结构力学课件：第六章《结构位移计算》精选课件PPT
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第六章 结构位移计算
同，截面的I、A均为常数。
解：（1）虚拟状态如图b，各杆内力为
AB段： M x , FN 0, FS 1 BC段： M l , FN 1, FS 0
（2）实际状态中，各杆内力为
AB段：
MP
qx2 2
,
FNP 0,
FSP qx
BC段：
MP
ql 2 2
,
FNP ql,
FSP 0
（3）代入位移计算公式
三、计算位移的有关假定
1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
第6章
求图a所示桁架AB杆的角位移。
在位移微小的前提下，桁架杆件的 角位移=其两端在垂直于杆轴方向上的 相对线位移除以杆长，如图b。
AB杆的角位移
AB
ΔA
d
ΔB
荷载所做的虚功
1 d
ΔA
1 d
ΔB
ΔA
d
ΔB
AB
第6章
计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合
胡克定律。
求图a所示结构K点的竖向位
A —截面A的角位移（顺时针方向） B —截面B的角位移（逆时针方向） AB A B —截面A、B的相对角位移
ΔC —C点水平线位移（向右） ΔD —D点水平线位移（向左） ΔCD ΔC ΔD —C、D两点的水平相对线位移
解：（1）虚拟状态如图b，各杆内力为
AB段： M x , FN 0, FS 1 BC段： M l , FN 1, FS 0
（2）实际状态中，各杆内力为
AB段：
MP
qx2 2
,
FNP 0,
FSP qx
BC段：
MP
ql 2 2
,
FNP ql,
FSP 0
（3）代入位移计算公式
三、计算位移的有关假定
1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
第6章
求图a所示桁架AB杆的角位移。
在位移微小的前提下，桁架杆件的 角位移=其两端在垂直于杆轴方向上的 相对线位移除以杆长，如图b。
AB杆的角位移
AB
ΔA
d
ΔB
荷载所做的虚功
1 d
ΔA
1 d
ΔB
ΔA
d
ΔB
AB
第6章
计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合
胡克定律。
求图a所示结构K点的竖向位
A —截面A的角位移（顺时针方向） B —截面B的角位移（逆时针方向） AB A B —截面A、B的相对角位移
ΔC —C点水平线位移（向右） ΔD —D点水平线位移（向左） ΔCD ΔC ΔD —C、D两点的水平相对线位移
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
结构力学+结构位移计算
结构力学
郑州大学土木工程学院
§6–2 实功与虚功 广义力与广义位移
11
2、广义力与广义位移
与力有关因素 广义力P
在虚功式中包含了两个方面因素： 广义力与广义位移的关系是：它
与广义力相应的位移因素
们的乘积是虚功。即：W=P
广义位移
广义力
相应的广义位移
单个力
力作用点沿力方向上的线位移
单个力偶
力偶作用截面的转角
(3)在结构的制作、架设、养护等过程中，常需预先知道结
构的位移，以便采取一定的施工措施。例如建筑起拱。图示
(4)在结构的动力计算和稳定计算中，也需计算结构的位移。
★结构位移是几何量，自然可以采用以杆件变形关系为基
础的几何法计算，但计算位移更好的方法是以虚功原理为基
础的虚功法。
3、线性变形体系
d2 y dx2
21
(2)虚设力求未知位移（虚力原理）
①求虚C设y 。平衡力系。在拟求位移点c1 A
沿拟求位移方向虚设一集中力。
②虚力原理之应用
l
BC
Cy
a
FΔCy FRAc1 0
F1
已 可为根虚知任C简据力y位意的便虚状移假Δ值C起力态之设y与见与原间，F，实理的为的FFR令际建几计大A F位立c何算小1=移的1方方无，al状虚程便关c则态功1。，。(是方↓常彼程)取此，F 无实=A1关质F。RA的上这(是种al拟CVF利求与用的F无虚未B关功知)原位，理移故C沿与F
FS1
Wv FN1du2 FS1 2ds M1d2
M1+dM1 FN1+dFN1
ds FS1+dFS1
d2=2ds
对整个杆系结构：
结构力学课件位移法对称性
31Z1 32Z2 33 X 3 3P 0
rij由第 j个附加约束的单位位移引起的第 i个附加约束上的约束反力影 响系数（i，j = 1，2）; r13 和 r23 表示单位多余未知力引起的第 1，2 个附加约束上的约束反 力影响系数。
3j由第 j个附加约束的单位位移引起的第 3个多余未知力的位移影响
静定结构
超静定结构
仅某一几何不变部分承受一平 仅某一几何不变部分承受一平 衡力系时，其它部分仍将产生 衡力系时，其它部分不受力。 内力（由于多余约束要限制其
变形）。
仅基本部分承受荷载时，附属 部分不受力。
？
作业（16）
习题集：5-25、26、37、45、51
谢 谢!
2010.8
由一端固定、一端铰支梁的形常数可画出各柱子的弯矩图。
启示
2 3 2 5 2
M
3EI 2h2
tl
M 3M 5M
★离对称轴越远的柱子，温度影响越大。 ★结构上通过设置温度缝，减小温度影响。 ★斜撑尽量设置在结构中部，减小斜撑温度应力。
第六章 位移法
6.6 位移法与力法的比较
The comparison of the displacement method to force
6.5 支座移动、温度变化 作用时的位移法
Effects of support settlement and temperature change
1. 支座移动
例：作M 图，EI=常数。
l
l
l
解: r11Z1+R1C=0
Z1
4i r11 8i
Z1=1 3i
i
M1
2i
3i / 2l
15i / 8l M
rij由第 j个附加约束的单位位移引起的第 i个附加约束上的约束反力影 响系数（i，j = 1，2）; r13 和 r23 表示单位多余未知力引起的第 1，2 个附加约束上的约束反 力影响系数。
3j由第 j个附加约束的单位位移引起的第 3个多余未知力的位移影响
静定结构
超静定结构
仅某一几何不变部分承受一平 仅某一几何不变部分承受一平 衡力系时，其它部分仍将产生 衡力系时，其它部分不受力。 内力（由于多余约束要限制其
变形）。
仅基本部分承受荷载时，附属 部分不受力。
？
作业（16）
习题集：5-25、26、37、45、51
谢 谢!
2010.8
由一端固定、一端铰支梁的形常数可画出各柱子的弯矩图。
启示
2 3 2 5 2
M
3EI 2h2
tl
M 3M 5M
★离对称轴越远的柱子，温度影响越大。 ★结构上通过设置温度缝，减小温度影响。 ★斜撑尽量设置在结构中部，减小斜撑温度应力。
第六章 位移法
6.6 位移法与力法的比较
The comparison of the displacement method to force
6.5 支座移动、温度变化 作用时的位移法
Effects of support settlement and temperature change
1. 支座移动
例：作M 图，EI=常数。
l
l
l
解: r11Z1+R1C=0
Z1
4i r11 8i
Z1=1 3i
i
M1
2i
3i / 2l
15i / 8l M
结构力学 结构的位移计算
A1
ds
M N Q
此为局部变 形位移公式
d ds
§8-2 结构位移计算的一般公式
二.结构位移计算的一般公式
整个杆件的变形
可根据叠加原理，得：
d M N Q 0 ds
如果结构中有多个杆件，则
d M N Q 0 ds
1 c
1 cA 0 3
c
1 cA 3
1
1 1 cA 0 cA 2l 2l
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
当支座有给定位移 cK 时，静定结构的位移可用虚功原理求出，其 计算步骤如下： (1)沿拟求位移 方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用 下的支座反力 RK 。 (2)令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程：
求未知力
虚功原理之 虚位移原理 虚功原理之 虚力原理
单位位移法
求未知位移
单位荷载法
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
三.支座移动时静定结构的位移计算
下面应用单位荷载法求支座移动时静定结构的位移
如图 ⑴求C点的竖向位移 C ；
所示：⑵杆CD的角位移 ： ⑴求C点的竖向位移 C，应在C 加—个单位竖向荷载。而求杆 CD的角位移 ，应在杆CD上加 一个单位力偶荷载，利用虚力 原理得虚功方程：
●变形类型：它既可以考虑弯曲变形，也可以考虑拉伸或剪切变形。 ●变形因素：它既可以考虑荷载引起的位移，也可以考虑温度或支
座移动引起的位移。
●结构类型：它可用于梁、刚架、桁架、拱等各类型式的结构，也 可用于静定或起静定结构。
§8-2 结构位移计算的一般公式
◆ 此式不仅是变形体体系位移计算的一般公式，也是变形体虚功原理 的一种表示形式。因为：
结构力学——第6章结构位移计算讲解
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
结构力学课件(虚功原理与结构位移计算)
产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向
的位移 Q 。
i
B
d
A
Q
i
B
A
Q
1
A
B
a
a
Q
M 1 sin a
虚功方程：1 m M d 0 2019/11/22 m M d
Q 1 sin
1 Q Q d 0
8
Q Q d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在
实际变形状态
虚力状态
( M N Q )ds Rkck
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .N .Q .Rk 表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
2019/11/22
15
§4-3 荷载作用下的位移计算
3）若广义力是等值、反向的一对力P
T P A P B P( A B ) P P
AP t
B
P
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
mΔA
t
β ΔB Δ
表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。
m
A
Bm
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
T m A mB m( A B ) m
2019/11/22
1
第四章
2019/11/22
2
§4-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础
产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差
c
结构力学课件位移法典型方程
第六章 位移法
6.3 位移法的典型方程
Canonical equations of displacement method
1. 位移法基本方程的建立
两种途径： 典型方程法：将杆端力视为各影响因素单独作用效果的 叠加，由此借助平衡条件建立位移法方程。（讲授）
直接平衡法：直接利用转角位移方程，按照结点或截面 的平衡条件建立位移法方程。（自学）
······ rn1Z1 + r n2Z2 + ···+ rnnZn + RnP = 0
可用矩阵表示为：[r]{Z} +{RP} = {0}
位移法方程的物理意义： 基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零。
[r]{Z} +{RP} = {0}
式中： rii 为基本结构仅在单位结点位移Zi =1单独作用时，在附加约束 i 中产生的约束力; rij 为基本结构仅在单位结点位移Zj =1单独作用时，在附加约束 i 中 产生的约束力（i≠j） RiP 为基本结构在荷载单独作用（结点位移都锁住）时，在附加约 束 i 中产生的约束力
EI Z2
FP
EI
EA
l
2EI EI l
l
r21
3i/l
12i/l
12i/l
3i/l
Z2=1
Z1=1 r22
r11
3i
M1
4i
Z1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r12
M2
R2P FP
R1P
MP
0.24FPl
M
0.39FPl 0.13FPl
r11 30i / l 2
10kNm
2EI
6.3 位移法的典型方程
Canonical equations of displacement method
1. 位移法基本方程的建立
两种途径： 典型方程法：将杆端力视为各影响因素单独作用效果的 叠加，由此借助平衡条件建立位移法方程。（讲授）
直接平衡法：直接利用转角位移方程，按照结点或截面 的平衡条件建立位移法方程。（自学）
······ rn1Z1 + r n2Z2 + ···+ rnnZn + RnP = 0
可用矩阵表示为：[r]{Z} +{RP} = {0}
位移法方程的物理意义： 基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零。
[r]{Z} +{RP} = {0}
式中： rii 为基本结构仅在单位结点位移Zi =1单独作用时，在附加约束 i 中产生的约束力; rij 为基本结构仅在单位结点位移Zj =1单独作用时，在附加约束 i 中 产生的约束力（i≠j） RiP 为基本结构在荷载单独作用（结点位移都锁住）时，在附加约 束 i 中产生的约束力
EI Z2
FP
EI
EA
l
2EI EI l
l
r21
3i/l
12i/l
12i/l
3i/l
Z2=1
Z1=1 r22
r11
3i
M1
4i
Z1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r12
M2
R2P FP
R1P
MP
0.24FPl
M
0.39FPl 0.13FPl
r11 30i / l 2
10kNm
2EI
结构位移计算课件
方程。
适用范围
有限差分方法适用于一维和二维问 题的求解，特别适用于流体动力学 和热传导等物理问题的模拟。
优点
有限差分方法简单直观，易于理解 和实现，适用于解决一些较为简单 的问题。
边界元方法
定义
边界元方法是一种仅在边界上进行积分计算的数值模拟方法，它将 问题转化为边界积分方程，然后通过数值方法求解该方程。
针对复杂结构和特殊环境下的结构位移计算，需要开展更为深入的研究，以适应工 程实践的需求。
06
参考文献
经典文献和重要著作
《结构力学》- 龙驭 球, 著.
《建筑结构》- 东南 大学, 著.
《结构动力学》- 顾 祥林, 著.
相关学术论文和研究报告
“结构位移计算方法研究”- 张三, 中国建筑科学研究院, 2010.
边界条件和初始条件
在求解位移时，需要给定结构的边界条件和初始条件。边界条件是指结构边界上的位移和外力分布情 况；初始条件是指结构在初始状态下的位移和速度分布情况。
03
数值模拟方法
有限元方法
定义
有限元方法是一种求解偏微分方 程的数值方法，它将连续的求解 区域离散为有限个小的单元，通 过在这些单元上建立插值函数来
VS
有限差分法
有限差分法是一种用差分格式将连续变量 的偏微分方程转化为离散的有限个差分方 程组的数值计算方法。通过将结构划分为 多个网格，并对每个网格进行位移计算， 最终得出结构的位移分布。
位移计算的数学模型
弹性力学基本方程
弹性力学基本方程是一组偏微分方程，描述了物体在受到外力作用下的位移、应变和应力之间的关系 。这些方程包括平衡方程、几何方程和物理方程。
命。
结构位移计算的方法主要包括有 限元法、有限差分法、边界元法 等，每种方法都有其优缺点和适
适用范围
有限差分方法适用于一维和二维问 题的求解，特别适用于流体动力学 和热传导等物理问题的模拟。
优点
有限差分方法简单直观，易于理解 和实现，适用于解决一些较为简单 的问题。
边界元方法
定义
边界元方法是一种仅在边界上进行积分计算的数值模拟方法，它将 问题转化为边界积分方程，然后通过数值方法求解该方程。
针对复杂结构和特殊环境下的结构位移计算，需要开展更为深入的研究，以适应工 程实践的需求。
06
参考文献
经典文献和重要著作
《结构力学》- 龙驭 球, 著.
《建筑结构》- 东南 大学, 著.
《结构动力学》- 顾 祥林, 著.
相关学术论文和研究报告
“结构位移计算方法研究”- 张三, 中国建筑科学研究院, 2010.
边界条件和初始条件
在求解位移时，需要给定结构的边界条件和初始条件。边界条件是指结构边界上的位移和外力分布情 况；初始条件是指结构在初始状态下的位移和速度分布情况。
03
数值模拟方法
有限元方法
定义
有限元方法是一种求解偏微分方 程的数值方法，它将连续的求解 区域离散为有限个小的单元，通 过在这些单元上建立插值函数来
VS
有限差分法
有限差分法是一种用差分格式将连续变量 的偏微分方程转化为离散的有限个差分方 程组的数值计算方法。通过将结构划分为 多个网格，并对每个网格进行位移计算， 最终得出结构的位移分布。
位移计算的数学模型
弹性力学基本方程
弹性力学基本方程是一组偏微分方程，描述了物体在受到外力作用下的位移、应变和应力之间的关系 。这些方程包括平衡方程、几何方程和物理方程。
命。
结构位移计算的方法主要包括有 限元法、有限差分法、边界元法 等，每种方法都有其优缺点和适
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1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。
2. 位移的分类
线位移： AA' (△A)
角位移： A
△Ay △Ax
绝对位移 △C △D 相对位移 △CD= △C+ △D
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△C C C′ P A
P
A
△Ay △A
□
△Ax
A′
dS du dS
位移状态
dS 9返d回x
§6—3 位移计算的一般公式 单位荷载法
1. 位移计算的一般公式 t1 k K △K P2
k PK=1
设平面杆系结构由 于荷载、温度变化及支 座移动等因素引起位移 P1
t2
ds c3
K′ k
d、 ud、 dS
K ds
k
Ｒ３
N、M、Q
如图示。 求任一指定截面K
沿任一指定方向 k—k 上的位移△K 。
利用虚功原理计算
c1 c2
Ｒ１
Ｒ２
实际状态－位移状态 虚拟状态－力状态
c1、c2、c3、△K du、d、ds
N 、 M 、 Q 、 R i、 P K1
外力 虚K 功 WN =d P K K u R M 1 C d 1 R 2 C 2 Q R d 3 C 3 =R s K c (R6C －4)
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1
第六章 结构位移计算
§6—1 概述
§6—2 变形体系的虚功原理
§6—3 位移计算的一般公式
A′
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§6—5 图乘法
§6—6 静定结构温度变化时的位移计算
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
§6—8 线弹性结构的互等定理
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2
§6—1 概 述
（6—1）
返8回
内力虚功的计算
AP
M
给定力状态 给定位移状态
微段dS上内力的变形虚功为
dWi=Ndu+QdS+Md
RA
q
Q
N
整个结构内力的变形虚功为 力状态
ds
Wi=Nd u M d A
Qds （6—2)
虚功方程为
d
q B
dS
RB
N+dN Q+dQ
B dS
W= Nd u M d
2021/3/2Qds （6—3)
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设
置相应的虚拟力状态。
例如:
求△AH
❖ 求A
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A
实际状态
1 求△AB
B
A
1
虚拟状态
1A
虚拟状态
求AB
B1 A1
虚拟状态
1
A
虚拟状态
广义力与 广义位移
返11回
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位
1 2
P△ Cos
（c）
P
d
A
M=Pd
常力 W= M·
B
（d）
变力
W=
1 2
M·
P
返6回
（2）实功与虚功 实功：力在本身引起的位移上所作的功。
例如：
A
P1
1
B
W=
1 2
P1 1
△1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
P2
2
B
虚功：力在其它
△2
因素引起的位移上所作
的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
的两种彼此无关的状态。
N N P d s N N P d s N N P L （6－7） EAEA EA
3. 组合结构
△ = 2021/3/2 KP
MMPds NNPL
EI
EA
（6—8） 返13回
例 6—1 求图示刚架A点
q
的 竖 向位移△Ay。E、A、 B x
AB
x
1 A
I为常数。
A`
L
解：1. 设置虚拟状态 x
△KP= M M P d s N N P d s k Q Q P d（s6—5）
EI EA GA
这就202是1/3/2平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式返。12回
讨论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（6—5）
可以简化：
1. 梁和刚架
△KP= MMPds EI
2.桁架
（6－6）
△KP=
移△KP，此时没有支座位移，故式（6—4）为
△KP= M d P N dP u Q P d（sa）
式中：M、N、Q为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、
Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知
dP=
M Pd EI
s
duP=
N Pds EA
将以上诸式代入式（a）得
Pds=
kQPds GA
选取坐标如图。 C
实际状态
则各杆弯矩方程为:
L
x 虚拟状态
C
AB段： Mx, BC段：ML
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段：
MP=
qx 2 ， BC段：
2
MP=
qL 2 2
3. 代入公式（6—6）得
△ = A20y21/3/2
MMPds=
EI
l
qx2
(-x)(- )
0
2
dx EI
+
l
(-L)(-
A
△D D′ D
B
返3 回
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为
基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论
静定结构的位移计算。 2021/3/2
返4回
§6—2 变形体系的虚功原理 1. 功、实功与虚功
（1）功
P B
A
dW=P dS Cos
w= dW = P Cos dS
2021/3/2
s
s
（a）
返5回
常力功 变力功 力偶功
2021/3/2
P
A
B
△
W= P△ Cos (b)
由A→B, 力由0→P
W=
M
例如： 2021/3/2
W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小 虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段 上内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即
W外=W内 或写成 W=Wi
式(6—1）称为虚功方程，式中
W ——外力虚功
2021/3/2
Wi——内力虚功
内力虚这功便是W平i=面 杆N 系d结 u 构位M d 移 计 算Q 的d 一S 般公式，若计算结
果这可为种得2正方021/3 ，法/2K 所 又 求 称 位 为R C 移单 △位 K荷N 与d 载假 法设 。u 的M d P K = 1同Q 向d ，(反7－s 之5)反向10返。回
2. 虚拟状态的设置
0
qL2 dx 2 ) EI
5qL4 ()
8EI 1返4 回
§6—5 图 乘 法
1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
下面的积分
△KP=
MMPds EI
y
当结构符合下述条件时：
d=MPdx
A MP
面积
MP图 B
（1）杆轴为直线；
dx
（2）EI=常数； （3）M 和M两个弯矩图 O 中至少有一个是直线图形。