第五章矩阵的相似对角化
线性代数第五章特征值和特征向量矩阵的对角化
(5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值
特征向量保持不变
10
证：(2)∵AX=X A(AX)=A(X) =(AX)=(X)
A2X=2X
再继续施行上述步骤m2次,就得
AmX=mX m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于 m的特征向量.
(4)当A可逆时, 0 ∵AX=X A1(AX)=A1(X) =A1X
1
1
1
1
3 2
3 1
3
3
1 3
2 3
5100 2
1 3
5100
5100
1 1
5100 1 5100 2 5100 1
5100 1 5100 1 5100 2
33
5.3 实对称矩阵的对角化 1.实对称矩阵特征值的相关性质 2.求正交矩阵的方法
34
共轭矩阵 如果A=(aij)为复矩阵时,用 aij 表示aij的
1=5: 解方程组 (5IA)X=0
4 2 2 1 0 1 5IA= 2 4 2 →0 1 1
2 2 4 0 0 0
1 基础解系: P1 1
1
对应于1=5的全部特征向量为: k1P1 (k10)
2=3= 1 : 解方程组 (IA)X=0
2 2 2 1 1 1 IA= 2 2 2 →0 0 0
k11+k22=0 (2) (2)2(1)k1(12)=0 ∵12 ,0 ∴k1=0 同理可得k2=0
∴与线性无关
推广 设1,2,,r是矩阵A的对应于不同特 征值1,2,,r的特征向量,则1,2,,r线性
无关.
定理 如果1,2,,r是矩阵A的不同特征值, 而(i=1i,12,,i2,,r)的, 线是性ikAi无的关对的应特于征特向征量值,则i向量组 也11线,性12,无,关1.k1,21,22,, 2k2,,r1,r2,,rkr
矩阵相似对角化方法
矩阵相似对角化方法矩阵相似对角化方法是线性代数中的重要概念。
在许多应用领域，对角化矩阵是一种十分有用的工具，可以简化复杂的计算过程，提取矩阵的特征信息等。
相似对角化方法就是一种将矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的技术。
在本文中，我们将介绍矩阵相似对角化方法的基本原理、应用场景以及具体操作步骤。
基本原理要理解矩阵相似对角化方法，首先需要了解相似矩阵的概念。
两个矩阵A和B 被称为相似矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P−1AP。
而对角化矩阵是指将一个矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。
对角化矩阵对于矩阵的特征值和特征向量有着重要的意义。
对角化矩阵能够帮助我们快速计算矩阵的幂运算、矩阵的逆等，同时也能够揭示矩阵的特征信息。
应用场景矩阵相似对角化方法在许多领域都有重要的应用。
其中，最常见的应用场景之一是在线性代数和矩阵论中。
通过对角化矩阵，我们可以简化矩阵的运算，求解矩阵的特征值和特征向量，从而分析矩阵的性质。
此外，在信号处理、图像处理、控制理论等领域，矩阵相似对角化方法也有着广泛的应用。
例如，在控制系统设计中，我们常常需要将状态空间表示的系统转化为对角形式，以便分析和设计控制器。
操作步骤要对一个矩阵进行相似对角化，通常需要以下步骤：1.计算矩阵的特征值和特征向量；2.构造特征向量矩阵，并将其逆作为相似变换矩阵；3.计算相似对角矩阵。
具体的操作步骤会根据矩阵的具体形式和要求略有不同，但以上步骤是相似对角化的基本流程。
总结：矩阵相似对角化方法是一种重要的线性代数技术，能够简化矩阵的运算并提取矩阵的特征信息。
在许多应用场景中都有着广泛的应用，是线性代数学习中的重要内容之一。
希望通过本文的介绍，读者能对矩阵相似对角化方法有一个全面的了解。
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中的重要概念之一，而相似性与对角化是矩阵理论中的两个关键概念。
本文将从相似性与对角化的概念入手，探讨它们的定义、性质以及在线性代数中的应用。
1. 相似矩阵的定义与性质相似矩阵是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵具有相同的特征值，但其特征向量的基和矩阵元素可能不同。
具体来说，如果存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A和矩阵B满足A = PBP^(-1)，则可以称矩阵A和矩阵B是相似的。
相似矩阵的性质包括：1) 相似矩阵具有相同的特征值，即它们的特征多项式相同。
2) 相似矩阵的特征向量对应相同的特征值，但基可能不同。
3) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。
4) 相似矩阵具有相同的幂，即A^k与B^k相似。
2. 对角化的定义与性质对角化是线性代数中与相似性概念紧密相关的一个概念。
简而言之，对角化就是将一个矩阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。
具体来说，如果一个n阶矩阵A相似于一个对角矩阵D，即存在一个可逆矩阵P，使得A = PDP^(-1)，则称矩阵A是可对角化的。
对角化的性质包括：1) 可对角化矩阵与其特征值和特征向量有关，特征向量构成的基是将矩阵对角化的基。
2) 可对角化矩阵具有简洁的形式，对角线上的元素是矩阵的特征值，其他元素都为0。
3) 可对角化矩阵的幂可以通过对特征值的幂进行对角化得到。
3. 相似与对角化的关系和应用相似的关系为矩阵的对角化提供了有力的理论基础。
具体而言，如果一个矩阵是可对角化的，那么它就必然与一个对角矩阵相似。
换句话说，对角化是相似的一种特殊情况。
相似与对角化的关系在线性代数中有广泛的应用，例如：1) 矩阵的相似性可以简化矩阵的计算，例如求解线性方程组、计算矩阵的幂等等。
2) 对角化可以简化矩阵的求幂运算，从而方便计算高阶矩阵的幂。
3) 对角化可以帮助我们理解矩阵的性质，例如特征向量的重要性、矩阵的谱分解等。
总结：本文从相似性与对角化的定义和性质出发，对相似矩阵与对角化的关系与应用进行了讨论。
矩阵相似与对角化问题
矩阵相似与对角化问题引言矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
在研究矩阵的性质和应用时，矩阵相似与对角化问题是常见且重要的问题之一。
本文将对矩阵相似和对角化的概念、性质和关系加以讨论。
矩阵相似定义给定两个 n × n 矩阵 A 和 B，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = B，则称A 和 B 相似。
记作A ∼ B。
性质矩阵相似具有以下性质：1.若A ∼ B，则B ∼ A。
2.若A ∼ B，B ∼ C，则A ∼ C。
（相似关系是传递的）3.若A ∼ B，那么 A 的特征多项式和 B 的特征多项式相同。
4.若 A 和 B 相似，则 A 和 B 具有相同的特征值和特征向量。
相似对角化对于相似矩阵 A 和 B，我们可以进行相似对角化，即将 A 变换为一个对角矩阵B。
具体步骤如下：1.设 A 是一个 n × n 矩阵，A 有 n 个线性无关的特征向量。
2.将这 n 个特征向量按列组成矩阵 P。
3.计算P⁻¹AP，得到对角矩阵 B。
对角化的好处是简化了矩阵的计算和处理，形式更加规整，便于求解特定的问题。
对角化问题定义给定矩阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则称 A 可对角化。
充分条件一个矩阵 A 可对角化的充分条件是存在 n 个线性无关的特征向量。
如果 A 的 n 个特征向量线性无关，则 A 必定可对角化。
对角化步骤求解矩阵对角化的步骤如下：1.解特征方程 |A - λI| = 0，得到矩阵 A 的特征值λ1, λ2, …, λn。
2.对于每个特征值λi，解特征方程 (A - λiI)xi = 0，得到特征向量 xi。
3.如果通过步骤 2 得到的 n 个特征向量线性无关，则 A 可对角化。
将这些特征向量按列组成矩阵 P，并将对应的特征值按对角线排列得到对角矩阵D。
可对角化的性质可对角化的矩阵具有以下性质：1.可对角化的矩阵 A 的迹等于其特征值之和。
第五章_矩阵的对角化
(2) A的迹 trA a11 a22
注： A可逆
A不可逆
A的n个特征值全不为零。 0是A的特征值。
20（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
性质2：假设 x 是A的对应于特征值 的特征向量. k是常数，m是正整数，则 (1) k , m 分别是kA, Am的特征值，且x 是
例5.6 假设A为n阶方阵，且 A2 I ，求A的特征值.
17（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
2. 特征值、特征向量的求法
1°数值矩阵特征值、特征向量的求法
第一步：求出特征方程 f ( ) | I A | 0 的全部根1,2, …,n，它们就是A的全部特征根; 第二步：求出相应的齐次线性方程组 ( A i I ) X 0 的全体非零解，即可得对应于特征值i的 全部特征向量.
2. 特征值、特征向量的求法
14（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
n阶方阵
非零向量
Ax = x (A－ I )x = 0
特征值
特征向量
特征多项式
|A－I| = 0
特征方程
a11– a21 |A– I | = … a n1
a12 … a1n a22– … a2n … … … an2 … ann–
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
例5.8 已知3阶方阵A的特征值为：1 4, 2 3 1 求： (1) B A2 3 A 4 I 的特征值及|B|. (2) C A 3 A
1
的特征值.
第五章_矩阵的对角化(课件)
第五章 相似矩阵与矩阵的对角化
线性代数
由于 AT A E 与 AAT E 等价, 所以上述结论对 A 的行向 量组亦成立.
定理 2 n 阶矩阵 A 是正交阵的充分必要条件是 A 的 列(行)向量组是 R n 的一个规范正交基. 正交矩阵的性质：
(1) 若 A 为正交阵, 则 A 1；
则称其为V 的一个规范正交基(或标准正交基) .
例如, 例 1中的正交向量组 1 1 1 α1 1 , α2 2 , α3 0 1 1 1 就是 R3 的一个正交基, 但不是规范正交基.
Presented by Jianhua Zhang
(2)[ x , y ] [ x, y ]； (3)[ x y, z ] [ x , z ] [ y, z ]； (4)[ x , x ] 0, 且 [ x, x ] 0当且仅当 x 0.
[ x, y ]2 [ x, x ][ y, y] 施瓦茨( Schwarz )不等式：
线性代数
Step2 : 单位化 (正交基 规范正交基) β1 β2 βr e1 , e2 , , er , β1 β2 βr 则 e1 , e2 , , er 是 V 的一个规范正交基.
Presented by Jianhua Zhang
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第五章 相似矩阵与矩阵的对角化
此时,定义向量 x , y 的夹角为 [ x, y] arccos (0 ). x y
Presented by Jianhua Zhang
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第五章 相似矩阵与矩阵的对角化
线性代数
二、正交向量组和施密特正交化方法
定义 3 若 [ x , y ] 0, 则称向量 x 与 y 正交, 记作 x y.
矩阵相似对角化条件
矩阵相似对角化条件矩阵的相似对角化是矩阵分析中一个重要的概念。
对于一个方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，那么我们就说矩阵A是可对角化的。
矩阵相似对角化的条件可以从多个角度来考虑，以下是主要的几个：1. 特征值条件：矩阵A是可对角化的当且仅当A的特征值都是实数，并且对于每个特征值$\lambda$，都有恰好对应于$\lambda$的线性无关的特征向量$v_1, \ldots, v_n$。
2. 几何重数等于代数重数：对于一个给定的矩阵A，其特征值的几何重数（即特征向量的个数）必须等于其代数重数（即特征值的重数）。
如果这两个数量不相等，那么矩阵A无法被对角化。
3. 满秩条件：如果矩阵A的秩等于其最小多项式的次数，那么A是可对角化的。
这是因为最小多项式的次数等于矩阵的特征值的个数，而矩阵的秩等于其最大线性无关组的个数，所以如果秩等于特征值的个数，那么就存在一组特征向量，它们可以线性无关并且覆盖所有特征值，这样就可以找到一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
4. Jordan标准型：任何一个方阵都可以通过初等行变换变为Jordan标准型。
如果这个Jordan标准型只包含不同特征值的块，那么这个矩阵就是可对角化的。
5. 多项式矩阵：对于一个多项式矩阵$f(x)$，如果存在一个可逆矩阵P，使得$f(x)=P^{-1}XP$，那么我们就说f(x)是可对角化的。
在这种情况下，我们可以找到一个多项式矩阵S，使得$f(x)=S^{-1}x^nS$，其中x^n是n阶单位矩阵。
这些条件从不同的角度提供了对于矩阵是否可以相似对角化的判断方法。
在实际应用中，我们通常会使用其中的一个或多个条件来判断一个给定的矩阵是否可以相似对角化。
线代教案第5章 矩阵的相似对角化
x1λ1 p1 + x2λ2 p2 + ⋅ ⋅ ⋅ + λ x p k+1 k+1 k+1 = 0
（2）
λk+1 × (1) 式有： x1λk+1 p1 + x2λk+1 p2 + ⋅ ⋅ ⋅ + λ x p k+1 k+1 k+1 = 0
（3）
（2）-（3）： x1 (λ1 − λk+1 ) p1 + x2 (λ2 − λk+1 ) p2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xk (λk − λk+1 ) pk = 0
a11 − λ 方程 A − λE = a21
a12 a22 − λ
a1n a2n = 0 是关于 λ 的一元 n 次方程，称
an1
an2
为 A 的特征方程。
ann − λ
f (λ) = A − λE 是关于 λ 的一个 n 次多项式，称为 A 的特征多项式。
这样一来，特征值 λ 就是特征方程的根，也是特多项式的零点。若求出 A 的
因 p1, p2 ,⋅ ⋅ ⋅ pk 线性无关，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以 x1 (λ1 − λk+1 ) = x2 (λ2 − λk+1 ) = ⋅ ⋅ ⋅ = xk (λk − λk+1 ) = 0
x1 = x2 = ⋅ ⋅ ⋅ = xk = 0 ，进一步，由（1）有 xk+1 = 0
故 p1, p2 ,⋅ ⋅ ⋅ pk , pk+1 线性无关。另一证法：见教材。
ϕ( A) = 0 ⇔ ϕ(λ) = 0
（7）设 λ1, λ2 , , λn是n 阶方阵 A = (aij ) 的全部特征值，则
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，与线性变换和向量空间的理论密切相关。
矩阵的相似与对角化是矩阵理论中的两个重要概念，它们在解决特征值问题、矩阵的可对角化性和矩阵的特殊性质等方面发挥着重要作用。
一、矩阵的相似矩阵的相似是指具有相同特征值的矩阵之间存在一种关系。
设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=B成立，那么就称矩阵A与B相似，记作A∼B。
相似关系是一种等价关系，它具有自反性、对称性和传递性。
相似矩阵有以下几个重要性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值。
设A与B相似，那么它们的特征多项式和特征值都相同。
2. 相似矩阵具有相同的迹。
矩阵的迹是指主对角线上元素的和。
如果A与B相似，那么它们的迹也相等。
3. 相似矩阵具有相同的秩。
矩阵的秩是指矩阵的列空间的维度。
如果A与B相似，那么它们的秩也相等。
二、矩阵的对角化对角化矩阵是一种特殊的相似矩阵，使得矩阵在某一种特殊的变换下能够变为对角矩阵。
设A是一个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，其中D是一个对角矩阵，那么就称矩阵A可对角化。
对角化的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量组成一个线性无关的向量组。
此时，矩阵A经过适当的变换后，可以将其对角化。
对角化的优点是简化了矩阵的计算和处理。
对角矩阵的运算更加方便，可以更直观地观察矩阵的性质，同时在求解线性方程组和矩阵的幂等问题时，也能够更加高效地进行计算。
三、矩阵相似与对角化的关系矩阵的相似与对角化之间存在一定的联系。
设A是一个n阶矩阵，如果A与对角矩阵D相似，那么A可对角化。
具体地说，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，那么矩阵A可对角化。
对角化的好处在于可以将矩阵的运算和计算简化为对角矩阵的运算。
同时，对角化也能够更好地揭示矩阵的特殊性质，如特征值、特征向量和秩等。
计算矩阵的相似和对角化是解决线性代数问题的重要方法。
矩阵对角化问题
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2 (2) A E
3
1 3 0
2 3 2
5 1
2 1 2 A 5 3 3 1 0 2
1 0
3 A E 5 1
1 2 3 1.
2
2 4 2
(1) A E 2
2 7 0
得 1 2 2, 3 7
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当 1 2 2 时，齐次线性方程组为 A 2 E X 0
1 2 2 1 2 2 A 2 E 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0 2 2 p1 1 , p2 0 . 得基础解系 0 1 当 3 7 时，齐次线性方程组为 A 7 E X 0 1 1 0 8 2 2 2 2 5 4 0 1 1 A 7E 0 0 0 2 4 5
(1)求出A的所有特征值 1 , 2 ,, t , 其重数分别为 n1 , n2 ,, nt , (2)对每一个 i , 求出 (i E A) x 0的基础解系 i 1 , i 2 ,, i ,
ni
从而得对应 i 的 ni 个线性无关的特征向量
i1 , i 2 ,, i , 其中i 1,2,, t.
第五章 矩阵对角化问题
1. 方阵对角化的概念 对n 阶矩阵 A ， 寻找相似变换矩阵 P ，使
P 1 AP (为对角阵)
这就称为把方阵 A 对角化. 说明 如果能找到可逆矩阵 P ，使 P 1 AP ，则 A可对角化；
矩阵相似与对角化
矩阵相似与对角化矩阵在线性代数中占据重要地位，矩阵的相似性和对角化是矩阵理论中的重要概念。
本文将详细介绍矩阵相似和对角化的概念、性质和相关定理，并探讨其在实际应用中的意义。
一、矩阵相似1.1 相似矩阵的定义在矩阵理论中，若存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A和矩阵B满足以下关系：A = PBP⁻¹，则称矩阵A和矩阵B相似。
P被称为相似变换矩阵。
1.2 相似矩阵的性质相似矩阵具有以下性质：（1）相似矩阵具有相同的特征值。
（2）相似矩阵具有相同的行列式。
（3）相似矩阵具有相同的秩。
（4）相似矩阵具有相同的迹。
1.3 相似矩阵的意义相似矩阵的概念使得我们能够通过矩阵之间的相似关系进行计算和分析，简化了复杂的计算过程。
在线性代数的研究中，通过寻找矩阵的相似变换，可以将原始矩阵转化为更简单的形式，从而更好地理解和求解问题。
二、对角化2.1 对角化的定义对于n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P和一个对角矩阵D，使得A = PDP⁻¹，则称矩阵A可对角化。
其中，对角矩阵D的非零元素即为矩阵A的特征值。
2.2 对角化的条件矩阵A可对角化的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。
2.3 对角化的意义对角化将矩阵转化为对角形式，简化了计算和分析。
对角化后的矩阵具有特征向量的信息，使得我们能够更方便地进行矩阵运算和求解线性代数的相关问题。
三、矩阵相似与对角化的关系3.1 矩阵对角化的条件矩阵A能够相似于对角矩阵D的充分必要条件是矩阵A可对角化。
3.2 相似变换与对角化的关系对于矩阵A和相似变换矩阵P，有以下关系：（1）若A可对角化，则存在相似变换矩阵P，使得A = PDP⁻¹。
（2）若A相似于对角矩阵D，即存在相似变换矩阵P，使得A = PDP⁻¹，则矩阵A可对角化。
3.3 矩阵相似与对角化的意义矩阵相似和对角化的概念和定理为矩阵理论和线性代数的研究提供了重要的工具和方法。
通过相似变换，我们可以将复杂的矩阵转化为更简单的形式，从而更好地理解、求解和分析实际问题。
5-3矩阵的相似对角化
（2） P A P 中的可逆阵 P 的各列 1 , 2 , , n 恰好是 A 的属于 j 的特征向量。
1
信息系 刘康泽
特别的，若 A 的特征多项式的根都是单根时, 有： 【推论 1】如果 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值 （或 A 的特征值都是其特征多项式的单根） 则 A 必与对 ， 角阵相似。 事实上，对 n 个互异的特征值各取一个特征向量，由 于 A 的不同特征值对应的特征向量线性无关，则得到 A 的 n 个线性无关的特征向量，故 A 必与对角矩阵相似。
j2
,
jn j
是 A 的属于特征值 j 的 n j n r ( j E A ) 个线性无
第三步： 如果
n
j 1
m
j
n ， A 没有 n 个线性无关的 则
特征向量，故 A 不可对角化； 如果 n j n ，则 A 有 n 个线性无关的特征向量，
j 1 m
故 A 可对角化。
征向量组中所含向量的个数为 n j ，j 1, 2, , m ， A 可 则 对角化的充分必要条件是： n j n 。
j 1 m
【推论 3】 如果 n 阶方阵 A 有 m 个互不相同的特征 值 1 , 2 , , m ， m n ，依次分别为 r1 , r2 , , rm 重特征 根，且 r j n ，则 A 可对角化的充分必要条件是
即
r
j 1
s
j
n , 或 [ n r ( j E A )] n ，
j 1
s
由上面的推论 2 即得结论。
一般地称 r j 为特征值 j 的代数重数，而称
n r ( j E A ) 为特征值 j 的几何重数，
第五章 矩阵的对角化问题
矩阵 A 的相似标准形。 （2）可逆矩阵 P 由 A 的 n 个线性无关的特征向量 作列向量构成。
22
例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2 2 2 4 (1) A 2 4 2
解:
2 1 2 5 3 3 (2) A 1 0 2 2 2 4 2
3
2 p2 3 p3
取 P p1
1
p2
1 p1 p2 p3 2 1 1 1 p3 0 1 2 1 0 1
2
0 3
21
定理1： n 阶矩阵 A 可对角化（与对角阵相似）
A 有 n 个线性无关的特征向量。
推论：若 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值,
则 A 可对角化。（与对角阵相似） (逆命题不成立) 注：（1）若 A , 则 的主对角元素即为 A 的特征值，
如果不计
k 的排列顺序，则 唯一，称之为
1 2
(1) A E 2
2 4
的 n 个特征值为 , ,,
1 2
n
1＋2＋＋n a11 a22 ann
aii tr ( A)
i 1 n
称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）
2)
i 1
n
i
12 n＝ A
9
例2 ：设 为矩阵 A 的特征值，求 A2 2 A E 的特征值； 若 A 可逆，求 A , E A
等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式， 当 i 各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。
矩阵的相似和对角化的性质和应用
矩阵的相似和对角化的性质和应用矩阵的相似和对角化是线性代数中比较基础的概念，也是常常用到的重要工具。
在本文中，我将介绍矩阵相似的定义及其一些性质，探讨矩阵对角化的方法和应用。
一、矩阵相似1.1 定义设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在一个可逆矩阵 $P$，使得$B=P^{-1}AP$，则称 $B$ 与 $A$ 相似，$P$ 叫做相似变换矩阵。
1.2 性质（1）相似关系是一种等价关系。
对于任意的 $n$ 阶矩阵 $A$，有 $A\sim A$。
若 $A\sim B$，则$B\sim A$。
若 $A\sim B$，$B\sim C$，则 $A\sim C$。
（2）相似关系保持一些矩阵的特性。
若 $A$ 是一个对称矩阵，则 $B=P^{-1}AP$ 也是对称矩阵。
若$A$ 是一个正定矩阵，则 $B=P^{-1}AP$ 也是一个正定矩阵。
（3）相似矩阵有相同的特征值和相同的秩。
若 $A\sim B$，则 $A$ 和 $B$ 有相同的特征值。
即它们的特征多项式相同。
并且相似矩阵有相同的秩。
二、对角化2.1 定义设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵。
若存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=D$，其中 $D$ 是一个对角矩阵，则称 $A$ 可对角化，$D$ 叫做 $A$ 的一个对角化矩阵，$P$ 叫做对角化矩阵。
2.2 对角化的必要条件若$A$ 可对角化，则$A$ 必须有$n$ 个线性无关的特征向量。
即存在一组线性无关的向量$\{\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n}\}$，使得$A\vec{v_i}=\lambda_i\vec{v_i}$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。
2.3 对角化的方法（1）在求解 $A$ 的特征值 $\lambda$ 和特征向量 $\vec{v}$ 后，将特征向量按列组成矩阵 $P$，得到 $D=P^{-1}AP$。
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中非常重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
在研究矩阵的性质时，相似和对角化是两个重要的概念。
本文将介绍矩阵的相似和对角化以及它们在数学和实际问题中的意义。
一、矩阵的相似矩阵的相似是指对于两个矩阵A和B，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，则称矩阵A和B相似。
其中，P被称为相似变换矩阵。
相似的概念可以帮助我们判断矩阵之间是否具有一些相似的性质。
在矩阵相似的条件下，它们具有以下几点性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值：设A和B是相似矩阵，若c是A的特征值，则c也是B的特征值。
2. 相似矩阵具有相同的特征多项式：特征多项式是一个与矩阵相关的特征方程，相似矩阵的特征多项式相同。
3. 相似矩阵具有相同的迹和行列式：设A和B是相似矩阵，它们的迹和行列式相等。
相似的概念在矩阵的分析和计算中具有重要的作用。
通过相似变换，我们可以简化矩阵的计算和求解问题。
而且，相似关系也有助于我们研究矩阵的特征值和特征向量，进一步分析矩阵的性质和应用。
二、矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换，转化为一个对角矩阵的过程。
对角矩阵是一种特殊的矩阵，它的非对角元素都为0。
对于一个n阶方阵A，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = D，其中D是一个对角矩阵，则称A可对角化。
对角化的过程可以表示为A = PDP^-1。
其中，D是由A的特征值按对角线排列而成的对角矩阵。
一个矩阵是否可以对角化，与它的特征值和特征向量密切相关。
对角化的条件如下：1. 若矩阵A具有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量的个数等于n，则A可对角化。
2. 若矩阵A的特征向量的个数少于n，则A不可对角化。
对角化的概念在数学和实际问题中都具有广泛的应用。
通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵简化为一个对角矩阵，从而更容易进行计算和分析。
对角化还有助于我们研究矩阵的性质和应用，比如求解线性方程组、计算幂矩阵等。
线性代数矩阵的相似对角化与特征值分解
线性代数矩阵的相似对角化与特征值分解线性代数是现代数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换和矩阵等代数结构及其相互关系。
在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，而矩阵的相似对角化与特征值分解是矩阵理论中的两个重要概念。
一、矩阵的相似对角化在线性代数中，给定一个方阵A，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P的逆矩阵存在且AP=PD，其中D为对角矩阵，那么称矩阵A与对角矩阵D相似，并称P为可逆矩阵P的逆变形式。
相似对角化的概念其实是在矩阵的变相似的基础上提出的，即可以通过改变坐标系，将一个矩阵转化为对角矩阵。
这种转化有助于简化矩阵的运算和分析，使得问题变得更加清晰和易于解决。
在相似对角化的过程中，对角矩阵D的对角元素就是矩阵A的特征值。
通过矩阵的特征值和特征向量可以得到矩阵的相似对角化形式。
相似对角化的好处之一是可以在一定程度上简化矩阵的计算，比如求矩阵的幂等运算、矩阵的矢量和等。
二、特征值分解特征值分解是矩阵理论中的另一个重要概念。
给定一个方阵A，如果存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得P的逆矩阵存在且A=PDP^-1，那么称矩阵A存在特征值分解。
特征值分解的概念可以看作是相似对角化的一种特殊情况，即P也是矩阵A的特征向量构成的矩阵。
因此，特征值分解可以理解为一种将矩阵A分解为特征值和特征向量的表达方式。
特征值分解不仅可以用来描述矩阵的性质和特点，而且在很多实际问题中有广泛的应用。
比如在机器学习中，特征值分解可以用来降维和特征提取。
在信号处理中，特征值分解可以用于频谱分析和滤波器设计。
三、线性代数矩阵的应用线性代数矩阵的相似对角化和特征值分解在实际应用中有着广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用领域：1. 图像处理和计算机视觉：在图像处理和计算机视觉中，矩阵的相似对角化和特征值分解可以用于图像压缩、图像去噪、图像恢复等方面。
通过对图像矩阵进行相似对角化和特征值分解，可以提取图像的主要特征，从而实现对图像的处理和分析。
线代第五章(3)相似矩阵及对称矩阵的对角化
则
1 此时 Λ = 0 0
0 3 0
0 0 , 2
亦有 P-1AP = Λ .
23
例 2 设
0 0 1 A = 1 1 x , 1 0 0
4
故
|B - λE| = |P-1AP - λP-1EP| = |P-1| |A - λE| |P| = |A - λE| .
证毕
推论 若 n 阶方阵 A 与对角矩阵
Λ = diag(λ1 , λ2 , ··· , λn)
相似，则 λ1 , λ2 , ··· , λn 即是 A 的 n 个特征值. 个特征值. 相似，
第 三 节
主要内容
相似矩阵的概念
相似矩阵
相似矩阵的性质 矩阵对角化的步骤
1
一、相似矩阵的概念
阶方阵, 定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆 矩阵, 矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算 P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵. 的相似变换矩阵.
8
定理 4 n 阶方阵 A 相似于对角矩阵 Λ 的充
要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量. 证 必要性 设有可逆矩阵 P , 使得 P-1AP = Λ , 其中 Λ =diag (λ 1 , λ 2 , ··· , λn ). 将矩阵 P 按列分块, 按列分块 令 P = ( p1 , p2 , ··· , pn ), 则由 P-1AP = Λ , AP = PΛ , 即
21
此时
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4 ⎤⎡1⎤ − 1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
=
1
⋅
α
Aβ
=
⎡− 3
⎢ ⎣
2
4⎤ − 1⎥⎦
⎡2⎤ ⎢⎣− 1⎥⎦
=
⎡− 10⎤
⎢ ⎣
5
⎥ ⎦
=
−5⎢⎣⎡−21⎥⎦⎤
=
−5
⋅
β
(1)
式也可以写成，
(A−λE)x = 0
(2)
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，我们知
道，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
所以A的特征值为λ1 = −1，λ2 = λ3 = 2。 当λ1 = − 1时，解方程(A + E) x = 0。由
⎡−1 1 1⎤ ⎡−1 0 1⎤
A
+
E
=
⎢ ⎢
0
3
0⎥⎥
→
⎢ ⎢
0
⎢⎣− 4 1 4⎥⎦ ⎢⎣ 0
1 0⎥⎥, 0 0⎥⎦
得基础解系
⎡1⎤
p 1
=
⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣1⎥⎦
所以对应于λ1 = −1的全部特征向量为k1P1
显然，若Pi为A的对应于特征值λi的特征向量，则
kPi（k≠0）也是对应于λi的特征向量
例3 求矩阵
⎡−1 1 0⎤
A = ⎢⎢− 4 3 0⎥⎥
⎢⎣ 1 0 2⎥⎦
的特征值和特征向量。
解 A的特征多项式为
⎡−1− λ 1
0⎤
|
A
−
λE
|=
⎢ ⎢
−4
3−λ
0
⎥ ⎥
=
(2
−
λ)(1
−
λ)
2
⎢⎣ 1
0 2 − λ⎥⎦
设n阶矩阵A=(aij)的特征值为λ1,λ2,…,λn，由多项式 根与系数之间的关系可得：
1. λ1 + λ2 + … + λn = a11 + a22 + … + ann
2. λ1λ2…λn = |A| 由(2)知，方阵A可逆的充要条件是A有n个非零的特征 值。 设λ=λi是方阵A的一个特征值，则由方程
= (3 − λ)2 −1 = (4 − λ)(2 − λ)
−1 3−λ
所以A的特征值为λ1=4，λ2=2。
当λ1=2时，由( A − λ1E ) x = 0，即
⎡3 − 2
⎢ ⎣
−1
3
− 1⎤ ⎡ x 1 ⎤
−
2
⎥ ⎦
⎢⎣
x
⎥ 2⎦
=
⎡0⎤ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
即
⎧ x1 − x2 = 0
⎩⎨− x1 + x 2 = 0
解得x1 = x2，所以对应的特征向量可取为
p1
=
⎡1 ⎤ ⎢⎣1 ⎥⎦
当λ2 = 4时，由( A − λ2E ) x = 0，即
⎡3 − 4 ⎢⎣ − 1
−1 ⎤⎡x1 3 − 4⎥⎦ ⎢⎣x 2
⎤ ⎥⎦
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
解得x1 = − x2，所以对应的特征向量可取为
p 2
=
⎡1⎤ ⎢⎣− 1⎥⎦
⎢⎣4⎥⎦
所以对应于λ2 = λ3 = 2的全部特征向量为k2 P2 +
读者注意：（1）式也可改写成（λE－A）x＝0，从
而（3）式变成| λE −A | = 0，
λ − a11 − a12 "
− a 21 λ − a 22 "
"
""
− a1n
− a 2n "
=0
− a n1 − a n2 " λ − a nn
即有些教材把上式定义为方阵A的特征方程，其左边 是λ 的n次首一多项式，亦记作f (λ)，并称为A的特 征多项式。事实上，为叙述的方便，在本章的最后 一节中，作者采用的就是这种定义。
所以A的特征值为λ1 = 2，λ2 = λ3 = 1。
当λ1 = 2时，解方程(A − 2E) x = 0。由
⎡− 3 1 0⎤ ⎡0 1 0⎤ A − 2E = ⎢⎢− 4 1 0⎥⎥ → ⎢⎢1 0 0⎥⎥,
⎢⎣ 1 0 0⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦
得基础解系
⎡0⎤
p 1
=
⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣1⎥⎦
所以k1P1(k1 ≠ 0)是对应于λ1 = 2的全部特征值。
零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量
(eigenvector)。
例1 试验证
α
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
,
β
=
⎡2⎤ ⎢⎣− 1⎥⎦
是矩阵
A
=
⎡− 3
⎢ ⎣
2
4⎤ − 1⎥⎦
分别是属于特征值λ1 = 1和λ2= −5的特征向量
证 只需验证Aα = 1⋅α，Aβ = −5⋅β：
Aα
=
⎡− 3 ⎢⎣ 2
( A − λiE ) x = 0 可求得非零解x = Pi，那么Pi就是A的对应于特征值λI 的特征向量。 （注意：若为λi是实数，则Pi可取实向量；若λi为复 数，则Pi为复向量。）
例2 求
A
=
⎡3 ⎢⎣− 1
− 1⎤ 3 ⎥⎦
的特征值和特征向量。
解 A的特征多项式为
3−λ −1
A − λE =
第五章 矩阵的相似对角化
第一节 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵
本节进一步讨论方阵的内在性质，加深对矩阵的
认识和理解，以便更好地使用矩阵解决线性代数中
的问题。
一.矩阵的特征值和特征向量
定义1 设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零列向量
x，使关系式
Ax =λx
(1)
成立，则称数λ为矩阵A的特征值(eigenvalue)，非
向量。
例4 求矩阵
⎡− 2
A
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣− 4
的特征值和特征向量
解
−2−γ
A − λE = 0
−4
1 1⎤ 2 0⎥⎥ 1 3⎥⎦
1
1
2−λ 0
1 3−λ
=
(2
−
λ)⎢⎣⎡−
2 −
− 4
λ
1⎤ 3 − λ⎥⎦
= (2 − λ)( λ2 − λ − 2 ) = − (λ + 1 )( λ − 2 )2 ,
|A − λE|− λ a12 " a1n
a 21 "
a 22 − λ " ""
a 2n "
=0
a n1
a n2 " a nn − λ
上式是以λ为未知数的一元n次方程,称为方阵A的 特征方程。其左边是λ 的n次多项式，记作f (λ)， 称为A的特征多项式。显然， A的特征值就是特征 方程的根或特征多项式的零点。这个n次的特征方 程在计算根的重数时应共有n个实根或复根。因 此,n阶矩阵有n个特征值。
( k1 ≠ 0 )。 当λ2 = λ3 = 2时，解方程(A − 2E) x = 0。由
⎡− 4 1 1⎤ ⎡− 4 1 1⎤
A − 2E
=
⎢ ⎢
0
0
0⎥⎥
→
⎢ ⎢
0
0 0⎥⎥,
⎢⎣− 4 1 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
得基础解系
⎡0⎤
p 2
=
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
,
⎢⎣− 1⎥⎦
⎡1⎤ p3 = ⎢⎢0⎥⎥,
当λ2 = λ3 = 1时,解方程(A − E) x = 0。由
⎡− 2 1 0⎤ ⎡− 2 1 0⎤
A − E = ⎢⎢− 4
2
0⎥⎥
→
⎢ ⎢
1
0 1⎥⎥,
⎢⎣ 1 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
得基础解系
⎡1⎤
p 2
=
⎢ ⎢
2
⎥ ⎥
⎢⎣−1⎥⎦
所以k2P2 (k2 ≠ 0)是对应于λ2 = λ3 = 1的全部特征