两圆相切
圆与圆位置关系知识点
圆与圆位置关系知识点
在几何学中，圆与圆之间的位置关系涉及到它们的相对位置和相交情况。
以下
是一些关于圆与圆位置关系的重要知识点。
1. 内切：当一个圆完全位于另一个圆内部，并且两个圆的边界相切于一个点时，我们称这两个圆为内切圆。
内切圆的半径小于外切圆的半径。
2. 外切：当一个圆完全位于另一个圆外部，并且两个圆的边界相切于一个点时，我们称这两个圆为外切圆。
外切圆的半径大于内切圆的半径。
3. 相离：当两个圆没有任何交点且没有相切点时，我们称这两个圆为相离圆。
4. 相交：当两个圆有交点时，我们称这两个圆为相交圆。
a. 两个圆相交于两个不同的点时，我们称这种相交为普通相交。
b. 当两个圆的圆心重合且半径相等时，这两个圆相交于一条直径线，我们称
这种相交为重合相交。
5. 同心圆：当两个圆的圆心重合但半径不相等时，我们称这两个圆为同心圆。
这些是圆与圆位置关系的基本知识点，它们帮助我们理解圆的排列方式并解决
与圆相关的几何问题。
了解这些知识点可以为我们进一步学习和应用几何学提供基础。
数学中的圆与圆的关系
数学中的圆与圆的关系圆是数学中的重要概念之一，它在几何学和代数学中都具有广泛的应用。
圆与圆之间的关系是数学中的一个重要研究领域，它涉及到圆与圆的相交、相切和相离等情况。
本文将探讨圆与圆的关系及其在实际生活中的应用。
一、相交关系当两个圆的距离小于两圆半径之和时，这两个圆相交。
相交的情况又可以分为以下几种情况：1. 内切：当一个圆完全位于另一个圆内部，并且两个圆的边界只有一个公共点时，我们称这两个圆为内切圆。
内切圆的半径相等，可以通过两圆的半径关系计算出。
2. 外切：当一个圆与另一个圆的边界只有一个公共点，并且两个圆的边界不相交时，我们称这两个圆为外切圆。
外切圆的半径也可以通过两圆的半径关系计算出。
3. 相交：当两个圆的边界相交于两个不同的点时，我们称这两个圆为相交圆。
相交圆的半径关系可以通过两个圆的半径和相交部分的长度计算出。
二、相切关系当两个圆的边界只有一个公共点，并且两个圆的半径之和等于这个公共点到两个圆心的距离时，我们称这两个圆为相切圆。
相切圆的半径关系可以通过两个圆的半径和相切点到两个圆心的距离计算出。
三、相离关系当两个圆的边界没有公共点时，我们称这两个圆为相离圆。
相离圆的半径关系可以通过两个圆的半径和圆心之间的距离计算出。
数学中的圆与圆的关系不仅在理论研究上有重要意义，也广泛应用于实际生活中的几何建模和工程设计中。
例如，在建筑设计中，设计师常常需要利用圆与圆的关系来确定柱子、弧形墙面、弓形桥梁等的形状和尺寸。
在机械制造中，利用圆与圆的关系可以确定齿轮和传动装置的尺寸和工作原理。
在物理实验中，圆与圆的关系也可以帮助我们研究球体的运动特性和相互作用规律。
总结起来，数学中的圆与圆的关系包括相交关系、相切关系和相离关系。
相交分为内切、外切和相交三种情况，而相切和相离则是没有交点的情况。
这些关系不仅在数学理论上有重要意义，而且在实际生活中的几何建模和工程设计中有广泛的应用。
了解圆与圆的关系可以帮助我们更好地理解几何学和代数学的知识，并应用于实际问题的解决中。
《两圆相切》课件
知识要点： By 杜小二
1.当两个圆有唯一公共点时，叫做两
圆 .这个唯一的公共点叫做 .当
圆相切可分为
.
2.设两个圆的半径分别为R和r，圆心距
为d，则：
① d＞R-r；②来自.两圆外切.3.相切两圆的 必经过 .
检测练习：
By 杜小二
1.已知两圆相切,半径分别为4和9,
那么两圆的圆心距为
.
2.已知⊙O1与⊙O2,连结O1、O2.若 O的1O半2=径6,为⊙O2的半径. 为11,则⊙O1
⑴求证:PA·AB=AC·AD.
C
⑵当弦AC绕A点旋 B M
转,弦AC的延长线
D
N
交直线BN于D点时, O1
O2
试问⑴的结论是否
成立?试证明.
A
8.如图⊙O和⊙B外切于A点,两圆的外 By 杜小二
公切线CD交OB的延长线于点P,C、D为
切点.连结OC,BD,设R,r分别为
⊙O,⊙B的半径(R＞r),Rr=25,AC,AD
3.若⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,且 半径分别为2cm、3cm和10cm，则
△O1O2O3的形状是
.
4.已知两个半径为1的圆相外切， By杜小二
半径为2且和这两个圆都相切的圆
共有
个.
5.如图,已知正方形ABCD的边长
为4cm,两个等圆⊙O1、⊙O2外切,
⊙O1与AB、AD相
D
C
切,⊙O2与BC、DC相 切,则这两个的半径 为.
By 杜小二
复习六
两圆相切
复习目标：
By 杜小二
1.了解两圆相切、外切、内切的概念; 理解相切两圆的性质. 2.会判断两圆外切或内切,会用两圆相 切的判定、性质进行计算或证明. 3.会用相切两圆的知识解相关的综合性 问题.
两圆相切--浙教版(201909)
两圆相切PPT课件
4.这两个角之间是否存在直接的联系， 如果没有该怎么办？连接O1 O2。
聪明题：
∵ ⊙O1与⊙O2外切于点P ∴ O1 \O2\P在 同一直线上
⊙O1与⊙O2外切于点P，若直线切⊙O1于点C,切⊙O2于 点D，直线CP交⊙O2于点E，且直线EF//DC，试判断直 线EF和⊙O2的关系，并证命你的结论。
EF是⊙O2的切线
证明：连接O2E、 O1 C、 O1O2
∵直线切⊙O1于点C，， ∴∠ O1 CD是直角。 ∵ O1C=O1P ∴∠ 1= ∠ 2
5 1
2
3 4
6
同理∠ 3= ∠ 4
∴ ∠ 1=∠ 4
∵ EF//DC
∴ ∠ 5= ∠ 6
∴ ∠ O2 EF= ∠ 4+∠ 6= ∠ 1+ ∠ 5= ∠ O1 CD=直角
点D，直线CP交⊙O2于点E，且直线EF//DC，试判断直
线EF和⊙O2的关系，并证命你的结论。
EF是⊙O2的切线
分析：1。要证明EF是⊙O2的切线
则只需连接O2E，证明∠ O2EF是 直角。
C
D
. P.
O1
O2
2、直线切⊙O1于点C，连接 O1 C，则∠ O1 CD是直角。
F
E
3.所以只需证明∠ O2EF= ∠ O1 CD
∴ EF是⊙O2的切线
这正确吗？
小结：
1：这节课我们主要学了那些知识？
2：两圆相切时，过切点的两圆的公共切线，两圆
的连心线是常用辅助线。
AT是⊙O2的切线
例２ 如图，⊙O1与⊙O2内切于点T，⊙O1的弦TA，TB
分别交⊙O2于C，D，连结AB，CD。
B
求证：AB∥CD
两圆相切--浙教版(新201907)
中考数学复习两圆相切[人教版]
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知识要点：
1.当两个圆有唯一公共点时，叫做两
圆.这个唯一的公共点叫做 .当
圆相切可分为
.
2.设两个圆的半径分别为R和r，圆心距
为d，则：
① d＞R-r
；
②
.
两圆外切.
3.相切两圆的 必经过 .
检测练习：
1.已知两圆相切,半径分别为4和9,
那么两圆的圆心距为
.
2.已知⊙O1与⊙O2,连结O1、O2.若 O的1O半2=径6,为⊙O2的半径. 为11,则⊙O1
⊙O1于C,连结AC、AD.
求证:
AB AC
=
BD CD
D C
B O1 A O2
7.如图,⊙O1与⊙O2外切于P,过P的 直线分别交两圆于B,A,⊙O1的切线 交⊙O2于M,N,AC为⊙O2的弦,设弦AC 交BN于D.
⑴求证:PA·AB=AC·AD.
C
⑵当弦AC绕A点旋 B M
转,弦AC的延长线
D
复习六
两圆相切
复习目标：
1.了解两圆相切、外切、内切的概念; 理解相切两圆的性质. 2.会判断两圆外切或内切,会用两圆相 切的判定、性质进行计算或证明. 3.会用相切两圆的知识解相关的综合性 问题.
复习指导：
回忆下列知识点,会的直接写,不会的可 翻书查找,边填边记,5分钟后,比谁能正 确填写,并能运用它们解题.
4.已知两个半径为1的圆相外切，
半径为2且和这两个圆都相切的圆
共有
个.
5.如图,已知正方形ABCD的边长
为4cm,两个等圆⊙O1、⊙O2外切,
⊙O1与AB、AD相
D
C
切,⊙O2与BC、DC相 切,则这两个的半径 为.
O2
两圆相切浙教版
碌着，并没有随女眷们壹起去永和宫请安。因此直到乾清宫，他才见到魂牵梦萦の小仙女。两年不见，水清仍然如他三年前初见の那样，岁月 不曾在她の身上留下壹丝壹毫の痕迹。壹样の稚嫩脸庞，壹样の冰清玉洁，壹样の傲然孤立。而且二十三小格还知道，水清两年如壹日，壹样 の冷遇无宠。对于这各结果，他既是暗自高兴，也是黯然神伤。高兴，当然他是巴不得水清壹辈子不得宠才好；神伤，当然是后悔不已，假如 自己早早知道年羹尧还有这么壹各亲妹妹，他壹定会不惜壹切代价将她娶进二十三贝子府，做他の福晋。从此以后，他二十三小格再也不会看 其它任何壹各诸人壹眼，他の心会小得只装得下她壹各人，他会让她独享专宠，他会让她享尽尊荣，她是他の曾经沧海，她是他の巫山云。就 在二十三小格不停地后悔，不停地立下誓言之际，不多时，响鞭壹阵阵传来，随即鼓乐齐鸣，圣驾来至宴席，众人纷纷起立，请安之声不绝于 耳。由于是纯粹の家宴，待落座之后，先是后宫中位份最高の佟佳贵妃率众妃嫔向皇上祝寿，祝寿过后，所有在场人员随着李德全の口令起身 离座、跪下磕头、起身回座。后妃祝寿过后便是皇子们の祝寿。此时大小格、废太子都在圈禁中，因此三小格诚亲王作为皇子中最为年长者率 弟弟们向皇阿玛祝寿，完毕后所有人员再次在离座、磕头、回座。然后是儿媳妇们の祝寿，众人再次行磕头大礼。最后是皇孙、重皇孙们，众 人再行磕头大礼。多半各时辰里除咯祝寿和行磕头大礼之外，所有の人没有吃壹口饭，没有喝壹口水。好不容易集体祝寿结束，众人可以踏实 落座，李德全壹声令下，宫女太监们开始摆膳。第壹卷 第335章 小鬼 壹整天の时间里，弘时都对这各年姨娘讨厌透顶：额娘被太太冷落， 自己又没有机会跟太太说上话，平时在府里就瞧这年姨娘不顺眼，此刻更是“新仇旧恨”齐齐涌上心头，因此他那小脑袋瓜里壹刻不停地盘算 着如何好好地整治这各年姨娘の各种招数。他要让这各平时对他不够恭敬、不够谦卑の年姨娘必须吃点儿苦头，知道他小爷不是好惹の。此刻 の他，壹双小眼睛滴溜溜地转来转去，打着鬼主意，想着、想着，这主意就想出来咯！这不奴才们正摆膳嘛，于是他假意跟淑清撒娇，身子顿 时就扑向她怀里の同时开口说道：“额娘，您头上の珠花要掉咯！”弘时壹边说着，壹边抬起手去给淑清摆弄珠花，然后这只小手半路中就变 咯方向。他哪里是伸向咯他额娘の珠花，而是直直地照着正在布菜の壹各奴才の胳膊上伸咯过去。那各正在布菜の奴才不是别人，就是吟雪！ 吟雪本来是站在水清の身后服侍，恰巧这各位置正是宫中太监往席上端盘子上菜の位置，因此她需要给上菜の太监搭把手，将菜盘子端到宴席 上。此时吟雪正接咯宫中太监递上来の菜盘子往桌子上摆呢，毫无防备の她被弘时猛地壹各突袭，壹盘子“金腿烧圆鱼”在她手上就打咯壹各 滑，幸好她眼疾手快，另壹只手及时地扶咯壹下，才没有酿成壹盘菜直接扣在地上の严重恶果！这可是皇上六十大寿の寿宴，假如发生这种事 情，她吟雪就是不会被要咯半条命，也得是脱咯壹层皮。虽然金腿、圆鱼还都在盘子里老老实实地呆着，但壹盘子の汤汁酱料可是结结实实地 洒在咯水清右侧の整各肩膀，还有几段大葱、两瓣大蒜，半颗大料沥沥拉拉地挂在衣服上。吟雪吃咯壹各哑巴亏！她哪儿敢说是弘时小格碰咯 她の胳膊，只能是赶快先找热巾来擦试。好不容易汤汁不再四处横流咯，但水清整整右肩膀外加右前襟全都是油腻腻の酱汁。今天因为是出席 宫中の寿宴，她の服饰完全是按品级穿戴，侧福晋の公服是粉红色旗装。因此，在粉红色旗装の映衬下，那壹大片近乎黑色の酱��
两圆相切--浙教版(2019新)
两圆相切的三种情况
两圆相切的三种情况
两圆相切时，可以分为以下三种情况：
1. 外切：两个圆相切于外部的一点。
在外切情况下，两圆的半径之和等于两圆心之间的距离。
2. 内切：两个圆相切于内部的一点。
在内切情况下，两圆的半径之差等于两圆心之间的距离。
3. 切离：两个圆没有共同的切点，彼此相离。
在切离情况下，两圆的半径之和小于两圆心之间的距离。
这些情况可以通过两个圆的半径和圆心之间的距离来判断。
如果两个圆的半径之和等于两圆心之间的距离，则是外切；如果两个圆的半径之差等于两圆心之间的距离，则是内切；如果两个圆的半径之和小于两圆心之间的距离，则是切离。
这些情况在几何学和工程学等领域有重要应用，例如在设计圆轨道、圆环接口等问题中需要考虑两圆的切触情况。
六年级圆的相切定理
六年级圆的相切定理1. 在一个平面内，两个圆相切，则它们的关系是：A. 内含B. 外切C. 相交D. 相离2. 圆A和圆B相切，若圆A的半径是5厘米，圆B的半径是8厘米，则圆A和圆B之间的距离是：A. 3厘米B. 5厘米C. 7厘米D. 8厘米3. 若两个圆相切，且它们的半径分别是6厘米和10厘米，则这两个圆的圆心距是：A. 4厘米B. 6厘米C. 10厘米D. 12厘米4. 在一个平面内，两个圆相切，它们的圆心距为d，则这两个圆的半径之和是：A. dB. 2dC. 2√dD. 4√d5. 若两个圆相切，它们的半径分别是5厘米和10厘米，则这两个圆的圆心距和半径之和分别是：A. 15厘米，15厘米B. 15厘米，25厘米C. 20厘米，20厘米D. 25厘米，25厘米6. 若两个圆相切，且它们的半径分别是4厘米和6厘米，则这两个圆的圆心距和半径之和分别是：A. 10厘米，10厘米B. 10厘米，12厘米C. 12厘米，12厘米D. 14厘米，14厘米7. 在一个平面内，两个圆相切，它们的圆心距为d，则这两个圆的面积之和是：A. πd²B. π(d² - 2d)C. π(d² + 2d)D. π(d² + 4d)8. 若两个圆相切，且它们的半径分别是3厘米和5厘米，则这两个圆的面积之和是：A. 45π平方厘米B. 75π平方厘米C. 105π平方厘米D. 125π平方厘米9. 若两个圆相切，且它们的半径分别是4厘米和6厘米，则这两个圆的周长之和是：A. 24π厘米B. 28π厘米C. 32π厘米D. 36π厘米10. 若两个圆相切，且它们的半径分别是5厘米和7厘米，则这两个圆的周长之和是：A. 30π厘米B. 35π厘米C. 40π厘米D. 45π厘米11. 在一个平面内，两个圆相切，若它们的半径之和为12厘米，则这两个圆的圆心距是：A. 6厘米B. 8厘米C. 10厘米D. 12厘米12. 若两个圆相切，且它们的半径分别是6厘米和8厘米，则这两个圆的圆心距和半径之和分别是：A. 14厘米，14厘米B. 14厘米，22厘米C. 16厘米，16厘米D. 16厘米，24厘米13. 在一个平面内，两个圆相切，若它们的圆心距为d，则这两个圆的面积之和是：A. πd²B. π(d² - 2d)C. π(d² + 2d)D. π(d² + 4d)14. 若两个圆相切，且它们的半径分别是4厘米和6厘米，则这两个圆的面积之和是：A. 24π平方厘米B. 36π平方厘米C. 48π平方厘米D. 60π平方厘米15. 若两个圆相切，且它们的半径分别是5厘米和7厘米，则这两个圆的周长之和是：A. 20π厘米B. 25π厘米C. 30π厘米D. 35π厘米16. 若两个圆相切，且它们的半径分别是6厘米和8厘米，则这两个圆的周长之和是：A. 24π厘米B. 30π厘米C. 36π厘米D. 42π厘米17. 在一个平面内，两个圆相切，若它们的半径之和为10厘米，则这两个圆的圆心距是：A. 5厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 10厘米18. 若两个圆相切，且它们的半径分别是7厘米和9厘米，则这两个圆的圆心距和半径之和分别是：A. 16厘米，16厘米B. 16厘米，25厘米C. 18厘米，18厘米D. 18厘米，27厘米19. 在一个平面内，两个圆相切，若它们的圆心距为d，则这两个圆的面积之和是：A. πd²B. π(d² - 2d)C. π(d² + 2d)D. π(d² + 4d)20. 若两个圆相切，且它们的半径分别是5厘米和7厘米，则这两个圆的面积之和是：A. 35π平方厘米B. 49π平方厘米C. 63π平方厘米D. 77π平方厘米21. 若两个圆相切，且它们的半径分别是6厘米和8厘米，则这两个圆的周长之和是：A. 24π厘米B. 30π厘米C. 36π厘米D. 42π厘米22. 若两个圆相切，且它们的半径分别是7厘米和9厘米，则这两个圆的周长之和是：A. 28π厘米B. 35π厘米C. 42π厘米D. 49π厘米23. 在一个平面内，两个圆相切，若它们的半径之和为12厘米，则这两个圆的圆心距是：A. 6厘米B. 8厘米C. 10厘米D. 12厘米24. 若两个圆相切，且它们的半径分别是8厘米和10厘米，则这两个圆的圆心距和半径之和分别是：A. 16厘米，16厘米B. 16厘米，26厘米C. 18厘米，18厘米D. 18厘米，28厘米25. 在一个平面内，两个圆相切，若它们的圆心距为d，则这两个圆的面积之和是：A. πd²B. π(d² - 2d)C. π(d² + 2d)D. π(d² + 4d)26. 若两个圆相切，且它们的半径分别是6厘米和8厘米，则这两个圆的面积之和是：A. 48π平方厘米B. 64π平方厘米C. 80π平方厘米D. 96π平方厘米27. 若两个圆相切，且它们的半径分别是7厘米和9厘米，则这两个圆的周长之和是：A. 28π厘米B. 35π厘米C. 42π厘米D. 49π厘米28. 若两个圆相切，且它们的半径分别是8厘米和10厘米，则这两个圆的周长之和是：A. 32π厘米B. 40π厘米C. 48π厘米D. 56π厘米29. 在一个平面内，两个圆相切，若它们的半径之和为14厘米，则这两个圆的圆心距是：A. 7厘米B. 8厘米C. 10厘米D. 12厘米30. 若两个圆相切，且它们的半径分别是9厘米和11厘米，则这两个圆的圆心距和半径之和分别是：A. 18厘米，18厘米B. 18厘米，29厘米C. 20厘米，20厘米D. 20厘米，31厘米31. 在一个平面内，两个圆相切，若它们的圆心距为d，则这两个圆的面积之和是：A. πd²B. π(d² - 2d)C. π(d² + 2d)D. π(d² + 4d)32. 若两个圆相切，且它们的半径分别是7厘米和9厘米，则这两个圆的面积之和是：A. 63π平方厘米B. 77π平方厘米C. 91π平方厘米D. 105π平方厘米33. 若两个圆相切，且它们的半径分别是8厘米和10厘米，则这两个圆的周长之和是：A. 32π厘米B. 40π厘米C. 48π厘米D. 56π厘米34. 若两个圆相切，且它们的半径分别是9厘米和11厘米，则这两个圆的周长之和是：A. 36π厘米B. 45π厘米C. 54π厘米D. 63π厘米35. 在一个平面内，两个圆相切，若它们的半径之和为16厘米，则这两个圆的圆心距是：A. 8厘米B. 10厘米C. 12厘米D. 14厘米36. 若两个圆相切，且它们的半径分别是10厘米和12厘米，则这两个圆的圆心距和半径之和分别是：A. 20厘米，20厘米B. 20厘米，32厘米C. 22厘米，22厘米D. 22厘米，34厘米37. 在一个平面内，两个圆相切，若它们的圆心距为d，则这两个圆的面积之和是：A. πd²B. π(d² - 2d)C. π(d² + 2d)D. π(d² + 4d)38. 若两个圆相切，且它们的半径分别是8厘米和10厘米，则这两个圆的面积之和是：A. 80π平方厘米B. 96π平方厘米C. 112π平方厘米D. 128π平方厘米39. 若两个圆相切，且它们的半径分别是9厘米和11厘米，则这两个圆的周长之和是：A. 36π厘米B. 45π厘米C. 54π厘米D. 63π厘米40. 若两个圆相切，且它们的半径分别是10厘米和12厘米，则这两个圆的周长之和是：A. 40π厘米B. 50π厘米C. 60π厘米D. 72π厘米答案：1. B2. C3. C4. C6. C7. B8. B9. B10. C11. A12. B13. B14. B15. B16. B17. A18. C19. B20. B21. B22. B23. A24. B25. B26. C28. B29. A30. C31. B32. C33. A34. B35. A36. B37. B38. C39. B40. C。
圆相切符号
圆相切符号
在数学中，圆相切通常使用以下符号表示：
1. ◯：这个符号表示一个圆。
它用于表示一个圆的形状，并且通常与其他几何图形相互作用。
2. ⊥：这个符号表示垂直关系。
当两个圆之间的切线或直线相互垂直时，可以使用⊥符号来表示。
3. ∥：这个符号表示平行关系。
当两个圆之间的切线或直线相互平行时，可以使用∥符号来表示。
4. ≡：这个符号表示全等关系。
当两个圆的半径相等时，可以使用≡符号来表示。
需要注意的是，以上符号在不同的数学文献和教材中可能会有略微不同的使用方式。
在具体的数学上下文中，会根据需要和约定来选择合适的符号来表示圆相切的关系。
相切相切半径的原理
相切相切半径的原理
相切半径的原理可以从几何和三角学的角度来解释。
在几何中，两个圆相切的条件是它们的切点只有一个。
当两个圆相切时，它们的切点处的切线是两个圆的公共切线，而切线与圆心的连线垂直。
根据这个条件，我们可以推导出相切半径的原理。
设两个圆O1和O2，半径分别为r1和r2，相切于点P。
连接P与两个圆心，分别得到线段OP1和OP2。
根据三角函数的性质，我们可以得知在直角三角形OP1P中，角POP1的正弦值等于r1与OP1之间的比值，即sin(angle POP1) = r1 / OP1。
同样地，在直角三角形OP2P中，角POP2的正弦值等于r2与OP2之间的比值，即sin(angle POP2) = r2 / OP2。
由于两个圆相切于点P，所以OP1与OP2是重合的，即OP1 = OP2。
因此，我们可以将上述两个公式合并为：
sin(angle POP1) = r1 / OP1 = r2 / OP2 = sin(angle POP2)
由于两个角的正弦值相等，所以这两个角也相等，即angle POP1 = angle POP2。
根据这个等角性质，我们可以得出结论：两个相切圆的半径所对应的两个角相等。
这就是相切半径的原理。
根据这个原理，我们可以通过已知一个圆的半径和一个与之相切的圆的半径，来计算出它们的切点处的切线的斜率、切线与随意直线的交点等问题。
圆与圆的相交关系知识点总结
圆与圆的相交关系知识点总结相交是几何学中常见的概念，而圆与圆的相交关系更是一个重要的内容。
本文将对圆与圆的相交关系进行总结，并提供相应的图解说明。
1. 两个圆相交于两个点：当两个圆的半径之和大于它们的距离时，两个圆将相交于两个点。
此时，两个交点与两个圆心连线将与两个圆的半径垂直。
这种相交关系常见于日常生活中的交叉路口的设计，如交通圆环。
2. 两个圆相交于一个点：当两个圆的半径之和等于它们的距离时，两个圆将相交于一个点。
此时，两个圆心连线将穿过两个圆的交点。
这种相交关系常见于钟表的设计，其中两个圆表示时针和分针的轨迹。
3. 两个圆相切：当两个圆的半径之和等于它们的距离时，两个圆将相切于一个点。
此时，两个圆心连线将正好与两个圆的切点相切。
这种相切关系常见于圆柱体和球体的接触点。
4. 两个圆相离：当两个圆的半径之和小于它们的距离时，两个圆将相离，没有交点。
这种相离关系常见于独立的圆形图案或圆形物体。
除了上述基本的相交关系，还有一些特殊情况需要注意：5. 内含与外切：当一个圆完全包含另一个圆时，两个圆被称为内含关系。
当两个圆的外切于一个点时，两个圆被称为外切关系。
内含和外切关系可以被看作是相交关系的特殊情况。
6. 无交：若两个圆的距离大于它们的半径之和，那么它们将无交，也就是没有交点。
这种情况下，两个圆可能平行或者存在重合。
总结：圆与圆的相交关系是几何学中重要的概念。
通过了解不同相交关系的特点和示意图，我们可以更好地理解和应用这些知识。
圆与圆的相交关系在数学、设计和工程等领域都有广泛的应用，对于提高空间想象力和解决实际问题具有重要意义。
圆与圆相切
B
O
C
方法: 方法 动中取静
静:符合题目条件的瞬间位置 符合题目条件的瞬间位置
总 结
构建一张网络: 构建一张网络 领悟一种思想: 领悟一种思想 学会一个方法: 学会一个方法: 牢记四句口诀： 牢记四句口诀：
两圆相切，内切外切； 两圆相切，内切外切； 毋忘分类，牢记切切。 毋忘分类，牢记切切。
知识结构 分类思想 动中取静
算一算 悟一悟
填空题： 填空题：
记住噢,相切应考 记住噢 相切应考 相切 内切和 虑内切和外切 （1）两圆相切，半径为 ）两圆相切，半径为4cm、7cm，则两圆 、 ， 的圆心距为 3cm或11cm 。 或 （2）两圆内切，圆心距为为 ）两圆内切，圆心距为为2cm，其中一个 ， 圆的半径为3cm，则另一个圆的半径 圆的半径为 ， 为 1cm或5cm 。 或 d= r1-r2
多谢各位指导
填空题： 填空题：
（5）有若干个等圆外切，正好在围成的空隙 有若干个等圆外切， 中可以作一个同样大小的圆与这若干个圆外切， 中可以作一个同样大小的圆与这若干个圆外切， 6 个。 则这若干个圆的个数是
A
O
1
O
C O2 B
D
例1、 、 在矩形ABCD中，AB=5，BC=12， 中 在矩形 ， ， 如果分别以A、 为圆心的两圆相切 为圆心的两圆相切， 如果分别以 、C为圆心的两圆相切， 点D在⊙C内，点B在⊙C外，求⊙A的 在 内 在 外 的 半径r的取值范围 的取值范围。 半径 的取值范围。
填空题： 填空题：
），圆心距 （3）若两圆半径为 和r（R＞r），圆心距 ）若两圆半径为R和 （ ＞ ）， 为d，且R2＋d2 ＝ r2+2Rd,则两圆的位置关 ， 则两圆的位置关 系是 内切或外切 。
与两圆相切的圆的数量
与两圆相切的圆的数量1. 引言在几何学中，圆是一种重要的几何形状，具有许多有趣的性质和应用。
当我们研究圆与其他圆的关系时，一个常见的问题是求解与两个给定圆相切的圆的数量。
本文将介绍如何计算与两个给定圆相切的圆的数量，并探讨一些相关概念和定理。
2. 相切和相离在开始讨论与两个给定圆相切的圆之前，我们需要明确什么是“相切”。
当两个圆之间只有一个公共点时，我们称它们为相切。
如果两个圆之间没有公共点，则它们是相离的。
3. 一个简单例子为了更好地理解与两个给定圆相切的圆的数量，我们首先考虑一个简单例子：一个小圆和一个大圆。
假设小圆半径为r，大圆半径为R。
我们想找到一个与这两个给定圆都相切的第三个圆。
根据图示可知，在小三角形OAB中，OA=r+R（由于O到A点距离等于r+R）。
根据勾股定理，我们可以得到：AB² = AO² - OB²AB² = (r+R)² - (r-R)²AB² = 4rR因此，我们可以得到圆的半径为：r’ = AB / 2r’ = 2√(rR)所以，在这个例子中，与小圆和大圆都相切的圆的数量是1。
4. 两个相等圆的情况现在，让我们考虑一种更特殊的情况：两个相等的圆。
假设这两个圆半径都为r。
根据图示可知，在小三角形OAB中，OA=2r（由于O到A点距离等于2r）。
同样地，根据勾股定理，我们有：AB² = AO² - OB²AB² = (2r)² - (2r)²AB = 0这意味着小三角形OAB是一个退化的情况，即A和B重合在一起。
因此，在这种情况下，并不存在与两个相等圆相切的第三个圆。
5. 关于半径之比的一般情况现在，我们来考虑一般情况下，两个给定圆的半径之比。
假设小圆半径为r，大圆半径为R，并且r < R。
我们可以利用相似三角形和勾股定理来推导与两个给定圆相切的圆的数量。
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两 圆 相 切
判定：
（2）根据数量关系： d=r1+r2 d= r1－r2 两圆外切 两圆内切
（3）根据公切线条数：
一条公切线
三条公切线
两圆内切
两圆外切
性质：相切两圆的连心线经过切点
算一算 悟一悟
填空题：
记住噢,相切应考 虑内切和外切
（ 1 ） 两圆相切，半径为 4cm、7cm， 则两圆的圆心距为 3cm或11cm 。 （2）两圆内切，圆心距为为2cm，其
中一个圆的半径为3cm，则另一个圆 1cm 或 5cm 的半径为 。
d= r1-r2
填空题： （3）若两圆半径为R和r（R＞r）， 圆心距为d，且R2＋d2 ＝ r2+2Rd, 则两圆的位置关系是 内切或外切 。
例1、
在矩形ABCD中，AB=5， BC=12，如果分别以A、C为圆 心的两圆相切，点D在⊙C内， 点B在⊙C外，求⊙A的半径r的 取值范围。 A D
A
B
O
C
总 结
构建一张网络:
领悟一种思想:
知识结构
分类思想
学会一个方法:
牢记四句口诀：
动中取静
两圆相切，内切外切； 毋忘分类，牢记切切。
作业
已知点A的坐标为（0，3），⊙A的半 径为 1 ，点 B 在 x 轴上且在 M（2，0） 的左侧，若⊙ B 经过点 M 且与⊙ A 相切， 求B点的坐标。
B C
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， AB＝ 例 2、
AC＝ 2 2，⊙A的半径为 1 ，若点 O 在 BC 上运动 （与点 B、C 不重合），设 BO＝x，△AOC 的面 积为y。 （1）求y关于x的函数解析式，写出定义域。
（ 2 ）以 O 为圆心， BO 为半径作⊙ O 与⊙ A 相切 时，求△AOC的面积。
思考
若两圆的半径为方程 x 5x 6 0 的 根，且圆心距为 1 ，问此两圆有几条 公切线？
2
圆 与 圆 相 切
理一理 说一说
请交流: 有关两圆相切的知识结构
定义：两圆只有一个公共点，就说两圆相切。 这个公共点叫做两圆的切点。
分类：内切、外切
（1）根据公共点个数：
一个公共点 两圆相切