单因素方差分析完整实例

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单因素方差分析和多因素方差分析简单实例

单因素方差分析实例[例6-8]在1990 年秋对“亚运会期间收看电视的时刻”调查结果如下表所示。

问：收看电视的时刻比平日减少了（第一组）、与平日无增减（第二组）、比平日增加了（第三组）的三组居民在“对亚运会的总态度得分”上有无显著的不同？即要查验从“态度”上看，这三组居民的样本是取自同一整体仍是取自不同的整体在SPSS 中进行方差分析的步骤如下：（1）概念“居民对亚运会的总态度得分”变量为X（数值型），概念组类变量为G（数值型），G=1、2、3 表示第一组、第二组、第三组。

然后录入相应数据，如图6-66所示图6-66 方差分析数据格式（2）选择[Analyze]=>[Compare Means]=>[One-Way ANOVA...]，打开[One-Way ANOVA]主对话框（如图6-67所示）。

从主对话框左侧的变量列表当选定X，单击按钮使之进入[Dependent List]框，再选定变量G，单击按钮使之进入[Factor]框。

单击[OK]按钮完成。

图6-67 方差分析对话框（3）分析结果如下：因此，收看电视时刻不同的三个组其对亚运会的态度是属于三个不同的整体。

多因素方差分析[例6-11]从由五名操作者操作的三台机械每小时产量中别离各抽取1 个不同时段的产量，观测到的产量如表6-31所示。

试进行产量是不是依托于机械类型和操作者的方差分析。

SPSS 的操作步骤为：（1）概念“操作者的产量”变量为X（数值型），概念机械因素变量为G1（数值型）、操作者因素变量为G2（数值型），G1=1、2、3 别离表示第一、二、三台机械，G2=1、2、3、4、5 别离表示第1、2、3、4、5 位操作者。

录入相应数据，如图6-68所示。

图6-68 双因素方差分析数据格式（2）选择[Analyze]=>[General Linear Model]=>[Univariate...]，打开[Univariate]主对话框（如图6-69所示）。

第一节单因素方差分析演示文档

5.1.2 单因素方差分析的数学模型
进行单因素方差分析时，需要得到如表1所示的数据结构．
▪
表1 单因素方差分析中数据结构
观测值（j） A1
1
x11
2
x12
… ni 平均值
…
x1n1 x1.
A因素（i）
A2 x21 x22 …
x 2n2 x 2.
… … … … …
Am xm1 xm2 …
x mn m xm.
(3) 在打开的“方差分析：单因素方差分析”对话框中，输入“输入区域”：B2:D8，“分组方式”取默认的 “列”方式，选中“标志位于第一行”复选框，如图2 所示，单击“确定”按钮．
表中用A表示因素，A的m个取值称为m个水平分别用 A1，A2，…，Am表示，每个水平对应一个总体．
从不同水平（总体）中抽出的样本容量可以相同，也
可以不同．若不同水平抽出的样本容量相同则称为均衡数据，否则称非均衡数据．
设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …，ni， i =
由于在实际中有充分的理由认为粮食产量服从正态分布, 且在安排试验时, 除所关心的因素(这里是化肥)外, 其它试验条件总是尽可能做到一致.
这使我们可以认为每个总体的方差相同
即 Xi～N(i,σ2) i = 1, 2, 3
因此，推断三个总体是否具有相同分布的问题就简化为：检验几个具有相同方差的正态总体均值是否相等的问题，即只需检验
(2) 把同一化肥(A的同一水平)得到的粮食产量看作同一总体抽得的样本，施用不同化肥得到的粮食产量视为不同总体下抽得的样本，表中数据应看成从三个总体X1， X2，X3中分别抽了容量为6的样本的观测值.
推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异的问题，就是要辨别粮食产量之间的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同化肥造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布的讨论．

SPSS-单因素方差分析(ANOVA)-案例解析资料讲解

SPSS- 单因素方差分析( ANOVA) - 案例解析SPSS单因素方差分析（ANOVA）案例解析2011-08-30 11:10这几天一直在忙电信网上营业厅用户体验优化改版事情，今天将我最近习SPSS单因素方差分析（ANOVA分析，今天希望跟大家交流和分享一下：继续以上一期的样本为例，雌性老鼠和雄性老鼠，在注射毒素后，经过一段时间，观察鼠死亡和存活情况。

研究的问题是：老鼠在注射毒液后，死亡和存活情况，会不会跟性别有关？样本数据如下所示：（a代表雄性老鼠b代表雌性老鼠0代表死亡1代表着tim 代表注射毒液后，经过多长时间，观察结果）点击“分析”一一比较均值-------- 单因素AVOVA,如下所示:从上图可以看出，只有“两个变量”可选，对于“组别（性别）”变量不可选，进行“转换”对数据重新进行编码，点击“转换”一“重新编码为不同变量”将a,b"分别用8,9进行替换，得到如下结果”这里可能需此时的8代表a（雄性老鼠）9代表b雌性老鼠，我们将“生存结局”变量移入“因变量列表框内，将“性别”移入“因子”框内，点击“两两比较”按钮，如下所示：“勾选“将定方差齐性”下面的项点击继续LSD选项，和“未假定方差齐性”下面的Tamhane's T2 选点击“选项”按钮，如下所示:I固疋和随枫效果(号IN有建同備性檯验迥)匚旦rown-Forsythe(B)El Welches}姑朱値©按分析顺序排麒个案®「I I S3 Affifi勾选“描述性”和“方差同质检验”以及均值图等选项，得到如下结果:结果分析：方差齐性检验结果，“显著性”为0,由于显著性0<0.05所以，方差齐性不相等，一般情况下，不能够进行方差分析但是对于SPSS来说，即使方差齐性不相等，还是可以进行方差分析的，由于此样本组少于三组，不能够进行多重样本对比从结果来看“单因素ANOVA分析结果，显著性0.098，由于0.098>0.05 所以以得出结论：生存结局受性别的影响不显著很多人，对这个结果可能存在疑虑，下面我们来进一步进行论证，由于“方差齐性不相等”下我们来进行“非参数检验”检验结果如下所示：（此处采用的是“ Kruskal -Wallis "检验方法假设检脸汇总恳渝妊稻±』埜迹空.06-通过“ Kruskal -Wallis ”检验方法，我们得出“ sig=0.098" 跟我们先前分析的结果一样，都0.098，事实得到论证。

生物统计第三节单因素试验资料的方差分析

C T / N 460.5 / 25 8482.41
2
2
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SST x C
2
ij
(21.5 2 19.5 2 17.0 2 16.0 2 ) 8482 . 41
8567 . 75 8482 . 41
Байду номын сангаас85.34
MSE
P
⑥ 列出方差分析表
df
3、确定P值、下结论
•从上表得F=14.32，查附表5（方差分析界值表，
单侧），自由度相同时，F界值越大，P值越小。
因F0.01，2，27= 5.49；故P<0.01，按α=0.05水准
拒绝H0，接受HA，可认为三个不同时期切痂对
ATP含量的影响有统计显著性差异。
方差分析的结果只能总的来说多组间是否
S，即
x
得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
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表6-15 SSR值及LSR值
dfe
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将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显
著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数
极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品
③ 计算总的变异及总的自由度
SST x C
2
ij
dfT kn 1 N 1
④ 计算组间变异及相应的自由度
SSB Ti 2 / ni C
df b k 1
⑤ 计算组内变异及相应的自由度
SSE SST SSB
df e dfT df b
N k

单因素方差分析例题

SPSS单因素方差分析例题在消费者市场，消费者和生产者之间常因商品质量或者服务质量发生纠纷。

消费者在发生纠纷而无法解决时，便会选择消费者协会进行投诉。

为了评价不同行业的服务质量，消费者协会分别在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业抽取了不同的企业作为样本，其中零售业7家，旅游业6家，航空公司5家，家电制造业5家，然后统计出近期消费者对这23家企业的投诉次数，如下表所示：表1 消费者对4个行业的投诉次数观测值行业零售业旅游业航空公司家电制造业1 57 68 31 442 66 39 49 513 49 29 21 654 40 45 34 775 34 56 40 586 53 517 44针对上表给出的数据进行单因素方差分析，并利用LSD（最小显著差异检验）和Bonferroni（修正的最小显著差异检验）方法，检验各行业间均值是否存在显著性差异；同时，选择线性多项式比较各均值，共指定两组多项式系数，检验行业对投诉次数的效应，多项式系数由下列公式给出：● 1.0*mean1－1.0*mean2＋1.0*mean3－1.0*mean4 检验零售业和航空公司的投诉之和与旅游业和家电业的投诉之和是否有显著差异。

● 1.0*mean1＋1.0*mean2－1.0*mean3－1.0*mean4 检验零售业和旅游业的投诉之和与航空公司和家电业的投诉之和是否有显著差异。

基本操作提示：Step 1：建立数据文件，其中值1、2、3、4分别代表零售业、旅游业、航空公司、家电业这4个不同行业。

打开数据文件。

Step 2：Analyz e→Compare mean s→One-Way ANOV A。

变量“投诉次数”指定为“Dependent List”(样本观测值)，“行业”指定为“Factor”(因素)。

Step 3：单击“Option”按钮，依次选择“Descriptive”(描述性统计量)、“Homogeneity of variance test”(方差齐性检验)、“Meanplot”(均值连线图)选项，单击“Continue”，返回主对话框。

单因素方差分析的应用实例

单因素方差分析的应用实例文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.单因素方差分析的应用实例PROC ANOVA [DATA= <数据集名>MANOVA按多元分析的要求略去有任一缺失值的记录OUTSTAT= <数据集名>] ;指定统计结果输出的数据集名CLASS <处理因素名列>;必需，指定要分析的处理因素MODEL <应变量名=处理因素名列> / [选项];必需，给出分析用的方差分析模型MEANS <变量名列> / [选项] ;指定要两两比较的因素及比较方法BY <变量名列>;FREQ <变量名>;例1：研究6种氮肥施用法对小麦的效应，每种施肥法种5盆小麦，完全随机设计。

最后测定它们的含氮量（mg），试作方差分析施氮法SAS程序data exam1;input g x @@;cards;1 12.92 14.03 12.64 10.5 5 14.6 6 14.01 12.32 13.83 13.24 10.85 14.6 6 13.31 12.2 2 13.83 13.4 4 10.75 14.46 13.71 12.52 13.63 13.4 4 10.85 14.46 13.51 12.72 13.63 13.04 10.5 5 14.46 13.7;proc anova data=exam1;class g;model x=g ;1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. run;input x1 g j @@;cards;60 1 1 62 2 1 61 3 1 60 4 165 1 2 65 2 2 68 3 2 65 4 263 1 3 61 2 3 61 3 3 60 4 364 1 4 67 2 4 63 3 4 61 4 462 1 5 65 2 5 62 3 5 64 4 561 1 6 62 2 6 62 3 6 65 4 6;proc anova data=exam2;class g j;model x1=g j;run;例2：对某地区农村的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得样本数据如下表。

方差分析第2部分单因素试验资料的方差分

(一)两因素单独观测值试验资料的方差分析对于A、B两个试验因素的全部ab个水平组合，每个水平组合只有一个观测值，全
试验共有ab个观测值，其数据模式如表620所示。
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表6-20 两因素单独观测值试验数据模式
表6-20中
x i.
x
j 1
bБайду номын сангаас
ij
, x. j x..
Cx /N
2 ..
SST x C
2 ij
dfT N 1
df t k 1 df e dfT df t
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SSt xi2 . / ni C
SSe SST SSt
【例6.4】 5个不同品种猪的育肥试验，后期30天增重(kg)如下表所示。试比较品种间增重有无差异。
这是一个单因素试验，k=5，n=5。
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1、计算各项平方和与自由度
C
2 SST xij C (82 132 142 132 ) 2809.00
2 x..
/ kn 265 /(5 5) 2809 .00
2
2945.00 2809.00 136.00 1 1 2 2 SSt xi. C (51 412 60 2 482 652 ) 2809.00 n 5 2882.20 2809.00 73.20
系统分组方差分析两种,现分别介绍如下。
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一、交叉分组资料的方差分析
设试验考察A、B两个因素，A因素分a个水
平，B因素分b个水平。所谓交叉分组是指A因

实验5——单因素方差分析(等例)

单因素方差分析（等例）
例为研究中药三棱莪木对肿瘤重量的影响，以便选定最佳抑癌作用剂量。今先将一批小白鼠致癌，然后随机分成四组（每组十只）分别实施三种剂量的药物注射及等量的生理盐水注射，经过相同的实验期之后，测定四组鼠的肿瘤重量如下:
四种处理方式下小白鼠肿瘤重量
盐水(A1 )
3.6 4.5 4.2 4.4 3.7 5.6 7.0 4.4 5.0 4.5
2 4
H1
:
2 1
,
2 2
,
2 3
,
2 4
不全相等
Test of Homogeneity of Variances
肿瘤重量
Levene Statistic
.562
df1 3
df2 36
Sig. .644
P 0.644 0.05 接受原假设，认为方差具有齐性。
3）方差分析
F = 13.068 ，P≈0，拒绝原假设(四种处理的肿瘤重量总体均数相等),结论:四种处的肿瘤重量总体均数至少有部分不相等.
处理方式
剂量1(A2 ) 剂量2(A3 ) 剂量3(A4 )
3.0 2.3 2.4 1.1
4.0 3.7 2.7 1.9 2.6 1.3
0.4 1.7 2.3 4.7
3.6 1.3 3.2 3.0 2.1 2.5
3.3 1.2 0.0 2.7
3.0 3.2 0.6 1.4 1.2 2.1
试问:四种不同处理方式对癌症抑制作用是否有显著差别?如果有,进一步判断哪种剂量下其抑制作用最强?
处理因素取值有4个:1表示盐水、2表示剂量1、 3表示剂量2、4表示剂量3。
2. SPSS程序选项
1) Analyze → Compare Means → One-Way ANOVA

单因素试验的方差分析

概率学与数理统计
单因素试验的方差分析
在方差分析中,我们将要考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素(或因子),常用A、B、C, …来表示. 因素可分为两类，一类是人们可以控制的；一类是人们不能控制的。例如，原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制的，而测量误差、气象条件等一般难以控制。以下我们所说的因素都是可控因素，因素所处的状态称为该因素的水平。如果在一项试验中只有一个因素在改变，这样的试验称为单因素试验，如果多于一个因素在改变，就称为多因素试验.
一、单因素试验方差分析的统计模型
例9.1 为求适应某地区的高产水稻的品种( 因素或因子) , 现选了五个不同品种( 水平)的种子进行试验, 每一品种在四块试验田上进行试种。假设这 20块土地的面积与其他条件基本相同, 观测到各块土地上的产量( 单位: 千克) 见表9–1。
在这个问题目中, 要考察的指标是水稻的产量, 影响产量的因
分析的统计模型 .
方差分析的任务是对于模型(9. 1 ) , 检验 s 个总体 N ( 1 , 2) , …, N
( s , 2)的均值是否相等, 即检验假设
H0 : 1 2 s H1 : 1 , 2 , s , 不全相等。
（9.2）
为将问题( 9. 2 ) 写成便于讨论的形式, 采用记号
s nj
ST
(xij x)2
j1 i1
(9.3)
这里
x
1 n
s j 1
nj i1
xij ，
ST能反应全部试验数据之间的差异，又称
为总变差 Aj下的样本均值
x
j
1 n
nj i1
xij
(9.4)
注意到
(xij x )2 (xij x j x j x )2 =(xij x j )2 (x j x )2 2(xij x j )(x j x )

单因素试验的方差分析

>weight=c(51,40,43,48,23,25,26,23,28) >A=factor(c(rep(1,4),rep(2,3),rep(3,2))) >result=aov(weight~A) >summary(result)
方差分析表
方差来源平方和自由度均方和 F 值
F 值临介值
组间
1）组间差别：因素效应
灯泡的使用寿命——试验指标
灯丝的配料方案——试验因素（唯一的一个）四种配料方案（甲乙丙丁）——四个水平
因此，本例是一个四水平的单因素试验。
用X1，X2，X3，X4分别表示四种灯泡的使用寿命，即为四个总体。假设X1，X2，X3，X4相互独立，且服从方差相同的正态分布，即Xi~N（i，2）（i=1，2，3，4）
单因素试验方差分析表
方差来源平方和自由度均方和
F值
组间组内
SS A
df A
MS A
SS A df A
F MSA MSE
SSE
df E
MSE
SSE df E
总和 SST dfT
r ni
2
SST
Xij X
i1 j1
dfT n 1
r ni
2
SSA
Xi X
i1 j1
dfA r 1
引言
在工农业生产和科研活动中，我们经常遇到这样的问题：影响产品产量、质量的因素很多，例如影响农作物的单位面积产量有品种、施肥种类、施肥量等许多因素。我们要了解这些因素中哪些因素对产量有显著影响，就要先做试验，然后对测试结果进行分析，作出判断。方差分析就是分析测试结果的一种方法。
Hale Waihona Puke 基本概念本例问题归结为检验假设 H0：1= 2= 3= 4 是否成立

spss单因素方差分析例子

第一题：data0706-nutrition为地衣(lichen)、树叶成叶和嫩叶的蛋白质和可溶性碳水化合物(water soluble carbohydrate)的含量，先分析三者之间蛋白质的含量有无差异？如果有差异，具体是怎么差异的？再可溶性碳水化合物的含量有无差异？如果有差异，具体怎么差异？（1）地衣(lichen)、树叶成叶和嫩叶的蛋白质的含量差异分析；第一步：导出变量items和protein，以便删除protein中缺失数据。

第二步：打开导出数据data0706-nutrition1，先排序，然后删除缺失数据。

第三步：对data0706-nutrition1数据的正态性、异常值和极值、方差齐性进行检验，对数据做一个检查，Analyze->Descriptive Statistics->Explore；首先：如上图，把要检验的变量protein送入Dependent List，把分组变量（因素变量）items送入Factor List。

其次：如下图，点击Plots打开：选择Factor Levels together、Stem-and-leaf、Histogram、Normality plots with tests，下方Spread vs Level with Levene Test可以提供方差齐性的检验，选择Untransformed（不对数据进行转换）。

输出结果：第一组是尽管sig=0.935，但由于样本数太小，正态一般；第二组正态性不好。

第三组中，p较小，也只是近似正态。

基于平均数的计算(Based on Mean)，各组方差有差异(p=0.044)。

由直方图可以看出，在第二组和第三组存在一些极值，数据分布不均匀，连续性不好。

由茎叶图可知，第二组和第三组分别存在4个，3个极值。

由qq图和QQ图不能得到一些较有用的信息，因为正态性之前已经判断。

箱图并与茎叶图一致，在第二组标识了4个异常值，第三组标识了3个异常值。

R语言单因素方差分析实例

1 单因素方差分析实例1
4
1 单因素方差分析实例1
5
>X<c(1600,1610,1650,1680,1700,1700,1780,1500,1640,1400,1700,1750,1640,1550,1600 ,1620,1640,1600,1740,1800,1510,1520,1530,1570,1640,1600)
小结
8
通过学习，了解单因素方差分析应用。
> A<-factor(c(rep(1,7),rep(2,5),rep(3,8),rep(4,6))) > lamp<-data.frame(X,A) > lamp.aov<-aov(X~A,data=lamp) > summary(lamp.aov)
1 单因素方差分析实例1
6
1单因素方差分析实例1
R语言单因素方差分析实例1
学习目标
2
了解单因素方差分析及应用。
1单因素方差分析实例1 3
在R中，aov()函数提供了方差分析表的计算：进行方差分析的步骤： a.用数据框的格式输入数据如：lamp<-data.frame(X=c(),A=factor()) b.调用aov()函数计算方差分析 lamp.aov<-aov(X~A,data=lamp) c.用summary()提取方差分析的信息 summary(lamp.aov)(anova.tab(lamp.aov))
7
分析上述计算结果，Df表示自由度，Sum Sq 表示平方和，Mean Sq 表示均方，F value 是F值，Pr(>F)是p值，A即为因子A，Residuals 是残差。
从P值（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.121>0.05）可以看出，没有充分理由拒绝零假设H0，也就是说， 4种材料生产出来的零件寿命没有显著差异。

SAS 单因素方差分析

第三Байду номын сангаас 单因素试验的方差分析,案例
• 例2. 设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板. 取样，测量薄板的厚度精确至 • 千分之一厘米. 得结果如表所示. • 问不同机器对生产的铝合金板的厚度有无影响 • 请看分别用菜单系统和程序进行讨论 • 程序名data lb给出了单因素方差分析的典型解法,进行了方差分析同时又在各水平组间 • 进行了均值的比较,作了直方图,菜单系统和程序中均有选项”Dunnett”进行某一水平和其余水平的均值差异比较和检验,选项”snk”则进行所有水平间均值差异的比较和检验.
自由度公式总自由度ft=试验次数n-1; 误差自由度fe=总自由度ft-模型自由度f模型方差分析中 (单因素模型)因素A (即模型)的自由度fA=水平数-1 (A,B双因素考虑交互效应模型) 因素A的自由度fA=水平数-1 因素B的自由度fB=水平数-1 交互效应A*B的自由度fA*B= fA* fB 模型自由度f模型= fA +fB +fA*B 回归分析中项自由度=1 模型自由度f模型=项自由度之和

单因素方差分析完整实例

单因素方差分析完整实例假设有一家医院的研究人员想要比较三种不同药物对高血压患者的降压效果。

为了进行实验，他们随机选择了60名患有高血压的病人，并将他们随机分成三组。

第一组患者接受药物A的治疗，第二组患者接受药物B的治疗，第三组患者接受药物C的治疗。

在治疗开始前，研究人员记录了每个患者的收缩压数据。

第一步是对数据进行描述性统计分析。

研究人员计算了每一组的平均值、标准差和样本量。

结果如下：药物A组：平均收缩压150，标准差10，样本量20药物B组：平均收缩压145，标准差12，样本量20药物C组：平均收缩压155，标准差15，样本量20第二步是进行假设检验。

研究人员的零假设是所有药物的降压效果相同，即三组的平均收缩压相等。

备择假设是至少有一组的平均收缩压不同。

为了进行单因素方差分析，我们需要计算组内方差和组间方差，然后进行F检验。

组内方差反映了每一组内部数据的离散程度，组间方差反映了不同组之间平均值的差异程度。

组内方差的计算方法是对每一组的方差进行平均，然后再对所有组的方差进行加权平均。

组间方差的计算方法是对所有组的平均值进行方差分析。

我们通过公式计算出组内方差为10.08，组间方差为58.67、接下来我们计算F值，F值是组间方差除以组内方差的比值。

F=组间方差/组内方差=58.67/10.08=5.81第三步是通过查找F分布表来计算p值。

根据自由度为2（组数-1）和df = 57（总样本量-组数）的F分布表，我们可以找到在F = 5.81条件下的p值。

假设我们选择显著性水平为0.05，我们发现在F分布表上，F=5.81对应的p值小于0.05、因此，我们拒绝零假设，接受备择假设。

这意味着至少有一组的平均收缩压与其他组有显著差异。

最后一步是进行事后检验。

由于我们有三组进行比较，我们可以使用事后检验方法来确定哪两组之间存在显著差异。

常用的事后检验方法包括Tukey HSD检验、Duncan检验等。

综上所述，单因素方差分析可以帮助我们判断不同组之间是否存在显著差异。

i第八章单因素方差分析

第二节固定效应模型
一、线性统计模型
yij i ij
要检验a个处理效应的相等性，就要判断各αi是否为0。
H0：α1= α2 =……= αa =0
HA：αi ≠ 0
（至少有1个
i）
若接受H0，则不存在处理效应，每个观测值是由总
平均数加上随机误差构成；
若拒绝H0，则存在处理效应，每个观测值是由总平
34.7 33.3 26.2 31.6 125.8 31.450
33.2 26.0 28.6 32.3 120.1 30.025
27.1 23.3 27.8 26.7 104.9 26.225
32.9 31.4 25.7 28.0 118.0 29.500
2、单因素方差分析的数据格式：
Y1
Y2
Y3
均数、处理效应及误差三部分构成。
总变异
处理间 (组间)变异
误差或处理内 (组内)变异
1. 总变异是测量值yij与总的均数间的差异。
2. 处理间变异是由处理效应引起的变异。 3. 处理内变异是由随机误差引起的变异。
用离均差平方和的平均（均方、方差）反映变异的大小
二、平方和与自由度的分解
1. 总平方和(total sum of squares, SST): 每
著性t 检验的延伸。
ANOVA 由英国统计学家 R.A.Fisher 首创，用于推断多个总体均数有无差异。
单因素方差分析（一种方式分组的方差分析）：研究对象只包含一个因素(factor)的方差分析。单因素实验：实验只涉及一个因素，该因素
有a个水平(处理)，每个水平有n次实验重复
na 4 4
SST
a i1

单因素方差分析

2.
对前面的例子
H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 • 颜色对销售量没有影响 H0: µ1 ，µ2 ，µ3， µ4不全相等 • 颜色对销售量有影响
方差分析的基本思想和原理
（两类方差）两类方差）
1.
组内方差
因素的同一水平(同一个总体) 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，无色饮料A 比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差组内方差只包含随机误差
构造检验的统计量
(计算检验的统计量 F )
1. 将 MSA 和 MSE 进行对比，即得到所需要的检 MSA和 MSE进行对比， 2.
验统计量F 验统计量F 当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为为真时， k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即分布， MSA F= ~ F(k −1, n − k) MSE
k 2 k i=1 j =1 i=1 ni 2
前例的计算结果：SSA 前例的计算结果：SSA = 76.8455
构造检验的统计量
(三个平方和的关系) 三个平方和的关系的关系)
总离差平方和(SST) 总离差平方和 (SST) 、误差项离差平方和 (SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间的关系 SSE) SSA)
对于因素的每一个水平，对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布
2.
各个总体的方差必须相同
对于各组观察数据，对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的比如，比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同
3.
观察值是独立的
误差的大小；SSA反映了随机误差和系统误差的大小误差的大小；SSA反映了随机误差和系统误差的大小 2. 如果原假设成立，即H1＝ H2 ＝…＝ Hk为真，则表明如果原假设成立，为真，没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会均方差异就不会太大；如果组间均方太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各组间均方显著地大于组内均方组内均方，水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差 3. 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就判断因素的水平是否对其观察值有影响，是比较组间方差组内方差之间差异的大小是比较组间方差与组内方差之间差异的大小组间方差与 4. 为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量为检验这种差异，

SPSS-单因素方差分析(ANOVA)案例解析

SPSS-单因素方差分析（ANOVA)案例解析2011-08-30 11:10这几天一直在忙电信网上营业厅用户体验优化改版事情，今天将我最近学习SPSS单因素方差分析（ANOVA分) 析，今天希望跟大家交流和分享一下：继续以上一期的样本为例，雌性老鼠和雄性老鼠，在注射毒素后，经过一段时间，观察老鼠死亡和存活情况。

研究的问题是：老鼠在注射毒液后，死亡和存活情况，会不会跟性别有关？样本数据如下所示：（a 代表雄性老鼠 b 代表雌性老鼠0 代表死亡 1 代表活着tim 代表注射毒液后，经过多长时间，观察结果）点击“分析”——比较均值———单因素AVOVA, 如下所示：从上图可以看出，只有“两个变量”可选, 对于“组别（性别）”变量不可选，这里可能需要进行“转换”对数据重新进行编码，点击“转换”—“重新编码为不同变量”将a,b" 分别用8,9 进行替换，得到如下结果”此时的8 代表a(雄性老鼠）9 代表b 雌性老鼠，我们将“生存结局”变量移入“因变量列表”框内，将“性别”移入“因子”框内，点击“两两比较”按钮，如下所示：“勾选“将定方差齐性”下面的LSD 选项，和“未假定方差齐性”下面的Tamhane's T2 选项点击继续点击“选项”按钮，如下所示：勾选“描述性”和“方差同质检验”以及均值图等选项，得到如下结果：结果分析：方差齐性检验结果，“显著性”为0，由于显著性0<0.05 所以，方差齐性不相等，在一般情况下，不能够进行方差分析但是对于SPSS来说，即使方差齐性不相等，还是可以进行方差分析的，由于此样本组少于三组，不能够进行多重样本对比从结果来看“单因素ANOV”A 分析结果，显著性0.098，由于0.098>0.05 所以可以得出结论：生存结局受性别的影响不显著很多人，对这个结果可能存在疑虑，下面我们来进一步进行论证，由于“方差齐性不相等”下面我们来进行“非参数检验”检验结果如下所示：（此处采用的是“Kruskal -Wallis " 检验方法）通过“Kruskal - Wallis ”检验方法，我们得出“sig=0.098" 跟我们先前分析的结果一样，都是0.098，事实得到论证。