第2章 流体运动的基本方程

第2章 流体运动的基本方程流体运动极其复杂，但也有其内在规律。

这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。

它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程。

本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式。

2.1 连续方程2.1.1 微分形式的连续方程质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变。

下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。

在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为V ，质量为M ，则⎰=VdV M ρ根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立0==⎰VdV dt ddt dM ρ (2-1) 应用物质体积分的随体导数公式（1-15b ），则0dV )]v (div t [dV )v div Dt D (dV dt d V V V⎰⎰⎰=+∂∂=+=ρρρρρ 因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积V 是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有0v div DtD =+ρρ （2-2a ） 或0)v (div t=+∂∂ρρ （2-3a ） 上式亦可以写成如下形式0x u Dt D ii =∂∂+ρρ（2-2b ） 或0x )u (t ii =∂∂+∂∂ρρ （2-3b ）式（2-2）和式（2-3）称为微分形式的连续性方程。

在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为0z)u (y )u (x )u (t z y x =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ρρρρ （2-4） 微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。

其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。

由式（2-2）可对不可压缩流体给出确切定义。

不可压缩流体的条件应为0=DtD ρ（2-5） 即密度应随质点运动保持不变。

0=∂∂t ρ只是指密度是恒定不变的，但流体质点密度还可以在流动中随位置发生变化。

只有满足式（2-5），质点密度才能保持不变。

但不能排除各个质点可以具有各自不同的密度。

如海水在河口淡水下面的入侵（图2-1），含细颗粒泥沙的浑水在水库的清水下面沿库底的的运动（图2-2），都是具有不同密度的不可压缩流动。

在这种流动中，因密度不同形成不同的流层，常称为分层流动。

图2-1 河口的海水入侵[1]图2-2 水库中的浑水异重流[1]对不可压缩均质流体，则不但0=DtD ρ，而是在全流场和全部时间内ρ＝常数，因此，连续性方程简化为0=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u zy x （2-6a ）以张量形式表示0x u ii=∂∂ （2-6b ） 以矢量表示0v div =（2-6c ））即速度v的散度为零。

或写为0v =⋅∇（2-6d ）对不可压缩流体二元流，连续性微分方程可写为0=∂∂+∂∂yu x u yx （2-7）微分形式的连续性方程也可通过下面的方法推导。

设想在流场中取一空间微分平行六面体（图2-3），六面体的边长为dz dy dx ,,，其形心为A(x,y,z)，A 点的流速在各坐标轴的投影为z y x u u u ,,，A 点的密度为ρ。

图2-3 微分平行六面体分析该六面体流体质量的变化。

经一微小时段dt ，自左面流入的流体质量为dydzdt xu u dxx x x )2dx)(2(∂∂-∂∂-ρρ；自右面流出的流体质量为 dydzdt x u u dxx x x )2dx)(2(∂∂+∂∂+ρρ，故dt 时段内沿x 方向流入与流出六面体的流体质量差为dxdydzdt xu dxdydzdt x u x u x x x∂∂-=∂∂+∂∂-)()(ρρρ同理，在dt 时段内沿y 和z 方向流进与流出六面体的流体质量之差分别为dxdydzdt yu y ∂∂-)(ρ 和 dxdydzdt zu z ∂∂-)(ρ 因此，在dt 时段内流进与流出六面体总的流体质量的变化为dxdydzdt z u y u x u z y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-)()(ρρ因六面体内原来的平均密度为ρ，总质量为dxdydz ρ；经dt 时段后平均密度变为dt t ∂∂+ρρ，总质量变为dxdydz dt t)(∂∂+ρρ，故经过dt 时段后六面体内质量总变化为 dxdydzdt tdxdydz dxdydz dt t ∂∂=-∂∂+ρρρρ)(在同一时段内，流进与流出六面体总的流体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变化相等，即dxdydzdt z u y u xu dxdydzdt t z y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂)()()(ρρρρ两端除以dxdydzdt 后即得式（2-4）。

2.1.2 积分形式的连续方程对式（2-1）应用物质体积分的随体导数公式（1-15a ），则有0dS u dV t V S n =+∂∂⎰⎰ρρ（2-8）这就是积分形式的连续性方程。

对于圆管或明渠一维恒定流动，因0=∂∂tρ，则式（2-8）简化为 0dS u Sn=⎰ρ （2-9）上式的物理意义是，单位时间内流入和流出某一管段或某一明渠段的流体质量必相等。

这个条件可简单地表示为2211A v A v ρρ= （2-10a ）或2211A v A v = （2-10b ）式中1A 和2A 为管段或明渠段的流入断面和流出断面的面积，1v 和2v 为上述两断面的平均速度。

式（2-10）即为水力学中经常用到的总流的连续性方程。

该式说明，在不可压缩流体总流中，任意两个过流断面所通过的流量相等。

也就是说，上游断面流进多少流量，下游任何断面也必然流出多少流量。

2.2 运动方程连续性方程是控制流体运动的基本方程之一，它只限于流体运动必须遵循的一个运动学条件。

因此，还须从动力学角度提出流动必须满足的条件，即运动方程(equation of motion ），这样才组成求解流动的最基本方程组。

2.2.1 应力表示的运动方程以图1-9所示的流体中的微小六面体作为隔离体进行分析。

微小六面体的质量为dxdydz ρ。

作用在六面体上的表面力每面有三个：一个法向应力，两个切应力。

设法向应力沿外法线方向为正，设包含A 点的三个面上的切应力为负向，则包含H 点的三个面上的切应力必为正向。

根据牛顿第二定律写出x 方向的动力平衡方程式dtdu dxdydz dz)dxdy z ( dxdy dxdz )dy y ( dxdz dydz )dx xp p (dydz p Xdxdydz x zx zx zx yx yxyx xxxx xx ρττττττρ=∂∂++-∂∂++-∂∂++-化简后得x 方向的方程。

同理可得z y ,方向的方程。

则⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+dt du )y x (1)z p (1Z dt du )z x (1)y p (1Y dt du )z y (1)x p (1X z yzxz zz y zy xy yy x zxyx xx ττρρττρρττρρ（2-11a ）上式就是以应力表示的粘性流体的运动微分方程式。

这是流体运动方程最一般的表达形式。

写成张量形式jiji i x p 1F dt du ∂∂+=ρ （2-11b ） 写成矢量形式P ρρdiv F dtvd += (2-11c ）式中，dtvd ρ表示单位体积上的惯性力；F ρ表示单位体积上的质量力；而P div 则表示单位体积上的应力张量的散度。

于是运动方程（2-11c ）表明单位体积上的惯性力等于单位体积上的质量力加上单位体积上应力张量的散度。

上述推导表明，流体运动方程即是牛顿第二定律在流体运动中的应用。

因牛顿第二定律就是动量定律，因此运动方程有时也称动量方程。

流体运动方程也可从动量定理直接导出，下面进行推导。

任取一体积为V 的流体，它的边界为S 。

根据动量定理，体积V 中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量力和表面力之和。

以F表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而n p 为作用在单位面积上的表面力分布函数，则作用在V 上和S 上的总质量力和表面力为⎰VdV Fρ及S d p Sn ⎰，其次，体积V 内的动量是⎰VdV vρ。

于是动量定理可写成下列表达式⎰⎰⎰+=VV Sn dS p dV F dV v dt dρρ (2-12)对上式左端项，利用质量守恒定律，有下式成立dV dt v d dm dt dv dm dt v d dm v dt d dV v dt d VV V V V ⎰⎰⎰⎰⎰=+==ρρ 对上式右端第二项应用奥高定理，有下式成立⎰⎰⎰=⋅=SSVn dV div dS n dS p P P其中P 是应力张量。

于是式（2-12）变为0dV div F dt v d V =⎪⎭⎫⎝⎛--⎰P ρρ因V 任意，且假定被积函数连续，因此被积函数恒为零，得P ρρdiv F dtv d += （2-11c ） 上式也称为微分形式的动量方程，一般称为运动方程。

2.2.2 纳维－斯托克斯方程将不可压缩牛顿流体的本构方程式)3,2,1,(,2=+-=j i p p ij ij ij μεδ （1-41a ）代入式（2-11b ），并应用ij ε变形率张量)x u x u (21ijj i ij ∂∂+∂∂=ε （1-23）则有)x u x u (x x p 1F dt du jii j j i i i ∂∂+∂∂∂∂+∂∂-=ρμρ （2-13） 对于不可压缩流体，0x u jj =∂∂，则0)x u (x )x u (x jji i j j =∂∂∂∂=∂∂∂∂ 而i 22ji 2j j i 2j i j u x u x x u )x u (x ∇=∂∂=∂∂∂=∂∂∂∂ 其中，=∂∂+∂∂+∂∂=∇2322222122x x x 222222z y x∂∂+∂∂+∂∂为拉普拉斯（Laplace ）算子。

将上式代入式（2-13），得i 2ii i u x p1F dt du ∇+∂∂-=νρ （2-14a ） 上式即是纳维－斯托克斯(Navier-Stokes)方程，简称N-S 方程。

式中ν为运动粘滞系数，ρμν=。

或写成以下形式v p 1F dt v d 2∇+∇-=νρ （2-14b ） v gradp 1F dt v d 2∇+-=νρ（2-14c ） 2ji 2i i j i j i x u x p1F x u u t u ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ （2-14d ） 式中，ii x e z k y j x i∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇是哈密顿（Hamilton ）算子，gradp 是压强梯度。