平面向量的数量积

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平面向量的数量积

泥土中……接着，一棵浅绿色鸡尾模样的贪婪巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇浅绿色灵芝模样的僵死巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮红色小鱼模样的炽热巨蕾恐怖
地钻了出来……随着紫葡萄色水母模样的狠毒巨花狂速盛开，无数淡橙色牛屎模样的变态花瓣和葱绿色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数亮蓝色钉子模样的贪婪果实从巨花
斯玻爱杀手见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇牙齿的水青色古怪果冻朝东南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我随便找出一件都比你们的强……
”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异脑袋的锅底色超级闪电追了上去……只见女奴仆Ｙ．曼妍米依仙女和另外三个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的蝴蝶缸须神！这
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得：
2
a
·b
=
b
2，代入其中任一式中得:
2
a
2=
b
例3、求证：直径所对圆周角为直角
• 证明：设AC是圆O的一条直径，
C
∠ABC为圆周角，如图
2 已知 |a| =12，|b| =9，a · b =-54√2，求a和 b3的、夹已角知 △ A B C 中， a = 5 ， b = 8 ， C = 6 0 0 ，求 BC · CA A
B
C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹
角为
三、典型例题
• 例1、已知（a – b）⊥（a + 3 b），求
神飞去，变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……蝴蝶缸须神的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得

平面向量的数量积

平面向量的数量积
什么是平面向量的数量积？
平面向量的数量积，也被称为点积或内积，是指两个向量之间
的运算结果。

它通过将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加得
到一个标量值。

数量积的计算公式
假设有两个平面向量A和B，其坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的数量积被定义为以下公式：
A ·
B = (Ax * Bx) + (Ay * By)
数量积的性质
交换律
两个向量的数量积满足交换律，即 A · B = B · A。

分配律
数量积满足分配律，即对于向量A和向量B，以及标量k，有
以下等式成立：
k(A · B) = k(Ax * Bx) + k(Ay * By)
数量积的意义
计算角度
通过数量积的计算公式，我们可以得到两个向量之间的夹角的
余弦值。

具体地，设向量A和向量B之间的夹角为θ，则有以下等
式成立：
cosθ = (A · B) / (|A| * |B|)
其中，|A| 和 |B| 分别表示向量A和向量B的长度。

因此，通过计算数量积，我们可以得到向量之间的夹角。

判断垂直与平行关系
若两个向量的数量积为0，则它们垂直；若两个向量的数量积
不为0且它们的长度相等，则它们平行。

该文档介绍了平面向量的数量积的定义、计算公式以及性质。

同时，说明了数量积在计算角度和判断垂直与平行关系方面的意义。

平面向量的数量积

∴ （a – b）·（a + 3 b）=0 即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b = 0 即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0 ∴ (a + b)2 = 4 b2 即 | a + b |2 = 4 | b |2
∴|a+b| =2|b|
例2、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直，求a与b的夹角。 cosθ=
|
• • 特别地：a · a=| a |
2
或 |a|=
• （4）cosθ=
（5）| a· b|≤|a||b
|
3、平面向量的数量积满足的运算率（1） (交换律） a ·b = b ·a （2）（实数与向量结合律）
（λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
（3）（分配律）（a + b ）· c =a· c+b· c
2 已知 |a| =12，|b| =9，a ·b =-54√2，求a和b 的夹角 3、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求BC · CA
A
B C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹角为
三、典型例题
• 例1、已知（a – b）⊥（a + 3 b），求证： ab + b（ |= 23 |b b | 解：∵ （| a– ）⊥ a+ ）
四、巩固练习
1、已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a· b<0, a· b=0时， △ABC各是什么样的图形？ 2、已知| a |=3，| b |=4，且a与b的夹角θ=1500，求a · b， ( a + b )2，| a + b | 3、设a是非零向量，且b ≠ c，求证：a · b=a· c的充要条件是a⊥（b - c） 4、若b =（1，1）且a · b =0，（a – b）2=3，求向量a的模 5、证明：（λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）

平面向量的数量积和点积

平面向量的数量积和点积在数学中，向量是用来表示有大小和方向的量的。

而平面向量是指在一个平面内的向量，它由两个实数（或复数）组成。

平面向量的数量积和点积是两个重要的概念，它们在向量运算中起着关键的作用。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示了两个向量之间的夹角关系。

设有两个平面向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$和$\vec{b}=(x_2,y_2)$，它们的数量积可以用如下公式表示：$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$$其中，$\cdot$表示数量积的运算符。

从公式中可以看出，数量积的结果是一个标量，即一个实数。

根据数量积的定义，我们可以得到一些重要的性质：1. 交换律：$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$，表示数量积满足交换律，与向量的顺序无关。

2. 分配律：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c} $，表示数量积满足分配律，可以按照矩阵乘法的性质进行运算。

二、点积与夹角的关系数量积不仅可以表示两个向量之间的夹角关系，还可以通过夹角的余弦值来计算数量积。

根据余弦定理，两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的夹角$\theta$可以用下面的公式表示：$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$其中，$|\vec{a}|$和$|\vec{b}|$分别表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的模。

这个公式非常重要，因为它可以帮助我们计算向量的夹角，而不需要直接通过几何图形进行推导。

三、数量积的几何意义数量积还有一个重要的几何意义，它可以帮助我们计算向量之间的投影。

设有向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，以及它们之间的夹角$\theta$，那么$\vec{b}$在$\vec{a}$上的投影可以表示为：$$\text{proj}_\vec{a}\vec{b}=|\vec{b}|\cos\theta$$通过数量积的计算，我们可以轻松得到投影的结果。

平面向量的数量积与平行关系

平面向量的数量积与平行关系平面向量是在平面上具有大小和方向的有向线段，数量积是量化了两个向量之间的相关性的一个数值。

在平面向量中，我们可以通过数量积来判断向量之间的平行关系。

本文将介绍平面向量的数量积以及如何利用数量积来确定向量之间的平行关系。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为点积或内积，是指两个向量之间的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

如果有两个平面向量a和b，它们的数量积表示为a·b。

此处，·表示数量积的运算符。

数量积的计算公式如下：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示向量a和b之间的夹角。

数量积的结果是一个标量，它可以用于判断向量之间的相似性、正交性和平行关系。

二、平行向量与数量积的关系两个平面向量a和b平行的充要条件是它们的数量积等于零，即a·b = 0。

这可以通过数量积的定义和性质来证明。

如果向量a和b平行，则它们的夹角θ为0或180度，此时cosθ的值为1或-1。

根据数量积的计算公式可得：a·b = |a| |b| cosθ = |a| |b| (1或-1)当cosθ等于1时，即θ为0度，两个向量同向，且关系为|a·b| = |a| |b|，即两个向量的模的乘积等于数量积的绝对值。

当cosθ等于-1时，即θ为180度，两个向量反向，且关系为|a·b| = -|a| |b|，即两个向量的模的乘积的负值等于数量积的绝对值。

综上所述，当a·b等于0时，两个向量a和b平行。

三、利用数量积判断平面向量的平行关系的步骤根据平面向量的数量积与平行关系的性质，可以通过以下步骤来判断平面向量的平行关系：1. 计算两个向量的数量积：a·b。

2. 如果数量积a·b等于0，则两个向量a和b平行。

3. 如果数量积a·b不等于0，则两个向量a和b不平行。

平面向量的数量积与投影

平面向量的数量积与投影平面向量的数量积和投影是向量运算中的重要概念，在数学和物理学中具有广泛的应用。

本文将介绍平面向量的数量积和投影的概念、计算方法以及其在几何和物理中的应用。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积（也称为内积、点乘）是指将两个向量的对应分量相乘后求和所得到的数值。

若有向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，则它们的数量积用符号表示为a·b，计算公式为：a·b=a₁b₁+a₂b₂。

数量积具有以下性质：1. 交换律：a·b=b·a2. 分配律：a·(b+c)=a·b+a·c3. 数乘结合律：(k·a)·b=k·(a·b)数量积的几何意义在于它可以用来计算两个向量之间的夹角。

设夹角为θ，则cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)，其中||a||和||b||分别为向量a和b的模。

根据这个公式，我们可以判断向量之间的夹角大小以及它们之间的相对方向。

二、平面向量的投影平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的影子长度，它是向量运算中的一种重要应用。

设有向量a和b，投影表示为proj_b a，计算公式为：proj_b a=(a·b)/||b|| * (b/||b||)，其中(||b||)为向量b的模。

投影有以下性质：1. 投影为零向量当且仅当向量a与向量b垂直，即a⊥b。

2. 投影的方向与向量b相同或相反，具体取决于向量a与向量b的夹角。

当0°≤θ≤90°时，投影方向与b相同；当90°<θ≤180°时，投影方向与b相反。

投影的几何意义在于它可以帮助我们分析向量之间的关系，特别是在解决几何问题时，投影的计算能够简化向量的运算过程。

三、平面向量的数量积与投影的应用1. 几何应用：平面向量的数量积和投影在几何学中有广泛的应用。

平面向量的数量积与向量积

平面向量的数量积与向量积在数学中，向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示，用于描述物体的位移、速度、力等。

平面向量是指位于同一平面上的向量，常用有序对表示。

平面向量在数学和物理学等领域有着广泛的应用，其中数量积和向量积是两个重要的运算。

一、数量积数量积，又称点积或内积，是两个向量的一种运算，结果是一个标量（实数）。

给定两个向量a和b，在数量积的定义下，它们的数量积可以表示为：a·b = |a| |b| cosθ其中，a·b表示a和b的数量积，|a|和|b|分别表示向量a和b的长度（模），θ表示a和b之间的夹角。

数量积有以下几个重要的性质：1. a·b = b·a，即数量积满足交换律；2. a·a = |a|^2，即向量自身与自身的数量积等于该向量的模的平方；3. 若a·b = 0，则a和b垂直，即夹角θ为90度，这个性质常用于判断两个向量是否垂直。

数量积的应用非常广泛，其中包括计算向量的夹角、向量的投影以及解决几何问题等。

在物理学中，数量积可以用于计算力的做功、计算力在某一方向上的分量等。

二、向量积向量积，又称叉积或外积，是两个向量的一种运算，结果是一个向量。

给定两个向量a和b，在向量积的定义下，它们的向量积可以表示为：a×b = |a| |b| sinθ n其中，a×b表示a和b的向量积，|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量。

向量积有以下几个重要的性质：1. a×b = -b×a，即向量积满足反交换律；2. a×a = 0，即向量自身与自身的向量积等于零向量；3. a×b的模等于|a| |b| sinθ，其中sinθ表示a和b之间夹角的正弦值；4. 向量积的方向满足右手法则，即从右手的食指指向中指，拇指的方向即为向量积的方向。

平面向量的数量积

1、运算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2、向量不能约分(a b a c b c) 结合律不成立 (a b)c a(b c)

2
θ
a B1
),此时a b
A
0

(
2
,
θa
], 此时a
b0

θa
,此时a
b

0
三、数量积的几何意义
2
数量积 a b等于a的长度|a |与 b 在 a的方向上的
投影| b | cos θ的乘积，结果可以是正数、零或负数
例1、已知 a 5, b 4, a与b的夹角＝120，
左边是与c共线的向量，右边是与a共线的向量，而一般a与c不共线
向量的数量积不满足结合律
例3. 证明下列各式: (1)( a+b )2=a2+2a·b+b2; (2)( a+b )·( a-b )=a2-b2.
证明: (1)( a+b )2=( a+b )·( a+b )
=a ·( a+b )+b ·( a+b ) 分配律
F

┓
s
我们知道，数量之间可以进行加、减、乘、除运算，运算的结果依然是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算，发现它们运算的结果还是向量。那么向量之间能否进行乘除运算呢？如果能的话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F

平面向量的数量积和叉积的三角函数表示

平面向量的数量积和叉积的三角函数表示在数学中，平面向量是一种具有大小和方向的物理量，常用于描述平面上的位移、力等概念。

数量积和叉积是平面向量的两个重要运算，它们可以通过三角函数进行表示和计算。

一、平面向量的数量积数量积，也称为点积或内积，是平面向量的一种运算。

设有两个平面向量a=(a₁,a₂)和a=(a₁,a₂)，它们的数量积表示为a∙a，满足以下公式：a∙a = |a| |a| cos a其中，|a|和|a|分别表示向量a和a的模长，而a表示向量a和a之间的夹角。

从公式可以看出，数量积的结果是一个标量（仅有大小，没有方向）。

它的值等于两个向量模长乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

二、平面向量的叉积叉积，也称为叉乘或向量积，是平面向量的另一种运算。

设有两个平面向量a=(a₁,a₂)和a=(a₁,a₂)，它们的叉积表示为a×a，满足以下公式：a×a = a₁a₂ - a₂a₁叉积的结果是一个新的向量，它的大小等于两个向量组成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形所在的平面。

三、三角函数表示在平面向量的数量积和叉积中，三角函数被广泛应用来表示向量之间的关系。

1. 数量积的三角函数表示根据数量积的公式，a∙a = |a| |a| cos a，我们可以通过三角函数来表示数量积，即：cos a = a∙a / (|a| |a|)其中，a是向量a和a之间的夹角。

2. 叉积的三角函数表示叉积不能直接表示为三角函数的形式，但可以通过数量积和叉积之间的关系来推导。

设有两个向量a和a，它们的夹角为a，则数量积为a∙a = |a| |a| cos a。

根据叉积的定义，叉积的大小为a×a = |a| |a| sin a。

由于数量积和叉积之间满足a×a = |a| |a| sin a，我们可以推导出：sin a = (a×a) / (|a| |a|)根据三角函数的性质，我们还可以进一步推导出：cos a = sqrt(1 - sin^2a)这样，我们可以利用向量的叉积和模长来计算夹角a，并通过三角函数来表示。

平面向量的数量积

平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。

平面向量的数量积和向量夹角

平面向量的数量积和向量夹角平面向量是研究平面上的物理量时常用到的工具。

平面向量有两个重要的运算：数量积和向量夹角。

本文将详细介绍平面向量的数量积和向量夹角，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。

记作 A·B 或A∙B。

对于平面向量 A=(x₁, y₁) 和 B=(x₂, y₂)，它们的数量积定义为：A·B = x₁x₂ + y₁y₂数量积有以下几个重要的性质：1. 对换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中 k 是任意实数数量积可以用于计算向量之间的夹角、判断两个向量是否垂直或平行，以及计算向量的模长等。

二、平面向量的向量夹角平面向量的向量夹角是指两个向量之间的夹角。

记作θ。

假设向量A 和向量 B 的夹角为θ，则有以下关系：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，A·B 是向量 A 和向量 B 的数量积，|A| 和 |B| 分别是向量 A和向量 B 的模长。

根据夹角的余弦值可以判断两个向量之间的关系：1. 若cosθ = 1，夹角θ = 0°，则 A 和 B 方向相同；2. 若cosθ = -1，夹角θ = 180°，则 A 和 B 方向相反；3. 若cosθ = 0，夹角θ = 90°，则 A 和 B 垂直。

三、平面向量的数量积和向量夹角的应用1. 判断两个向量是否垂直或平行：根据数量积的性质，如果两个向量的数量积为零，则这两个向量一定是垂直的；如果两个向量的数量积非零且模长比例相同，则这两个向量一定是平行的。

2. 计算向量的模长：根据向量的数量积定义可以得到以下公式：|A| = √(A·A)即向量的模长等于它自己与自己的数量积的平方根。

平面向量数量积公式推导过程

平面向量数量积公式推导过程平面向量的数量积（内积）是指两个向量之间的乘积形式，表示为向量之间的夹角的余弦值与两个向量模的乘积。

设有两个平面向量a和b，它们的数量积的表示为a·b，具体推导过程如下：首先，考虑向量a和b的夹角θ，夹角的范围为[0,π]，夹角θ可由a和b之间的数量积得到。

设向量a的坐标为（x₁，y₁），向量b的坐标为（x₂，y₂）。

则a和b 的数量积为：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示a和b的模，它们可以由向量的坐标通过勾股定理得到：a，=√(x₁²+y₁²)b，=√(x₂²+y₂²)接下来，考虑向量a和b之间的数量积的几何意义。

将向量a平移到原点，即将向量a的始点平移到原点（0，0），得到新的向量a'。

此时，向量a和向量a'的模相等，即，a，=，a'。

向量a'与向量a 方向相同，只是位置不同。

向量a'的坐标为（x₁'，y₁'），与向量a的坐标（x₁，y₁）之间的关系为：x₁'=x₁-0=x₁y₁'=y₁-0=y₁同理，将向量b的始点平移到原点，得到新的向量b'，并且有坐标关系：x₂'=x₂-0=x₂y₂'=y₂-0=y₂此时，计算向量a'和向量b'之间的数量积，得到：a'·b' = ，a'，b'，cosθ'其中，θ'为向量a'和向量b'之间的夹角。

但是，向量a'和向量a的模相等，同样地，向量b'和向量b的模相等，即，a'，=，a，b'，=，b。

而且，向量a'和向量a的夹角θ'与向量a和向量b之间的夹角θ相等，即θ'=θ。

所以，将上式改写为：a'·b' = ，a'，b'，cosθ'= ，a，·，b，cosθ此时，左边的a'·b'可以化简为向量a和向量b的数量积a·b。

平面向量的数量积与几何意义

平面向量的数量积与几何意义平面向量是代表了平面上的位移和方向的量，而数量积则是用来衡量两个向量之间的关系的一种运算。

它不仅仅是一个数值结果，还有着重要的几何意义。

本文将探讨平面向量的数量积及其几何意义。

一、数量积的定义与性质数量积，也叫点积或内积，是指两个向量的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。

设有向量a和向量b，其数量积记为a·b。

数量积的定义如下：a·b = |a|·|b|·cosθ其中，|a|表示向量a的模长，|b|表示向量b的模长，θ表示a与b之间的夹角。

根据数量积的定义，我们可以得到一些重要的性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积的模长：|a·b| = |a|·|b|·|cosθ|4. 垂直性：若a·b=0，则a和b垂直二、数量积的几何意义数量积不仅仅是一个数值结果，还蕴含着重要的几何意义。

下面我们将从两个方面来解释数量积的几何意义。

1. 夹角的余弦值在数量积的定义中，夹角的余弦值cosθ是数量积的一个因子。

夹角的大小可以通过夹角的余弦值来衡量。

当夹角为锐角时，cosθ大于0；当夹角为钝角时，cosθ小于0；而当夹角为直角时，cosθ等于0。

由此可以得到以下结论：- 若a·b > 0，夹角θ为锐角；- 若a·b < 0，夹角θ为钝角；- 若a·b = 0，夹角θ为直角。

2. 平行与垂直根据数量积的性质4，若a·b=0，则a和b垂直。

这个性质给出了判定两个向量是否垂直的方法。

另外，当两个向量的数量积大于0时，可以说明它们的方向相似，即平行；当数量积小于0时，可以说明它们的方向相反，即反平行。

这些几何意义使得数量积在解决几何问题中有着广泛的应用。

三、数量积的应用举例1. 判断两个向量的方向通过判断两个向量的数量积的正负，可以得知它们的方向关系。

平面向量的数量积与向量积

平面向量的数量积与向量积在解决平面向量问题时，数量积与向量积是两个重要的概念。

它们通过运算和计算，帮助我们研究向量之间的关系和性质。

本文将分别介绍数量积和向量积的定义、性质以及应用。

一、数量积的定义和性质数量积，又称点积或内积，是两个向量之间的一种运算。

对于给定的两个向量u和v，其数量积记作u·v，满足以下定义和性质：1.定义：数量积u·v等于u和v的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积，即u·v=|u||v|cosθ，其中θ为u和v之间的夹角。

2.性质：（1）交换律：u·v=v·u。

（2）分配律：(u+v)·w=u·w+v·w。

（3）数量积与向量的平行关系：当两个向量u和v平行时，其数量积u·v的值为0。

（4）数量积的几何意义：数量积u·v的值等于u在v方向上的投影与v的模的乘积。

通过使用数量积，我们可以计算向量的模、夹角、是否平行以及向量在某个方向上的投影。

二、向量积的定义和性质向量积，又称叉积或外积，是两个向量之间的一种运算。

对于给定的两个向量u和v，其向量积记作u×v，满足以下定义和性质：1.定义：向量积u×v是一个向量，其模的大小等于u和v的模的乘积与两个向量夹角的正弦值的乘积，方向垂直于u和v所在的平面。

2.性质：（1）反交换律：u×v=-(v×u)。

（2）分配律：(u+v)×w=u×w+v×w。

（3）向量积与向量的垂直关系：当两个向量u和v垂直时，其向量积u×v的模的大小为|u||v|，方向与u和v构成的平面垂直，并遵循右手法则。

（4）向量积的几何意义：向量积u×v的模的大小等于以u和v为边的平行四边形的面积。

向量积在计算平行四边形的面积、判断向量之间的垂直关系、计算三角形的面积等方面具有广泛的应用。

平面向量的数量积(公开课)

平面向量的数量积(公开课)一、向量的基本概念大家好，今天我们来聊一聊平面向量的数量积。

我们要明白什么是向量。

在数学里，向量是一个有大小和方向的量，它可以用两个数表示，一个是横坐标，一个是纵坐标。

比如，我们可以用(3, 4)这个数来表示一个向量，它的横坐标是3,纵坐标是4。

那么，向量的数量积是什么呢？二、向量的数量积向量的数量积是一个很重要的概念，它表示的是两个向量的点积。

点积的计算方法很简单，就是把两个向量的对应元素相乘，然后把乘积相加。

具体来说，就是横坐标乘以纵坐标，然后把所有的乘积加起来。

比如，(3, 4)和(1, 2)这两个向量的数量积就是(3 *1) + (4 * 2) = 7。

三、向量的数量积的性质向量的数量积有很多性质，比如：1. 数量积的取值范围是[-∞， +infty];2. 如果两个向量互相垂直，那么它们的数量积等于0;3. 如果一个向量用另一个向量表示，那么它们的数量积等于第一个向量的模乘以第二个向量的模与它们的夹角的余弦值的积。

4. 如果两个向量平行，那么它们的数量积为0或无穷大。

四、应用举例现在我们来看一个例子：假设有两个向量A=(3, 4)和B=(1, 2),那么它们的数量积就是A·B=(3*1)+(4*2)=7。

如果我们知道A和B互相垂直，那么它们的数量积就是0。

如果我们知道A用B表示，那么它们的数量积就是|A||B|cosθ=|A|*|B|*(A·B)/[(|A|^2+|B|^2)^(1/2)]=(5*sqrt(5))*(7/((5^2+(\sqrt{5})^2)^(1/2)))= 7/(10^(1/2))。

如果我们知道A和B平行，那么它们的数量积就是0或无穷大。

五、总结好了，今天我们就讲到这里了。

希望大家能够理解向量的数量积的概念和性质，并且能够在实际问题中灵活运用。

谢谢大家！。