广东省韶关市新丰县第一中学2020届高考数学全真模拟密押卷含解析〖含高考模拟卷15套〗
【精品】2020年全国高考数学考前模拟试卷含答案
A． 1 5
B． 2 3
C． 1 或 2 3
D． 1 或 1 5
6． [2020 ·海淀联考 ] 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 被平面 ACB1和平面 ACD1 分别截去三棱锥
B ACB1 和三棱锥 D ACD1 后，得到一个 n 面体，则这个 n 面体的左视图为（
）
A．
B．
C．
D．
x2 ln x
为 _____．
14．[2020 ·青岛一模 ] 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形， 谢尔宾斯基三角形是一种分形，
由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，
将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余
3 个小三角形重复上述过程得到如
）
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
3．[2020 ·钟祥二模 ] 某工厂利用随机数表对生产的 700 个零件进行抽样测试， 先将 700 个零件进行
编号， 001， 002， L ， 699， 700．从中抽取 70 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行，
若从表中第 5 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（
则双曲线的方程为 y 2 x 2 1 ，故选 A． 4
5．【答案】 C
【解析】 Q a x,1 ， b 2,3x 1 ，且 a∥b ，
x 3x 1 1 2 0 ，解得 x 6．【答案】 D
2 或 x 1 ，本题正确选项 C． 3
【解析】 由题意，正方体 ABCD A1B1C1D1 被平面 ACB1 和平面 ACD1 分别截去三棱锥 B ACB1 和
）
2020年高考数学仿真押题试卷(Word版,含答案解析)
高考数学仿真押题试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z i -=，则下列关于复数z 说法正确的是( ) A ．1z i =--B ．||2z =C ．2z z =D ．22z =【解析】解：由(1)2i z i -=，得，故A 错；||z =B 错；2||2z z z ==，故C 正确；，故D 错误．【答案】C ．2．命题“x R ∀∈，210x x -+…”的否定是( ) A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．0x R ∃∈，C ．0x R ∃∈，2010x x -+… D ．0x R ∃∈，2010x x -+… 【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题， 则命题的否定是：0x R ∃∈，【答案】B ．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．171B ．342C ．683D ．341【解析】解：根据程序框图可知：1i =1S =；2i =2S =；3i =3S =；4i =6S =；5i =，11S =；6i =22S =；7i =，43S =；8i =，86S =；9i =171S =；10i =，342S =；11i =683S =，1110i =>满足条件． 输出683S =， 【答案】C ．4．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且，则( )A ．4παβ-=B ．2παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【解析】解：由，可得，，即，又(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，则，．故，即22παβ+=．【答案】D ．5．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为()A B C．2 D．4【解析】解：作出可行域，的几何意义表示可行域中点(,)x y与定点(1,0)D-的距离的平方，可知当1y=时，目标函数取到最小值，x=，0最小值为，【答案】D．6．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A．27 B．24 C．18 D．12【解析】解：由三视图可知，该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为3，其体积为．【答案】B ．7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若1x ，2x R ∈，则“120x x +=”是“”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若120x x +=，则12x x =-， 则，即成立，即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时， 满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“120x x +=”是“”的充分不必要条件，【答案】A ． 8．已知函数，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，点3(0,)2-，(3π，0)，7(,0)3π在图象上，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则12()(f x x += )A ．3B ．32C ．0D ．32-【解析】解：由条件知函数的周期满足，即24ππω=，则12ω=， 由五点对应法得03πωϕ+=，即1032πϕ⨯+=，得6πϕ=-， 则，则，得3A =，即，在7(,)33ππ内的对称轴为，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则1x ，2x 关于43x π=对称， 则，则，【答案】D ． 9．若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,0)-D ．(2,0)-【解析】解：根据题意，圆的圆心为(1,0)，半径1r =，与x 轴的交点为(0,0)，(2,0)，设B 为(2,0)； 直线即，恒过经过点(0,1)，设(0,1)A ；当直线经过点A 、B 时，即2m =-，若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限， 必有20m -<<，即m 的取值范围为(2,0)-；【答案】D ．10．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为(2A ，2，1)，(2B ，2，1)-，(0C ，2，1)，(0D ，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．D ．6π【解析】解：通过各点的坐标可知，A ，B ，C ，D 四点恰为棱长为2的正方体的四个顶点，故此四面体与对应正方体由共同的外接球，故其表面积为：12π， 【答案】B ．11．设P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与(OQ O 为坐标原点）垂直，则P 到l 的距离的最小值的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，1]D ．(0，2]【解析】解：抛物线24y x =上的准线方程是1x =-设点Q 的坐标为(1,)t -，(0)t ≠． 则直线l 的方程为．设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+=．代入抛物线方程可得，由△，可得2m t =．故与直线l 平行且与抛物线相切的直线方程为20x ty t -+=．∴则P 到l 的距离的最小值．【答案】B ． 12．已知函数．若不等式()0f x >的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是( ) A ．(13ln -，0]B ．(13ln -，22]lnC ．(13ln -，12]ln -D ．[0，12]ln -【解析】解：，当10a -…时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，不满足条件，舍去．当10a -<时，，可得11x a=-时取得极大值即最大值．．而f （1）10a =->，f （2）20ln =>，∴必须f （3），f （4）．解得：．a ∴的取值范围是(13ln -，12]ln -．【答案】C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-，则实数λ= 2 ． 【解析】解：向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-；∴；2λ∴=． 【答案】2．14．若21(2)n x x -展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 60 ．【解析】解：若21(2)n x x-展开式的二项式系数之和为64，则264n =，6n ∴=．则展开式中的通项公式为，令1230r -=，求得4r =，可得常数项为426260C =， 【答案】60．15．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，且75a b +=，则cos(2)2πα+的值是 2425- ． 【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，∴由任意角的三角函数的定义得，sin b α=，cos a α=．75a b +=，可得：，∴两边平方可得：，可得：，解得：，∴．【答案】2425-． 16．图（1）为陕西博物馆收藏的国宝--唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯型几何体的主体部分可近似看作是双曲线的右支与直线0x =，4y =，2y =-围成的曲边四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图（2）．N ，P 分别为C 的渐近线与4y =，2y =-的交点，曲边五边形MNOPQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖恒原理（祖恒原理：幂势既同，则积不容异）．意思是：两登高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等．那么这两个几何体的体积相等）据此求得该金杯的容积是 18π ．（杯壁厚度忽略不计）【解析】解：由双曲线，得a =3b =，则渐近线方程为y =．设y h =在y 轴右侧与渐近线的交点N 的横坐标x ，与双曲线第一象限的交点M 的横坐标x =，∴金杯的容积是．【答案】18π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若点D 为BC 中点，且AD =4a =，求ABC ∆的面积．【解析】解：（1），，，1cos 2C ∴=-，0C π<<， 23C π∴=；（2）ADC ∆中，AD =4a =， 由余弦定理可得，，，，解可得4AC =，6AC =-（舍)，．18．如图，在三棱柱中，四边形11AA C C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，160A AC ∠=︒，90BCA ∠=︒．（Ⅰ）求证：11A B AC ⊥；（Ⅱ）已知点E 是AB 的中点，BC AC =，求直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．【解析】（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接1A O ， 由于平面ABC ⊥平面11AA C C ，1AO AC ⊥， 所以：1A O ⊥平面ABC ， 所以：1AO BC ⊥， 又BC AC ⊥，所以：BC ⊥平面1A AC ，又11AC AC ⊥，1A C 为1A B 的射影， 所以：11A B AC ⊥．（Ⅱ）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，(0A ，1-，0)，(2B ，1，0)，(0C ，1，0)，1(0C ，2，则：(2,2,0)AB =，，设(m x =，y ，)z 是平面11ABB A 的法向量， 所以：100m AB m BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2200x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩求得：，由(1E ，0，0) 求得：，直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．19．一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在20至60的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：（Ⅰ）为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关？（Ⅲ）现从该超市这200位顾客年龄在[55，60]的人中，随机抽取2人，记这两人中使用移支付的顾客为X 人，求X的分布列．附：【解析】解：（Ⅰ）根据图中数据，由频率估计概率，根据已知可预计该超市顾客使用移动支付的概率为：，所以超市当天应准备的环保购物袋个数为：．（Ⅱ）由（1）知列联表为：假设移动支付与年龄无关，则，，所以有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关．（Ⅲ）X可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：20．已知两点(2,0)A -、(2,0)B ，动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-．（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若H 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，则曲线E 上是否存在两点M ，N ，使得HMN ∆是以H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明满足条件的点M 、N 有几对；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，因为斜率PA k ，PB k 存在，故2x ≠±， 则2PA y k x =+，2PB yk x =-， 又动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-，所以，化简得，动点P 的轨迹E 的方程为：2214x y +=，(2)x ≠±（2）设能构成等腰直角三角形HMN ，其中H 为(0,1)，由题意可知，直角边HM ，HN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设HM 所在直线的方程为1y kx =+，（不妨设0)k >则HN 所在直线的方程为11y x k =-+，由求得交点28(14kM k -+，2281)14k k -++，（另一交点(0,1))H ，，用1k-代替上式中的k ，得，由||||HM HN =，得，，解得：1k =或k ．当HM 斜率1k =时，HN 斜率1-；当HM 斜率k =时，HN ；当HM 斜率k =时，HN ．21．设函数，实数[0a ∈，)+∞，是自然对数的底数，．（Ⅰ）若()0f x …在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若x e lnx m +…对任意0x >恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.3． 【解析】解：（Ⅰ），()0f x …在x R ∈上恒成立，12x e a x ∴+…，设()12x e h x x =+，，令()0h x '=，解得12x =， 当12x >，即()0h x '>，函数单调递增， 当12x <，即()0h x '<，函数单调递减， ，0a ∴<…故a的取值范围为；（Ⅱ）设，∴，()0g x '>，可得x >；()0g x '<，可得0x <．()g x ∴在，)+∞上单调递增；在上单调递减．， ，∴ 1.6>，() 2.3g x ∴>．由（Ⅰ）可得，x e lnx ∴-的最小值大于2.3，故若x e lnx m +…对任意0x >恒成立，则m 的最大值一定大于2.3． 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[极坐标与参数方程]22．已知直线l 的参数方程为，点(1,2)P 在直线1上．（1）求m 的值；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:4C ρ=与直线l 交于两点A 、B ，求||||PA PB 的值．【解析】解：（1）由于点(1,2)P 在直线1上．直线l 的参数方程为，故代入直线的参数方程得到：2m =+． （2）曲线1:4C ρ=，转换为直角坐标方程为：2216x y +=， 由于圆与直线l 交于两点A 、B ， 把直线的参数方程代入圆的方程得到：，故：12111(t t t =-和2t 为A 、B 对应的参数）． 故：．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数．（Ⅰ）若对(0,)…恒成立，求实数m的取值范围；f x ma∀∈+∞，()（Ⅱ）若f（2）1a<+，求a的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）0a>，a=时取等号，a>时，，当且仅当1，()…恒成立，f x m∴…，2m（Ⅱ）f（2），，等价于或，a…或，解得2故a的取值范围为，)+∞．。
2020年高考数学仿真押题试卷(Word版,含答案解析)
高考数学仿真押题试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()(a bi += ) A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i +【解析】解：a i -与2bi +互为共轭复数，则2a =、1b =，，故选：D ．2．已知全集U R =，{|0}A x x =…，{|1}B x x =…，则集合()(U A B =ð )A ．{|0}x x …B ．{|1}x x …C ．{|01}x x 剟D ．{|01}x x <<【解析】解：或0}x …，，故选：D ．3．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：设数列{}n a 的公差为d ，则由1510a a +=，47a =，可得12410a d +=，137a d +=，解得2d =， 故选：B ．4．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A．13πB．23πC．43πD．53π【解析】解：圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，该几何体的体积，故选：C．5．若变量x，y满足约束条件，则3z x y=+的最小值为()A．3 B．4 C．2 D．1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数3z x y=+为3y x z=-+，由图可知，当直线3y x z=-+过(0,1)A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：D．6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．32【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个， 当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列33A ， 当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列33A ， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列33A ， 当最右边三辆时，有车之间的一个排列33A ，总上可知共有不同的排列法33424A ⨯=种结果， 故选：C ．7．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是( )A ．716B ．916 C ．35D ．12【解析】解：由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成， 设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A ，由几何概型中的面积型可得：P （A ），故选：B ．8．在ABC ∆中，2AD DB =，2CE EA =，则( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：，故选：A ．9．已知双曲线，O 为坐标原点，过C 的右顶点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于A ，B ，过C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于M ，N ，若O A B ∆与OMN ∆的面积之比为1:9，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．y =±C ．y =±D ．8y x =±【解析】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则2219a c =， ∴2229a b a +=，∴ba=C ∴的渐近线方程为y =±， 故选：B ．10．设0sin a xdx π=⎰，则8()ax x+展开式中的常数项为( )A ．560B ．1120C ．2240D ．4480 【解析】解：设，则展开式中的通项公式为，令820r -=，求得4r =，可得展开式中的常数项为48161120C =， 故选：B ．11．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，90ABC ∠=︒，12AB AA ==，BC =1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解析】解：在堑堵中，90ABC ∠=︒，12AB AA ==，BC =∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0C ，0)，1(2A ，0，2)，1(2A C =-，2)-，平面11ABB A 的法向量(0n =，1，0)，设1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为θ，则，1CA ∴与平面11ABB A 所成角的大小为45︒．故选：B ．12．已知函数，若方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)3B ．1(,2)3C ．14(,)25D ．1(,1)2【解析】解：方程()1f x kx =+有四个不相等的实根， 等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点，易得：①当直线1y kx =+与函数相切时，12k =， ②当直线1y kx =+与函数相切时，利用导数的几何意义可得：1k =，即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时， 实数k 的取值范围是112k <<， 故选：D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．10的展开式中含2x 项的系数为 5 ．【解析】解：10的展开式的通项公式为，令10223r-=，求得2r =， 故展开式中含2x 项的系数为210159C =， 故答案为：5．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且3tan 4B =，则的值是53． 【解析】解：a ，b ，c 成等比数列，2b ac ∴=，，3tan 4B =，3sin 5B ∴=．则．故答案为：53．15．已知0x >，0y >，且121x y+=，则xy x y ++的最小值为 7+ 【解析】解：121x y+=， 2xy x y ∴=+，，当且仅当26y xx y=时，即y =时取等号， 故xy x y ++的最小值为7+故答案为：7+16．如图，已知过椭圆的左顶点(,0)A a -作直线1交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为．【解析】解：AOP ∆是等腰三角形，(A a -，0)(0P ∴，)a ． 设0(Q x ，0)y ，2PQ QA =，0(x ∴，，0)y -．∴，解得002313x a y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．代入椭圆方程得，化为2215b a=．∴．． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数．（1）求函数()y f x =的单调增区间；（2）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f （A ）0=，1a =，求b c +的取值范围．【解析】解：（1）函数，由，可得，可得函数的单调递增区间是(6k ππ-，)3k ππ+，k Z ∈．（2）ABC ∆中，已知f （A ），，3A π∴=．1a =，由正弦定理可得，．2(0,)3B π∈，(66B ππ∴+∈，5)6π，，2]．所以b c +的范围是(1，2]．18．椭圆的左右焦点分别为1(F 0)、2F 0)，点A 1)2在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆交于E 、F 两点，以EF 为直径的圆过坐标原点O ，求证：坐标原点O 到直线l 距离为定值．【解析】解：（1）由椭圆定义可知，，所以2a =，因为c =，所以1b =，椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）证明：由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，△，即2241k m +>，设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，又，，∴，，，所以坐标原点O 到直线l． 19．某校学业水平考试中，某两个班共100名学生，物理成绩的优秀率为20%，数学成绩的频率分布直方图如图所示，数学成绩大于90分的为优秀．（1）利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数（中位数保留小数点后两位）；（2）如果数学、物理都优秀的有12人，补全下列22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？（3）在物理优秀的20人中，随机抽取2人，记数学物理都优秀的人数为X ，求X 的概率分布列及数学期望．附：，其中．【解析】解：（1）由频率分布直方图估计数学成绩的众数是：8090852+=，由频率分布直方图得：[60，80)的频率为：，[80，90)的频率为：．估计数学成绩的中位数是：．⋯（2）列联表是：，所以有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关⋯（3）X的可能取值为0，1，2，，，，X 概率分布列为：数学期望．⋯20．如图①在四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AB =4BC =，6AD =，E 是AD 上的点，13AE AD =，P 为BE 的中点将ABE ∆沿BE 折起到△1A BE 的位置，使得14A C =，如图②． （1）求证：平面1A CP ⊥平面1A BE ；（2）点M 在线段CD 上，当直线1A M 与平面1A PD 1M A P D --的余弦值．【解析】证明：（1）BPC ∆中，2BP =，PC =，4BC =，所以BP PC ⊥，同理△1A PC 中，12A P =，PC =，14A C =， 所以1A P PC ⊥，因为1A P ⊂平面1A BE ，PB ⊂平面1A BE ，，所以PC ⊥平面1A BE ，又PC ⊂平面1A PC ， 所以平面1A CP ⊥平面1A BE ．⋯解：（2）以点P 为坐标原点，PE ，PC 所在直线为x ，y 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，1(0A ，1，C ，0，0)，D ，4，0)，(0E ，2，0)设M a ，0)，则1A M =1a -，，1(0PA =，1，PD =4，0)，设平面1A PD 的法向量为(m x =，y ，)z ，由100m PA m PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得．令2x =，得(2m =，1)，直线1A M 与平面1A PD ，，解得2a =或8a =（舍)，∴1A M =1，， 设平面1A PD 的法向量为(n x =，y ，)z ，由，取1x =，得(1n =，1)，设二面角1M A P D --的平面角为θ，则，所以当直线1A M 与平面1A PD 1M A P D --．⋯21．某财团欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格y （单位：万元）是每日产量x （单位：吨）的函数：．（1）求当日产量为3吨时的边际成本（即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数）； （2）记每日生产平均成本yx为m ，求证：16m <； （3）若财团每日注入资金可按数列2241n na n =-（单位：亿元）递减，连续注入60天，求证：这60天的总投入资金大于111n 亿元．【解析】解：（1）因为22321x y lnx x =-，(1)x >，所以，当3x =时，；证明：（2）要证，只需证设，则所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以()h x h <（1）0= 所以16yx<， 即16m <； 证明（3）因为，又由（2）知，当1x > 时，12x lnx x ->， 所以，所以，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线（其中t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线关于1C 对称．（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移2个单位长度，按照12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1C 距离的最大值．【解析】解：（1）由2121x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得20x y --=，由2c os a ρθ=得，得，依题意2C 的圆心2(,0)C a 在上，所以020a --=，解得2a =，故曲线1C 的普通方程为20x y --=，曲线2C 的直角坐标方程为．即．（2）2C 向左平移2各单位长度后得224x y +=，再按照12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'⎪⎩变换得到，设P 点坐标为，P 点到1C 的距离为，当23πθ=时，点P 到1C的距离最大，最大值为 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知．（1）解关于x 的不等式()4f x >；（2）对于任意正数m 、n ，求使得不等式恒成立的x 的取值集合M ．【解析】解：（1）函数，当0x …时，不等式()4f x >化为，解得1x <-；当01x <<时，不等式()4f x >化为，解得3x >，所以x ∈∅； 当1x …时，不等式()4f x >化为，解得53x >； 综上，不等式()4f x >的解集为{|1x x <-或5}3x >；⋯（2）对于任意正数m 、n ，，当且仅当1m n ==时“=”成立， 所以不等式恒成立，等价于，由（1）知，该不等式的解集为5{|1}3x x-剟， 所以x 的取值集合是[1M =-，5]3．⋯。
【高考押题】2020年高考数学仿真押题试卷(3)(Word版,含答案解析)
专题 03 高考数学仿真押题试卷（三）注意事项：1 ．答题前，先将自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点。
2 ．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、底稿纸和答题卡上的非答题地区均无效。
3．非选择题的作答：用署名笔挺接答在答题卡上对应的答题地区内。
写在试题卷、底稿纸和答题卡上的非答题地区均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．会合，，则A B（）A．(, 1)B．(, 1]C．(1,)D．[1,)2．已知复数，则 z | z | （）1 3i 1 3 1 3 1 3A．2 B．i C．i D．i2 2 2 2 2 2 2 3．若，(0, ) ，则 sin 的值为（）2A．42B．42C．7D． 26 6 18 34．如图，在矩形地区ABCD的A，C两点处各有一个通讯基站，假定其信号覆盖范围分别是扇形地区ADE 和扇形地区 CBF （该矩形地区内无其余信号根源，基站工作正常），若在该矩形地区内随机地选一地址，则该地址无信号的概率是（）A．1 B．1 C．22 D．4 2 45．已知一几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）A． 1 B．1 C． 1 D． 13 3 36 12 12 46．若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．已知函数的部分图象如下图，则函数图象的一个对称中心可能为（）A．(2,0)B．(1,0)C．(10,0)D．(14,0)8．函数的大概图象为（）A ．B ．C ．D ．9．已知点 A ， B ， C ， D 在同一个球的球面上， ， AC 2 ，若四周体 ABCD 的体积为2 3，球心 O 恰幸亏棱 DA 上，则这个球的表面积为（）3A ．25B ． 4C ． 8D ． 16410． F 为双曲线x 2y 2 1右焦点， M ， N 为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边a 2b 2形，且四边形 OFMN 的面积为 bc ，则双曲线的离心率为（ ）A ． 2B ．2 2C ． 2D ．311．已知不等式组 表示的平面地区恰巧被圆所覆盖，则实数 k 的值是（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 612．已知 x 0 是方程 的实根，则对于实数 x 0 的判断正确的选项是（）A ． x 0≥ ln 21 C ．D ．B ． x 0e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每题 5分．13．睁开式中含 x 3 项的系数为．（用数字表示）14．已知 a(1, ) ， b (2,1) ，若向量 2a b 与 c (8,6) 共线，则 a 在 b 方向上的投影为．15．在 △ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ，且 a 8 ，△ ABC的面积为 4 3 ，则 bc 的值为．16．如下图，点F 是抛物线 y 2 8x 的焦点，点 A ， B 分别在抛物线 y 2 8x 及圆的实线部分上运动，且AB 老是平行于 x 轴，则 △ FAB 的周长的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，且 a 1 1，， n N * ．（ 1）证明：数列{ S n1} 为等比数列；n（2）求．（ 2）若参加班级宣传的志愿者中有12 名男生， 8 名女生，从中选出2 名志愿者，用 X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的 散布列及其数学希望．20．已知椭圆的长 轴长为 6，且椭圆 C 与圆的公共弦长为4 10．3（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）过点 P(0,2) 作斜率为 k (k0) 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A ， B ，试判断在 x 轴上能否存在点D ，使得 △ ADB 为以 AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知函数．（ 1）当a≤0时，试求 f ( x) 的单一区间；（ 2）若f ( x)在(0,1)内有极值，试求 a 的取值范围．请考生在22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22．选修 4-4 ：坐标系与参数方程已知曲线 C ：，直线（t为参数，0≤）．（ 1）求曲线C的直角坐标方程；（ 2）设直线l与曲线C交于A, B两点（A在第一象限），当时，求a的值．23．选修 4-5 ：不等式选讲已知函数．（ 1）求不等式 f ( x)≤3 的解集；（ 2）若函数y f (x) 的最小值记为m ，设 a ， b R ，且有a2b2m ，试证明：．【答案分析】第Ⅰ卷一、选择题1．【答案】C【分析】，，，选C．2．【答案】C【分析】，z 1．应选 C．，3．【答案】A【分析】，，，应选 A．4．【答案】A【分析】几何概型，由面积比率能够得出答案．5．【答案】C【分析】由三视图可知：该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的1构成的，应选C．46．【答案】B7．【答案】C【分析】由题知 A 23，，，再把点2, 2 3 代入可得 3 ，8 4，应选 C．8．【答案】D【分析】由函数不是偶函数，清除A、C，当时，y sin x 为单一递加函数，而外层函数y e x也是增函数，所以在上为增函数．应选D．11．【答案】D【分析】因为圆心(3,3) 在直线上，又因为直线与直线相互垂直其交点为，直线与的交点为(0,6) ．因为可行域恰巧被圆所覆盖，及三角形为圆的内接三角形圆的半径为，解得 k 6 或 k 6 （舍去）．应选D．12．【答案】C【分析】方程即为，即，令f x xe x，，则，函数 f x 在定义域内单一递加，联合函数的单一性有：，应选 C．二、填空题13．【答案】 0【分析】 ( x 1)5睁开式中含x3项的系数为 C53 10 ，含x2项的系数为C53 10，所以睁开式中含x3项的系数为 10-10=0 ．14．【答案】3 55【分析】由题知1，所以投影为3 5．515．【答案】 4 51， A 2【分析】，由正弦定理 cos A ，2 3a 8 ，由余弦定理可得：，又因为△ ABC 面积1 3bc ， bc 16 ，b c 4 5．2 2三、解答题17．【答案】(1) 数列 {S n1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列． (2)．n【分析】(1) 因为 ，所以，即，则 ，所以，又S11 2 ，1故数列 {S n1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．n（ 2）由（ 1）知 ，所以，故．设，则，所以，所以，所以．18．【答案】二面角E ACF 的余弦值为3．3【分析】（ 1）因为底面ABCD 为菱形，所以 AC BD ，又平面 BDEF底面 ABCD ，平面 BDEF 平面，所以 AC 平面 BDEF ，进而 AC EF ．又 BD DE ，所以 DE 平面ABCD，由 AB 2a ，，，可知， BD 2a ，，，进而，故EF AF．又，所以 EF 平面 AFC ．又 EF 平面 AEF ，所以平面 AEF 平面 AFC ．（ 2）取EF中点G，由题可知OG∥DE，所以OG 平面 ABCD ，又在菱形 ABCD 中， OA OB ，所以分别以 OA， OB ， OG 的方向为 x ，y，z轴正方向成立空间直角坐标系O xyz （如下图），则 O(0,0,0) ，A( 3a,0,0)，，，，所以，，．由（ 1）可知EF平面AFC，所以平面AFC 的法向量可取为．设平面 AEC 的法向量为n(x, y, z) ，z 2 ，得y 4 ，则n AE 0, ，即，即y 2 2z, ，令n AC 0, x 0,所以．进而．故所求的二面角E ACF 的余弦值为3．319．【答案】 (1) (2)【分析】（ 1）用分层抽样的方法，每一个人被抽中的概率是5 150 ，10所以，参加到班级宣传的志愿者被抽中的有201 2 人，10参加整理、打包衣物的志愿者被抽中的有3013人，10故“起码有 1 人是参加班级宣传的志愿者”的概率是．（2）女生志愿者人数X 0,1,2， 则， ，．∴ X 的散布列为X 0 1 2P33 48 14 959595∴ X 的数学希望为．（ 2）直线l的分析式为y kx 2 ，设A( x1, y1)，B( x2, y2)，AB 的中点为E( x0, y0)．假定存在点 D (m,0) ，使得△ ADB 为以 AB 为底边的等腰三角形，则 DE AB ．由得，故，所以，．因为 DE AB ，所以 k DE 1，即，所以．k当 k 0 时，，所以．综上所述，在x 轴上存在知足题目条件的点 D ，且点 D 的横坐标的取值范围为．（ 2）若f ( x)在(0,1)内有极值，则 f x 在x(0,1) 内有解．令， e x ax 0 ，a e x ．x设 g( x) e x x (0,1) ，x所以，当 x (0,1) 时，g x 0恒成立，所以 g(x) 单一递减．又因为 g (1) e，又当 x 0 时， g( x) ，即 g( x) 在 x (0,1) 上的值域为 (e, ) ，所以当 a e 时，有解．设，则x (0,1) ，所以 H ( x) 在 x (0,1) 单一递减．因为，，所以在 x (0,1) 有独一解 x0．所以有：x (0, x0 ) x0 ( x0 ,1)H ( x) 0f (x) 0f ( x) ] 极小值Z 所以当 a e 时， f ( x) 在 (0,1) 内有极值且独一．当 a≤ e 时，当 x (0,1) 时，f x ≥0 恒成立， f ( x) 单一递加，不可立．综上， a 的取值范围为(e,) ．请考生在22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22．选修 4— 4：坐标系与参数方程【答案】(1)x24y 4 ；(2)∴．6【分析】（ 2）证明：由图可知函数y f (x) 的最小值为3，即 m 3 ．2 2所以 a2 b2 3 ，进而，2进而．当且仅当时，等号成立，即 a2 1 ， b2 4 时，有最小值，6 3所以得证1、你勤劳充电，你努力工作，你保持身材，你对人浅笑，这些都不是为了取悦别人，而是为了扮靓自己，照亮自己的心，告诉自己：我是一股独立向上的力量。
广东省韶关市新丰县第一中学2020-2021学年高二数学理测试题含解析
广东省韶关市新丰县第一中学2020-2021学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.289B. 1225C. 1024D.1378参考答案：B略2. 经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．参考答案：D略3. 已知函数在R上为减函数，则实数a的取值范围是（）A． B. C. D.参考答案：B4. 已知对任意恒成立，且，，则b=（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：A【分析】根据，根据它的展开式形式，由题意可得，，即可求出b的值．【详解】由题意知即，且，可得，，解得b=1，n=9，故选：A．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，其中解答中合理构造，熟记二项展开式的通项公式，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了构造思想，以及运算与求解能力，属于中档题．5. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：（）参考答案：C6. 已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，且当x≥0时恒有f（x﹣）=f（x+），当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，则f=（）A．1﹣e B．﹣1﹣e C．e﹣1 D．e+1参考答案：C【考点】3T：函数的值．【分析】根据图象的平移可知y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，可得函数为奇函数，由题意可知当x≥0时，函数为周期为2的周期函数，可得f=f（1）﹣f（0），求解即可．【解答】解：∵y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，∴y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，∴函数为奇函数，∵当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），∴函数为周期为2的周期函数，当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，∴f=f=f（1）﹣f（0）=（e﹣1）﹣0=e﹣1．故选：C．7. f(x)的定义域为R ，，对任意，则不等式解集为（）A. (0,+∞)B.(－∞,0)C. (－∞,－1)∪(1,+∞)D. (－∞,－1)∪(0,1)参考答案：A【分析】令g（x）＝e x f（x）﹣e x﹣1，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由已知条件可得函数g（x）的零点，由此可解得不等式．【详解】解：令g（x）＝e x f（x）﹣e x﹣1，则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又f（0）＝2，∴g（0）＝e0f（0）﹣e0﹣1＝2﹣1﹣1＝0，故当x＞0时，g（x）＞g（0），即e x f（x）﹣e x﹣1＞0，整理得e x f（x）＞e x+1，∴e x f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}．故选：A．【点睛】本题考查函数单调性的性质及其应用，考查抽象不等式的求解，考查导数与函数单调性的关系，综合性较强，属于中档题．8. 函数中，其导函数的图象如图1，则函数( )A．无极大值，有四个极小值点B．有两个极大值，两个极小值点C．有四个极大值点，无极小值点D．有三个极大值，两个极小值点参考答案：B9. 用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.24个B.30个C.40个 D.60个参考答案：A略10. 直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°参考答案：A【考点】直线的一般式方程．【分析】直接利用倾斜角的正切值等于斜率求解．【解答】解：设直线的倾斜角为α（0°＜α＜180°），则tanα=．所以α=150°．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若在区间上是增函数，则实数的取值范围参考答案：12. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线段长为．参考答案：略13. ，不等式恒成立，则实数的取值范围是．（原创题）参考答案：14. 已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．参考答案：15. 已知函数，则，的零点有．参考答案：，116. 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，AE⊥PB，AF⊥PC，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________参考答案：略17. 设的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”．）参考答案：充分不必要略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020高考数学全真模拟试卷含答案
2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，少年！ 一、选择题 (每小题5分,共10小题,50分)1．设I 为全集，M 、N 、P 都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是A. M ∩（N ∪P ）B.M ∩［（I N ）∩P ］C.［（I M ）∩（I N ）］∩PD.（M ∩N ）∪（M ∩P ） （ ）. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4=18－a 5,则S 8等于 ( )A.18B.36C.54D.723．6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是 ( )A.121B.21C.61D.31 4.函数)4sin()4sin()(x x x f -+=ππ是 （ ） A ．周期为π2的奇函数； B ．周期为π2的偶函数； C ．周期为π的奇函数； D ．周期为π的偶函数. 5．已知等差数列{a n }第一项、第三项、第七项分别是一个等比数列｛b n ｝的连续三项，则数列｛b n ｝的公比等于 （ ）Ａ．2 Ｂ．２2 Ｃ．２ Ｄ．３26．已知f (cos x )=cos3x ,则f (sin30°)的值是( )A.1B.23C.0D.－17．若2tan()45πα+=、1tan()44πβ-=，则tan()αβ+= （ ）A ．1B ．1318 Ｃ．518 Ｄ．－１ ８．若函数f(x)＝1()cos 1x a x e +-是奇函数，则常数a 等于（ ）Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．12Ｄ．12-9．设)(x f 是定义在实数集R 上以2为周期的奇函数，已知)1,0(∈x 时，)1(log )(21x x f -=，则)(x f 在)2,1(上（ ）A ．是减函数，且0)(>x f ；B ．是增函数，且0)(>x f ；C ．是减函数，且0)(<x f ；D ．是增函数，且0)(<x f . 10．已知函数c bx ax x x f +++=23)(，∈x [-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：①f （x ）的解析式为：x x x f 4)(3-=，∈x [-2，2] ②f （x ）的极值点有且仅有一个③f （x ）的最大值与最小值之和等于零 其中正确的命题个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二. 、填空题 ( 每小题4分,共4个小题,16分)11．过曲线y =x 3－x 上点（1，0）的切线方程的一般式是 .12．已知数列1，4,,21a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则221b a a +的值为13．设sin αβ==，α、β∈(0,)2π，则β－α＝ ．a 114．已知数列{a n }中，a 1＝１，a 6=32，a n+2=21nna a +,把数列{a n }的2a 3a 4a各项排成如图的三角形形状，记A(m,n)为第m 行从左5a 6a 7a 8a 9a…………………………… 起的第n 个数，则A(4,3)＝；A(m,n)＝ ．三、解答题( 共6 小题,总分84分,要求写出必要的解题过程 ) 15．（本题14分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边为a 、b 、c ，A=2B ，cos B =，求sinC 的值． 16（本题14分）.：已知函数3)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θθθx x x x f .（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值； （6分）（Ⅱ）当θ=3π时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合. （6分）17． (本题14分) 如图, 四棱锥P －ABCD 的底面是正方形, PA ⊥底面ABCD, PA ＝AD ＝2, 点M 、N 分别为棱PD 、PC 的中点. (1) 求证: PD ⊥平面AMN; （7分） (2) 求二面角P －AN －M 的大小. （7分）NMDCBAP18．(本题14分)已知定义域为（0，+∞）的函数f(x)满足：①对任意m、n，有f(m﹒n)=f(m)+f(n);②当x＞1时，有f(x)＜０. （1）求证：1()()=-（6分）；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上f f mm为减函数．（8分）19．(本题14分) 某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室，要求全体教职员工都参加其中的某一项目. 据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而去娱乐室的人有20%下次去健身房.(Ⅰ) 设第n次去健身房的人数为a，试用n a表示1 n a；n(Ⅱ) 随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？说明理由.20．（本小题满分14分）已知定义域为R的二次函数f x()的最小值为0且有f x f x ()()11+=-，直线g x x ()()=-41被f x ()的图像截得的弦长为417，数列{}a n 满足a 12=，()()()()a a g a f a n N n n n n +-+=∈10*。
2020年广东省韶关市高考数学模拟试卷(一)(4月份)(有答案解析)
2020年广东省韶关市高考数学模拟试卷（一）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0≤x＜3}，B={x|（x-2）（x-4）＜0}，则集合A∩B=（）A. {x|0＜x＜2}B. {x|0＜x＜4}C. {x|2＜x＜4}D. {x|2＜x＜3}2.已知是z的共轭复数，且满足（1+i）=4（其中i是虚数单位），则|z|=（）A. 2B. 2C.D. 13.已知变量x与y负相关，且由观测数据得到样本的平均数，，则由观测数据得到的回归方程可能是（）A. B.C. D.4.若x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值为（）A. -B.C. 5D. 65.若等比数列的各项均为正数，，，则（）A. B. C. 12 D. 246.已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的相邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（x）=（）A. sin（x+）B. sin（2x+）C. cos2xD. cos（2x+）7.已知圆C：x2+y2-4x+3=0，则圆C关于直线y=-x-4的对称圆的方程是（）A. （x+4）2+（y+6）2=1B. （x+6）2+（y+4）2=1C. （x+5）2+（y+7）2=1D. （x+7）2+（y+5）2=18.下列三个数：a=ln，b=-log3，c=（），大小顺序正确的是（）A. c＞a＞bB. c＞b＞aC. b＞a＞cD. a＞b＞c9.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，20，则输出的a=（）A. 14B. 4C. 2D. 010.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱长为（）A.B.C.D.11.已知数列{a n}满足a1++a3+…+=n2+n（n∈N*），设数列{b n}满足：b n=，数列{b n}的前n项和为T n，若T n＜λ（n∈N*）恒成立，则实数λ的取值范围为（） .A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，（其中a∈R），若f（x）的四个零点从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x i的值是（）A. 16B. 13C. 12D. 10二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，x），=（-2，4），且（-）⊥，则实数x=______14.曲线在处的切线的斜率为，则切线的方程为_____________．15.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则=______．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，BC=2，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点E，F分别在线段PA，CD上，若EF∥平面PBC，且DF=2FC，则点E到平面ABCD的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且b cos A=sin A（a cos C+c cos A）．（1）求角A的大小；（2）若a=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18.如图1，四边形ABCD是直角梯形，其中BC=CD=1，AD=2，∠ADC=90°．点E是AD的中点，将△ABE沿BE折起如图2，使得A'E⊥平面BCDE．点M、N分别是线段A'B、EC的中点．（1）求证：MN⊥BE；（2）求三棱锥E-BNM的体积19.某工厂每年定期对职工进行培训以提高工人的生产能力（生产能力是指一天加工的零件数）．现有A、B两类培训，为了比较哪类培训更有利于提高工人的生产能力，工厂决定从同一车间随机抽取100名工人平均分成两个小组分别参加这两类培训．培训后测试各组工人的生产能力得到如下频率分布直方图．（1）记M表示事件“参加A类培训工人的生产能力不低于130件”，估计事件M 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为工人的生产能力与培训类有关：生产能力＜130件生产能力≥130件总计A类培训50B类培训50总计100（）根据频率分布直方图，判断哪类培训更有利于提高工人的生产能力，请说明理由．P（K2≥k0）0.150.100.0500.0250.0100.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考公式：，其中n=a+b+c+d．20.已知点M到抛物线y2=4x的焦点F的距离和它到直线x=2的距离之比是．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过圆O：x2+y2=上任意一点P作圆的切线l与轨迹C交于A，B两点，求证：OA⊥OB．21.已知函数f（x）=xe x（e≈2.71828…）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）-ln x，求证：g（x）＞（参考数据：ln2≈0.69）．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x-2）2+y2=4，过点（-2，0）且斜率为k（k＞0）的直线l与曲线C相切于点A．（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程和点A的极坐标；（2）若点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值．23.已知f（x）=|x|．（1）解不等式f（2x-3）≤5；（2）若x2+2x+f（x-2）+f（x+3）≥a+1在x∈[-1，3]上恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：解二次不等式（x-2）（x-4）＜0得：2＜x＜4，即B=，又A={x|0≤x＜3}，则A∩B=，故选：D．由二次不等式的解法及集合交集的运算得：B=，又A={x|0≤x＜3}，则A∩B=，得解．本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属简单题．2.答案：A解析：解：由（1+i）=4，得，∴|z|=||=．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用|z|=||求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：【分析】本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，基本知识的考查，属于基础题. 利用变量x与y负相关，排除选项，然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可. 【解答】解：变量x与y负相关，排除选项B，C；回归直线方程经过样本中心，把，，代入A成立，代入D不成立．故选A.4.答案：C解析：解：变量x，y满足约束条件条件的可行域如图：目标函数z=x-y经过可行域的B点时，目标函数取得最大值，由可得A（4，-1），目标函数z=x-y的最大值为：5．故选：C．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．5.答案：D解析：解：数列{a n}是等比数列，各项均为正数，4a32=a1a7=a42，所以，所以q=2。
2020年广东省韶关市高考数学模拟考试(理科)(1月份)试题Word版含解析
2020年广东省韶关市高考模拟考试数学（理科）试题一、本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={x∈R|0≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∩（∁RQ）=（）A．[0，3] B．（0，2] C．[0，2）D．（0，3]2．已知复数z=（t﹣1）+（t+1）i，t∈R，|z|的最小值是（）A．1 B．2 C．D．33．已知，则f（﹣1+log35）=（）A．15 B．C．5 D．4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A．B．C．D．5．等比数列{an }前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6=（）A．62 B．64 C．126 D．1286．已知点A是双曲线（a，b＞0）右支上一点，F是右焦点，若△AOF（O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e为（）A．B．C．1+D．1+7．执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．B．C．D．8．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．D．29．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P﹣ABCD的侧面积等于4（1+），则该外接球的表面积是（）A．4π B．12πC．24πD．36π10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜2）的三个相邻交点的横坐标分别是，且函数f（x）在x=处取得最小值，那么|φ|的最小值为（）A．B．πC．D．11．设M是圆O：x2+y2=9上动点，直线l过M且与圆O相切，若过A（﹣2，0），B（2，0）两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是（）A．﹣=1（y≠0）B．﹣=1（y≠0）C． +=1（y≠0）D． +=1（y≠0）12．已知不恒为零的函数f（x）在定义域[0，1]上的图象连续不间断，满足条件f（0）=f（1）=0，且对任意x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|，则对下列四个结论：①若f（1﹣x）=f（x）且0≤x≤时，f（x）=x（x﹣），则当＜x≤1时，f（x）=（1﹣x）（﹣x）；②若对∀x∈[0，1]都有f（1﹣x）=﹣f（x），则y=f（x）至少有3个零点；③对∀x∈[0，1]，|f（x）|≤恒成立；④对∀x1，x2∈[0，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤恒成立．其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．已知平面非零向量，满足•（）=1，且||=1，则与的夹角为．14．在（1+x）•（1+2x）5的展开式中，x4的系数为（用数字作答）15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AD、DD1的中点，若AB=4，则过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面面积S等于．16．某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用年报废最合算（即平均每年费用最少）．三．解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，tan∠BAM=，cos∠AMC=﹣（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若角∠BAC=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为，当F是PC中点时，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．19．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P（x≥120）（Ⅱ）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x∈[100，110），则取x=105，且x=105的概率等于市场需求量落入100，110）的频率），求T的分布列及数学期望E（T）．20．设椭圆C： =1（a＞b＞0），椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x2+y2=相切，且抛物线y2=﹣4x的准线恰好过椭圆C的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过圆O上任意一点P作圆的切线l与椭圆C交于A，B两点，连接PO并延长交圆O于点Q，求△ABQ面积的取值范围．21．.已知函数f（x）=ae x（a≠0），g（x）=x2（Ⅰ）若曲线c1：y=f（x）与曲线c2：y=g（x）存在公切线，求a最大值．（Ⅱ）当a=1时，F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）内有零点，求实数b的取值范围．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2（Ⅰ）将直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m∈R）（I）当m=﹣1时，求不等式f（x）≤2的解集；（II）设关于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集为A，且[，2]⊆A，求实数m的取值范围．2020年广东省韶关市高考模拟考试数学（理科）试题答案一、本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={x∈R|0≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∩（∁Q）=（）RA．[0，3] B．（0，2] C．[0，2）D．（0，3]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合Q，根据交集和补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合P={x∈R|0≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}={x|x≤﹣2或x≥2}，Q={x|﹣2＜x＜2}，则∁R∴P∩（∁Q）={x|0≤x＜2}=[0，2）．R故选：C．2．已知复数z=（t﹣1）+（t+1）i，t∈R，|z|的最小值是（）A．1 B．2 C．D．3【考点】复数求模．【分析】利用复数模的计算公式、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：由已知得：复数z=（t﹣1）+（t+1）i，t∈R，|z|2=（t﹣1）2+（t+1）2=2t2+2≥2，∴|z|，∴|z|的最小值是．故选：C．3．已知，则f（﹣1+log5）=（）3A．15 B．C．5 D．【考点】分段函数的应用．5的范围，利用分段函数化简求解即可．【分析】判断﹣1+log3【解答】解：﹣1+log35∈（0，1），f（﹣1+log35）=f（﹣1+log35+1）=f（log35）==5，故选：C．4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A．B．C．D．【考点】排列、组合的实际应用；古典概型及其概率计算公式．【分析】求出从10部名著中选择2部名著的方法数、2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数，由对立事件的概率计算公式，可得结论．【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为C102=45（种），2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C32=3（种），由对立事件的概率计算公式得P=1﹣=．故选A．5．等比数列{an }前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6=（）A．62 B．64 C．126 D．128【考点】等比数列的前n项和．【分析】法一：设等比数列{an}的公比是q，由题意可得q≠1，由等比数列的前项和公式列出方程组，整体求解后代入求出S6的值；法二：根据题意、等比数列的性质、等比中项的性质列出方程，求出S6的值．【解答】解法一：设等比数列{an}的公比是q，由题意得q≠1，，解得q2=4、=﹣2，所以S6==﹣2×（1﹣43）=126；法二：由已知可知，S2=6，S4=30，因为S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，所以242=6×（S6﹣30），解得S6=126，故选C．6．已知点A是双曲线（a，b＞0）右支上一点，F是右焦点，若△AOF（O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件求出A坐标，代入双曲线方程，可得a、b、c，关系，然后求解离心率即可．【解答】解：依题意及三角函数定义，点A（ccos，csin），即A（，），代入双曲线方程，可得 b2c2﹣3a2c2=4a2b2，又c2=a2+b2，得e2=4+2，e=，故选：D．7．执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】框图中的S，实际是计算S=1++…+，裂项求和，可得结论．【解答】解：框图中的S，实际是计算S=1++…+=1+（1﹣+﹣+…+﹣）=，故选C．8．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．D．2【考点】简单线性规划的应用．【分析】根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m≤1，由此可得结论．【解答】解：由题意，，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1∴实数m的最大值为1故选B．9．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P﹣ABCD的侧面积等于4（1+），则该外接球的表面积是（）A．4π B．12πC．24πD．36π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正方体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．【解答】解：设正方体棱长为a，则由四棱锥P﹣ABCD的侧面积等于4（1+），可得，a=2，设O是PC中点，则OA=OB=OC=OP=，所以，四棱锥P﹣ABCD外接球球心与正方体外接球球心重合．所以S==12π，故选B10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜2）的三个相邻交点的横坐标分别是，且函数f（x）在x=处取得最小值，那么|φ|的最小值为（）A．B．πC．D．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据正弦函数的图象与性质，结合题意得出f（x）的周期以及ω的值，再求出|φ|的最小值．【解答】解：已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜2）的三个相邻交点的横坐标分别是、、，则函数f（x）的周期为π，ω=2；又函数f（x）在x=处取得最小值，则2•+φ=2kπ+，k∈Z，所以φ=2kπ﹣，k∈Z；故|φ|的最小值为．故选：C．11．设M是圆O：x2+y2=9上动点，直线l过M且与圆O相切，若过A（﹣2，0），B（2，0）两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是（）A．﹣=1（y≠0）B．﹣=1（y≠0）C． +=1（y≠0）D． +=1（y≠0）【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】焦点到A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，而距离之和为A和B的中点O到准线的距离的二倍是定值，结合椭圆的定义得焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆．【解答】解：设A，B两点到直线l的距离分别为d1，d2，则d1+d2=2d=6又因为A，B两点在抛物线上，由定义可知|AF|+|BF|=6＞|AB|，所以由椭圆定义可知，动点F的轨迹是以A，B为焦点，长轴为6的椭圆（除与x轴交点）．方程为+=1（y≠0），故选C．12．已知不恒为零的函数f（x）在定义域[0，1]上的图象连续不间断，满足条件f（0）=f（1）=0，且对任意x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|，则对下列四个结论：①若f（1﹣x）=f（x）且0≤x≤时，f（x）=x（x﹣），则当＜x≤1时，f（x）=（1﹣x）（﹣x）；②若对∀x∈[0，1]都有f（1﹣x）=﹣f（x），则y=f（x）至少有3个零点；③对∀x∈[0，1]，|f（x）|≤恒成立；④对∀x1，x2∈[0，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤恒成立．其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中f（0）=f（1）=0，且对任意x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：由f（1﹣x）=f（x）得函数f（x）图象关于直线x=对称，若0≤x≤时，f（x）=x（x﹣），则当＜x≤1时，f（x）=（1﹣x）（﹣x），故①正确；∵f（1﹣x）=﹣f（x），故函数图象关于（，0）对称，又由f（0）=f（1）=0，故函数f（x）至少有3个零点0，，1．故②正确；∵当0≤x≤时，|f（x）|≤x≤；当＜x≤1时，则1﹣x≤，|f（x）|=|f（x）﹣f（1）|≤（1﹣x）≤=．∴∀x∈[0，1]，|f（x）|≤恒成立，故③正确，设∀x1，x2∈[0，1]，当|x1﹣x2|≤时，|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|≤，当|x1﹣x2|＞时，|f（x1）﹣f（x2）|=|f（x1）﹣f（0）+f（1）﹣f（x2）|≤|f（x1）﹣f（0）|+|f（1）﹣f（x2）|≤|x1﹣0|+|1﹣x2|=×1+（1﹣x2）=﹣（x2﹣x1）≤﹣×=．故④正确故选D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．已知平面非零向量，满足•（）=1，且||=1，则与的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意求得=0，可得与的夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，∵平面非零向量，满足•（+）=1，且||=1，∴+1=1，即=0，∴θ=，故答案为：．14．在（1+x）•（1+2x）5的展开式中，x4的系数为160 （用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（1+x）•（1+2x）5的展开式中，含x4的项是第一个因式取1和x时，后一个因式应取x4和x3项，求出它们的系数和即可．【解答】解：在（1+x）•（1+2x）5的展开式中：当第一个因式取1时，则后一个因式取含x4的项为24•x4=80x4；当第一个因式取x时，则后一个因式取含x3的项为23•x3=80x3；所以展开式中x4的系数为：80+80=160．故答案为：160．15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AD、DD1的中点，若AB=4，则过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面面积S等于18 ．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】推导出EF∥平面BCC1，过EF且过B的平面与面BCC1的交线l平行于EF，l即为BC1．由此能求出过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面面积S．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AD、DD1的中点，∴EF∥AD1∥BC1，∵EF⊄平面BCC1，BC1⊂平面BCC1，∴EF∥平面BCC1，由线面平行性质定理，过EF且过B的平面与面BCC1的交线l平行于EF，l即为BC1．由正方体的边长为4，可得BE=C1F=，BC1=2EF=4，截面是等腰梯形，其高为3，其面积S=h==18．故答案为：18．16．某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用10 年报废最合算（即平均每年费用最少）．【考点】基本不等式．【分析】设这种汽车最多使用x年报废最合算，计算总维修费可用：（第一年费用+最后一年费用）×年数，然后列出用x年汽车每年的平均费用函数，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：设这种汽车最多使用x年报废最合算，用x年汽车的总费用为10+1.5x+=10+1.5x+0.1x2万元，故用x年汽车每年的平均费用为y=0.1x++1.5≥2+1.5=3.5万元．当且仅当x=10成立．故答案为：10．三．解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，tan∠BAM=，cos∠AMC=﹣（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若角∠BAC=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（Ⅰ）由邻补角定义及诱导公式得到cos∠AMC=﹣cos∠AMB，求出cos∠AMB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出tan∠AMB的值，再利用诱导公式求出tanB的值，即可确定出B的大小；（Ⅱ）由三角形内角和定理及等角对等边得到AB=BC，设BM=x，则AB=BC=2x，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与BC的值，再利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知∠AMB+∠AMC=π，又cos∠AMC=﹣，∴cos∠AMB=，sin∠AMB=，tan∠AMB=，∴tanB=﹣tan（∠BAM+∠BMA）=﹣=﹣=﹣，又B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠B=，且∠BAC=，∴∠C=，即∠BAC=∠C，∴AB=BC，设BM=x，则AB=2x，在△AMB中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2﹣2AB•BM•cosB，即7=4x2+x2+2x2，解得：x=1（负值舍去），∴AB=BC=2，=•4•sin=．则S△ABC18．已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为，当F是PC中点时，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）连接AC，推导出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，由此能证明平面AEF⊥平面PCD．（Ⅱ）以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∵E是BC中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，…∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，…又PA∩AE=A，∴AE⊥平面PAD，…又AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PCD．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE，AD，AP两两垂直，以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，…∵AE⊥平面PAD，∴∠AME就是EM与平面PAD所成的角，…在Rt△AME中，tan，即=，设AB=2a，则AE=，得AM=，又AD=AB=2a，设PA=2b，则M（0，a，b），∴AM==，从而b=a，∴PA=AD=2a，…则A（0，0，0），B（，﹣a，0），C（），D（0，2a，0），P（0，0，2a），E（），F（，，a），∴=（），=（，，a），=（﹣），…设=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量，则，取z=a，得=（0，﹣2a，a），…又BD⊥平面ACF，∴=（﹣）是平面ACF的一个法向量，…设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ．则cosθ===．…∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为．…19．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P（x≥120）（Ⅱ）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x∈[100，110），则取x=105，且x=105的概率等于市场需求量落入100，110）的频率），求T的分布列及数学期望E（T）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得P（x≥120）=P+P+P．（Ⅱ）当x∈[100，130）时，T=0.5x﹣0.3=0.8x﹣39；当x∈[130，150]时，T=0.5×130，即可得出．（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当x∈[100，110）时，T=0.8×105﹣39，P（T=45）=0.010×10；当x∈[110，120）时，T=0.8×115﹣39，P（T=53）=0.020×10；当x∈[120，130）时，T=0.8×125﹣39，P（T=61）=0.030×10；当x∈[130，150）时，T=65，P（T=65）=（0.025+0.015）×10．即可得出T的分布列及其数学期望．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得P（x≥120）=P+P+P=0.030×10+0.025×10+0.015×10=0.7．（Ⅱ）当x∈[100，130）时，T=0.5x﹣0.3=0.8x﹣39；当x∈[130，150]时，T=0.5×130=65．∴T=．（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当x∈[100，110）时，T=0.8×105﹣39=45，P（T=45）=0.010×10=0.1；当x∈[110，120）时，T=0.8×115﹣39=53，P（T=53）=0.020×10=0.2；当x∈[120，130）时，T=0.8×125﹣39=61，P（T=61）=0.030×10=0.3；当x∈[130，150）时，T=65，P（T=65）=（0.025+0.015）×10=0.4．所以T的分布列为T45536165P0.10.20.30.4…所以，E（T）=45×0.1+53×0.2+61×0.3+65×0.4=59.4（万元）．…20．设椭圆C： =1（a＞b＞0），椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x2+y2=相切，且抛物线y2=﹣4x的准线恰好过椭圆C的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过圆O上任意一点P作圆的切线l与椭圆C交于A，B两点，连接PO并延长交圆O于点Q，求△ABQ面积的取值范围．【考点】圆锥曲线的范围问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x2+y2=相切，推出，以及c=，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，求出A、B、P、Q坐标，然后求解S△ABQ．②当直线l的斜率存在时，设其方程设为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y利用韦达定理判别式以及弦长公式，点到直线的距离，求出S△ABQ=|PQ||AB利用基本不等式求解最值，然后推出结果．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x2+y2=相切，所以，…又抛物线y2=﹣4其准线方程为x=，因为抛物线y2=﹣4的准线恰好过椭圆C的一个焦点，所以c=，从而a2﹣b2=c2=2 …两式联立，解得b2=2，a2=4，所以椭圆C的方程为：…①当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为l：x=，则A（，），B（，﹣），P（，0），所以Q（﹣，0），从而S△ABQ=|PQ||AB|==…②当直线l的斜率存在时，设其方程设为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=（4mk）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣4）=8（4k2﹣m2+2）＞0，即4k2﹣m2+2＞0…因为直线与圆相切，所以d==，∴3m2=4（1+k2）…|AB|====…当k≠0时，|AB|==，因为4k2+，所以1＜1+，所以．…因为PQ圆O的直径，所以S△ABQ=|PQ||AB|==．…所以＜S△ABQ≤2．…k=0时，S△ABQ=|PQ||AB|=××=综上可得△ABQ面积的取值范围为[，2]．…21．.已知函数f（x）=ae x（a≠0），g（x）=x2（Ⅰ）若曲线c1：y=f（x）与曲线c2：y=g（x）存在公切线，求a最大值．（Ⅱ）当a=1时，F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）内有零点，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到x2=2x1﹣2，由a=，设g（x）=，根据函数的单调性求出a的最大值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内至少有两个零点，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间，从而确定b的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）设公切线l与c1切于点（x1，a）与c2切于点（x2，），∵f′（x）=ae x，g′（x）=2x，∴，由①知x2≠0，①代入②得： =2x2，即x2=2x1﹣2，由①知a=，设g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=2；当x＜2时g′（x）＞0，g（x）递增．当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）递减．∴x=2时，g（x）max =g（2）=，∴amax=．（Ⅱ）F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1=e x﹣bx2﹣cx﹣1，∵F（2）=0=F（0），又F（x）在（0，2）内有零点，∴F（x）在（0，2）至少有两个极值点，即F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内至少有两个零点．∵F″（x）=e x﹣2b，F（2）=e2﹣4b﹣2c﹣1=0，c=，①当b≤时，在（0，2）上，e x＞e0=1≥2b，F″（x）＞0，∴F″（x）在（0，2）上单调增，F′（x）没有两个零点．②当b≥时，在（0，2）上，e x＜e2≤2b，∴F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，2）上单调减，F′（x）没有两个零点；③当＜b＜时，令F″（x）=0，得x=ln2b，因当x＞ln2b时，F″（x）＞0，x＜ln2b时，F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，ln2b）递减，（ln2b，2）递增，=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，所以x=ln2b时，∴F′（x）最小设G（b）=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，令G′（b）=2﹣2ln2b=0，得2b=e，即b=，当b＜时G′（b）＞0；当b＞时，G′（b）＜0，=G（）=e+﹣＜0，当b=时，G（b）最大∴G（b）=f′（ln2b）＜0恒成立，因F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内有两个零点，∴，解得：＜b＜，综上所述，b的取值范围（，）．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2（Ⅰ）将直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为ρcosθ+ρsinθ=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能示出直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）设点Q的坐标为（），点Q到直线l的距离为d=，由此能求出曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2∴ρ（cos+sin）=2，化简得，ρcosθ+ρsinθ=4，…由x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴直线l的直角坐标方程为x+y=4．…（Ⅱ）由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为（），…点Q到直线l的距离为d=…=．…当sin（）=﹣1时，即，d==3．…max此时，cos=﹣，sin，∴点Q（﹣）．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m∈R）（I）当m=﹣1时，求不等式f（x）≤2的解集；（II）设关于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集为A，且[，2]⊆A，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）问题转化为|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为|x+m|+|2x﹣1|≤|2x+1|在x∈[，2]上恒成立，根据（﹣x﹣2）max≤m≤（﹣x+2）min，求出m的范围即可．【解答】解：（ I）当m=﹣1时，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，f（x）≤2⇒|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，上述不等式可化为：或或，解得或或，∴0≤x≤或＜x＜1或1≤x≤，∴原不等式的解集为{x|0≤x≤}．（ II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含[，2]，∴当x∈[，2]时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，即|x+m|+|2x﹣1|≤|2x+1|在x∈[，2]上恒成立，∴|x+m|+2x﹣1≤2x+1，即|x+m|≤2，∴﹣2≤x+m≤2，∴﹣x﹣2≤m≤﹣x+2在x∈[，2]上恒成立，∴（﹣x﹣2）max ≤m≤（﹣x+2）min，∴﹣≤m≤0，所以实数m的取值范围是[﹣，0]．。
2025届广东省韶关市新丰一中高考英语全真模拟密押卷含解析
2025届广东省韶关市新丰一中高考英语全真模拟密押卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（共20小题，每小题1.5分，满分30分）1．During the 2008 financial crisis，the French president Nicolas Sarkozy agreed to provide millions of emergency fund aid to help unemployment．A．release B．resemble C．relieve D．recommend2．All the students are required to check they have made some spelling errors in their compositions. A．whether B．what C．that D．which3．—Tony _______ what I did annoying though he didn’t say anything.—So you think you will have to make an apology?A．could find B．should have foundC．might find D．must have found4．-- Catherine, I have cleaned the room for you.---Thanks. You _______ it. I could manage it myself.A．needn’t do B．shouldn’t have done C．mustn’t do D．need n’t have done5．Those successful deaf dancers think that dancing is an activity ________ sight matters more than hearing.A．when B．whose C．which D．where6．Even though the way Lin Daiyu expresses her feelings may be ________ to a modern audience, it is rooted in her character and makes who she is.A．allergic B．foreignC．sensitive D．fundamental7．I am always delighted when receiving your invitation, ______ the party on June 9th after the national college entrance examination, I shall be pleased to attend.A．On account of B．With regard toC．In response to D．In view of8．Children who are not active or_____ diet is high in fat will gain weight quickly.A．what B．whoseC．which D．that9．their final medical check, the astronauts boarded their spacecraft．A．Received B．Being received C．To receive D．Having received10．_____________equal opportunities, both Frank and Billy may accomplish the task.A．Given B．GivingC．To give D．to be given11．he law is equally applied to everyone. No one _______ be above it.A．shall B．mustC．may D．need12．---- Which of these digital cameras do you like best?---- ______. They are both expensive and of little use.A．None B．Neither C．Nothing D．No one13．When you are dressed in the latest style, dancing to the most fashionable music after watching the latest film, you feel great,______?A．aren't you B．don't you C．do you D．are you14．--- How about ______ plan to open a branch?--- I should say it was ______ failure.A．a; a B．a; / C．the; / D．the; a15．We have decided to fulfill the task in time, difficulties we may meet with.A．no matter how B．however C．whatever D．whichever16．________ and open to various interpretations, the terms of the new proposal need improving based on the interests of both sides.A．Accessible B．ApparentC．Ambiguous D．Aggressive17．The English in this story has been simplified to make it easier _______.A．to be understood B．understood C．understanding D．to understand18．— Can I lie about seeing a text because I was too busy or lazy to respond to it?— Receiving a text does not necessarily mean you have to respond．Why waste a perfectly good lie ________ the truth will serve?A．unless B．until C．when D．while19．Acceptance is not about liking a situation. It is about acknowledging all that has been lost and ________ to live with that loss.A．learning B．learnedC．to learn D．having learned20．I’m very grateful to my high school teachers, without ______ help I wouldn’t be so excellent.A．whom B．their C．which D．whose第二部分阅读理解（满分40分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。
【附加15套高考模拟试卷】广东省韶关市2020届高三调研测试数学(理)试题含答案
x y 2 0
9．实数
x，y
满足不等式组
x
y
2
0
，则目标函数
z
x
2y
的最小值是（
）
y 1
A．2 B．3 C．4 D．5
10．12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的
相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
A． C82 A32
x2 y2 1
x2 y2 1
A． 25 5
B． 36 16
C． 30 10
D． 45 25
5．已知椭圆 C : x2 a2
y2 b2
1(a
b
0), F1, F2 为其左、右焦点， P 为椭圆 C 上任意一点， F1PF2 的重心
为 G ，内心 I ，且有 IG F1F2 （其中 为实数），椭圆 C 的离心率（ ）
的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最小值是（ ）
4
5
3
5
A． 3 B． 4 C． 5 D． 3
2．函数 y
ln(x 1)
的定义域为（
x2 3x 4
）
A． (4，1) B． (4，1) C． (1，1) D． (1，1]
x 1
3．已知实数
x
，
y
满足线性约束条件
x
y
0
，则 y 1 的取值范围是（ ）
，求
f
x 的对称中心和单调减区间.
18．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极
坐标方程为
2 sin
，点
广东省韶关市新丰县第一中学2019-2020学年高一数学文模拟试卷含解析
广东省韶关市新丰县第一中学2019-2020学年高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知棱长为l的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q 分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCD B．l⊥ACC．面MEF与面MPQ垂直D．当x变化时，l是定直线参考答案：C【考点】LY：平面与平面垂直的判定．【分析】由已知条件推导出l∥EF，从而得到l∥面ABCD；由MN是运动的，得到面MEF与面MPQ所成二面角是不确定的，从而平面MEF与平面MPQ不垂直；EF∥BD，l∥EF，EF与AC所成的角为90°，从而l与AC垂直；M是一个确定的点，从而当x变化时，l是定直线．【解答】解：对于A，∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，∵QP∥EF，EF∥中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF∩面MPQ=l，由平面与平面平行的性质定理可知：l∥面ABCD，故A结论正确；对于B，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点∴AC⊥EF，由三垂线定理可知：l⊥AC，故B结论正确．对于C，∵MN是运动的，∴面MEF与面MPQ所成二面角是不确定的，∴平面MEF与平面MPQ不垂直，故C不正确；对于D，∵M是AA1的中点，是一个确定的点，∴当x变化时，l是过M与EF平行的定直线，故D正确．故选：C．2. 全集U={0,1,2,3,4,5,6}, A ={3,4,5} , B={1,3} ,那么集合{0,2,6}是（）A．A∪B B．A∩B C．(C U A)∩(C U B) D．(C U A)∪(C U B)参考答案：C首先排除，，则，则故选3. 直线与x，y轴所围成的三角形的周长等于（）A. 6B. 12C. 24D. 60参考答案：B该直线在x轴、y轴上的截距分别为3和4，因为直线与x轴、y轴围成的三角形为直角三角形，所以两个直角边分别为3和4，所以斜边为5，故周长为3+4+5=12.4. 已知等差数列满足，则的最小值为A. 1B. 4C.6 D. 8B5. 已知函数f(x)＝，若f()＋f(1)＝0，则实数的值等于( )A．－3 B．－1 C．1 D．3参考答案：A6. 若二面角为，直线，直线，则直线与所成角的范围是A. B. C.D.参考答案：D略7. 已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，若l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1，则m，n的值分别为( )A．2，7 B．0，8C．－1，2 D．0，－8参考答案：B8. 若点在函数的图象上，则函数的值域为（）A. B. C. D.D略9. 函数y=a x与y=﹣log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质．【专题】数形结合．【分析】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数图象的特征进行判定．【解答】解：根据y=﹣log a x的定义域为（0，+∞）可排除选项B，选项C，根据y=a x的图象可知0＜a＜1，y=﹣log a x的图象应该为单调增函数，故不正确选项D，根据y=a x的图象可知a＞1，y=﹣log a x的图象应该为单调减函数，故不正确故选A【点评】本题主要考查了指数函数的图象，以及对数函数的图象，属于基础题．10. 下列函数中，周期为，且在区间上单调递减的是A．B．C.D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知＜α＜，cos（α+）=m（m≠0），则tan（π﹣α）．参考答案：﹣【考点】两角和与差的正切函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan（α+）的值，再利用诱导公式求得tan（﹣α）的值．【解答】解：由＜α＜，可得α+∈（，π），又cos（α+）=m＜0，∴sin（α+）==，∴tan（α+）=，∴tan（﹣α）=tan[π﹣（α+）]=﹣tan（α+）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于基础题．12. 已知一个扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．参考答案：【考点】扇形面积公式．【专题】计算题．【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式求出扇形圆心角的弧度数．【解答】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=6，因为S扇形=，所以解得：r=1，l=4或者r=2，l=2所以扇形的圆心角的弧度数是：；故答案为：4或者1．【点评】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，此题属于基础题型．13. 函数是R上的单调函数且对任意实数有.则不等式的解集为__________参考答案：(－1,)略14. 已知函数f（x）=mx﹣1，g（x）=x2﹣（m+1）x﹣1，若对任意的x0＞0，f（x0）与g （x0）的值不异号，则实数m的值为．参考答案：略15. 在锐角△ABC中，，，则中线AD长的取值范围是_______; 参考答案：本道题运用向量方法，计算AD的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算bc的范围，即可。
2020年高考数学押题密卷(含解析)
2020年全国高考数学试卷及答案(名师押题预测试卷+解析答案，值得下载)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(A B = )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．(1，2]D ．(2,)+∞【解析】解：，，则【答案】A ． 2．已知向量，(3,1)b =，若//a b ，则(a b = ) A ．1 B ．1-C ．10-D ．1±【解析】解：，(3,1)b =， 若//a b ，则，1m ∴=-，【答案】C ．3．已知α是第二象限角，若，则sin (α= )A ．223-B ．13-C ．13D ．223【解析】解：α是第二象限角，若可得1cos 3α=-，所以．【答案】D ．4．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与8a 的等差中项为10，则10(S = ) A ．200B ．100C ．50D ．25【解析】解：由等差数列的性质可得：，则．【答案】B ．5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m α⊂，//n α，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：①若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，故不正确； ②若//m α，//m β，则α与β可能相交或平行，故不正确； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β，m 也可能在平面内，故不正确；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确 【答案】B ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A．11 B．9 C．7 D．5 【解析】解：模拟程序的运行，可得1n=，0S=不满足条件37S，执行循环体，113S=⨯，3n=不满足条件37S，执行循环体，，5n=不满足条件37S，执行循环体，，7n=此时，满足条件37S，退出循环，输出n的值为7．【答案】C．7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD-中，AB⊥平面BCD，BC CD⊥，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A．23B．34C．33D．24【解析】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则(1A，0，1)，(1B，0，0)，(0C，0，0)，(0D，1，0)，111 (,,)222 M，则，(0CD =，1，0)，设异面直线BM 与CD 夹角为θ，则．∴异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33． 【答案】C ．8．设0a >且1a ≠，则“b a >”是“log 1a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：充分性：当01a <<时，“b a >”时“log 1a b <”故充分性不成立． 必要性：当log 1a b >时，若01a <<，则0b a <<，故充分性不成立． 综上，“b a >”是“log 1a b >”的既不充分也不必要条件． 【答案】D ．9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是( )A．322+B．312+C．3122++D．23+【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥A BCD-，正方体的棱长为1，所以几何体的表面积为：．【答案】C．10．程序框图如图，若输入的2a=，则输出的结果为()A ．20192B ．1010C ．20232D ．1012【解析】解：模拟程序的运行，可得2a =，0S =，0i = 执行循环体，2S =，12a =，1i = 满足条件2019i ，执行循环体，122S =+，1a =-，2i = 满足条件2019i ，执行循环体，1212S =+-，2a =，3i = 满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，4i = ⋯由于，观察规律可知，满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，2020i = 此时，不满足条件2019i ，退出循环，输出．【答案】D ．11．将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，则概率()P A B 等于( ) A ．14B ．3536C ．518D ．512【解析】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”， 基本事件总数，AB 包含的基本事件个数，∴概率．【答案】C ．12．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，，若在3[,2]2ππ上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2-，)+∞ C ．(-∞，2] D ．[2-，1]-【解析】解：定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，方程()0f x '=无解，即()f x 为R 上的单调函数，，则()2018x f x +为定值， 设，则，易知()f x 为R 上的减函数，，，又()g x 与()f x 的单调性相同， ()g x ∴在R 上单调递减，则当3[,2]2x ππ∈，()0g x '恒成立， 即，当3[,2]2x ππ∈，则5[63x ππ+∈，13]6π， 则当26x ππ+=时，取得最大值2，此时取得最小值2-，即2m -，即实数m 的取值范围是(-∞，2]-， 【答案】A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数1()x f x e -=在(1,1)处切线方程是 ． 【解析】解：函数1()x f x e -=的导数为1()x f x e -'=，∴切线的斜率k f ='（1）1=，切点坐标为(1,1)，∴切线方程为1y x -=，即y x =．故答案为：y x =．14．已知P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值是 ．【解析】解：抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)，P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值，就是PF 的距离减去y 轴与准线方程的距离， 可得最小值为：．故答案为：2．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 1nn + ．【解析】解：点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，2n a n ∴=．．∴．则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．故答案为：1nn +． 16．已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 254π ．【解析】解：由圆锥体积为23π，其底面半径为1， 可求得圆锥的高为2， 设球半径为R ，可得方程：，解得54R =， ∴，故答案为：254π． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值． 【解析】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）由、及正弦定理可得：，⋯⋯由于sin 0A >，整理可得：，又sin 0B >， 因此得3sin 5B =．⋯⋯ （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 5B =， 又ABC ∆的面积为42，且10a =， 从而有，解得14c =，⋯⋯又角B 是最小的内角， 所以03Bπ<，且3sin 5B =，得4cos 5B =，⋯⋯ 由余弦定理得，即62b =．⋯⋯18．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0~2000步，（说明：“0~2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B 、2000~5000步，C 、5000~8000步，D 、8000~10000步，E 、步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”． （Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000~8000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“认定类别”与“性别”有关？参与者超越者 合计 男 20 女20合计 40附：，，20()P K k0.10 0.050 0.010 0k 2.706 3.841 6.635【解析】解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人， 女14人⋯⋯，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数 约为：人⋯⋯；（Ⅱ）该天抽取的步数在8000~12000的人数：男8人，女4人， 再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人⋯⋯所求概率（或⋯⋯ （Ⅲ）完成22⨯列联表⋯⋯参与者 超越者 合计男 12 8 20女 16 4 20合计 28 12 40计算，⋯⋯因为1.905 3.841<，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关， 即“认定类别”与“性别”无关 ⋯⋯19．如图，在正三棱柱中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//B E 平面ACF ；（Ⅱ）求CE 与平面ACF 所成角的正弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中， 因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以//EM BC 且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，所以1//B F BC 且112B F BC =，即1//EM B F 且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，所以，又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊂/平面ACF ，所以1//B E 平面ACF ．⋯⋯解：（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO 、OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB 、AO 、OF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 ⋯⋯ 则有， 得 设平面ACF 的一个法向量为(n x =，y ，)z则00n CA n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3020x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令3z =-，则(23n =，2，3)-，⋯⋯ 设CE 与平面ACF 所成的角为θ，则，所以直线CE 与平面ACF 所成角的正弦值为21919．⋯⋯。
2020年广东省高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年广东省高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩(C U B)=()A. {0}B. {0,1,2,3,4}C. {0,1}D. {1}2.复数1+2i2−i的虚部是()A. iB. −iC. −1D. 13.若变量x，y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=2x−y的最小值等于()A. −52B. −2 C. −32D. 24.若a>1，b<0，则函数y=a x+b的图象有可能是()A.B.C.D.5.函数f(x)=18x−cosx的零点个数为()A. 3B. 4C. 5D. 66.如果一个正四面体的体积为163√2dm3，则其表面积S的值为()A. 16dm2B. 18 dm2C. 18√3dm2D. 16√3dm27.某次数学考试中，某校学生的数学成绩服从正态分布N(100,25).估计数学成绩大于115分的学生所占的百分比为()(参考数据：P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974)A. 0.13％B. 1.3％C. 3％D. 3.3％8.设(2−x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6则|a1|+|a2|+⋯+|a6|的值是()A. 665B. 729C. 728D. 639.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右两个焦点分别为F1，F2，A，B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠AMB=30°，则该双曲线的离心率为()A. √212B. √13 C. 2√3 D. √19210. 已知数列{a n }的前n 项和S n =12n(n +1)，n ∈N ∗，b n =3a n +(−1)n−1a n ，则数列{b n }的前2n +1项和为( ) A. 32n+2−12+n B. 12⋅32n+2+n +12 C. 32n+2−12−n D. 12⋅32n+2−n +32 11. 已知三棱锥P −ABC 中，PA =√23，AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为( )A. 16B. 28C. 64D. 9612. 已知函数f(x)=x −sinx ，则不等式f(x +1)+f(2−2x)>0的解集是( )．A. (−∞,13)B. (−13,+∞)C. (−∞,3)D. (3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)=(x +a)lnx ，若曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x −y =0平行，则实数a 的值为______．14. 已知在数列{a n }中，a 1=2，2n (a n +a n+1)=1，设T n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a n ，b n =3T n −n−1a n ，数列{b n }的前n 项和S n =______．15. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(0,sinα)，B(cosα,0)，动点C 满足|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是________． 16. 过抛物线C ：x 2=4y 的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是____________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在△ABC 中，已知4sin 2A−B 2+4sinAsinB =3．(I)求角C 的大小；(Ⅱ)若AC =8，点D 在BC 边上，且BD =2，cos∠ADB =17，求边AB的长．18.如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，AB//DC，PA=AB=AD=2DC=2，PB=2√2，∠PAD=120°，E为PB的中点．(1)证明：EC//平面PAD；(2)求二面角C−AE−B的余弦值．19.如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e=√32，F为椭圆的左焦点，且AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB⃗⃗⃗⃗⃗ =1．(Ⅰ)求此椭圆的方程；(Ⅱ)设P是此椭圆上异于A，B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=FQ.连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．20.求函数f(x)=x2e−x的极值．21.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．(1)若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；(2)设g(x)=|x+1|，若∀x∈R，f(x)+g(x)≥a2−2a恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查了交、并、补集的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题．根据题意可得C U B ，从而即可得A ∩(C U B)．解：∵全集U ={0,1,2,3,4}，集合A ={1,2,3}，B ={2,3,4}，∴C U B ={0,1}，∴A ∩(C U B)={1}，故选D ．2.答案：D解析：本题考查了复数运算，属于基础题．根据复数运算法则即可求解．解：令z =1+2i 2−i =(1+2i )(2+i)(2−i)(2+i)=5i5=i ，故复数z 的虚部为1，故选D ．3.答案：A解析：解：由变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立{x +2y =0x −2y +2=0，解得A(−1,12). ∴z =2x −y 的最小值为2×(−1)−12=−52．故选：A ．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性以及与y轴的交点的范围是解决本题的关键．根据指数函数的单调性以及函数与y轴交点纵坐标的取值范围进行判断即可．解：当a>1时，函数为增函数，排除B，D，当x=0时，y=a0+b=1+b<1，排除C，故选：A．5.答案：C解析：解：函数f(x)=18x−cosx的零点，即函数y=18x与y=cosx图象交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y=18x与y=cosx的图象，如下图所示：由图可知：函数y=18x与y=cosx的图象有5个交点，故函数f(x)=18x−cosx有5个零点，故选：C将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，结合图象，问题容易解得．本题考察了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．6.答案：D解析：解：如果一个正四面体的棱长为a．则体积V=√212a3=163√2dm3，故a=4dm，则其表面积S=√3a2=16√3dm2，故选：Da3，求出棱长，再由棱长为a的正四面体的表面积S=√3a2，根据棱长为a的正四面体的体积V=√212可得答案．a3，表面积本题考查的知识点是正四面体的几何特征，熟练掌握棱长为a的正四面体的体积V=√212S=√3a2，是解答的关键．7.答案：A解析：本题主要考查正态分布的性质，属于基础题．解：某校学生的数学成绩服从正态分布N(100,25)．P(85<μ<115)=0.9974.估计数学成绩大于×(1−0.9974)×100％=0.0013×100％=0.13％.115分的学生所占的百分比为12故选A．8.答案：A解析：本题考查了二项式定理和赋值法的应用问题，由二项式定理知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a6|=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6，利用赋值法把x=−1，x=0分别代入已知式子计算即可，属基础题目．解：∵(2−x)6=a0+a1x+a2x+⋯+a6x，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=−1可得：∴|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a6|=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6=(2+1)6=729，x=0时，a0=26=64；∴|a1|+|a2|+⋯+|a6|=729−64=665．故选A．9.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M，再由两点的斜率公式，得到a，b的关系，再由离心率公式即可得到所求值．解：双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，将直线y=bax代入圆的方程，可得，x=√a2+b2=a(负的舍去)，y=b，即有M(a,b)，又A(−a,0)，B(a,0)，由于∠AMB=30°，BM⊥x轴，则tan30°=2ab =√33，即有b=2√3a，则离心率e=ca =√1+b2a2=√13．故选：B．10.答案：A解析：解：当n=1时，a1=S1=12×1×2=1；当n≥2时，a n=S n−S n−1=12n(n+1)−12(n−1)n=n．故a n=n．∴b n=3a n+(−1)n−1a n=3n+(−1)n−1n，则数列{b n}的前2n+1项和S2n+1=(31+32+⋯+32n+1)+[1−2+3−4+⋯+(2n−1)−2n+ (2n+1)]=3(1−32n+1)1−3+(n+1)=32n+2−12+n．故选：A．由数列的前n项和求出数列{a n}的通项公式，代入b n=3a n+(−1)n−1a n，整理后分组，然后利用等比数列的前n项和得答案．本题考查了数列递推式，考查了数列的分组求和，考查了等比数列的前n项和，是中档题．11.答案：C解析：解：∵三棱锥P−ABC中，PA=√23，AB=3，AC=4，AB⊥AC，PA⊥面ABC，∴以AB，AC，AP为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P−ABC的外接球，∴三棱锥P−ABC的外接球的半径R=√23+9+16=2√3，2设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a，=2√3，解得a=4，则R=√3a2∴此三棱锥的外接球的内接正方体的体积V=a3=43=64．故选：C．以AB，AC，AP为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P−ABC的外接球，三棱锥P−ABC=2√3，解得的外接球的半径R=2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a，则R=√3a2a=4，由此能求出此三棱锥的外接球的内接正方体的体积．本题考查三棱锥的外接球的内接正方体的体积的求法，考查三棱锥及外接球、球的内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，属于基础题．由f(x)=x−sinx，则f′(x)=1−cosx≥0，所以f(x)是增函数，再由f(x)是奇函数，f(x+1)+f(2−2x)>0，即f(x+1)>f(2x−2)，得x+1>2x−2，解得．解：由f(x)=x−sinx，则f′(x)=1−cosx≥0，所以f(x)是增函数，再由f(x)=x−sinx，f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数，∴f(x+1)+f(2−2x)>0，即f(x+1)>f(2x−2)，得x+1>2x−2，解得x<3．故选C．13.答案：1解析：解：函数f(x)=(x+a)lnx的导数为f′(x)=lnx+x+a，x可得曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k =1+a ， 由切线与直线2x −y =0平行， 可得1+a =2， 解得a =1， 故答案为：1．求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a 的值． 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，正确求导是解题的关键，属于基础题．14.答案：2n+1−2解析：解：由题意可知因为T n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a n ，所以2T n =2a 1+22a 2+⋯+2n a n ， 两式相加3T n =a 1+2(a 1+a 2)+22(a 1+a 2)+⋯+2n−1(a n−1+a n )+2n a n=2+2×12+22×122+⋯+2n−1×12n−1+2n a n=2+(n −1)×1+2n a n =n +1+2n a n所以b n =2n ， 从而S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2．故答案为：22n+1−2．先根据条件求出数列{b n }的通项公式，再根据通项公式的特点确定求和的方法．本题考查由递推式式求数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式，解题的关键对条件的分组转化，难度较大．15.答案：2解析：本题主要考查向量的计算和模长的计算，属于基础题． 解：依题意，设C(cosβ,sinβ)，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=2+2cos(α−β)， 所以当cos(α−β)=1时，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最大值4， 故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是2．故答案为2．16.答案：4解析：本题主要考查的是抛物线的性质的有关知识，根据到准线的距离转化为到焦点的距离，三点共线时距离最小，进而求出最小值．解：设A(x1,x124)，B(x2,x224)，由x2=4y可得y=x24，∴y′=x2，所以直线PA，PB的方程分别为：y−x124=x12(x−x1)①，y−x224=x22(x−x2)②，①②方程联立可得P(x1+x22,x1x24)，∵点P在准线上，∴x1x24=−1，∴x1x2=−4，设直线AB的方程为：y=kx+m，代入抛物线的方程可得：x2−4kx−4m=0，可得x1x2=−4m，所以可得m=1，即直线恒过(0,1)点，即直线恒过焦点(0,1)，即直AB的方程为：y=kx+1，代入抛物线的方程：x2−4kx−4=0，x1+x2=4k，所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，A点到准线的距离与B点到准线的距离之和=AF+BF=y1+y2+2=4k2+4≥4，当k=0时，距离之和最小且为4，这时直线AB平行于x轴．故答案为：4．17.答案：解：(I)由4sin2A−B2+4sinAsinB=3，变形得：2[1−cos(A−B)]+4sinAsinB=3，即2−2(cosAcosB+sinAsinB)+4sinAsinB=3，整理得：2−2cos(A+B)=3，即2+2cosC=3，∴cosC=12，则C =π3；(Ⅱ)∵cos∠ADB =17，∠ADB +∠ADC =π， ∴cos∠ADC =−17，sin∠ADC =4√37，在△ADC 中，由正弦定理AD sinC =AC sin∠ADC 得：AD =ACsinCsin∠ADC =8×√324√37=7，由余弦定理得：AB 2=DA 2+DB 2−2DA ·DB ·cos∠ADB =49+4−4=49， 则AB =7．解析：(I)已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos C 的值，即可确定出角C 的大小；(Ⅱ)由cos∠ADB 的值求出cos∠ADC 的值，进而求出sin∠ADC 的值，再由sin C 与AC 的长，利用正弦定理求出AD 的长，再利用余弦定理求出AB 的长即可．此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．18.答案：解：(1)取PA 中点F ，连接EF ，DF ，因为E 为PB 中点， 所以EF//AB ，EF =12AB ． 又因为AB//DC ，AB =2DC ， 所以EF//DC ，EF =DC ． 所以四边形DCEF 为平行四边形， 所以EC//DF ． 又DF ⊂平面PAD ，平面PAD ，所以EC//平面PAD ．(2)因为由题可知AP =AB =2，PB =2√2， 所以AP 2+AB 2=PB 2， 所以AB ⊥AP ，又因为AB ⊥AD ，AP ∩AD =A ，AP ，AD ⊂平面PAD ． 所以AB ⊥平面PAD ．所以以A 为坐标原点，AP ，AB 所在直线为x ，y 轴，在面PAD 内过点A 与AP 垂直的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系，A(0,0，0)，E(1,1，0)，C(−1,1，√3)， 设平面AEC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，x)， 所以{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{x =−y2y =−√3z, 令y =√3，得x =−√3，z =−2． 所以n ⃗ =(−√3√3,−2)，易知平面AEB 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 所以|cos(n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ )|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗⃗⃗ || =|√3,√3,−2)⋅(0,0,1)√10|=√105， 因为二面角C −AE −B 为锐角， 所以二面角C −AE −B 的余弦值为√105．解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题．(1)取PA 中点F ，在接EF ，DF ，推导出四边形DCEF 为平行四边形，证得EC//DF ，由此能证明EC //平面PAD ；(2)A 为坐标原点，AP ，AB 所在直线为x ，y 轴，在面PAD 内过点A 与AP 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面AEC 与平面AEB 的法向量，进而求得结果．19.答案：解：(Ⅰ)由题得{e =ca =√32(a −c)(a +c)=1，解得{a 2=4c 2=3 则b 2=a 2−c 2=1 则椭圆方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)QN 与以AB 为直径的圆O 相切，证明如下：设P(x P ,y P )(|x P |<2,0<|y P |≤1)，则Q(x P ,2y P )又因为点A 坐标为(−2,0) 所以直线AQ 的斜率k AQ =2y Px P +2则直线AQ 的方程为y =2y Px P+2(x +2)，当x =2时，y =8y PxP +2则M 点坐标为(2,8y PxP+2)，又因为B(2,0)，则N(2,4y PxP +2)则直线QN 的斜率为k QN =−2x P y P(2+xP )(2−x P )则直线QN 的方程为：2x P yP 4−x P2x +y −8yP4−x P2=0则点O(0,0)到直线QN 的距离为d =8y P4−x P2×√(4−x P2)24x P 2y P 2+(4−x P2)又因为y P 2=1−x P24则d =8y P4−x P2×√(4−x P2)24x P 2y P2+(4−x P2)=84−x P2×√4−x P22×√(4−x P2)24x P 2(1−x P 24)+(4−x P 2)2=2则QN 与以AB 为直径的圆O 相切．解析：(Ⅰ)由题得{e =c a=√32(a −c)(a +c)=1，及其b 2=a 2−c 2=1，即可得出．(Ⅱ)QN 与以AB 为直径的圆O 相切，分析如下：设P(x P ,y P )(|x P |<2,0<|y P |≤1)，则Q(x P ,2y P ).又因为点A 坐标为(−2,0)，可得直线AQ 的方程为y =2y Px P+2(x +2)，可得M 点坐标为(2,8y PxP +2)，又因为B(2,0)，则N(2,4y PxP +2).直线QN 的方程为：2x P yP 4−x P 2x +y −8yP 4−x P 2=0.又y P 2=1−x P 24，可得点O(0,0)到直线QN 的距离为d =2，即可证明QN 与以AB 为直径的圆O 相切．本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.答案：解：f′(x)=2xe x −x 2e x(e x )2=−x(x−2)e x，令f′(x)=0，得x =0或2， 得出f(x)与f′(x)的表格，所以当x =0时，函数有极小值，且f(0)=0． 当x =2时，函数有极大值，且f(2)=4e 2．解析：本题考查了利用导数研究函数的极值，先求导，列表即可得出极值．21.答案：解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ，则P(M)=A 44C 52A 44=110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910， 答：甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910； (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5， P(ξ=0)=3545=(34)5，P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445， P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345， P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245，P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545， P(ξ=5)=C 55⋅3045=145，ξ的分布列为：所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54．解析：本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型．(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型，然后利用对立事件的概率公式求解即可；(2)分析ξ的取值，求出各自的概率，得出分布列，再求期望．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρsin (θ−π4)=√22，得ρsin θ+ρcos θ=1，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0； (2)由l 1⊥l 2，得直线l 2的斜率k l 2=−1k l 1=1，所以l 2的倾斜角为π4，又l 2过圆心(−1,0)，所以l 2的方程为y =x +1，与x +y −1=0联立，得AB 的中点M(0,1)，故l 2的参数方程为{x =tcos π4y =1+tsin π4,(t 为参数)，即{x =√22t y =1+√22t ,(t 为参数)，代入(x +1)2+y 2=4中，化简、整理得t 2+2√2t −2=0， 设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则由韦达定理得t 1·t 2=−2， 又线段PQ 为圆的直径，所以|PQ|=4， 所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)不等式f(x)−|x|<1，即为|x −2|−|x|<1，当x >2时，x −2−x <1，即x >2； 当x <0时，2−x +x <1，即x ∈⌀；当0≤x ≤2时，2−x −x <1，解得x >12，即有12<x ≤2， 综上可得不等式的解集为(12,+∞)； (2)∀x ∈R ，f(x)+g(x)≥a 2−2a 恒成立，即为|x−2|+|x+1|≥a2−2a恒成立，由|x−2|+|x+1|≥|x−2−x−1|=3，当且仅当−1≤x≤2时，取得最小值3，可得a2−2a≤3，解得−1≤a≤3．解析：(1)由题意可得|x−2|−|x|<1，讨论x的范围，去绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；(2)由题意可得|x−2|+|x+1|≥a2−2a恒成立，运用绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，解a的不等式，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．。
2020年高考押题预测卷理科数学全解析版(新课标III卷) (2)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0（a >0，c >0）恒过点P （1，m ）且Q （4，0）到动直线l 的最大距离为3，则122a c +的最小值为（） A ．92B ．94C ．1D ．92．已知函数321()2f x ax x =+在1x =-处取得极大值，记1()()g x f x ='．在如图所示的程序框图中，若输出的结果20192020S >，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．2019n …？B ．2020n …？C ．2019n >？D ．2020n >？3．某参观团根据下列约束条件从A ，B ，C ，D ，E 五个镇选择参观地点： ①若去A 镇，也必须去B 镇；②D ，E 两镇至少去一镇； ③B ，C 两镇只去一镇；④C ，D 两镇都去或都不去； ⑤若去E 镇，则A ，D 两镇也必须去. 则该参观团至多去了（） A ．B ，D 两镇B ．A ，B 两镇C ．C ，D 两镇D ．A ，C 两镇4．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012+a 能被13整除，则a =() A ．0B ．1C ．11D ．125．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数 C．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数6．正四面体ABCD 中，CD 在平面α内，点E 是线段AC 的中点，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与平面α所成角不可能是()A ．0B ．6πC ．3πD ．2π7．设a=211 x ⎰dx ，b=311 x ⎰dx ，c=511x ⎰dx ，则下列关系式成立的是( )A．a 2<b 3<c 5B ．b 3<a 2<c 5C ．c 5<a 2<b 3D ．a 2<c 5<b 38．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是()A ．338- B ．334- C ．338+ D ．334+ 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且111210a a -<<，则使得0n S >成立的n 的最小值是（） A ．11B ．12C ．21D ．2210．已知函数()()22,12ln 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若()()()223F x f x af x =-+的零点个数为4个时，实数a 的取值范围为（）A ．265,7,333⎛⎤⎛⎫⎥ ⎪ ⎝∞⎦+⎭⎝U B ．263,73⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．53,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()265233,,⎛⎤+∞ ⎥ ⎝⎦U11．如图，在OMN ∆中，A 、B 分别是OM 、ON 的中点，若OP xOA yOB =+u u u vu u u vu u u v（x ，y R ∈），且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．设集合，，，则等于A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考理科数学押题密卷含参考答案 (11)
存在，请说明理由． 20．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ， R 为 ABC 的外接圆半径. （1）若 R 2 ， a 2 ， B 45 ，求 c ； （2）在 ABC 中，若 C 为钝角，求证： a2 b2 4R2 ； （3）给定三个正实数 a 、 b 、 R ，其中 b a ，问： a 、 b 、 R 满足怎样的关系时，以 a 、 b 为边长， R 为外接圆半径的 ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一 个）？在 ABC 存在的情兄下，用 a 、 b 、 R 表示 c .
1
A．984
B．985
C．986
D．987
2．已知圆 C： (x 4)2 ( y 3)2 4 和两点 A (0, a) ，B (0, a) (a 0) .若圆 C 上有且只有一点
P，使得 APB= 90 ,则 a 的值为
A． 3
B． 5
C． 3 或 5
D． 3 或 7
3．在复平面内，复数 z a bi a R,b R 对应向量 OZ （ O 为坐标原点），设 OZ r ，以
，（其中 为参数，
），在极坐标系（以坐标原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴）中，曲线 的极坐标
方程为
．
（1）把曲线 和 的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线 上恰有三个点到曲线 的距离为 ，求曲线 的直角坐标方程． 23．选修 4-1：几何证明选讲 如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， AC 是⊙ O 的弦， BAC 的平分线 AD 交⊙ O 于 D ，过点 D 作 DE AC 交 AC 的延长线于点 E ， OE 交 AD 于点 F ．若 AC 3 ，求 的值．
可求解.
【详解】
2020届新高考数学模拟试卷及答案解析(9)
2020届新高考数学模拟试题（9）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，则12(z z = ) A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2.“sin cos αα=”是“sin 21α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.向量a ，b 满足||1a =，||2b =，()(2)a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒4.已知数列{}n a 中，32a =，71a =．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5(a = )A ．23B ．32C ．43D ．345.已知点(2,4)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4B ．3C ．2D ．16.在ABC ∆中，2AB AC AD +=，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则( ) A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7.已知双曲线2222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，21212||2||2,(0),PF PF m m PF PF m ==>=，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．y =C ．y x =±D ．y =8.已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则( )A ．233231(log )(2)(2)4g g g -->>B ．233231(log )(2)(2)4g g g -->>C ．233231(2)(2)(log )4g g g -->>D ．233231(2)(2)(log )4g g g -->>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分． 9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABCD 2C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4πD ．三棱柱1111AA D BB C -3 10.要得到cos2y x =的图象1C ，只要将sin(2)3y x π=+图象2C 怎样变化得到？( )A ．将sin(2)3y x π=+的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B ．sin(2)3y x π=+的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位11.已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：21{(,)|1}M x y y x ==+；{}2(,)|1M x y y x ==+；3{(,)|}x M x y y e ==；4{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M12.德国著名数学家狄利克雷(,1805~859)Dirichlet l 在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 1,()0,Rx Qy f x x Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集，Q 为有理数集．则关于函数()f x 有如下四个命题，其中真命题的是( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀，2R x Q ∈，1212()()()f x x f x f x +=+恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对任意的x R ∈恒成立D ．不存在三个点1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x ，3(C x ，3())f x ，使得ABC ∆为等腰直角三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线0x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ；14.已知直线2y x =+与曲线()y ln x a =+相切，则a 的值为 ．15.5.2019l 年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间T （单位：年）的衰变规律满足5730002(TN N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到 年之间．（参考数据：20.3lg ≈，70.84lg ≈，30.48)lg ≈16.已知ABC ∆的顶点A ∈平面α，点B ，C在平面α异侧，且2AB =，AC 若AB ，AC 与α所成的角分别为,36ππ，则线段BC 长度的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知()2cos (sin )f x x x x =+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,0]2π-的取值范围．18．（12分）在ABC ∆，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2228sin 3()ab C b c a =+-，若10,5a c ==． ()I 求cos A（Ⅱ）求ABC ∆的面积S ．19．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=，*n N ∈． ()I 证明：{1}n S +为等比数列，求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n nnb a =，求{}n b 的前n 项和n T ，并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -=+成立？若存在求出所有n 值；若不存在说明理由．20．（12分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵()qiandu ；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑()bienao 指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥． ()I 求证：四棱锥11B A ACC -为阳马；（Ⅱ）若12C C BC ==，当鳖臑1C ABC -体积最大时，求锐二面角11C A B C --的余弦值．21．（12分）给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O 22a b +的圆是椭圆C 的“卫星圆”．若椭圆C 的离心率22，点2)在C 上． ()I 求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点，过点P 作直线1l ，2l ，使得12l l ⊥，与椭圆C 都只有一个交点，且1l ，2l ，分别交其“卫星圆”于点M ，N ，证明：弦长||MN 为定值．22．（12分）已知函数()2sin f x lnx x x =-+，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）求证：()f x '在(0,)π上存在唯一零点； （Ⅱ）求证：()f x 有且仅有两个不同的零点2020届新高考数学模拟试题（9）答案解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，则12(z z = ) A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -【解析】复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)， 11z i ∴=+，2z i =．∴1221(1)1z i i i i z i i +-+===--． 故选：D ．2.“sin cos αα=”是“sin 21α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】sin cos αα=，可得4k παπ=+，k Z ∈，222k παπ=+，sin21α∴=，“sin cos αα=”是“sin 21α=”的充分条件，sin 21α=，可得222k παπ=+，4k παπ∴=+，k Z ∈，可得sin cos αα=，“sin cos αα=”是“sin 21α=”的必要条件， 所以“sin cos αα=”是“sin 21α=”的充要条件． 故选：C ．3.向量a ，b 满足||1a =，||2b =，()(2)a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【解析】设向量a 与b 的夹角为θ．()(2)a b a b +⊥-，2222()(2)221(2)1cos 0a b a b a b a b θ∴+-=-+=⨯-+=，化为cos 0θ=，[0θ∈，]π，90θ∴=︒．故选：C ．4.已知数列{}n a 中，32a =，71a =．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5(a = )A ．23B ．32C ．43D ．34【解析】设等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，则73114d a a =+，即1142d =+，解得18d =． 则53111132244d a a =+=+=，解得543a =． 故选：C ．5.已知点(2,4)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】由点(2,4)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，可得164p =，4p =， 抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-， 点M 到抛物线C 的准线方程的距离为4， 则点M 到抛物线C 焦点的距离是：4， 故选：A ．6.在ABC ∆中，2AB AC AD +=，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则( ) A ．2y x = B ．2y x =- C ．2x y = D ．2x y =-【解析】如图， 2AB AC AD +=，∴点D 为边BC 的中点，20AE DE +=，∴2AE DE =-，∴11()36DE AD AB AC =-=-+，又11()22DB CB AB AC ==-，∴1121()()2633EB DB DE AB AC AB AC AB AC =-=-++=-，又EB xAB y AC =+，∴21,33x y ==-， 2x y ∴=-．故选：D ．7.已知双曲线2222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，21212||2||2,(0),PF PF m m PF PF m ==>=，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．12y x =±B ．2y =C ．y x =±D ．2y x =±【解析】双曲线2222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，21212||2||2,(0),PF PF m m PF PF m ==>=，可得2m a =，21242cos 4a a F PF a ∠=，所以1260F PF ∠=︒， 则222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即2223a b a +=， 所以2ba= 所以双曲线的渐近线方程为：2y x =． 故选：D ．8.已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则( )A ．233231(log )(2)(2)4g g g -->>B ．233231(log )(2)(2)4g g g -->>C ．233231(2)(2)(log )4g g g -->>D ．233231(2)(2)(log )4g g g -->>【解析】由奇函数()f x 是R 上增函数可得当0x >时，()0f x >， 又()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==， 即()g x 为偶函数，且当0x >时单调递增，根据偶函数的对称性可知，当0x <时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，因为331()(log 4)4g log g =，233(2)()4g g -=，322(2)()4g g -=，所以为233231()(2)(2)4g log g g -->>故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分． 9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABCD 2C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4πD ．三棱柱1111AA D BB C -3 【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于选项A ：直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确．对于选项B ：点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即2h ，故选项B 正确． 对于选项C ：两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误．对于选项D ：三棱柱1111AA D BB C -外接球半径r ==，故选项D 正确． 故选：ABD ．10.要得到cos2y x =的图象1C ，只要将sin(2)3y x π=+图象2C 怎样变化得到？( ) A ．将sin(2)3y x π=+的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B ．sin(2)3y x π=+的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位【解析】要得到cos2y x =的图象1C ，只要将sin(2)3y x π=+图象2C 将sin(2)3y x π=+的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位即可，故选项A 正确．或将sin(2)3y x π=+的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位，也可得到，故选项B 正确．或先作2C 关于x 轴对称图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位，故选项C 正确．故选：ABC ．11.已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：21{(,)|1}M x y y x ==+；{2(,)|M x y y ==；3{(,)|}x M x y y e ==；4{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【解析】由题意，对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立 即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'．21y x =+中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '． 所以所以1M 不是“互垂点集”集合，y =所以在2M 中的任意点1(P x ∀，1)y ，在2M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'． 所以2M 是“互垂点集”集合，x y e =中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '． 所以3M 不是“互垂点集”集合，sin 1y x =+的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ．12.德国著名数学家狄利克雷(,1805~859)Dirichlet l 在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 1,()0,Rx Qy f x x Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集，Q 为有理数集．则关于函数()f x 有如下四个命题，其中真命题的是( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀，2R x Q ∈，1212()()()f x x f x f x +=+恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对任意的x R ∈恒成立D ．不存在三个点1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x ，3(C x ，3())f x ，使得ABC ∆为等腰直角三角形【解析】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x Q ∈，则R x Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,2R R x Q x Q ==-∈，则12()(0)1f x x f +==，12()()0f x f x +=，10≠，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x Q ∈，则R x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x ，3(C x ，3())f x ，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线0x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为【解析】根据题意，圆22:2O x y +=的圆心为(0,0)，半径r 若直线0x y a -+=与圆O 交于A ，B 两点，且AOB ∆为等腰直角三角形， 则圆心到直线的距离1d ==，解可得a =故答案为：14.已知直线2y x =+与曲线()y ln x a =+相切，则a 的值为 3 ． 【解析】依题意得1y x a '=+，因此曲线()y ln x a =+在切点处的切线的斜率等于1x a+， ∴11x a=+，1x a ∴=-． 此时，0y =，即切点坐标为(1,0)a - 相应的切线方程是1(1)y x a =⨯-+， 即直线2y x =+， 12a ∴-=， 3a =故答案为：3．15.5.2019l 年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间T （单位：年）的衰变规律满足5730002(TN N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 12；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到 年之间．（参考数据：20.3lg ≈，70.84lg ≈，30.48)lg ≈【解析】573002T N N -=，∴当5730T =时，100122N N N -==， ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12， 由题意可知：3573072T ->，两边同时取以2为底的对数得：573022327T log log ->， ∴3377 1.2573022lgT lg lg lg lg -->=≈-， 6876T ∴<，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．16.已知ABC ∆的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α异侧，且2AB =，3AC =，若AB ，AC 与α所成的角分别为,36ππ，则线段BC 长度的取值范围为 [7,13] ． 【解析】分别过B ，C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ． 由已知可得，13BB =，13CC =，11AB =，132AC =． 如图，当AB ，AC 所在平面与α垂直，且B ，C 在底面上的射影1B ，1C 在A 点同侧时BC 长度最小，当AB ，AC 所在平面与α垂直，且B ，C 在底面上的射影1B ，1C 在A 点两侧时BC 长度最大．过C 作1CD BB ⊥的延长线，垂足为D ，则33BD =，12CD =， 则BC 2331()724+=23325()1324+ ∴线段BC 长度的取值范围为[713]，故答案为：[7,13]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知()2cos (sin )f x x x x =+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,0]2π-的取值范围．【解析】（Ⅰ） 由题意，化简得2()2cos sin 1)sin 22sin(2)3f x x x x x x x π=-==-，所以函数()f x 的最小正周期π． sin y x =的减区间为3[2,2],22k k k Z ππππ++∈， 由3222232k x k πππππ+-+， 得5111212k x k ππππ++， 所以函数()f x 的单调递减区间为511[,],1212k k k Z ππππ++∈． （Ⅱ）因为[,0]2x π∈-，所以42[,]333x πππ-∈--．所以22sin(2)33x π--．所以函数()f x 在区间[,0]2π-上的取值范围是[-．18．（12分）在ABC ∆，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2228sin 3()ab C b c a =+-，若5a c ==． ()I 求cos A（Ⅱ）求ABC ∆的面积S ．【解析】()I 由题意得2228sin 3()22ab C b c a bc bc+-=， 由余弦定理得：4sin 3cos a CA c=，由正弦定理得4sin 3cos A A =， 所以3tan 4A =， 可得ABC ∆中，4cos 5A =．（Ⅱ）由4cos 5A =，5a c ==．可得余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得28150b b -+=， 解得3b =或5b =， 可得3sin 5A =， 由1sin 2S bc A =，得152S =或92S =．19．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=，*n N ∈． ()I 证明：{1}n S +为等比数列，求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n nnb a =，求{}n b 的前n 项和n T ，并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -=+成立？若存在求出所有n 值；若不存在说明理由．【解析】（Ⅰ）证明：121n n S S +-=，*112(1)n n S S n N +∴+=+∈ {1}n S ∴+为等比数列， 112S +=，公比为2，∴12n n S +=，21n n S =-，∴1121n n S --=-，当2n 时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；（Ⅱ）12n n n n n b a -==，01112222n n nT -=++⋯+， 121122222n n n T =++⋯+，两式相减得：011111122222222n n n n n n T -+=++⋯+-=-， 1242n n n T -+=-， 代入1250n n T n -=+，得2260n n --=，令()226(1)x f x x x =--，()2210x f x ln '=->在[1x ∈，)+∞成立，()226x f x x ∴=--，(1,)x ∈+∞为增函数；由f （5）f （4）0<，所以不存在正整数n 使得1250n n T n -=+成立．20．（12分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵()qiandu ；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑()bienao 指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥． ()I 求证：四棱锥11B A ACC -为阳马；（Ⅱ）若12C C BC ==，当鳖臑1C ABC -体积最大时，求锐二面角11C A B C --的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：1A A ⊥底面ABC ，AB ⊂面ABC ，1A A AB ∴⊥，又AB AC ⊥，1A A AC A =，AB ∴⊥面11ACC A ，又四边形11ACC A 为矩形，∴四棱锥11B A ACC -为阳马．（Ⅱ）解：AB AC ⊥，2BC =，224AB AC ∴+=，又1A A ⊥底面ABC ，∴122111112323323C ABC AB AC V C C AB AC AB AC -+===，当且仅当2AB AC ==113C ABC V AB AC -=取最大值，AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC ∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，(2,0,0)B ，2,0)C ，1(0A ，0，12)(2,0,2)A B =-，(2,2,0)BC =-，11(0,2,0)A C =，设面1A BC 的一个法向量1111(,,)n x y z =， 由11100n A B n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1(22,1)n =， 同理得2(2,0,1)n =，∴12121215cos ,5||||n n n n n n <>==二面角11C A B C --的余弦值为15． 21．（12分）给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O 22a b +的圆是椭圆C 的“卫星圆”．若椭圆C 2，点2)在C 上． ()I 求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点，过点P 作直线1l ，2l ，使得12l l ⊥，与椭圆C 都只有一个交点，且1l ，2l ，分别交其“卫星圆”于点M ，N ，证明：弦长||MN 为定值．【解析】（Ⅰ）由条件可得：222421c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得22,2a b ==所以椭圆的方程为22184x y +=，⋯（3分）卫星圆的方程为2212x y +=⋯（4分）()II 证明：①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l 与椭圆只有一个公共点，则其方程为22x =22x =- 当1l 方程为22x =1l 与“卫星圆”交于点(22,2)和(22,2)-，此时经过点(22,2)(22,2)-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-，即2l 为2y =或2y =-，所以12l l ⊥，所以线段MN应为“卫星圆”的直径，所以||MN =（7分） ②当1l ，2l 都有斜率时，设点0(P x ，0)y ，其中220012x y +=， 设经过点0(P x ，0)y 与椭圆只有一个公共点的直线为00()y t x x y =-+，则，联立方程组0022()184y tx y tx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得2220000(12)4()2()80t x t y tx x y tx ++-+--=，⋯（9分）所以222000(648)163280x t x y t y =-++-=⋯（10分） 所以2200122200328328(12)1648648y x t t x x ---===-⋯--（11分）所以121t t =-，满足条件的两直线1l ，2l 垂直． 所以线段MN 应为“卫星圆”的直径， 所以||MN =综合①②知：因为1l ，2l 经过点0(P x ，0)y ，又分别交其“卫星圆”于点MN ，且1l ，2l 垂直，所以线段MN 为“卫星圆” 220012x y +=的直径， 所以||MN =⋯（12分）22．（12分）已知函数()2sin f x lnx x x =-+，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）求证：()f x '在(0,)π上存在唯一零点； （Ⅱ）求证：()f x 有且仅有两个不同的零点 【解析】（Ⅰ）设1()()12cos g x f x x x'==-+， 当(0,)x π∈时，21()2sin 0g x x x'=--<，()g x ∴在(0,)π上单调递减． 又32()110,()1032g g ππππ=-+>=-<，()g x ∴在(,)32ππ上有唯一的零点．（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，当(0,)x α∈时，()0f x '>，()f x 在(0,)α上单调递增； 当(,)x απ∈时，()0f x '<，()f x 在(,)απ上单调递减； ()f x ∴在(0,)π上存在唯一的极大值点()32ππαα<<，∴()()2202222f f lnππππα>=-+>->．22221111()22sin 220f e e e e=--+<--+<，()f x ∴在(0,)α上恰有一个零点． ()20f ln ππππ=-<-<，()f x ∴在(,)απ上也恰有一个零点；②当[x π∈，2)π时，sin 0x ，()f x lnx x -． 设()h x lnx x =-，1()10h x x'=-<， ()h x ∴在[π，2)π上单调递减，()()0h x h π∴<，∴当[x π∈，2)π时，()()()0f x h x h π<恒成立，()f x ∴在[π，2)π上没有零点．③当[2x π∈，)+∞时，()2f x lnx x -+， 设()2x lnx x ϕ=-+，1()10x xϕ'=-<， ()x ϕ∴在[2π，)+∞上单调递减，()(2)0x ϕϕπ∴<，∴当[2x π∈，)+∞时，()()(2)0f x x ϕϕπ<恒成立，()f x ∴在[2π，)+∞上没有零点．综上，()f x 有且仅有两个零点．。