一定成立（）；没有条件A，结论B一定不成立（即）。

浅谈充分条件与必要条件

课程篇充分条件与必要条件在整个高中的教学中起着非常重要的作用。

表现在2016年的考纲上明确指出要理解充分条件与必要条件的意义。

因此学好充分条件与必要条件对整个高中的学习都是至关重要的。

一、充分条件与必要条件的有关概念1.充分条件与必要条件一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，记作：p ⇒q 。

并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件说明：①这里所谓“充分”，即要使q 成立，只要有p 成立就足够了；所谓“必要”，即q 是p 成立的必不可少的条件。

②通常：若p ⇒q ，且p ，则称p 是q 的充分不必要条件；若q ，且q ⇒p ，则称p 是必要不充分条件。

③“p 是q 的充分条件”与“p 是q 的充分不必要条件”是不一样的，因为前者中的p 是否为q 的必要条件并不确定；“p 是q 的必要条件”与“p 是q 的必要不充分条件”不一样，因为前者中的p 是否为q 的充分条件并不确定。

④“p 是q充分条件”指的是“q ”，“p 是q 的不必要条件”可认为：“p ”。

⑤若p 是充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是r 的充分条件。

若p 是q 的必要条件，q 是r 的必要条件，则p 是r 的必要太难。

这说明它们具有传递性。

2.充要条件一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，我们说p 是q 的充分不必要条件，简称充要条件。

显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件。

说明：①概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件。

②若q ，且p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件。

二、充分条件与必要条件的判断方法1.定义法：直用定义进行判断若p ⇒q ，且p ，则p 是q 的充分不必要条件。

若q,且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件。

若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件。

若q ，且p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件。

注意：①充要条件的叙述常用“当且仅当”“必须且只需”等语句表示。

充分条件和必要条件之间的集合关系

充分条件和必要条件之间的集合关系在日常生活中，大家肯定听说过“充分条件”和“必要条件”这些词。

乍一听，觉得有点复杂，其实就像我们平时说的“吃饭要有米，米是吃饭的必要条件”，没米的话，想吃饭就难了。

但如果咱们有了米，能吃饭吗？这个时候就涉及到充分条件了。

简单来说，米是必要条件，但我们还需要火、锅、调料，这些都是让饭好吃的“充分条件”。

所以，你看，必要条件就像是基础，没有它，其他的都无从谈起，而充分条件则是锦上添花，少了它，可能饭也能吃，但没那么香。

想象一下，你在家准备大餐。

得有材料，这材料就是必要条件。

缺了材料，想做饭就没戏。

但咱们还要调料、火候，这些是让菜肴更美味的充分条件。

你有了米和水，但没火，你就只能看着米泡在水里，满心期待却无能为力，这样多无奈啊。

其实生活中也一样，我们常常需要两者的配合。

比如，考试要及格，必要条件是你得学习，但如果你只学习而不复习，最后结果也不一定理想，这时候就需要充分条件的助力。

说到这里，咱们可以进一步探讨这两者之间的关系。

有些人可能会觉得，必要条件和充分条件就是一对冤家，实际上，它们更像是一对形影不离的好朋友。

你想要成功，必要条件是你得努力，但如果没有计划，那努力再多也是“瞎忙活”。

所以说，想要结果好，得让这两者一起发力。

你看，有时候成功真的需要点运气，但更多的时候，靠的是策略和努力的结合。

那些“只靠运气”的人，最终也得面对现实。

人们常说：“不怕慢，就怕站”，这句话简直说到点子上。

再比如说，爱这件事，想追一个人，必要条件是要有吸引力，这吸引力可以是外貌，也可以是内涵。

但如果你没有表现出来，那就像埋在土里的宝石，永远不会被人发现。

这个时候，表现出来的机会就成了充分条件。

你得主动出击，给对方一个“哇”的惊艳，不然人家怎么知道你的好呢？做事也一样，光有想法可不行，得实际行动才能落到实处。

这种关系在我们生活中随处可见。

就像开车一样，安全带是必要条件，但车速和路况的好坏就是充分条件。

a是b的必要不充分条件的集合关系

一、引言在集合论中，集合A是集合B的必要不充分条件，意味着如果B成立，则A一定成立，但A成立并不能保证B一定成立。

换句话说，集合A是集合B的子集，但不是B的完全包含。

这种集合关系在数学、逻辑学、经济学等领域都有广泛的应用。

二、必要不充分条件的定义1. 必要条件：若A是B的必要条件，则B成立时，A一定成立。

用逻辑表达式表示为：B→A。

2. 充分条件：若A是B的充分条件，则A成立时，B一定成立。

用逻辑表达式表示为：A→B。

3. 必要不充分条件：若A是B的必要不充分条件，则B成立时，A一定成立，但A 成立并不能保证B一定成立。

用逻辑表达式表示为：B→A，且A→B不成立。

三、集合关系的举例1. 数学中的例子（1）若一个数是偶数，则它一定是整数。

这里，“偶数”是“整数”的必要条件，但不是充分条件。

因为整数可以是奇数，而奇数不是偶数。

（2）若一个数是正数，则它一定是实数。

这里，“正数”是“实数”的必要条件，但不是充分条件。

因为实数可以是负数或零。

2. 逻辑学中的例子（1）若一个命题是重言式，则它一定是永真式。

这里，“重言式”是“永真式”的必要条件，但不是充分条件。

因为永真式可以是矛盾式。

（2）若一个命题是矛盾式，则它一定是重言式。

这里，“矛盾式”是“重言式”的必要条件，但不是充分条件。

因为重言式可以是永真式。

四、必要不充分条件在实际应用中的体现1. 经济学中的例子（1）若一个国家是发达国家，则它一定是市场经济国家。

这里，“发达国家”是“市场经济国家”的必要条件，但不是充分条件。

因为市场经济国家可以是发展中国家。

（2）若一个企业是上市公司，则它一定是股份有限公司。

这里，“上市公司”是“股份有限公司”的必要条件，但不是充分条件。

因为股份有限公司可以是有限责任公司。

2. 逻辑推理中的例子（1）若一个命题是有效的，则它的逆否命题也是有效的。

这里，“有效”是“逆否命题有效”的必要条件，但不是充分条件。

因为逆否命题可以是无效的。

充分条件和必要条件集合关系洋葱数学

【引言】洋葱数学是一种数学上的概念，它描述了充分条件和必要条件之间的集合关系。

在数学领域中，充分条件和必要条件是非常重要的概念，它们在逻辑推理和数学证明中起着至关重要的作用。

本文将对充分条件和必要条件的集合关系以及洋葱数学进行详细的介绍和分析。

【正文】1. 充分条件和必要条件的定义充分条件和必要条件是逻辑推理中常用的概念，它们用来描述一个命题成立的条件。

具体地说，如果某个条件是一个命题成立的必要条件，那么这个条件成为这个命题的必要条件；如果某个条件是一个命题成立的充分条件，那么这个条件成为这个命题的充分条件。

举例来说，对于命题“一个数是偶数的充分必要条件是它能被2整除”，在这个命题中，“能被2整除”就是这个命题的充分条件，也是它的必要条件。

2. 充分条件和必要条件的集合关系在数学中，充分条件和必要条件之间的关系可以用集合论来描述。

通常情况下，充分条件和必要条件是不同的，它们分别构成两个集合。

如果一个条件同时是一个命题的充分条件和必要条件，那么这个条件将同时属于这两个集合。

这种关系可以用集合的交和并的概念来表达，即两个集合的交集表示它们的共有元素，而两个集合的并集表示它们的所有元素的集合。

用数学符号表示，设A为一个命题的充分条件的集合，B为一个命题的必要条件的集合，则A∩B表示A和B的共有元素的集合，A∪B表示A和B的所有元素的集合。

通过集合的交和并的概念，我们可以更清晰地理解充分条件和必要条件之间的集合关系。

3. 洋葱数学的概念洋葱数学是一个描述充分条件和必要条件之间集合关系的概念。

在洋葱数学中，我们把充分条件和必要条件分别看作两个集合，并把它们的关系比喻成洋葱的结构。

具体来说，我们把充分条件和必要条件分别看作两个集合，在一定情况下，它们会有一部分共有的元素，这部分共有的元素构成了“洋葱”的中心，而充分条件和必要条件各自的非共有元素构成了“洋葱”的不同层次，形成了一种由内而外的结构。

4. 洋葱数学的应用洋葱数学在数学推理和证明中有着重要的应用价值。

充分条件必要条件与集合的关系

充分条件必要条件与集合的关系充分条件和必要条件是数学中常见的概念，它们与集合的关系密切。

在这篇文章中，我们将探讨充分条件和必要条件的含义，并讨论它们与集合的关系。

我们来了解一下充分条件和必要条件的概念。

在数学中，充分条件是指一个命题的成立所需要的条件，而必要条件则是指一个命题成立所必须具备的条件。

换句话说，充分条件是命题的条件部分，必要条件是命题的结论部分。

考虑一个简单的例子：如果一个数是偶数，则它可以被2整除。

在这个例子中，"一个数是偶数"是充分条件，"它可以被2整除"是必要条件。

也就是说，如果一个数是偶数，那么它一定可以被2整除（充分条件）；而如果一个数可以被2整除，那么它一定是偶数（必要条件）。

接下来，我们将讨论充分条件和必要条件与集合的关系。

在集合论中，我们可以将充分条件和必要条件看作集合之间的关系。

具体来说，充分条件可以看作是某个集合的子集，而必要条件则可以看作是某个集合的超集。

例如，考虑一个集合A，其中包含所有偶数。

那么"一个数是偶数"这个命题的充分条件就是集合A，因为所有偶数都属于集合A。

而"一个数可以被2整除"这个命题的必要条件是集合A的超集，因为除2以外，还有其他的数也可以被2整除。

在实际问题中，我们经常需要通过充分条件和必要条件来判断某个命题的真假。

如果一个命题的充分条件成立，那么我们可以得出结论命题也成立；而如果一个命题的必要条件不成立，那么我们可以得出结论命题不成立。

举个例子，假设我们要判断一个人是否是学生。

我们知道，如果一个人是学生，那么他必须具备"年龄在6岁到18岁之间"这个必要条件。

然而，仅仅满足这个必要条件是不够的，因为还有其他的人也可能满足这个条件（比如教师或家长）。

因此，我们还需要检查其他的充分条件，比如"在学校就读"或"持有学生证"等等。

充分条件、必要条件和充要条件的应用例析

ʏ冉亚利判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题㊂命题一般都可写成若p,则q 形式㊂下面举例分析三种常用逻辑用语充分条件㊁必要条件和充要条件在解题中的应用㊂一㊁充分条件的判断例1(多选题)使a b>0成立的充分条件是()㊂A.a>0,b>0B.a+b>0C.a<0,b<0D.a>1,b>1解:由a>0,b>0,可得a b>0;由a<0, b<0,可得a b>0;由a>1,b>1,可得a b> 0㊂由此可知,A,C,D都是使a b>0成立的充分条件㊂应选A C D㊂评注:若p⇒q,则p是q的充分条件㊂所谓充分条件,就是说条件是充足的㊁条件是足够的㊁条件是足以保证的,即有之必成立,无之未必不成立㊂二㊁必要条件的判断例2(多选题)下列四个式子:①-2< x<2;②-2ɤxɤ2;③0<x<2;④-2<x< 0㊂其中可以是x2<4的一个必要条件的为()㊂A.①B.②C.③D.④解:由x2<4,可得-2<x<2㊂由-2ɤxɤ2,可得-2<x<2㊂应选A B㊂评注:若p⇒q,则q是p的必要条件㊂所谓必要条件,就是说条件是必须有的㊁必不可少的㊁缺其不可的,即有之未必成立,无之必不成立㊂三㊁充分不必要条件的判断例3设四边形A B C D的两条对角线为A C,B D,则四边形A B C D为菱形是 A CʅB D 的条件㊂解:若四边形A B C D为菱形 ,则对角线A CʅB D 成立㊂若对角线A CʅB D 成立,则四边形A B C D不一定为菱形㊂所以四边形A B C D为菱形是 A CʅB D 的充分不必要条件㊂评注:若p是q的充分不必要条件,则p⇒q且q⇒/p㊂四㊁必要不充分条件的判断例4一次函数y=-mn x+1n的图像同时经过第一㊁三㊁四象限的必要不充分条件是()㊂A.m>1,n<-1B.m n<0C.m>0,n<0D.m<0,n<0解:先找出原条件的等价条件再求解㊂由一次函数经过第一㊁三㊁四象限,可得-m n>0,1n<0,ìîíïïïï所以m>0,n<0㊂{题中要求的是必要不充分条件,即满足m n异号即可,应选B㊂评注:若p是q的必要不充分条件,则p⇒/q,且q⇒p㊂五㊁充要条件的判断例5已知a,b是实数,则 a>0且b> 0 是 a+b>0且a b>0 的条件㊂解:由a>0,b>0,可得a+b>0且a b> 0,即充分性成立㊂由a b>0得a与b同号,再由a+b>0得a>0且b>0,即必要性成立㊂故 a>0且b>0 是 a+b>0且a b>0 的充要条件㊂评注:充要条件常用的三种判断方法:①定义法;②利用A⇒B与 B⇒ A,B⇒A与 A⇒ B,A⇔B与 B⇔ A的等价关系;③利用集合间的包含关系,若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件,若A=B,则A是B的充要条件㊂六㊁充要条件的证明例6已知a,b,c均为实数,证明 a c<2 1知识结构与拓展高一数学2022年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.0 是关于x 的方程a x 2+b x +c =0有一正根和一负根的充要条件㊂证明:(充分性)由a c <0,可得a ʂ0,所以方程a x 2+b x +c =0为一元二次方程㊂由a c <0,可得Δ=b 2-4a c ȡ-4a c >0,所以方程a x 2+b x +c =0有两个不相等的实数根,设两根为x 1,x 2㊂由a c <0,可得x 1㊃x 2=ca<0,所以x 1,x 2为一正一负,即方程a x 2+b x +c =0有一正根和一负根㊂(必要性)由方程a x 2+b x +c =0有一正根和一负根,可得a ʂ0,所以方程a x 2+b x +c =0为一元二次方程㊂设两根分别为x 1,x 2,则x 1㊃x 2=ca<0,所以a c <0㊂故 a c <0 是关于x 的方程a x 2+b x +c =0有一正根和一负根的充要条件㊂评注:一般地,证明 p 成立的充要条件为q ,在证充分性时应以q 为已知条件 ,p 是该步中要证明的结论 ,即q ⇒p ;证明必要性时应以p 为已知条件 ,q 为该步中要证明的结论 ,即p ⇒q ㊂七㊁结构不良问题例7 在非空集合①{x |a -1ɤx ɤa },②{x |a ɤx ɤa +2},③{x |a ɤx ɤa +3}这三个条件中任选一个,补充在下面问题中㊂问题:已知集合A =,B ={x |x 2-4x +3ɤ0},使得 x ɪA 是 x ɪB 的充分不必要条件㊂若问题中a 存在,求a 的值;若a 不存在,请说明理由㊂解:由题意知A 不为空集,B ={x |x 2-4x +3ɤ0}={x |1ɤx ɤ3}㊂选择条件①㊂A ={x |a -1ɤx ɤa },由 x ɪA 是 x ɪB 的充分不必要条件,可得A 是B 的真子集,所以a -1ȡ1,a ɤ3,{解得2ɤa ɤ3,即实数a 的取值范围是[2,3]㊂选择条件②㊂A ={x |a ɤx ɤa +2},由 x ɪA 是 x ɪB 的充分不必要条件,可得A 是B 的真子集,所以a ȡ1,a +2ɤ3,{解得a =1,此时A =B ,所以不存在a ,使得 x ɪA是 x ɪB的充分不必要条件㊂选择条件③㊂A ={x |a ɤx ɤa +3},由 x ɪA 是 x ɪB 的充分不必要条件,可得A 是B 的真子集,所以a ȡ1,a +3ɤ3,{解得a ȡ1,a ɤ0,{此时无解,所以不存在a ,使得 x ɪA 是 x ɪB的充分不必要条件㊂评注:数学问题中有结构良好的问题与结构不良问题,结构不良问题需要同学们从诸多现象中通过认真分析,设计出解决问题的方案㊂1.已知x []表示不超过x 的最大整数,如[2.1]=2,[-1.3]=-2,[0]=0㊂若集合A ={y |y =x -[x ]},B ={y |0ɤy ɤm },y ɪA 是y ɪB 的充分不必要条件,则m 的取值范围是㊂提示:由[x ]表示不超过x 的最大整数,可得[x ]ɤx ,0ɤx -[x ]<1,所以集合A ={y |y =x -[x ]}=[0,1)㊂易得y ɪA 是y ɪB 的充分不必要条件,即集合A 是集合B 的真子集,所以m ȡ1,即m ɪ[1,+ɕ)㊂2.若命题p 是命题q :x y >0的充分不必要条件,则p 可以是㊂(写出满足题意的一个即可)提示:当x >0,y >0时,x y >0一定成立,而当x y >0时,可能x >0,y >0,也可能x <0,y <0,所以x >0,y >0是x y >0的充分不必要条件㊂故命题p 可以是:x >0,y >(答案不唯一)㊂3.写出x -2x +1<0的一个必要不充分条件㊂提示:由x -2x +1<0,可得-1<x <2㊂由{x |-1<x <2}⫋{x |x <3},可得x <3满足题意㊂作者单位:湖北省巴东县第一高级中学(责任编辑郭正华)31知识结构与拓展高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

浅谈条件的充分性与必要性

㊀㊀㊀㊀㊀１３４数学学习与研究㊀２０２１２３浅谈条件的充分性与必要性浅谈条件的充分性与必要性Һ王晔平㊀（甘肃省甘谷县西关中学，甘肃㊀天水㊀７４１２００）㊀㊀ʌ摘要ɔ充分性和必要性是一个很重要的数学概念，给数学解题提供了一个很好的手段和方法，也在中学数学中的代数㊁三角㊁几何以及高等数学中经常出现．如何判断是充分条件还是必要条件，要着重抓住充要条件．充要条件实际上是等价条件，但很多学生做题时，只讲究充分性或必要性，容易造成错解或漏解．下面通过几个例子来说明条件的充分性和必要性的判断技巧，使学生有效掌握这一内容．ʌ关键词ɔ中学数学；条件问题；充分与必要条件的充分性与必要性是数学中的重要概念之一，它在中学数学中的代数㊁三角㊁几何以及高等数学中经常出现．但学生对条件是充分的㊁必要的还是充要的不知如何加以判断，为什么会出现这种情况？原因是学生对概念没有掌握．在现行中学教材中对有关条件的充分性与必要性的认识不够系统，有关理论掌握得不够完整，再加上教材中没有具体的判断方法与步骤．本文对充要条件以及和充要条件有关的命题㊁命题的四种形式㊁条件的充分性与必要性的判断方法等内容进行粗浅的讨论．一㊁命㊀题定义：具有判断形式的句子叫作命题．所谓判断形式的句子就是要有肯定或否定形式的语气．如，我们常说的若两个角是对顶角，则这两个角相等，这就是用肯定的语气叙述的一个命题，它包含了两部分，若，则．这里若是条件，则是结论．也就是说命题是由具有条件和结论的条件句所组成，可表示为若Ａ，则Ｂ的形式，这里Ａ是条件，Ｂ是结论．上例叙述的语气是肯定形式的语气，还可以用否定形式的语气来叙述就得到另一个命题．如若两个角不是对顶角，则这两个角不相等，这便是一个用否定形式的语气叙述的命题，可记为若Ａ，则Ｂ的形式，它对前一命题来说是否命题，再将它们的条件和结论交换位置又可得到两个命题．因此命题有四种形式，如下图．命题的基本性质是它要么是真，要么是假，不能同时是真又是假．由命题的基本性质知道命题又有真假之分．如若两个角是对顶角，则这两个角相等，这一命题是正确的．但若两个角不是对顶角，则这两个角不相等，这一命题显然不正确．若两角相等，则这两个是对顶角也不正确．但若两个角不相等，则这两角不是对顶角是正确的．又如，若天下雨，则地下湿；若地下湿，则天下雨；若天不下雨，则地下不湿；若地下不湿，则天不下雨．原命题是真的，但是逆命题不真．因为不下雨，地也可能湿，比如，水库放水灌溉土地．否命题也不真，因为不下雨，地也可能湿．但逆否命题是真的，因为如果地不湿，那么是不会下过雨的．从上面的例子看出原命题的正确不能保证逆命题与否命题也正确，也就是对于它们的正确性还需要证明．但可从上例看出：若原命题是正确的，逆否命题也正确．下面我们证明互为逆否关系的两个命题同真或同假的结论．已知：若Ａ，则Ｂ．求证：若Ｂ，则Ａ．证明：对于任何对象具有某条件或不具有某条件二者必居其一，即有Ａ或不Ａ必居其一（在逻辑学上称为排中律）．若有Ａ，则根据已知条件若Ａ，则Ｂ，则有Ｂ，与题设若Ｂ矛盾．因而必然有Ａ，即若Ｂ，则Ａ．同样可以证明，逆否命题成立时，原命题也成立．因为原命题是逆否命题的逆否命题．于是我们得出结论：原命题和逆否命题同真或同假．称它们为等价命题．同样也可证明逆命题和否命题也为等价命题．二㊁条件的充分性与必要性定义１：若Ａ，则Ｂ成立，那么Ａ是Ｂ的充分条件．定义２：若Ａ，则Ｂ成立（或若Ｂ，则Ａ成立），那么Ａ是Ｂ的必要条件．定义３：若Ａ，则Ｂ成立，同时若Ａ，则Ｂ也成立，那么Ａ是Ｂ的充分必要条件（简称充要条件）．例如，若两个角是对顶角，则这两个角相等．这里两个角是对顶角，是两个角相等的充分条件，即条件具备时结论一定成立．也就是对顶角的条件是以保证两个角相等．另外，若两个角不相等，则这两个角不是对顶角，这里把两个角相等的条件去掉，则这两个角不可能是对顶角．也就是两个角相等是两个角是对顶角的必要条件，即条件不具备. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１３５㊀数学学习与研究㊀２０２１２３时结论一定不成立．又如，若ｂ２－４ａｃ＝０，则实系数方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａʂ０）的两根相等，这里ｂ２－４ａｃ＝０的条件保证了方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根相等这一事件的成立．所以ｂ２－４ａｃ＝０是这一事件的充分条件；若没有这个条件，显然方程的两个根也不可能相等．所以，这个条件又是这一事件的必要条件，因此，这个条件便是充要条件．三㊁条件的充分性与必要性的判断我们所谓的充分条件指的是条件是充分的但非必要的这样的条件，换句话说，对于结论来说是有了它一定行，没有它不一定不行，也就是说有则必然，无则不必然，或者有它行，没它也行这样的条件．其具体判断方法是先把所要判断的事件写成若Ａ，则Ｂ的命题形式后要考虑若Ａ，则Ｂ真，但若Ｂ，则Ａ不真，则可得出Ａ是Ｂ的充分条件．当然也可考虑其他的等价命题．如，若两个角是对顶角，则这两个角相等真，但若两个角相等，则这两个角是对顶角不真，便可得出两个角是对顶角是两个角相等的充分条件．我们所谓的必要条件指条件是必要但非充分这样的条件，换句话说，对于结论来说有了它不一定成立，而没有它却一定不成立，也就是说有则不必然，无则必不然，或者说有它不够，没它不行这样的条件．其具体判断方法是先把所要判断的事件写成若Ａ，则Ｂ的命题形式后要考虑若Ａ，则Ｂ不真，但若Ｂ，则Ａ真，则可得出Ａ是Ｂ的必要条件．同样，也可考虑其他的等价命题．如，若两个角相等，则这两个角是对顶角不真，但若两个角是对顶角，则这两个角相等是正确的．便可得出两个角相等是两个角是对顶角的必要条件．两个角相等不一定是对顶角，但两个角不相等却一定不是对顶角．我们所谓的充要条件指的条件是既充分又必要这样的条件，对于结论来说有了它一定成立，而没有它一定不成立，也就是有则必然，无则必不然或者有它就行，没它就不行这样的条件．其具体判断方法也是先把要判断的事件写成若Ａ，则Ｂ的命题形式后考虑原命题和逆命题都真，便可得出Ａ是Ｂ的充要条件，同样Ｂ也是Ａ的充要条件．如，ｂ２－４ａｃ＝０是实系数方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａʂ０）有相等根的充要条件．四㊁举㊀例例１㊀天下雨是地下湿的什么条件？因为天下雨则地下湿真，但若地下湿则天下雨不真，所以天下雨是地下湿的充分条件．例２㊀设直线ｌ１和ｌ２的斜率分别为ｋ１和ｋ２，则ｋ１㊃ｋ２＝－１是ｌ１ʅｌ２的什么条件？因有ｋ１㊃ｋ２＝－１，则有ｌ１ʅｌ２，又有ｌ１ʅｌ２，则有ｋ１㊃ｋ２＝－１，所以ｋ１㊃ｋ２＝－１是ｌ１ʅｌ２的充要条件．例３㊀两个三角形面积相等是两个三角形全等的什么条件？因为两个三角形面积相等，则两个三角形全等不真，但两个三角形全等，则两个三角形面积相等真，所以两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要条件．例４㊀函数ｆ（ｘ）在点ｘ０连续是ｆ（ｘ）在点ｘ０可导的什么条件？因为ｆ（ｘ）在点ｘ０连续，ｆ（ｘ）在点ｘ０不一定可导，但ｆ（ｘ）在点ｘ０可导，则ｆ（ｘ）一定在点ｘ０连续．所以是必要条件．例５㊀指出下列条件对于结论来说是充分条件，必要条件，还是充要条件．（１）已知Ａ，Ｂ表示集合，且Ａʂ∅．条件：ＡɘＢ＝∅；结论：Ｂ＝∅．（２）已知Ｉ表示全集，Ａ为其子集（Ａ⊆Ｉ）．条件：Ａ＝∅；结论Ａ＝Ｉ．（３）已知ｆ是从集合Ａ到集合Ｂ的一个对应．条件：ｆ是一一对应；结论：ｆ是单值对应．解：（１）在Ａ是非空集合的前提下，条件ＡɘＢ＝∅具备时，不一定有结论Ｂ＝∅发生，如Ａ＝｛１，２｝，Ｂ＝｛３，４｝．因此条件不是结论的充分条件，但条件不具备时，即ＡɘＢʂ∅时，结论一定不成立，即Ｂʂ∅，因此，ＡɘＢ＝∅ 是Ｂ＝∅ 的必要条件．（２）已知Ａ⊆Ｉ，Ａ＝｛ｘ：ｘ∉Ａ且ｘɪＩ｝，但条件Ａ＝∅具备时，Ｉ中这样的ｘ是不存在的，因此结论Ａ＝Ｉ一定成立．这样，Ａ＝∅ 是Ａ＝Ｉ的充分条件．反过来，当Ａ＝Ｉ时，有Ａ＝∅．这样，Ａ＝∅ 是Ａ＝Ｉ的必要条件．因此，条件Ａ＝∅ 是结论Ａ＝Ｉ的充要条件．（３）已知ｆ是从集合Ａ到集合Ｂ的一个对应，当ｆ是一一对应时，ｆ一定是单值对应，但当ｆ不是一一对应时，ｆ不一定不是单值对应．如，设Ａ＝｛１，２，３｝，Ｂ＝｛３，４，５，６，７｝且ｆ：ｘ映于２ｘ＋１，由于Ｂ中的元素４，６没有原象，因此ｆ不是一一对应，但显然ｆ是单值对应，这样，条件ｆ是一一对应是结论ｆ是单值对应的充分条件．以上对命题㊁条件的充分性㊁必要性以及判断方法等内容的讨论使学生能理解以上内容，并能对有关题目进行判断以及知道所判断结果的原因，从而能够提高学生的逻辑思维能力．ʌ参考文献ɔ［１］徐加生，纪健．运用数学思想解决集合问题［Ｊ］．数理化学习：高中版，２００９（０９）：１１－１３．［２］黄明辉．运用数学基本思想解决复杂问题的策略［Ｊ］．教学与管理，２０１８（０８）：４９－５１．. All Rights Reserved.。

集合充分条件、必要条件、充要条件间关系论文

小议集合与充分条件、必要条件、充要条件间的关系设a、b为两个集合。

则ab是指：xaxb ①即有：”xa”是”xb”的充分条件，“xb”是”xa”的必要条件。

反过来，若”xa”是”xb”的充分条件，即xaxb，则ab。

设a、b为两个集合，则a=b是指：xaxb ②即有：”xa”是”xb”的充要条件。

反过来，若”xa”是”xb”的充要条件，即xaxb，则a=b。

设p，q为含有变量x的语句，我们引入如下两个集合：a=，b=如果ab，那么每个使p成立的变量x也使得q成立，即：若p 成立，则q也成立，也就使说，从而p是q的充分条件，q是p的必要条件。

反过来，如果p是q的充分条件，那么由p成立可以推出q成立，也就是说，若xa，则一定有xb，从而有ab。

这样一来，要判断p是q的什么条件，只需判断集合a与集合b 的关系即可。

有如下结论：①若ab，则a是b的充分条件：②若a=b，则a是b的充要条件：③除①②外的情况都是既不充分也不必要条件。

总结：小充分大必要，相等是充要。

例题讲解：例1 已知全集u={1，2，3，4，5，6}，命题p：a={1，2}，命题q：b={1，2，3，4}。

试问：①p是q的什么条件？；②的什么条件？解：①由a={1，2}，b={1，2，3，4}得ab所以p是q的充分不必要条件②从补集角度去分析：p：a在u中的补集，q：b在u中的补集。

即：p ：={3，4，5，6}，q：={5，6}有（小的补变大，大的补反而小）所以的必要补充分条件例2 已知命题p：|x-2|≥6，q：，若”pq”与”q”同时为假，求x的值。

解：由|x-2|≥6得 p：x≥8，或x≤-4又“pq”与”q”同时为假，所以 p假 q真从而x的取值范围就是p与q的集合的公共部分，即：x的值为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8。

例3 已知命题p：|4-x|≤6，q：x2-2x+1-a2≥0（a>0）若非p 是q的充分不必要条件，求a的取值范围。

充分条件必要条件与集合的关系

充分条件必要条件与集合的关系充分条件与必要条件是数学中用来描述集合之间关系的概念。

在集合论中，我们经常需要判断某个条件是否能够成为某个集合的充分条件或者必要条件。

本文将详细介绍充分条件与必要条件，并探讨它们与集合之间的关系。

一、充分条件与必要条件的定义在数学中，充分条件和必要条件都是用来刻画命题之间的关系。

给定两个命题P和Q，如果P能够推出Q，那么我们说P是Q的充分条件；而如果Q能够推出P，那么我们说P是Q的必要条件。

具体来说，充分条件和必要条件是通过蕴含关系来定义的。

对于命题P和Q，如果P蕴含Q，即P→Q成立，则我们说P是Q的充分条件；如果Q蕴含P，即Q→P成立，则我们说P是Q的必要条件。

二、充分条件与必要条件的关系充分条件与必要条件是相互依存的关系。

一方面，如果P是Q的充分条件，那么P蕴含Q，即P→Q成立；另一方面，如果P是Q的必要条件，那么Q蕴含P，即Q→P成立。

换句话说，充分条件与必要条件是一对“两可逆”的关系。

如果我们知道了P是Q的充分条件，那么我们可以推出P蕴含Q，即P→Q 成立；反过来，如果我们知道了P蕴含Q，那么我们可以说P是Q的充分条件。

同样地，如果我们知道了P是Q的必要条件，那么我们可以推出Q蕴含P，即Q→P成立；反过来，如果我们知道了Q蕴含P，那么我们可以说P是Q的必要条件。

三、充分条件与必要条件的例子为了更好地理解充分条件和必要条件的概念，我们来看几个具体的例子。

例子一：假设P表示一个正整数是偶数，Q表示该正整数能够被2整除。

显然，P是Q的充分条件，因为如果一个正整数是偶数，那么它必然能够被2整除。

另一方面，Q也是P的必要条件，因为如果一个正整数能够被2整除，那么它必然是偶数。

例子二：假设P表示一个三角形是等边三角形，Q表示该三角形的三条边长相等。

显然，P是Q的充分条件，因为如果一个三角形是等边三角形，那么它的三条边长必然相等。

另一方面，Q也是P的必要条件，因为如果一个三角形的三条边长相等，那么它必然是等边三角形。

充要条件和因果关系

充要条件和因果关系对于条件A和B，命题“若A则B”是真命题时，我们就说A是B的充分条件，同时B也是A的必要条件；对于A和B两个条件，A 与B之间的关系只能在充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件四个中成⽴⼀个且只能成⽴⼀个，这些知识是逻辑和数学经常要⽤到的。

我们把满⾜条件A、B的元素形成的集合分别记作是集合A、B，A是B的充分不必要条件对应的是集合A是集合B的真⼦集，或者说集合A真包含于集合B，这时集合B就真包含集合B，所以条件B就是条件A的必要不充分条件；当集合A真包含于集合B 时，我们形象地说A是⼩集合、B是⼤集合，这样我们就可以说⼩集合是⼤集合的充分不必要条件，⼤集合是⼩集合的必要不充分条件；⽽当两个集合相等时，条件A和条件B就互为充要条件，⽤集合间的包含关系⽐较容易理解充分必要条件的问题。

⽐如，⾼三年级有若⼲个班级，⾼三（1）班学⽣组成的集合是⾼三年级学⽣组成的集合的真⼦集，你是⾼三（1）班的学⽣，由此我们能推出你是⾼三年级的学⽣，也就是说你是“⾼三（1）班的学⽣”是“你是⾼三年级的学⽣”的充分（不必要）条件；但如果你不是⾼三年级的学⽣，那么你肯定不是⾼三（1）班的学⽣，也就是说“你是⾼三年级的学⽣”是“你是⾼三（1）班的学⽣”的必要（不充分）条件；通俗地说，在⼩集合是在⼤集合的充分不必要条件，在⼤集合是在⼩集合的必分不充分条件。

如果⾼三年级只有⾼三（1）班⼀个班级，那么⾼三年级的集合就和⾼三（1）班的集合相等，那么“你是⾼三（1）的学⽣”就是“你是⾼三年级学⽣”的充要条件。

两个条件之间的关系是充要条件的关系，这两个条件就是等价的，它们所对应的集合是相等的；如果A是B的充分条件，那么A能推出B，我们就可以说“A是B的因，B是A的果”；如果A和B互为充要条件，那么A是B的因，也是B的果，同时B是A的因，也是A的果，条件A、B之间互为因果关系。

⽐如在三⾓形中，如果有两边相等，则有两⾓相等，反过来，如果有两个⾓相等，则有两条边相等，两⾓相等与两边相等互为因果关系。