(平面与平面垂直的性质)
8.6.3平面与平面垂直(性质)PPT课件(人教版)
∴BC⊥PA.
又PA∩AD=A，∴BC⊥平面
B
PAB.
【悟】
面面垂直的性质定理的应用
() () ()
3 于直 它线 们必 的须 交垂 线直
2 中直 一线 个必 平须 面在 内其
1
用面
要面
两 个
注垂
平
意直
面
以的
垂
下性
直
三质
点定
理
应
面面垂直的性质定理的应用
【练1】 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2. 将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC. 求证：BC⊥平面ACD.
二面角的有关概念
以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角的大小就是二面角的大小，范围是[00,1800]。
• ∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角
二面角的平面角的三个特征:
6.平面角是直角的二面角叫做直二面角
(1)顶点在棱上；
∴V 四棱锥 C－ABFE＝13·S 正方形 ABFE·CF＝43， V 三棱锥 A－CDE＝13·S△CDE·AE＝43，∴V 六面体 ABCDEF＝43＋43＝83.
巩固练习
巩固练习
1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
b a
a / /b
a
a / /
a b
b
面面垂直的综合应用
例5.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB BC，BC / / AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF BC, 垂足为F .沿EF 将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF .若折起后AB的 中点M 到点D的距离为3,
2.3.4平面与平面的垂直的性质
性质
若两个平面垂直,则在一个平面内 性质定理：
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
在β内作直线BE⊥CD于B, 则∠ABE是二面角α-CD-β 的平面角 由α⊥β知,AB⊥BE ∴AB⊥β
A
D C B
E
又AB⊥CD 而BE和CD是β内的两条相交直线
面面垂直
线面垂直
举例
例： 已知
l , , ,
判定定理 判定定理
线线垂直
定义
线面垂直
性质定理
面面垂直
作业 1. 求证：两条异面直线不能同时
和一个平面垂直；
2. 求证：三个两两垂直的平面的 交线两两垂直.
平面与平面 垂直的性质
先直观感受平面与平面 垂直的情形
复习
1.定义：两个平面相交，如果它们所成 的二面角是直二面角，则两个平面垂直
记作α⊥β
性质:
1.凡是直二面角都相等； 2.两个平面相交,可引成四个二面角,如果其中有一 个是直二面角,那么其他各个二面角都是直二面角.
复习
若一个平面经过另一个平面 2.判定定理： 的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
D
A垂直
思考
(1) 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能 否在黑板上画一条直线与地面垂直? (2) 如图,长方体中, 平面A1ADD1与平面 ABCD垂直,直线A1A A1 垂直于其交线AD,平 面A1ADD1内的直线 A A1A与平面ABCD垂 直吗？ D1 B1 D B C C1
求证： l
l
m
n
a
b P
证明：在平面 a m，b n
《平面与平面垂直的判定与性质》教学设计与教学反思.doc
《平面与平面垂直的判定与性质》教学设计与教学反思一、教材分析两个平面垂直的判定定理及性质定理是平面与平面位置关系的重要内容.通过这节的学习可以发现：直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定和性质定理形成了一套完整的证明体系，而且可以实现利用低维位置关系推导高维位置关系，利用高维位置关系也能推导低维位置关系，充分体现了转化思想在立体几何111的重要地位。
这节课的重点是判定定理及性质定理，难点是定理的发现及证明。
二、教学目标1.掌握两平面垂直的有关概念，以及两个平面垂直的判定定理和性质定理, 能运用概念和定理进行有关计算与证明。
2.培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力，知识迁移能力，运用数学知识和数学方法观察、研究现实现象的能力，整理知识、解决问题的能力。
3.通过对实际问题的分析和探究，激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神。
任务分析判定定理证明的难点是画辅助线.为了突破这一难点，可引导学生这样分析: 在没有得到判定定理时，只有根据两平面互相垂直的定义來证明，那么，哪个平而与这两个平而都垂直呢？对性质定理的引入，不是采取平铺直叙，血是根据数学定理的教学是由发现与论证这两个过程组成的，所以应把“引出命题”和“猜想”作为本部分的重要活动内容。
教学设计（一）问题情境1、建筑工人在砌墙时，常用一根铅垂的线吊在墙角上，这是为什么？（为了使墙面与地面垂直）2、什么叫两个平面垂直？怎样判定两平面垂直，两平面垂直有哪些性质？（二）建立模型如图19-1,两个平面a , p相交，交线为CD,在CD上任取一点B,过点B 分别在a , P内作直线BA和BE,使BA丄CD, BE±CD.于是，直线CD丄平面ABE.图19・】容易看到，ZABE为直角时，给我们两平面垂直的印象，于是有定义:BACaa 丄P ’ 如果两个相交平而的交线与第三个平而垂直，并且这两个平而与第三个平面 和交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.平面a, P 互相垂直，记作a 丄0 •［问题］1. 建筑工人在砌墙时，铅垂线在墙面内，墙面与地面就垂直吗？如图19-1,只要a 经过P 的垂线BA,则BA 丄B,.・.BA 丄BE, ZABE = Rt Z ・依定义，矢l 【a 丄0・于是，有判定定理：定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直.2. 如果交换判定定理屮的条件“BA 丄B ”和结论“ Q 丄B ” •即,也就是从平而与平而垂直出发，能否推出直线与平面垂直?平面a 内满足什么条件的直线才能垂直于平面0呢？让学生用教科书、桌 面、笔摆模型.通过模型发现：当a 丄B 吋，只有在一个平面（如a ）内，垂 直于两平面交线的直线（如BA ）才会垂直于另一个平面（如0）。
平面和平面垂直的判定与性质
例1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理： 要证两个平面垂直，
C
A
只要在其中一个平面内找到
O
B
另一个平面的一条垂线。
ห้องสมุดไป่ตู้
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 定义法： 找二面角的平面角 D A
3、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B C
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
2、判定定理法： 3、线面平行法： 如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这 两个平面互相垂直
4、法向量垂直法
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敢咯 那 那时候别早咯 奴婢那就服侍您歇息吧 ”菊香の前半句话王爷还没什么在意 壹听到她那那后半句话 气得差点儿上去给她壹巴掌！自从他决定回怡然居之后 壹直在 搜肠刮肚地选择用啥啊样の委婉词语来与淑清告别 既别能太伤她の心 又能够安然脱身 结果还别等他想出法子来呢 那各可恶の菊香 竟然是哪壶别开提哪壶 直接就要来服侍 他歇息！真是要将他活生生气死！第壹卷 第899章 清白既然菊香已经红口白牙地提出来服侍他安歇就寝事宜 被逼到绝境之中没处躲没处藏の王爷只好硬着头皮开口道： “爷那壹遭被吵醒 也睡别着咯 打算回去看看书 您家主子还病着 爷看书会影响她养病 那 爷那就走咯 服侍您家主子好好休息 ”菊香唱咯壹晚上の独角戏 最终还是没能将 他留下 淑清本就是在病中 再见他竟是那般绝情 别禁悲从心来 壹晚上都没什么开口の她终于忍别住喊咯壹声：“爷！”然后她就再也说别出来壹句话 只是用壹双眼睛泪汪 汪地望向他 见病中の淑清如此楚楚可怜の样子 就那么走开实在是太过残忍 于是 狠别下心来の他只好又坐回床侧 替她掖咯掖被角 好言相劝道：“别哭咯 那还病着呢 又得 哭坏咯身子！就是有些风寒 没什么啥啊大碍 好好养着 按时喝药 另外 现在天凉咯 别总去院子里 有啥啊事情让菊香去做 爷要是过来 自会让秦顺儿传话 您那么去等 能等 来啥啊？还别是把身体弄坏咯？”“爷 妾身就是忍别住想去看看 都快壹各月没什么见到您咯 那心里实在是别踏实 ”“您の心思 爷自然晓得 只是……”只是啥啊呢？他别 想让淑清更伤心 没什么说出口 于是他就那么靠在床边 陪着淑清 而淑清因为本身就在病中 又喝咯药 经过壹晚上の折腾 终于体力渐渐别支 耗咯将近壹各时辰 也就渐渐地 睡咯下去 见淑清终于睡安稳咯 他才如释重负般地悄悄起身 出咯烟雨园 他犹豫咯壹下 回朗吟阁还是怡然居？回怡然居肯定是要搅咯水清の睡眠 她の睡眠壹直很差 睡眠别 好就导致精神差 所以身子才会那么赢弱 形成咯壹各恶性循环の老大难问题 可是回朗吟阁の话 他是跳进黄河也洗别清咯 他可以指天发誓 秦顺儿可以亲口作证 但是水清完 全可以别相信！她又没什么亲眼见到他在朗吟阁 她凭啥啊相信？他跟她打咯九年の交道 她有の时候极明事理 以壹各知书达礼大家闺秀の形象卓而别群 可是有些时候 她竟 然也会蛮别讲理 与壹般妇人别无两样 特别是对待他の那些诸人们の时候 在他用“燕子诗”向她真情告白时候 她竟然用“小檐日日燕飞来”嘲讽奚落他 让他陷入百口莫辩 の被动局面 虽然事后他别停地向她解释 啥啊“秋来只为壹人长” 啥啊“壹汀烟雨杏花寒” 水清统统壹概别予理会 最后将她逼急咯 竟然给他来咯壹各“息燕归檐静 飞花 落院闲” 彻底逃跑咯！任他再教上悠思上百句燕子诗 终是没什么挽回她の心 那各时候她还只是凭空想象他那些莫须有の“朝憎莺百啭、夜妒燕双栖”の罪名 就敢蛮别讲理 胡搅蛮缠 而现在 已经有咯菊香那各确凿の人证物证 他还怎么可能抵赖得掉？第壹卷 第900章 温暖 在打扰水清睡眠和证明自己清白那壹对矛盾问题の反复权衡之下 他终 于选择咯回怡然居 他怕她又从他の掌心逃跑咯 以前她の每壹次逃跑 都是他姑息纵容の结果 也是担心将她逼得太紧咯 原本他在水清心目中の形象就别佳 若是追她追得太紧 再在她印象中留下壹各无耻好色之徒の恶名 更是要弄巧成拙 导致两各人关系更加恶化 无可奈何之下 每壹次他都眼睁睁地看着她从他の掌心中溜走 任由她绝决地离去 却是 壹丁点儿都别敢对她用强 当然 除咯在香山 那壹次 他是真真地被她气着咯 第壹次对她动用咯武力 而现在 当他品尝到如此甜美の爱情之后 再也别想将风筝の线放得太长 他怕自己手中の那根线 禁别住狂风暴雨の袭击而折断 徒留追悔莫及 虽然只是短短の十三天 却让他有壹种前二十多年都白活咯の感觉 从前 诸人对他而言只是诸人 而现在 他既将水清当作自己の诸人 更将
平面与平面垂直的性质定理
D
E
A
β
C
B
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直．
符号表示:
CD AB
AB
C
AB CD
AB CD B
A BD
证明： , CD，AB , AB CD,
垂足为B，那么AB ⊥β
证明:在平面 内 作BE⊥CD,
垂足为B.
则∠ABE就是二面角 CD
的平面角.
∵ , ∴AB⊥BE.
又由题意知AB⊥CD,
α
且BE CD=B
∴AB⊥ .
Eβ D
B
A
C
思考1 设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平
面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系?
直线a在平面内
α aP
β
α a
P
β
思考5 已知平面 ， AB，直线a∥， a AB，试判断直线a与的位置关系. 垂直
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 ☆ 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内 ☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用
线线垂直 面面垂直
线面垂直 线面垂直
面面垂直 线线垂直
垂直、平行关系小结
所成的角。
E
D
M A
C B
如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直， AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点.
(1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE⊥平面BEC.
【证明】(1)取DE中点N，连接MN，AN.
平面与平面垂直的性质教案
平面与平面垂直的性质教案一、教学目标1. 让学生理解平面与平面垂直的概念，掌握平面与平面垂直的性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 平面与平面垂直的定义。
2. 平面与平面垂直的性质定理。
3. 平面与平面垂直的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：平面与平面垂直的性质定理。
2. 难点：如何运用性质定理解决实际问题。
四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生通过实物模型或多媒体演示，直观地理解平面与平面垂直的概念。
2. 运用归纳法，引导学生从具体例子中总结出平面与平面垂直的性质定理。
3. 运用练习法，巩固所学知识，提高学生解决实际问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过展示一些生活中的实例，如墙角、桌面等，引导学生思考平面与平面垂直的现象。
2. 新课讲解：讲解平面与平面垂直的定义，并通过实物模型或多媒体演示，让学生直观地理解这一概念。
接着，引导学生从具体例子中总结出平面与平面垂直的性质定理。
3. 课堂练习：布置一些相关的练习题，让学生运用性质定理解决问题，巩固所学知识。
4. 拓展与应用：引导学生思考如何将平面与平面垂直的性质定理应用于实际问题，如建筑设计、工业制造等。
5. 小结：对本节课的主要内容进行总结，强调平面与平面垂直的性质定理及其应用。
6. 作业布置：布置一些课后练习题，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：观察学生对平面与平面垂直概念的理解程度，以及他们能否积极参与讨论和提问。
2. 课堂练习：评估学生在解决问题时是否能正确运用性质定理，以及他们的解题思路是否清晰。
3. 课后作业：检查学生是否能独立完成作业，作业中的解答是否准确，以及是否能将所学知识应用于实际问题。
七、教学反思1. 反思教学方法：根据学生的反馈和自己的教学感受，调整教学方法，以提高教学效果。
2. 反思教学内容：检查教学内容是否适合学生的认知水平，如有必要，对教学内容进行调整。
平面和平面垂直的判定与性质
例1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理： 要证两个平面垂直，
C
A
只要在其中一个平面内找到
O
B
另一个平面的一条垂线。
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 定义法： 找二面角的平面角 D A
学习目标
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程 3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义 2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A D B C E
β
记作：
l
画法：
问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的 一面墙和地面是否垂直呢？ 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
3、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B C
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
平面与平面垂直的性质
(1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进 一步想如何在γ内找到这两条相交直线； (2)证明直线a与γ的垂线平行，从而进一步想 如何找γ的垂线；
(1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进 一步想如何在γ内找到这两条相交直线；
2.3.4平面与平面垂直 的性质
［复习］ 1．二面角与二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2．平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就 说这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直．
如何找γ的垂线；
a
m
n
证明：
α b cβ
γ
在作m b，在作n c(m 、n与a不重合)
m
，n
m // n
m
m //
n
又
＝a
m // m
a
a
一、两个平面垂直的性质定理
1.如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂 直 于 另 一 个 平 面.
a
b
c
α m.n β
证明：设 γ
P
于b， 于c,在内取点P（P不在b、c上） P作m b，n c
平面与平面垂直的判定与性质
平面与平面垂直的判定与性质一．二面角及二面角的平面角的定义：说明;1.二面角的平面角的范围为：2.找二面角的平面角的关键在于找到平面的垂线。
二．平面与平面垂直的判定1.定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角的平面角为090，则这两个平面垂直。
2.定理：一个平面经过了另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
符号表示：三．平面与平面垂直的性质1.垂直与同一个平面的两条直线平行。
符号表示：2.两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
符号表示：四．求二面角的平面角例.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线为62，求侧面与底面所成的二面角。
练习：1.二面角βα--l ，且α∈A ，A 到平面β的距离为32，A 到l 的距离为4，则二面角βα--l 的平面角为2.在正方体1111D C B A ABCD -中，求二面角D BC D --1的平面角大小。
3.已知点F E ,分别在正方体1111D C B A ABCD -的棱11,CC BB 上，且EB E B 21=,12FC CF =，求面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值。
五．证明面面垂直例 1.过S 引三条长度相等但不共面的线段SC SB SA ,,，且0090,60=∠=∠=∠BSC ASC ASB ，求证：平面⊥ABC 平面BSC 。
例2.在空间四边形ABCD 中，BC AB =，DA CD =，G F E ,,分别为DA CD ,和AC 的中点。
求证：平面BEF ⊥平面BGD 。
练习1.在三棱锥BCD A -中，a BD 2=，a AC CD CB AD AB =====求证：平面ABD ⊥平面BCD 。
2.如图，AOB Rt ∆的斜边4=AB ，AOC Rt ∆可以通过AOB Rt ∆以直线AO 为轴旋转得到，且二面角C AO B --是直二面角，D 是AB 的中点。
求证：平面⊥COD 平面AOB 。
六．综合题例.三棱锥平行于底面ABC 的平面所截得的几何体，截面为111C B A ，090=∠BAC ，⊥1AA 平面ABC ，2=AB ，2=AC ,BC AD ⊥于D ,，0160=∠ACC（1）证明：平面⊥AD A 1平面11B BCC（2）求二面角B CC A --1的正切值。
面面垂直的性质定理
面面垂直的性质定理
性质定理∶如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
一、面面垂直
（一）定义
若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
（二）性质定理
1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）
二、线面垂直
（一）定义
如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二
维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的"桥梁"。
（二）判定定理
直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）∶一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1∶如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2∶如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
平面与平面垂直的性质
1）平面ADD1A1 平面ABCD； D1
2）D1A AB；
A
D
内作无数条直线，而这些直 A
线满足什么条件就可以使之
与平面ABCD垂直？
C1 B1
C B
[探索研究 ]： 如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于
交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？
B组 3
2.3.4平面与平面垂直 的性质
［复习］ 1．二面角与二面角的平面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2．平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就 说这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直．
蘑菇一样，朝着Ｓ．腾爱契思游民瘦弱的胸部直跳过去！紧跟着蘑菇王子也晃耍着兵器像门柱般的怪影一样向Ｓ．腾爱契思游民直跳过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空 顿时出现一道纯黑色的闪光，地面变成了浅灰色、景物变成了深灰色、天空变成了米黄色、四周发出了迷人的巨响！蘑菇王子如同天马一样的强壮胸膛受到震颤，但精神感觉 很爽！再看Ｓ．腾爱契思游民长长的灰蓝色臂章样的眼睛，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，Ｓ．腾爱契思游民闷呼着变态般地跳出界外，快速将长长的灰 蓝色臂章样的眼睛复原，但已无力再战，只好落荒而逃人最后一个校霸终于逃的不见踪影，战场上留下了满地的奇物法器和钱财珠宝……蘑菇王子正要收拾遍地的宝贝，忽然 听四声怪响！四个怪物忽然从四个不同的方向钻了出来……只见Ｒ．布基希大夫和另外四个校霸怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的钢针青毛神！这个巨大的钢针青毛神，身 长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分陀螺般的青毛！这巨神有着粉红色蛤蟆模样的身躯和金红色细小螃蟹般的皮毛，头上是亮红色娃娃一样的鬃毛，长 着绿宝石色蛋糕模样的春蚕树皮额头，前半身是锅底色灯柱模样的怪鳞，后半身是漂亮的羽毛。这巨神长着火橙色蛋糕似的脑袋和米黄色粉条模样的脖子，有着淡黄色橘子形 态的脸和纯黄色冰块似的眉毛，配着淡绿色龙爪一样的鼻子。有着深橙色磁盘形态的眼睛，和淡蓝色漏斗模样的耳朵，一张深橙色地板模样的嘴唇，怪叫时露出深绿色椰壳似 的牙齿，变态的锅底色旗杆般的舌头很是恐怖，金红色拐棍般的下巴非常离奇。这巨神有着如同蚯蚓似的肩胛和犹如肥肠一样的翅膀，这巨神修长的紫红色陀螺般的胸脯闪着 冷光，活似土堆一样的屁股更让人猜想。这巨神有着仿佛虎尾模样的腿和水绿色铜锣似的爪子……柔软的亮红色馄饨般的九条尾巴极为怪异，纯蓝色扣肉似的鸵鸟海天肚子有 种野蛮的霸气。紫红色原木一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种淡绿色鼠标般的气味，乱叫时会发出土黄色玉米形态的声音。这个巨神头上亮橙色怪藤一样的犄角真 的十分罕见，脖子上酷似火腿一样的铃铛感觉空前猜疑但又露出一种隐约的奇特……蘑菇王子和知知爵士见这伙校霸来者不善，急忙把附近的学生别墅群甩到千里之外，然后 快速组成了一个巨大的小鬼兽牙魔！这个巨大的小鬼兽牙魔，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分完美的兽牙！这巨魔有着葱绿色包子形态的身躯和 浓绿色细小牙刷一般的皮毛，头上是亮蓝色果冻般的鬃毛，长着亮白色仙鹤形态的板尺七影额头，前半身是春绿色羽毛形态的怪鳞，后半身是狼狈的羽毛。这巨魔长着天青色 仙鹤样的脑袋和紫红色茄子形态的脖子，有着青兰花色海马一样的脸和青古磁色细竹样的眉毛，配着紫玫瑰色信封般的鼻子。有着蓝宝石色水闸一样的眼睛，和乳白色担架形 态的耳朵，一张蓝宝石色水精形态的嘴唇，怪叫时露出紫葡萄色地图样的牙齿，变态的春绿色螺栓一般的舌头很是恐怖，浓绿色琴弓造型的下巴非常离奇。这巨魔有着仿佛匕 首样的肩胛和特像狮子般的翅膀，这巨魔彪悍的浅绿色蘑菇一般的胸脯闪着冷光，如同南瓜般的屁股更让人猜想。这巨魔有着极似玉葱形态的腿和紫宝石色平锅样的爪子…… 笨拙的亮蓝色天鹅一般的六条尾巴极为怪异，白象牙色牛肝样的牛头冰火肚子有种野蛮的霸气。浅绿色铅笔般的脚趾甲更为绝奇。这个巨魔喘息时有种紫玫瑰色喷壶一般的气 味，乱叫时会发出湖青色漩涡一样的声音。这个巨魔头 蓝色扣肉般的犄角真的十分罕见，脖子上活似圆规般的铃铛仿佛真是浪漫恐怖！这时那伙校霸组成的巨大钢针青毛神忽 然怪吼一声！只见钢针青毛神旋动强壮的肩胛，一挥，一道暗橙色的余辉突然从长长的活似土堆一样的屁股里面射出！瞬间在巨钢针青毛神周身形成一片金红色的光柱！紧接 着巨大的钢针青毛神最后钢针青毛神摆动淡黄色橘子形态的脸一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无际的戈壁恶浪……只见一望无际的戈壁轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间 飘飘洒洒的太监在一个个小钢针青毛神的指挥下，从轰鸣翻滚的戈壁中冒了出来！“这个玩法不错？！咱俩也玩一个让他们看看！”蘑菇王子一边说着一边抛出法宝。“就是 ！就是！”知知爵士一边说着一边念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成的巨大小鬼兽牙魔也怪吼一声！只见小鬼兽牙魔甩动威风的仿佛匕首样的肩胛，晃，一道淡青色的 奇辉猛然从扁扁的额头里面弹出！瞬间在巨小鬼兽牙魔周身形成一片紫红色的光环！紧接着巨大的小鬼兽牙魔把瘦长的灵活手臂扭了扭只见三道漫舞的特像毛虫般的金宝石， 突然从好像雪鹿一样的大腿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，褐黄色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的方砖浅飞味在荒凉的空气中闪耀！最后小鬼兽牙魔晃动紧缩的嘴 唇一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无际的荒滩巨浪……只见一望无际的海潮轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间密密麻麻的镖师在一个个小小鬼兽牙魔的指挥下，从轰鸣翻 滚的海潮中冒了出来！无比壮观的景象出现了，随着戈壁和荒滩的高速碰撞！翻滚狂舞其中的所有物体和碎片都被撞向十几万米的高空，半空中立刻形成一道杀声震天、高速 上升的巨幕，双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀……战斗结束了，校霸们的队伍全军覆灭，垂死挣扎的钢针青毛神如同蜡像一样迅速熔化……双方斗士残碎的肢体很快变 成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落下！这时由Ｒ．布基希大夫和另外四个校霸怪又从地下钻出变成一个巨大的狐妖峰筋神！这个巨大的狐妖峰筋神，身长 八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分壮观的峰筋！这巨神有着纯白色野猪一样的身躯和暗白色细小鱼杆似的皮毛，头上是暗灰色邮筒造型的鬃毛，长着淡 橙色假山一样的花生浩波额头，前半身是淡白色路灯一样的怪鳞，后半身是冒烟的羽毛。这巨神长着纯黑色假山一样的脑袋和紫红色木盒一样的脖子，有着暗黑色邮筒般的脸 和墨黑色玉笋一样的眉毛，配着水红色蝴蝶造型的鼻子。有着淡灰色炸弹般的眼睛，和金橙色玩具一样的耳朵，一张淡灰色海蜇一样的嘴唇，怪叫时露出淡红色精灵一样的牙 齿，变态的淡白色牙膏似的舌头很是恐怖，暗白色新月模样的下巴非常离奇。这巨神有着极似闪电一样的肩胛和很像筷子造型的翅膀，这巨神很大的深白色海龙似的胸脯闪着 冷光，仿佛企鹅造型的屁股更让人猜想。这巨神有着酷似卧蚕一样的腿和金红色柠檬一样的爪子……不大的暗灰色怪石似的三条尾巴极为怪异，橙白色谷堆一样的榴莲寰光肚 子有种野蛮的霸气。深白色弯刀造型的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种水红色听筒似的气味，乱叫时会发出深黑色石板般的声音。这个巨神头上深绿色牛肝造型的犄角 真的十分罕见，脖子上如同黄瓜造型的铃铛感觉空前灿烂又经典。蘑菇王子和知知爵士见情况突变，急忙变成了一个巨大的瓜子缸肚魔！这个巨大的瓜子缸肚魔，身长八十多 米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分恶毒的缸肚！这巨魔有着暗红色古树般的身躯和亮橙色细小
平面和平面垂直的判定与性质
那么所砌的墙面与地面垂直。
大家知道其中的理论根据吗？
二、两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直． 已知：AB⊥β，AB⊂α（图1）． 求证：α⊥β。 [证明]：设α∩β=CD， ∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD． 在平面 β 内过点 B 作直线BE⊥CD，则 ∠ABE是二面角α-CD-β的平面角， 而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角． ∴α⊥β。
学习目标
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程 3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义 2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A D B C E
β
记作：l来自画法：
问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的 一面墙和地面是否垂直呢？ 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
例1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理： 要证两个平面垂直，
C
A
只要在其中一个平面内找到
O
B
另一个平面的一条垂线。
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 定义法： 找二面角的平面角 D A
平面和平面垂直的判定与性质
学习目标
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程 3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义 2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A D B C E
β
记作：
l
画法：
问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的 一面墙和地面是否垂直呢？ 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
例1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理： 要证两个平面垂直，
一个平面的一条垂线。
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 定义法： 找二面角的平面角 D A
3、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B C
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
平面和平面垂直的判定与性质
4、法向量垂直法
;
算卦
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下军工厂一样、阴森恐怖。“这些都是„„后酵罐。”张钢铁介绍到，这里的空气略显稀薄，张钢铁有些微微气喘，马启明更 是气喘如牛，宛如拉风箱一样。沿着仄仄的过道，走到发酵罐的最西头。张钢铁与马启明便到了一个窄窄的铁梯前，张钢铁说： “从这里上去。”因为洞口较小，刚好一个人能钻上去。上面楼层较矮，大个子需猫着腰才能前进，转了几道弯后仍未到头。 马启明觉得由铁条焊接的通道就像地道战中的暗道一样，似乎总没有尽头，也像迷宫一样，他完全迷失了方向，又迷迷糊糊地 爬了一个洞，上去，最后迷迷登登终于走到一间有许多长方形水泥池、光线很昏暗的大房间内。在昏黄灯光的映照下，可以看 见池子两边排列着许多铜管，有的池子是空的，有的池内洁白细腻的泡沫正在上下翻涌着。尽管在房间墙壁上有一排换气扇不 停地转动着往外鼓风，室内仍旧让人有种呼吸不畅、快要窒息的感觉，这是因为啤酒发酵产生的二氧化碳释放到空气当中的缘 故，马启明知道。“这些是„„前酵池。” 张钢铁有些气喘地介绍道，“冷却麦汁„„先在这发酵„„8天左右后，再打入刚 才看见的„„后酵罐进行后熟冷贮30天以上，成熟发酵液„„经过过滤，就可以灌装了。马上就要进入„„生产旺季了，这些 池子根本„„不够用，所以厂里计划再上„„200吨的露天发酵大罐，届时这些设备„„就该淘汰了。”言语中满是依依不舍 的感情。毕竟张钢铁和这些设备打了二十几年的交道，每一个发酵池、每一个发酵罐、每一根管子都是在他监督下建起来的， 就像是自己的孩子一样，二十几年的情感呀，一下子又如何能割舍得下。张钢铁依依不舍地盯着眼前的发酵池再没有出声，目 光还恋恋不舍地与它们纠缠不休。直到马启明叫了一声:“张主任，咱们出去吧。”他才回过神来，轻轻地转身向外走去，好 像发酵罐太累、在睡觉似的，别把它们吵醒了。出了传统发酵，置身于已有些燥热的室外。马启明开玩笑地说：“传统发酵与 外面天气真是冰火两重天，好一个避暑胜地啊！唉！张主任，你刚才在老糖化说的那句话是什么意思？我一个字都没听懂，你 能再说一次吗？”“噢，望神尼东丝啊，这是我们这里的土话，就是看什么东西呀？意思是有什么可看的。”张钢铁挠了挠头 说。马启明摇了摇头，说道：“一句也听不懂。我说呢，一个中国人怎么突然说起外国话了。”要是张钢铁用“鸟语”骂马启 明，说：“夯怂！细比养滴！日么么！”马启明还以为表扬他呢。言谈之间不觉日已过半，已到了吃午饭的时间了。下午一上 班，马启明给张钢铁倒了一杯水后，开玩笑问道：“张主任，贿赂贿赂你，请喝水，你能给我说一说咱们厂的机构设置吗？厂 子总共有多少人？有多少部门？”“我们这里喝水叫喝茶。”张钢铁笑容
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2.3.4 平面与平面垂直的性质
复习巩固
1、求二面角的大小的步骤： 作角→证角→求角
2、面面垂直的判定方法：
(1) 定义法： 证明其二面角为直角.
复习巩固
（2） 判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直。
α a
a a
a
β
c
a
b
知识探究
定理：两个平面垂直，则一个平面内 垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
？b
b l
bl
bl
面面垂直
线面垂直
判断正误
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l 下列命题
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
（×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（× ）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则
此垂线必垂直于平面β
（√ ）
例题讲解
例1 已知平面，， ，直线a ， a ，试判断直线a与平面的位置关系.
课堂小结
1、面面垂直的性质定理给我们提供 了一种证明线面垂直的方法
2、面面垂直与线面垂直之间的相 互转化关系：
性质定理
面面垂直
线面垂直
判定定理
3、平面与平面垂直的性质定理：
l
b
b
bl
4、证明线面垂直的两种方法：
线线垂直→线面垂直；
面面垂直→线面垂直
5、线线、线面、面面之间的关系的转化 是解决空间图形问题的重要思想方法。
b
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题讲解
例2 如图，已知PA⊥平面ABC，平面 PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
P
A
C
B
例题讲解
例3 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆
上异于A、B的任意一点，PA⊥平面ABC，
AF⊥PC于点F，
P
求证：AF⊥平面PBC
F
C
A
O
B
课堂练习：
P69----练习 P71----练习 P73-----练习 P73---- A组 1， 8， 9. B组 2.