收敛与一致收敛 开题报告
孙冰—开题报告
鞍山师范学院数学系12届学生毕业设计（论文）开题报告课题名称：关于含参量反常积分一致收敛性的研究学生姓名：孙冰专业：数学与应用数学班级：08、4学号：32号指导教师：赵艳英2012年2 月15 日论文开题报告论文题目:关于含参量反常积分一致收敛性的研究一、选题意义1.理论意义：含参量反常积分在微积分中占有重要的地位，含参量反常积分不仅是反常积分的延伸和推广，也是研究和表达函数（特别是非初等函数）的有力工具，并为研究多元函数的积分打下了坚实的基础。
一致收敛性以其特有的抽象性让初学者无可是从，难以掌握，也成为数学专业课程数学分析区别于工科课程高等数学的基本要素之一。
讨论含参量反常积分的一致收敛性，对以后的学习和研究有着深远的意义和影响。
2.现实意义：一致收敛性是数学分析课程中一个非常重要的概念，很多重要的结论要有一致收敛的性质作为前提条件。
例如，函数项级数的逐项求导、逐项求积、交换求导与积分运算顺序等等都要求函数项级数为一致收敛。
含参量的反常积分对于参数的连续性、可微性都要有含参量反常积分的一致收敛性作为前提。
一般而言，在非数学专业工科的各项课程，特别是高数则回避对一致收敛性的具体讨论。
本文将针对含参量反常积分的一致收敛性问题，分析一致收敛性的一些直观特征，以帮助读者加深对含参量反常积分一致收敛性这一抽象概念的理解与认识。
二、论文综述1．理论的渊源及演进过程含参量反常积分是数学分析中的一个重要分支，人们对含参量反常积分一致收敛性的认识经历了一个漫长的过程.1686年，莱布尼茨发表了一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分问题与微分问题的互逆关系。
到18世纪，欧拉发表了《积分学》，是微积分史上里程碑式的著作，此后很多数学家如狄尼、魏尔斯特拉斯、狄利克莱等人深入研究了一致收敛性问题，进而研究含参量反常积分一致收敛性问题，为此做了不懈努力，取得了一些有成效的成果，对含参量反常积分的发展做出了重要的贡献.2．国外有关研究的综述微积分由在莱布尼茨后者们的推动下蓬勃发展，此后魏尔斯特拉斯、狄利克莱，阿贝尔等人深入研究了一致收敛的问题，提出了魏尔斯特拉斯判别法，狄利克莱判别法，阿贝尔判别法来判断含参量反常积分的一致收敛性。
一些随机序列的收敛性质的开题报告
一些随机序列的收敛性质的开题报告
随机序列的收敛性质是概率论与数学分析领域中的一个重要研究课题。
这个课题的核心是如何定义随机数列的收敛性，并研究随机数列在
各种情况下的收敛性质，包括强收敛性、几乎处处收敛性、概率收敛性等。
随机序列的收敛性质对于研究概率论中的随机过程、随机场等问题
具有重要意义。
在金融工程、统计学、计算机科学等领域中都有广泛的
应用。
因此，随机序列收敛性质的研究是概率论和数学分析的重要课题
之一。
本文将介绍随机序列的收敛性质的研究现状和一些进展。
首先，我
们将介绍随机序列的收敛性的基本概念和定义，包括强收敛、几乎处处
收敛和概率收敛等。
然后，我们将介绍随机序列的收敛性质的一些研究
成果和重要结论，如强收敛定理、黎曼-勒贝格引理、伊藤等式等。
最后，我们将讨论随机序列收敛性质的一些应用，包括金融工程中的随机过程
建模、统计学中随机序列的估计等。
总之，随机序列的收敛性质是概率论和数学分析中一个重要的研究
课题。
对于在实际问题中的应用，我们需要在了解其基本概念和定义的
基础上，深入探究其研究成果并寻求实际问题中的应用。
收敛和一致收敛的关系
收敛和一致收敛的关系收敛和一致收敛是微积分中重要的概念。
它们被广泛应用于分析函数和构造函数等领域。
本文旨在阐明收敛和一致收敛的概念及其关系，并探讨它们在实际中的应用。
一、概念1、收敛在函数序列$f_1(x),f_2(x),...,f_n(x),...$中，当$x$趋近于$c$时，如果存在一个函数$F(x)$，使得$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=F(x)$，那么我们称函数序列$f_n(x)$在$x$趋近于$c$时收敛于函数$F(x)$。
其中，$c$可以是实数或无穷远处。
2、一致收敛如果存在一个函数$F(x)$，使得当$n$趋近于无穷大时，函数序列$f_n(x)$在全体$x\in S$上一致收敛于$F(x)$，即$\lim\limits\sup_{n\rightarrow\infty}|f_n(x)-F(x)|=0$，我们称函数序列$f_n(x)$在$S$上一致收敛于函数$F(x)$。
二、比较从定义可以发现，一致收敛在某种程度上是强于收敛的，因为一致收敛要求在定义域的每个点上，函数序列必须以相同的速度收敛于极限函数。
而收敛只需要在大多数点上满足这个条件即可。
因此，我们可以认为收敛是一种局部性质，而一致收敛则是全局性质。
另外，在一致收敛中，极限函数$F(x)$必须在定义域上有一个上限和下限，而在收敛中并不一定要有这个性质。
因此，也可以说，一致收敛收敛更快，而且更稳定。
三、应用1、函数极限在函数极限中，一致收敛常常被用于证明极限存在。
因为一致收敛要求在全体$x\in S$上都有相同的速度收敛，因此，我们可以剔除函数序列中的一小部分，使得它们不会对极限产生影响。
这就让我们在判断极限存在时更加方便。
2、傅里叶级数在傅里叶分析中，一致收敛是极其重要的工具。
因为在傅里叶级数中，每一项都是一条正弦或余弦曲线，而这些曲线虽然是收敛的，但并不一定一致收敛。
因此，如果没有一致收敛这个概念，我们将很难正确地表示一个周期函数为一个级数。
逐点收敛与一致收敛
逐点收敛与⼀致收敛作者：Abraham 转载请标明出处，谢谢！数学分析中的函数列的收敛性是⼀个很重要的概念。
Riemann空间（⼯科数学分析主要讨论的范围）上描述收敛性的两个概念是逐点收敛与⼀致收敛。
Pointwise ConvergenceDefinition.Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of functions defined on D. We say that {fn} converges pointwise on D if lim n→∞ fn(x) exists for each point x in D. This means that lim n→∞ fn(x) is a real number that depends only on x. If {fn} is pointwise convergent then the function defined by f(x) = lim n→∞ fn(x), for every x in D, is called the pointwise limit of the sequence {fn}.Formal Definition.Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of real valued functions defined on D. Then {fn} converges pointwise to f if given any x in D and given any ε > 0, there exists a natural number N = N(x, ε) such that |fn(x) − f(x)| < ε for every n > N.Uniform ConvergenceDefinition. Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of real valued functions defined on D. Then {fn} converges uniformly to f if given any ε > 0, there exists a natural number N = N(ε) such that |fn(x) − f(x)| < ε for every n > N and for every x in D.两者的关系是：⼀致收敛必逐点收敛，但反之则不然。
随机变量序列的收敛性及其相互关系开题报告
论文要点
给出依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依 概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了 随机变量序列的收敛性之间的关系。
论文要点
几乎处处收敛
R阶收敛
依概率收敛
依分布收敛
注释：图中
表示推出
至谢
最后，我要感谢所有曾经教导过我的老师和关心 过我的同学，他们在我成长过程中给予了我很大帮助。
随机变量序列的收敛性及其相互关系
指导教师：
班级：信计101班 学生：傅立 学号：2010067
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论文框架
研究背景和意义 课题方向 论文要点 结论
研究背景和意义
概率论是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机 现象出现某一结果的可能性做出一种客观的科学判断，对 这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能 性的大小，研究它们之间的关系，从而形成一套数学理论 和方法。特别值得一提的是，概率论是今天数理统计的基 础，及结果被用作问卷调查的分析资料或的收敛性，寻找概率收敛 中的随机变量序列收敛性的相互性质以及收敛性之间的相 互关系，弄清它们之间的关系在理论和应用上都是很有意 义的。
课题方向
概率统计中的极限定理研究的是随机变量的某种 收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极 限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的 定义。本文即对四种收敛性：a.e.收敛，依分布收敛， 依概率收敛，r阶收敛的概念及性质进行阐述，并讨论 它们之间的相互关系。
函数列一致收敛判别法
学士学位论文题目函数列一致收敛性判别法学生许月指导教师房维维讲师年级 2008级专业数学与应用数学系别数学系学院文理学院哈尔滨师范大学2012年4月目录摘要 (1)关键词 (1)引言 (1)一预备知识........................................................................................................ 错误！未定义书签。
1.1函数列一致收敛性定义 (1)1.2函数列一致收敛性柯西准则 (1)1.3函数列一致收敛性充要条件 (2)二函数列一致收敛性判别法的应用 (2)2.1利用函数列一致收敛性定义证明 (2)2.2利用函数列一致收敛性柯西准则 (3)2.3 利用函数列一致收敛性充要条件 (5)3. 结束语 (6)注释 (6)参考文献 (7)英文摘要 (8)函数列一致收敛性判别法许月摘要: 在高等数学中一致收敛是函数列的一个重要性质，有效的判别函数列一致收敛性的方法，对研究函数列的性质起着重要的作用。
其方法有定义法，柯西准则，充要条件等重要方法，通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，并对各种方法加以系统总结，以便学者熟练并灵活运用.关键词： 函数列；一致收敛；判别法引言本文系统总结了有关函数列一致收敛性的若干证明方法与技巧，通过对例题的分析，回顾了几种常用的函数列一致收敛性判定方法，充分的分析各种判定方法的应用，并结合实例对不同方法进行具体应用，叙述了证明函数列一致收敛性判别方法，即函数列一致收敛性的定义，函数列一致收敛性的柯西准则，函数列一致收敛性的充要条件等方法证明函数列一致收敛性.这样对我们解题将会起到很大的作用.一 预备知识1.1函数列一致收敛的定义定义1：设函数列｛n f ｝与函数()f x 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在一正整数N ，使得当n N >时，对一切x D ∈，都有()()n f x f x ε-<，则称函数列 ｛n f ｝在D 上一致收敛于f ，记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.1.2 函数列一致收敛性的柯西准则定理1（Cauchy ）函数列n f 在D 上一致收敛的充分必要条件上：对任意给定正数ε，总存在正数N ，使得当,n m N >时，对一切x D ∈，都有()()n m f x f x ε-<.1.3函数列一致收敛性的充要条件定理2 函数列｛n f ｝在D 上一致收敛的充要条件是：()()lim sup 0n n x Df x f x →∞∈-=. 二 函数列一致收敛性判别法的应用2.1利用函数列一致收敛性定义证明例1：定义在(),-∞+∞上的函数列()sin ,1,2...n nx f x n n==由于对任何实数x ，都有nn nx 1sin ≤ 故对任给的0ε>，只要1n N ε>=，就有sin 0,nx n ε-<所以函数列sin nx n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛域为无限区间(),-∞+∞, 极限函数()0f x =.注：对于函数列，仅停留在谈论在那些点上收敛是远远不够的，重要的是研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系。
函数项级数的收敛和一致收敛的区别
函数项级数的收敛和一致收敛的区别哎呀，今天咱们聊聊函数项级数的收敛和一致收敛这俩家伙。
听起来是不是有点晦涩？别担心，我会尽量把这话说得简单明了，让你轻松理解。
想象一下，你正在参加一个聚会，有两个小伙伴，一个是收敛，另一个是一致收敛。
他们俩虽然都挺靠谱，但性格上可是有不少区别哦。
收敛这位小伙伴，乍一看还真让人觉得亲切。
他就是那种比较随和的家伙，时不时就能让你心里觉得舒服。
他的主要特点就是，随着某个参数不断变化，他的表现会慢慢趋向一个特定的值。
比方说，你想让他表演个节目，他就会努力地调整自己的表演，直到最终达到你想要的效果，嘿，听起来不错吧？但问题来了，收敛有时候也挺慢吞吞的，尤其在某些情况下，可能需要耐心等待好久才能看到效果，真是有点让人抓狂。
而一致收敛就不同了，这小子可是行动迅速！他是那种一上场就能让你眼前一亮的角色。
他的特点就是不管参数怎么变，他始终能保持一致，给你一个稳定的表现。
就好像你在看一个魔术表演，无论观众坐在哪个位置，魔术师的表演总是一样精彩。
这种一致性让人觉得特别安心，就像一个老朋友，让你可以随时依赖。
要是收敛是个温柔的慢人，那么一致收敛就是个干脆利落的快手。
有意思的是，虽然这俩家伙都能让你看到最终的结果，但过程却大相径庭。
收敛就像在走一条蜿蜒的小路，时不时还有点坑坑洼洼的，需要你小心翼翼地迈步。
而一致收敛则像是在一条平坦的大道上，走起来畅通无阻，真是爽快！不过，得注意的是，收敛有时候会让你看到一些奇怪的现象，可能你明明在等着他趋向一个值，他却在某个点上停下来，让你有点摸不着头脑。
再说了，收敛和一致收敛之间的区别在于他们的“友情”。
收敛可能会和你保持一种“各自为政”的关系，在某个点上，你的结果和他们的行为可以有点距离。
而一致收敛则是“齐心协力”的完美配合，真是一拍即合。
想象一下，大家在一起玩游戏，一致收敛总是能让所有人同步快乐，而收敛就可能有些人跟不上节奏，变得有点尴尬。
还要提一句，这两位小伙伴在数学界可是非常重要的，大家都想和他们建立良好的关系。
逐点收敛和一致收敛的关系
逐点收敛和一致收敛的关系逐点收敛和一致收敛是数学分析中两个重要的概念，用于描述函数序列的收敛性质。
本文将从逐点收敛和一致收敛的定义、区别和联系以及它们在实际问题中的应用等方面进行阐述。
我们来看一下逐点收敛和一致收敛的定义。
设给定函数序列{f_n(x)}，其中n为正整数，x为定义域上的变量。
如果对于任意给定的x值，当n趋于无穷大时，函数序列中的每个函数f_n(x)都收敛于一个确定的极限值f(x)，则称函数序列{f_n(x)}逐点收敛于f(x)。
换句话说，逐点收敛是对于每一个x，函数序列中的每个函数都收敛到同一个极限值。
接下来，我们来看一下一致收敛的定义。
如果对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，当n>N时，函数序列中的每个函数f_n(x)都满足|f_n(x)-f(x)|<ε，其中f(x)是一个确定的函数，那么我们称函数序列{f_n(x)}一致收敛于f(x)。
换句话说，一致收敛是对于任意给定的精度，存在一个正整数N，使得函数序列中的每个函数在定义域上的误差都小于这个精度。
逐点收敛和一致收敛之间存在着一定的联系和区别。
首先，逐点收敛是一种逐点的收敛性质，即对于每一个x，函数序列中的函数都收敛到同一个极限值。
而一致收敛则是一种整体的收敛性质，即函数序列中的每个函数都在整个定义域上收敛到同一个极限值。
可以说，逐点收敛是一种局部的收敛性质，而一致收敛是一种全局的收敛性质。
逐点收敛和一致收敛之间的关系是逐点收敛蕴含一致收敛。
也就是说，如果一个函数序列逐点收敛于某个函数f(x)，那么它一定是一致收敛于f(x)。
这是因为逐点收敛意味着对于每一个x，函数序列中的函数都收敛到f(x)，而一致收敛则要求函数序列中的每个函数在整个定义域上都收敛到f(x)，因此逐点收敛必然蕴含一致收敛。
我们来看一下逐点收敛和一致收敛在实际问题中的应用。
一致收敛是逐点收敛的强化形式，它具有更强的收敛性质，因此在实际问题中更常用。
函数序列的收敛与一致收敛
函数序列的收敛与一致收敛函数序列是指一组函数按照一定的规律排列组成的序列。
函数序列的收敛是指函数序列中的每一个函数都在特定点或特定区间上收敛于同一个函数。
而函数序列的一致收敛是指函数序列在特定区间上的收敛性不仅与特定点有关，还与整个区间的长度有关。
在数学分析中，函数序列的收敛与一致收敛是重要的概念。
收敛性是函数序列研究中的基本问题之一，而一致收敛则是收敛性的一种更强的要求。
一、函数序列的收敛对于函数序列{f_n(x)}而言，存在函数f(x)，当自变量x趋近于特定点a时，函数序列中的每一个函数f_n(x)都收敛于f(x)，则称函数序列{f_n(x)}收敛于函数f(x)，记作f_n(x)→f(x)，或lim f_n(x) = f(x) (n→∞)。
函数序列的收敛性可以通过函数的极限来判定。
如果函数序列中的每一个函数在特定点a处存在有限极限，且所有这些极限都相等，则函数序列收敛于这个极限值。
二、函数序列的一致收敛函数序列{f_n(x)}在区间I上一致收敛于函数f(x)，是指对于任意给定的ε>0，存在N，当n>N时，对于区间I上的任意x，都有|f_n(x)-f(x)|<ε成立。
与函数序列的收敛相比，函数序列的一致收敛更强，它要求不仅对于特定点，所有函数f_n(x)都要连续收敛于f(x)，而且在整个区间上的收敛性都要一致。
函数序列的一致收敛性可以通过序列的极限函数来判定。
如果函数序列的极限函数是一个连续函数，且序列中的每一个函数在整个区间上都逐点收敛于该极限函数，则函数序列在该区间上一致收敛于该极限函数。
三、收敛与一致收敛的关系函数序列的一致收敛是函数序列收敛性的一种更强要求，即一致收敛蕴含着收敛。
但是函数序列的收敛并不一定能推导出一致收敛。
一般来说，函数序列的收敛性可以通过函数的极限来判断，而一致收敛则需要更加严格的条件。
例如，如果函数序列在某个点x收敛，但在整个区间上并不一致收敛，那么序列可能只是逐点收敛于该点，而在其他点上并不收敛。
一致收敛与收敛
在数学中，一致收敛性（或称均匀收敛）是函数序列的一种收敛定义，它较逐点收敛更强，并能保持一些重要的分析性质（如连续性）。
定义：设为一集合，为一度量空间。
若对一函数序列，存在满足，对所有，存在，使得
，则称一致收敛到。
注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中仅与相关，而在逐点收敛中还与相关。
所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。
例子:
考虑区间上的函数序列，它逐点收敛到函数，
然而这并非一致收敛。
直观地想像：当愈靠近，使接近所需的便愈大。
可以依此想法循定义直接证明，也可以利用下节关于连续的性质证明，因为在此例中皆连续，而不连续。
性质：假设一致收敛到，此时有下述性质：
（1）连续性：若是集合的闭包中的一个元素，且每个都在上连续，则也在a 上连续。
若对集合I的每个紧子集，每个都在上连续，则在上连续。
（2）与积分的交换：令为中的开集，或。
若每个都是黎曼可
积，则也是黎曼可积，而且。
注：在勒贝格积分的框架下能得到更广的结果。
（3）与微分的交换：令为中的开集，或。
若每个皆可微，且一致收敛到函数，则亦可微，且。
无穷积分收敛开题报告
无穷积分收敛开题报告无穷积分收敛开题报告一、引言无穷积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学等领域都有着广泛的应用。
本次研究的目标是探讨无穷积分的收敛性质，即在何种条件下无穷积分可以收敛。
通过研究无穷积分的收敛性，我们可以更好地理解它在实际问题中的应用，并且为进一步的研究打下基础。
二、基本概念1. 无穷积分的定义无穷积分是指积分上限为无穷大的积分，常用符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx为微元。
无穷积分的定义可以通过极限的概念来表达，即当积分上限趋向于无穷大时，积分的极限存在。
2. 无穷积分的收敛与发散无穷积分的收敛与发散是指在积分过程中，积分结果是否有限。
如果积分结果有限，则称该无穷积分收敛；如果积分结果无限大或不存在，则称该无穷积分发散。
三、收敛性判定方法1. 收敛性判定准则常见的收敛性判定准则有比较判别法、绝对收敛判别法、正项级数判别法等。
比较判别法是指通过与已知的收敛或发散的函数进行比较，来判断无穷积分的收敛性。
绝对收敛判别法是指若被积函数的绝对值函数在积分区间上收敛，则原函数也收敛。
正项级数判别法是指若被积函数为正函数，并且与正项级数具有相同的收敛性，则无穷积分收敛。
2. 常见函数的收敛性常见的函数在无穷积分中的收敛性可以通过判别法来判断。
例如，幂函数在区间(0, +∞)上的无穷积分收敛的条件是指数大于-1；指数函数在区间(0, +∞)上的无穷积分收敛的条件是指数小于0；对数函数在区间(0, 1]上的无穷积分收敛。
四、应用举例1. 概率密度函数与累积分布函数概率密度函数和累积分布函数是统计学中常用的函数，它们在无穷积分中的收敛性质对于概率论的研究具有重要意义。
通过研究概率密度函数和累积分布函数的收敛性，可以得到随机变量的性质与分布。
2. 物理学中的应用无穷积分在物理学中的应用广泛，例如在力学中，通过对物体受力的积分可以求得物体的位移和速度；在电磁学中，通过对电场和磁场的积分可以求得电势和磁通量等。
函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
定理1. 若级数 u n ( x) 满足 :
n 1
1) 各项un ( x) 在区间[a, b] 上连续;
2) un ( x) 在区间[a, b] 上一致收敛于 S ( x) ,
n 1
则S ( x) 在[a, b] 上连续.
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续 和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
函数序列的一致收敛
回忆
设 fn ( x) 是区间I 上的函数列, 若x0 I , 数列
x 求证f n ( x ) 在( , )上一致收敛. 2 2 1 n x x lim f n ( x ) lim 0, 逐点收敛于f ( x ) 0. 2 2 n n 1 n x x 1 2n x 1 fn ( x) f ( x) 2 2 2 2 1 n x 2n 1 n x 2n 1 n sup f n ( x ) f ( x ) 0. 2n x( , )
2 n n 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
证: S n ( x ) x ( x x ) ( x x
)x
n
S ( x)
xn , 0 x 1 rn ( x) S ( x) S n ( x) x 1 0, 1 1 n 取正数 , 对无论多么大的正数 n , 取xn ( 1 ) , 2 2 xn [0, 1] , 而 rn ( xn ) 1 2 , 因此级数在 [0, 1] 上不
强收敛、弱收敛和一致收敛
泛函分析小论文论文题目：赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛?专业: 数学科学学院年级: 12级姓名: 乌日罕学号: 126任课教师：韩刚>赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛摘要：对赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛进行初步的认识。
首先引进了强收敛、弱收敛和一致收敛的定义、概念，其次讨论了一些相关的例题，最后，给出并证明了定理（强收敛充要条件）。
关键词：强收敛；弱收敛；一致收敛；赋范线性空间一、有关定义、相关的例题及其解析定义1设X是赋范线性空间，X X∈X，X=1,2,…，如果∃X∈X，s.t.‖X X−X‖→0(X→∞)，则称点列{X X}强收敛于X，如果对∀X∈X′，都有X(X X)→X(X)(X→∞)，则称点列{X X}弱收敛于X，记为X X 弱→X(X→∞).※在此注意的是，X X→X(X→∞)⇒X X弱→X，反之不然。
显然强收敛必定弱收敛，但弱收敛不一定强收敛。
例1（弱收敛≠>强收敛）、设X=X2，X X=(0,0，…，0,1,0，…)，X=1,2，…，则‖X X‖= 1，故{X X}不强收敛于0.下证{X X}弱收敛于0，对∀X∈(X2)∗=X2，即X=(X1，X2，…)∈X2⇔∑|X X|2∞X=1<+∞.X(X X)=X X→0(X→∞)( ∴|X(X X)−0|→0(X→∞)∴X(X X)弱→0(X→∞) )定义2设X是赋范线性空间，X′是X的共轭空间，泛函列X X∈X′(X=1,2，…)，如果∃X∈X′，s.t.(1)‖X X−X‖→0(X→∞)，则称{X X}强收敛于X；(2)对∀X∈X，都有|X(X X)−X(X)|→0(X→∞)，则称{X X}弱*收敛于X；(3)若对∀X∈(X′)′，都有X(X X)→X(X)(X→∞)，则称{X X}弱收敛于X.※在此注意的是，1.弱*收敛与弱收敛一般是不同的，但若X是自反的(X∗∗=X，(X2)∗=X2，(X X)∗=X X)则泛函列{X X}的弱*收敛与弱收敛等价。
浅析收敛与一致收敛性
㊀㊀㊀㊀㊀１５６㊀浅析收敛与一致收敛性浅析收敛与一致收敛性Һ岳红云㊀（河南工业大学理学院，河南㊀郑州㊀４５０００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ函数项级数是研究函数的重要工具，收敛与一致收敛性是数学分析中函数的重要性质之一，本文主要通过定义和例题浅析函数项级数的收敛与一致收敛性的联系与不同，从而应用函数项级数的一致收敛性，解释和函数与函数项分析性质的一致性问题，举例说明具有重要的实际应用．ʌ关键词ɔ收敛性；一致收敛性；比较；应用ʌ基金项目ɔ１．河南工业大学２０１９年本科教育教学改革研究与实践项目：基于信息化教学环境下 高等数学Ｂ（二） 课程的混合式教学研究与实践．项目号：ＪＸＹＪ－Ｋ２０１９４５；２．高等学校大学数学教学与研究发展中心２０２０年教学改革项目：以学为中心的高等数学课程混合式教学模式改革的研究与实践．项目号：ＣＭＣ２０２００２０３．一㊁引言在数学分析中，收敛性是函数的重要性质之一，收敛与一致收敛性在数学中的应用极为广泛，函数表达的一种方法是用函数项级数表示，这种方法是表示非初等函数的重要方法．函数项级数不仅可以表示函数，还是研究函数性质以及进行数值计算的重要工具，想要通过函数项级数研究它所表示的函数的重要性质：和函数的连续㊁可积和可微性，就不能只考虑其收敛性，还要考虑更强的收敛性 一致收敛性，一致收敛是确保和函数连续的重要条件，同时也是保障和函数可积和可微不可或缺的条件．下面将从函数项级数的收敛与一致收敛性的定义研究它们的联系与不同．二㊁收敛与一致收敛性的定义１．函数项级数收敛的定义若对∀ｘɪＸ，ｌｉｍｎңɕＳｎ（ｘ）＝Ｓ（ｘ）成立，其中Ｓｎ（ｘ）为ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）的前ｎ项和函数，则称函数项级数ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在区间Ｘ上收敛于Ｓ（ｘ），并称Ｓ（ｘ）为其和函数．我们知道，有限个连续函数的和仍为连续函数，对于可导和可积也有类似的性质．如果遇到的是无穷多个函数之和，也就是函数项级数，当函数项级数的每一项在某区间上连续㊁可导㊁可积时，它的和函数在该区间上是否连续㊁可导㊁可积？那么在什么条件下，才有其和在该区间上连续㊁可导㊁可积？要回答这些问题，需要引入一致收敛．２．函数项级数一致收敛的定义设函数项级数ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在区间Ｘ上收敛于和函数Ｓ（ｘ），前ｎ项和函数为Ｓｎ（ｘ）．如果对任意的ε＞０，有正整数Ｎ＝Ｎε()，满足当ｎ＞Ｎ时，∀ｘɪＸ，有Ｓ（ｘ）－Ｓｎ（ｘ）＜ε，则称函数项级数ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在区间Ｘ上一致收敛于和函数Ｓ（ｘ），或称ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在Ｘ上一致收敛．注记：函数项级数非一致收敛的定义设函数项级数ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在区间Ｘ上收敛于和函数Ｓ（ｘ），前ｎ项和函数为Ｓｎ（ｘ）．如果对某个ε０＞０，对于任意正整数Ｎ＝Ｎ（ε），总存在正整数ｎ０满足当ｎ０＞Ｎ时，∃ｘ０ɪＸ，有Ｓ（ｘ０）－Ｓｎ（ｘ０）ȡε０，则称函数项级数ðɕｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在区间Ｘ上非一致收敛．三㊁例题例１㊀讨论ðɕｎ＝０ｘｎ在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）上的收敛性与一致收敛性．解㊀由题知ðɕｎ＝０ｘｎ是几何级数，公比为ｘ，其前ｎ项和函数Ｓｎ（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－１＝１－ｘｎ１－ｘ，则当－１＜ｘ＜１时，ｌｉｍｎңɕＳｎ（ｘ）＝１１－ｘ，故函数项级数在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）上收敛于１１－ｘ．对任给的ε＞０，要使１１－ｘ－ðｎ－１ｋ＝０ｘｋ＝ｘｎ１－ｘ＜ε（－ｒɤｘɤｒ（０＜ｒ＜１）），只要ｒｎ１－ｒ＜ε，即只要ｎ＞ｌｎ（１－ｒ）εｌｎｒ，故可取Ｎ＝ｌｎ（１－ｒ）εｌｎｒ[]，则对任给的ε＞０，当ｎ＞Ｎ时，Ｎ为正整数，－ｒɤｘɤｒ（０＜ｒ＜１）时，有１１－ｘ－ðｎ－１ｋ＝０ｘｋ＜ε，㊀㊀㊀１５７㊀㊀根据定义，得级数ðɕｎ＝０ｘｎ在［－ｒ，ｒ］上一致收敛于１１－ｘ．例２㊀讨论ðɕｎ＝０ｘｎ在（－１，１）上的收敛性与一致收敛性．解㊀由等比级数的求和公式及函数项级数收敛性的定义可知，函数项级数ðɕｎ＝０ｘｎ在（－１，１）上收敛于１１－ｘ．取ε０＝１ｅ，对任意的正整数Ｎ，总存在ｎ０＝Ｎ＋１＞Ｎ及ｘ０＝ＮＮ＋１ɪ（－１，１），总有１１－ｘ０－ðｎ０－１ｋ＝０ｘｋ＝｜ｘ０｜ｎ０１－ｘ０＝Ｎ１＋１Ｎ()Ｎ＞ε０成立，由定义可知，ðɕｎ＝０ｘｎ在（－１，１）上非一致收敛．注记：①通过上例可以发现，函数项级数ðɕｎ＝０ｘｎ在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）上一致收敛，而在（－１，１）上却非一致收敛，原因是在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）之外的（－１，１）上找不到通用的自然数Ｎ，使得函数项级数与其和函数的距离可以任意小，从而函数项级数在此区间上非一致收敛．②利用定义判定一致收敛性时，需要求出和函数，如果和函数不易求得，此时要判别函数项级数在某区间上的一致收敛性就需要根据函数项级数自身的特点，换用其他方法，比如柯西一致收敛准则㊁维尔斯塔拉斯判别法等．四㊁结论通过收敛与一致收敛的定义和例题可以发现，函数项级数ðɕｎ＝０ｘｎ在（－１，１）上收敛，而在（－１，１）上非一致收敛，原因就是逐点收敛与均匀收敛的差别：函数项级数在（－１，１）上每一点处与某个常数的距离都可以任意小，所以每一点都是收敛的，而在（－１，１）上找不到通用的自然数Ｎ，使得在区间（－１，１）上每一点处函数项级数与其和函数的距离可以任意小（尽管它在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）上是一致收敛的，但在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）之外的（－１，１）上找不到通用的自然数Ｎ），也就是不存在共同的收敛速度，从而函数项级数在区间（－１，１）上非一致收敛．这说明虽然同为收敛，但一致收敛的要求更高，它要求级数在某个范围内有共同的㊁一致的收敛速度．所以对函数项级数来说，收敛只要求对其定义域内的某一个点，函数项级数的部分和与和函数从某个正整数开始，以后的各项是无限接近的，在不同收敛点选取的正整数可以不相同，也就是收敛速度可以不同，所以收敛点与收敛点之间没有必然的联系，此时收敛性只是数列的收敛性，不涉及函数的分析性质，所以在收敛的条件下，函数项的性质与其和函数的性质之间没有必然的联系；一致收敛是指函数项级数在某个范围内有共同的收敛速度，收敛点与收敛点之间相互关联㊁相互制约，保证收敛速度的一致性是函数项级数在一个区间上收敛的整体体现，涉及函数的分析性质，所以在一致收敛的条件下，考查函数项性质与其和函数性质之间的关系时，就会得到 如果函数项级数在某个点集上一致收敛，并且函数项各项在点集上连续，那么和函数也在该点集上连续 的结论，所以在较高的一致收敛条件下，应用函数项级数的一致收敛性就可以利用函数项的性质得到和函数的分析性质．五㊁应用应用函数项级数的一致收敛性，可以研究和函数的连续性，比如，说明函数ｆ（ｘ）＝ðɕｎ＝１１ｎ２ｅ－ｘ２ｎ２在［０，＋ɕ）上连续时，根据函数项级数的每一项都在［０，＋ɕ）上连续，函数项级数又在［０，＋ɕ）上一致收敛，所以和函数就在［０，＋ɕ）上连续．应用函数项级数的一致收敛性，还可以求幂级数的和函数，从而可以产生很多应用，比如近似计算函数值㊁定义初等超越函数，还是表示非初等函数的重要方法．例如，函数ｆ（ｘ）＝ｅ－ｘ２在Ｒ上连续，它在Ｒ上存在原函数，但它的原函数是非初等函数，所以无法表示成有限形式，又因为函数可以展开成幂级数，所以它的原函数就可以表示为幂级数的和函数．ｅ－ｘ２＝１－ｘ２１！＋ｘ４２！－ ＋（－１）ｎｘ２ｎｎ！＋ ＝ðɕｎ＝０（－１）ｎｘ２ｎｎ！，因为它在任意闭区间上都一致收敛，于是，∀ｘɪＲ，它的原函数可表示为Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｅ－ｔ２ｄｔ＝ʏｘ０ðɕｎ＝０（－１）ｎｔ２ｎｎ！{}ｄｔ＝ðɕｎ＝０（－１）ｎʏｘ０ｔ２ｎｎ！ｄｔ＝ðɕｎ＝０（－１）ｎｘ２ｎ＋１ｎ！（２ｎ＋１）．ʌ参考文献ɔ［１］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义：第三版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．［２］段会卿．函数项级数一致收敛的几个判别法［Ｊ］．科技资讯，２０１１（１８）：１７６．［３］武忠祥．工科数学分析基础教学辅导书［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６，９．。
函数项级数一致收敛的判定开题报告
二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路
关键问题：对函数项级数一致收敛性判别法总结和推广。
基本思路：首先从定义出发，让读者了解函数项级数及一致收敛的定义，对函数项级数一致收敛有一个大致的认识，并对其进行一定的说明，且将收敛与一致收敛做一个比较，使读者对其有一个更深刻的认识。随后给出一些常见的一致收敛的判别法，并附上例题加以说明。当熟悉了一般的判别法后，我将其加以推广，得到一些特殊的判别法，如比式判别法，根式判别法，对数判别法等。
三、论文纲要
1、引言
2、定义
函数项级数定义
函数项级数一致收敛的定义
3、函数项级数一致收敛的判别方法
柯西一致收敛准则
余项判别法
魏尔斯特拉斯判别法
狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
比式判别法
根式判别法
对数判别法
积分判别法
确界判别法
5、结束语
阐明总结函数项级数一致收敛判别方法的重要性及必要性。
四、主要参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].高等教育出版社.1991
收敛与一致收敛 开题报告
《收敛与一致收敛》开题报告综述本课题研究动态、选题目的及意义收敛与一致收敛的应用非常广泛，涉及到数学的许多领域，在数学的代数分支中有很重要的地位，许多数学家对收敛与一致收敛都进行了仔细的研究，并且有很多成果，有些著名的收敛判别法运用非常广泛(如两边夹定理，柯西收敛准则，M判别法，狄利克雷判别法)，它们在外表上结构美观，具有数学美。
本课程在学习和研究已有文献资料的基础上，总结归纳关于数列，数值级数、函数级数、幂级数、泰勒级数、傅立叶级数以及无穷积分瑕积分收敛与一致收敛的性质和判别方法及其应用。
努力通过此毕业论文的设计工作，初步掌握科学研究的基本方法，而且通过老师指导、自学思考、文献查询等方式。
通过对数列，数值级数、函数级数、幂级数、泰勒级数、傅立叶级数以及无穷积分瑕积分收敛与一致收敛的研究，认真总结和归纳研究的基本方法和怎样去解决一些关于收敛与一致收敛的问题在数学和生活中的应用。
并形成相关的思路。
掌握了科学研究的基本方法，养成动手查阅资料的好习惯。
通过对这次毕业论文的研究培养思考问题并且有计划，有这样在以后的工作和学习中会起到事半功倍的作用。
研究基本内容、拟解决的主要问题研究数列收敛与发散的概念，收敛数列的性质，四则运算以及判别方法；数值级数收敛与发散的概念，性质以及绝对收敛级数的性质；函数级数的一致收敛概念以及判别法；幂级数、泰勒级数傅、里叶级数的收敛性质。
无穷积分以及瑕积分收敛与发散的概念，性质以及无穷积分和瑕积分的敛散性的判别法。
查询、阅读相关文献，在此基础上，重点阐述，解决数列，数值级数、函数级数幂级数、泰勒级数、傅立叶级数以及无穷积分与瑕积分收敛与一致收敛的问题。
在此过程中学习研究的基本方法，学会资料的收集和整理，努力通过此项研究，初步掌握科学研究的基本方法。
研究方法、步骤及措施研究方法通过查阅相关参考书等自学方式，找到正确高效的学习方法，保证足够的时间，遇到问题与同学讨论，共同发现问题，找到解决问题的途径，在关键时候向指导老师请教，走出误区，获得启示，继续研究。
浅谈函数列收敛与一致收敛的关系及差异
摘要：本文从定义、定理、集合的角度，通过正反对比的例题，论述函数列收敛、一致收敛、内闭一致收敛间的相互关系及其差异关键词：函数列；收敛；一致收敛；内闭一致收敛Abstract：This paper from the definition, theorem, the set point of view, through the contrast of examples, discusses the function series convergence, uniform convergence, in close relationship and difference between the uniform convergenceKeyword：Function series; convergence; uniform convergence; uniform convergence目录1 引言 (4)2 函数列收敛与一致收敛的定义 (4)2.1 函数列收敛 (5)2.2函数列的一致收敛 (5)3 论述函数列收敛与一致收敛的差异 (5)4 阐述函数列收敛与一致收敛的相互关系 (9)4.1从定理的角度阐述 (10)4.2从集合的角度阐述 (11)结论 (12)参考文献 (13)致谢 (14)1引言收敛与一致收敛理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学的难点之一。
特别是函数列的收敛与一致收敛问题，在各个版本的数学分析教科书中往往都把函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题混在一起，导致学生往往难以透彻的理解这个概念。
而且证明时学生常常都用""N -ε语言硬套，各个版本数学分析中对这个概念也仅仅是一般性叙述，例题很少，尤其是正反例题更少。
所以本文为了让学生更好掌握这一重要概念将从定义、定理、集合的角度，系统论述函数列收敛与一致收敛及内闭一致收敛间的相互关系及差异，让这部分内容能够独立建立2 函数列收敛与一致收敛的定义2.1函数列收敛：设,2,1f f …,,nf … （1） 是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列。
函数项级数的一致收敛性读书报告
函数项级数的一致收敛性几种常用判别法定理1 Cauchy 一致收敛准则 函数项级数()∑x u n 在D 上一致敛的充要条件为：对0>∀ε，总+∈∃N N ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有()()ε<-+x S x S n p n 或 ()()()ε<++++++x u x u x u p n n n 21 或()ε<∑++=pn n k kx u 1特别地，当1=p 时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件： 推论1 函数项级数在()∑x u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于0．定理2 M 判别法或优先级判别法设函数项级数()x u n ∑定义在数集D 上,∑n M 为收敛的正项级数,若对一切D x ∈,有 2,1,)(=≤n M x u n x ，则函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.证明 由假设正项级数()x u n ∑收敛,根据函数项级数的Cauchy 准则,∀0>ε,∃某正整数N ,使得当N n >及任何正整数p ,有ε<+=++++++p n n p n n M M M M 11又由(3)对一切D x ∈,有()≤+≤++++++x u x u x u x u p n n p n n )()()(11ε<+++p n n M M 1根据函数项级数一致收敛的Cauchy 准则,级数()x u n ∑在D 上一致收敛.注:若能用从判定()∑∞=1n n x u 一致收敛,则()∑∞=1n n x u 必是绝对收敛,故M 判别法对条件收敛的函数项级数失效.例1 函数项级数∑∑22cos ,sin nnxn nx 在()+∞∞-,上一致收敛,因为对一切∈x ()+∞∞-,有22221cos ,1sin n n nx n n nx ≤≤,而正项级数∑21n 是收敛的. 推论2 设有函数项级数()x u n ∑,存在一收敛的正项级数∑∞=1n n a ,使得对于,I x ∈∀有()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,则函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛证明 已知()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,即,,,,00I x N n N N ∈∀>∀∈∃>∃+ε有()0ε<-k a x u n n 即()k a x u n n +<0ε,从而()()n n a k x u +<0ε,又因为∑∞=1n n a 收敛,则()n n a k ∑∞=+1ε也收敛,由M 判别法得函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛.由广义调和级数∑∞=11n p n ,当1>p 时收敛,故当n a =pn 1时,有 推论3 设有函数项级数()∑∞=1n n x u ,若存在极限k x u n n p n =∞→)(lim 且1,0>+∞<≤p k ,则函数项级数()x u n ∑在区间I 一致收敛.例2 证明函数项级数∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0是一致收敛的.证明 对于∑∞=+++1)1)((1n n x n x ,存在收敛的正项级数∑∞=121n n,且=+++⋅∞→)1)((1lim 2n x n x n n 1)1)((lim 2=+++∞→n x n x n n , 则∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0一致收敛.定理3 比较判别法两个函数项级数()∑x u n 与()x v n ∑,若N N ∈∃0,当I x N n ∈∀>∀,0有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,则函数()x u n ∑区间I 绝对一致收敛.证明 已知 ()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,即对cε∀0>(其中c 为正常数),11,N n N N >∀∈∃及I x N p ∈∈,,有()()()cx v x v x v p n n n ε<++++++ 21；又由条件知I x N n N ∈>∀∃,,00有()x v c x u n n <)(；取{},,max 01N N N =当I x N p N n ∈∈∀>∀,,,有()()()<++++++x u x u x u p n n n 21()()()()εε=⋅<++++++cc x v x v x v c p n n n 21．由收敛级数一致收敛Cauchy 准则知，函数项级数∑)(x u n 在区间I 一致收敛，从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.定理4若有函数级数()∑x u n 与()x v n ∑,N N ∈∃0,I x N n ∈∀>∀,0有()x cv x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 一致收敛,则函数()∑∞=1n n x u 区间I 绝对一致收敛.证明 已知I x N n N ∈>∀∃,,00,有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数). 又函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,即I x N p N n N N c∈∈>∀∈∃>∀,,,,011ε,有()()()()cx v x v x v x v x v p n n p n n n ε<+=++++++++ 121)(；取{},,max 10N N N =当I x N p N n ∈∈>∀,,有()()()()()()x u x u x u x u x u x u p n n n p n n n +++++++++≤++ 2121()()()x v x v c p n n ++++< 1εε=⋅<cc从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.推论4 比较极限法若有两个函数级数()∑∞=1n n x u 与()())0(1≠∑∞=x v x v n n n ,且有()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,若级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,则函数()∑x u n 在区间I 也绝对一致收敛.证明 由()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,即,,00N n ∈∃>∀ε当I x N n ∈>,有()()0ε<-k x v x u n n 使()()c k x v x u n n=+<0ε且00>+=εk c .即N n >∀及I x ∈有()()x v c x u n n <,又级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,知级数()∑∞=1n n x u 在区间I绝对一致收敛.推论5 有函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,且函数级数()∑∞=1n n x v 在区间I绝对一致收敛,则函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上也绝对一致收敛.证明 由已知函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,即I x N n M ∈∈∀>∃,,0有()M x u n ≤,使当I x N n ∈∈∀,有()()()x v M x v x u n n n ≤⋅,又因函数级数()∑x v n 在区间I 绝对一致收敛,函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上绝对一致收敛.例3 若函数级数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,且I x N n ∈∈∀,,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,则函数项级数()x b n ∑在区间I 上一致收敛.证明 由条件函数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,则级数()()()∑-x a x c nn在区间I 上一致收敛.又I x N n ∈∈∀,有()()()x c x b x a nn n ≤≤,故()()()()x a x c x a x b n n n n -≤-≤0且级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 绝对一致收敛,级数()()()∑-x a x b n n 在区间I 上一致收敛.又已知()x a n ∑在区间I 一直收敛,从而级数()()()()()[]()()()()x a x a x b x a x a x b x b n n n n n n n ∑∑∑∑+-=+-=在区间I 上一致收敛.推论6 设函数项级数()∑x u n 定义在数集上，()∑x v n 在上一致收敛且()0>x v n ，若对一切D x ∈，有()()x v x u n n ≥， ,2,1则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛.推论7 设函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛，函数()x g 在D 上有界，则()()x u x g n∑在D 上一致收敛.证明 因为()x g 在D 上有界,所以,0>∃M 使()M x g ≤,对D x ∈∀成立.因()x u n∑在D 上一致收敛,,0,,0>∃>∀∴p N ε使当N n >,时有()Mx u pn nk k ε<∑+=,对D x ∈∀成立,此式表明()()()()εε=⋅<<∑∑+=+=MM x u x g x u x g pn nk k pn nk k .由Cauchy 准则知()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.定理5 Dirichlet 判别法设(i )()x u n ∑的部分和函数列()()x u x s nk k n ∑==1在I 上一直致有界;(ii )对每一个I x ∈，()x v n 单调; (ⅲ)在I 上()()∞→→n x v n 0,则级数和()()x u x v nn∑在I 上一致收敛.证明 充分性 由(i )∃正数M ,对一切I x ∈,有()M x s n ≤,因此当为任何正整数p n ,时()()()()()M x s x s x u x u x u n p n p n n n 221≤-=++++++ ,对任何一个I x ∈,再由(ii )及Abel 引理,得到 ()()()()()x v x v M x v x v x v p n n p n n n ++++++≤+++22)(121 .再由(ⅲ)对,0,0>∃>∀N ε当N n >时,对一切I x ∈,有()ε<x v n ；所以()()()()εεεM M x v x u x v x u p n p n n n 6)2(211=+<++++++于是由一致收敛的Cauchy 准则级数()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛. 注:事实上必要性也成立,即已知()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛,可推出(i )(ii )(ⅲ)成立,这里不再赘述.例4 若数列{}n a 单调且收敛于0,则级数∑nx ancos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.证明 由()π2,0,2sin221sin cos 211∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∑=x x x n kx nk 得在[]απα-2,上有212sin 21212sin21212sin 221sin cos 1+≤+≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=αx x x n kx nk ,所以级数∑nx cos 的部分和函数列在[]απα-2,上一致有界,于是令()()n n n a x v nx x u ==,cos ,则由Dirichlet 判别法可得级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.定理6 积分判别法设()y x f ,为区域(){}+∞<≤∈=y D x y x R 1,|,上的非负函数, ()x u n ∑是定义在数集D 上的正项函数级()()n x f x u n ,=,如果()y x f ,在[)+∞,1上关于y 为单调减函数,若含参变量反常积分()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,()x u n ∑在数集D 上一致收敛.证明 由()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,对0>∀ε,∃一个N ,当Nn >时,对一切自然数p 和一切D x ∈,有()ε<⎰+pn n dy y x f ,.由()()()<+++++x u x u x u p n n n 21()ε<⎰+pn ndy y x f ,,所以()x u n ∑在数集D上一致收敛.例5 设()∑∞=-⋅=1n nx e n x S ,证明()x S 在区间()+∞,0连续.证明 首先对任意取定一点()+∞∈,00x ,都存在0>δ,使得[)+∞∈,0δx ,我们只要证明()x S 在0x 即可.令()yx e y y x f -⋅=,,[)+∞∈,δx ,由()δy yxey ey y x f --⋅<⋅=,,[)+∞∈,δx ,并且无穷级数dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1收敛,所以含参积分dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1在[)+∞∈,δx 上一致收敛.又因为()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞<≤=∈<-=-δ1,0|,,,01,y x y x R y x yx e y x f yx y 即对任意固定[)+∞∈,δx ,()yx e y y x f -⋅=,关于y 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1δ上是单调递减的 ,函数级数∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅11δn nxen 在区间[)+∞∈,δx 上是一致收敛的.利用函数项级数的性质可得, ()∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅=11*δn nxen x S 在区间[)+∞∈,δx 连续,从而()()x S e n x S n nx *11+⋅=∑=-δ在区间[)+∞∈,δx 也连续,所以()x S 在0x 连续,由0x 在()+∞,0的任意性可知, ()x S 在()+∞,0上连续.定理7 函数列(){}x u n 在[]b a ,上连续且单调,级数()∑a u n 和级数()||b u n 收敛,则级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.证明 级数()∑a u n 和()∑b u n 收敛.则()∑a u n +()∑b u n 收敛.由(){}x u n 在[]b a ,上连续且单调,则()||x u n <()||a u n +()||b u n ,由M 判别法知,级数()x u n∑在[]b a ,上一致收敛.定理8设函数()x u n ,() ,2,1=n 在[]b a ,上可微(其中b a ,为有限数),且满足如下条件:(i )函数项级数()x u pn n k k∑++=1在[]b a ,上收敛;(ii )存在常数M ,使得对任意的自然树1≥m ,任意的实数[]b a x ,∈,恒有()M x u n<∑/,则函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明 对0>∀ε,因为b a ,为有限数,所以存在自然数k ,使得()εεk a b k a +≤≤-+1,我们在闭区间[]b a ,上插入分点i a x a x i ε+==,0,()1,2,1-=k i ,b x k =,于是,闭区间被分成k 个小区间[]i i x x ,1-,()k i ,2,1=.从而有[]b a ,=[]i i ki x x U ,11-=.又因为函数项级()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上是收敛的,故对任意i x ()1,2,1-=k i ,存在自然数()i x N ,ε,使得()i x N n ,ε>时,对任意p ,有()ε<∑++=pn n j ijx u 1.于是,对任意[]i i x x x ,1-∈,在自然数()i x N ,ε,使得()1,->i x N n ε时, 对任意p ,有()()()()ipn n j jp n n j p n n j ijjpn n j jx u x u x u x u ∑∑∑∑++=++=++=++=+-=1111()()()∑∑∑++=++=++=+-≤pn n j ijpn n j pn n j ijjx u x u x u 111()εε+-≤-++=∑11/i pn n j j xx u()()εεε+--≤-=+=∑∑11/1/i nj jpn j jxx u u()()εεε+-+≤-=+=∑∑11/1/||i nj jpn j jxx u u()ε12+≤M因此,对0>∀ε,存在自然数(){}1,,1,0|,max 0-==k i x N N i ε,使得当0N n >时,任意[]b a x ,∈,任意自然数p ,均有()ε)12(1+<∑++=M x u pn n j j.即函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.定理9 设()x u nn ∑为定义在数集D 上的函数项级数,D x ∈0为()x u nn ∑的收敛点,且每个()x u n 在上一致可微, ()x u nn ∑/在上一致收敛,记()=x S ()x u nn ∑.定理10 设函数列(){}x u n 在闭区间[]b a ,上连续可微,且存在一点[]b a x ,0∈,使得()x u n n ∑∞=1在点0x 处收敛; ()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛,则函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收.证明 已知()x u n n ∑∞=1在点[]b a x ,0∈处收敛, ()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛.即对()εε1,N o ∃>∀,使得()ε1N n ≥时,对+∈∀N p ,有()ε<∑+=+=p n k n k kx u 1成立.对[]b a x ,∈∀,有()ε<∑+=+=p n k n k k x u 1/.根据拉格朗日中值定理,[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+,有()()∑∑++=++=-pn n k pn n k k k x u x u 110≤()∑+=+=p n k n k k u 1/ξ0x x -<()a b -ε,(ξ介于x 与0x 之间)．于是[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+，()()()()∑∑∑∑++=++=++=++=+-≤pn n k kp n n k p n n k kkpn n k kx u x u x u x u 1111||()()1+-=+-≤a b a b εεε．即()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.定理11 （根式判别法）设∑)(x u n 为定义在数集D 上的函数项级数，记n n n x u x q )()(=，若存在正整数N ，正数q ，使得1)(<≤q x u n n 对一切的N n >，D x ∈成立，则函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明 由定理条件n n q x u ≤)(对一切N n >，D x ∈成立，而几何级数∑nq 收敛，由优级数判别法知，函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．综上可知，判别函数项级数一致收敛与非一致收敛有多种方法，有的方法对某一类函数项级数能显示其优点，熟练掌握函数项级数一致收敛与非一致收敛判别方法，这对研究收敛函数项级数所确定的函数分析性质至关重要．参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M ].第三版.北京:高等教育出版社.。
函数项级数收敛判别法的推广和应用【开题报告】
开题报告数学与应用数学函数项级数收敛判别法的推广和应用一、选题的意义人类的文明进步和社会发展，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文学科的基础的地位。
数学分析的形成和发展是由于物理学、天文学、几何学等研究领域的进展和突破。
级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。
级数的收敛问题是级数理论的基本问题。
将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，即函数项级数函数项级数的出现不仅大大丰富和发展了已有的微积分理论，同时大大扩展了微积分学的应用范围。
首先，函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地。
其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个基本方法。
利用级数的理论出现了Taylor展开式和 Fourier 展开式的有关理论，以后又出现了用多项式和三角函数来逼近函数的理论。
实际上函数项级数的理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重大的影响。
研究函数项级数收敛具有重要意义，我们通过研究函数项级数收敛判别法，尤其是一致收敛的判别法，并且将它们推广和应用具有理论和现实作用。
二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）所谓函数项级数1() nn u x∞=∑在某区间I上收敛，是指它逐点收敛。
即：对I中每固定一点X∈I,作为数项级数，1() nn u x∞=∑总是收敛的。
因此对收敛性，可用数项级数的各种判别法进行判断。
如：利用级数收敛的定义或者级数收敛的柯西准则。
如果是正项级数的话还可以用比较原则、比式判别法、根式判别法等。
由于无穷级数的收敛性和它的部分和数列的收敛性是相同的，因此，研究函数项级数的收敛性可以研究它的部分和数列的收敛性。
复学习理论的关键定理和学习过程一致收敛速度的界的开题报告
复学习理论的关键定理和学习过程一致收敛速度的界的开
题报告
该开题报告的主要内容是介绍复学习理论中的关键定理和学习过程的一致收敛速度的界，并探讨该理论的应用和研究意义。
1. 研究背景
复学习作为机器学习的一个分支，主要研究一些复杂和高维数据的分类、回归和聚类等问题。
由于数据量大、特征复杂和噪声干扰等因素的存在，复学习的方法和理论相对传统的机器学习更加复杂和困难。
因此，复学习理论的研究和发展对于提高机器学习的效果和应用具有重要的意义。
复学习理论中，关键的定理为VC维定理和Rademacher复杂度界。
VC维定理主要描述了学习算法的复杂度和样本容量之间的关系，可用于评估学习算法的复杂度和泛化能力。
Rademacher复杂度界则描述了学习算法的一致性收敛速度的上界，可用于解析估计算法的收敛性能。
2. 研究目的
本文的研究旨在对复学习中的VC维定理和Rademacher复杂度界进行深入的探讨和研究，进一步探索学习过程的一致收敛速度的上界。
同时，也探讨了该理论在复杂数据分类、回归和聚类等方面的应用和研究意义。
3. 研究方法
本文主要采用文献调研和理论分析的方法进行研究。
首先对VC维定理和Rademacher复杂度界进行理论分析和解释，进一步探讨学习过程的一致收敛速度的上界。
然后采用复杂数据分类、回归和聚类等领域的实例进行验证和探究该定理的应用效果。
4. 预期结果
本文的预期结果为深入探讨和研究VC维定理和Rademacher复杂度界，进一步搭建和完善复学习理论体系。
同时探讨该理论在复杂数据分类、回归和聚类等方面的应用和研究意义，为机器学习的研究和发展提供良好的理论基础和指导。
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《收敛与一致收敛》开题报告
综述本课题研究动态、选题目的及意义
收敛与一致收敛的应用非常广泛，涉及到数学的许多领域，在数学的代数分支中有很重要的地位，许多数学家对收敛与一致收敛都进行了仔细的研究，并且有很多成果，有些著名的收敛判别法运用非常广泛(如两边夹定理，柯西收敛准则，M判别法，狄利克雷判别法)，它们在外表上结构美观，具有数学美。
本课程在学习和研究已有文献资料的基础上，总结归纳关于数列，数值级数、函数级数、幂级数、泰勒级数、傅立叶级数以及无穷积分瑕积分收敛与一致收敛的性质和判别方法及其应用。
努力通过此毕业论文的设计工作，初步掌握科学研究的基本方法，而且通过老师指导、自学思考、文献查询等方式。
通过对数列，数值级数、函数级数、幂级数、泰勒级数、傅立叶级数以及无穷积分瑕积分收敛与一致收敛的研究，认真总结和归纳研究的基本方法和怎样去解决一些关于收敛与一致收敛的问题在数学和生活中的应用。
并形成相关的思路。
掌握了科学研究的基本方法，养成动手查阅资料的好习惯。
通过对这次毕业论文的研究培养思考问题并且有计划，有这样在以后的工作和学习中会起到事半功倍的作用。
研究基本内容、拟解决的主要问题
研究数列收敛与发散的概念，收敛数列的性质，四则运算以及判别方法；数值级数收敛与发散的概念，性质以及绝对收敛级数的性质；函数级数的一致收敛概念以及判别法；幂级数、泰勒级数傅、里叶级数的收敛性质。
无穷积分以及瑕积分收敛与发散的概念，性质以及无穷积分和瑕积分的敛散性的判别法。
查询、阅读相关文献，在此基础上，重点阐述，解决数列，数值级数、函数级数幂级数、泰勒级数、傅立叶级数以及无穷积分与瑕积分收敛与一致收敛的问题。
在此过程中学习研究的基本方法，学会资料的收集和整理，努力通过此项研究，初步掌握科学研究的基本方法。
研究方法、步骤及措施研究方法
通过查阅相关参考书等自学方式，找到正确高效的学习方法，保证足够的时间，遇到问题与同学讨论，共同发现问题，找到解决问题的途径，在关键时候向指导老师请教，走出误区，获得启示，继续研究。
研究步骤及措施：
1、明确相关概念。
2、收集相关资料。
3、归纳、发现其它性质，运用性质解决实际问题。
研究进度计划12.12－12.16 主动与其指导教师联系，指导教师交待论文相关事宜，确定论文题目。
12.17－1.3 按要求完成开题报告，指导教师审阅开题报告并签署详细意见。
1.5－1.20 搜集相关资料、为论文的撰写做准备。
1.21－3.5 查阅文献资料、设计研究方案、进行选题的论证
3.6－3.18 以书面形式完成中期报告，汇报课题的完成情况。
3.19－
4.25 完成毕业论文（设计）初稿。
请指导教师对初稿提出修改意见，在此基础上形成论文第二稿。
4.25－
5.10 在老师指导下进一步修改二稿论文，形成论文正稿。
按要求将论文所有资料袋装，交与指导老师评阅。
5.11－5.17 对论文进行进一步思考，准备答辩并写出答辩稿。
5.18－5.20 参加毕业论文（设计）答辩。
指
导
教
师
意
见
指导教师签字______年月日
院
（
系
）
审
核
意
见
负责人签字______年月日备注：此报告应根据下达的毕业设计（论文）任务书，在指导教师的指导下由学生独立撰写。