单因素方差分析完整实例

什么是单因素方差分析

单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。

单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。

单因素方差分析相关概念

•因素：影响研究对象的某一指标、变量。

•水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。

•单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。

单因素方差分析示例[1]

例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。

下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。现

需要在显著性水平a = 0.0!下检验这些百分比的均值有无显著的差异。设各总体服从正态

在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。这就是单因素试验。试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题

单因素方差分析的基本理论⑴

备择假设Hi,然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。

2厂…j $）下进行了nj = 4次独立试验，得到如上表所示的结果。这些结果是一个随机变量。表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为山、》2、…r »则按题意需检验假设

页：旳=“2 =…=川

尸1 : \J “5不全相等

为了便于讨论，现在引入总平均卩

[Ho :屍="2 =…=毎=q

I 闻:力屆…：吗不全为零

因此，单因素方差分析的任务就是检验s个总体的均值®是否相等，也就等价于检验各水平Aj的效应6是否都等于零。

样本产恥…佔吁/来自正态总体N （虬2）, 9与02未知，且设不同水平Aj 下的样本 之间相互独立，

则单因素方差分析所需的检验统计量可以从总平方和的分解导出来。下面

先引入：

数据的总平均:

总平方和:

S T = S E + S A

其中：

1

1 ^ = EE(^-^)

2 = i=i a =”珂伍j 一王)1)

上述S E 的各项（矶J — "打）亠表示了在水平Aj 下，样本观察值与样本均值的差异，这是由 随机误差所引起的，因此S E 叫做误差平方和。S A 的各项（戸打一疋）「表示了在水平Aj 下

的样本平均值与数据总平均的差异，这是由水平A以及随机误差所引起的，因此S A叫做因素A的

效应平方和。

可以证明S A与注相互独立，且当风：并=玄=•…=九=°为真时，S与S E 分别服从自由度为s-1, n- s的X分布，即

这就是单因素方差分析所需的服从F分布的检验统计量

3.假设检验的拒绝域

通过上面的分析可得，在显著性水平a下，本检验问题的拒绝域为

为了方便分析比较，通常将上述分析结果编排成如下表所示的方差分析表。表中的分别称为S A,S E 的均方。

方差来源平

方

和

自由

度

均方F比

因素1 A

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M “

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