第2章 流体运动的基本方程

第2章 流体运动的基本方程

流体运动极其复杂，但也有其内在规律。这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程。本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式。

2.1 连续方程

2.1.1 微分形式的连续方程

质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变。下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。

在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为V ，质量为M ，则

⎰=V

dV M ρ

根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立

0==⎰V

dV dt d

dt dM ρ (2-1) 应用物质体积分的随体导数公式（1-15b ），则

0dV )]v (div t [dV )v div Dt D (dV dt d V V V

⎰⎰⎰=+∂∂=+=

ρρρρρ 因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积V 是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有

0v div Dt

D =+

ρρ （2-2a ） 或

0)v (div t

=+∂∂

ρρ （2-3a ） 上式亦可以写成如下形式

0x u Dt D i

i =∂∂+ρρ

（2-2b ） 或

0x )u (t i

i =∂∂+∂∂ρρ （2-3b ）

式（2-2）和式（2-3）称为微分形式的连续性方程。

在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为

0z

)u (y )u (x )u (t z y x =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ρρρρ （2-4） 微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。

由式（2-2）可对不可压缩流体给出确切定义。不可压缩流体的条件应为

0=Dt

D ρ

（2-5） 即密度应随质点运动保持不变。0

=∂∂t ρ只是指密度是恒定不变的，但流体质点密度还可以

在流动中随位置发生变化。只有满足式（2-5），质点密度才能保持不变。但不能排除各个质点可以具有各自不同的密度。如海水在河口淡水下面的入侵（图2-1），含细颗粒泥沙的浑水在水库的清水下面沿库底的的运动（图2-2），都是具有不同密度的不可压缩流动。在这种流动中，因密度不同形成不同的流层，常称为分层流动。

图2-1 河口的海水入侵[1]

图2-2 水库中的浑水异重流[1]

对不可压缩均质流体，则不但0=Dt

D ρ

，而是在全流场和全部时间内ρ＝常数，因此，连续性方程简化为

0=∂∂+∂∂+∂∂z

u y u x u z

y x （2-6a ）

以张量形式表示

0x u i

i

=∂∂ （2-6b ） 以矢量表示

0v div =

（2-6c ））

即速度v

的散度为零。 或写为

0v =⋅∇

（2-6d ）

对不可压缩流体二元流，连续性微分方程可写为

0=∂∂+∂∂y

u x u y

x （2-7）

微分形式的连续性方程也可通过下面的方法推导。

设想在流场中取一空间微分平行六面体（图2-3），六面体的边长为dz dy dx ,,，其形心为A(x,y,z)，A 点的流速在各坐标轴的投影为z y x u u u ,,，A 点的密度为ρ。

图2-3 微分平行六面体

分析该六面体流体质量的变化。经一微小时段dt ，自左面流入的流体质量为

dydzdt x

u u dx

x x x )2dx

)(2(∂∂-∂∂-

ρ

ρ；自右面流出的流体质量为 dydzdt x u u dx

x x x )2

dx

)(2(∂∂+∂∂+

ρρ，故dt 时段内沿x 方向流入与流出六面体的流体质量差为

dxdydzdt x

u dxdydzdt x u x u x x x

∂∂-=∂∂+∂∂-)()(ρρρ

同理，在dt 时段内沿y 和z 方向流进与流出六面体的流体质量之差分别为

dxdydzdt y

u y ∂∂-

)(ρ 和 dxdydzdt z

u z ∂∂-

)

(ρ 因此，在dt 时段内流进与流出六面体总的流体质量的变化为

dxdydzdt z u y u x u z y x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-)()(ρρ

因六面体内原来的平均密度为ρ，总质量为dxdydz ρ；经dt 时段后平均密度变为

dt t ∂∂+

ρρ，总质量变为dxdydz dt t

)(∂∂+ρ

ρ，故经过dt 时段后六面体内质量总变化为 dxdydzdt t

dxdydz dxdydz dt t ∂∂=-∂∂+ρρρρ)(

在同一时段内，流进与流出六面体总的流体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起

的总的质量变化相等，即

dxdydzdt z u y u x

u dxdydzdt t z y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂)()()(ρρρρ

两端除以dxdydzdt 后即得式（2-4）。

2.1.2 积分形式的连续方程

对式（2-1）应用物质体积分的随体导数公式（1-15a ），则有

0dS u dV t V S n =+∂∂⎰⎰ρρ

（2-8）

这就是积分形式的连续性方程。 对于圆管或明渠一维恒定流动，因

0=∂∂t

ρ

，则式（2-8）简化为 0dS u S

n

=⎰ρ （2-9）

上式的物理意义是，单位时间内流入和流出某一管段或某一明渠段的流体质量必相等。这个条件可简单地表示为

2211A v A v ρρ= （2-10a ）

或

2211A v A v = （2-10b ）

式中1A 和2A 为管段或明渠段的流入断面和流出断面的面积，1v 和2v 为上述两断面的平均速度。式（2-10）即为水力学中经常用到的总流的连续性方程。该式说明，在不可压缩流体