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微分中值定理【高等数学PPT课件】

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可导,且
证:设辅助函数
显然 在 因此至少存在
上满足罗尔定理条件, 使得
推广: 存在
使
例3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
的零点. 的零点.
(2) 提示: 欲证:
使
只要证
亦即
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又 经验: 欲证
故所证等式在定义域
上成立.

只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
即 因为
故 推论2: 若函数f 和g 均在区间上可导,且
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:

第三章第一节微分中值定理

第三章第一节微分中值定理

f (a)
f ( )
.
g(b) g(a) g( )
当 g(x) x, g(b) g(a) b a, g(x) 1,
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )
f (b) f (a) f ( ).
ba
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
证 作辅助函数
(x) f (x) f (a) f (b) f (a) [g(x) g(a)].
g(b) g(a)
( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点, 使得 () 0.
即 f ( ) f (b) f (a) g( ) 0,
g(b) g(a)
f (b)
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
五、证明下列不等式:
1、 arctana arctanb a b ;
2、当x 1时,e x ex .
六、设函数 y f ( x) 在x 0 的某邻域内且有n 阶导数,
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试用柯西中值定理
证明: f ( x) f (n) (x),(0 1 ).
f (b) f (a) f ' ( )(b a)
成立. 注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba

经济数学 微分中值定理课件

经济数学 微分中值定理课件

f F
(b) (b)
f (a) F (a)
f F
' ( ' (
)成立. )
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有
X F(x)
C
Y f ( x)
M
B
一点C(F (), f ()), 在
该点处的切线平行于
A
N
D
弦AB.
o F(a) F(1)F(x)
F(2)F(b)
x
证 作辅助函数
(x ) f(x ) f(a ) f(b ) f(a )[F (x ) F (a )]. F (b ) F (a )
至少存 (在 x 在 0,x1之 一 )使 间 ,个 f得 ()0.
但 f(x )5 (x4 1 )0,(x (0,1))矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日(Lagrange)中值定理( 1 )如果函数f(x)在 闭区间[a,b]上连续(,2在 ) 开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(ab),使等式
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
证 定义辅助函数
f1(x) f(0x,),
xa ,

F(x), xa
F1(x)
0,
, xa
在U0(a,)内任取一 x, 在 点以a与x为端点的区,间上
f1(x),F1(x)满足柯西中值定件理 , 的则条 有
f(b)f(a)f() F(b)F(a) F()
f(b)f(a)f(). ba
例4 设f函 (x )在 [0 数 ,1 ]上,连 在 (0 ,1 )内 续,可 证 :导 明

《中值定理》课件

《中值定理》课件

魏尔斯特拉斯逼近定理
魏尔斯特拉斯逼近定理是中值定理中的一种,它指出任何连续函数都可以中值定理是中值定理中的一种,它描述了函数在一个区间内存在某个点,该点处的瞬时变化率等于该区间 平均变化率的值。
柯西中值定理
柯西中值定理是中值定理中的一种,它更具有一般性,适用于实数区间和复 数区间上的函数。它指出了当两个函数经过某个点处函数值相等时,这两个 函数在某个点处的导数也相等。
《中值定理》PPT课件
欢迎来到本次关于《中值定理》的PPT课件。在这个课件中,我们将深入探讨 中值定理的定义、数学表述、证明以及应用,并比较三种不同中值定理之间 的异同。接下来,让我们开始吧!
什么是中值定理
中值定理是微积分中的重要定理之一,它研究函数在一个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。它包括三 种不同的定理,分别是魏尔斯特拉斯逼近定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
总结
通过比较三种不同中值定理的异同,我们能更好地了解它们在解决不同问题 时的特点和适用范围。中值定理在微积分、数学物理以及其他领域都有广泛 的应用。继续深入学习中值定理,将为你的数学知识打下坚实的基础。

微分中值定理与导数应用.ppt

微分中值定理与导数应用.ppt
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
第一节 中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f (b) F (b)
f (a) F (a)
f '( F '(
). )
第一节 中值定理
证: 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 () 0.
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第一节 中值定理
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0. 即 f () f (b) f (a) 0
y f (x)
2 b x
第一节 中值定理
第一节 中值定理
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数 f(x)满足
(1)在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b) 内可导; 那么在(a, b)内至少有一点(a b) ,使得
f (b) f (a) f ' ()(b a) .

微分中值定理汇总课件

微分中值定理汇总课件

22
22
可导,
f ( 3 π) 1 f (π).因此sin x在[ 3 π, π]上满足罗
2
2
22
尔定理.应选C.
对于f(x)=|x|,在[-1,1]上连续,在(-1,1)内不可 导,因此应排除D.
综合之,本例应单选C.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,
f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( ).
f ( ) f (b) f (a) 0,
ba
从而有f ( ) f (b) f (a) ,或表示为
ba
f (b) f (a) f ( )(b a).
上述结论对b<a也成立.
如果f(x)在(a,b)内可导,x0 (a,b), x0 x (a,b), 则 在以 x0与x0 x为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日 中值定理,即
一、引理
引理 设f(x)在 x0 处可导,且在 x0 的某邻域内恒有 f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )), 则有 f (x0 ) 0 .
二、罗尔定理
定理4.1 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
不难发现 f (x) 1 ,在[-2,0]上不满足连续的 x
条件,因此应排除A.
对于f (x) (x 4)2,在[-2,4]上连续,在(-2,4)
内可导;f(-2)=36,f(4)=0,f (2) f (4),因此
应排除B.
对于f (x) sin x,在[ 3 π, π]上连续, 在( 3 π, π)内
则至少存在一点 (a,b),使f '( ) 0.

高等数学 第一节 微分中值定理

高等数学 第一节  微分中值定理

f ( x )
1 1 x
2

1 1 x
2
0
在 ( 1, 1 ) 内成立 .
所以 f ( x ) 在 ( 1, 1 ) 内取常数 c .
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 所以 c . 2 2 2 又 f ( 1) , 2 2 f ( 1) 0 . 2 2
2 2 为求 , 需解方程 cos x 2 . 1 sin x 2
9
设 y x, 2 y y 2 sin cos cos x sin y 2 2 cot y 2 . 则 2 2 1 sin x 1 cos y 2 sin 2 y 2 y tan 1 , y 2 arc tan 1 , 2 2 2 x y 2 arc tan 1 . 2 2 2 0 2 1 1 , 0 arctan 1 , 2 4 x 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 因此 , 取 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 ( ) ( 0) ( ) 2 确能使 ) (0) 成立 . 10 ( ) ( 2
使

y f (b) f (a ) f ( ) , ba f (b) f (a ) f ( ) (b a ) .
f (b) f (a ) 注 . 1. 弦的斜率 k . ba
2 . 若令 f (a ) f (b) ,
o
a

b
xБайду номын сангаас

《微分中值定理》课件

《微分中值定理》课件
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目录
• 微分中值定理的概述 • 罗尔定理 • 拉格朗日中值定理 • 柯西中值定理 • 泰勒中值定理
01
微分中值定理的概述
微分中值定理的定义
微分中值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续,在开区间$(a, b)$上可导, 则存在$c in (a, b)$,使得$f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
罗尔定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续,在开区间$(a, b)$上可 导,且$f(a) = f(b)$,则存在$c in (a, b)$,使得$f'(c) = 0$。
拉格朗日中值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续,在开区间$(a, b)$上可导, 则存在$c in (a, b)$,使得$f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
详细描述
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,开区间(a, b)上可导,那么在开区间(a, b)内 至少存在一点ξ,使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理的证明
总结词
详细介绍了拉格朗日中值定理的证明 过程。
详细描述
通过构造辅助函数g(x)=f(x)-f(a)[f(b)-f(a)]*(x-a)/(b-a),利用罗尔定 理证明存在ξ属于(a, b),使得g'(ξ)=0 ,从而得到拉格朗日中值定理的结论 。
应用三
研究极值问题。柯西中值定理可以用于研究函数的极值问题,通过分 析导数的符号变化,可以判断函数在某点是否存在极值。
05
泰勒中值定理
泰勒中值定理的表述

3(1)-微分中值定理-PPT文档资料

3(1)-微分中值定理-PPT文档资料

f ( x x ) f ( x ) 0 0 0


5
微分中值定理
罗尔定理 若函数 f(x ) 满足 : (1) 在闭区间 [ a ,b ] 上连续 ;(2) 在开区间 ( a ,b ) 内可导 ; (3) f( )0 . a )f( b ), ( a , b ), f(
y
几何事实:
B f( x )
有水平的切线 f ( ) 0
B
a 1
2
b x
3
微分中值定理
一、罗尔定理
罗尔 Rolle,(法)1652-1719
定理 若函数 f(x ) 满足 : (1) 在闭区间 [ a ,b ] 上连续 ; (2) 在开区间 ( a ,b ) 内可导 ; (3) f( a )f( b ),
x ,0 x 1 f ( x ) | x | , x [ 1 , 1 ] f ( x ) x , x [0 , 1] f(x ) , x 1 0
1
O
1 x
O
1
x
7
微分中值定理
罗尔定理 若函数 f(x ) 满足 : (1) 在闭区间 [ a ,b ] 上连续 ;(2) 在开区间 ( a ,b ) 内可导 ; (3) f( a )f( b ), )0 . ( a , b ), f(
注 (2) 定理条件只是充分的. 可推广: 设 y f ( x )在( a , b )内可导,且 lim f( x )limf(x ) x a 0 x b 0 ( ) 0 . 则在( a , b )内至少存在一点 , 使 f
提示
( a 0 ) , x a f f 证 F(x)在[a,b]上 x ) , a x b 设F (x) ( 满足罗尔定理 . f ( b 0 ) , x b
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x0
x
即函数在点 x 处的导数等于 x 0 时, 函数
在点 x 处的差商 f (x x) f (x) 的极限值.
x
我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.
即: 设 f (x) C[ a , b ] , 则 1 ,2 [ a , b ] , 使
f
(1)Biblioteka mina xbf(x)
y y f (x)
f
(2 )
max
a xb
f
(x)
o a1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断点
结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点

矛盾, 故假设不真!
2. 拉格朗日(Lagrange)中值定理
y
满足:
y f (x)
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
M 和最小值 m .
若M=m,则
因此
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f ( ) 0.
注意: 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.
例如,
y
o 1x
y
y
1 o 1 x
o 1x
例 1 设 f (x) 在[0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导,且 f (1) 0,
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
自证:
例4
证明不等式
1
x
x
ln(1
x)
x
(x 0).
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
这些中值定理的创建要归功于费马、 拉格朗日、柯西等数学家.
导数与差商
y y f (x) 可微
P
B
点 P 处切线的斜率: k f (x0)
相等!
割线 AB 的斜率:
A
k f (x2 ) f (x1) x2 x1
O x1
x0 x2 x
将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置:
思路: 利用b逆向a 思维找即出定一理个结满论足成罗立尔定. 证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:


y f (x0 x)x (0 1)
推论 5.1 (函数单调性的判定法) 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 .( 1) 如 果 在 (a,b) 内 , f (x) 0 ,则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加;(2)如果在 (a,b) 内, f (x) 0 ,则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少.
说明:本定理可利用拉格朗日定理证明
推论5.2:若函数 在区间 I 上满足

在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例3 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得

故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.
注意:函数的极值是对一点的邻域来说的,是局部概念, 极小值可能比极大值大.
费马引理(Fermat Lemma)

证: 设 则
存在
y o x0 x
证毕
闭区间连续函数最值定理
定理 5.2 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且 一定能取得它的最大值和最小值.
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数 f (x) 在区间 (a,b) 内有定义,x0 是 (a,b) 内的一点,如果存在 x0 的一个邻域U (x0 ) ,对于U (x0 ) 内 的任何点 x ,有
f (x) f (x0 ) 或 f (x) f (x0 ) , 则称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的一个极大值(或极小值),点 x0 是 f (x) 的一个极大值点(或极小值点),函数的极大值、
在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.
也就是说, 至少存在一点 (x1 , x2) , 使得 f ( ) f (x2 ) f (x1)
x2 x1 该命题就是微分中值定理.
一、函数的极值
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o a
bx
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a) .
证: 问题转化为证 f ( ) f (b) f (a) 0 b a
ba
作辅助函数 (x) f (x()) f (b) f (a) x
ba
显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
(a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点
y 1
o
1x
y
2 1
o 1 2x
二、微分中值定理
1. 罗尔(Rolle)定理
满足:
y
(1) 在区间 [a , b] 上连续
y f (x)
(2) 在区间 (a , b) 内可导
o
(3) f ( a ) = f ( b )
a b x
在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
证:
故在[ a , b ]上取得最大值
证明至少存在一点 (0,1), 使 f () f () 0.
提示: f ( ) f ( ) (xf (x)) x
例2 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .(补充题)
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
第五章 微分中值定理及其应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数的升降、凸性和函数作图 第四节 函数的最大值、最小值问题
第一节 微分中值定理
一、函数的极值 罗尔中值定理 二、微分中值定理 拉格朗日中值定理
柯西中值定理
三、小结与思考题
导数与差商
函数导数的定义为
f (x) lim f (x x) f (x)
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