第八讲二次函数综合

冲刺中考二轮复习课题8 二次函数（二）

考点解读（链接中考，精讲精练）

例1、如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）。

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标。

例2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(32

≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （2-，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C 。

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动。其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最多面积是多少？

（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使2:5S PBQ CBK =△△：S ，求K 点坐标。

例3、如图，已知抛物线的顶点为M（5，6），且经过点C（﹣1，0）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线与y轴交于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，则抛物线上存在点P，使△ABP的面积等于△ABO的面积，请求出所有符合条件的点P的坐标；

（3）将抛物线向右平移，使抛物线经过点（5，0），请直接答出曲线段CM（抛物线图象的一部分，如图中的粗线所示）在平移过程中所扫过的面积。

例4、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A （3,3）

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点B （6,m ），求m 的值和这个一次函数的解析式； （3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式； （4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形OECD 的面积S 1与四边形OABD 的面积S 满足S 1＝3

2S ？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由。

课堂过手 （课堂检验，巩固方法）

1、如图，二次函数()k m x y ++=2

的图象与x 轴交于A 、B 两点，顶点M 的坐标为（1,﹣4）。 （1）求A 、B 两点的坐标；

（2）设直线AM 与y 轴交于点C ，求△BCM 的面积；

（3）在抛物线上是否还存在点P ，使得S △PMB ＝S △BCM ？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由。

2、如图，在平面直角坐标系中，直线12

1+=x y 与抛物线32-+=bx ax y 交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3。点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D 。

（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；

（2）设点P 的横坐标为m ；

①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；

②连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在合适的m 值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写m 的值；若不存在，说明理由。

3、如图，已知抛物线()()03312

≠+-=a x a y 经过点A （﹣2，0），抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM ∥AD 。过顶点平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连接BC 。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为t （s ）。问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？

（3）若OC=OB ，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t （s ），连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长。

课后集训（中考真题，查漏补缺）

1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x²－2x－8＝0的两个根。

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB。

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由。

3、如图，已知抛物线y＝a x²＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为－1和4。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜5＋1）与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。