清华大学《高等水文学》地貌瞬时单位线理论_41702857

为了用地貌参数表达式，首先引进斯马特定理：对于
一个 Ω 级流域，其中i级河流的内链数目为：
∏ E [= i,Ω]
Ni
i a=2
N a −1 2Na
= − 1 , i −1
2,3,, Ω
（19）
若i级河流有 Ni 条，比其高一级的河流有 N j 条，则 Ni
必有2N j 条直接排入其高一级的河流，余下的河流中
2. 地貌瞬时单位线公式的推导
2.2 路径概率： 降落在流域上某处的水滴可取不同的路径流到流域出
口断面。例如，对一个 Ω =3级的流域，水滴可能的
路径为： S1: r1 → c1 → c2 → c3 → c4 S2: r1 → c1 → c3 → c4 S3: r2 → c2 → c3 → c4 S4: r3 → c3 → c4 式中 ri 表示i级河流的坡面状态，ci 表示i级河流状态。
e−k3t ] + π r3 k3e−k3t , ki
= 1 ,i = 1, 2,3 Ki
5. 实例计算
应用地貌数据和流速资料，可得：
= pc1c2
R= B2 + 2RB − 2 RB (2RB −1)
0.786
= pc1c3
R= B2 + 3RB − 2 RB (2RB −1)
0.214
= π r1 RR= BA22 0.686
因此，
π=r2
A2 N2
−
A1
2N2
+
( N1
−
2N2
)
2
N N2
2
−
1
N2 A3
A2
−
A1 (
N1 − 2N2 2N2 −1
+
2= )
N2 A3
A2
−
A1
N p1 c1c2 N2
由上述推导方法，可以推广到一般情形，
（25）
∑ = π ri
Ni AΩ
Ai
Fra Baidu bibliotek
−
i −1 j =1
求流域瞬时单位线的问题就转化为确定流域持留时间
概率密度函数的问题。
2. 地貌瞬时单位线公式的推导
2.1 一些定义： 1 状态：水滴在流域上所处的空间位置，即某级坡面 或某级河流。 2 路径：由各状态按流域汇流的物理顺序组成的集合。 3 状态转移：水滴由一个状态向另一个状态的转移。 4 状态转移概率：水滴由一个状态向另一个状态转移 的可能性大小。
− k1 )(k3
pc1c3 − k1
) )
e − k1t
+
(k1
k1k2k3 pc1c2 − k2 )(k3 −
k2 )
e−k2t
+
k3 (k1k2 − k1k3 pc1c3 ) (k1 − k3 )(k2 − k3 )
e − k3t
]
+π
r2
[
k2k3 k3 − k2
e−k2t
+
k2k3 k2 − k3
式中 ∗ 为卷积运算符号。
2. 地貌瞬时单位线公式的推导
例如3级流域中的S2为 r1 → c1 → c3 → c4 ，因此，
Ts2 = Tr1 + Tc1 + Tc3
（12）
根据式（11）可得：
∫ ∫ （13） Fs2 (t) = Fr1 (t) ∗ Fc1 (t) ∗ Fc3 (t) =
t 0
t' 0
另一方面，在流域汇流阶段，其水量平衡为：
dW (t) = −Q(t) + I (t) dt
（4）
特别地，对于仅在0时刻有净雨量瞬时注入流域时，
dW (t) = −Q(t),t > 0 dt
将式（3）代入式（5），可得：
（5）
−I0
dFB (t) dt
= −Q(t ), t
>
0
Q(t) = I0 fB (t)
2 pcΩcΩ+1：从最高级河流状态流向流域断面出口的概率， 即收集状态转移的概率。这种转移也是必然的，因此 概率为1。
3 prici pcic j ( j>i) ：从某级河流状态向比其更高级的河流状
态转移的概率，
Nij p = cic j ( j>i)
Ni
（18）
3. 用地貌参数确定转移概率和初始概率
2. 地貌瞬时单位线公式的推导
2.3 在路径上持留时间的概率分布：
若水滴在每个状态的持留时间为 Txk ，则水滴经由该 路径到流域出口断面花费的时间为：
Ts = Tx1 + Tx2 + + Txk
（10）
由于各状态间是相互独立的，因此，Ts 的概率分布函
数为：
{ } Fs (t) = P Ts < t = Fx1 ∗ Fx2 ∗∗ Fxk−1 ∗ Fxk (t)（11）
一部分排入比其高一级的河流，其余的将排入比其高
二级，三级等的河流。在余下的河流中仍排入比其高
一级河流的i级河流数为：
E[ j,Ω]
(Ni − 2N j ) Ω
∑ E[k,Ω]
k= j
3. 用地貌参数确定转移概率和初始概率
于是，
E[ j,Ω]
2N j + (Ni − 2N j ) Ω
∑ E[k,Ω]
芮孝芳，1991，水科学进展
5. 实例计算
长江下游支流青戈江大河口以上流域的流域面积 402km2。这是一个3级流域。求得流域地貌参数列 于下表。由于该流域自河源至出口断面，坡度陡峭， 且较均一，故可认为流速沿河长基本不变。根据大河 口水文站实测资料分析得其流速为2.08m/s，即为 本例中采用的各级河流的平均流速。
河流级别
Ni
Li（km） Ai(km2)
RB
1
16
4.8
16.03
2
4
13.4 89.03
4
3
1
7
402
RL 1.58
RA 4.83
5. 实例计算
若忽略不计坡面汇流时间，且采用式（27）作为各 级河流状态的持留时间的概率密度函数，则3级流域 的地貌瞬时单位线公式为：
u(t=)
π
r1
[
k1k2 (k2 (k2 − k1
s∈S
s∈S
对t求导数即可得：
∑ fB (=t)
dFB (=t) dt
fx1 ∗ fx2 ∗∗ fxk−1 ∗ fxk (t) p(s)
s∈S
（17）
3. 用地貌参数确定转移概率和初始概率
3.1 转移概率的确定 1 prici：坡面状态向同级河流状态的转移概率。因为这 种转移是必然的，因此概率为1。
如果降雨在流域上呈均匀分布，则不难理解，初始概
率为：
π ri
=
Ai AΩ
（23）
式中， Ai 为排入i级河流的流域面积。
如果i=1，则
π r1
=
N1 A1 AΩ
式中，A1 为1级河流的平均流域面积。
（24）
3. 用地貌参数确定转移概率和初始概率
如果i>1，则推导要麻烦一些，以3级流域为例。
由斯马特定理可知，直接排入2级河流的流域面积为：
4. 持留时间概率密度函数问题
对一个流域而言，存在下列关系：
τ =1− (1− λ)(1− ρ)
n
N
∑ ∑ λ =( ∆l j )( ∆l j )−1 =lL−1
=j 1=j 1
∑ ∑ ρ
n = (∆l j
p
j
−0.5
)
n
(∆l
j
p
j
−0.5
−1 )
j 1= j 1
（28）
τ = λ1−mλ
Aj
N pj c jci Ni
（26）
4. 持留时间概率密度函数问题
确定持留时间概率密度函数的实质是确定水滴流速的
概率密度函数。目前最常用拟合水滴持留时间的概率
密度函数的线型是下列单参数指数函数：
= fxi (t)
= 1 e−t/Ki , i 1, 2,, k Ki
（27）
其中 Ki 是水滴在 xi 状态下的平均持留时间。
Fr1
(t ' )Fc1
(t ''
−
t ' )Fc3
(t
−
t '' )dt 'dt ''
一般来说，水滴在坡面上停留的时间比在河流中持留
的时间短很多，因此，在流域汇流计算中常常忽略坡
面状态的影响，即，
∫ Fs2 (t) = Fr1 (t) ∗ Fc3 (t) =
t 0
Fr1
(t '
) Fc3
(t
−
t
'
)dt
'
（14）
2. 地貌瞬时单位线公式的推导
2.4 地貌瞬时单位线表达式的导出：
由于作为随机变量的持留时间 TB 可表示为：
∑ TB = Ts Is
（15）
s∈S
其中，I为指示函数，S为所有路径的集合。
因此，
∑ ∑ FB (t=) P{TB < t=} {Ts < t} p(s=) （16） Fx1 ∗ Fx2 ∗∗ Fxk−1 ∗ Fxk (t) p(s)
式中，τ 为水滴自河源至河系中某一位置x的汇流时
间与自河源至流域出口断面的汇流时间之比；m综合
反映河道纵坡面的特征参数；n为自河源至x处的子
河段数；l为自河源至x处的河长；L为自河源至出口
断面的河长。
4. 持留时间概率密度函数问题
由式（28）可知，如果已知流域出口断面的流速， 就可以根据下式确定各级河流状态的平均持留时间：
（6） （7）
式中，fB (t) 为持留时间 TB 的概率密度函数。
1. 流域瞬时单位线的概率释义
根据流域瞬时单位线的定义，
= u(t)
Q= (t) I0
fB (t)
（8）
式（8）表明，当组成净雨量的各水滴之间呈弱相互
作用，并具有等可能性时，流域瞬时单位线与水滴持
留时间的概率密度函数等价。因此，在此条件下，推
∑ { } { } 1
n
n
I(t,∞) (TBi ) =E I(t,∞) (TB ) =P
i =1
TB
≥t
=1− P TB < t （2）
将式（2）代入式（1），即可得：
{ } { } W (t)= I0P TB ≥ t = I0 1− P TB < t = I0 [1− FB (t)]（3）
1. 流域瞬时单位线的概率释义
π r2
= RB − RB3 + 2RB2 − 2RB
RA
RA (2RB −1)
= 0.289
π r3
=1 −
RB RA
−
RB3 − 3RB2 + 2RB RA2 (2RB −1)
=0.025
= k1 1= .56, k2 0.5= 59, k3 1.07
将以上各参数代入u(t)，得
u(t) =0.525e−1.56t +1.322e−1.559t + 0.979e−1.07t
地貌瞬时单位线理论
来自：芮孝芳《水文学原理》，2006
1. 流域瞬时单位线的概率释义
设想流域上有一瞬时注入的均匀分布的净雨量 I0 ， 它可以看做由n个水滴组成。若每个水滴的体积为 u0 ，
则有 I0 = nu0 ，假设各水滴之间呈弱相互作用，即在概率 上可认为是相互独立的，而且各水滴以相等的可能性降 落在流域上。
令TBi 表示第i个水滴从其所在位置流到流域出口断
面所花的时间，则t时刻流域蓄水量W(t)可以表示为：
∑ W (t) =
I0 n
n
I(t,∞) (TBi )
i =1
（1）
式中 I(t,∞) (TBi ) 是指示函数，即TBi > t 时，其值为1，否则为0.
1. 流域瞬时单位线的概率释义
由于n事实上为无穷大，且 TBi 具有独立、等可能 性，根据大数定律，必有：
= Ki
LΩ∆= τi , i vΩ∆τ Ω
1, 2,, Ω
（29）
式中，LΩ 为河系中最高级河流的长度；vΩ 为河系中最
高级河流的流速；∆τi 和 ∆τΩ 为参数。
4. 持留时间概率密度函数问题
如果流域上水滴的流速 处处相同，则可以证明， 水滴持留时间的概率密 度函数就是面积-时间 曲线，并且完全取决于 流域的几何形状。
p = cic j
k= j
Ni
对于3级流域，由于
E
[ 2, 3]
=
N2
N1 −1 2N2 −1
E
[3,
3]
=
N3
N1 −1 2N2 −1
2NN23−−11
故
= pc1c2
N2 N1
N2 − 2N1 2N2 −1
+
2
（20）
（21） （22）
3. 用地貌参数确定转移概率和初始概率
3.2 初始概率的确定
2. 地貌瞬时单位线公式的推导
若某路径s由状态 x1, x1,, xk 按流域汇流的物理顺序集
合而成，则由于状态互相独立，路径概率为：
π p(s) =
p p p x1 x1x2 x2x3
xk −1 xk
（9）
其中，π x1 为水滴处于初始状态的概率，简称初始概率；
pxk−1xk 为水滴的转移概率。