1.1.1函数的平均变化率课时作业
1.1.1函数的平均变化率
学案1.1 .1 函数的平均变化率编者：刘志英2009.2.18【课标点击】（一）学习目标（1）掌握平均变化率的概念；能通过计算平均变化率了解曲线的陡峭程度，能理解平均变化率的实际意义；（2）能熟练计算函数在某区间上平均变化率．（二）教学重点，难点（1）掌握平均变化率的概念并能熟练地计算．【课前准备】（一）问题导引问题一：如图，某市2004年4月20号最高气温为33.4C，而此前的两天，4月19号和4月18号最高气温分别为24.4C和18.6C，短短两天时间气温“陡增”14.8C，人们无不感叹：“天气热得太快了”．问题二：（1）将该市2004年3月18号最高气温为3.5C与4月18号最高气温18.6C进行比较，两者的温差为15.1C，甚至超过了14.8C，人们却不发出上述感叹，为什么？（2）从图象上观察，,B C 之间的曲线较,A B 之间的曲线谁更“陡峭”？问题答案： 用比值33.418.6()3432C B C By y x x ----来近似地量化,B C 之间的曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在区间[32,34]上的平均变化率．即气温在区间[1,32]上的平均变化率为18.6 3.515.10.532131-=≈-． 即气温在区间[32,34]上的平均变化率为33.418.614.87.434322-==-． 虽然,B C 与,A B 之间温差几乎相同，但平均变化率却相差很大．【学习探究】（一）自学课本第3、4页知识点梳理：1， 自变量的改变量2， 函数值的该变量3， 函数的平均变化率（二）思考与讨论函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率表示为：2121()()f x f x x x --． 可以吗？ 在图形上的表现为：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”。
（三）．典例示范例1．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解：从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化 率为：6.5 3.51(/)30kg -=-月． 从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化 率为：118.60.4(/)126kg -=-月． 例2． 如图水经过缸吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()5t V t e-=（单位3)cm 计算第一个10s 内V 的平均变化率．解：区间[0.10]上，体积V 的平均变化率为：3(10)(0) 1.83950.3161(/)10010V V cm s --≈=--． 负号表示容器甲中的水在减少．例3．已知2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1,3]； （2）[1,2]； （3）[1,1.1] ； （4）[1,1.001]．解：（1）()f x 在[1,3]上的平均变化率为：22(3)(1)3143131f f --==--； （2）()f x 在[1,2]上的平均变化率为：22(2)(1)2132121f f --==--； （3）()f x 在[1,1.1]上的平均变化率为：22(1.1)(1) 1.11 2.11.11 1.11f f --==--； （4）()f x 在[1,1.001]上的平均变化率为：22(1.001)(1) 1.0011 2.0011.0011 1.0011f f --==--． 例4．已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算()f x ，()g x 在区间[31]--，[0,5]上的平均变化率．解：()f x 在区间[31]--上的平均变化率为：(1)(3)2(1)(3)f f ---=---． ()f x 在区间[0,5]上的平均变化率为：(5)(0)250f f -=-． ()g x 在区间[31]--上的平均变化率为：(1)(3)2(1)(3)g g ---=----． ()g x 在区间[0,5]上的平均变化率为：(5)(0)250g g -=--． （四）变式拓展1、一次函数y kx b =+在区间[,]m n 上的平均变化率有什么特点？（等于它的斜率）．2．函数()f x 在区间[,]m n 上的平均变化率与曲线上两点(,())m f m ，(,())n f n 间的斜率有何关系？3．练习：书5P 练习A 1，2，题（五）归纳总结：（六）当堂检测 书P 5练习A3题【巩固提高】A 组：书P 5练习B1、2题B 组：1．已知曲线212y x =上两点的横坐标是0x 和0x x +∆，求过AB 两点的直线斜率；2．一物体按规律210s t t =+作变速直线运动，求该物体从2秒末到6秒末这段时间内的平 均速度；。
湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 导数及其应用 1.1.1 函数的平均变化率
e-1
e3 +2
C.
e-1
e3 +2
D.
e+1
解析 因为f(x)=x3-ln x,所以f(e)=e3-ln e=e3-1,f(1)=13-ln 1=1,所以f(x)=x3-ln x
(e)-(1) e3 -1-1 e3 -2
在区间[1,e]上的平均变化率为
.故选B.
=
=
e-1
e-1
e-1
1 2 3 4 5
5. 泰山为我国五岳之首,有“天下第一山”之美誉,当地用“紧十八,慢十八,不
紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受.上面是一段登山路线图,同
样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃
力.想想看,为什么?
1 2 3 4 5
解 山路从 A 到 B 高度的平均变化率为ℎ =
所以
-(-2)
=
( 2 -)-[(-2)2 -(-2)]
=2,
+2
即t2-t-6=2t+4,即t2-3t-10=0,解得t=5或t=-2(舍去).
5
.
探究点三
函数的平均变化率的应用
【例3】 A,B两机关单位开展节能活动,活动开始后两机关单位的用电量
W1(t),W2(t)与时间t(单位:天)的关系如图所示,则一定有( B )
= =9(米/
2
2
3.若函数f(x)=x2-t在区间[1,m]上的平均变化率为4,则m等于( C )
A. √5
B.2
C.3
解析
D.1
()-(1)
由题意可得 -1
1 2 3 4 5
=
2 -1
1.1.1 函数的平均变化率 学案(含答案)
1.1.1 函数的平均变化率学案（含答案）1.1导导数数1.1.1函数的平均变化率函数的平均变化率学习目标1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题知识点函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系A是出发点，H是山顶爬山路线用函数yfx表示自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yfx表示此时旅游者所在的高度设点A的坐标为x1，y1，点B的坐标为x2，y2思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少答案自变量x的改变量为x2x1，记作x，函数值的改变量为y2y1，记作y.思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度答案对山路AB来说，用yxy2y1x2x1可近似地刻画其陡峭程度梳理函数yfx在区间x0，x0x或x0x，x0的平均变化率1条件已知函数yfx，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0fx1fx0fx0xfx02结论当x0时，商fx0xfx0xyx称作函数yfx 在区间x0，x0x或x0x，x0上的平均变化率3实质函数值的改变量与自变量的改变量之比4作用刻画函数在区间x0，x0x或x0x，x0上变化的快慢1在平均变化率中，函数值的增量为正值2平均变化率在实际问题中表示事物变化的快慢类型一求函数的平均变化率例1已知函数fx3x25，求fx1从0.1到0.2的平均变化率；2在区间x0，x0x上的平均变化率解1因为fx3x25，所以从0.1到0.2的平均变化率为30.22530.1250.20.10.9.2因为fx0xfx03x0x253x2053x206x0x3x253x2056x0x3x2，所以函数fx在区间x0，x0x上的平均变化率为6x0x3x2x6x03x.反思与感悟求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量x与函数值的增量y，求平均变化率的主要步骤跟踪训练1如图是函数yfx的图象，则1函数fx在区间1,1上的平均变化率为________；2函数fx在区间0,2上的平均变化率为________答案112234解析1函数fx在区间1,1上的平均变化率为f1f11121212.2由函数fx的图象知，fxx32，1x1，x1，1x3，所以函数fx在区间0,2上的平均变化率为f2f020332234.类型二比较平均变化率的大小例2求函数yfxx2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为13，哪一点附近的平均变化率最大考点变化问题与变化率题点变化率大小的比较解在x1附近的平均变化率为k1f1xf1x1x21x2x；在x2附近的平均变化率为k2f2xf2x2x222x4x；在x3附近的平均变化率为k3f3xf3x3x232x6x.当x13时，k121373，k2413133，k3613193.由于k1k2v乙Bv甲s20，所以s1t0s10t0s2t0s20t0，所以v甲0上的平均变化率，其中x的值为12；21；30.1；40.01.解函数fxx2在1,1xx0上的平均变化率为f1xf1x1x21x2x.1当x2时，平均变化率的值为4.2当x1时，平均变化率的值为3.3当x0.1时，平均变化率的值为2.1.4当x0.01时，平均变化率的值为2.01.1函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率在实际问题中表示事物变化的快慢2求函数fx的平均变化率的主要步骤1先计算函数值的改变量yfx1fx02再计算自变量的改变量xx1x0.3得平均变化率yxfx1fx0x.。
人教B版高中数学选修2-2第1章1.1第1课时《函数的平均变化率》课时作业
【成才之路】2015-2016学年高中数学第1章1.1第1课时函数的平均变化率课时作业新人教B版选修2-2基础矶固、选择题f X o+A x —f X o1. ------------------------------ 在表达式-- A中，A X的值不可能(A. 大于0C.等于0［答案］C［解析］A x可正，可负，但不为0,故应选C.1 2 2 S 1 + A t —S 12. 自由落体运动的公式为s(t) = q gt(g= 10m/s)，若v= A t ，则下列说法正确的是()A. v是在0〜1s这段时间内的速率B. v是从1s到(1 +A t)s这段时间内的速率C. 5A t + 10是物体在t = 1s这一时刻的速率D. 5A t + 10是物体从1s到(1 +A t )s这段时间内的平均速率［答案］D由平均速度的定义可知选 D.3. —质点运动的方程为s= 5—3t2，则在一段时间［1,1 +A t］内相应的平均速度为( )A.3A t + 6B. —3A t + 6C.3A t —6D. —3A t —6［答案］D.一 A s s1+A t —s 1［解析］—A t A t5—3 1 + A t2—5 + 3A t——3A t —6.4.1函数y— -在xx—1到x—2之间的平均变化率为()B.小于0D.大于0或小于0［解析］1 + A t —sA t=5A t + 10 ,1 A.—1 B.—-2C.—2D. 2［答案］［解析］1 2—15.函数f(x) = 2x+ 1 在区间［1,5］上的平均变化率为(11A.—5 B.11"5C. 2 D. ［答案］［解析］△ y f X2 —f X1X2—X i2△y6.在曲线y= x + 1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1 +△ x, 2 +△ y)，则△丄为(x 1A. △ x+亦 + 21B △ x—&—1C.A x+ 2D. △ x［答案］C2 2…△ y 1 + △ x +1 — 1 —1［解析］= =△ x+ 2.△ x7. 一质点的运动方程是s = 4 —2t2,则在时间段［1,1+ △ t］内相应的平均速度是(A. 2A t + 4B. —2AC. 2A t —4D. —2A［答案］D2 2"丄厂△S 4—2 1 + A t —4+ 2X1［解析］= =—2A t — 4.△t △t 1 & 在x= 1附近，取△ x = 0.3，在四个函数①y=x:②y = x2:③y = x3；④y=j中，平均变化率最大的是(A.④C.②［答案］［解析］△ x = 0.3时，①y=x在x= 1附近的平均变化率k1 = 1 ；②y= x2在x= 1附近的平均变化率k2= 2+A x = 2.3 ;③y = x3在x = 1 附近的平均变化率k s= 3 + 3A x+ ( △ x)2=3.99 :④y= 1在x= 1附近的平均变化率k4= —厂△厂x 1 +△ x 10后.二雇> k2> kA k4.故选B.［解析］由平均变化率的概念知 C 正确，故应选C.9•一物体运动方程是 s = 2t 2,则从2s 到(2 +△ t )s 这段时间内位移的增量△ s 为［答案］［解28A t + 2( A t ) A s = 2(2 + A t )2— 2(22)2=2［4 + 4A t + ( △ t ) ］ — 82=8A t + 2( A t ).10.函数f (x ) = 8x — 6在区间［m n ］上的平均变化率为 ［答案］8 ［解析］ f n — f m 8n — 6 — 8m — 6 — —8. n — m n — m11.已知函数 y = x 3— 2,当x = 2时,2［答案］(A x ) + 6A x + 12 ［解析］ 弓=2" % 人—2 — 2 + 2 = ( A x )2+ 6A x + 12.A xA x112 .函数y =护在x = 1附近，当A x = §时平均变化率为 _____________ ［答案］— 2三、解答题__ 213.求函数f (x ) = x + 3在［3,3 +A x ］内的平均变化率.2 23+A x + 3—3— 3A x6A x +=A x + 6.能力提升、选择题1.函数y = f (x )，当自变量从x o 到刘时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函 数()A. 在区间［x o , X 1］上的平均变化率B. 在X 。
人教版数学高二-人教B版选修2-2课时作业 函数的平均变化率
第一章 §1.1 课时作业1一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A. 0.40B. 0.41C. 0.43D. 0.44解析：∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41. 答案：B2．某物体的运动规律是s ＝s (t )，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( )A.v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )ΔtB.v ＝s (Δt )Δt C.v ＝s (t )tD.v ＝s (t ＋Δt )－s (Δt )Δt 解析：由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt，故选A. 答案：A3．已知函数f (x )＝2x 2＋3的图象上一点(1,5)与邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4＋2ΔxB ．4＋(2Δx )2C ．4xD ．4解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2＋3－(2×12＋3)＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx ，故选A. 答案：A4．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：由定义可知k 1＝2x 0＋Δx ，k 2＝2x 0－Δx ，因为Δx 可正、可负但不可为0，所以k 1与k 2大小不确定．故选D.答案：D二、填空题5．质点运动规律s ＝12gt 2，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________(g ＝10 m/s 2)．解析：Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×＝30Δt ＋5(Δt )2，v ＝Δs Δt＝30＋5Δt . 答案：30＋5Δt 6．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如右图，在时间段，，上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为______．解析：由平均速度的定义结合图象知v 3>v 2>v 1.答案：v 3>v 2>v 17．若正方体的棱长从x ＝1到x ＝a 时正方体的体积膨胀率为21，则a 的值为________． 解析：ΔV ＝a 3－1，∴ΔV Δx ＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21. ∴a 2＋a －20＝0.∴a ＝4或a ＝－5(舍)．答案：4三、解答题8．已知f (x )＝x 2－3x ＋5，求函数f (x )从1到2的平均变化率．解：Δx ＝2－1＝1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (2)－f (1)，＝22－3×2＋5－(12－3×1＋5)＝0.∴Δy Δx ＝0.∴函数f (x )从1到2的平均变化率为0.9．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解：从出生到第3个月的时间变化量Δt ＝3－0＝3，从出生到第3个月的体重变化量ΔW＝6.5－3.5＝3，则从出生到第3个月的体重的平均变化率ΔW Δt ＝33＝1. 从第6个月到第12个月的时间变化量Δt ＝12－6＝6，从第6个月到第12个月的体重变化量ΔW ＝11－8.6＝2.4，则从第6个月到第12个月的体重平均变化率ΔW Δt ＝2.46＝0.4.。
高中数学 1.1.11.1.2变化率问题、导数的概念课时作业 新人教A版选修22
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为________，简记作：Δy Δx. ①平均速度；②曲线割线的斜率．瞬时 变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即__________＝lim Δx →0 Δy Δx . ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度 ②切线斜率.2.导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的________，记为____________，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx ______.一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化率 D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．设f (x )在x ＝x 0处可导，则li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx等于( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________．8．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．能力提升12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝ΔsΔt＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率ΔyΔx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx. 答案知识梳理 1.定义 实例平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，简记作：Δy Δx .①平均速度； ②曲线割线的斜率．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限， 即lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx . ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2.lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－f ′(x 0)．] 5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32Δx ＝－Δx －3，∴li m Δx →0 ΔyΔx＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析 由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2. 13．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以li m Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。
1.1.1函数的平均变化率
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx， x0])的平均变化率．
1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域
本 课
内不同的两点，记Δx＝ x1－x0 ，Δy＝y1－y0＝f(x1)－
A. 2Δt＋4 B. －2Δt＋4 C. 2Δt－4 D. －2Δt－4
解析：ΔΔst＝4－21＋ΔtΔ2t－4＋2×12
＝－4Δt－Δt 2Δt2
＝－2Δt－4. 答案：D
例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月 该婴儿体重的平均变化率．
本 课 时
y＝f(x)上任意不同的两点，函数 y＝f(x) 的平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1
栏 目
为割线 AB 的斜率．
开 关
x1，x2 是定义域内不同的两点，因此 Δx≠0，但 Δx 可正也可
负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应 Δx＝x2－x1 的改变量，Δy 的值可
你能从数学的角度来反映山坡的 平缓和陡峭程度吗？
怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A 是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y＝f(x)表示.
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在 的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).
(3)实质： 函数值 的改变量与 自变量 的改变量 之比 .
(4)作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])上变化的快慢.
《1.1.1 函数的平均变化率》教学案3
《1.1.1 函数的平均变化率》教学案3教学目标：1. 借助实例分析引入变化率的概念，为学习导数奠定基础，帮助学生理解实例的过程。
2. 理解导数的概念，掌握球导数的定义方法。
3. 理解导数的几何意义，物理意义。
重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；难点：平均变化率的概念．课前预习：1.导数的概念：函数)(x f y =，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆= ，比值 叫做函数)(x f y =在0x 到0x +x ∆之间的平均变化率， 如果当0→∆x 时， 有极限，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f 在点0x 处的导数，记作： .2.由导数的定义可知，求函数)(x f y =在点0x 处的导数的步骤：①求函数的增量： ；②求平均变化率： ；③取极限得导数 .3.导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是 .4.导数的物理意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的物理意义是 .5.导函数的概念:从求函数f(x)在x=0x 处导数的过程可以看出，当x=0x 时，)(0'x f 是一个确定的数，这样，当x 变化时，)('x f 便是x 的一个函数，称它为的导函数（简称导数）,y=f(x)的导函数有时也记作 即二、例题解析：例1、变化率问题：（1）质点运动规律32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中，相应的平均速度等于（ ）A 、t ∆+6B 、tt ∆+∆+96 C 、t ∆+3 D 、t ∆+9 （2）322+-=x x y 在2=x 附近的平均变化率是（ ）A 、2B 、x ∆C 、x ∆+2D 、1例2、求函数322--=x x y 在2=x 处的导数练习：求函数x y =在1=x 处的导数例3、利用导数的几何意义求切线的斜率（1）在曲线2x y =上过哪点的切线①平行于直线54-=x y ②垂直于直线0562=+-y x ③与x 轴与135°的倾斜角（2）已知曲线331x y =上一点P )38,2(，求①求点P 处的切线的斜率②求过点P 的切线的斜率③求过点P )3,2(的切线的斜率合作探究：如何利用导数的几何意义求曲线上过某点的切线方程？三、当堂检测1.曲线22x y =在点（1，2）处的瞬时变化率为：A.2B.4C.5D.62.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h→+-- 的值为：A.'0()f xB.'02()f xC.'02()f x -D.03.设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim 0000x f xx f x x f x 则： A.0.5 B.－1 C.0 D.－2课后练习1.已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是：A.（1，3）B.（-4，33）C.（-1，3）D.不确定2.设函数)(x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数值的改变量是：A.)(0x x f ∆+B.x x f ∆+)(0C.x x f ∆)(0D.)()(00x f x x f -∆+3.已知函数12+=x y 的图像上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ∆+∆+，则xy ∆∆等于： A.2 B.x 2 C.x ∆+2 D. 2)(2x ∆+4.若函数12)(2-=x x f 的图象上一点（1，1）及邻近一点)1,1(y x ∆+∆+，则=∆∆xy .教后反思。
《函数的平均变化率》 作业设计方案
《函数的平均变化率》作业设计方案一、作业目标1、帮助学生理解函数平均变化率的概念，掌握其计算方法。
2、通过实际问题的解决，培养学生运用函数平均变化率分析问题和解决问题的能力。
3、让学生感受数学在实际生活中的应用价值，提高学习数学的兴趣和积极性。
二、作业内容1、基础练习（1）给定函数\（f(x)＝2x ＋ 1\），计算在区间\（1, 3\）上的平均变化率。
（2）函数\（g(x)＝x^2 2x\），求在区间\（0, 2\）内的平均变化率。
2、应用提升（1）一辆汽车在某段时间内的行驶路程\（s\）（单位：千米）与时间\（t\）（单位：小时）的函数关系为\（s ＝ 3t^2 ＋ 2t\），计算在\（1, 2\）小时内的平均速度。
（2）某工厂生产某种产品的成本\（C\）（单位：元）与产量\（q\）（单位：件）的函数关系为\（C ＝ 2q^2 ＋ 5q ＋ 10\），求产量从\（10\）件增加到\（20\）件时的平均成本变化率。
3、拓展探究（1）观察函数\（y ＝＼sin x\）在区间\（0, ＼frac{＼pi}｛2}＼）上的图象，估计其平均变化率，并与精确值进行比较。
（2）对于函数\（f(x) ＝＼log_{2}x\），探究在区间\（1, 8\）上平均变化率的变化规律。
三、作业形式1、书面作业要求学生将上述基础练习和应用提升的题目解答过程写在作业本上，规范书写格式和步骤。
2、小组讨论将拓展探究的题目安排学生进行小组讨论，每个小组提交一份讨论报告，阐述他们的思路和结论。
四、作业时间安排1、基础练习和应用提升的书面作业安排在课堂教学后的当天完成，预计时间为 30 分钟。
2、小组讨论的拓展探究题目安排在周末进行，下周一提交讨论报告，预计时间为 1 小时左右。
五、作业评价1、书面作业评价（1）准确性：检查学生计算的平均变化率是否正确，解题步骤是否完整、规范。
（2）规范性：注重学生的书写格式、数学符号的使用是否符合要求。
1.1.1变化率问题课时作业1
1.1.1变化率问题课时作业1A 级 基础巩固一、单选题1．函数()2y f x x ==在区间[]00x x x +∆，上的平均变化率为1k ，在区间[]00x x x -∆，上的平均变化率为2k ，则1k 与2k 的大小关系为（ ）A ．12k k >B ．12k k <C ．12k k =D ．不能确定 2．设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A ．2.1 B ．0.21 C ．1.21 D ．0.121 3．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是（ ）A ．甲厂B ．乙厂C ．两厂一样D ．不确定 4．一质点的运动方程是253s t =-，则在时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为（ ） A ．36t ∆+ B ．36t -∆+ C ．36t ∆- D ．36t -∆- 5．某质点的运动规律为23s t =+，则在时间(3,3)t +∆内，质点的位移增量等于（ ） A ．26()t t ∆+∆ B ．96t t +∆+∆ C ．23()t t ∆+∆ D ．9t +∆ 6．函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为( )A ．1B ．2C ．πD ．2π 7．函数1y x =在1x =到3x =之间的平均变化率为（ ） A ．23 B ．23- C ．13- D ．138．炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：0C )为321()83f x x x =-+(05)x ≤≤，则原油温度在1x =处的瞬时变化率为A ．1-B ．0C ．3D ．8B 级 综合提升9．某物体沿水平方向运动，其前进距离s （米）与时间t （秒）的关系为()252s t t t =+，则该物体在运行前2秒的平均速度为（ ）（米/秒）A ．18B ．13C ．9D ．13210．函数2y x x =+在1x =到1x x =+∆之间的平均变化率为（ ）A ．2x ∆+B ．3x ∆+C ．()22x x ∆+∆D ．()23x x ∆+∆二、填空题11．已知函数3x y =，则函数在区间[1,3]上的平均变化率为_______12．函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为_________.13．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第________年增长较快．14．已知物体运动的速度与时间之间的关系是()222v t t t =++，则在时间间隔[]1,1t +∆内的平均加速度是______.C 级 拓展探究三、解答题15．（1）计算函数2()f x x =从1x =到1x x =+∆的平均变化率，其中x ∆的值为：①2；②1；0.1；④0.01（2）思考：当x ∆越来越小时，函数()f x 在区间[]11x +∆，上的平均变化率有怎样的变化趋势？参考答案1．A【分析】根据函数的平均变化率的定义表示1k 与2k ，作差可得选项.【详解】因为函数()2y f x x ==在区间[]00x x x +∆，上的平均变化量为2200000()()()()(2)f x x f x x x x y x x x =+∆-=+∆-=∆+∆∆， 所以102.y k x x x∆==+∆∆， 函数()2y f x x ==在区间[]00x x x -∆，上的平均变化量()2200000()()()(2)f x f x x x x x x x x y =--∆=--∆=∆-∆∆， 所以202y k x x x∆==-∆∆，所以122,k k x -=∆，又0x ∆>，所以12k k >， 故选：A.2．A【分析】根据平均变化率的公式求解即可.【详解】 1.110.1x ∆=-=，22(1.1)(1) 1.11(11)0.21y f f ∆=-=---=所以函数2()1f x x =-在区间[1,1.1]上的平均变化率为(1.1)(1)0.21 2.10.1y f f x x ∆-===∆∆. 故选：A3．B【分析】比较()0W t 甲与()0W t 乙、()0W t t -∆甲与()0W t t -∆乙的大小关系，可比较出两厂的平均治污率的大小关系，由此可得出结论.【详解】在0t 处，虽然有()()00W t W t =甲乙，但()() 00ΔΔW t t W t t -<-甲乙， 所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好．故选：B.4．D【分析】由平均变化率的定义计算．【详解】()2253(1Δ)531Δt v t⎡⎤-+--⨯⎣⎦= 63Δt =--.故选：D ．5．A【分析】根据平均变化率的定义计算．【详解】位移增量()222(3Δ)(3)(3Δ)3336Δ(Δ)s t s t t t =+-=++-+=+.故选：A.6．C【分析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.【详解】 平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-. 故选：C【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.7．C【分析】由题意结合平均变化率的概念计算出当11x =、23x =时y 的取值，再由y x∆∆即可得解. 【详解】当11x =时，1111y ==；当23x =时，213y =； 所以函数1y x =在1x =到3x =之间的平均变化率为21211113313y y x x y x -∆===-∆---. 故选：C.【点睛】本题考查了平均变化率的求解，考查了运算求解能力，熟练掌握公式是解题关键，属于基础题.8．A【分析】求出函数的导数，令1x =代入导数计算，()1f '即为所求.【详解】由题意，()22f x x x '=-， 当1x =时，()1121f '=-=-，即原油温度的瞬时变化率为1-.故选：A【点睛】本题考查瞬时变化率与导数的运算，属于基础题.9．C【分析】利用平均变化率的定义可得出该物体在运行前2秒的平均速度为()()202s s -，进而可求得结果.【详解】 ()252s t t t =+，因此，该物体在运行前2秒的平均速度为()()2018922s s -==（米/秒）. 故选：C.【点睛】 本题考查平均速度的计算，考查平均变化率的定义，考查计算能力，属于基础题. 10．B【分析】直接代入平均变化率公式即得解.【详解】222(1)(1)11()3y x x x x ∆=+∆++∆--=∆+∆, 所以2()33y x x x x x∆∆+∆==∆+∆∆. 故选：B【点睛】本题主要考查平均变化率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 11．12【分析】根据平均变化率的定义计算可得答案.【详解】由定义可知，平均变化率为()()3127312312f f --==-. 12．11e - 【分析】根据平均变化率的公式进行求解即可.【详解】函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为：()()1111f e f e e -=--. 故答案为：11e - 13．一【分析】 计算每年的体重变化率．【详解】 解析1111.25 3.750.625120W t ∆-==∆-，2214.2511.250.252412W t ∆-==∆-，1212W W t t ∆∆∴>∆∆， 故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快．故答案为一．【点睛】本题考查平均变化率的实际意义，属于基础题．14．4t ∆+【分析】利用平均变化率知该物体在时间间隔[]1,1t +∆内的平均加速度为()()11v t v v t t +∆-∆=∆∆，代入进行计算即可.【详解】由平均变化率的定义可知，该物体在[]1,1t +∆内的平均加速度为()()11v t v v t t+∆-∆=∆∆4t =∆+，故答案为4t ∆+. 【点睛】本题考查平均加速度的计算，解题的关键就是利用平均变化率的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.15．（1）答案见解析；（2）平均变化率逐渐变小，并接近于2【分析】（1）利用平均变化率的意义即可得出；（2）观察平均变化率即可得结果．【详解】（1）因为222(1)(1)(1)1()2y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆ 所以2()22y x x x x x∆∆+∆==∆+∆∆. ①当2x ∆=时，24y x x∆=∆+=∆； ②当1x ∆=时，23y x x∆=∆+=∆； ③当0.1x ∆=时，2 2.1y x x∆=∆+=∆； ④当0.01x ∆=时，2 2.01y x x ∆=∆+=∆. （2）当x ∆越来越小时，由（1）2()22y x x x x x∆∆+∆==∆+∆∆得， 函数()f x 在区间[1,1]x +∆上的平均变化率逐渐变小，并接近于2．【点睛】本题考查平均变化率的求解，是基础题．。
人教新课标版-数学-高二(人教B版)选修2-2课时作业 1.1.1 函数的平均变化率
第一章 导数及其应用§1.1 导 数1．1.1 函数的平均变化率一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 应满足( ) A ．Δx <0 B ．Δx >0 C ．Δx ＝0D ．Δx ≠02．当自变量从x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化率 D ．以上都不对3．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2ΔxC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )24．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①5.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定6．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为( ) A ．－6 B ．Δx －6 C ．－2 D ．Δx －27．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系是( )A ．k 1<k 2B ．k 1>k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定二、填空题8．函数f (x )＝x 2－x 在区间上的平均变化率是2，则t ＝________. 9．函数y ＝f (x )＝ln x ＋1从e 到e 2的平均变化率为________．10．服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值.t /min 10 20 30 40 50 c (t )/(mg/mL)0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 t /min 60 70 80 90 c (t )/(mg/mL)0.970.900.790.63服药后30 min ～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min)． 11．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________．(注：a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)) 三、解答题12．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．13．函数f (x )＝x 2＋2x 在上的平均变化率是函数g (x )＝2x －3在上的平均变化率的2倍，求a 的值．四、探究与拓展14．甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况如图所示，则下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度15．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？答案精析1．D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.B 7.B 8．5 解析 函数f (x )＝x 2－x在区间上的平均变化率Δy Δx ＝f (t )－f (－2)t －(－2)＝t 2－t －(－2)2－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．所以，当函数f (x )＝x 2－x 在区间上的平均变化率是2时，t 的值是5. 9.1e 2－e10．－0.002 11．2解析 ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3， ∴m 2＋m ＋1＝7， ∴m ＝2或m ＝－3(舍)．12．解 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π；在π3到π2之间的平均变化率为 sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π.∵2－3<1，∴3π>3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大． 13．解 函数f (x )在上的平均变化率为f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2aa ＝a ＋2，函数g (x )在上的平均变化率为g (3)－g (2)3－2＝2×3－3－(2×2－3)1＝2.又因为a ＋2＝2×2，所以a ＝2. 14．C 0，t 0t 0，t 115．解 ∵山路从A 到B 高度的平均变化率为 h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为 h BC ＝Δy Δx ＝20－1070－50＝12，∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭．。
人教B版选修22高中数学1.1.1函数的平均变化率同步练习2
函数的平均变化率一、选择题1．函数错误！超链接引用无效。
的导数错误！超链接引用无效。
（）A．错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
D．错误！超链接引用无效。
答案：D2．已知函数错误！超链接引用无效。
在错误！超链接引用无效。
处有极值，则该函数的一个错误！超链接引用无效。
递增区间是（）错误！超链接引用无效。
A．错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
D．错误！超链接引用无效。
答案：B3．曲线错误！超链接引用无效。
在点错误！超链接引用无效。
处的切线与错误！超链接引用无效。
轴、直线错误！超链接引用无效。
所围成的三角形的面积为（）A．错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
D．错误！超链接引用无效。
答案：C4．设错误！超链接引用无效。
，则错误！超链接引用无效。
的值等于（）A．错误！超链接引用无效。
错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
D．错误！超链接引用无效。
答案：D5．若函错误！超链接引用无效。
数错误！超链接引用无效。
在错误！超链接引用无效。
处的导数值与函数值互为相反数，则错误！超链接引用无效。
的值（）A．等于0 B．等于1 C．等于错误！超链接引用无效。
D．不存在答案：C6．定积错误！超链接引用无效。
分错误！超链接引用无效。
的值等于（）A．错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
D．错误！超链接引用无效。
答案：A7．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为错误！超链接引用无效。
，货款的利率为错误！超链接引用无效。
，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为错误！超链接引用无效。
，为使银行获得最大收益，则存款利率为（）A．0.032 B．错误！超链接引用无效。
C．0.04 D．0.036答案：A8．若函数错误！超链接引用无效。
(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1.1 函数的平均变化率课后知能检测 新人教B版选修
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1.1 函数的平均变化率课后知能检测 新人教B 版选修2-2一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12＋1－(22＋1) ＝0.41，故选B. 【答案】 B2．若已知函数f (x )＝2x 的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 的值为( )A ．4B ．4xC ．2＋ΔxD ．2【解析】Δy Δx＝21＋Δx －2Δx＝2.【答案】 D3．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间3到3＋Δt 之间的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt【解析】 平均速度等于ΔsΔt ＝3＋Δt2＋3－32＋3Δt＝6＋Δt .【答案】 A4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1、k 2的大小关系是( )A ．k 1<k 2B ．k 1>k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 ∵k 1＝ΔyΔx＝x 0＋Δx2－x 2Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝Δy Δx＝x 02－x 0－Δx 2Δx＝2x 0－Δx .又∵k 1－k 2＝2Δx ，∴k 1与k 2无法比较大小．故选D. 【答案】 D5．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】 ∵①Δy Δx ＝Δx Δx ＝1；②ΔyΔx＝1＋Δx 2－12Δx＝2＋Δx ＝2.3；③ Δy Δx ＝1＋Δx 3－13Δx＝3＋3Δx ＋Δx 2＝3.99； ④Δy Δx ＝11＋0.3－10.3＝－1013，所以平均变化率最大的是③.故选C. 【答案】 C 二、填空题6．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx ＝________.【解析】 Δy Δx ＝2＋Δx 3－2－23＋2Δx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12.【答案】 (Δx )2＋6Δx ＋127．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (3,2)，B (3＋Δx,2＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________．【解析】 ∵Δx ＝1，∴k ＝3＋Δx 2－32Δx ＝6Δx ＋Δx2Δx＝6＋Δx ＝7.【答案】 78．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]上的平均变化率94，则a ＝________.【解析】 Δy Δx ＝a 2－2a ＋3－22－2×2＋3a －2＝a ，由题意得Δy Δx ＝94，∴a ＝94.【答案】 94三、解答题9．求函数y ＝－x 2，y ＝2x ＋1，y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率，当Δx 很小时，哪一点附近的平均变化率最大？【解】 y ＝－x 2在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝－(2＋Δx )；y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率为k 2＝2；y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率为k 3＝Δx1＋Δx ＋1.当Δx 很小时，k 1＜0，k 2＜1，0＜k 3＜1，∴最大的是k 2，即y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率最大．10．求f (x )＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．【解】 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0Δx＝x 0＋Δx 3－x 3Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2.当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋(12)2＝194.11．2010年冬至2011年春，我国北部八省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1－1－2所示，据图回答：图1－1－2(1)2010年11月至2010年12月间，小麦受害面积变化大吗？ (2)哪个时间段内，小麦受害面积增幅最大？(3)从2010年11月到2011年2月，与从2011年1月到2011年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受害面积增幅较大？【解】 (1)在2010年11月至2010年12月间，Δs 变化不大，即小麦受害面积变化不大．(2)由图形知，在2011年1月至2011年2月间，平均变化率ΔsΔt 较大，故小麦受害面积增幅最大．(3)在t ∈[2010.11,2011.2]时，平均变化率＝S B －S A3，在t ∈[2011.1,2011.2]时，平均变化率＝S B －S C1＝S B －S C ，显然S B －S C ＞S B －S A3，∴在2011年1月至2011年2月间，小麦受害面积增幅较大.。
高中数学第一章1.1第1课时变化率问题作业课件新人教A版选修2_2
4．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( B ) A．1 B．－1 C．2 D．－2
解析：ΔΔyx＝f33－－f11＝1－2 3＝－1.
5．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1,1＋d] 上的平均速度为( D )
解：(1)∵V＝43πr3，∴r3＝34Vπ，r＝ 3
34Vπ，∴r(V)＝ 3
3V 4π.
(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为
3 r11－ －r00＝
34×1π1－0≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为
r22－ －r11＝ 3 34×π2－ 3 3× 4π1≈0.16(dm/L)． 显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明随着气球 体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．
1
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为 2 ；
3 (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 4 .
解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为 f11－－f－－11＝2－2 1＝12. (2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝ x＋2 3，－1≤x≤1，
x＋1，1<x≤3， 数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f22－－f00＝3－2 32＝34.
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故在0，π6上的平均变化率较大．
13．(13分)过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx， Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．
高中数学 1.1.1变化率问题课时作业含解析新人教A版选修2
第一章 1.1 1.1.1请同学们认真完成练案[1]A 级 基础巩固一、选择题1.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[解析] 平均变化率为1－33－1＝－1.2．函数y ＝2x 在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为( D ) A ．x 0＋Δx B ．1＋Δx C ．2＋ΔxD ．2[解析] 由题意，可得平均变化率 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2(x 0＋Δx )－2x 0Δx ＝2，故选D ．3．已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上的点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx的值为( D )A ．4B ．4xC ．4＋2(Δx )2D ．4＋2Δx[解析] Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2×12Δx＝4＋2Δx .4．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为( B )A ．v 1>v 2>v 3B ．v 3>v 2>v 1C ．v 2>v 1>v 3D ．v 2>v 3>v 1 [解析] v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图象知k OA <k AB <k BC ，选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为__2__. [解析] 函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为 f (m )－f (1)m －1＝m 2－1m －1＝m ＋1＝3，∴m ＝2.6．(2020·阿拉善左旗校级期末)若函数y ＝x 2－1的图象上的点A (1,0)，则当Δx ＝0.1时的平均变化率是__2.1__.[解析] Δy ＝(1＋Δx )2－1－(12－1)＝2Δx ＋Δx 2， ∴ΔyΔx＝2＋Δx ， 当Δx ＝0.1时，平均变化率为2.1. 三、解答题7．已知某质点的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)存在函数关系s ＝2t 2＋2t ，求： (1)该质点在前3 s 内的平均速度； (2)该质点在2 s 到3 s 内的平均速度． [解析] (1)∵Δs ＝s (3)－s (0)＝24，Δt ＝3， ∴Δs Δt ＝243＝8(m/s)． (2)∵Δs ＝s (3)－s (2)＝12，Δt ＝1， ∴Δs Δt ＝121＝12(m/s)． B 级 素养提升一、选择题1．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x 中，平均变化率不是最大的是( ACD )A ．④B ．③C ．②D ．①[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选ACD ． 2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则对ΔyΔx下述表达式错误的是( ACD )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2·(Δx )2＋4·Δx ，所以ΔyΔx ＝2Δx ＋4.二、填空题3．在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录9.69秒，通过计时器发现前50米用时5.50秒．那么在后50米他的平均速度是__11.93__米/秒．(最后结果精确到0.01)[解析] Δs ＝100－50＝50，Δt ＝9.69－5.50＝4.19，v ＝ΔsΔt≈11.93米/秒． 4．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s ＝s 1(t )，s ＝s 2(t )，图象如图，则在时间段[0，t 0]内甲的平均速度__小于__乙的平均速度．(填“大于”“小于”或“等于”)[解析] 由图象知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 所以s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0，即v甲<v 乙．三、解答题5．求出函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，若Δx 都为13，则在哪一点附近平均变化率最大？[解析] 在x ＝1附近的平均变化率 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.∵k 1＜k 2＜k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？[解析] 山路从A 到B 高度的平均变化率为k AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为k BC ＝Δy Δx ＝20－1070－50＝12，∴k BC >k AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭．。
课时作业6：3．1.1 函数的平均变化率
3．1 导 数3．1.1 函数的平均变化率一、基础达标1．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，Δx 不可能是( ) A ．大于0 B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案 C2．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．3答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1. 3．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( )A ．Δx ＋2B ．2Δx ＋(Δx )2C ．Δx ＋3D ．3Δx ＋(Δx )2答案 C解析 Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－(12＋1)Δx＝Δx ＋3. 4．已知函数y ＝2＋1x，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________. 答案 －12解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 5．一个作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体在t ＝0到t ＝2之间的平均速度为________．答案 1解析 物体在t ＝0到t ＝2之间的平均速度为(3×2－22)－02－0＝1. 6．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx＝________.答案 Δx ＋2解析 Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋1－(1＋1)Δx＝Δx ＋2. 7．过曲线y ＝f (x )＝x 3＋2x 上两点P (1,3)和Q (1＋Δx ，3＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.2时割线的斜率．解 由条件可知，k PQ ＝3＋Δy －31＋Δx －1＝Δy Δx＝(1＋Δx )3＋2(1＋Δx )－(13＋2×1)Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋5＝0.22＋3×0.2＋5＝5.64.故Δx ＝0.2时割线斜率为5.64.二、能力提升8．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt －4C ．4D ．－2Δt 2－4Δt答案 B解析 v ＝4－2(1＋Δt )2－(4－2×12)Δt ＝－4Δt －2(Δt )2Δt＝－2Δt －4.9．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．答案 2π＋πΔr解析 当r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为ΔS Δr ＝π(1＋Δr )2－πΔr ＝π＋2π·Δr ＋(Δr )2π－πΔr＝2π＋πΔr .10．国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．治污效果更好的企业是(其中W 表示排污量)________．答案 甲企业解析 ΔW Δt ＝W (t 1)－W (t 2)Δt，在t 1到t 2时间内，由图可知甲企业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好．11．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？解 由题意，生产并售出x 台机器所获得的利润是：L (x )＝r (x )－c (x )＝(x 3－3x 2＋12x )－(x 3－6x 2＋15x )＝3x 2－3x ，故所求的平均利润为： L ＝L (20)－L (10)20－10＝87010＝87(元)． 12．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率；(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．解 (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2， g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)(－1)－(－3)＝[－2×(－1)]－[－2×(－3)]2＝－2. (2)函数f (x )在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝(2×5＋1)－(2×0＋1)5＝2， g (x )在区间[0,5]上的平均变化率为g (5)－g (0)5－0＝(－2×5)－(－2×0)5＝－2. 三、探究与创新13．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．解 第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)； 第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月).。
课时作业4：3.1.1 函数的平均变化率
3.1.1 函数的平均变化率一、选择题1．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的平均变化率为( )A ．－2(Δx )2B ．－(Δx )2C ．2ΔxD ．－2Δx2．一物体的运动方程是s ＝5t 2，物体从1 s 到3 s 的平均速度是( )A ．30 m/sB ．20 m/sC ．40 m/sD ．45 m/s3．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx＝( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )24．若函数f (x )＝x 2－c 在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．55．函数y ＝x 2＋2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0的平均变化率为k 2，则( )A ．k 1<k 2B ．k 1>k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定二、填空题6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从105.1 m 上涨到107.5 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.7．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________. 8．某物体作自由落体运动，下落距离s (单位： m)与时间t (单位：s)满足s ＝12gt 2，则该物体在[4,5]内的平均速度为________ .三、解答题9．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率．(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．10．已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．11．有一底面半径为r cm，高为h cm的倒立圆锥容器，若以n cm3/s的速率向容器里注水，求注水时前t s内水面上升的平均速率．答案：1．【解析】Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)－f(0)＝－2(Δx)2＋1－1＝－2(Δx)2，∴ΔyΔx＝－2(Δx)2Δx＝－2Δx.【答案】D2．【解析】由平均变化率的定义可知Δs＝5×32－5×12＝5×8＝40(m)，∴ΔsΔt＝403－1＝20(m/s)．【答案】B3．【解析】Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)1＋Δx －1＝4＋2Δx . 【答案】 C 4．【解析】 (m 2－c )－(12－c )m －1＝3，故m ＝2(m ＝1舍去)． 【答案】 A5．【解析】 k 1＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ， k 2＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx ， ∴k 1－k 2＝2Δx .∵Δx 的正负不确定，∴k 1与k 2的大小关系不确定．【答案】 D6．【解析】 水位涨幅的平均变化率为107.5－105.124＝0.1(m/h)． 【答案】 0.17．【解析】 Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)Δx＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12.【答案】 (Δx )2＋6Δx ＋128．【解析】 v ＝s (5)－s (4)5－4＝12×25g －12×16g ＝4.5g (m/s)． 【答案】 4.5g m/s9．【解】 (1)f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝2， g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为－2.(2)f (x )在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝2， g (x )在区间[0,5]上的平均变化率为－2.10．【解】 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量Δs ＝s (1＋Δt )－s (1) ＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3)＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝4Δt ＋(Δt )2Δt＝4＋Δt . 11．【解】 如图所示，设注水t s 时，水面高度为y cm ，此时水面半径为x cm ，则y h ＝x r， x ＝r hy ， tn ＝π3x 2y ， ∴tn ＝13π·(r hy )2·y ＝π3·r 2h 2·y 3， ∴y ＝ 33tnh 2πr 2＝ 33nh 2πr 2·3t . ∴在0 s 到t s 之间水面上升的平均速率为v ＝Δy Δt ＝ 33nh 2πr 2(3t －0)t －0＝ 33nh 2πr 23t2 ＝ 33nh 2πr 2t 2(cm/s).。
高中数学选修2-2讲义：第一章 1 1 函数的平均变化率 含答案
1.1导__数1．1.1函数的平均变化率[对应学生用书P2]山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？提示：自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx，函数值的改变量为y1－y0，记作Δy＝y1－y0.问题2：Δy 的大小能否判断山坡陡峭程度？ 提示：不能．问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0可近似地刻画．问题4：能用ΔyΔx刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因ΔyΔx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比ΔyΔx越大，山坡越陡，反之，山坡越缓．问题5：从A 到B ，从A 到C ，两者ΔyΔx 相同吗？提示：不相同．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．对平均变化率的理解(1)x 0，x 1是定义域内不同的两点的横坐标，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 1)－f (x 0)是相应Δx ＝x 1－x 0的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．(2)函数f (x )在点x 0处的平均变化率与自变量的增量Δx 有关，与x 0也有关．同一个函数，不同的x 0与不同的Δx 其平均变化率往往都是不同的．(3)平均变化率f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0表示点(x 0，f (x 0))与点(x 1，f (x 1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势．[对应学生用书P3][例1] 求y ＝f (x )＝2x 2＋1在区间[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率，并求当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[思路点拨] 先求函数值的增量Δy ，再求ΔyΔx，然后代入已知数据求解．[精解详析] Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝2(x 0＋Δx )2＋1－(2x 20＋1)＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴函数f (x )＝2x 2＋1在区间[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为 Δy Δx ＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4x 0＋2Δx ， 当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率为4×1＋2×12＝5.[一点通] 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy ，求平均变化率的主要步骤是：1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．－2解析：根据平均变化率的定义， 可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.答案：C2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图像上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－2＝4Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx ＝4＋2Δx .答案：C3．计算函数f (x )＝x 2在区间[1,1＋Δx ](Δx >0)的平均变化率，其中Δx 的值为： (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01.并思考：当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－12 ＝Δx 2＋2Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 2＋2Δx Δx＝Δx ＋2. (1)当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝Δx ＋2＝4；(2)当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝Δx ＋2＝3；(3)当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝Δx ＋2＝2.1；(4)当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝Δx ＋2＝2.01.当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2.[例2] (12分)已知函数f (x )＝3－x 2，计算当x 0＝1,2,3，Δx ＝13时，平均变化率的值，并比较函数f (x )＝3－x 2在哪一点附近的平均变化率最大？[精解详析] 函数f (x )＝3－x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[3－(x 0＋Δx )2]－(3－x 20)Δx (2分)＝－2x 0·Δx －(Δx )2Δx＝－2x 0－Δx分)当x 0＝1，Δx ＝13时，平均变化率的值为－73，(6分) 当x 0＝2，Δx ＝13时，平均变化率的值为－133，(8分) 当x 0＝3，Δx ＝13时，平均变化率的值为－193，(10分)，∵－73>－133>－193，∴函数f (x )＝3－x 2在x 0＝1附近的平均变化率最大．(12分)[一点通](1)比较平均变化率大小的步骤：(2)函数的平均变化率的大小反映的是函数的图像在该点x 0附近的“陡峭”程度，其绝对值越大，则在该处附近的图像越“陡峭”，函数值变化就越快．4．求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近平均变化率最大？解：在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－33Δx＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．5．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率，说明婴儿体重的变化情况．解：第一年婴儿体重平均变化率为 11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)，第二年婴儿体重平均变化率为 14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．因此，婴儿第一年体重的平均变化率比第二年体重的平均变化率大．说明第一年婴儿的体重增加要快一些．1．用定义法求平均变化率的基本步骤： (1)作差，求出Δy ；(2)对Δy 进行有效变形，通常用到的变形是：通分、配方、分子(母)有理化、因式分解等；(3)作商，求Δy Δx.2．比较平均变化率大小，实际是比较实数大小的问题，只需先根据平均变化率的定义分别计算，再用比较两数大小的方法比较即可．1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＜0 B ．Δx ＞0 C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0解析：根据定义知Δx 可正、可负，但不能为0. 答案：D2．已知函数y ＝x 2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2Δx[对应课时跟踪训练(一)]C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2解析：2＋Δy ＝f (1＋Δx )＝(1＋Δx )2＋1 ＝2＋2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy ＝(Δx )2＋2Δx ， ∴ΔyΔx ＝2＋Δx . 答案：C3．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．① 解析：根据平均变化率的定义计算知y ＝x 3的最大． 答案：B4．函数y ＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]的平均变化率为k 2，则( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：∵k 1＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx ，又由题意知Δx >0，故k 1>k 2. 答案：A5．已知函数y ＝f (x )＝1x ，则此函数在区间[1,1＋Δx ]的平均变化率为________．解析：ΔyΔx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx －1Δx ＝－11＋Δx .答案：－11＋Δx6．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝⎛⎭⎫2，－12，B ⎝⎛⎭⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3， ∴Δy ＝⎝⎛⎭⎫13－1－⎝⎛⎭⎫12－1＝13－12＝－16. k AB ＝Δy Δx ＝－16. 答案：－167．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率． 解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－1－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx ＝－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx，∴函数y ＝1x 在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率为 Δy Δx＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 8．试求余弦函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤π3，π2的平均变化率，并比较大小． 解：当自变量在0到π6之间变化时，函数的平均变化率为f ⎝⎛⎭⎫π6－f (0)π6－0＝cos π6－cos 0π6＝32－1π6＝3(3－2)π，当自变量在π3到π2之间变化时，函数的平均变化率为f ⎝⎛⎭⎫π2－f ⎝⎛⎭⎫π3π2－π3＝cos π2－cos π3π6＝0－12π6＝－3π，显然函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π6的平均变化率大．。
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1.1.1函数的平均变化率课时作业A 级 基础巩固一、单选题1．函数()2y f x x ==在区间[]00x x x +∆，上的平均变化率为1k ，在区间[]00x x x -∆，上的平均变化率为2k ，则1k 与2k 的大小关系为（ ）A ．12k k >B ．12k k <C ．12k k =D ．不能确定 2．设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A ．2.1 B ．0.21 C ．1.21 D ．0.121 3．一质点的运动方程是253s t =-，则在时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为（ ） A ．36t ∆+ B ．36t -∆+ C ．36t ∆- D ．36t -∆- 4．函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为( )A ．1B ．2C ．πD ．2π 5．函数1y x =在1x =到3x =之间的平均变化率为（ ） A ．23 B ．23- C ．13- D ．136．某物体沿水平方向运动，其前进距离s （米）与时间t （秒）的关系为()252s t t t =+，则该物体在运行前2秒的平均速度为（ ）（米/秒）A ．18B ．13C ．9D ．1327．函数2y x x =+在1x =到1x x =+∆之间的平均变化率为（ ）A ．2x ∆+B ．3x ∆+C ．()22x x ∆+∆D ．()23x x ∆+∆ 8．函数()2f x x =在区间[]1,2-上的平均变化率为（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3B 级 综合提升9．函数2()1f x x =-在区间[]1,m 上的平均变化率为3，则实数m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．410．某公司的盈利y （元）和时间x （天）的函数关系是()y f x =，假设()()()10101000f x f x x x x x >>-≥-恒成立，且()()1001010f f -=，()()2010110f f -=，则这些数据说明后10天与前10天比较（ ） A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C ．公司在亏损且亏损幅度变小D ．公司的盈利在增加，增加的幅度变小二、填空题11．函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为_________.12．函数2()3f x x =在[2, 6]内的平均变化率为________．13．已知函数y =x 2+1在区间[1，1+△x ]上的平均变化率是______．14．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，第二年婴儿体重的平均变化率为_________ kg/月．C 级 拓展探究三、解答题15．比较函数()2x f x =与1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率的大小.16．（1）计算函数2()f x x =从1x =到1x x =+∆的平均变化率，其中x ∆的值为：①2；②1；0.1；④0.01（2）思考：当x ∆越来越小时，函数()f x 在区间[]11x +∆，上的平均变化率有怎样的变化趋势？参考答案1．A【分析】根据函数的平均变化率的定义表示1k 与2k ，作差可得选项.【详解】因为函数()2y f x x ==在区间[]00x x x +∆，上的平均变化量为2200000()()()()(2)f x x f x x x x y x x x =+∆-=+∆-=∆+∆∆， 所以102.y k x x x∆==+∆∆， 函数()2y f x x ==在区间[]00x x x -∆，上的平均变化量()2200000()()()(2)f x f x x x x x x x x y =--∆=--∆=∆-∆∆， 所以202y k x x x∆==-∆∆，所以122,k k x -=∆，又0x ∆>，所以12k k >， 故选：A.2．A【分析】根据平均变化率的公式求解即可.【详解】 1.110.1x ∆=-=，22(1.1)(1) 1.11(11)0.21y f f ∆=-=---=所以函数2()1f x x =-在区间[1,1.1]上的平均变化率为(1.1)(1)0.21 2.10.1y f f x x ∆-===∆∆. 故选：A3．D【分析】由平均变化率的定义计算．【详解】()2253(1Δ)531Δt v t ⎡⎤-+--⨯⎣⎦= 63Δt =--.故选：D ．4．C【分析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.【详解】平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-. 故选：C【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.5．C【分析】由题意结合平均变化率的概念计算出当11x =、23x =时y 的取值，再由y x ∆∆即可得解. 【详解】当11x =时，1111y ==；当23x =时，213y =； 所以函数1y x =在1x =到3x =之间的平均变化率为21211113313y y x x y x -∆===-∆---. 故选：C.【点睛】本题考查了平均变化率的求解，考查了运算求解能力，熟练掌握公式是解题关键，属于基础题.6．C【分析】利用平均变化率的定义可得出该物体在运行前2秒的平均速度为()()202s s -，进而可求得结果.【详解】()252s t t t =+，因此，该物体在运行前2秒的平均速度为()()2018922s s -==（米/秒）.故选：C.【点睛】本题考查平均速度的计算，考查平均变化率的定义，考查计算能力，属于基础题.7．B【分析】直接代入平均变化率公式即得解.【详解】222(1)(1)11()3y x x x x ∆=+∆++∆--=∆+∆, 所以2()33y x x x x x∆∆+∆==∆+∆∆. 故选：B【点睛】本题主要考查平均变化率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 8．B【分析】 直接利用平均变化率公式2121()()f x f x x x --进行求值. 【详解】因为()2f x x =， 所以()f x 在区间[]1,2-上的平均变化率为(2)(1)4112(1)3f f ---==--. 故选：B【点睛】 本题考查函数的平均变化率，考查运算求解能力，属于基础题.9．B【分析】根据题意，求出函数在间[]1,m 上的平均变化率，解方程即可得答案．【详解】解;由已知得()2211131m m ---=-，∴13m +=，∴2m =，故选B.【点睛】本题考查变化率的计算，注意变化率的计算公式，属于基础题．10．D【分析】根据平均变化率与增长幅度的关系说明．【详解】平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的，故选D ．【点睛】本题考查平均变化率的实际意义，属于基础题．11．11e - 【分析】根据平均变化率的公式进行求解即可.【详解】函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为：()()1111f e f e e -=--. 故答案为：11e - 12．24【分析】 利用平均变化率的求解方法求解.【详解】(6)108,(2)12f f ==，所以平均变化率为(6)(2)1081224624f f --==-. 【点睛】 本题主要考查平均变化率的求解，题目较为简单，明确求解步骤是解题关键.13．2+△x【分析】利用平均变化率的公式即可得解．【详解】解：函数y=x 2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率为：22(1)1(11)x x +∆+-+∆=2+△x ． 故答案为2+△x ．【点睛】本题考查了平均变化率的意义及其求法，属于基础题．14．0.25【分析】 直接利用公式w t求即得第二年婴儿体重的平均变化率. 【详解】 14.2511.250.252412w t -==- (kg/月)． 故第二年婴儿体重的平均变化率为0.25(kg/月)．故答案为0.25【点睛】本题主要考查平均变化率的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力. 15．()f x 在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率比()g x 的平均变化率小.【分析】先求出各自的平均变化率，再根据指数函数2x y =的单调性即可得出答案．【详解】解：()2x f x =在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率为11()(1)222(1)a a a f f a f a x a a --∆--==-=∆--； 1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率为：111(1)1()(1)122(1)12a a g g a g a x a a ⎛⎫⎡⎤---- ⎪⎢⎥∆--⎝⎭⎣⎦===∆--. 0,11a a <∴-<-111222a --∴<=， ()2x f x ∴=在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率比1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率小.【点睛】本题主要考查函数的平均变化率的定义，考查根据指数函数的单调性比较大小，属于基础题．16．（1）答案见解析；（2）平均变化率逐渐变小，并接近于2【分析】（1）利用平均变化率的意义即可得出；（2）观察平均变化率即可得结果．【详解】（1）因为222(1)(1)(1)1()2y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆ 所以2()22y x x x x x∆∆+∆==∆+∆∆. ①当2x ∆=时，24y x x∆=∆+=∆； ②当1x ∆=时，23y x x∆=∆+=∆； ③当0.1x ∆=时，2 2.1y x x∆=∆+=∆； ④当0.01x ∆=时，2 2.01y x x ∆=∆+=∆. （2）当x ∆越来越小时，由（1）2()22y x x x x x∆∆+∆==∆+∆∆得， 函数()f x 在区间[1,1]x +∆上的平均变化率逐渐变小，并接近于2．【点睛】本题考查平均变化率的求解，是基础题．。