第二章 热传导方程

t1
t2
由 及 t1 , t 2 的任意性知 u u u u c (k ) (k ) (k ) F ( x, y, z, t ).(1.4) t x x y y z z

三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物 体，即 c , , k 都为常数的物体）
n
三、定解问题 定义1 在区域 G [0, ) 上，由方程（1.5）、初 始条件（1.7）和边界条件（1.9）、（1.10）、 （1.11）中的其中之一组成的定解问题称为初边值问 题或混合问题。例如三维热传导方程的第一初边值问 题为： 2
ut a (uxx u yy uzz ) f ( x , y , z , t ), ( x , y, z , t ) , t 0, ( x , y , z , t ) , u( x , y, z , t ) |t 0 ( x, y, z ), u | ( x , y , z ) g( x, y, z , t ), t 0.
t 0,
(1.10)
k1 k1 其中： 0, g u1 . k k
注意第三边界条件的推导： 研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题 把一个温度变化规律为 u( x , y , z , t )的物体放入 空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温 度为 u1 ( x , y , z , t ) ，它与物体表面的温度 u( x , y , z , t ) 并不相同。这给出了第三边界条件的提法。
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 f ( x , y , z , t ), t y z x
(1.5)
k , 其中 a c
2
F f , f 称为非齐次项（自由项）。 c
三维无热源热传导方程：
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 0 . t y z x
c (

u dt )dV t

t2 t1
u [ c dV ]dt t
（2）通过曲面 S 进入 内的热量 Q1
由傅里叶热传导定律，从 t 1 到 t 2 这段时间内通过 S 进入 内的热量为
Q1
由高斯公式
t2
t1
u k ( x, y, z ) dS dt , n S

0 x l , t 0, 0 x l, t 0; t 0;
(2.1) (2.2) (2.3) (2.4)
(I )
问题（I）的通解形式为：
u( x, t ) Ak e
k 1 a 2 k t
sin k x ,
(2.14)
其中 Ak , k 由下面给出：
sin k x Bk ( )e
k 1

d , (2.20)
1 l Ak ( )sin k d , Mk 0 1 l Bk ( ) f (, )sin k d . 0 Mk
热传导试 验定律或 牛顿定律 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
dQ k1 (u u1 )dSdt , (1.11) 其中比例常数 k1 0 称为热交换系数
流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶 定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定： u u 或 k k1 (u u1 ). k dSdt k1 (u u1 )dSdt , n n u ( u) |( x , y , z ) g( x, y, z, t ). 即得到（1.10）：
dQ c [u( x , y, z , t 2 ) u( x , y, z , t1 )]dV 整个 内温度变化所需要的能量 Q
Q
dQ c [u( x , y , z , t
t2 t1
2
) u( x , y , z , t1 )]dV (1.1)
t
则（II）的解为: u( x , t ) 0 w ( x , t ; )d ,
w( x, t; )
t
f ( x, ) .
考虑齐次方程、齐次边界条件的混合问题（I）：
ut a 2 uxx 0, t 0 : u ( x ), x 0 : u 0, x l : u hu 0, x
第二章 热传导动方程
第一节 热传导方程的导出和定解条件 一、热传导方程的导出：
给定一空间内物体 G ，设其上的点 ( x , y , z ) 模型： 在时刻 t 的温度为 u( x , y , z , t ) 。
问题： 研究温度 u( x , y , z , t ) 的运动规律。
分析：（两个物理定律）
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S 流入 内的热量 Q1 +热源提供的热量 Q2
下面分别计算这些热量
（1） 内温度变化所需要的能量 Q 的比热（单位质量的物体温度改变 1 C 所需要的热量）为 c c( x , y , z ), 密度为 ( x , y , z ), 那么包含点 ( x , y , z ) 的体积微元 dV 的温度从u( x , y , z , t1 变为 u( x, y, z , t 2 )所需要的热量为 设物体 G
t a2 x
2
.
(1.12)
而对于薄片的热传导，可得二维热传导方程：
2 2 u u u 2 a ( 2 ). 2 t x y
(1.13)
第二节 初边值问题的分离变量法
考虑一维热传导方程的初边值问题
ut a 2 uxx f ( x , t ), 0 x l , t 0, 0 x l, t 0 : u ( x ), x 0 : u ( t ); x l : ux hu 2 ( t ), 1
u

g( x, y, z, t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n

g( x , y , z , t ),
( x , y , z ) ,
注 1、方程（1.6）不仅仅描述热传导现象，也可
以刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；
2、上述界条件形式上与波动方程的边界条件一 样，但表示的物理意义不一样； 3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方 程有两个初始条件。 4、除了三维热传导方程外，物理上，温度的分 布在同一个界面上是相同的，可得一维热传导方 程： u 2u
t 0,
(1.9)
注： u u 沿边界 上的单位外法线方向 n 的方 表示 n 向导数 3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 )
u n u

特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，表示物体绝热。
g( x , y, z , t ), ( x, y, z ) ,
上述定解问题可分解为下面两个混合问题：
ut a 2 uxx 0, 0 x l , t 0, 0 x l, t 0 : u ( x ), x 0 : u 0, x l : u hu 0, t 0; x
(I )
和
( II ) ut a 2 uxx f ( x , t ), 0 x l , t 0, t 0 : u 0, 0 x l , x 0 : u 0, x l : u hu 0, t 0. x
t a 2 k ( t ) k 1 0
d ,
1 其中 Bk ( ) M k

l
0
f (, )sin k d .
非齐次方程混合问题的解：
u( x , t ) Ak e
k 1 a 2 k t
sin k x
t a 2 k ( t ) 0
t1
由热量守恒定律得：
t2 u u u u c dV ]dt [ ( ( k ) ( k ) ( k ))dV ]dt t1 [ t1 t x x y y z z t2

[ F ( x , y, z , t )dV ]dt
tan k l
k
h
, M k 0 sin
l
2
l h k xdx . (2.18) 2 2 2( h k )
1 Ak Mk

l
0
()si( x , t ) sin k x Bk ( )e
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件）
初始条件：
t 0 : u( x , t ) ( x , y , z ), ( x, y, z ) G , (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
x V ( x, t ) [ 2 ( t ) h1 ( t )] 1 ( t ) . 1 hl
t 0.
不失一般性，考虑齐次边界条件的初边值问题
ut a 2 uxx f ( x , t ), 0 x l , t 0, 0 x l, t 0 : u ( x ), x 0 : u 0; x l : u hu 0, t 0. x
x
divAdxdydz AndS
S
知
u u u Q1 [ ( (k ) (k ) (k ))dV ]dt .(1.2) t1 x x y y z z