堆 排 序 算 法
堆排序的几种方法
堆排序的几种方法堆排序是一种基于堆数据结构的排序算法，具有稳定且时间复杂度为O(nlogn)的特点。
本文将介绍堆排序的几种方法，包括建堆和调整堆两个关键步骤。
一、建堆建堆是堆排序的第一步，其目的是将无序的数组构建成一个堆。
堆是一种完全二叉树，分为大顶堆和小顶堆两种类型。
在大顶堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值；而在小顶堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。
建堆的方法有多种，其中最常用的是从最后一个非叶子节点开始，依次向上调整每个节点的位置，直到根节点。
具体步骤如下：1. 从最后一个非叶子节点开始，向上遍历每个节点。
2. 对于当前节点，比较其与左右子节点的大小关系，如果子节点较大（或较小），则将当前节点与子节点交换位置。
3. 重复步骤2，直到当前节点满足堆的性质，或者到达叶子节点。
二、调整堆建堆完成后，数组的第一个元素一定是堆中的最大（或最小）值。
为了得到有序的数组，需要将第一个元素与最后一个元素交换位置，并对剩余元素进行堆调整。
这样，每次交换后，最大（或最小）值就会被放置在正确的位置上。
调整堆的方法有多种，其中最常用的是从根节点开始，依次向下调整每个节点的位置，直到叶子节点。
具体步骤如下：1. 将第一个元素与最后一个元素交换位置。
2. 缩小堆的范围，即排除已经有序的元素。
3. 对剩余元素进行堆调整。
从根节点开始，比较其与左右子节点的大小关系，如果子节点较大（或较小），则将当前节点与子节点交换位置。
4. 重复步骤3，直到当前节点满足堆的性质，或者到达叶子节点。
三、堆排序的优化方法除了基本的建堆和调整堆方法外，还有一些优化方法可以提高堆排序的效率。
以下是几种常见的优化方法：1. 堆的初始化：在建堆之前，先对数组进行预处理，将数组中的元素调整为局部有序，可以减少后续建堆的时间复杂度。
2. 堆的调整：在调整堆的过程中，可以使用迭代的方式代替递归，以减少函数调用的开销。
3. 堆的选择：在每次交换堆顶元素和最后一个元素后，可以选择将最后一个元素排除在堆的范围之外，从而减少调整堆的次数。
次序统计量计算次序统计量和进行排序
次序统计量计算次序统计量和进行排序次序统计量是在统计学中常用的概念，它用来描述样本中的特定数值在排序后的位置和相对大小。
在数据分析和排序算法中，次序统计量的计算和排序是十分重要的步骤。
本文将介绍次序统计量的概念、计算方法以及在排序中的应用。
一、次序统计量的概念次序统计量是指样本中第k个小的观测值，其中k可以是任意正整数（1 ≤ k ≤ n）。
当k=1时，次序统计量即为最小值；当k=n时，次序统计量即为最大值。
通过计算次序统计量，我们可以得到样本中某一特定百分位数的值，例如中位数、四分位数等。
二、次序统计量的计算方法计算次序统计量的方法有多种，下面介绍两种常见的方法。
1. 快速选择算法快速选择算法是一种高效的计算次序统计量的方法。
它基于快速排序算法的思想，在每次划分过程中只选择其中一个子序列进行递归。
通过不断地划分和比较，最终可以找到第k个小的观测值。
快速选择算法的时间复杂度为O(n)，是一种较快的计算次序统计量的方法。
2. 堆排序算法堆排序算法是另一种常用的计算次序统计量的方法。
它通过构建最小堆或最大堆的数据结构，每次取出堆顶元素并重新调整堆的结构，直到找到第k个小的观测值。
堆排序算法的时间复杂度为O(nlogn)，虽然较快速选择算法慢一些，但在实际应用中仍然具有较好的性能。
三、次序统计量在排序中的应用次序统计量在排序中有着广泛的应用。
以下是两个常见的应用场景。
1. 快速排序算法快速排序算法是一种常用的排序算法，它利用次序统计量的概念进行排序。
快速排序算法通过选择一个枢轴元素，将序列分成左右两部分，并通过递归地对左右子序列进行排序，最终将整个序列有序化。
在每次排序过程中，通过求解次序统计量的值来确定枢轴元素的位置，从而实现排序。
2. 堆排序算法堆排序算法也是一种常用的排序算法，它利用次序统计量的计算方法进行排序。
通过构建最小堆或最大堆的数据结构，并依次取出堆顶元素，可以实现将序列有序化的过程。
在每次取出堆顶元素时，通过计算次序统计量的值来确定堆顶元素的位置，从而实现排序。
排序类算法(堆排,快排,铜排,插入排)汇总分析
tb=clock();
for(i=N/2;i>0;i--)
HeadAdjust(i,N);
for(i=N;i>1;i--){
a[0]=a[1];
a[1]=a[i];
a[i]=a[0];
HeadAdjust(1,i-1);
}
te=clock();
#include<string.h>
#include<time.h>
typedef struct node{
int data;
struct node *next1;
struct node *next2;
}NODE;
#define CreateNODE(p) p=(NODE *)malloc(sizeof(NODE));
#define DeleteNODE(p) free((void *)p);
int num=5;
void main()
{
NODE *h,*h1,*q,*p,*l,*first[10],*last[10];
int i,tep,k,k1,N,a[10],sum;
srand((unsigned)time(NULL));
printf("输入要排序的数的个数：\n");
scanf("%d",&N);
//CreateNODE(h1);
CreateNODE(h);
//h=p;h1=p;
p=h;
for(i=0;i<N;i++){
CreateNODE(q);
q->data=rand()%30000;
各种排序方法总结
选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序不是稳定的排序算法，冒泡排序、插入排序、归并排序和基数排序是稳定的排序算法。
冒泡法：这是最原始，也是众所周知的最慢的算法了。
他的名字的由来因为它的工作看来象是冒泡：复杂度为O(n*n)。
当数据为正序，将不会有交换。
复杂度为O(0)。
直接插入排序：O(n*n)选择排序：O(n*n)快速排序：平均时间复杂度log2(n)*n，所有内部排序方法中最高好的，大多数情况下总是最好的。
归并排序：l og2(n)*n堆排序：l og2(n)*n希尔排序：算法的复杂度为n的1.2次幂这里我没有给出行为的分析，因为这个很简单，我们直接来分析算法：首先我们考虑最理想的情况1.数组的大小是2的幂，这样分下去始终可以被2整除。
假设为2的k次方，即k=log2(n)。
2.每次我们选择的值刚好是中间值，这样，数组才可以被等分。
第一层递归，循环n次，第二层循环2*(n/2)......所以共有n+2(n/2)+4(n/4)+...+n*(n/n) = n+n+n+...+n=k*n=log2(n)*n所以算法复杂度为O(lo g2(n)*n) 其他的情况只会比这种情况差，最差的情况是每次选择到的midd le都是最小值或最大值，那么他将变成交换法（由于使用了递归，情况更糟）。
但是你认为这种情况发生的几率有多大？？呵呵，你完全不必担心这个问题。
实践证明，大多数的情况，快速排序总是最好的。
如果你担心这个问题，你可以使用堆排序，这是一种稳定的O(log2(n)*n)算法，但是通常情况下速度要慢于快速排序（因为要重组堆）。
数字的大小比较及排序方法
数字的大小比较及排序方法在数学和计算机领域，比较和排序是常见的操作。
当我们面对一系列数字时，我们需要进行比较以确定数字的大小关系，然后可能需要将它们按照一定的顺序进行排序。
本文将探讨数字的大小比较方法以及常用的排序算法。
一、数字的大小比较方法在进行数字比较时，我们可以使用以下几种方法：1. 直接比较法：直接比较数字的大小是最简单直接的方法。
例如，当我们比较两个数字a和b时，我们可以使用如下表达式：a >b ：表示a大于ba <b ：表示a小于ba =b ：表示a等于b2. 绝对值比较法：有时我们不仅需要比较数字的大小关系，还需要考虑数字的正负情况。
此时，我们可以使用绝对值进行比较。
例如，当我们比较两个数字a和b的大小时，我们可以比较它们的绝对值 |a| 和 |b|，并按照绝对值的大小关系得出结果。
3. 比较符号法：除了使用比较运算符进行比较外，我们还可以使用比较符号进行数字的大小比较。
常用的比较符号包括“>”（大于）、“<”（小于）、“=”（等于）、“≥”（大于等于）和“≤”（小于等于）。
二、数字的排序方法当我们有一系列数字需要排序时，我们可以使用下列排序算法：1. 冒泡排序法：冒泡排序法是最简单的排序算法之一。
它通过反复比较相邻两个数字的大小，并根据需要交换它们的位置，直到所有数字按照指定的顺序排列。
冒泡排序法的时间复杂度为O(n^2)。
2. 插入排序法：插入排序法通过将数字逐个插入到已排好序的数字序列中，完成排序。
插入排序法的时间复杂度为O(n^2)，但在实际应用中经常比其他排序算法更快。
3. 快速排序法：快速排序法是一种分治排序算法。
它通过选择一个枢纽元素，将序列划分为左右两个子序列，并对子序列进行递归排序，最终完成整个序列的排序。
快速排序法的时间复杂度为O(nlogn)，但在极端情况下可能达到O(n^2)。
4. 归并排序法：归并排序法也是一种分治排序算法。
它将序列递归地划分为较小的子序列，然后将子序列合并为一个有序序列，直到整个序列有序。
在用堆排序算法排序时,如果要进行增序排序
在用堆排序算法排序时,如果要进行
增序排序
堆排序是一种高效的内部排序方式，它利用“堆”的数据结构，通过“大根堆”和“小根堆”的思想，实现排序。
如果需要进行增序排序，则需要下面几个步骤。
1.首先将无序序列建立成“大根堆”，即堆顶元素最大，待排序序列中最大的元素即为根
结点。
2.取出堆顶元素，在剩余元素中，将堆顶元素替换为剩余元素中最后一个元素，再将剩余
元素重新建立大根堆。
3.然后将最大值重新放置在序列最后一位，每次取出堆顶元素，将序列的最后一位放到堆顶，再重新建堆，完成一次排序。
4.重复上述操作，直到序列中所有的元素都按照递增的顺序排好，排序完成。
堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，具体来讲，它无论数据状况怎么样，在最坏的情况下都只需要O(nlogn)的时间，而且不需要额外的空间。
由于它仅仅使用了树形结构，因此堆排序比较节省空间。
由于简单方便，运算速度快，因此受到广泛的认可。
总之，堆排序在增序排序方面非常有效，效率高，而且易于实现。
它的运行时间是固定的，O(nlogn)，且无论数据状况怎么样，其空间占用也是不变的，比较能够满足大多数应用的
要求。
十大经典排序算法（动图演示）
⼗⼤经典排序算法（动图演⽰）0、算法概述0.1 算法分类⼗种常见排序算法可以分为两⼤类：⽐较类排序：通过⽐较来决定元素间的相对次序，由于其时间复杂度不能突破O(nlogn)，因此也称为⾮线性时间⽐较类排序。
⾮⽐较类排序：不通过⽐较来决定元素间的相对次序，它可以突破基于⽐较排序的时间下界，以线性时间运⾏，因此也称为线性时间⾮⽐较类排序。
0.2 算法复杂度0.3 相关概念稳定：如果a原本在b前⾯，⽽a=b，排序之后a仍然在b的前⾯。
不稳定：如果a原本在b的前⾯，⽽a=b，排序之后 a 可能会出现在 b 的后⾯。
时间复杂度：对排序数据的总的操作次数。
反映当n变化时，操作次数呈现什么规律。
空间复杂度：是指算法在计算机内执⾏时所需存储空间的度量，它也是数据规模n的函数。
1、冒泡排序（Bubble Sort）冒泡排序是⼀种简单的排序算法。
它重复地⾛访过要排序的数列，⼀次⽐较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。
⾛访数列的⼯作是重复地进⾏直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。
这个算法的名字由来是因为越⼩的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。
1.1 算法描述⽐较相邻的元素。
如果第⼀个⽐第⼆个⼤，就交换它们两个；对每⼀对相邻元素作同样的⼯作，从开始第⼀对到结尾的最后⼀对，这样在最后的元素应该会是最⼤的数；针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后⼀个；重复步骤1~3，直到排序完成。
1.2 动图演⽰1.3 代码实现function bubbleSort(arr) {var len = arr.length;for (var i = 0; i < len - 1; i++) {for (var j = 0; j < len - 1 - i; j++) {if (arr[j] > arr[j+1]) { // 相邻元素两两对⽐var temp = arr[j+1]; // 元素交换arr[j+1] = arr[j];arr[j] = temp;}}}return arr;}2、选择排序（Selection Sort）选择排序(Selection-sort)是⼀种简单直观的排序算法。
1234567堆排序比较次数详解
xxx堆排序比较次数详解在计算机科学领域，堆排序是一种基于堆数据结构的排序算法，它是一种非常高效的排序方法，尤其在大数据集上表现突出。
堆排序的关键在于利用堆的性质来实现排序过程，而其中一个重要的指标就是比较次数。
在本文中，我将对xxx堆排序的比较次数进行详细的解析，希望能够帮助大家更好地理解这一排序算法。
我们需要了解什么是堆排序。
堆排序是一种选择性排序，它利用了堆这种数据结构的特性来实现。
堆可以被看作一棵树，它满足两个性质：结构性和堆序性。
结构性是指堆是一个完全二叉树，而堆序性是指堆中任意节点的值都不大于（或不小于）其孩子节点的值。
根据堆的性质，我们可以利用堆来进行排序，这就是堆排序算法的基本思想。
在xxx堆排序中，比较次数是一个非常重要的指标。
比较次数可以用来衡量算法的效率和性能，它表示在排序过程中进行了多少次元素之间的比较操作。
对于堆排序来说，比较次数取决于待排序数据的特点以及具体的实现方式。
在最坏情况下，比较次数是一个与n相关的量级，其中n表示待排序数据的大小。
一般情况下，堆排序的比较次数大约为nlogn，这使得堆排序成为一种非常高效的排序算法。
在xxx堆排序的实现过程中，比较次数是如何计算的呢？在建立堆的过程中，需要进行n/2次比较，这是因为堆是一棵完全二叉树，而叶子节点不需要进行比较。
在堆排序的过程中，需要进行n-1次比较，这是因为每次将最大（或最小）的元素移出堆后，需要对剩余的元素进行调整，直到完成排序。
堆排序的比较次数可以用一个简单的公式表示：n/2 + (n-1) = 3n/2 - 2。
除了比较次数外，xxx堆排序还涉及到交换次数和空间复杂度等指标。
交换次数表示在排序过程中进行了多少次元素之间的交换操作，而空间复杂度表示算法在执行过程中所需的额外空间。
这些指标的综合考量可以帮助我们更全面地评估堆排序算法的性能和适用范围。
xxx堆排序的比较次数是一个非常重要的指标，它可以帮助我们评估算法的效率和性能。
大根堆排序算法
大根堆排序算法大根堆排序算法是一种基于堆结构的排序算法，它通过构建大根堆，并依次将堆顶元素与当前堆的最后一个元素交换，然后调整堆的结构使其满足大根堆的性质，重复这个过程直到整个堆有序。
一、什么是大根堆大根堆是一种特殊的二叉树结构，满足以下性质：1. 父节点的值大于或等于其子节点的值；2. 树的每一层都是满的，除了最后一层，最后一层的节点都靠左排列。
二、构建大根堆在大根堆排序算法中，首先需要构建一个大根堆。
构建大根堆的过程如下：1. 从最后一个非叶子节点开始，向前遍历每个非叶子节点；2. 对于每个非叶子节点，将其与其子节点进行比较，如果子节点的值大于父节点的值，则交换它们的位置；3. 重复上述步骤，直到堆的所有非叶子节点都满足大根堆的性质。
三、堆排序构建好大根堆后，堆的根节点即为最大值。
将根节点与堆中最后一个元素交换位置，然后将堆的大小减1，即排除了最大值。
接着，对交换后的新根节点进行一次调整，使其满足大根堆的性质。
重复这个过程，直到堆的大小为1，即完成排序。
堆排序的具体步骤如下：1. 构建大根堆；2. 将堆的根节点与堆的最后一个元素交换位置，并将堆的大小减1；3. 对交换后的新根节点进行调整，使其满足大根堆的性质；4. 重复步骤2和3，直到堆的大小为1。
四、时间复杂度和空间复杂度大根堆排序算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序序列的长度。
构建大根堆的时间复杂度为O(n)，每次调整堆的时间复杂度为O(logn)。
空间复杂度为O(1)，即只需要常数级别的额外空间。
五、优化在实际应用中，可以通过以下优化来提高大根堆排序算法的性能：1. 使用堆的原地排序，即在原始数组上进行排序，减少额外空间的使用；2. 对于已经有序的子序列，可以跳过调整堆的步骤，提高算法效率；3. 使用自底向上的构建堆方法，减少调整堆的次数，提高构建堆的效率。
六、总结大根堆排序算法是一种高效的排序算法，它通过构建大根堆，并依次将堆顶元素与当前堆的最后一个元素交换，然后调整堆的结构使其满足大根堆的性质，重复这个过程直到整个堆有序。
堆排序算法并行化的基本想
堆排序算法并行化的基本想法引言在计算机科学中，排序是一项基本操作，堆排序算法是一种高效的排序算法之一。
然而，随着计算机硬件的不断发展，越来越多的并行计算资源变得可用。
为了充分利用这些资源，人们开始研究如何将排序算法并行化，以提高排序的效率。
本文将探讨堆排序算法的并行化方法及其基本思想。
堆排序算法简介堆排序算法是一种基于数据结构“堆”的排序算法。
它的基本思想是将待排序的序列构建成一个最大堆（或最小堆），然后不断地将堆顶元素（最大或最小元素）与堆底元素交换，并调整堆，使得剩余元素重新构建成一个堆。
重复这个过程，直到所有元素都被排序完成。
堆排序算法具有如下特点： - 时间复杂度为O(nlogn)，其中n是待排序序列的长度 - 空间复杂度为O(1) - 是一种不稳定的排序算法堆排序算法串行实现在开始讨论并行化的堆排序算法之前，我们首先了解一下串行实现的基本思路。
1. 创建最大堆给定一个待排序序列，首先需要将其构建成一个最大堆。
具体而言，调用Build-Max-Heap函数，它会从最后一个非叶子节点开始，依次将每个子树调整为最大堆。
2. 堆排序一旦构建了最大堆，堆顶元素即为最大值。
将堆顶元素与数组最后一个元素交换，并将堆的大小减1。
然后，调用Max-Heapify函数将剩余元素重新构建成一个最大堆。
重复这个过程，直到堆的大小为1，即所有元素都被排序完成。
堆排序算法并行化的基本想法堆排序算法的串行实现已经足够高效，但在处理大规模数据时，仍然可以进一步提高其性能。
为了实现并行化，我们可以利用多线程或并行处理器同时对多个子树进行排序。
1. 多线程并行化一种实现并行化的方法是利用多线程。
我们可以将整个待排序序列划分为若干子序列，每个子序列由一个线程来处理。
每个线程进行堆排序算法的串行实现，即构建最大堆和堆排序两个主要步骤。
随着每个线程的完成，我们可以将各个子序列的已排序部分进行合并，从而得到最终的有序序列。
2. 并行处理器并行化另一种实现并行化的方法是利用并行处理器，如GPU（图形处理器）或FPGA（现场可编程门阵列）。
堆排序的几种方法
堆排序的几种方法堆排序是一种高效的排序算法，它可以将一个无序的数组或者列表按照升序或降序排列。
堆排序的实现有多种方法，本文将介绍其中的几种常见方法。
一、使用完全二叉树实现堆排序1. 首先构建一个完全二叉树，可以使用数组或者链表来表示。
2. 接下来，需要将该二叉树调整为最大堆或最小堆，即每个节点的值都大于或小于其子节点的值。
3. 然后，将根节点与最后一个节点交换位置，并将最后一个节点从堆中移除。
4. 重复上述步骤，直到堆中只剩下一个节点为止。
5. 最后，将得到的有序节点逆序排列，即得到了排序后的数组或列表。
二、使用优先队列实现堆排序1. 首先，将待排序的元素依次插入优先队列中。
2. 然后，从优先队列中依次取出元素，即可得到有序的结果。
三、使用递归实现堆排序1. 首先，将待排序的数组或列表转化为一个堆。
2. 然后，将堆中的根节点与最后一个节点交换位置，并保持堆的性质。
3. 接着，对堆的根节点进行递归操作，直到堆为空。
4. 最后，将得到的有序节点逆序排列，即得到了排序后的数组或列表。
四、使用迭代实现堆排序1. 首先，将待排序的数组或列表转化为一个堆。
2. 然后，将堆中的根节点与最后一个节点交换位置，并保持堆的性质。
3. 接着，对堆的根节点进行迭代操作，直到堆为空。
4. 最后，将得到的有序节点逆序排列，即得到了排序后的数组或列表。
堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序元素的个数。
堆排序是一种稳定的排序算法，适用于大数据量的排序任务。
它的主要优点是实现简单、效率高，但缺点是需要额外的空间来存储堆。
堆排序是一种高效的排序算法，可以通过不同的实现方法来达到相同的排序效果。
无论是使用完全二叉树、优先队列、递归还是迭代，都可以实现堆排序的功能。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来进行排序，以达到最佳的排序效果。
二次立体堆排序算法设计与分析
收稿 日期 ：０７ ７ ６ ２０ —０ —０
作者简介 ： 帅训波 （９９ ， ， １７ 一）男 山东单 县人 ， 工程师 ， 硕士 ， 研究方 向 ： 算法设 计与分析 ， 人工智能 、 数据挖掘等。
２１
维普资讯
２０ ０７血
菏 泽
学 院 学 报
｛ ｌｋ …… ， 序 列 为立体 堆ｌ 。 ｋ，２ ｋ） 。 。 。
Ｓ Ｅ Ｐ Ｏ Ｔ算 法思 想 和 堆 排 序一 样 ， 先 ， Ｈ Ａ ＳＲ 首 把 需要 排序 的 ／个 元素 构成 一 个立 体 堆 ； 后 移走 立 ７ ， 然
体堆 顶元 素 ， 重新 进 行 立 体堆 调 整 ： 其前 、 、 、 将 左 后 右 ４个 子结 点 中的大者 上升 一层 ， 每上 升一层 ， 只需
（Ｓ Ｅ Ｐ Ｏ Ｔ Ｔ Ｈ Ａ Ｓ Ｒ ）算法 ， 即把数据 个 数 为 ｎ的 立体 堆
排序 过程 ， 划分 为多个 较小 的立体 堆排 序过 程 ， 数 使 据操作 在较 小 的存 储 空 间 范 围 内进 行 ， 免 了 由于 避
定理 １ ＨＥ Ｐ Ｏ Ｔ 法 时间复 杂度 为 （， Ａ ＳＲ 算 Ｓ ／ ７ ）＝
ｎ ＋
Ｊ Ｊ
∑ （ｌ ＋ ） Ｌ ２． ｏ
Ｉ １ ＝
远距 离存储 空 间的操 作 引 起 的 时 间耗 费 。 由于 数 据 得到分 段排 序 优 化 处 理 ，Ｓ Ｅ Ｐ Ｏ Ｔ算 法 排 序 速 ＴＨ Ａ Ｓ Ｒ
度， 随着排 序 数 量增 加 ， 排序 速 度 快 于 Ｓ Ｅ Ｐ Ｏ Ｔ Ｈ ＡＳＲ
率， 不但 要采 用时 间复 杂度为 ０（ ｌ ） ｎｏ 的最佳 排序
算法 ， 而且 在排 序过程 中 ， 也要设 法采 用优 化数据 处 理技 术 ， 减小数 据操作 中的时 间耗费 口 。 过最佳 排 ］通 序算 法与优 化数 据处 理 技 术 的结 合 ， 获取 高效 的排 序算 法效果 。
堆排序实现原理及步骤详解
堆排序实现原理及步骤详解堆排序是一种常用的排序算法，它利用了大顶堆和小顶堆的特性来实现对一个无序序列的排序。
本文将详细介绍堆排序的实现原理及步骤。
一、堆的定义及性质在了解堆排序之前，需要先了解堆的概念。
堆是完全二叉树的一种特殊形式，可以分为大顶堆和小顶堆。
大顶堆的性质是任意节点的值都不大于其父节点的值，而小顶堆的性质则相反，任意节点的值都不小于其父节点的值。
二、堆排序的实现步骤堆排序的实现可以分为以下几个步骤：1. 构建初始堆：将无序序列构建成一个堆。
可以从最后一个非叶子节点开始，逐个向前调整，使得整个序列满足堆的性质。
2. 调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素：将堆顶元素与末尾元素进行交换，然后对剩余的元素进行调整，使得剩余元素满足堆的性质。
3. 重复步骤2，直到整个序列有序。
下面将详细介绍每个步骤的实现过程。
1. 构建初始堆假设待排序的序列为arr，序列长度为n。
首先，从最后一个非叶子节点开始（即索引为n/2-1的位置），向前遍历所有非叶子节点。
对于每一个非叶子节点，比较该节点与其左右子节点的值大小。
如果子节点的值较大（或较小，根据是大顶堆还是小顶堆来决定），则交换节点的值，然后继续向下调整直到子树满足堆的性质。
重复这个过程直到遍历完所有的非叶子节点。
2. 调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素首先，将堆顶元素与末尾元素进行交换，此时末尾元素是最大值（或最小值，根据是大顶堆还是小顶堆来决定）。
然后，对剩余的n-1个元素进行调整，使其满足堆的性质。
调整过程也是从堆顶开始，将堆顶元素与其左右子节点中较大（或较小）的节点进行交换，然后继续向下调整直到子树满足堆的性质。
重复这个步骤，直到整个序列有序。
3. 重复步骤2，直到整个序列有序重复执行步骤2，直到所有的元素都排序完成。
最终得到的序列就是有序的。
三、堆排序的复杂度分析堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为序列的长度。
构建初始堆的时间复杂度为O(nlogn)，而调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素的时间复杂度为O(nlogn)。
堆排序实例演示3
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16
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24
24 36 53 30
85 47 30 53
16
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如果该序列是一个堆，则对应的这棵完全二叉树的特点是： 所有分支结点的值均不小于 (或不大于)其子女的值，即每棵子 树根结点的值是最大(或最小)的。
堆特点：堆顶元素是整个序列中最大(或最小)的元素。
2022/9/1
数据结构
2
2．堆排序
足堆，继续调 整。
将 堆 顶 元 素 R1 比根小，交换。
与Rn交换)。
2022/9/1
数据结构
d.到了叶子结 点，调整结束， 堆建成。
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53
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24 36 16 85
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堆调整结束。
R1 与 Rn-1 交 换 ， 堆被破坏。 对 R1 与 Rn-2 调 整。
16
b.调整结束后，以R4为 根的子树满足堆特性。 再将以R3结点为根的 子树调整为堆；
16
c. 以 R3为根的子树满足 堆特性。 再将以R2结点为根的子树 调整为堆；
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30
47
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24 36 53 85 16
24 36 53 85 16
24 36 53 30 16
以 R2 为 根 的 子 树 满 足 堆特性。 再 将 以 R1 结 点 为 根 的 子树调整为堆
d. 调整结束后，整棵树为堆。
建堆过程示例
❖ 例如，图中的完全二叉树表示一个有8个元素的无序序列： {49，38，65，97，76，13，27，49}（相同的两个关 键字49，其中后面一个用49表示），则构造堆的过程如 图3（b）~（f）所示。
各种排序方法的比较与讨论
各种排序方法的比较与讨论现在流行的排序有：选择排序、直接插入排序、冒泡排序、希尔排序、快速排序、堆排序、归并排序、基数排序。
一、选择排序1．基本思想：每一趟从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，顺序放在已排好序的数列的最后，直到全部待排序的数据元素排完。
2. 排序过程：【示例】：初始关键字[49 38 65 97 76 13 27 49]第一趟排序后13 ［38 65 97 76 49 27 49]第二趟排序后13 27 ［65 97 76 49 38 49]第三趟排序后13 27 38 [97 76 49 65 49]第四趟排序后13 27 38 49 [49 97 65 76]第五趟排序后13 27 38 49 49 [97 97 76]第六趟排序后13 27 38 49 49 76 [76 97]第七趟排序后13 27 38 49 49 76 76 [ 97]最后排序结果13 27 38 49 49 76 76 973.void selectionSort(Type* arr,long len){long i=0,j=0;/*iterator value*/long maxPos;assertF(arr!=NULL,"In InsertSort sort,arr is NULL\n");for(i=len-1;i>=1;i--){maxPos=i;for(j=0;jif(arr[maxPos]if(maxPos!=i)swapArrData(arr,maxPos,i);}}选择排序法的第一层循环从起始元素开始选到倒数第二个元素,主要是在每次进入的第二层循环之前,将外层循环的下标赋值给临时变量,接下来的第二层循环中,如果发现有比这个最小位置处的元素更小的元素,则将那个更小的元素的下标赋给临时变量,最后,在二层循环退出后,如果临时变量改变,则说明,有比当前外层循环位置更小的元素,需要将这两个元素交换.二.直接插入排序插入排序（Insertion Sort）的基本思想是：每次将一个待排序的记录，按其关键字大小插入到前面已经排好序的子文件中的适当位置，直到全部记录插入完成为止。
基于比较的排序算法有哪些
基于比较的排序算法有哪些七种排序算法[1]分别是：•四种基本排序算法：冒泡排序，选择排序，插入排序，希尔排序。
•三种高级排序算法：归并排序，快速排序，堆排序。
这七种排序算法都是比较排序算法，这种算法的特点顾名思义就是排序是依赖于元素间两两比较的结果[2]。
任何比较算法在最坏的情况下都要经过Ω(nlgn)次比较。
1. 冒泡排序顾名思义，冒泡排序的整个过程就像碳酸饮料中的小气泡，慢慢浮到最上面。
只不过在冒泡排序中浮上去的是最大的数而已。
简要思路：遍历数组，每次比较相邻的两个元素 arr[i],arr[i + 1]，如果 arr[i + 1] < arr[i] ，就把 arr[i + 1] 和 arr[i] 调换位置。
冒泡排序有这样的排序特性：•每次都只排好一个元素。
•最坏情况时间复杂度为O(n^2)。
•平均情况时间复杂度为O(n^2)。
•需要额外空间O(1)。
•所需时间与输入数组的初始状态无关。
算法示例public static void bubbleSort(int[] arr) {int n = arr.length;// 每一次循环，都把最大的元素冒泡到对应的位置for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {// 如果后一个比前一个小，那么就把大的放后面if (less(arr, j + 1, j)) exch(arr, j, j + 1);}}}2. 选择排序其实选择排序，直观上来说和冒泡排序差不多，只不过么有了相邻元素频繁交换的操作，但是却保留了冒泡排序频繁访问数组的特点。
简要思路:对于每一个循环，我们在剩余的未排序数中找到最小数对应的下标，遍历一次后再把对应的数放到合适的位置。
选择排序有这样的排序特性：•每次循环都只排好一个元素。
•最坏情况时间复杂度为\Theta (n^2)。
排序的几种算法
排序的几种算法
一、冒泡排序
冒泡排序就是重复“从序列右边开始比较相邻两个数字的大小，再根据结果交换两个数字的位置”这一操作的算法。
在这个过程中，数字会像泡泡一样，慢慢从右往左“浮”到序列的顶端，所以这个算法才被称为“冒泡排序”。
二、选择排序
选择排序就是重复“从待排序的数据中寻找最小值，将其与序列最左边的数字进行交换”这一操作的算法。
在序列中寻找最小值时使用的是线性查找。
三、插入排序
插入排序是一种从序列左端开始依次对数据进行排序的算法。
在排序过程中，左侧的数据陆续归位，而右侧留下的就是还未被排序的数据。
插入排序的思路就是从右侧的未排序区域内取出一个数据，然后将它插入到已排序区域内合适的位置上。
四、堆排序
堆排序的特点是利用了数据结构中的堆。
五、归并排序
归并排序算法会把序列分成长度相同的两个子序列，当无法继续往下分时（也就是每个子序列中只有一个数据时），就对子序列进行归并。
归并指的是把两个排好序的子序列合并成一个有序序列。
该操作会一直重复执行，直到所有子序列都归并为一个整体为止。
总的运行时间为O，这与前面讲到的堆排序相同。
堆排序算法详解
堆排序算法详解1、堆排序概述堆排序(Heapsort)是指利⽤堆积树（堆）这种数据结构所设计的⼀种排序算法，它是选择排序的⼀种。
可以利⽤数组的特点快速定位指定索引的元素。
堆分为⼤根堆和⼩根堆，是完全⼆叉树。
⼤根堆的要求是每个节点的值都不⼤于其⽗节点的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。
在数组的⾮降序排序中，需要使⽤的就是⼤根堆，因为根据⼤根堆的要求可知，最⼤的值⼀定在堆顶。
2、堆排序思想（⼤根堆）1）先将初始⽂件Array[1...n]建成⼀个⼤根堆，此堆为初始的⽆序区。
2）再将关键字最⼤的记录Array[1]（即堆顶）和⽆序区的最后⼀个记录Array[n]交换，由此得到新的⽆序区Array[1..n-1]和有序区Array[n]，且满⾜Array[1..n-1].keys≤Array[n].key。
3）由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前⽆序区R[1..n-1]调整为堆。
然后再次将R[1..n-1]中关键字最⼤的记录R[1]和该区间的最后⼀个记录R[n-1]交换，由此得到新的⽆序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满⾜关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。
这样直到⽆序区中剩余⼀个元素为⽌。
3、堆排序的基本操作1）建堆，建堆是不断调整堆的过程，从len/2处开始调整，⼀直到第⼀个节点，此处len是堆中元素的个数。
建堆的过程是线性的过程，从len/2到0处⼀直调⽤调整堆的过程，相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2) 其中h表⽰节点的深度，len/2表⽰节点的个数，这是⼀个求和的过程，结果是线性的O(n)。
2）调整堆：调整堆在构建堆的过程中会⽤到，⽽且在堆排序过程中也会⽤到。
利⽤的思想是⽐较节点i和它的孩⼦节点left(i),right(i)，选出三者最⼤者，如果最⼤值不是节点i⽽是它的⼀个孩⼦节点，那边交互节点i和该节点，然后再调⽤调整堆过程，这是⼀个递归的过程。
大根堆排序算法
⼤根堆排序算法堆排序是⼀种树形选择排序⽅法，它的特点是：在排序的过程中，将array[0，...，n-1]看成是⼀颗完全⼆叉树的顺序存储结构，利⽤完全⼆叉树中双亲节点和孩⼦结点之间的内在关系，在当前⽆序区中选择关键字最⼤（最⼩）的元素。
1. 若array[0，...，n-1]表⽰⼀颗完全⼆叉树的顺序存储模式，则双亲节点指针和孩⼦结点指针之间的内在关系如下： 任意⼀节点指针 i：⽗节点：i==0 ? null : (i-1)/2 左孩⼦：2*i + 1 右孩⼦：2*i + 22. 堆的定义：n个关键字序列array[0，...，n-1]，当且仅当满⾜下列要求：(0 <= i <= (n-1)/2) ① array[i] <= array[2*i + 1] 且 array[i] <= array[2*i + 2]；称为⼩根堆； ② array[i] >= array[2*i + 1] 且 array[i] >= array[2*i + 2]；称为⼤根堆；3. 建⽴⼤根堆： n个节点的完全⼆叉树array[0，...，n-1]，最后⼀个节点n-1是第(n-1-1)/2个节点的孩⼦。
对第(n-1-1)/2个节点为根的⼦树调整，使该⼦树称为堆。
对于⼤根堆，调整⽅法为：若【根节点的关键字】⼩于【左右⼦⼥中关键字较⼤者】，则交换。
之后向前依次对各节点（(n-2)/2 - 1）~ 0为根的⼦树进⾏调整，看该节点值是否⼤于其左右⼦节点的值，若不是，将左右⼦节点中较⼤值与之交换，交换后可能会破坏下⼀级堆，于是继续采⽤上述⽅法构建下⼀级的堆，直到以该节点为根的⼦树构成堆为⽌。
反复利⽤上述调整堆的⽅法建堆，直到根节点。
4.堆排序：（⼤根堆） ①将存放在array[0，...，n-1]中的n个元素建成初始堆； ②将堆顶元素与堆底元素进⾏交换，则序列的最⼤值即已放到正确的位置； ③但此时堆被破坏，将堆顶元素向下调整使其继续保持⼤根堆的性质，再重复第②③步，直到堆中仅剩下⼀个元素为⽌。
区间中位数计算方法
区间中位数计算方法
区间中位数是指一组有序数列中的中间值，即将数列按照从小到大或从大到小的顺序排列，然后取中间的数值。
对于一组含有偶数个元素的数列，中位数为中间两个数的平均数。
计算区间中位数有多种方法，以下是其中几种常用的方法：
1. 排序法：将数列按大小顺序排列，然后取中间的数值作为中位数。
需要注意的是，如果数列中元素个数为偶数，则需要取中间两个数的平均值作为中位数。
2. 堆排序法：利用堆排序算法，先将数列构建成小根堆或大根堆，然后不断弹出堆顶元素，直到弹出了中间位置的元素。
需要注意的是，如果数列中元素个数为偶数，则需要再弹出一个元素，并将两个弹出的元素求平均值作为中位数。
3. 分治法：将数列按照中位数进行分割，然后逐步缩小范围，直到找到中位数。
具体步骤包括：选取数列中的一个数作为中位数，将数列分成两部分，小于中位数的部分和大于中位数的部分；如果中位数所在位置在小于中位数的部分，那么继续在小于中位数的部分中查找中位数；如果中位数所在位置在大于中位数的部分，那么继续在大于中位数的部分中查找中位数。
无论采用哪种方法，计算区间中位数的时间复杂度一般为
O(nlogn)，可以较快地得到结果。
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堆排序——C#实现一算法描述堆排序（Heap Sort）是利用一种被称作二叉堆的数据结构进行排序的排序算法。
二叉堆在内部维护一个数组，可被看成一棵近似的完全二叉树，树上每个节点对应数组中的一个元素。
除最底层外，该树是满的。
二叉堆中，有两个与所维护数组相关的属性。
Length表示数组的元素个数，而HeapSize则表示二叉堆中所维护的数组中的元素的个数（并不是数组中的所有元素都一定是二叉堆的有效元素）。
因此，根据上述定义有： 0 = HeapSize = Length。
二叉堆可分为最大堆和最小堆两种类型。
在最大堆中，二叉树上所有的节点都不大于其父节点，即 A[Parent(i)] = A[i]。
最小堆正好相反：A[Parent(i)] = A[i]。
为维护一个二叉堆是最大（小）堆，我们调用一个叫做MaxHeapify （MinHeapify）的过程。
以MaxHeapify，在调用MaxHeapify时，先假定根节点为Left(i)和Right(i)的二叉树都是最大堆，如果A[i]小于其子节点中元素，则交换A[i]和其子节点中的较大的元素。
但这样一来，以被交换的子节点为根元素的二叉堆有可能又不满足最大堆性质，此时则递归调用MaxHeapify方法，直到所有的子级二叉堆都满足最大堆性质。
如下图所示：因为在调用MaxHeapify（MinHeapify）方法使根节点为A[i]的二叉堆满足最大（小）堆性质时我们有其左右子堆均已满足最大（小）堆性质这个假设，所以如果我们在将一个待排序的数组构造成最大（小）堆时，需要自底向上地调用 MaxHeapify（MinHeapify）方法。
在利用最大堆进行排序时，我们先将待排序数组构造成一个最大堆，此时A[0]（根节点）则为数组中的最大元素，将A[0]与A[n - 1]交换，则把A[0]放到了最终正确的排序位置。
然后通过将HeapSize 减去1，将（交换后的）最后一个元素从堆中去掉。
然后通过MaxHeapify方法将余下的堆改造成最大堆，然后重复以上的交换。
重复这一动作，直到堆中元素只有2个。
则最终得到的数组为按照升序排列的数组。
二算法实现1 注意到在C#中数组的起始下标为0，因此，计算一个给定下标的节点的父节点和左右子节点时应该特别小心。
private static int Parrent(int i)return (i - 1) - 2;private static int Left(int i)return 2 * i + 1;private static int Right(int i)return 2 * i + 2;2 算法的核心部分是MaxHeapify（MinHeapify）方法，根据算法描述中的说明，一下代码分别实现了对整数数组的最大堆化和最小堆化方法，以及一个泛型版本。
private static void MaxHeapify(int[] array, int i, int heapSize)int left = Left(i);int right = Right(i);int largest = i;if (left heapSize array[left] array[i])largest = left;if (right heapSize array[right] array[largest])largest = right;if (largest != i)Exchange(ref array[i], ref array[largest]);MaxHeapify(array, largest, heapSize);private static void MinHeapify(int[] array, int i, int heapSize)int left = Left(i);int right = Right(i);int smallest = i;if (left heapSize array[left] array[i])smallest = left;if (right heapSize array[right] array[smallest])smallest = right;if (smallest != i)Exchange(ref array[i], ref array[smallest]);MinHeapify(array, smallest, heapSize);private static void MHeapifyT(T[] array, int i, int heapSize, ComparisonT comparison)int left = Left(i);int right = Right(i);int extremumIndex = i;if (left heapSize comparison(array[left], array[i]) 0) extremumIndex = left;if (right heapSize comparison(array[right], array[extremumIndex]) 0)extremumIndex = right;if (extremumIndex != i)ExchangeT(ref array[extremumIndex], ref array[i]);MHeapifyT(array, extremumIndex, heapSize, comparison);3 构造最大（小）堆。
注意到是自底向上进行构造。
private static void BuildMaxHeap(int[] array)for (int i = array.Length - 2 - 1; i = 0; i--)MaxHeapify(array, i, array.Length);private static void BuildMinHeap(int[] array)for (int i = array.Length - 2 - 1; i = 0; i--)MinHeapify(array, i, array.Length);private static void BuildMHeapT(T[] array, ComparisonT comparison)for (int i = array.Length - 2 - 1; i = 0; i--)MHeapifyT(array, i, array.Length, comparison);4 堆排序算法。
以下分别是对整数数组的升序排序、降序排序以及泛型版本。
注意升序排序构造的是最大堆，而降序排序则是构造的最小堆。
public static void HeapSort(int[] array)BuildMaxHeap(array);for (int i = array.Length - 1; i 0; i--)Exchange(ref array[i], ref array[0]);MaxHeapify(array, 0, i);public static void HeapDesSort(int[] array)BuildMinHeap(array);for (int i = array.Length - 1; i 0; i--)Exchange(ref array[i], ref array[0]);MinHeapify(array, 0, i);public static void HeapSortT(T[] array, ComparisonT comparison)BuildMHeapT(array, comparison);for (int i = array.Length - 1; i 0; i--)Exchange(ref array[i], ref array[0]);MHeapifyT(array, 0, i, comparison);三另一种代码的组织方式上述的代码是一种常规的堆排序的实现方式。
但既然是用C#来实现堆排序，应当尽可能的考虑面向对象的方式去实现算法。
考虑到上述代码中，无论是求节点的子节点、父节点、维护最大（小）堆、建立最大（小）堆等方法，本身是属于对堆这种数据结构本身的操作。
因此，可以考虑将其封装成一个数据结构类，在类中进行相关的排序操作。
如下所示：public class HeapT#region Fieldsprivate int _heapSize = 0;private T[] _array = null;#endregion#region Propertiespublic int HeapSizeget { return _heapSize; }set { _heapSize = value; }#endregion#region Constructorspublic Heap(T[] array, int heapSize)_array = array;if(heapSize array.Length)Exception ex = new Exception("The heap size is larger than the array length");throw (ex);_heapSize = heapSize;public Heap(T[] array)_array = array;_heapSize = array.Length;#endregion#region Methodsprivate int Parrent(int index)return (index - 1) - 2;private int Left(int index)return 2 * index + 1;private int Right(int index)return 2 * index + 2;private void MHeapify(int rootIndex, ComparisonT comparison)int leftChildIndex = Left(rootIndex);int rightChildIndex = Right(rootIndex);int extremumIndex = rootIndex;if (leftChildIndex _heapSize comparison(_array[leftChildIndex], _array[rootIndex]) 0)extremumIndex = leftChildIndex;if (rightChildIndex _heapSize comparison(_array[rightChildIndex], _array[extremumIndex]) 0)extremumIndex = rightChildIndex;if (extremumIndex != rootIndex)Helper.ExchangeT(ref _array[extremumIndex], ref _array[rootIndex]);MHeapify(extremumIndex, comparison);private void BuildMHeap(ComparisonT comparison)for (int i = _array.Length - 2 - 1; i = 0; i--)MHeapify(i, comparison);public void Sort(ComparisonT comparison)BuildMHeap(comparison);for (int i = _array.Length - 1; i 0; i--)Helper.Exchange(ref _array[i], ref _array[0]);_heapSize--;MHeapify(0, comparison);#endregion} public class Helperpublic static void ExchangeT(ref T x, ref T y)T temp = x;四算法分析1 在整个堆排序的过程中，只是在原有的数组里对元素进行操作，只需要常数的额外空间。