机械制图02第一章

影相交，且投影交点符 合点的投影规律
则 两直线在空间必为
O 相交两直线
k
b
d
61
第三节 平面的投影
62
一、平面的表示法 1. 几何元素表示法
a b c
a
c
b
a b c
a
c
b
d a c
b
bc a
d
a b c
ab c
a b c
a
c
b
不在同一直线 上的三个点
直线及线 外一点
两平行直线 两相交直线 平面图形
V a'
X
Z
b' B
A
O
a
b
H
b'' a''
W
Y
b' a' α γ
a
b
1、a’b’=AB
2、反映α 、γ实角
3、ab//OX轴 a’’b’’//OZ轴
Z
b''
a''
O
YW
YH
44
（3） 侧平线
Z
a'
V a' b’
X
A
O B
a''
W b''
b' X
a
a
Hb
Y
b
1、a’’b’’=AB 2、反映α 、 β实角 3、a’b’//OZ轴
O
YH
b’’ YW
30
4.特殊位置的点
V
a’(A)
b’ a X
b(B)
Z
a’’ c’
CW c’’(C)
O c b’’
H Y
a’(A) X b’ a
b(B)
Z a’’
O
YH
b’’ YW
31
4.特殊位置的点
V
a’(A)
b’ a X
b(B)
Z
a’’ c’
W c’’(C) O c b’’
H Y
a’(A) X b’ a
轴的距离和侧面投影到Z
轴的距离相等，且都反映
该点到V面的距离。
21
例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
22
例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
23
3. 点的投影与坐标
Z
V a' aZ
a’
Z az
a’’
、
X
z aX
a
c
90°
b
P
（1）斜投影法
7
2. 平行投影法
投 射 线 方 向
90°
a
b
c
优点：反应物体真实形状和大
P
小、度量性好、作图简便。
（2）正投影法
8
第二节 点的投影
9
A
a P
在一定的投影条件下，空间一点有其惟一确定的投影。
10
B A
b(a) P
点的一个投影不能确定点的空间位置
11
一、两投影面体系中点的投影
O
YW
YH
49
（3）侧垂线
Z
V
a'
b'
a'
A B a''(b'')
X
X
O
a H
b
W a
Y
Z
b'
a''(b'')
O YW
b
YH
50
投影面垂直线投影性质： 1.投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影 积聚为一个点；（积聚性） 2.线段的另两个投影垂直于相应的投影轴，且 等于实长。
51
三、属于直线的点
ab//OYH轴
Z O
a''
β
α b'' YW
YH
45
投影面平行线投影性质：
1.投影面平行线在其所平行的投影面上的投影 反映线段的实长； 2.与投影轴的夹角反映直线对另两个投影面的 倾角； 3.线段的另两个投影平行于投影轴，且小于实 长。
46
3. 投影面的垂直线 定义：垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直线。
第一章 点、直线、平面的投影
1
本章内容：
第一节 投影法的基本知识 第二节 点的投影 第三节 直线的投影 第四节 平面的投影 第五节 直线与平面的相对位置和两平面的相对位置 第六节 换面法
2
第一节 投影法的基本知识
3
一、投影的方法
在光线的照射下，物体在给定的平面上产生影 象，这就是投影法的原型。
类似性
类似性
b'
b’’ c''
X
c' O
YW
b
积聚性
β
a
γ
c YH
β γ
PH
迹线表示
（1）水平投影具有积聚性。
（2）水平投影与OX轴的夹角，反映
β 角；与OYH轴的交角，反映该 γ
角。
（3）正面投影及侧面投影为该平面
的类似形。
68
正垂面：
V QV c'
a' b'
A
X
B
H
Z
CW Q
γ α
迹线表示
c'
b(B)
Z
a’’ c’ O
c’’(C) b’’ YW
c
YH
32
三、两点的相对位置、重影点
V
b'
a' A
X a H
Z
a'
B
ຫໍສະໝຸດ Baidu
WX
b'' a''
a
O
b Y
{
Z
{ b' △z
△x
O
b''
a''
YW
△y{
b YH
△x |xA xB |
△y |yA yB|
△z |zA zB|
33
重影点
V b’(a’)
d’
A B c’
y
A x a
y a''
O WX
aY
za ax Ya
O
aYW YW
H
Y
a
xaaYH YH
x A O X A a a a Y a H a a Z （点A到W之距离） y A O Y H O a Y W A a a a X a a a Z （点A到V之距离）
zA O Z a A a a X a a YW （点A到H之距离） 24
a'
X
c a
b C0
O B0
V
a' X
b'
c'
B
C
O
A
b
ac
H
53
例7：已知直线AB和点K的投影，判断点K是否属于线 段AB
解法： a' k'
Z a'' k''
b' X
O
a
k b
H
b'' YW
结论：K AB
54
四、 两直线的相对位置 平行二直线 相交二直线 交叉二直线（异面）
55
1. 平行二直线
C
b
a
c''
Hc
Y
b' X
b
Z a' a''
c' O
a
c''
b''
YW
c
YH
不反映实形，面积缩小，是空间图形的类似形
66
2. 投影面垂直面
垂直于一个投影面，与另外两个投影面都倾斜的平面。
投影面垂直面分类： • 铅垂面 • 正垂面 • 侧垂面
67
铅垂面：
V X
P A
B
ba H
Z
W C c
Y
a'
Z a''
H
同面投影——不同的几何元素在同一投影面上的投影39
一、直线对投影面的各种相对位置
1. 一般位置直线——倾斜于三个投影面的直线 2. 投影面平行线——仅平行于一个投影面的直线 3. 投影面垂直线——垂直于一个投影面的直线
后两类统称为特殊位置直线
直线与H、V和W三个投影面的夹角
称为直线对投影面的倾角
当两直线同时平行于某一投影面时，要判 断它们是否平行，一般则查看该两直线在它们所 平行的那个投影面上的投影是否平行。
59
2. 相交两直线
相交两直线的同面投
V
d'
b'
影必相交，且其交点
符合点的投影特性
k'
a' X
c'
C
A c
a
B
K
D
O
b
k
d
H
60
a' X
a
d' k' c'
c
b' 若 两直线的各同面投
63
2. 迹线表示法
迹线：平面与投影面的交线
Z
V
PZ
PV
PV
X PX
P
W
O PW
H PH
PY
Y
X PX
PH
ZPZ
PW
YW
PYW
YH PYH
PH ：平面P与H面的交线 水平迹线
PV ：平面P与V面的交线 正面迹线
PW ：平面P与W面的交线 侧面迹线
PX ,Py, Pz: 迹线集合点
64
二、平面对投影面的各种相对位置
分别用 、 、表示
40
1.一般位置直线的投影
Z
V b'
Z
b'
b''
B b''
a'
a' X
βγ
A αO
b
W
X
a''
a
Ha
Y
O b
YH
a'' YW
（1）线段在各投影面上的投影长度小于线段的实长。
a bAcBosabAcBosabAcBos
（2）直线的各投影均倾斜于投影轴
41
2. 投影面的平行线
定义：仅平行于一个投影面的直线，称为投影 面平行线。
V a’
Z
az
a’’
X
ax
O
H
a
YH
W YW
19
2. 点在三投影面体系中的投影
Z
a’
az
、
X
ax
O
aaOX a
aaOZ
axaaazAa
aYH YH
a’’ YW
aYW
20
a’ X ax
Z az O
a
aYH
YH
1）点的水平投影与
a’’
正面投影的连线垂直于X
轴；侧面投影与正面投影
aYW
YW
的连线垂直于Z轴。 2）点的水平投影到X
积聚性
X
a' b'
α
γ
O a''
类似性 a
b c YH
c''
类似性
b'Y' W
（1）正面投影具有积聚性。
D
C
X
O a
H
b
d (c)
34
重影点
V b’(a’)
d’
A B c’
D
C
b(a’) X
X
H
O
a b
d (c)
a
b
d’ c’
O
d(c)
35
重影点
V b’ X
Z
a’
BA
b’’
( a’’ )
O
W
b
a
H
Y
36
上遮下、前遮后、左遮右
37
第三节 直线的投影
38
直线的投影特性
B
C
A D
a
b
c (d)
直线的投影一般 仍为直线；当直线 垂直于投影面时， 其投影积聚为一点， 称其在该投影面上 具有积聚性。
例8：已知线段DE、FG的两个投影d’e’//f’g’， de//fg，判断空间两线段是否平行。
Z
d'
d''
f'
f''
e'
e''
g'
X O
d g
g'' YW
f
e YH
结论：空间两 直线不平行。
58
判断两直线是否平行： 对于一般位置直线，若两直线的两个同面
投影互相平行，即可判定该两直线在空间必定 相互平行。
例2：已知点A的坐标为(20, 15, 10),求作其三面投影
Z
a’ X aX
az
a’’
10
O
YW
20 15
a
aYH
YH
25
例2：已知点A的坐标为(20, 15, 10),求作其三面投影
Z
a’
a’’
X
O
YW
a YH
26
4.特殊位置的点
V A a’(A)
a X
Z a’’
O H
W Y
27
4.特殊位置的点
分类：
垂直于H面的直线称为铅垂线 垂直于V面的直线称为正垂线 垂直于W面的直线称为侧垂线
47
（1）铅垂线
Z
V b'
b'
B
b''
X
a'
AO
W
a'
a'' X
b (a)
H
Y
b(a)
Z b'' a'' YW
O
YH
48
（2）正垂线
Z
V
b'(a') A
a''
B
X
O b''W
a
Hb
Y
b'(a')
X a b
Z a'' b''
光源 物体 投影面
投射线 投影
投射线通过 物体，向选定的 面投射，并在该 面上得到图形的 方法，称为投影 法。根据投影法 所得到的图形称 为投影。
4
一、投影的方法
投射线
b a 投影
P
5
二、投影的分类： 1.中心投影法
S 投射中心 投射线
形体
a b
物体的中 心投影
aP
6
2. 平行投影法
投 射 线 方 向
A
C
空间两直线
平行
D
B
c d
a
b
则其在投影 面上的投影
平行
H
56
V
d'
b'
b'
a' A X
a
c'
B
C
c b
D O
dH
a' X
a
b
d'
c' O
c
d
➢如图 若AB//CD ，则 ab//cd a’b’//c’d’；对于一 般位置直线来说，反之若 ab//cd a’b’//c’d’ ，则 AB//CD
➢若AB//CD 则AB:CD=ab:cd=a’b’:c’d’=a’’b’’:c’’d’’ 57
平行于H面的直线称为水平线 平行于V面的直线称为正平线 平行于W面的直线称为侧平线
42
（1） 水平线
V
a'
b'
A X
a H
a''
B
b''
O
W b
Y
a' b'
X a βγ b
1、ab=AB
2、反映β 、γ实角
3、a’b’//OX轴 a’’b’’//OYW轴
Z a'' b''
O YW
YH
43
（2） 正平线
1. 两投影面体系的建立
V
Ⅱ
水平投影面 —— H 正立投影面 —— V
Ⅰ
ⅢX
O
投 影 轴 —— OX 四
Ⅳ
H
个象限角 ——ⅠⅡⅢⅣ
12
2. 点在两投影面第一角中的投影
V
a’
A
X
ax
O
a
H
A——空间点
a——水平（H面）投影
a’——正面（V面）投影
ax——投影集合点
13
2. 点在两投影面第一角中的投影
V
b'
c'
B
a'
X
C
O
A
b
ac
AC:CB= a’c’:c’b’=ac:cb
定比性
c' a' X
c a H
b'
O b
从属性
若C∈ AB 则c ∈ab, c’ ∈a ’ b ’
52
例6： 已知线段AB的投影，试在线段上确定一点C，使 AC:CB=2:3。
b' c'
分析：欲将空间线段分成定比，根 据上述投影特性，只需将线段的各 投影分成该比即可。
V a’
X
ax
O
H
a
14
2. 点在两投影面第一角中的投影
V a’
V a’
A
X
ax
O
X
ax
O
a
H
H
a
15
2. 点在两投影面第一角中的投影
V
a’
a’
A
X
ax
O
X
ax
O
a
H
a a OX
a
aa x A a a a x Aa
1）点的水平投影和正面投影连线垂直于投影轴。
2）点的水平投影到X轴距离反映该点到V面距离， 点的正面投影到X轴距离反映该点到H面距离。
1. 一般位置平面——倾斜于三个投影面的平面 2.投影面垂直面——仅垂直于一个投影面的平面 3.投影面平行面——平行于一个投影面的平面
后两类统称为特殊位置平面
平面与H、V和W三个投影面的夹角称为平面
对投影面的倾角
分别用 、 、表示
65
1. 一般位置平面
V
b' X
a' Z
A a''
c'
W
B
O b''
16
二、三投影面体系第一角中点的投影
1. 三投影面体系的建立
Z V
X
侧立投影面 —— W 投影轴 —— OY、OZ 八个象限角
W O
H Y
三投影面体系第一角
17
2. 点在三投影面体系中的投影
Z
V
a’
az
A
X
ax
O
a
H
a’’ W ay
Y
a” ——侧面（W面）投影
ay、az——投影集合点
18
2. 点在三投影面体系中的投影
Z
Z
V
a’(A)
a’’
a’(A)
a’’
a X
W
O
X
a
O
YW
H Y
YH
28
4.特殊位置的点
Z
V
a’(A)
a’’
Z
a’(A)
a’’
b’ a X
W
O
X
a
O
YW
B
b’’
b(B)
H
Y
YH
29
4.特殊位置的点
Z
V
a’(A)
a’’
b’ a X
b(B)
O H
W b’’
Y
a’(A) X b’ a
b(B)
Z a’’