第八讲二次函数综合
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冲刺中考二轮复习课题8 二次函数(二)
考点解读(链接中考,精讲精练)
例1、如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2)。
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标。
例2、如图,在平面直角坐标系中,抛物线)0(32
≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A (2-,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C 。
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P 从A 点出发,在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动,同时点Q 从B 点出发,在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动。其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当△PBQ 存在时,求运动多少秒使△PBQ 的面积最大,最多面积是多少?
(3)当△PBQ 的面积最大时,在BC 下方的抛物线上存在点K ,使2:5S PBQ CBK =△△:S ,求K 点坐标。
例3、如图,已知抛物线的顶点为M(5,6),且经过点C(﹣1,0)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线与y轴交于点A,过A作AB∥x轴,交抛物线于另一点B,则抛物线上存在点P,使△ABP的面积等于△ABO的面积,请求出所有符合条件的点P的坐标;
(3)将抛物线向右平移,使抛物线经过点(5,0),请直接答出曲线段CM(抛物线图象的一部分,如图中的粗线所示)在平移过程中所扫过的面积。
例4、如图,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A (3,3)
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点B (6,m ),求m 的值和这个一次函数的解析式; (3)第(2)问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ,求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式; (4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E ,使四边形OECD 的面积S 1与四边形OABD 的面积S 满足S 1=3
2S ?若存在,求点E 的坐标;若不存在,请说明理由。
课堂过手 (课堂检验,巩固方法)
1、如图,二次函数()k m x y ++=2
的图象与x 轴交于A 、B 两点,顶点M 的坐标为(1,﹣4)。 (1)求A 、B 两点的坐标;
(2)设直线AM 与y 轴交于点C ,求△BCM 的面积;
(3)在抛物线上是否还存在点P ,使得S △PMB =S △BCM ?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,说明理由。
2、如图,在平面直角坐标系中,直线12
1+=x y 与抛物线32-+=bx ax y 交于A 、B 两点,点A 在x 轴上,点B 的纵坐标为3。点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合),过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ,作PD ⊥AB 于点C ,作PD ⊥AB 于点D 。
(1)求a 、b 及sin ∠ACP 的值;
(2)设点P 的横坐标为m ;
①用含m 的代数式表示线段PD 的长,并求出线段PD 长的最大值;
②连接PB ,线段PC 把△PDB 分成两个三角形,是否存在合适的m 值,使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在,直接写m 的值;若不存在,说明理由。
3、如图,已知抛物线()()03312
≠+-=a x a y 经过点A (﹣2,0),抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM ∥AD 。过顶点平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连接BC 。
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为t (s )。问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形,直角梯形,等腰梯形?
(3)若OC=OB ,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t (s ),连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长。
课后集训(中考真题,查漏补缺)
1、如图,抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1>x2,与y轴交于点C(0,4),其中x1,x2是方程x²-2x-8=0的两个根。
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连接CP,当△CPE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
2、如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB。
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由。
3、如图,已知抛物线y=a x²+bx-4与直线y=x交于点A、B两点,A、B的横坐标分别为-1和4。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若平行于y轴的直线x=m(0<m<5+1)与抛物线交于点M,与直线y=x交于点N,交x轴于点P,求线段MN的长(用含m的代数式表示);
(3)在(2)的条件下,连接OM、BM,是否存在m的值,使得△BOM的面积S最大?若存在,请求出m的值,若不存在,请说明理由。