胡海岩机械振动基础第一章课件
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《机械原理》课件第1章绪论说课材料
机构分析与综合
常用机构的研究 已经非常深入 自动控制机构、机器人机构、仿生机构、机电光液 综合机构等进展也非常大 计算机的应用：计算机辅助设计、优化设计、大 型通用或专用的软件等
机械原理课程的性质与任务
是研究机械性能分析与设计的基本理论与 方法的专业基础课程之一。
机械原理的教学内容（归纳起来三大点）
动力机器
发电机等是能量变换的装置，即可将某种 形式的能量变换成机械能，或者把机械能 变换成其他形式的能量。例如：内燃机、 压气机、涡轮机、电动机等。
机器
工作机器 是完成有用的机械功或者是搬运物品。
例如：轧钢机、织布机、缝纫机、汽
车、飞机和金属切削加工机床等。
信息机器 是用来获得和变换信息的。例如：机 械式积分仪、计帐机、打字机和绘图 仪。
§1-3 如何进行本课程的学习
教学环节：
理论教学 课程设计
学习方法：
1. 在学习知识的同时，注重能力的培养。 2. 在重视逻辑思维的同时，加强形象思维能力的培养。 3. 注意先修课程的应用。 4. 理论联系实际，能够做到举一反三。
§1-4 机械原理学科的发展现状及趋势
机械工业发展方向：
高速、高精度、重载、高效率、低噪声 先进制造技术的应用、激光制造 自动生产线机器与其它来自置的主要区别是：机器一定要作机械运
动，并 通过运动来实现能量物料和信息的变换
机构（mechanism） 用来传递运动和力或改变运动形
式的构件系统
机构和机器的区别
• 机构只是一个构件系统，而机器除构件系 统外，还包含电气、液压等其它系统
• 机构只用来传递运动和力，而机器除传递 运动和力外，还具有变换或传递能量、物 料和信息的功能
1、研究机构的组成及具有确定运动的条件。
常用机构的研究 已经非常深入 自动控制机构、机器人机构、仿生机构、机电光液 综合机构等进展也非常大 计算机的应用：计算机辅助设计、优化设计、大 型通用或专用的软件等
机械原理课程的性质与任务
是研究机械性能分析与设计的基本理论与 方法的专业基础课程之一。
机械原理的教学内容（归纳起来三大点）
动力机器
发电机等是能量变换的装置，即可将某种 形式的能量变换成机械能，或者把机械能 变换成其他形式的能量。例如：内燃机、 压气机、涡轮机、电动机等。
机器
工作机器 是完成有用的机械功或者是搬运物品。
例如：轧钢机、织布机、缝纫机、汽
车、飞机和金属切削加工机床等。
信息机器 是用来获得和变换信息的。例如：机 械式积分仪、计帐机、打字机和绘图 仪。
§1-3 如何进行本课程的学习
教学环节：
理论教学 课程设计
学习方法：
1. 在学习知识的同时，注重能力的培养。 2. 在重视逻辑思维的同时，加强形象思维能力的培养。 3. 注意先修课程的应用。 4. 理论联系实际，能够做到举一反三。
§1-4 机械原理学科的发展现状及趋势
机械工业发展方向：
高速、高精度、重载、高效率、低噪声 先进制造技术的应用、激光制造 自动生产线机器与其它来自置的主要区别是：机器一定要作机械运
动，并 通过运动来实现能量物料和信息的变换
机构（mechanism） 用来传递运动和力或改变运动形
式的构件系统
机构和机器的区别
• 机构只是一个构件系统，而机器除构件系 统外，还包含电气、液压等其它系统
• 机构只用来传递运动和力，而机器除传递 运动和力外，还具有变换或传递能量、物 料和信息的功能
1、研究机构的组成及具有确定运动的条件。
机械振动基础一章的PPT
模型建立起来了，实际 问题化成了数学问题。
5
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
实际 系统
简化系统
离散模型 连续体模型
2019年9月22日
简化系统
有限元 模型
对于振动问题的适应性强，应用范围广，
能详细给出各种数值结果，并通过图像
6
显示还可以形象地描述振动过程。
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
静平衡位置
29
1.2 无阻尼系统的自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
u0
m h
u0 2gh
则自由振动振幅为 ：
l/2
0
l/2
静平衡位置
2
a
u02
u0
0
2 2h
u
梁的最大扰度：
2019年9月22日
max A
• 单自由度系统
仅需一个独立坐标来描述的系统。
������ 注意：对于实际系统，当考虑问题的深度、广度
不2019年9月22日
3
1.1 概述
• 构成机械振动系统的基本元素
构成振动系统的基本元素有惯性(质量) 、恢复性（弹簧）和阻尼（阻尼器）。 惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。 阻尼就是阻碍物体运动的性质。
从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是 贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。
2019年9月22日 4
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
分析复杂的实际问题， 发现其中的可以用数学 语言来描述的关系或规 律，把这个实际问题化 成一个数学问题，这就 称为建模。
5
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
实际 系统
简化系统
离散模型 连续体模型
2019年9月22日
简化系统
有限元 模型
对于振动问题的适应性强，应用范围广，
能详细给出各种数值结果，并通过图像
6
显示还可以形象地描述振动过程。
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
静平衡位置
29
1.2 无阻尼系统的自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
u0
m h
u0 2gh
则自由振动振幅为 ：
l/2
0
l/2
静平衡位置
2
a
u02
u0
0
2 2h
u
梁的最大扰度：
2019年9月22日
max A
• 单自由度系统
仅需一个独立坐标来描述的系统。
������ 注意：对于实际系统，当考虑问题的深度、广度
不2019年9月22日
3
1.1 概述
• 构成机械振动系统的基本元素
构成振动系统的基本元素有惯性(质量) 、恢复性（弹簧）和阻尼（阻尼器）。 惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。 阻尼就是阻碍物体运动的性质。
从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是 贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。
2019年9月22日 4
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
分析复杂的实际问题， 发现其中的可以用数学 语言来描述的关系或规 律，把这个实际问题化 成一个数学问题，这就 称为建模。
机械振动基础 第一章 导论
三、离散系统和连续系统
系统的自由度数——定义为描述系统运动所需要的独立坐标的数目。 连续系统——在实际中遇到的大多数振动系统，其质量和刚度都是连续分
布的，通常需要无限多个自由度才能描述它们的振动，它们的运动微分方程 是偏微分方程，这就是连续系统。 离散系统——在结构的质量和刚度分布很不均匀时，或者为了解决实际问 题的需要，往往把连续结构简化为由若干个集中质量，集中阻尼和集中刚度 组成的有限个自由度的系统。它们的运动微分方程是常微分方程。
§1.5 叠加原理
R为微分算子 ——是指微分符号的组合： 拉普拉斯算子 梯度算子 2 2 2 i j k 2 2 2 x y z x y z 每一个线性振动系统均可以用一个线性的运动微分方程或运动微分 方程组描述，而微分方程可以统一写成： R[ x] F (t ) R为微分算子。
X x(t ) max
2．平均值：类似于交流电中的直流分量，可从下式 得到 ： lim 1 T
x T T
0
x(t )dt
3．均方值 ：均方值与能量有关，常用来度量振动能量
lim 1 T 2 x x (t )dt 0 T T
2
4．均方根值(rms)
xrms x
2
——系统势能最小、系统势能最大、特殊系统与结构
一、基本概念
机械振动中的平衡位置是系统的稳定平衡位置。
现实中振动现象——车辆行驶振动、乐器的振动、车刀振动等 振动抑制与利用——在很多情况下机械振动是有害的；而在某些 情况下，人们又利用振动进行工作。 为了避免振动危害，利用振动进行工作，我们应了解结构振动 的规律，在实际工作中应用这些规律。
§1.2 振动的分类
第1章
导论
一．线性振动和非线性振动
胡海岩机械振动基础课件PPT课件
N
N
N
mij uj (t) cij u j (t) kij u j (t) fi (t),
j 1
j 1
j 1
i 1,, N
&&
&
M u (t) Cu(t) Ku(t) f (t)
10
第10页/共131页
建立方程的重要条件是 系统的状态作用不相耦 合与系统的线性特性
11
第11页/共131页
刚度矩阵为
fi ki1 0 2 i N
k1 k2
k2
0
K
0 0
k2 k2 k3
k3
0
0
0 k3 k3 k4
0 0
0
0
0
k N 1 k N kN
0
0
0
k
N
k N
13
第13页/共131页
质量矩阵可用类似的过程得到
f1 m11 m1 1 m1 fi mi1 0 2 i N mii mi , mij 0, i j
,
n min(i, j)
最后将所
得 dij 排为 柔度矩阵 D。 取 N=3 为例
1
k1
1
D
k1
1 k1 11 k1 k2
1
k1
11
k1 k2
1
11
1
1
1
k1
k1 k2
k1 k2 k3
19
第19页/共131页
例：梁的横向振动近似计算方程
解：用集中质量法可将梁系统 简化为一个二自由度系统
f1 1
m1 k1u1
di1 1 k1 , i 1,, N
18
绪 论(改)
动态特性
修改设计 否
是
更改设 计？
否 测试？
是 测试分析
x
m 弹性连 续体
振动的分类
自由振动
按激振情况分类 受迫振动
自激振动
简谐振动
按运动规律分
非简谐的周期振动 瞬态振动
随机振动
线性振动
按描述振动系统的微分方程分 非线性振动
有
单自由度系统振动 按描述振动系统的自由度分 多自由度系统振动
限 自 由
无限自由度系统振动 度
一、按激振情况分类 1.自由振动——振动的能量就是由初始条件提
课程研2.究非的线对性象振及动方—法—正振是动这参类量振x动，。x ，x 在微分
方程中出现二次或是高次，这叫做非线性振动，例 如大变形情况。我们不讨论这类振动，等到以后深 入学习时去研究。虽然在实际工作中也经常遇到非 线性振动问题，但深入研究线性振动问题是最重要 的，因为它不但有解决许多问题的实际价值，而且 是解决非线性振动问题的基础。
它与自由振动的区别在于：在振动过程中有外界能量 输入。
它与受迫振动的区别在于：受迫振动中的交变力是外 加的，自激振动的交变力则是运动本身产生的。
二、按运动规律分
1.简谐振动——运动时位移随时间按正弦或余 弦规律变化。（简称为谐振动）
x
x＝Asinωt
0
t
2.非简谐的周期振动——虽然不是谐振动，但 仍是周期的复杂变化。以后会讲到，这类振动可分 成几个简谐振动的叠加。
一、设备振动分析
1）问题 分析振动原因、提出改进措施
2）方法——分析和改进措施 3）流程
开始
实际结构
物理模型
假设、忽略等
数学模型
微分方程等
胡海岩机械振动基础第1章习题及答案.ppt
u ( t ) a s i n ( t )
u ( t ) a c o s ( t )
两 边 平 方 ， 相 加
[ a u ( t ) ] u ( t )
2 2 2 2
代 入 已 知 条 件
2 [a2 0 .0 5 ] 2 0.22 2 2 [a 0 .1 ] 2 0.082
62 5 P 5 7 . 1 7 : 图 中 简 支 梁 长 l 4 m , 抗 弯 刚 度 E I 1 . 9 6 1 0 N m , 且 k 4 . 9 1 0 N / m , m 4 0 0 k g 。
分 别 求 图 示 两 种 系 统 的 固 有 频 率 。
w
F
F／ 2
A 1 , l nn A n
ln
1 n
A 0 2 A n
1 2 n
ln
A0 An
m g g m A g c 2m k 2 m 2 m l n ( 0) n A s s n s
3 1 0 6 . 4 1 0 9 . 8 l n ( ) 6 . 9 1 ( N s / m ) 3 2 0 1 . 6 1 0 0 . 0 1
1 2 2 1 m g2 2 2 0 周 阻 尼 器 消 耗 的 能 量 k ( A A ) ( A A ) 0 n 0 n 2 2 s 1 0 9 . 8 32 32 ( ( 6 . 4 1 0 ) ( 1 . 6 1 0 ) ) 0 . 1 9 ( N M ) 2 0 . 0 1
w
F
F／ 2
F／ 2
x
3 2 F x 1 l 3 3 l w ( x ) x x E I 1 26 2 4 8
机械振动级1a精品课件
解决了以上问题，就能求出简谐振动方程.
13
x Acos(t )
v A sin(t )
讨论 已知 t 0, x 0, v0 0 求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
sin 0 取 π
x
2
A
x Acos(t π)
2
o
A
v
x
o
xt图
Tt
T 2
14
竖直方向悬挂的谐振子 k
21
2、已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线 如图所示，试求其振动方程。 x(cm)
解 振动方程为：
31.4
x Acos(t )
15.7
由图可知：
A
31.4cm
0 15.7
t 0 : x0 15.7 A / 2, 31.4
v0 0
x0 Acos A / 2,
cos 1/ 2
v0 A sin 0 sin 0 ?
m
O
y
光滑斜面上的谐振子
k 0
x
m
15
单摆小角度摆动
at=l
Ft mat
mg sin
ml
ml
d 2
dt 2
当 sin 时 结论
d 2 g 0
dt2 l
d2x dt 2
ω
2x
0
在角位移很小的时候，单摆的摆动是简谐振动。 角频率和振动的周期分别为：
g
l
T 2 2 l
g
运动方程为： 0 cos(t )
x
A o
A
xt图
Tt
T 2
单位:rad
初相位
t 0， 时 Φ(t)
胡海岩机械振动基础第一章课件
振动工程研究所
例: 升降机钢丝绳中最大张力
v0
k
v0
m
振动工程研究所
解：
ku 0 固有频率 n 方程 mu
初始条件
振幅
k m
u0 0,
a
2 u0
0 v0 u
0 u
(
n
)
2
v0
n
v0
m k
由振动而引起的钢丝绳中最大动张力为
T2 ka v 0 mk
振动工程研究所
梁横向振动
例：简支梁的横向振动，假设系统的质量全部 集中在梁的中部，取梁的中部挠度作为系统的 位移，静态挠度 ：
P
等效刚度
P 48EI ke 3 l
EI l 2
l 2
振动工程研究所
系统自由振动方程为
(t ) k e u(t ) 0 mu
振动固有频率
ke 48EI n m ml 3
Tl GI
GI kT l
其中
πd4 I 32
定义轴的扭转刚度为
GI kT l
振动工程研究所
T
扭转振动方程
J kT 0
扭转振动固有频率
n
kT J
系统对初始扰动的自由振动响应
(0) (t ) (0) cos n t sin n t n
振动工程研究所
解的形式与试探解
数学理论
微分方程解=通解（+特解）
（1）试探解的提出与代入 （2）用初始条件定系数
实际经验
u(t ) ue
st
(ms k )u 0
2
振动工程研究所
因为u 0 ,故得到有特征方程 （以s为变量的代数方程）
例: 升降机钢丝绳中最大张力
v0
k
v0
m
振动工程研究所
解：
ku 0 固有频率 n 方程 mu
初始条件
振幅
k m
u0 0,
a
2 u0
0 v0 u
0 u
(
n
)
2
v0
n
v0
m k
由振动而引起的钢丝绳中最大动张力为
T2 ka v 0 mk
振动工程研究所
梁横向振动
例：简支梁的横向振动，假设系统的质量全部 集中在梁的中部，取梁的中部挠度作为系统的 位移，静态挠度 ：
P
等效刚度
P 48EI ke 3 l
EI l 2
l 2
振动工程研究所
系统自由振动方程为
(t ) k e u(t ) 0 mu
振动固有频率
ke 48EI n m ml 3
Tl GI
GI kT l
其中
πd4 I 32
定义轴的扭转刚度为
GI kT l
振动工程研究所
T
扭转振动方程
J kT 0
扭转振动固有频率
n
kT J
系统对初始扰动的自由振动响应
(0) (t ) (0) cos n t sin n t n
振动工程研究所
解的形式与试探解
数学理论
微分方程解=通解（+特解）
（1）试探解的提出与代入 （2）用初始条件定系数
实际经验
u(t ) ue
st
(ms k )u 0
2
振动工程研究所
因为u 0 ,故得到有特征方程 （以s为变量的代数方程）
机械振动基础CH0
❖ 课程安排按自由度由简至繁 单——二(多)——无限……（大自由度）
（尽量与教学平行进行试验）
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
23
课程内容体系（续1）
❖ 第一章：
介绍概念，复习和在高层次上学习质点 动力学有关内容，是全课基础。
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
24
课程内容体系（续2）
随机振动，模态分析，动力学建 模与动态设计 （复杂本构、结构、载荷）
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
6
考试（察）办法
❖ 闭卷考试（约占总成绩70%） ❖ 作业（约占总成绩10%）
但缺两次作业，不允许考试。 ❖ 试验考察（约占总成绩20%） ❖ 缺席处理（缺席一次扣10分）
2020年9月2日9时24分
❖ 第二章：
介绍多自由度系统振动。引入矩阵和解 耦技术，介绍振动方程组的求解。是全课重 点。并引伸出隔振、吸振理论。
2020年9月2日9时24分
振动分析与测试
(机械振动基础)
Vibration analysis & measument in Mechanical Engineering
教材主编：胡海岩 教授
学习目的
❖目的
（1）解决机械工程中的振动问题。 核心是简化问题（基础）
（2）培养分析问题、解决问题能力。 学习创造性思维方法（迁移）
（3）为进一步深造打基础 （考研、研究生阶段学习）。
❖ 试验方案 ❖ 试验步骤 ❖ 试验仪器 ❖ 试验结果 ❖ 试验结论
理论与试验的关系
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
20
振动问题解决途径（综合）
（尽量与教学平行进行试验）
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
23
课程内容体系（续1）
❖ 第一章：
介绍概念，复习和在高层次上学习质点 动力学有关内容，是全课基础。
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
24
课程内容体系（续2）
随机振动，模态分析，动力学建 模与动态设计 （复杂本构、结构、载荷）
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
6
考试（察）办法
❖ 闭卷考试（约占总成绩70%） ❖ 作业（约占总成绩10%）
但缺两次作业，不允许考试。 ❖ 试验考察（约占总成绩20%） ❖ 缺席处理（缺席一次扣10分）
2020年9月2日9时24分
❖ 第二章：
介绍多自由度系统振动。引入矩阵和解 耦技术，介绍振动方程组的求解。是全课重 点。并引伸出隔振、吸振理论。
2020年9月2日9时24分
振动分析与测试
(机械振动基础)
Vibration analysis & measument in Mechanical Engineering
教材主编：胡海岩 教授
学习目的
❖目的
（1）解决机械工程中的振动问题。 核心是简化问题（基础）
（2）培养分析问题、解决问题能力。 学习创造性思维方法（迁移）
（3）为进一步深造打基础 （考研、研究生阶段学习）。
❖ 试验方案 ❖ 试验步骤 ❖ 试验仪器 ❖ 试验结果 ❖ 试验结论
理论与试验的关系
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
20
振动问题解决途径（综合）
机械振动第01课导论：机械振动基本概念
2 Acos(
t
)
导论
简谐振动及其表示方法
周期
定义：物体作一次完全振 动所需的时间
符号：T
单位：s x Acos( t )
频率
Acos[( t T ) ]
2
T＝2
T
定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数
符号：ν 单位：Hz
＝ 1 T 2
导论
简谐振动及其表示方法
谐振动的旋转矢量法
不稳定平衡
处于凸面的球体，当球受到 微小干扰，它将偏离其平衡 位置，而不再恢复原位；
导论
引言
临界平衡
物体处于平衡状态，受到干扰后 离开原来的平衡位置;
干扰撤掉后:
既不回到原来的平衡位置，也 不进一步离开；
而是停留在一个新的位置上平衡；
把物体在原来位置上和现在位置上所处的平衡状态 称为临界平衡
实际上不属稳定平衡。
导论
叠加原理
则有
导论
叠加原理
导论
振动的幅值度量
1. 引言
主要内容
2. 振动的分类
3. 离散系统各元件的特征*
4. 简谐振动及其表示方法*
5. 叠加原理#
6. 振动的幅值度量
导论
振动的幅值度量
振动在时域的幅值特性对度量振动的大小是很重要的。常用 的度量振动幅值的参数有：
1．峰值 振动量的最大值。
引言
1. 1 机械振动的含义(1)
▪ 所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的 平均值附近不停地经过极大值和极小值而反 复变化。
▪ 机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附 近的往复弹性运动。
▪ 一般来说，任何具有弹性和惯性的力学系统 均可能产生机械振动。
声与振动基础完整ppt课件
写成三角函数式
x a 1 c o t a 2 s s ite n t
2、阻尼振动的一般规律
讨论：
令 a 1 A 0co ,a 2 s A 0sin
x 上 式A 0 还e 可 t写c 成 o t s A t c o t s
其A0中 a12 a22
，
tg a2 a，1
AtA0et
任一时刻的总振动能为振动位能与势能的和,即：
E (t) e k(t) ep(t)1 2m 2(t)v 1 2D 2(t)x
所以，有：
3、阻尼振动系统的能量
E(t)
ek
(t)
ep
(t)
1 2
mv2(t)
1 2
Dx2(t)
12m{A0et[0
sin(0t
)
cos( 0t
)]}2
1 2
D[A0et
cos( 0t
其中 1, 是2 特征方程
22 0 20
的两个根。由此得
1,2 202
2、阻尼振动的一般规律
讨论：
（ 1 ）大阻尼振动－阻力很大时
2 02
Rm2 4mD
因为 1,2 202
则1、2为实数，并且 10,20
2、阻尼振动的一般规律
讨论：
xC 1e1tC 2e2t
其中每一项按指数规律衰减。
初始条件不同时，位移 xt的 变化规律不同。
阻力与速度成线性关系，（粘滞阻尼）
f阻Rmv
[ R]m=[力]/[速度]
MKS制中其单位：kgs-1（力欧姆）
4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述
②阻尼系数 Rm 2m ：解方程时引入的；分
析其物理意义：在
时， 02 2 振子自由
1 机械振动的基本概念
（与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都 与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下， 选择平衡位置作为广义坐标的原点） 选择平衡位置作为广义坐标的原点）
自由度：系统独立广义坐标的数目。
单摆有一个自由度； 弹簧摆有两个自由度； 若弹簧摆悬挂的是一个刚性杆，则有 三个自由度； 跳(Free Vibration)：If a system, after an initial disturbance, is left to vibrate on its own, the ensuing vibration is known as ~. No external force acts on the system. 受迫振动(Forced Vibration)：If a system is subject to an external force, the resulting vibration is known as ~ 自激振动; 参数振动
振动分析的一般方法
理论分析方法：包括各种近似分析方法。 理论分析方法 数值分析方法：利用编程或商业软件。 数值分析方法 实验分析方法：借助实验设备和分析仪器完成。 实验分析方法
机翼颤振的两自由度模型
机翼颤振的离散化模型
输电线舞动的两自由度模型
The space needle(structure)
电铃的工作原理示意图
干摩擦引起的自激振动
参数激励的情况(See Reference 12:§8.2.1)
按振动系统的响应(信号) 按振动系统的响应(信号)
简谐振动 周期振动 确定性振动 复合周期振动 非周期振动拟周期振动 瞬态振动 非确定性振动 − 随机振动
研究振动问题的一般步骤
机械振动基础培训讲义课件
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
mg
F k( st a sin )
考虑到微转角,则 cos 1, sin
在静平衡位置处，有
mgl k sta
JO
d 2
dt 2
mgl k( st
a)a
ka2
l
JO ka2 0
n a
1. 阻 尼
阻尼－系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑
表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的 阻力。
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
Fc cv
C－粘性阻尼系数或粘阻系数
2. 振动微分方程
取平衡位置为坐标原点，在建 立此系统的振动微分方程时， 可以不再计入重力的影响。
Fk kx 弹性恢复力 Fc cx 粘性阻尼力
my ky 0 meq keq＝F0sin( t)
非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非 线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。
按系统的自由度划分：
单自由度振动－一个自由度系统的振动。
多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的振动。
连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统具有无 穷多个自由度。
物块的运动微分方程为
m
d2x dt 2
kx
c
dx dt
令:
2 n
k m
,
n c 2m
Fk Fc k
O
m v
x
c m
d2 dt
x
2
2n
dx dt
2 n
x
0
d2 dt
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大角度简化方法
sin 3 5 7
3! 5! 7!
系统振动的Duffin方程
(t) g (t) g 3(t) 0
l
6l
振动工程研究所
刚体摆
质量为m，质心C距铰中心O距离为l
O l
绕固定铰使用动量矩定理
考虑小角度条件 sin
C
J0&& mgl 0
扭转振动方程
J&& kT 0
扭转振动固有频率
n
kT J
系统对初始扰动的自由振动响应
(t)
(0)
cos
nt
(0) n
sin
nt
振动工程研究所
梁横向振动
例：简支梁的横向振动，假设系统的质量全部 集中在梁的中部，取梁的中部挠度作为系统的 位移，静态挠度 ：
等效刚度
ke
1 2
mvc2
1 2
Jc2
3 4
m(R
r)22
O
R
vc
r
C
A
B
重力势能为 V mgh 1 mg(R r) 2
2
Vmax
1 2
mg(R
r)
2 m
,
Tref
3 4
m(
R
r)2
2 m
由 Rayleigh 商 得
系统固有频率为
n
Vmax T ref
2g 3(R r)
• 无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的特入点 简
mu(t) ku(t) 0
振动工程研究所
1.2无阻尼单自由度系统的自由振动
方程 & &
注意
m u (t) ku(t) 0
特点 二阶常系数齐次方程
初始条件 (定解条件)
u(0) u0, u(0) u0
振动工程研究所
P
48EI l3
P
EI
l
l
2
2
振动工程研究所
系统自由振动方程为 mu(t) keu(t) 0 振动固有频率
n
ke m
48EI ml 3
悬臂梁、固支梁情况类似，关键在于确 定自由度与给出等效刚度
振动工程研究所
*用能量法确定固有频率
（一种简单方法，也可发展用于近似求多自由 度系统固有特性）
方程
mu ku 0 固有频率 n
k m
初始条件 u0 0, u0 v0
振幅
a
u02
( u0 ) 2
n
v0
n
v0
m k
由振动而引起的钢丝绳中最大动张力为
T2 ka v0 mk
钢丝绳中总张力的最大值是
T T1 T2 mg v0 mk
解的形式与试探解
数学理论
微分方程解=通解（+特解）
（1）试探解的提出与代入 （2）用初始条件定系数
实际经验
u(t) uest
(ms 2 k)u 0
振动工程研究所
因为u 0 ,故得到有特征方程
（以s为变量的代数方程）
ms2 k 0
特征解（根）为 s j n
def
其中 n
振动工程研究所
复数法的位移、速度、加速度关系
z ae j e j0t ae j(0t )
z
j0ae j(0t )
ae j(0t2 j(0t )
0
ae 2 j(0t ) 0
k m 为固有圆频率.
或
fn
def
1
2
k m
Hz
固有频率 （固有
周期？）
振动工程研究所
自由运动方程的通解可取为:
u(t) a1 cos nt a2 sin nt
或 u(t) a sin( nt )
其中 a1, a2 或 a, 为积分常数。由初
始条件定。
a1 u0 ,
振动工程研究所
1.1 单自由度系统振动方程
• 振动系统的组成
三要素：质量，刚度，阻尼
c
k
必须要素
• 振动系统的数学模型:
运动方程（力平衡给出方程）
m u(t) f(t)
mu(t) cu(t) ku(t) f (t)
振动工程研究所
方程中的弹性项
fs
u2
u1
f
f
k
def
f s (t) k (t) k[u1 (t) u2 (t)]
4
不两
u +u
a(t)
12
同个
2
的振
谐幅 振、
u0
F1 F2
动 合 成
相 位 、
-2
F3
频 率
-4 0 2 4 6 8 10 12
都
t
同振幅谐振动的包络线通过零点。由两个频率接近的简谐振动合成的拍是一种普遍的物理现象。
振动工程研究所
李沙育（Lissajous）图
• 振动方向相互垂直的简谐振动合成 • 示波器观测频率与象位的传统工具
振动工程研究所
2. 调制信号——用高频传递低频信号
u(t) 2a cos(2 1 t 2 1 ) sin(2 1 t 2 1 )
2
2
2
2
a (t)sin[2 1 t (t)]
2
谐同两 振、个 动频振 合率幅 成接相
近同 且， 可而 通相 约位 的不
固有频率及固有周期
mg
n
mgl , J0
Tn 2 π
J0 mgl
振动工程研究所
与材料力学联系
单自由度扭振
假定盘和轴都为均质体，不考
GI kT
l
虑轴的质量。设扭矩作用在盘
面，此时圆盘产生一角位移，
Tl 其中 I π d 4
GI
32
定义轴的扭转刚度为
kT
T
GI l
振动工程研究所
tan 1
nu0
u0
)
振动工程研究所
刚度元件的串并联
u2 k1 u1
f
f
k2
u3 u2 u1
f
f
k2 k1
两个并联弹簧刚度增加,
k
f
k1
k2
两个串联弹簧刚度削弱, k k1k2 k1 k2
振动工程研究所
例: 升降机钢丝绳中最大张力
v0
k
v0
m
振动工程研究所
解：
振动工程研究所
1.3 等效单自由度系统
• 物理系统多样
数学模型唯一(等效性)
• 工程实际简化例子 汽车乘员抗颠簸性研究 翼尖挂弹环境研究 摩天轮刹车性能研究
振动工程研究所
摆
• 振动系统中不存在弹性元件，恢复力由摆锤重 力提供。 (势能提供者为重力，地球是储能元
件) 动力矩方程或力矩平衡方程
O
ml 2(t) mgl sin (t) 0
1 e j
振动工程研究所
三种表示法的差异
三角函数最直接、最常用。 旋转向量法是三角函数几何表示，用得不多，直观。 复数法与三角函数是一致的。
取虚部
向Y轴投影
振动工程研究所
• 简谐振动的合成
频率相同的两简谐振动合成后仍为简谐振动， 且频率不变。
u1(t) a1 sin(0t 1) u2 (t) a2 sin(0t 2 )
4
u +u 12
a(t)
2
u0
-2
-4 0 2 4 6 8 10 12
t
振动工程研究所
几个概念
• 拍:周期振动的一种 • 拍频:注意是拍的节律,不是包络线频率
(差一倍) • 包络线:有两条
振动工程研究所
def
a(t)
2a cos( 2
1
t
2
1
)
2
2
(t) 1 2
l m
(t) g sin (t) 0
l 振动的幅度很小时
sin
振动工程研究所
小角度简化方程为
(t) g (t) 0
l
系统振动的固有频率
n
g l
周期与摆线长关系
l gTn2 4π 2
振动工程研究所
周期误差与角度关系
0
6
3
2
T T0 1 1.02 1.07 1.18
第一章 单自由度系统的振动
1
振动分类（自由度）
• 单自由度 • 多自由度（有限自由度）－>大自由度 • 连续体（无限自由度）
振动工程研究所
振动分类（运动特点）
• 简谐振动 • 周期振动（可分解为若干简谐振动之和） • 非周期确定性振动
（可分解为无限个简谐振动之和）
*概周期振动 *一般确定性运动 • 随机振动 • 混沌振动
振动工程研究所
研究的起点----单自由度系统的确定振动
• 是以后研究复杂系统的基础。 • 有助于理解实际工程振动问题。 • 很多实际问题可简化为单自由度问题。
振动工程研究所
1.0 振动的描述
1.0.1 简谐振动的表示 • 三要素：振幅、频率、相位（概念复习）
简谐振动的三种表示法 – 三角函数法
u(t) a sin( 0t )
sin 3 5 7
3! 5! 7!
系统振动的Duffin方程
(t) g (t) g 3(t) 0
l
6l
振动工程研究所
刚体摆
质量为m，质心C距铰中心O距离为l
O l
绕固定铰使用动量矩定理
考虑小角度条件 sin
C
J0&& mgl 0
扭转振动方程
J&& kT 0
扭转振动固有频率
n
kT J
系统对初始扰动的自由振动响应
(t)
(0)
cos
nt
(0) n
sin
nt
振动工程研究所
梁横向振动
例：简支梁的横向振动，假设系统的质量全部 集中在梁的中部，取梁的中部挠度作为系统的 位移，静态挠度 ：
等效刚度
ke
1 2
mvc2
1 2
Jc2
3 4
m(R
r)22
O
R
vc
r
C
A
B
重力势能为 V mgh 1 mg(R r) 2
2
Vmax
1 2
mg(R
r)
2 m
,
Tref
3 4
m(
R
r)2
2 m
由 Rayleigh 商 得
系统固有频率为
n
Vmax T ref
2g 3(R r)
• 无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的特入点 简
mu(t) ku(t) 0
振动工程研究所
1.2无阻尼单自由度系统的自由振动
方程 & &
注意
m u (t) ku(t) 0
特点 二阶常系数齐次方程
初始条件 (定解条件)
u(0) u0, u(0) u0
振动工程研究所
P
48EI l3
P
EI
l
l
2
2
振动工程研究所
系统自由振动方程为 mu(t) keu(t) 0 振动固有频率
n
ke m
48EI ml 3
悬臂梁、固支梁情况类似，关键在于确 定自由度与给出等效刚度
振动工程研究所
*用能量法确定固有频率
（一种简单方法，也可发展用于近似求多自由 度系统固有特性）
方程
mu ku 0 固有频率 n
k m
初始条件 u0 0, u0 v0
振幅
a
u02
( u0 ) 2
n
v0
n
v0
m k
由振动而引起的钢丝绳中最大动张力为
T2 ka v0 mk
钢丝绳中总张力的最大值是
T T1 T2 mg v0 mk
解的形式与试探解
数学理论
微分方程解=通解（+特解）
（1）试探解的提出与代入 （2）用初始条件定系数
实际经验
u(t) uest
(ms 2 k)u 0
振动工程研究所
因为u 0 ,故得到有特征方程
（以s为变量的代数方程）
ms2 k 0
特征解（根）为 s j n
def
其中 n
振动工程研究所
复数法的位移、速度、加速度关系
z ae j e j0t ae j(0t )
z
j0ae j(0t )
ae j(0t2 j(0t )
0
ae 2 j(0t ) 0
k m 为固有圆频率.
或
fn
def
1
2
k m
Hz
固有频率 （固有
周期？）
振动工程研究所
自由运动方程的通解可取为:
u(t) a1 cos nt a2 sin nt
或 u(t) a sin( nt )
其中 a1, a2 或 a, 为积分常数。由初
始条件定。
a1 u0 ,
振动工程研究所
1.1 单自由度系统振动方程
• 振动系统的组成
三要素：质量，刚度，阻尼
c
k
必须要素
• 振动系统的数学模型:
运动方程（力平衡给出方程）
m u(t) f(t)
mu(t) cu(t) ku(t) f (t)
振动工程研究所
方程中的弹性项
fs
u2
u1
f
f
k
def
f s (t) k (t) k[u1 (t) u2 (t)]
4
不两
u +u
a(t)
12
同个
2
的振
谐幅 振、
u0
F1 F2
动 合 成
相 位 、
-2
F3
频 率
-4 0 2 4 6 8 10 12
都
t
同振幅谐振动的包络线通过零点。由两个频率接近的简谐振动合成的拍是一种普遍的物理现象。
振动工程研究所
李沙育（Lissajous）图
• 振动方向相互垂直的简谐振动合成 • 示波器观测频率与象位的传统工具
振动工程研究所
2. 调制信号——用高频传递低频信号
u(t) 2a cos(2 1 t 2 1 ) sin(2 1 t 2 1 )
2
2
2
2
a (t)sin[2 1 t (t)]
2
谐同两 振、个 动频振 合率幅 成接相
近同 且， 可而 通相 约位 的不
固有频率及固有周期
mg
n
mgl , J0
Tn 2 π
J0 mgl
振动工程研究所
与材料力学联系
单自由度扭振
假定盘和轴都为均质体，不考
GI kT
l
虑轴的质量。设扭矩作用在盘
面，此时圆盘产生一角位移，
Tl 其中 I π d 4
GI
32
定义轴的扭转刚度为
kT
T
GI l
振动工程研究所
tan 1
nu0
u0
)
振动工程研究所
刚度元件的串并联
u2 k1 u1
f
f
k2
u3 u2 u1
f
f
k2 k1
两个并联弹簧刚度增加,
k
f
k1
k2
两个串联弹簧刚度削弱, k k1k2 k1 k2
振动工程研究所
例: 升降机钢丝绳中最大张力
v0
k
v0
m
振动工程研究所
解：
振动工程研究所
1.3 等效单自由度系统
• 物理系统多样
数学模型唯一(等效性)
• 工程实际简化例子 汽车乘员抗颠簸性研究 翼尖挂弹环境研究 摩天轮刹车性能研究
振动工程研究所
摆
• 振动系统中不存在弹性元件，恢复力由摆锤重 力提供。 (势能提供者为重力，地球是储能元
件) 动力矩方程或力矩平衡方程
O
ml 2(t) mgl sin (t) 0
1 e j
振动工程研究所
三种表示法的差异
三角函数最直接、最常用。 旋转向量法是三角函数几何表示，用得不多，直观。 复数法与三角函数是一致的。
取虚部
向Y轴投影
振动工程研究所
• 简谐振动的合成
频率相同的两简谐振动合成后仍为简谐振动， 且频率不变。
u1(t) a1 sin(0t 1) u2 (t) a2 sin(0t 2 )
4
u +u 12
a(t)
2
u0
-2
-4 0 2 4 6 8 10 12
t
振动工程研究所
几个概念
• 拍:周期振动的一种 • 拍频:注意是拍的节律,不是包络线频率
(差一倍) • 包络线:有两条
振动工程研究所
def
a(t)
2a cos( 2
1
t
2
1
)
2
2
(t) 1 2
l m
(t) g sin (t) 0
l 振动的幅度很小时
sin
振动工程研究所
小角度简化方程为
(t) g (t) 0
l
系统振动的固有频率
n
g l
周期与摆线长关系
l gTn2 4π 2
振动工程研究所
周期误差与角度关系
0
6
3
2
T T0 1 1.02 1.07 1.18
第一章 单自由度系统的振动
1
振动分类（自由度）
• 单自由度 • 多自由度（有限自由度）－>大自由度 • 连续体（无限自由度）
振动工程研究所
振动分类（运动特点）
• 简谐振动 • 周期振动（可分解为若干简谐振动之和） • 非周期确定性振动
（可分解为无限个简谐振动之和）
*概周期振动 *一般确定性运动 • 随机振动 • 混沌振动
振动工程研究所
研究的起点----单自由度系统的确定振动
• 是以后研究复杂系统的基础。 • 有助于理解实际工程振动问题。 • 很多实际问题可简化为单自由度问题。
振动工程研究所
1.0 振动的描述
1.0.1 简谐振动的表示 • 三要素：振幅、频率、相位（概念复习）
简谐振动的三种表示法 – 三角函数法
u(t) a sin( 0t )