数列求和专题

1．错位相减法

例1：已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，

4410S b -=．

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；

（2）记1121n n n n T a b a b a b -=+++L ，n *∈N ，求证：12210n n n T a b +=-+． 【答案】（1）31n a n =-，2n n b =；（2）见解析． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，

则3441127327a b a d b q +=⇒++=，34411104610S b a d b q -=⇒+-=， 即33

2322786210d q d q ⎧++=⎪

⎨+-=⎪⎩，解得：32d q =⎧⎨=⎩， 31n a n ∴=-，2n n b =．

（2）()()231234222n

n T n n =-⋅+-⋅++⋅L ，①

()()23+1231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅L ，②

-②①得

()()()()123124213123222222312321

n n n n n T n n -++-∴=--⋅+++++⋅=--⋅+⋅

-L

()10223112n n =⋅---，

∴所证恒等式左边()102231n n =⋅--，右边()210231102n

n n a b n =-+=--+⋅，

即左边=右边，所以不等式得证．

2．裂项相消法

数列求和专题

例2：设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+ ．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）若()()

21n

n n n b c b b =

--，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）11121

n n T +=-

-．

【解析】（1）2n ≥时，()22

133163n n n a S S n n n -⎡⎤=-=----=-+⎣⎦

， 当1n =时，113a S ==-符合上式，63n a n ∴=-+，

∵{}n b 为等比数列3

1232

512b b b b ∴==，28b ∴=， 设{}n b 的公比为q ，则21328

,8b b b b q q q q

====，而315a =-， 113383158a b a b q q ∴+=+⇒-+

=-+，解得2q =或12

q =-， ∵{}n b 单调递增，2q ∴=，21222n n n b b -+∴=⋅=．

（2）()()()()()()111112211

222121212121n n n

n n n n n n c +++++===-------， 11223111111

1212121212121n n n n T c c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭

L L

1

111111212121

n n ++=-=----．

一、单选题

1．已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10 B ．14

C ．15

D ．17

【答案】C

对点增分集训

【解析】∵()199599182a a S a +===，∴52a =，

∴()()

()1542302402

2

2

n n n n a a n a a n S -+++=

=

=

=，15n =，故选C ．

2．在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10a >，n S 是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10

【答案】C

【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ， 由题意可知14330a d +=，10a >，()()21

113522

33

n n n d

a S na n n -=+=

-， 二次函数的对称轴为35

8754

n =

=.，开口向下， 又∵n *∈N ，∴当9n =时，n S 取最大值．故选C ． 3．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：

数列{}n x 满足：11x =，且对于任意n *∈N ，点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则122015x x x ++⋅⋅⋅+=（ ）

A ．7554

B ．7549

C ．7546

D ．7539

【答案】A

【解析】由题意可知：()13f =，()35f =，()56f =，()61f =，()13f =L ， 点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则11x =，23x =，35x =，46x =，511x x ==， 则数列{}n x 是周期为4的周期数列，

由于201545033=⨯+，且123415x x x x +++=，

故()122015503151357554x x x ++⋅⋅⋅+=⨯+++=．故选A ．