直线的法向量与点法式方程学案
教学设计4：3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程教学目标 1.知识与技能(1)会求空间直线的方向向量和向量参数方程；(2)会用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行； (3)会用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角． 2．过程与方法理解、体会用向量方法解决立体几何中的平行问题及两条直线所成角的问题的思想及过程． 3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．教学重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系及用向量运算求两条直线所成的角． 教学难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．知识点1用向量表示直线或点在直线上的位置 问题导思1．如图，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD →有怎样的关系？【答案】 AB →∥CD →.2．给定一个定点A 和向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →＝t a ，当t 取遍全体实数时，P 点的轨迹是什么？ 【答案】 一条直线． 1．直线的方向向量与直线平行或共线的非零向量，叫做此直线的方向向量． 2．空间直线的向量参数方程点A 为直线l 的定点，a 为直线l 的一个方向向量，点P 为直线l 上任一点，t 为一个任意实数．3．线段中点的向量表示式设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．知识点2：用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔ v 1∥v 2 .2．①已知两个不共线向量v 1、v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x 、y ，使v ＝x v 1＋y v 2.②如果A 、B 、C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充要 条件是存在一对实数x 、y ，使向量表达式AM →＝xAB →＋yAC →成立．3．已知不共线的向量v 1和v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔v 1∥β且v 2∥β .知识点3：用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 .设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则有l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2 ，cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉| . 例题解析例1 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝－2. 求点P 和点Q 的坐标.解 （1）由已知，得PB →＝2AP →， 即OB →－OP →＝2(OP →－OA →)， OP →＝23OA →＋13OB →.设点P 坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示，得 (x ，y ，z )＝23(2,4,0)＋13(1,3,3)，（2） 因为AQ ∶QB ＝－2，所以AQ →＝－2QB →，OQ →－OA →＝－2(OB →－OQ →)， OQ →＝－OA →＋2OB →，设点Q 的坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示， 得(x ，y ，z )＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)， 即x ＝0，y ＝2，z ＝6. 因此，Q 点的坐标是(0,2,6).例2 如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点.求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12AD ′.证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ， 则AM →＝12(a ＋c )，AN →＝c ＋12(a ＋b )，因此MN →＝AN →－AM →＝12(b ＋c ).因为M 不在平面AD ′内，所以MN ∥平面AD ′. 又因为b ＋c ＝AD ′→，所以MN →＝12AD ′→，因此MN ∥AD ′，MN ＝12AD ′.例3 已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点M 、N 分别是棱BB ′与对角线CA ′的中点. 求证：MN ⊥BB ′；MN ⊥A ′C .证明 不妨设已知正方体的棱长为1，如图， 以A 为坐标原点O 建立空间直角坐标系.由已知， 得M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，B (1,0,0)，C (1,1,0)， A ′(0,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫12，12，12，B ′(1,0,1)，MN →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0，A ′C →＝(1,1，－1)，BB ′→＝(0,0,1)， ∵MN →·A ′C →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0·(1,1，－1)＝0， MN →·BB ′→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0·(0,0,1)＝0. ∴MN ⊥A ′C ；MN ⊥BB ′.例4 已知三棱锥O —ABC (如图)，OA ＝4，OB ＝5，OC ＝3，∠AOB ＝∠BOC ＝60°， ∠COA ＝90°，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点. 求直线MN 与AC 所成角（精确到0.1°）.解 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，直线MN 与AC 所成的角为θ，则 MN →＝ON →－OM →＝12(b ＋c )－12a ＝12(b ＋c －a )，AC →＝c －a .∴|MN →|2＝14(b ＋c －a )2＝14(|a |2＋|b |2＋|c |2＋2b·c －2a·b －2a·c ) ＝14(42＋52＋32＋15－20－0)＝454， |AC →|2＝(c －a )2＝|a |2＋|c |2－2a·c ＝42＋32－02＝25， MN →·AC →＝12(b ＋c －a )·(c －a )＝12(b·c ＋|c |2－a·b －2a·c ＋|a |2) ＝12⎝⎛⎭⎫152＋9－10－0＋16＝454. cos θ＝|cos 〈MN →，AC →〉| ＝|MN →·AC →|MN →||AC →||＝454454×5＝3510. ∴直线MN 与AC 所成角的余弦值为3510.课堂练习1.已知O 为坐标原点，四面体OABC 中，A (0,3,5)、B (1,2,0)、C (0,5,0)，直线AD ∥BC ，并且AD 交坐标平面xOz 于点D ，求点D 的坐标． 解 ∵O 为坐标原点，∴O (0,0,0)． ∵AD 交xOz 于D ，∴D (x,0，z )． ∵AD ∥BC ，∴AD →＝λBC →， 即：(x ，－3，z －5)＝λ(－1,3,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－3＝3λz －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1z ＝5.∴D 点坐标为(1,0,5)．2.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：P A ∥平面EDB .证明 建立如图所示的空间直角坐标系． 连接AC 交BD 于G ，连接EG .设DC ＝a ， 依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a2)．∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(a 2，a2，0)．∴P A →＝(a,0，－a )，E G →＝(a 2，0，－a 2)．∴P A →＝2EG →，∵A ∉EG ，∴P A ∥EG . 又∵EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .3.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点， 且AA 1＝2，AB ＝AD ＝1. (1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)求直线A 1C 1与DF 所成角的余弦值．解 建立如图所示空间直角坐标系．∴A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，C (0,1,0)，A 1(1,0,2)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，2， E ⎝⎛⎭⎫12，1，2，C 1(0,1,2)． (1)EF →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0，A 1C →＝(－1,1，－2)， ∴EF →·A 1C →＝0. ∴EF ⊥A 1C .(2)A 1C 1→＝(－1,1,0)，DF →＝⎝⎛⎭⎫0，12，2， ∴cos 〈A 1C 1→，DF →〉＝122×4＋14＝3434， ∴异面直线A 1C 1与DF 所成角的余弦值为3434. 课堂小结1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)； (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．3．证明两直线垂直，要根据具体的立体几何环境，合理选择已知向量来表示待求的向量，然后证明其数量积为零．。
直线的法向量与点法式方程
不唯一，互相平行（共线）
直线的法向量： 与直线垂直的非零向量，用n 表示
不唯一，互相平行（共线）
y n (A, B)
l P(x, y)
n p0 p 0
P0 (x0 , y0 )
v (B, A)
O
x
A(x x0 ) B( y y0 ) 0 点法式方程
v (B, A) 则 v n (B, A) (A, B) B A (A) B 0
整理，得所求直线方程为
2x 3y 1 0
典 题
3、已知直线 l的法向量为 n (2，, 且3) 与
两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直
线 的方l程。
解：设直线 l与 x轴相交于 (a，, 0)
由点法式方程，得
2(x a) (3)( y 0) 0
即 2x 3y 2a 0
所以 v n
n (A, B)是直线 l 的一个法向量，则向量
v (B, A) 就是直线的一个方向向量。
A( x
x0 )
B( y
y0 )
0
1、求过点 P(1,，2)且一个法向量为
n (3的, 4直) 线方程。
解：由直线的点法式方程，得
典
3(x 1) 4( y 2) 0
令 x ，0得 y 2a 3
由三角形面积公式，得
S 1 | a || 2a | 3
2
பைடு நூலகம்
3
解得a 3
所以直线 l的方程为
2x 3y 6 0或2x 3y 6 0
点向式方程：
v2 (x x0 ) v1( y y0 ) 0
9.1.3直线的法向量和点法式方程
n A, B p(x,y)
V=（B,-A)
P0(x0 , y0)
o
x
公 式 推 导
设p(x,y)是直线上的一点， l 则p在直线L上的充分必要条件 y 是n.p0p=0. 用坐标表示，上述充分必要条 n A, B 件可写为 p(x,y) A(x-x0)+B(y-y0)=0 （1） 方程（1）是由直线上的一点 V=（B,-A) 和直线的一个 法项量确定的，因此这个方程 o x 叫做直线的 P0(x0 , y0) 点法式方程
所以
v n.
这就是说 如果 n =(A,B)是直线L的一个法向
量，则向量 v =（B,-A)就是直线L的一个方 向向量。
A(x-x0)+B(y-y0)=0
学 以 的直线方程。 致 用
得
（x 0 , y 0）
（A,B）
例9：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
解：代入直线的点法式方程,
9.1.3直线的法向量和点法式方 程
知 识 回 顾
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条 直线的方向向量 通常用v表示
y x
o
概 念 形 成
ห้องสมุดไป่ตู้
垂直 的非零向量叫做这 与一条直线 平行 法 条直线的方向向量 通常用 n 表示
思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
2、这些法向量的位置关系是怎样的？ 的位置关系是怎样的？
敬请指导
•
3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n
画出符合要求的直线 1、经过点P0
y
P0
o
图1
x
画出符合要求的直线 2、垂直于非零向量 n y
直线的法向量和点法式方程00876
P0(x0 , y0)
点法式方程
反 1、理解一个概念—— 直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
结 3、利用直线的点法式方程可以解决
已知直线上一点和直线的法向量求直线方程
布
置
作
P86 练习第4题
业
什么叫方向向量 ？
知
与一条直线平行的非零向量叫做这条
识 直线的方向向量 通常用v表示
回
y
顾
o
x
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
问 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
题 直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l
的一个方向向量v如何表示？
探 究
设v =(v1,v2) ∵v⊥n ∴v1A+v2B=0 即v1A=-v2B
图3
公
yl
式
已知直线经过点P0(x0,y0),
一个法向量n=(A,B),求直
推
线的方程
导o P0(x0 , y0)
n =(A,B)
x
已知法向量n=(A,B),
公
y
则方向向量v=(B,-A)
v=(B,-A) 代入点向式方程，得
式 推
x-x0
B
＝
y-y0 -A
化简，得
导
o
n =(A,B)
x
A(x-x0)+B (y-y0)=0
∴v =(B,-A) 或
v =(-B,A)
∴ v1 =－ B
v2
A
口
答
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直线的法向量和点法式方程
顾知
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条
直线的方向向量 通常用v表示
识y
回
o
x
精品课件
顾知
l2
B
识
A
回l1
精品课件
成 概与一条直线 垂平直行 的非零向量叫做
这条直线的法方向向量 通常用n表示
念思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
形2、这些法向量的位置关系是怎样的？
3、同一条直线的方向向量v和法向量n的位 置关系是怎样的？
整=理0得
3x+ 4y-11 =0
精品课件
结 反1、理解一个概念——直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
A( x - x0 ) +B( y -
小3、利用直线的y0点)=法0 式方程可以解决
已知直线上一点和直线的法向量求直线方程
精品课件
业布 置 作
P86 练习第4题
⑶ -2(x-3)4(y+5)=0
P0=(-3,5) n=(2,-4)
P0=(3,-5) n=(-2,-4) 或(2,4)
精品课件
A(x-x0)+B(y-y0)=0
用学
（x0,y0）
(A,B)
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n =
(3,4)
以的直线方程。 解：代入直线的点法式方,得
致 3 (x-1)+ 4(y-2)
精品课件
精品课件
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
究 问 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l
直线的法向量和点法式方程课件
(1)向量P0P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 ) ,
P(x, y)
r n
A,
B(2)
P0 P与n=(A,B)的位置关系
是： 垂直 ,
x (3) P0P 与n 垂直的充要条件是：
A(x-x0)+B (y-y0)=0 ,
A(x-x0)+B(y-y0)=0
熟
根据直线 l 的方程，写出直线 l 已知点P0和直线 l 的一个法向量
推
r
求直线的方程
n A, B
导o P0(x0 , y0)
x
直线的点法式方程
熟
y
l
记
直线经过点Pr0(x0,y0 )，
r
一个法向量n=(A,B)，
公
n A, B 则直线的点法式方程
式o P0(x0 , y0)
x A(x-x0)+B(y-y0)=0
直线的点法式方程
公
y
式
推
导
o P0(x0 , y0)
学
（x0 , y0）
（A,B）
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
以 的直线方程。
致 解：代入直线的点法式方程,
得 3 (x-1)+ 4(y-2) =0
用 整理得 3x+ 4y-11 =0
r
练(1)习pr(1－. 求1，过2点)，p，nr且一=个(3，法－向4量) 为n的直线方程.
(2) n = (－3,2), P(1，－5)，
学 例2：已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段
AB的垂直平分线方程。
以
解：中点c的坐标
y
l
致
9.1.3直线的法向量和点法式方程教学教材
知 什么叫方向向量 ？ 识 与直一线的条方直向线向平量行的非通 零常 向用 量v r叫表 做示 这条
回
y
顾
o
x
概 与条一直条线直的线方法向平垂向行直量的非通零常向用量nr 叫表做示这 念 思考：
形 1、一条直线的法向量是唯一的吗？ 成 2、这些法向量的位置关系是r怎样的？ r
V=（B,-A) 和直线的一个
导o P0(x0 , y0)
法项量确定的，因此这个方程
x 叫做直线的
点法式方程
直线的点法式方程
熟
y
l
记r
nA,B
公
直线经过点Pr0(x0,y0 )， 一个法向量n=(A,B)， 则直线的点法式方程
式o P0(x0 , y0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x A(x-x0)+B(y-y0)=0
rr 令 v =(B,-A),则 v • n =A×B+B×(-A)=0,
一个法向量n=(A,B)，
式
求直线的方程
推r
nA,B
p(x,y)
V=（B,-A)
导o P0(x0 , y0)
x
公
yl
式r
nA,B
p(x,y)
推
设p(x,y)是直线上的一点， 则p在直线L上的充分必要条件 是n.p0p=0. 用坐标表示，上述充分必要条 件可写为
A(x-x0)+B(y-y0)=0 （1） 方程（1）是由直线上的一点
所以 v n.
这就是说 如果n =(A,B)是直线L的一个法向
量，则向量v =（B,-A)就是直线L的一个方
向向量。
A(x-x0)+B(y-y0)=0
直线的法向量和点法式方程
x
概 念 形 成
o
y
x
设 方 向 向 量 v ( x, y )
n v
v (B , A)
或 v ( B , A)
Ax By 0
整 理 得 x y B A
口 答 练 习
n
( 2 , 3)
v
( 4, 5)
口 答 练 习
画出符合要求的直线 1、经过点P0
n A, B
求直线的方程
o
x
直 线 的 点 法 式 方 程
熟 记 公 式
o
y
l
直 线 经 过 点 P0( x 0 , y 0 ) ， 一 个 法 向 量 n =(A,B)， 则直线的点法式方程
n A, B
x
P0(x0 , y0)
A(x-x0)+B(y-y0)=0
B
（3）BC边中线方程
D
E C
敬请指导
直 线 的 点 法 式 方 程
公 式 推 导
P0(x0 , o0) y
y
P(x, y)
(1)向量P0 P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 )
,
(2) 与n=(A,B)的位置关系 P0 P n A, B
是： 垂直 ,
x (3)
P0 P
与n 垂直的充要条件是：
直线的法向量和点法式方程
知 识 回 顾
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条 直线的方向向量 通 常 用 v表 示
y x
o
知 识 回
l2
A
B
l1 顾
概 念 形 成
高一数学教案：直线点法向式方程、直线的一般式方程教案doc
资源信息表11．1 （２）直线方程上海市控江中学 朱敏慧 一、教学内容分析本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于y x 、的一次方程0=++c by ax （b a 、不全为零）的形式.本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力. 二、教学目标设计在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力. 三、教学重点及难点直线的点法向式方程以及一般式方程； 四、教学流程设计1、概念引入从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P ，且与某一方向平行的直线l 是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 也是惟一确定的． 2、概念形成直线的点法向式方程在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)n a b =表示.直线的点法向式方程的推导设直线l 上任意一点Q 的坐标为(,)x y ，由直线垂直于非零向量n ，故P Q n ⊥.根据PQ n ⊥的充要条件知0=⋅，即：00()()0a x xb y y -+-=①；反之，若11(,)x y 为方程⑤的任意一解，即1010()()0a x x b y y -+-=，记11(,)x y 为坐标的点为1Q ，可知1PQ n ⊥，即1Q 在直线l 上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线. 我们把方程00()()0a x xb y y -+-=叫做直线l 的点法向式方程，非零向量n 叫做直线l 的法向量.3、概念深化从上面的推导看，法向量是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量. 若直线的一个方向向量是),(v u ，则它的一个法向量是),(u v -. 4、例题解析例1 已知点()()4321，，，B A -，求AB 的垂直平分线l 的点法向式方程. 解 由中点公式，可以得到AB 的中点坐标为()3,1，()2,4=→--AB 是直线l 的法向量，所以，AB 的垂直平分线l 的点法向式方程.()()03214=-+-y x [说明]关键在于找点和法向量！例2已知点)2,1(),6,1(--B A 和点)3,6(C 是三角形的三个顶点，求 （1）BC 边所在直线方程；（2）BC 边上的高AD 所在直线方程.解（1）因为BC 边所在直线的一个方向向量BC ＝（7，5），且该直线经过点)2,1(--B ，所以BC 边所在直线的点方向式方程为5271+=+y x （2）因为BC 边上的高AD 所在的直线的一个法向量为＝（7，5），且该直线经过点)6,1(A ，所以高AD 所在直线的点法向式方程为0)6(5)1(7=-+-y x５、巩固练习练习11.1（2） （二）一般式方程 1、概念引入由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示；那么每一个关于yx ,的二元一次方程0=++c by ax （a ，b 不同时为0）是否都表示一条直线呢？2、概念形成直线的一般式方程的定义直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为,x y 的二元一次方程0ax by c ++=.反之，任意二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为都是直线方程么？回答是肯定的.首先，当0b ≠时，方程可化为()0cax b y b ++=，根据直线点法向式方程可知，这是过点(0,)cb -，以(,)a b 为一个法向量的直线；当0b =时，方程为0axc +=，由于0a ≠，方程化为c x a =-，表示过点(,0)ca -且垂直于x 轴的直线.所以二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为是直线的方程，叫做直线的一般式方程. ３、例题解析例1 ABC ∆中，已知)2,1(-A 、)4,3(B ，求AB 边的中垂线的一般式方程.解 直线过AB 中点(1,3)D ，(4,2)n AB ==，则其点法向式方程为4(1)2(3)0x y -+-=，整理为一般式方程250x y +-=. [说明]点法向式方程化为一般式方程. 例2（1）求过点(2,5)A -且平行于直线1:4390l x y --=的直线方程；（2）求过点(3,4)B -且垂直于直线2:3760l x y +-=的直线方程.解 （1）解一：(4,3),(3,4n d =-=，又直线过点(2,5)A -，故直线的方程为4(2)3(5)x y +=-化简得43230x y -+=.解二：(4,3),n =-又直线过点(2,5)A -，故直线的点法向式方程为4(2)3(5)0x y +--=化简得43230x y -+=. 解三：设与1:4390l x y --=平行的直线方程为430x y c -+=，又直线过点(2,5)A -故4(2)350c --⋅+=，23c =，所以直线的方程是43230x y -+=.（2）解一：1l的法向量1(3,7)n =为所求直线的方向向量，又直线过点(3,4)B -，故直线的方程为7(3)3(4)x y -=+化简得73330x y --=. 解二：设与2:3760l x y +-=垂直的直线方程为730x y c -+=，又直线过点(3,4)B -故733(4)0c ⋅-⋅-+=，33c =-，所以直线的方程是73330x y --=.[说明]一般地，与直线0ax by c ++=平行的直线可设为0()ax by c c c ''++=≠其中；而与直线0ax by c ++=垂直的直线可设为0bx ay c ''-+=.例3能否把直线方程0532=++y x 化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察x 、y 的系数与方向向量和法向量有什么联系？解： 2131+=-+y x 、2131-+=+y x 、23132+=-+y x 、4164-=-+y x …… 2(1)3(1)0x y +++=、4（x+4）+6(y-1)=0……能够化成点方向式的形式，并且有无数个！所有的方向向量之间存在：一个非零实数λ，使得()2,321-==→→λλd d ； 易得点法向式方程也是不唯一的，并且有无数个！所有的法向量之间存在：一个非零实数λ，使得()3,221λλ==→→n n 变式：直线0=++c by ax 的方向向量可以表示为()a b -,λ 直线0=++c by ax 的法向量可以表示为()b a ,λ[说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.三、巩固练习 练习11.1（3） 补充练习1、（1）若直线过两点(,0),(0,)A a B b ，则,a b 分别叫做该直线在,x y 轴上的截距.当0ab ≠时，求直线AB 的方程；（2）若过点(4,3)P -的直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程. 2、 已知直线l 过点(2,3)P -且与,x y 轴分别交于,A B 两点.（1）若P 为AB 中点，求直线l 的方程；（2）若P 分AB 所成的比为2-，求l 的方程. 3、已知直线l 的方程为：(2)(12)430()a x a y a a R ++-+-=∈常数（1）求证:不论a 取何值，直线l 恒过定点；（2）记（1）中的定点为P ，若l OP ⊥（O 为原点），求实数a 的值.4、ABCD 中，三个顶点坐标依次为(2,3)-A 、(2,4)-B 、(6,1)--C ，求（1）直线AD 与直线CD 的方程；（2）D 点坐标.5、．过点)4,5(--P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l 的方程.6、已知两直线1110++=a x b y 和2210++=a x b y 都通过(2,3)P ,求证：经过两点111(,)Q a b ，222(,)Q a b 的直线方程是2310++=x y .四、课堂小结１.直线的点法向式方程和一般方程的推导；２．直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的互相之间的联系. ３、确定直线方程的几个要素 五、课后作业习题11.1 A 组5,6,7；B 组3，4 习题11.1 A 组8 补充作业：直线320x y -+=的单位法向量是___________.直线l 的一般式方程为2370x y -+=，则其点方向式方程可以是__________；点法向式方程可以是_____________.过(4,3)P -且垂直y 轴的直线方程是_______________.若直线(2)30m x my -++=的法向量恰为直线30x my --=的方向向量，求实数m 的值. 已知点(2,1)P -及直线:3250l x y +-=，求：（1）过点P 且与l 平行的直线方程；（2）过点P 且与l 垂直的直线方程.正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(4,0)-，它的中心M 的坐标为(0,3)，求正方形两条对角线,AC BD 所在的直线方程.已知,,A B C 的坐标分别为(1,3),(,0),(0,)b c ，其中,b c 均为正整数，问过这三点的直线l 是否存在？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由. 设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈证明：直线l 过定点；若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程.六、教学设计说明在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引导学生自主推导出直线的点法向式方程.通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经历由特殊到一般的思维过程，培养学生的探究能力.。
直线的法向量与点法式方程学案
直线的法向量与点法式方程学案
高一数学第九章课题：
《直线的法向量与点法式方程》命题教师：
张守英考试说明：1、理解直线的法向量的概念以及法向量与方向向量的关系；2、根据条件，熟练地求出直线的方程。
一、复习回顾：1、直线的方向向量2、直线的点向式方程
二、导入新课：展示弓箭的动画，分析说明：一个点和一个非零法向量可以确定一条直线。
三、知识梳理：1、法向量：与一条直线垂直的非零向量，用表示。
思考两个问题：（1）一条直线的法向量是不是唯一的？（2）同一直线的所有法向量具有什么样位置关系？根据向量基本定理，得出结论：如果是直线的一个法向量，则也是这条直线的一个法向量。
2、法向量与方向向量的关系：如果,那么3、直线的点法式方程根据垂直向量的坐标表示，推导直线的点法式方程：
① 通过①式和图像分析或时直线方程的特殊表达式。
黄岛区职业教育中心高一教学案
四、典型例题：例1 求通过点，且一个法向量为的直线方程。
例2 求下列过点，且一个法向量为的直线方程：（1）；（2）
五、课堂练习：练习1：已知直线的一个法向量，求它的一个方向向量1、2、3、4、练习2：已知直线的一个方向向量，求它的一个法向量练习3：求通过点P,且一个法向量为的直线方程。
直线的方向向量与点向式方程
分
求直线方程。
解：直线 AB 的一个方向向量可取为
用
AB =(1，3)-(-2，1)=(3，2)
∵直线过点 A（-2,1），
析
培养学
根据直线的点向式方程，得
x 2 y 1 32
整理，得所求直线方程为 2x-3y+7=0
生的解
学生
题 能力 引 板书
导 过程
分
V x V y 思考：运用点向式方程; (x ) ( y ) 0
l
v v v =( , ) 12
o
x
-2-
教学 法法
介 了解 绍 质 思考 疑
思考
总 结 归纳 归 纳 仔 细 分 析
讲 学生 解 讨论
得出 结果
备注
p x y 如 图 ： 直 线 l 经 过 点 ( , ), 且 与 非 零 向 量
0
00
v v v =( , )平行, 求这条直线 l 的方程。 12
设直线 l 上任意一点 P( x , y)，则点 P 在直线上的充分
P v v P 必要条件是
0
// v =( , )； 12
P ∵ P 0 =( x-x0 , y-y0 ) ,
P 所以： P
0 与 v 平行的充要条件是
V
(x
2
x0)
V
(y
1
y) 0
0
(1)
V V : 当 1 2 0时,直线的点方向式方程是
思
人文素养，帮助他们增强学习的信心。
-5-
x x0 Y Y 0 。
以
V1 V2
例 2、求下列过点 P,且一个方向向量为V 的直线方程：
（1）P( 3, -2 ),
直线的法向量和点法式方程课件
记
公
式 o P0(x0 , y0)
n A, B
直线经过点P0(x0,y0 )， 一个法向量n=(A,B)， 则直线的点法式方程
x A(x-x0)+B(y-y0)=0
第14页，共21页。
直线的点法式方程
公公
y
式式 推推 导导
o P0(x0 , y0)
(1)向量 P0 P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 ) ,
d (u, v)
o
x
*当 u v 0 时, 直线l 的点向式方程为:
（u,V都不为零）
x x0 y y0 , (1)
u
v
*当 u 0, v 0 时,直线 l 的方程是: x x0
*当 u 0, v 0 时,直线 l 的方程是: y y0
（u,v中只有一个为零）
第4页，共21页。
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小小
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0 3、利用直线的点法式方程可以解决
结结 （1）已知直线上一点和直线的法向量 （2）求线段的垂直平分线方程
（3）求三角形一边的高线所在直线方程
第20页，共21页。
布
置
作 补充（附加） 三角形ABC,A(1,-3),B(-2,4),C(0，-2)
题 直线 的一个法向量n=(A,B),
探 则直线 的一个方向向量v如何表示？
究
v (B, A)
或v (B, A)
第8页，共21页。
口
答
n
v
练
(2, 3)
习习
(4, 5)
第9页，共21页。
画出符合要求的直线
1、经过点P0
直线的法向量与点法式方程
不唯一，互相平行（共线）
直线的法向量： 与直线垂直的非零向量，用n 表示
不唯一，互相平行（共线）
y n (A, B)
v (B, A)
O
x
A(x x0 ) B( y y0 ) 0 点法式方程
v (B, A) 则 v n (B, A) (A, B) B A (A) B 0
整理，得所求直线方程为
3x 4y 11 0
题
2、已知点 A(3, 2), B，(1,求4线)
段 AB的垂直平分线的方程。 解：由题意，向量 AB 即为所求
直线的一个法向量,即 n (4, 6，)
线段AB的中点坐标是(1, 1)
再由直线的点法式方程，得
4(x 1) 6( y 1) 0
整理，得所求直线方程为
2x 3y 1 0
典 题
3、已知直线 l的法向量为 n (2，, 且3) 与
两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直
线 的方l程。
解：设直线 l与 x轴相交于 (a，, 0)
由点法式方程，得
2(x a) (3)( y 0) 0
即 2x 3y 2a 0
所以 v n
n (A, B)是直线 l 的一个法向量，则向量
v (B, A) 就是直线的一个方向向量。
A( x
x0 )
B( y
y0 )
0
1、求过点 P(1,，2)且一个法向量为
n (3的, 4直) 线方程。
解：由直线的点法式方程，得
典
3(x 1) 4( y 2) 0
点向式方程：
v2 (x x0 ) v1( y y0 ) 0
直线的法向量与点法式方程
v2 (x x0 ) v1( y y0 ) 0
x x0 v1
y y0 v2
(v1
0, v2
0)
点斜式方程：( y y0 ) k(x x0 )
斜截式方程： y kx b
直线的法向量 与点法式方程
直线的方向向量：与直线平行的非零向量，用 v 表示
整理，得所求直线方程为
3x 4y 11 0
题
2、已知点 A(3, 2), B，(1,求4线)
段 AB的垂直平分线的方程。 解：由题
线段AB的中点坐标是(1, 1)
再由直线的点法式方程，得
4(x 1) 6( y 1) 0
所以 v n
n (A, B)是直线 l 的一个法向量，则向量
v (B, A) 就是直线的一个方向向量。
A( x
x0 )
B( y
y0 )
0
1、求过点 P(1,，2)且一个法向量为
n (3的, 4直) 线方程。
解：由直线的点法式方程，得
典
3(x 1) 4( y 2) 0
不唯一，互相平行（共线）
直线的法向量： 与直线垂直的非零向量，用n 表示
不唯一，互相平行（共线）
y n (A, B)
l P(x, y)
n p0 p 0
P0 (x0 , y0 )
v (B, A)
O
x
A(x x0 ) B( y y0 ) 0 点法式方程
v (B, A) 则 v n (B, A) (A, B) B A (A) B 0
整理，得所求直线方程为
直线的法向量与点法式方程
所以 v n
n (A, B)是直线 l 的一个法向量，则向量
v (B, A) 就是直线的一个方向向量。
A( x
x0 )
B( y
y0 )
0
1、求过点 P(1,，2)且一个法向量为
n (3的, 4直) 线方程。
解：由直线的点法式方程，得
典
3(x 1) 4( y 2) 0
整理，得所求直线方程为
2x 3y 1 0
典 题
3、已知直线 l的法向量为 n (2，, 且3) 与
两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直
线 的方l程。
解：设直线 l与 x轴相交于 (a，, 0)
由点法式方程，得
2(x a) (3)( y 0) 0
即 2x 3y 2a 0
令 x ，0得 y 2a 3
由三角形面积公式，得
S 1 | a || 2a | 3
2
3
解得a 3
所以直线 l的方程为
2x 3y 6 0或2x 3y 6 0
不唯一，互相平行（共线）
直线的法向量： 与直线垂直的非零向量，用n 表示
不唯一，互相平行（共线）
y n (A, B)
l P(x, y)
n p0 p 0
P0 (x0 , y0 )
v (B, A)
OxLeabharlann A(x x0 ) B( y y0 ) 0 点法式方程
v (B, A) 则 v n (B, A) (A, B) B A (A) B 0
整理，得所求直线方程为
3x 4y 11 0
题
2、已知点 A(3, 2), B，(1,求4线)