投资组合公式

• 1、
U＝E(r)-0.005Aσ2
• 2、S(酬报与波动性比率)= 风险溢价/标准差
• 3、
Y=P/(P+F)
• 4、 E(rC) = rf +y[E(rP )- rf]
• 5、σc=yσp +(1-y)σf= yσp +(1-y)0= yσp
•
Y= σc/ σp
• 6、 E(rC)=yE(rP)+(1- y)rf=rf+y[E(rP)- rf ]
套利与均衡
• 套利的一个简单例子
– LOF基金由于在交易所上市,又可以办理申购 赎回,所以二级市场的交易价格与一级市场的 申购赎回价格会产生背离,由此产生了套利的 可能。
– 当二级市场价格为1.25元，基金公司的申购价 格为1.21元，投资者可以从基金公司申购LOF 基金份额,再在二级市场卖出基金份额；
• 为此需要回答：
– 一个实际的市场是否已经达到均衡状态； – 如果市场未达到均衡，投资者会如何行动； – 投资者的行动会如何影响市场，最终使之达到均衡； – 均衡状态下，证券的期望收益率由什么决定。
套利与均衡
• 套利与一价法则
– 套利：是利用证券在两个市场之间定价的不一致性进
行资金转移，从中获取无风险利润的行为。
– 证券的收益率和因素之间关系是线性的； – 具有相同风险和收益率的证券其价格不能有两
种或两种以上价格 – 每个投资者都会去利用不增加风险而能增加组
合预期收益的机会。利用这种机会的具体做法 就是使用套利组合。
APT的研究对象
• 如果每个投资者对各种证券的期望收益率和敏感 性均有相同的估计，那么在均衡状态下各种证券 取得不同期望收益率的原因是什么？
E(r)
CAL
B
Q
P
A rf F
P1 A
B P1
单指数模型公式
•
Ri(t)= α+βiRM (t)+ei (t)
•
σi 2=β2i σ2M+ σ2(ei)
•
ri-rf=βi(rM-rf) +ei
•
R2=（ β2A σ2M ）/σ2A
•
Cov（rA，rB）=βAβBσ2M
• ρ （rA，rB）=（βAβBσ2M）/ σi σj
有效集、最优风险资产组合、最小方差点。
如何可求方差的最小值？
•
σp2= WD2 *σD2+ WE2*σE2+2*WD*WE*cov(rD,rE)
•
∵ WE=1- WD
• ∴σp2= WD2 *σD2+（1- WD ）2*σE2+2*WD*(1- WD） *cov(rD,rE)
= WD2 *σD2+（1- 2WD + WD2 ）* σE2+2*WD* （1- WD）*cov(rD,rE) =WD2 σD2+ σE2 -2 σE2 WD + σE2 WD2 +2WDcov(rD,rE)-2 WD2cov(rD,rE)
•
ρ1，2=1时，σp= W1*σ1+ W2*σ2
•
ρ1，2=0时，σp=（W1 2*σ1 2*+ W2 2**σ2 2*）1/2
•
ρ1，2=-1时，σp= │W1*σ1- W2*σ2 │
两个资产的组合应掌握两种情况，一是两种资产 的互生互克性，即协方差或相关系数，特别当
ρ1，2=-1时
• 对于完全负相关的两项资产，可以构造一个特 殊的投资组合，该投资组合是这两项资产构造 的最小方差祝贺，而且方差为0。
D
10 22.25 8.58 0.68 -0.38 0.22 1
套利与均衡
•不同证券之间的套利机会 – 将股票A、B、C按等权重构成投资组合T，将投资组 合T的可能未来收益率与股票D的可能未来收益率对比:
不同环境下T与D的收益率（％）
高通胀
低通胀
高利率 低利率 高利率 低利率
T
23.33
20
23.33
零投资组合
0
25
15
1
2
无论投资者多厌恶风险，都会利用这种优势进行套利。
套利与均衡
• 套利与均衡的关系
– 通过前面的分析可以看出，当套利机会出现时、投资 者就会通过低买高卖赚取差价收益。这时，使套利机 会存在的那些证券的定价是不合理的，因此市场上对 这些证券的需求与供给就处于非均衡状态，其价格就 为非均衡价格。
β 的概念定义
• β 是一个比值，是个股与市场的比较，这种比较 是全方位的。
• 第五题 • 第五题是收益率的比较。 • 第七题 • 第七题是风险溢价的比较。 • 第十六题 • 第十六题是协方差和方差的比较，两者概念及联
系。 • 第二十八题a • 第二十八题a 是收益率波动范围的比较。
α 阿尔法的概念定义
•
= rf+[E(rP)- rf ] σc/ σp=rf+S σc
• 7、 y*=[E(rp)-rf]/(0.01×Aσp2)
最优风险资产组合 风险资产 与无风险资产之间的资本配置
总的资产组合C
无风险资产组合F（国库券、MMMF等）
风险资产组合P （股票、债券等）
由长期债券1和股权证券基金2组成
最优风险资产组合
套利定价模型（APT）
• 美国经济学家Stephen Ross于1976年提出 了套利定价理论，他利用套利原理推导出 市场均衡状态下资本资产定价关系，即APT。
• 由于APT与CAPM的一样的解释功能，而且 涉及较少的假设条件，与现实更贴近，因 此受到更多的关注。
APT的基本假设
– 证券收益率的变动是由单因素或多因素模型的 变化所决定；
• 即 σp= │W1*σ1- W2*σ2 │=0 • ∴ W1*σ1=W2*σ2=（1-W1）*σ2
s2
•
W1= s 1 + s 2
•
•
W2=
s1 s1 + s2
各种不同相关系数的两种证券组合
E(r)
13% = -1
= -1
-1<<1
= 1
%8
12%
20% St. Dev
第二是评估两种资产的分配比例，即要求出
2 D
-
E(rD ) - rf
E(rE ) - rf
covrD, rE
E(r) M P A
F
Alternative CALs
CAL (P) CAL (A)
M
P CAL (Global minimum variance)
A G
P P&F M A&F
Efficient Frontier with Lending & Borrowing
(2)
b12
b22
...
bn 2
x2
0
... ... ... ... ... ...
∴MIN(WD) =
oE2 -cov(rD,rE ) oD2 + oE2 -2cov(rD,rE )
此点也被称为最小方差点。
The Minimum-Variance Frontier of Risky Assets
E(r)
Efficient frontier
GBiblioteka Baiduobal minimum
variance portfolio
利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从中 赚取无风险利润的行为称为套利
Arbitrage - arises if an investor can construct a zero investment portfolio with a sure profit. • 无投资需要,投资者可建立大的头寸来获取高利润
– 一价法则：相同证券在不同市场(或同类证券在同一市
场)的定价水平应相同。
– 一价法则隐含的意思是：如果一只证券的回报能通过 其它证券的组合合成创造出来，该组合的价格与基础 证券的价格肯定是相等的；
– 一价法则的成立意味着套利机会的消失；相反，当一 价法则被违背时，就会出现明显的套利机会。
– 一般来讲，在一个完全竞争、有效的市场总是遵循一 价法则的。
– 如果二级市场价格为1.17元，基金赎回价格为 1.21元，投资者就可以先在二级市场买入基金 份额,再到基金公司办理赎回业务完成套利过 程。
套利与均衡
•不同证券之间的套利机会 各种证券在不同环境下的收益率(%)
高通胀
低通胀
高利率 低利率 高利率 低利率
概率（P） 0.25
0.25
0.25
0.25
• 设W2该=1组- 合W中1。债该券组的合份的额期为望W收1益，率则为剩:余部分为 • E(rp)= W1* E(r1)+W2 * E(r2) • 该组合的方差为：
• σp2= W12 *σ12+ W22* σ22+2*W1*W2*cov(r1,r2) • = W12 *σ12+ W22* σ22+2*W1*W2*ρ1，2*σ1*σ2 • 在特殊相关系数下，投资组合的标准差：
A
-20
40
20
60
B
0
30
70
-20
C
90
-10
-20
70
D
15
15
23
36
套利与均衡
•不同证券之间的套利机会
股票
现价
期望收 标准差
益率 （％）
（％）
A
相关系数
B
C
D
A
10
25 29.58 1 -0.15 -0.29 0.68
B
10
20 33.91 -0.15 1 -0.87 -0.38
C
10 32.5 48.15 -0.29 -0.87 1 0.22
Individual assets
Minimum variance frontier
St. Dev.
最优资产配置
max wD
SP
E
rP - rf
P
wD
E(rD ) - rf
E(rD ) - rf
2 E
-
E(rE ) - rf
covrD , rE
2 E
E(rE ) - rf
– 随着套利的进行，这些证券的价格会随供需的变化而 发生上升或下跌。当达到某种水平使套利机会不再存 在时，套利者的套利行为就会终止，市场将处于均衡 状态，各种证券的定价就处于合理水平。此时，市场 不存在任何套利机会。这就是套利与均衡的关系，它 是资本市场理论的一个基本论点。
套利组合
• 根据APT，投资者将尽力发现构造一个套 利组合的可能性，以便在不增加风险的情 况下提高组合的预期报酬率。
• P191， α 是差值，是理想与现实的落差， 理想是CAPM，现实是诸如持有期收益率之 类。
• SML线上是正α，表示价值被低估，应买入 • SML线下是负α，表示价值被高估，应卖出，
做空。见图。
多因素模型
Multifactor Models
• 根据市场收益使用因素 Use factors in addition to market return – 举例含有行业生产,预期通货膨胀等 Examples include industrial production, expected inflation etc. – 用多元回归为每一个因素估计β值 Estimate a beta for each factor using multiple regression.
Since no investment is required, an investor can create large positions to secure large levels of profit. • 在有效市场内,有利的套利机会会很快消失
In efficient markets, profitable arbitrage opportunities will quickly disappear.
• 法马与弗伦奇建立了一个多因素模型。Fama and French 返回一个帐面价值 - 市值比涵数和市场收益高低涵数 – Returns a function of size and book-to-market value as well as market returns.
套利定价理论
Arbitrage Pricing Theory
• 套利组合必须同时满足三个条件：
– 它是一个不需要追加额外资金的组合； – 该组合既没有系统风险，也没有非系统风险。
即套利组合对任何因素都没有敏感性； – 当市场不均衡时，套利组合的收益>0。
套利组合
• 套利组合的表达式
(1)x1 x2 ... xn 0
b11 b21 ... bn1 x1 0
∴以WD对σp2求导 σp2’=2σD2WD-2σE2+2σE2WD+2cov(rD,rE)-4cov(rD,rE) WD=0
∴ σD2WD-σE2+σE2WD+cov(rD,rE)-2cov(rD,rE) WD=0
∴ WD[σD2+σE2 -2cov(rD,rE)] -σE2+cov(rD,rE)=0
36.67
D
15
15
23
36
在任何一种宏观环境出现时，投资组合T的收益率都高于股票D 。
套利与均衡
•不同证券之间的套利机会
零投资组合的收益状态
卖空D
股票
投资额
高通胀
低通胀
（万元） 高利率 低利率 高利率 低利率
A
100
-20
40
20
60
B
100
0
30
70
-20
C
100
90
-10 -20
70
D
-300 -45 -45 -69 -108