2021年如何培养学生在解不等式问题中的应变能力和研究对策

如何培养学生在解不等式问题中的应变能力和研究对策

欧阳光明（2021.03.07）

湖南耒阳一中 谢正炎 徐松洋

不等式既是中学数学的一个重要内容，又是学好其它数学内容必须掌握的一门工具，在高考中有很大比例。所以，学好不等式是非常必要的。但在做题当中，学生常因忽略不等式成立的条件而出现一些错误。针对这种情况，教师若能培养学生思维的批判性。

一、 不等式性质应用中的易错题对策与研究

例1：已知(0)a b b >≠，则a

b

与1的大小关系为。

误解：a b >，1a

b

∴>

分析与对策：由1a

a b b

>⇒

>，是在a b >两边除以b 而得，但未知0b >，所以应分为0b >与0b <两种情况。

正解：当0b >时，1a

a b b

>⇒>

当0b <时，1a a b b

>⇒

< 例2：若022αβπ<-<，22

π

αβπ-

<-<，则αβ+的取

值范围是。 误解：

(2)(2)αβαβαβ+=---

分析与对策：已知两个不等式是同向不等式，不能相减。故结论是错误的。可化为同向不等式，再相加。 正解：22

π

αβπ-

<-<，22

π

πβα∴-<-<

又02αβπ<-<

例3：下列命题正确的是（ ）

A ．22

a b ac bc >⇒>

B ．,0c c a b c b a

<>⇒>

C ．2

2

,()()

a b c d a b c d >>⇒->-

D ．0,0a b

a b c d d c

>>>>⇒>

误解一：选A 误解二：选B 误解三：选C

分析与对策：选A 虽然注意到20c >，但忽视了0c =的情

况；选B 虽然注意到0c >且11b a <时有c c

b a

<，但由a b

<无法推出

11

b a

<；选C 虽有a c b d +>+，即a b d c ->-，但只有0a b d c ->->时，才有

22()()a b c d ->-，这里0a b ->，0c d ->不能成立。运

用不等式性质解题，必须准确掌握这些性质成立的前提。

正解：选D

二、 应用重要不等式求最值中的易错题对策与研究

例4：求函数1

y x x

=+的值域(0)x ≠。

误解：12y x x =+

≥= 所以1

y x x

=+

(0)x ≠的值域为[2,)+∞。 分析与对策：忽略重要不等

式2a b

+≥成立的条件：0a >，0b >。

正解：当0x >

时，12y x x =+≥=

当且仅当1

x x

=即1x =时取等号。

当

x <时

，

11()2y x x x x =+

=---≤-=-， 当且仅当1

x x

-=-即1x =-时取等号

所以1

y x x

=+

(0)x ≠的值域为(,2][2,)-∞-⋃+∞。 例5：已知0a >，0b >，且a 、b 为常数，x 、y 为正数，

1a b

x y

+=，求x y +的最小值。

误解：1a b x y =

+

≥⇒≥

x y +

的最小值为

分析与对策：两次用基本不等式，但两次等号成立的条件不尽相同，取等号的条件是，取等号的条件是x y =

；因此，x y +=成立必须a b

x y

=且x y =，即x y =且a b =，而

题中没有这个条件，因此需另辟蹊径。

正解：()()a b

x y x y x y

+=++

当且仅当y x a b x y =

即y x =时取等号，

所以x y +

的最小值为2+。

例6：

求2)y x R =∈的最小值

误解：22

2y x

=

=≥

y 的最小值为2。

分析与对策：=

即

21

x =-时取等号，而2

1x =-在x R ∈时无解。

正解：

(t t =≥

因为当[1,)t ∈+∞时为增函数（证明略）

所以t =即0x =时，y 32=。 例7：已知0a >，0b >，2

1a b =，求a b +的最小值。

误解：

0a >，0b >

a b ∴+≥a b =时取等号

由21

a b a b =⎧⎨=⎩得1a =，1b = a b ∴+的最小值为2

分析与对策：上述解法错误在于忽略a b ⋅应为定值的条件。欲求和的最小值，应构造积为定值。 正解：

0,0a b >>

当且仅当2

a b =

即a =

2b =时取等号

三、 解不等式中的易错题对策与研究

例8：

解不等式2x -->

误解：将原解不等式两边平方，得224416x x x ++>-

解得5x >-

分析与对策：一是漏掉了2

160x -≥这个条件，二是没有考虑内

含条件20x -->的限制。

正解：原不等式等价于222160204416x x x x x ⎧-≥⎪

-->⎨⎪++>-⎩

解得4425x x x x ≤-≥⎧⎪

<-⎨⎪>-⎩

或

所以原不等式的解集为{}/54x x -<≤-

例9：解不等式2lg lg 2lg 52

10103log 20x x +--< 误解：原不等式可化为2

lg lg25210

103log 20x x --<