哈工大高等数学复习资料

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哈尔滨工业大学远程教育入学测试机考复习资料——专升本——高等数学

哈尔滨工业大学远程教育入学测试机考复习资料专升本—高等数学报考电气工程及其自动化、机械设计制造及其自动化、计算机科学与技术、土木工程专业学生适用实际测试题型（90分钟）第一题：单向选择题（共20题，每题4分，共80分）第二题：多项选择题（共20题，每题3.5分，共70分）复习资料一、单项选择题：1. 设1, 1()21, 121, 2x x f x x x x x +<⎧⎪=+≤<⎨⎪-≥⎩，则(1)f x += ( A )A. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<+=+．，，，，，1103202)1(x x x x x x x fB. ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+<+=+．，，，，，11101201)1(x x x x x x x fC. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<+=+．，，，，，2213212)1(x x x x x x x fD. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<+=+．，，，，，3213222)1(x x x x x x x f2. 设)2005)...(2)(1()(+++=x x x x x f , 则)0(f '= ( B )A. 2005B. 2005!C. 2004!D.20043.函数(y x =- ( C ) A ．[]1 ,∞- B ．[]1 ,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡54 ,0 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-54 , 4. 若,1)(+=x x f 则dx x f ⎰)(= ( D ) A. c x x ++3 B. 1323++x x C. x x +332 D. c x x ++332 5.函数 1()(1 (0)xF x dt x =->⎰的递减区间为 ( B ) .A. ),2[+∞eB. ),[2+∞eC. ),[+∞-eD. ),[+∞e6．设2 , 0, 0()()2, 0 ,2, 0x x x x f x g x x x x x ≥⎧≥⎧==⎨⎨-<<⎩⎩,则0≤x 时,)]([x g f = ( C )A.2 xB.2xC.2 4 xD.24x -7．当0x →时，下列函数中为无穷小量的是 ( C )A.-x 10B. -x 10C. 1xsin x D. 1sin x8．函数()f x 在点0x 处连续是它在0x 可微的( A )条件A . 必要不充分 B. 充分而不必要C. 充分必要D. 无关9．设(),,t y f x x e ==则22dt yd =( B )A. 2()t e f x ''B. 2()()x f x xf x '''+C. ()t e f x ''D. ()()xf x xf x '''+10．设⎰+=+c x dx x f cos )1(，则)(x f = ( B )A. )1sin(-xB.)1sin(--xC. )1sin(+xD.)1sin(+-x11．当 1x →时，函数121211x x e x --+的极限是 ( D )A . 2 B. 0 C. ∞ D. ∞不存在但不为12．设()f x 在x 2=处可导，且1(1)(2)1lim 333xf x f x →+-=-，则(2)f '=________( B ) A. -1 B. 1 C. 31 D. 31-13．设偶函数)(x f 具有连续二阶导数，且(0)0f ''≠，则0=x ______( B )A. 不是)(x f 的驻点B. 一定是)(x f 的极值点C. 一定不是)(x f 的极值点D. 是否为极值点不能确定14．若(,)z f x y =有连续的二阶偏导数，且(,)xy f x y k ''=，则(,)x f x y '=（ C ）A ．22k B ．ky C ．()ky g x + D ．()kx g y + 15．2302x x e dx +∞-⎰=（ B ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．不存在16. 已知2(),()2,x f x x x ϕ== =)]([x f ϕ ( A ) .A. x 4B. x 4-C. x 2D. x 2-17. 设()(),(2)1,f x f x f '-=-= 则(2)f '= ( B ) .A. 1B. 1-C. 2-D. 218. 设()f x 二次可微, (0)0,(0)1,(0)2f f f '''===,则20()lim _______x f x x x →-=( A ) A. 1 B. 1- C. 2- D. 2 19. 11d x x =⎰ ( D ) A. 21x B. c x +21 C. 221xD. c x +221 20. 已知 10()1f x dx =⎰，(1)0f =，则 10()xf x dx '=⎰ ( C ) A. 3 B. 1 C. 1- D. 221．函数2 0()1 0 0xe xf x x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩，则下列说法中正确的是 ( C )A .() f x 有一个间断点 B. ()f x 有两个间断点C. () f x 有三个间断点D. ()f x 无间断点22．设1()rctan,f x a x =则0()()lim ________x f a f a x x∆→--∆=∆( B ) A. 211a + B. 211a +- C. 21a a + D. 21a a +- 23．条件0()0f x ''=是()f x 的图形在点0x x =处有拐点的__( D )___条件A. 必要B. 充分C. 充分必要D.以上均非24．设t t f sin )(ln =，则()______()tf t dt f t '=⎰( A )A ．c t t t ++cos sin B.c t t t +-cos sinC. c t t t t ++cos sinD. c t t +sin25．2()________x xd e -=⎰( B )A. 22xx xe e c ---+ B. 2212x x xe e c --++ C.222x x xe e c ---+ D.2212x x xe e c ---+ 26．当0x →,与x 等价的无穷小量是______( C ). A.x x + B.11-+xC. sin(sinx)D.1-cosx27．若()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ B ）。

黑龙江省考研数学复习资料高等数学重点知识点总结

黑龙江省考研数学复习资料高等数学重点知识点总结高等数学是考研数学中的一门重要课程，它涉及到许多基础概念和重要知识点。

为了帮助考生更好地复习和准备考试，本文将对高等数学的重点知识点进行总结。

以下是高等数学的主要内容和核心知识点。

一、微分学1. 导数与求导法则- 导数的定义与几何意义- 常见函数的导数- 基本的求导法则（和差法则、积法则、商法则）2. 高阶导数和隐函数求导- 高阶导数的概念和求法- 隐函数求导的方法3. 函数的微分和微分近似- 函数的微分与微分近似的概念- 微分的基本公式- 微分近似的应用4. 参数方程的导数和曲线的切线- 参数方程的导数和导数的几何意义- 曲线的切线方程和法线方程二、积分学1. 定积分和不定积分- 定积分的概念和性质- 不定积分的概念和基本公式2. 常见函数的积分- 幂函数的积分- 三角函数的积分- 指数函数和对数函数的积分3. 牛顿-莱布尼茨公式- 牛顿-莱布尼茨公式的概念和应用4. 定积分的应用- 曲线长度和曲面面积的定积分表示- 物理应用：质量、重心和转动惯量三、级数1. 数项级数- 数项级数的概念和性质- 收敛级数和发散级数的判断2. 常见级数- 几何级数和调和级数- 幂级数和泰勒级数3. 幂级数的收敛半径和收敛区间- 幂级数的概念和性质- 幂级数的收敛半径的求法四、微分方程1. 一阶常微分方程- 一阶常微分方程的概念和基本形式- 可分离变量方程和线性方程2. 高阶微分方程- 二阶齐次线性微分方程- 常系数齐次线性微分方程3. 微分方程的应用- 生物学问题：人口增长模型- 物理学问题：弹簧振动模型五、多元函数与偏导数1. 多元函数的极限和连续性- 多元函数极限的定义和性质- 多元函数的连续性与偏导数2. 偏导数和全微分- 偏导数的定义和计算方法- 全微分的概念和计算方法3. 隐函数及其偏导数- 隐函数存在定理和求导公式- 参数方程与一阶偏导数总结：以上是高等数学的一些重点知识点总结。

线性代数与空间解析几何复习(哈工大)

m1 n1 p1 = = m2 n2 p2
19
直线与平面
直线与平面 Ax+By+Cz=D 垂直
A B C = = m n p
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
平行 mA+nB+pC=0 直线在平面上 mA+nB+pC=0，Ax0+By0+Cz0=D
20
第四章 n维向量
31
特征值与特征向量的性质
1．n阶方阵A的n个特征值之和等于A的n个对角线元素之和，即 λ1+ λ2+… +λn= a11+ a22 +… + ann 称a11+ a22 +… + ann为方阵A的迹，记为tr(A) 2．A的n个特征值之积等于A的行列式，即 λ1λ2…λn=|A| n 阶方阵A可逆当且仅当 A的n个特征值全不为零
16
距离
点（x0, y0, z0）到平面Ax+By+Cz=D
d= | Ax0 + By0 + Cz0 − D | A + B +C
2 2 2
异面直线间距离
s1 × s 2 d = P1 P2 • | s1 × s 2 |
17
位置关系
平面π1：A1x+B1y+C1z=D1与平面π2：A2x+B2y+C2z=D2 垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0 平行
28
非齐次增广矩阵 2．利用初等行变换将其化成行阶梯形，根据系数矩阵与增广矩阵的秩讨论其解 3．继续利用初等行变换将其化成行最简阶梯形 4．确定自由未知数(非特异列对应的未知数作为自由未知数，其个数为n-R(A))，写出同解方程组(将自由未知数项移至方程右边) 5．对自由未知数取值(可取任意数，仅取一组），求得方程组的特解 6. 对自由未知数取值（取n-r个n-r维线性无关的向量），求出方程组的导出组的基础解系 7. 写出方程组的通解

高数(下册)复习资料完整

高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数：傅里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量)散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环通量)旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =⋅，θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直 zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行 //0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔== 交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++空间曲面∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z = 0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法“线“方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1）利用直角坐标系X —型⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()x y α+,α为实数)21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤0θπ≤≤2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

高等数学习题课(二)_哈尔滨工业大学_4 空间解析几何及多元微分学在几何中的应用_(4.1.1) A4知识

向量123(,,)a a a a 向量=Oyzx3a 222123++a a a a 大小：=312222222222123123123(,,)++++++a a a a a a a a a a a a =()cos ,cos ,cos αβγ方向余弦：γ2221cos cos cos αβγ++=1.向量的内积:123123(,,),(,,)a a a ab b b b 向量==cos ,.a b a b a b θθ内积：为向量，的夹角⋅=ab112233a b a b a b a b 坐标形式：⋅=++0a b a b结论1：⋅=⇔⊥2.向量的外积:123123(,,),(,,)a a a ab b b b 向量==.a b 外积：仍为一个向量⨯ab123123i jk a b a a a b b b 坐标形式：⨯=0//a b a b结论：2⨯=⇔sin ,.a b a b θθ外积大小：为向量，的夹角.a b 外积方向：垂直于向量，a b⨯a b ：大小表示平行四3积结论边形面⨯3.向量的混合积:123123123(,,),(,,)(,,)a a a ab b b bc c c c 向量，===().a b c 混合积：为一个数⨯⋅ab123123123a a a ab b b bc c c 坐标形式：⨯=()a b c ：表示平行六面体积结论4体的⨯⋅a b ⨯()0,,a b c a b c 共面结论：5⨯⋅=⇔c()0000,,(,,)M x y z n A B C 求过点，法向量为的平面方程(),,M x y z 方法：任取平面上一点，M nM0⊥M M n 因为，()()0000---⋅,,,,=x x y y z z A B C ()()()0000-+-+-=A x x B y y C z z 故平面方程为0+++=Ax By Cz D 平面一般方程1++=x y z a b c截距式Oyzxa bc()0000,,(,,)M x y z l a b c 求过点，方向为的直线方程(),,M x y z 方法：任取直线上一点，M lM0//M M l 因为，()()000---=,,,,x x y y z z k a b c 000---==x x y y z z a b c故直线方程为000=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩x x kay y kbz z kc参数方程()00000,,+M x y z Ax By Cz D d 求点到平面的距离.++=()1111,,M x y z 方设该平面法过点：，0M n1M ()=,,n A B C 法向量为，()()01010222,,,,x x y y z z A B C d A B C ---⋅=++1010n M M M M n n表示向量在方向上的投影⋅()00000,,+M x y z Ax By Cz D 即点点到平面的距离.++=()()()1110A x x B y y C z z 平面方程又可表示为.-+-+-=+Ax By Cz D++()1001001,,x x y y z z a b cM x y z d 求点到直线的距离.---==()1111,,M x y z 方设该直线法过点：，()=,,l a b c 方向向量为，10M M ld l⨯⇒=1M l0M d=平行四边形面积10M M l⨯d l=⋅010102221ij k x x y y z z b ab ca c =+-+--直线之间的距离公式11122211122211::l l x x y y z z x x y y z z a b c a b c d 直线直线的距离.到------====()()111111111,,=,,l M x y z a b c τ设直线过点，方向向量为方法：()()222222222,,=,,l M x y z a b c τ设直线过点，方向向量为1M 1τ2τ2M =平行六面体体积()2112M M ττ⨯⋅21=dττ⨯⋅()211221=M M d ττττ⇒⨯⋅⨯二次曲面1.旋转曲面方程：0=⎧⎨=⎩(,)F x y x z 例如，求绕轴旋转所得旋转曲面方程22±+,x y y z 方法：不动，化为2.球面方程：2222++=x y z R 球心在坐标原点()220±+=,.F x y z 得旋转曲面方程()()()2222-+-+-=x a y b z c R 一般球面方程3.其他二次曲面方程： ()要求会画图像22=+z x y 例1画出.的图像.方法：截面法，即用平面去截曲面.22100=+=)z x y 时，，000(,,)所交为原点22311=+=)z x y 时，20<)z 时，无交点；22422=+=)z x y 时，Oyzx250==)x z y 时，22=+z x y 例2画出.的图像.22100=+=)z x y 时，，000(,,)所交为原点22311=+=)z x y 时，20<)z 时，无交点；22424=+=)z x y 时，Oyzx50==)x z y时，()00000():(),,()x x t l y y t M x y z t t z z t 1)设为一空间曲线，为曲线上的点，=⎧⎪==⎨⎪=⎩000000()()()x x y y z z x t y t z t 切线方程:---=='''()()()0000000()+()+()=x t x x y t y y z t z z 法平面方程：'''---1.曲线的切线与法平面：()00000(,,):,,(,,)F x y z l M x y z G x y z 2)设为一空间曲线，为曲线上的点，=⎧⎨=⎩0001x x y y z z dy dz dx dx 切线方程:---==2.曲面的切平面与法线：()00000:(,,),,S F x y z M x y z 1)设为一曲面，为曲面上的一点，=()()()0000++=.x y z x x F y y F z z F 切平面方程:'''---000---=='''.x y z x x y y z z F F F 法线方程(),,.xyzF F F 称为法向量'''()0000(,),S z f x y M x y z ，2)设:为一曲面，为曲面上一点,=()1,,,x y f f 法向量为''-()()()0+=.x x f y y f z z 切平面方程:''----2.曲面的切平面与法线：()()00000(,)(,),(,),x x u u v v y y u v P x y z z z u v 3)设为一，对应的点曲面，，=⎧⎪=⎨⎪=⎩12,P C C 点的两条特殊曲线取过()()()()()000012∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭,,,,,,,u v u v x y z x y z v v u u u v v v 它们的切向量分别是12=⨯P n v v 点法向量为0100=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,):(,)(,)x x u v C y y u v z z u v 0200=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,):(,)(,)x x u v C y y u v z z u v ()00∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂,u v ij k x yz u u u x y z vvv1. 概念：0()u f P P l 在点处沿方向的方向导数=000()()=limP P P f P f P u lP P→-∂∂Oyzxy =(,)z f x y 0x ()()()0000==,,,,cos ,cos ,cos u f x y z P x y z l αβγ数量场在上可微，则其沿任何方向的方向导数定理.均存在，且2. 计算：()()()0000000000∂'''++∂=,,cos ,,cos ,,cos x y z P u f x y z f x y z f x y z lαβγ3. 概念之间关系： ⇒可微方向导由定理，数存在；方向导数存在⇒.可微O yzx()()2200=+=∂∂,,cos ,cos ,.z x y l u l αβ设方向任意求例.00(,)解注意到函数.在点不可微，()22000000→→∂-∂+,(,)(,)=limx y u f x y f l x y 由定义，2222220000→→+-++=limx y x y x y1=1）方向导数与可微：2）方向导数与连续：⇒连续方向导数存在Oyzxy =(,)z f x y 0x ⇒方向导数存在连续3）方向导数与偏导数：⇒偏导数存在方向导数存在⇒方向导数存在偏导数存在⇒可微方向导由定理，数存在；方向导数存在⇒.可微Oyzx()()2200=+=∂∂,,cos ,cos ,.z x y l ul αβ设方向任意求例.00(,)解注意到函数.在点不可微，()22000000→→∂-∂+,(,)(,)=limx y u f x y f l x y 由定义，2222220000→→+-++=limx y x y x y1=1.方向导数与可微：2.方向导数与连续：⇒连续方向导数存在Oyzxy =(,)z f x y 0x ⇒方向导数存在连续3.方向导数与偏导数：⇒偏导数存在方向导数存在⇒方向导数存在偏导数存在。

哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案说课材料

哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案高等数学期末考试试题（4）一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂．3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．5、计算曲面积分,dSz∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z = 30()lim t F t t+→．2012高等数学期末考试试题【A 卷】参考解答与评分标准 2009年6月一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21y-；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5、二、试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对x 求导，得323dydz y z x dx dx dy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，从而54dy x dx y =-，74dz x dx z = (4)该曲线在()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T ==u r (5)故所求的切线方程为1128107x y z -+-==....................【6】法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++=.. (7)２、解：2222226z x y z x y⎧=+⇒⎨=--⎩222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22:2xy D x y +≤． (2)故所求的体积为V dv Ω=⎰⎰⎰222620202(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=⎰⎰ (7)３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1n n u ∞=∑发散…………………【3】又111||ln(1)ln(1)||1n n u u n n +=+>+=+,1lim ||lim ln(1)0n n n u n→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】４、解：121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂， …………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y ∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.x f xyf f f y y''''''=+--【7】５、解：∑的方程为z =∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．=…..………【３】故22222200xy D dS adxdy d a d z a x y a πρρθρ∑==---⎰⎰⎰⎰⎰22012ln()2ln 2aa a a hπρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..【7】三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d =【1】令22222(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-，则由22220220201x y z L x x L y y L z z x yx y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=+⎪++=⎪⎩，解得12x y -==，2z =121111(,2(2222M M -+-+--- (7)又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．故max 2min 1||||d OM d OM ==== (9)四、【10分】解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得22(sin )(cos )8x x DL OAI e y m dx e y mx dy m d ma πσ+=-+-=-=-⎰⎰⎰Ñ． (5)而10(sin )(cos )ax xOAI e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-⎰⎰ (8)∴221(sin )(cos ).8x x Le y m dx e y mx dy I I ma ma π-+-=-=-⎰ ………………………【10】五、【10分】解：()1131limlim 3133n n n n n na n R a n ρ++→∞→∞===⇒=+，收敛区间为 (3,3)- (2)又当3x =时，级数成为11n n∞=∑，发散；当3x =-时，级数成为()11nn n ∞=-∑，收敛．......【4】故该幂级数的收敛域为[)3,3- (5)令()13nn n x s x n ∞==∑（33x -≤<），则11111111()()33331/33n n n n n x x s x x x -∞∞-=='====--∑∑, (||3x <) ……【8】于是()()000()()ln 3ln 3ln 33xxx dxs x s x dx x x x '===--=---⎰⎰，（33x -≤<） (10)六、【10分】解：取1∑为220(1)z x y =+≤的下侧，记∑与1∑所围成的空间闭区域为Ω，则由高斯公式，有()()133222222316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω=++-=++⎰⎰⎰⎰⎰Ò (5)()2211262d d z dz πρθρρρπ-=+=⎰⎰⎰ (7)而()()221133221122313133x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤=++-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰….…【9】2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)七、【6分】解：()()22240sin cos tF t d d r f r r dr ππθϕϕϕ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰….… 【2】 ()3224400002sin cos sin t t d r dr d f r r dr πππϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()422028tt r f r dr π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰….… 【4】故()(3222320002()222lim lim lim ().333t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦=== 【6】。

哈工大理论力学知识点总复习高等教学

动力学三定律
基础计算：转动惯量、动量、动量矩、动能基本方法：动量法、动能法
区分动量、动量矩、动量定理、动量矩定理
行业学习
36
基础计算：转动惯量、动量、动量矩、动能
一、转动惯量 1、几个基本转动惯量要熟记 2、平行移轴公式要会用
3、惯性半径
行业学习
37
例：求钟摆对过点O的轴的转动惯量。
解：杆对过点对过点O的轴的转动惯量：
mg
rB
B圆柱体平面运动
FT
ma mg FT
FT
J BB
1 2
mr2B
行业r学F习T
B mg αB
a
48
JO A
1 2
mr2 A
rFT
J BB
1 2
mr2B
rFT
ma mg FT
αA r
A
运动学关系
a r A rB
r B αB
解得
a4g
5
行业学习
49
作业题
10-3（质心坐标守恒）,10-7(质心运动定理）, 11-2（求动量矩）,11-3（动量矩守恒） 11-5（定轴转动），11-18（定轴转动，初状态）, 11-11 （平面运动轮） 11-15（平面运动杆） 11-27（平面运动杆,初状态，未知轨迹） 11-23（绳轮连接，摩擦的处理） 11-12，11-30（动量法多刚体）
求：其重心坐标解: 用虚线分割为三个小矩形
其面积与坐标分别为 x1 15mm y1 45mm A1 300mm 2
x 2 5mm y 2 30mm A2 400mm 2 x3 15mm y 3 5mm A3 300mm 2
则
xC
Ai xC i A

2020年哈工大考研初试大纲数学[831] 高等代数

2020年数学学院硕士研究生入学考试大纲考试科目名称：高等代数考试科目代码：[831]一、考试内容及要求（一）多项式1.理解数域，多项式，整除，最大公因式，互素，不可约，重因式等概念。

了解多项式环，微商，本原多项式，字典排序法，对称多项式，初等对称多项式，齐次多项式，多项式函数等概念。

2.掌握整除，带余除法定理，最大公因式定理，互素多项式及不可约多项式的判别与性质，多项式唯一因式分解定理，余式定理，因式定理、代数基本定理，Vieta定理，高斯引理，Eisenstein判别定理，对称多项式基本定理。

3.掌握多项式无重因式、多项式相等的判别条件，Lagrange插值公式，复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论，有理多项式的有理根范围。

4.掌握辗转相除法，化对称多项式为初等对称多项式的多项式的方法。

(二)行列式1.了解行列式的概念，理解行列式的子式，余子式及代数余子式的概念。

2.掌握行列式的性质，Cramer法则，Laplace定理，行列式乘法公式。

3.掌握行列式的计算，并且能运用行列式理论解决相关问题。

（三）线性方程组1.理解向量线性相关，向量组等价，极大无关组，向量组的秩，矩阵的秩，基础解系，解空间等概念。

2.掌握线性方程组有解判别定理，解的结构，以及求解线性方程组的方法。

(四)矩阵1.理解矩阵的基本概念及其性质，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律。

2.掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。

掌握伴随矩阵的概念与性质。

理解矩阵的初等变换及矩阵等价的概念，会求矩阵的秩及逆矩阵。

3.理解分块矩阵，掌握分块阵的运算及初等变换。

（五）二次型1.掌握二次型的概念及二次型的矩阵表示，二次型秩的概念，二次型的标准形、规范形及慣性定律，掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形的方法。

2.掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法。

(六)线性空间1.理解线性空间，子空间，生成子空间，基底，维数，坐标，过渡矩阵，子空间的和与直和，线性空间同构等概念。

高等数学(下)知识点汇总与典型题解析(黑龙江联盟)智慧树知到答案章节测试2023年哈尔滨工程大学

第一章测试1.函数的所有间断点是（）。

A:，其中B:，其中C:，其中D:，其中答案:B2.极限的值是（）。

A:0B:eC:1D:答案:D3.极限的值是（）。

A:不存在B:1C:∞D:0答案:A4.设函数，则（）。

A:极限不存在B:极限不存在C:极限存在，但在点（0，0）处不连续D:在点（0，0）处连续答案:B5.函数在点偏导数存在是在该点连续的（）。

A:必要条件，但不是充分条件B:充分条件，但不是必要条件C:充分必要条件D:既不是充分条件，也不是必要条件答案:D6.设函数则（）。

A:1B:0C:不存在D:2答案:A7.设，则（）。

A:2B:C:0答案:B8.设，则（）。

A:不存在B:1C:-1D:0答案:D9.设是由方程所确定的函数，其中是变量u,v的任意可微函数，a,b为常数，则必有（）。

A:B:C:D:答案:B10.已知函数，其中，并且这些函数均有一阶连续偏导数，那么（）。

A:B:C:D:答案:D11.A:1B:-1C:aD:b答案:A12.设函数u=xyz在点（1，1，2）的某邻域内可微分，则函数u在点（1，1，1）处的梯度为（）。

A:3B:C:5D:答案:D13.曲线在点的切线一定平行于（）。

A:平面B:平面C:平面D:平面答案:C14.曲面在点处的切平面方程为（）。

A:B:C:答案:B15.空间曲线，在点处的法平面必（）。

A:垂直于平面B:平行于轴C:平行于轴D:垂直于平面答案:C16.A:B:C:D:答案:A17.函数在点的全微分就是曲面在点的切平面上的点的坐标的改变量。

（）A:错B:对答案:B18.设具有连续偏导数，则曲面的切平面平行于一定直线，其中为常数。

（）A:错B:对答案:B19.函数在某点的方向导数存在, 则函数在此点的偏导数存在。

（）A:错B:对答案:A20.函数沿其梯度方向的方向导数达到最大值, 且最大值为梯度的模。

（）A:错B:对答案:B21.若函数及都在点可导, 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点可导,且其导数为。

高等数学哈工大教材答案

高等数学哈工大教材答案（以下为正文）第一章：函数与极限1.函数及其图象（题目和答案）2.极限的概念（题目和答案）3.极限的运算法则（题目和答案）4.无穷小与无穷大（题目和答案）5.极限存在准则及夹逼准则（题目和答案）第二章：微分学1.导数与微分（题目和答案）2.基本初等函数的微分法3.高阶导数（题目和答案）4.隐函数与参数方程的导数（题目和答案）5.微分中值定理及其应用（题目和答案）第三章：积分学1.不定积分（题目和答案）2.定积分（题目和答案）3.定积分的计算与应用（题目和答案）4.反常积分（题目和答案）5.广义积分的审敛法第四章：级数与幂级数1.级数的概念与性质（题目和答案）2.正项级数的审敛法（题目和答案）3.幂级数（题目和答案）4.函数展开成幂级数（题目和答案）5.幂级数展开的应用（题目和答案）第五章：多元函数微分学1.多元函数的概念（题目和答案）2.偏导数（题目和答案）3.全微分（题目和答案）4.多元复合函数的导数（题目和答案）5.隐函数的导数与微分（题目和答案）第六章：多元函数积分学1.曲线积分（题目和答案）2.曲面积分（题目和答案）3.空间向量场的散度与旋度（题目和答案）4.多元函数的广义积分（题目和答案）5.广义积分的应用（题目和答案）第七章：向量代数与空间解析几何1.向量及其运算（题目和答案）2.平面与直线（题目和答案）3.空间平面（题目和答案）4.向量积与混合积（题目和答案）5.空间曲线与曲面（题目和答案）第八章：常微分方程1.常微分方程的基本概念（题目和答案）2.一阶微分方程（题目和答案）3.二阶线性微分方程（题目和答案）4.高阶线性微分方程（题目和答案）5.常微分方程的应用（题目和答案）（正文结束）通过以上格式展示了高等数学哈工大教材的答案内容，每一章节都列出了相应的主题，并以小节的形式呈现了题目和答案。

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哈尔滨工业大学《高等数学》课件-第一章+函数

U (a, )表示 :与点a距离小于的一切点x的全体.
几何表示
O a
a
a x
7
1.1 集合与函数
U(a, )有时简记为 U (a).
点a的去心(空心) 的邻域,记作U(a, ), 即
U(a, ) {x 0 x a }.
xa
开区间 (a ,a)称为a的左邻域,
开区间
(a,
a
)
称为a的
函数f
(
x)
1
x x2
在定义域内为(
C
).
A. 有上界无下界
B. 有下界无上界
C.
有界,
且
1 2
f (x)
1 2
D.
有界且
2
1
x x2
1 3
解
x f (x) 1 x2
|x| 1 x2
|x| 2| x|
1 2
故 1 f (x) 1 .
2
2
(1 x2 2 | x |)
[解题提示] 将函数取绝对值, 然后用不等式
经常会遇到分段函数的情形. 19
1.1 集合与函数
用分段函数表示函数 y 3 x 1, 并画出
其图形.
答案:
y
3 3
( (
x x
1), 1),
即
y
2 4
x, x,
x1 x1
x1 x1 y
3.
注
•
2O 1
•
4x
分段函数在其整个定义域上是一个函数, 而不是几个函数!
20
1.1 集合与函数
1,
0,
x Q, (x为有理函数)
x QC . (x为无理函数)

高等数学习题课(二)_哈尔滨工业大学_1 微分方程_(1.1.1) A1知识点PPT下载

1.常微分方程..含有未知函数导数（或微分）的等式称为若未知函数是一元的，则称此方程为微分方程常微分方程2. 方程的阶.微分方程中未知函数最高方程数称为的阶数阶()2+sin .y y y x 例1.'''-=2+sin .x f f f xy '-=()32.y y x 例2.'=+.n n n 2）若有一个含有个无关的任意常数的函数是一个阶微分方程的解，则称这个含有个任意常数的解为此方程通解的.3）通解不能包含的为方程的奇解解.4）通解中任意常数确定后的解为方程特解的3. 方程的解.1）若将某个函数代入方程中未知函数位置上，使方程变为恒等式，则称此函为方程的一个解数4. 定解条件（初始条件、初值条件）000112(),.n n x x x x x x n y a y a y a n -==='===称个条件,,为阶微分方程定解条件的()2()+S S t S t t 设变速直线运动函数满例3足.1，''==00000()()().S S v '===定解条件：，()().y f y g x 形如1.可分离变量方程：的方程'=解法：分离变量后再积分，()()dyy f y g x dx '==d ()()dyg x xf y ⇒=d d ().()yg x x f y ⇒=⎰⎰为其通解().yy f x 形如2.齐次方程.'=解法： ,yu x =设y ux⇒=()y ux ''⇒=()f u u xu '⇒=+()().y p x y q x 3.一阶线性方程.形如'=+0()q x =当时，齐次；0()q x ≠当时，非齐次；d ()p x xy Ce ⎰=d d d ()()()p x x p x xy e C q x e x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎰1()()y y p x y q x λλ--'⇒=+()01()(),.y p x y y q x λλ4.伯努利方程.形如'=+≠()1111()()y p x y q x λλλ--'⇒=+-()()()1111()()y p x y q x λλλλ--'⇒=-+-()()()1d 1d 11d ()()()p x x p x xy e C q x e x λλλλ----⎡⎤⎰⎰⇒=+-⎢⎥⎣⎦⎰可降阶的微分方程()()()10,,n n F x y y 1.方程+=(),n y u =设()0,,F x u u '=方程化为一阶方程()0,,F y y y 2.方程'''=d d ,yy u x '==设d 0d ,,u F y u u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭方程化为一阶方程d d uy x ''=d d d d uyy x =⋅d d uu y=n 1.阶线性方程()()1110()()()()n n n y a x y a x y a x y f n x 形阶线性方如程为程的方--'++++=0()f x 如果，；齐次≡0()f x 如果，.非齐次≠121122,,,n n n y y y n y C y C y C y 设为阶线性齐次微分方程的线性无定理1.关的解，则方程的通解.=+++2.齐次方程通解结构12*,,,n y y y n y 设为阶线性微分方程的对应齐次方程线性无关的解，是非齐次方程一个定理2.3.结论1）齐次解齐次解齐次解；I II=III2）齐次解非齐次解非齐次解；+=3）非齐次解-非齐次解齐次解；=常系数齐次线性微分方程 ()()11100n n n y a y a y a y --'++++=1110+n n n a a a λλλ--⇒+++=0，()特征方程.x y e λλ=如果是单实特征根，则(1)112,,,xx k xk k k y e y xe y x e λλλλ-===如果是实特征根，则方程基础解系中对应的个)解(2i k λαβ=±如果是方程的重(4)复特征根，2k 则方程基础解系中对应的个解12cos ,sin ,xx y e x y e x ααββ==cos ,sin ,x x xe x xe x ααββ12cos ,sin .x xy e x y e x ααββ==则方程基础解系中对应的两个解i λαβ=±(如果是单3)复特征根，~常微分方程~()()11101.()n n n y a y a y a y f x --'++++=()1110()n n n n n f x P x a x a x a x a --==++++当()*,k n y x Q x =可以设k 为0是方程特征根的重数()()()cos sin x x n m f x P x e x Q x e x ααββ=+一般地，当()()*cos sin ,k x x t t y x P x e x Q x e x ααββ⎡⎤=+⎣⎦可以设max{,}k t m n αβ±=为i 是方程特征根的重数,分类：0==αβ1）当时，().f x 为多项式00,αβ≠=2）当时，()().xn f x P x e α=00,αβ=≠3）当时，()()()cos sin .n m f x P x x Q x x ββ=+~常微分方程~ 2.欧拉方程.()()11110110(),,,.n n n n n n x y a x y a xy a y f x a a a ----'++++=欧拉称为，方程其中为常数解法：ln t t x x e ==做换元或，d 1d tx x=()()11()n n x y D D D n y =--+规律：.方程化为常系数线性非齐次微分方程。

哈工大872考点详解

哈工大872考点详解考点1：数学基础哈工大872考试数学涉及的知识点较为全面，需要掌握的数学基本概念包括：数列、数学归纳法、连续性、极限、偏导数、积分、矩阵、向量、微分方程等。

考点2：C语言程序设计872考试C语言程序设计中需要掌握语法、指针、动态内存分配、函数、结构体等知识点，对于基本操作等也要有一定的熟练度。

考点3：数据结构考试中的数据结构主要有线性结构、树形结构、图形结构等三部分，需要熟练掌握数组、链表、栈、队列、堆、二叉树等知识点，对于算法的时间与空间复杂度也需要有一定的掌握。

考点4：计算机网络872考试中计算机网络的知识点包括：OSI七层模型、TCP/IP协议族、网络拓扑结构、网络安全等，在考试中需要重点掌握TCP/IP协议族，包括IP地址、子网掩码、IP地址分类、ARP、RARP、ICMP、TCP、UDP等知识点。

考点5：操作系统操作系统是一门重点考试科目，需要重点掌握的知识点包括进程、线程、进程间通信、进程调度、存储管理、文件系统、虚拟存储器等。

在考试中也需要比较灵活应用。

考点6：数据库对于这个考点涉及的知识点较多，需要掌握的知识点包括：关系数据库、关系代数和SQL语言、数据库设计理论、索引技术等。

考点7：软件工程软件工程在考试中主要涉及软件生命周期模型、需求分析、系统设计、测试、软件开发过程管理等方面的知识。

考点8：计算机组成原理计算机组成原理是一门考试中较为重要的学科，需要掌握的知识点包括计算机指令系统、CPU结构及功能、存储器结构及管理、输入输出系统、总线结构等。

考点9：智能计算智能计算主要包括人工智能和机器学习两部分，需要对相关学科有一定的了解，包括最大似然估计、极大后验概率、逻辑回归、支持向量机等知识点。

总结：以上是872考试的九个主要考点，其中数学基础、C语言程序设计、数据结构、操作系统和计算机组成原理为考试中重点考察的科目，需要考生下足功夫。

同时，其他科目的考试知识点也同样需要考生掌握。

哈工大高数基础讲义ch

①②第二章导数与微分第一节导数的概念教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念,导数的几何意义教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握教学内容：1. 函数在一点的导数为了给出导数的概念，我们先看下面两个问题。

（1）直线运动的速度设某点沿直线运动。

在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。

此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点。

设动点于时刻t 在直线上的位置的坐标为s （简称位置s ）。

这样，运动完全由某个函数()t f s =所确定。

这函数对运动过程中所出现的t 值有定义，称为位置函数。

在最简单的情形，该动点所经过的路程与所花的时间成正比。

就是说，无论取哪一段时间间隔，比值经过的路程所花的时间总是相同的。

这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动。

如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值①会有不同的值。

这样，把比值①笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。

那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为0t ）的速度应如何理解而又如何求得呢？首先取从时刻0t 到t 这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置()00t f s =移动到()t f s t =。

这时由①式算得的比值()()000t t t f t f t t s s --=-- 可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。

如果时间间隔选得较短，这个比值②在实践中也可用来说明动点在时刻0t 的速度。

但对于动点在时刻0t 的速度的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切地应当这样：令0t t →,取②式的极限，如果这个极限存在，设为0v ，即()()000limt t t f t f v t t --=→，这时就把这个极限值0v 称为动点在时刻0t 的（瞬时）速度。

（2）切线问题圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”。

哈工大高数基础讲义ch7

哈⼯⼤⾼数基础讲义ch7第七章空间解析⼏何与向量代数第⼀节空间直⾓坐标系教学⽬的：将学⽣的思维由平⾯引导到空间，使学⽣明确学习空间解析⼏何的意义和⽬的。

教学重点：1.空间直⾓坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式教学难点：空间思想的建⽴教学内容：⼀、空间直⾓坐标系1．将数轴（⼀维）、平⾯直⾓坐标系（⼆维）进⼀步推⼴建⽴空间直⾓坐标系（三维）如图7－1，其符合右⼿规则。

即以右⼿握住z 轴，当右⼿的四个⼿指从正向x 轴以2⾓度转向正向y 轴时，⼤拇指的指向就是z 轴的正向。

2．间直⾓坐标系共有⼋个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标⾯分别为xoy ⾯、yoz ⾯、zox ⾯。

坐标⾯以及卦限的划分如图7－2所⽰。

图7－1右⼿规则演⽰图图7－2空间直⾓坐标系图图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表⽰⽅法。

通过坐标把空间的点与⼀个有序数组⼀⼀对应起来。

注意：特殊点的表⽰a)在原点、坐标轴、坐标⾯上的点；b)关于坐标轴、坐标⾯、原点对称点的表⽰法。

4．空间两点间的距离。

若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点，则21M M的距离（见图7－3），利⽤直⾓三⾓形勾股定理为：2222122212212NM pN p M NM N M M M d ++=+==⽽ 121x x P M -=12y y PN -=122z z NM -=所以21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-==特殊地：若两点分别为),,(z y x M ，)0,0,0(o222z y x oM d ++==例1：求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三⾓形是⼀个等腰三⾓形。

证明: 14)21()13()74(222221=-+-+-=M M6)23()12()75(222232=-+-+-=M M6)13()32()45(222213=-+-+-=M M由于 1332M M M M =，原结论成⽴。

高等数学习题课(二)_哈尔滨工业大学_3 二重积分_(3.1.1) A3知识点PPT下载

D
D
5)设f ( P)是有界闭区域D上连续函数，则 f (P)d =f ( P* )D, D
6)若D关于x 0 y 0 对称，且f ( x, y)是关于 P* D
x( y)的奇函数，则 f ( x, y)dxdy 0.
D
规律：a f ( x)dx 0 a
7)若D关于y x对称，则 f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy.

a r b (r)
(r)
不做要求
O
~一元积分学~
二重积分的意义
f ( x, y)dxdy
D
1.物理意义
表示以f ( x, y)为面密度有限平面区域质量的代数和.
2.几何意义
z
z f (x, y)
表示以D为底，以 z f ( x, y)为顶的曲来自柱体体积的代数和.O
y
dx D
x
dy
~一元积分学~
二重积分的性质
1) dxdy D的面积 D
D
D
若D1和D2关于y x对称，则 f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy.
D1
D2
~一元积分学~
二重积分的计算公式
直角坐标系下计算： y
X 型：a(x)xyb ( x)
y (x) y (x)
Oa
b
(x)
f ( x, y)dxdy dx
y
D
转换公式：dxdy
x, y , r
d dr
rd dr

可积区域

( )
r
(