正交试验设计及结果分析

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在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素 的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位， 当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵 消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水 平间具有综合可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有 综合可比性。
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2.2 试验结果分析
分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是主要因素， 哪个是次要因素； 判断因素对试验指标影响的显著程度； 找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合，即试验因 素各取什么水平时，试验指标最好；
极差分析
方差分析
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分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时，试验指 标是如何变化的。找出指标随因素变化的规律和趋势，为进 一步试验指明方向； 了解各因素之间的交互作用情况；
绘制 因素 指标 趋势 图
计算各列偏差平方 和、自由度
列方差分析表， 进行F 检验
优水平
因素主次顺序 结
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分析检验结果， 写出结论
优组合
论
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一般为了便于试验结果的分析，定性指标可按相关的标 准打分或模糊数学处理进行数量化，将定性指标定量化。
（2） 选因素、定水平，列因素水平表 根据专业知识、以往的研究结论和经验，从影响试验指 标的诸多因素中，通过因果分析筛选出需要考察的试验因 素。一般确定试验因素时，应以对试验指标影响大的因素、 尚未考察过的因素、尚未完全掌握其规律的因素为先。试 验因素选定后，根据所掌握的信息资料和相关知识，确定 每个因素的水平，一般以2-4个水平为宜。对主要考察的试 验因素，可以多取水平，但不宜过多（≤6），否则试验次 数骤增。因素的水平间距，应根据专业知识和已有的资料， 尽可能把水平值取在理想区域。
交表，以减少试验次数。
一般情况下，试验因素的水平数应等于正交表中的水平 数；因素个数（包括交互作用）应不大于正交表的列数； 最低的试验次数(行数)＝Σ (每列水平数一1)+l
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等 水 平 正 交 表
La （ b c ）
因素个数，列数 正交设计
La（bc）
试验总次数，行数
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因素水平数
况。
正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的， 它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一 分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。 虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找
到最优水平组合 ，因而很受实际工作者青睐。
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如对于上述 3因素 3 水平试验，若不考虑交互作用，可 利用正交表 L9(34)安排，试验方案仅包含 9个水平组合，就 能反映试验方案包含 27 个水平组合的全面试验的情况，找 出最佳的生产条件。
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四因素、三水平的试验因素水平表
水平
1 2 3
试 A B
验
因 C
素 D
3
（3） 选择合适的正交表 正交表的选择是正交试验设计的首要问题。确定了因
素及其水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用的
多少来选择合适的正交表。正交表的选择原则是在能够安 排下试验因素和交互作用的前提下，尽可能选用较小的正
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试验目的与要求
试 验 方 案 设 计 流 程
试验指标
选因素、定水平 因素、水平确定 选择合适正交表 表头设计
列试验方案
试验结果分析
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进行试验，记录试验结果
试 验 结 果 分 析：
试验结果极差分析
试验结果方差分析
计 算 K 值
计 算 k 值
计 算 极 差 R
的27个节点），工作量大 ，在有些情况下无法完成 。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交 表来设计安排试验。
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全 面 试 验 法 示 意 图
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三因素、三水平全面试验方案
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正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全面 试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情
1.2 正交试验设计的基本原理
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正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中 挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。 上图中标有试验号的九个 “(·)”，就是利用正交表
L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。即：
(1)A1B1C1 (4)A1B2C2 (7)A1B3C3 (2)A2B1C2 (5)A2B2C3 (8)A2B3C1 (3)A3B1C3 (6)A3B2C1 (9)A3B3C2
的每条线上也恰有一个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很强的代表 性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。
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1.3
正交表及其基本性质
1.3.1 正交表 由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用正交表， 因此，我们先对正交表作一介绍。 下表是一张正交表，记号为L8(27)，其中“L”代表正
正 交 试 验 设 计
对于单因素或两因素试验，因其因素少 ，试验的设 计 、实施与分析都比较简单 。但在实际工作中 ，常常
需要同时考察 3个或3个以上的试验因素 ，若进行全面
试验 ，则试验的规模将很大 ，往往因试验条件的限制 而难于实施 。正交试验设计就是安排多因素试验 、寻 求最优水平组合 的一种高效率试验设计方法。
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以上选择 ，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的
各个水平在试验中各搭配一次 。对于A、B、C 3个因素来 说， 是在27个全面试验点中选择9个试验点 ，仅是全面试 验的三分之一。 从上图中可以看到，9个试验点在选优区中分布是均衡
的，在立方体的每个平面上，都恰是3个试验点；在立方体
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1.3.2.3 综合可比性 （1）任一列的各水平出现的次数相等； （2）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素 各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效 果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比 较该因素不同水平对试验指标的影响情况。 根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分 散和整齐可比的特点。 所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组 合在全部水平组合中的分布是均匀的 。 。
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（2）任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，
且对出现的次数相等
例： L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)
各出现两次；L9(34) 中 (1, 1),
(1, 2),
(1, 3),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) 各出 现1次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平所 有可能组合次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配 是均匀的。
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例如：设计一个三因素、3水平的试验 A因素，设A1、A2、A3 3个水平；B因素，设B1、B2、B3 3 个水平；C因素，设C1、C2、C3 3个水平，各因素的水平之间 全部可能组合有27种 。 全面试验：可以分析各因素的效应 ，交互作用，也可选
出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多（图示
2、混合水平正交表 各列水平数不完全相同的正交表 称为混合水平正交表。如L8(4×24)表中有一列的水平数为 4，有4列水平数为 2。也就是说该表可以安排一个 4水平因 素和 4 个 2 水平因素。再如 L16(44×23) ， L16(4×212) 等都混 合水平正交表。
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设 计 时 选 用 。 2 水 平 正 交 表 除 L8(27) 外 ， 还 有 L4(23) 、 L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(213)„„等。 1.3.2 正交表的基本性质
1.3.2.1 正交性
（1）任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等 例：L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次； L9(34)中不同数字有1、2和3，它们各出现3次 。
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整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正 交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个 水平 ，当比较某因素不同水平时，其它 因素的效应都彼此抵 消。如在A、B、C 3个因素中，A因素的3个水平 A1、A2、A3 条件下各有 B 、C 的 3个不同水平，即：
交表；L右下角的数字“8”表示有8行 ，用这张正交表安
排试验包含8个处理(水平组合) ；括号内的底数“2” 表 示因素的水平数，括号内2的指数“7”表示有7列 ，用这
张正交表最多可以安排7个2水平因素。
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L8(27) 正 交 表
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常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正交
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正交试验设计的基本程序
对于多因素试验，正交试验设计是简单常用的一种试
验设计方法，其设计基本程序如图所示。正交试验设计的
基本程序包括试验方案设计及试验结果分析两部分。
2.1 试验方案设计 （1） 明确试验目的，确定试验指标 试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么 问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确 定出试验指标。试验指标可为定量指标，也可为定性指标。
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例：选择一4个3水平因素试验的正交表
可以选用L9(34)或L27(313)
（A）不考察因素间的交互作用，宜选用L9（34）。 （B）考察交互作用，则应选用L27(313)。 课堂练习： 选择一5个3水平因子及一个2水平因子试验的正交表
L12(2×35)
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（4） 表头设计
表头设计，就是把试验因素和要考察的交互作用分别安 排到正交表的各列中去的过程。 在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上； 若考察交互作用，就应按所选正交表的交互作用列表安排各 因素与交互作用，以防止设计“混杂” 。 例：不考察交互作用，可将因素(A)、(B)和(C)、（D） 依次安排在L9(34)的第1、2、3、4列上，见下表所示。
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试验方案及试验结果表
试验号 A
1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 2 2 2 3
因
素
试验 结果
B
1 2 3 1 2 3 1
C
1 2 3 2 3 1 3
D
1 2 3 3 1 2 2
8 9
3 3
2 3
3
1 2
3 1
作
业
1、正交表有哪些类型？它们的核心性质是什么？ 2、写出正交表的表达式，并简述正交试验设计的基本程序。 3、不考虑交互作用，设计一个4水平的3因素正交试验方案
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1.3.2.2 代表性
一方面： （1）任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所 有因素的所有水平； （2）任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的 试验组合为全面试验。 另一方面： 由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地 分布在全面试验点中，具有很强的代表性。因此，部分试 验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致 的趋势。
正交表的三个基本性质中，正交性是核心， 是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结 果。
3Baidu Nhomakorabea
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1.4
正交表的类别
1、等水平正交表 各列水平数相同的正交表称为等水 平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中的水平为2，
称为2水平正交表； L9(34)、L27(313)等各列水平为3，称为 3水平正交表。
表 头 设 计 列号 因素 1 A 2 B
3
3 C
4 D
（5）编制试验方案，按方案进行试验，记录试验结果。 把正交表中安排各因素的列（不包含欲考察的交互
作用列）中的每个水平数字换成该因素的实际水平值，
便形成了下表中的正交试验方案。 ◇下表说明：试验号并非试验顺序，为了排除误差干 扰，试验中可随机进行； 安排试验方案时，部分因素的水平可采用随机安排。
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1 正交试验设计的概念及原理
1.1 正交试验设计的基本概念 正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素
试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，
挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分 试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组 合。
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