《高等代数》知识点梳理
大一高等代数期末考知识点
大一高等代数期末考知识点高等代数作为大一学生必修的一门数学课程，是代数学的重要分支，是培养学生抽象思维和逻辑思维的基础。
本文将系统地总结大一高等代数知识点，以帮助同学们复习期末考试。
一、集合与二元关系1. 集合及其运算：包括集合的定义、集合之间的相等关系、子集与真子集、交集、并集、补集和差集等。
2. 二元关系：掌握关系的定义、域、逆关系、复合关系、等价关系和序关系的概念。
二、数系与复数1. 自然数、整数、有理数、实数和复数的定义及其性质。
2. 复数的运算：复数的加减乘除、乘方和开方。
三、代数式与多项式1. 代数式的概念：包括代数式、项、系数和次数等。
2. 多项式的运算：多项式的加减乘除以及整式化简。
3. 多项式的因式分解：二次、三次多项式的因式分解方法。
四、方程与不等式1. 一元一次方程和不等式：一元一次方程和不等式的解集、方程组与不等式组的解集。
2. 一元二次方程与不等式：二次方程和不等式的解集、因式分解法和配方法解方程和不等式。
3. 绝对值方程与不等式：绝对值方程和不等式的解集。
五、函数与图像1. 函数的概念：函数的定义、定义域、值域、图像和性质。
2. 基本初等函数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
3. 函数的运算：函数的加减乘除、复合函数以及函数的逆。
六、行列式与矩阵1. 行列式的概念与性质：行列式的定义、性质、性质的运算规律。
2. 矩阵的概念与性质：矩阵的定义、矩阵的加法和数乘、矩阵的乘法、矩阵的转置和矩阵的逆运算。
3. 线性方程组：线性方程组的定义、增广矩阵、齐次方程组与非齐次方程组。
七、向量与线性空间1. 向量的概念与运算：向量的定义、向量的加法、数乘和数量积。
2. 线性空间的概念与性质：线性空间的定义、线性空间的性质、线性相关与线性无关、线性空间的基与维数。
3. 子空间与线性变换：子空间的定义、子空间的性质、线性变换的定义、线性变换的性质。
八、特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的概念：矩阵的特征值与特征向量的定义。
高等代数知识点总结
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
高等代数知识点总结笔记
高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。
高等代数复习资料
高等代数复习资料高等代数是大学数学中的一门重要课程，它是线性代数的延伸和拓展，涉及到向量空间、矩阵理论、线性变换等内容。
熟练掌握高等代数的基本概念和方法对于学习数学、物理、经济学等领域都具有重要意义。
本文档将为大家提供高等代数复习资料，帮助你巩固和复习相关知识。
第一部分：向量空间向量空间是高等代数中的重要概念，它是一种具有加法和数乘运算的集合。
理解向量空间的基本性质和运算规则是高等代数学习的基础。
在复习向量空间时，可以重点关注以下内容：1. 向量空间的定义和性质：了解向量空间的定义，包括加法和数乘的性质，以及满足的几个条件。
掌握零向量、加法逆元等概念。
2. 子空间：理解子空间的概念，包括子空间的闭性、加法和数乘的封闭性等。
重点掌握如何判断一个集合是否为子空间。
3. 线性相关性和线性无关性：了解线性相关和线性无关的概念，以及线性相关性和线性无关性的判别标准。
学习如何求解线性方程组。
第二部分：矩阵理论矩阵是高等代数中的重要工具，它用于表示线性变换和解决线性方程组。
学习矩阵理论可以帮助我们更好地理解向量空间和线性变换。
在复习矩阵理论时，可以关注以下内容：1. 矩阵的运算：了解矩阵的加法、数乘和乘法等运算规则。
掌握矩阵的转置、逆和行列式等概念。
2. 线性变换和矩阵表示：理解线性变换与矩阵之间的关系，学习如何通过矩阵表示线性变换。
3. 线性方程组与矩阵：掌握使用矩阵解决线性方程组的方法，包括高斯消元法和矩阵的逆等。
第三部分：线性变换线性变换是高等代数的核心内容，它描述了向量空间中的数学变换。
理解线性变换的基本概念和性质对于学习高等代数非常重要。
在复习线性变换时，可以关注以下内容：1. 线性变换的定义和性质：了解线性变换的定义，包括保持加法和数乘运算、保持零向量等性质。
2. 线性变换的矩阵表示：了解线性变换与矩阵之间的关系，学习如何通过矩阵表示线性变换。
3. 特征值和特征向量：掌握特征值和特征向量的概念，学习如何求解特征值和特征向量。
大一上期高等代数知识点
大一上期高等代数知识点高等代数是大一上学期的一门重要课程，主要涉及代数方程、线性代数等内容。
下面将介绍一些大一上期高等代数的核心知识点。
一、代数方程1. 一次方程与二次方程一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b为已知数。
解一次方程的方法包括等式两边同时加减同一个数，合并同类项等。
二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，并且a ≠ 0。
解二次方程的方法包括配方法、因式分解和求根公式等。
2. 求根与判别式二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)，其中√表示平方根。
判别式Δ = b² - 4ac可用来判断二次方程的解的性质。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程无实数根。
二、线性代数1. 矩阵与行列式矩阵是一个由m行n列数组成的矩形阵列，常用大写字母表示。
行列式是一个用来描述矩阵性质的数值，常用竖线符号表示。
行列式的计算包括对角线法则和展开法则等。
2. 线性方程组线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
求解线性方程组的方法包括消元法、逆矩阵法等。
消元法通过行变换将线性方程组转化为相等的简化形式，从而求得方程组的解。
逆矩阵法利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组，前提是矩阵存在逆矩阵。
三、向量与空间1. 向量向量是用来表示方向和大小的量，常用小写字母表示。
向量的运算包括加法、减法及数量乘法等。
向量的模表示向量的大小，向量的内积和外积是常见的向量运算。
2. 空间与子空间空间是指向量所在的集合，常用R^n表示n维空间。
子空间是指在一个空间中的子集，满足一些特定条件，比如封闭性和包含零向量等。
以上是大一上期高等代数的一些核心知识点。
通过学习这些知识，我们可以理解和解决代数方程、线性方程组等问题，为后续学习打下坚实基础。
高等代数知识点总结
高等代数知识点总结高等代数是一门研究抽象代数结构的数学学科。
它是线性代数的拓展，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式等知识点。
以下是高等代数的主要知识点的总结。
1.向量空间：向量空间是高等代数的核心概念之一、它是一组满足特定性质的向量的集合。
向量空间具有几何和代数两种性质，包括加法、数乘、零向量、负向量等。
2.线性变换：线性变换是一种保持向量空间线性组合关系的变换。
它可以通过矩阵来表示，矩阵的乘法与线性变换的复合运算等价。
线性变换的性质包括保持加法和数乘、保持零向量、保持线性组合等。
3.矩阵理论：矩阵是高等代数中常用的工具，用于表示线性变换、求解线性方程组等。
矩阵具有加法、数乘、乘法等运算规则，还可以求逆矩阵、转置矩阵等。
矩阵的秩、特征值与特征向量等性质也是矩阵理论的重要内容。
4.线性方程组：线性方程组是高等代数中的基本问题之一、它是一组包含线性方程的方程组，可以用矩阵形式表示。
线性方程组的求解可以通过消元法、高斯消元法、矩阵求逆等方法来实现。
5.特征值与特征向量：特征值与特征向量是线性变换的重要性质。
特征值是线性变换在一些向量上的纵向缩放比例，特征向量是特征值对应的非零向量。
特征值与特征向量在很多应用中起到重要作用，如矩阵对角化、求解微分方程等。
6.行列式：行列式是矩阵的一个标量量。
行列式的值代表矩阵所对应的线性变换对单位面积进行的放缩倍数。
行列式具有反对称性、线性性、乘法性等性质，可以用于求解矩阵的逆、计算特征值等。
7.正交性与正交变换：正交性是高等代数中的一个重要概念。
向量空间中的两个向量称为正交，如果它们的内积为零。
正交性和正交变换在几何、物理、信号处理等领域有广泛应用。
8.对称性与对称变换：对称性是高等代数中的一个重要概念。
对称性指的是其中一变换下，物体经过变换后保持不变。
对称性与对称变换在几何、物理、化学等领域有广泛应用。
总结起来，高等代数是一门研究抽象代数结构的学科，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式、正交性与正交变换、对称性与对称变换等知识点。
高等代数知识点
高等代数知识点高等代数是大学数学专业的一门核心课程，主要研究线性代数的更深层次的内容和推广。
它是数学中的一门基础学科，对于很多数学分支都有着重要的应用。
下面是高等代数的主要知识点：1.向量空间理论：向量空间是高等代数的核心概念之一、它研究向量的基本性质和运算规律，包括向量的加法、数乘、内积、外积等。
2.线性变换和矩阵理论：线性变换是向量空间中的一个重要概念，它是一种保持向量加法和数乘运算的函数。
矩阵是线性变换在两个有限维向量空间基下的坐标矩阵表示。
3.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换中重要的概念，它们描述了一个线性变换在一些向量上的作用。
特征值是一个标量，特征向量是满足特定条件的非零向量。
4.行列式和特征多项式：行列式是一个方阵所确定的一个标量值，它描述了一个矩阵的一些特征。
特征多项式则是通过行列式来描述一个线性变换的特征。
5.正交性和正交矩阵：正交性是线性代数中重要的概念，它描述了向量空间中向量的垂直性质。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的列向量两两正交并且长度为16.线性方程组：线性方程组是高等代数中一个基本的研究对象。
通过矩阵的运算和消元法可以求解线性方程组的解。
7.广义逆矩阵和正规方阵：广义逆矩阵是矩阵理论的重要扩展，它在未必是方阵的情况下，求解矩阵方程和线性方程组具有重要应用。
正规方阵则是满足一定条件的方阵。
8.特殊矩阵：特殊矩阵是高等代数中特别重要的一类矩阵，包括对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等。
9.特征值分解和奇异值分解：特征值分解是一种将线性变换表示成特征向量和对应特征值的形式的方法，奇异值分解则是一种将矩阵表示成特征值和特征向量的形式的方法。
10. Jordan标准形和Schur分解：Jordan标准形是复矩阵的一种标准形式，它可以将复矩阵进行相似变换后表示成一个特殊的形式。
Schur分解是一种将矩阵表示成三角形的形式的方法。
这些是高等代数的主要知识点，掌握了这些知识点，就能够理解和应用高等代数的基本原理和方法，为后续更深入的数学学习打下坚实的基础。
数学高等代数重点知识点
数学高等代数重点知识点数学高等代数是大学阶段数学学科的重要组成部分，它涵盖了众多的数学概念、理论和技巧。
本文将聚焦于数学高等代数的重点知识点，旨在帮助读者全面理解和掌握这些知识。
一、矩阵和行列式1. 矩阵的基本概念：矩阵是由数个数按一定规律排成的矩形阵列。
介绍矩阵的行、列、元素、维数等概念。
2. 矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法等。
3. 矩阵的转置：介绍矩阵的转置操作及其性质。
4. 行列式的定义和性质：解释行列式的概念，阐述行列式的性质和运算规则。
二、向量空间1. 向量的基本概念：阐述向量的定义、线性运算以及向量的线性相关性。
2. 向量空间的定义和性质：解释向量空间的概念，介绍向量空间的性质和基本运算规则。
3. 子空间：介绍子空间的定义，解释子空间的性质和判定标准。
4. 基和维数：讲解基的概念，介绍线性无关和生成空间的概念，并介绍维数的定义和计算方法。
三、线性方程组1. 线性方程组的基本概念：解释线性方程组的定义和基本性质。
2. 解的存在性与唯一性：介绍线性方程组解的存在性、唯一性和无穷多解的判定条件。
3. 齐次线性方程组和非齐次线性方程组：解释齐次线性方程组和非齐次线性方程组的概念，介绍它们解的性质。
4. 矩阵的秩和可逆性：介绍矩阵的秩的概念，解释矩阵可逆的条件和性质。
四、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义：解释特征值和特征向量的概念，说明与矩阵的关系。
2. 特征方程：介绍特征方程的定义和求解方法。
3. 对角化和相似矩阵：解释相似矩阵和对角矩阵的概念，介绍矩阵相似的判定条件和对角化的步骤。
五、线性映射1. 线性映射的定义和性质：解释线性映射的概念，介绍线性映射的基本性质和运算规则。
2. 核和像：介绍线性映射的核（零空间）和像（值域）的概念。
3. 矩阵的表示和变换：解释线性映射的矩阵表示方法，介绍线性映射的变换和判定条件。
综上所述，数学高等代数的重点知识点包括矩阵和行列式、向量空间、线性方程组、特征值和特征向量以及线性映射等内容。
高等代数知识点总结
矩阵等价 •
A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB • 每个矩阵都行等价于唯一一个RREF矩阵 • A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ Ir 0 • 每个秩数为r的矩阵都等价于 0 0 • 对于m×n矩阵A，B下列条件等价 1. AB，即A可由初等变换化成B 2. 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B 3. 秩A=秩B 4. A，B的标准型相同
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重要结论： • 带余除法定理
对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x) 和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x).
• 最大公因式的存在和表示定理
任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于 任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
(kA)T= k AT (AB)T= BT AT
(AT)T=A
|A1|=|A|1
|A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)<n-1 n, 若r(A)=n
其 它
A-1=|A|-1A*
定义 性质
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ ) 12 =r(PAQ)
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• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的 标准分解 其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
f a( x x1 )
n1
( x xt )
nt
• 实数域上的标准分解定理
在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的 标准分解
第一章知识点(高等代数)
第1章多项式1.1知识点归纳与要点解析一．多项式的定义与运算1.定义形式表达式110()n n n n f x a x a x a L 称为数域P 上以x 为文字的一元多项式,其中01na ,a ,a P L ,n 是非负整数.当0n a 时,称多项式()f x 的次数为n ,记为()f x n ,并称n n a x 为()f x 的首项,n a 为()f x 的首项系数.i i a x 为()f x 的i 次项,i a 称为()f x 的i 次项系数.当11000n n a a a ,a L时,称多项式()f x 为零次多项式,即()0f x ;当1100n n a a a a L 时,称()f x 为零多项式.注：零多项式是唯一不定义次数的多项式. 2.多项式的相等数域P 上以x 为文字的两个一元多项式()f x 与()g x 相等是指它们有完全相同的项. 注：证明两个多项式的相等除了利用定义外，还可以在它们首项系数相等的情况下，证明两个多项式相互整除. 3.多项式次数设()()[]f x g x P x ,, 性质1.当()()0f x g x 时，(()())(()),(())f x g x max f x g x ；性质2.(()())(())+(())f x g x f x g x . 二．多项式的整除1.带余除法(1)定义：设()()[]f x g x P x ,, ()0g x ,则存在唯一的多项式()q x ,()[]r x P x ,使()()()+()f x q x g x r x =.其中()=0r x 或()()r x g x .其中()q x 为()g x 除()f x 的商式, ()r x 为()g x 除()f x 的余式.注：带余除法是多项式分类的工具,是辗转相除法的基础,也是求最大公因式的基础. 2.综合除法3.整除的判定(1)定义设()()[]f x g x P x ,，如果存在()[]q x P x ，使得()()()f x q x g x =,则称()g x 整除。
高等代数复习提纲
高等代数复习提纲一． 多项式1. 带余除法—->辗转相除法- 1uf vg +=的运用2. 不可约多项式,标准分解式，特别是实数域和复数域情形。
3. 根与标准分解式(复数域）,重因式判定。
4. 有理根计算。
Eisenstein 判别法变形运用。
二． 行列式基本性质与算法, 行列式仅是后继高代内容的研究工具。
三． 线性方程组核心内容。
线性相关性判定及线性组合方式计算是两个核心概念。
1. 消元法:初等行变换是代数最基本方法。
2. 向量组线性相关性概念,秩的计算，矩阵非零r 级子式计算,极大无关组的求法。
3. 方程组三种等价形式的运用。
4. 线性方程组有解判别定理与向量组秩关系。
5. 解的结构与极大无关组。
四． 矩阵1. 矩阵乘积的秩。
2. 逆矩阵计算3. 初等变换与初等矩阵:左乘变行,右乘变列。
4. 分块的思想：与矩阵乘积,方程组关系等。
五． 二次型1. 二次型几何意义。
2. 二次型矩阵,标准型计算。
合同概念。
3. 规范形几何意义。
特别是实二次型。
4. 正定性的判定。
与向量内积关系等:例如: ()();T r A r A A =T A A 正定当且仅当0AX =只有零解,其中A 不必是方阵。
六 线性空间１. 线性空间定义。
2. 基（维数)，坐标，同构.n V P ≅3. 向量组线性相关性判定⇔同构坐标向量组相关性⇔ 线性方程组。
４. 子空间的交与和基的计算，维数公式。
5. 直和：交为{0}.七．线性变换1. 线性变换矩阵表示:线性变换=矩阵(基固定）,这一相等保持线性关系和乘积,从而一切关于线性变换问题完全等价于一个矩阵问题。
2. 基变换前后矩阵相似。
３. 特征值,特征向量的计算和性质。
注意特征向量和特征向量坐标的区别：首先计算的是特征向量坐标!４．可对角化判定。
值域与核的基的计算，“维数公式“。
八.λ矩阵１. 初等变换注意事项。
2. 标准型计算:简便算法。
３．行列式因子，不变因子,初等因子，Joｒｄaｎ块之间对应关系。
高等代数I知识点整理
高等代数I知识点整理1.集合和映射：-集合：元素、子集、幂集、交集、并集、差集、集合运算律等。
-映射：定义、定义域、值域、像、单射、满射、双射等。
2.代数结构：-群：群的定义、子群、正规子群、商群、循环群、对称群等。
-环：环的定义、子环、整环、域、特殊环（交换环、有单位元环、整整环）、多项式环等。
-矢量空间：线性组合、线性相关与线性无关、生成子空间、基和维数、坐标等。
3.线性方程组：-线性方程组的解和解集。
-矩阵和向量表示线性方程组，线性方程组的向量形式与矩阵形式的转换。
-齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
4.行列式和特征值特征向量：-行列式的定义、性质与计算。
-矩阵的秩与行列式的关系，线性方程组解的结构与行列式的关系。
-特征值与特征向量的定义与性质，对角化、相似矩阵与特征值特征向量的关系。
5.线性空间：-线性空间的定义与性质，子空间、直和、维数定理等。
-线性变换的定义与性质，线性变换的矩阵表示与特征值特征向量的关系。
6.内积空间：-内积的定义与性质，正交、单位正交、正交补空间等。
- 正交矩阵、正交变换，Gram-Schmidt正交化过程。
-线性最小二乘问题。
7.线性算子：-算子的定义和性质，线性算子、特征值、特征向量等。
-特征子空间、核、像与秩-零化度定理等。
以上是高等代数I的一些重要知识点整理。
在学习这门课程时，学生需要深入理解这些知识点的定义、性质和应用，并通过大量的练习问题进行巩固。
高等代数I为后续数学课程如线性代数、矩阵论、抽象代数等打下坚实的基础。
高等代数最重要的基本概念汇总
第一章 基本概念1.5 数环和数域定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab都在S 内，那么称S 是一个数环。
定义2 设F 是一个数环。
如果（i ）F 是一个不等于零的数； （ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，aF b∈，那么就称F 是一个数域。
定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。
第二章 多项式2.1 一元多项式的定义和运算定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式()1 2012n n a a x a x a x ++++，是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。
项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，ii a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。
定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等()()f x g x =定义3 nn a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的次数。
定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0max ,;f x g x f x g x ∂+≤∂∂()ii ()()()()()()()0f xg x f x g x ∂=∂+∂。
多项式的加法和乘法满足以下运算规则：1） 加法交换律：()()()()f x g x g x f x +=+；2） 加法结合律：()()()()()()()()f xg xh x f x g x h x ++=++； 3）乘法交换律：()()()()f x g x g x f x =； 4） 乘法结合律：()()()()()()()()f xg xh x f x g x h x =； 5） 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。
高等代数基础知识梳理 模块化学习策略
高等代数基础知识梳理模块化学习策略高等代数是数学中的一门重要课程，对于科学和工程领域的学习和研究都具有重要作用。
在学习高等代数的过程中，有很多基础知识需要掌握和理解。
本文将通过模块化学习策略对高等代数的基础知识进行梳理和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这门学科。
第一模块：集合论基础知识集合论是高等代数的基础，它描述了对象的集合以及它们之间的关系。
在集合论的学习中，我们需要了解以下几个基本概念：1. 集合和元素：集合是由一组对象组成的整体，而这些对象称为集合的元素。
例如，集合A={1, 2, 3}中的1、2、3就是集合A的元素。
2. 子集和真子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则前者是后者的子集。
如果一个集合是另一个集合的子集，并且两者不相等，则前者是后者的真子集。
3. 交集和并集：两个集合的交集是包含两个集合共有元素的集合。
而两个集合的并集是包含两个集合所有元素的集合。
通过模块化学习策略，我们可以将集合论基础知识分为小模块进行学习和掌握。
比如首先掌握集合和元素的概念，然后学习子集和真子集的特性，最后理解交集和并集的运算法则。
这样有助于加深对集合论的理解，并且能够更好地应用于高等代数的学习中。
第二模块：线性代数基础知识线性代数是高等代数中的另一个重要组成部分，它研究向量、向量空间以及线性方程组等内容。
在学习线性代数的过程中，我们需要了解以下几个基本概念：1. 向量：向量是由一组有序数构成的有向线段，表示为[a1, a2, ..., an]。
在线性代数中，向量用于表示空间中的点或物理量。
2. 向量空间：向量空间是由一组向量构成的集合，满足一定的条件和性质。
在向量空间中，我们可以进行向量的加法和数乘等运算。
3. 线性方程组：线性方程组由一组线性方程组成，每个方程都是形如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b的线性等式。
解线性方程组可以得到向量的值。
通过模块化学习策略，我们可以将线性代数基础知识分为小模块进行学习和掌握。
高等代数期末重难点总结
高等代数期末重难点总结一、向量空间与线性变换1. 向量空间的定义与性质：向量空间是一种特殊的集合，它包含了满足一定性质的向量并满足一定的运算规则。
其中包括向量的加法、数乘、零向量和加法逆元的存在等。
2. 线性变换与线性映射：线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持向量的线性组合运算。
线性变换具有一些重要的性质，如保持直线和平面、保持向量的和与乘积等。
3. 矩阵的运算与性质：矩阵是一种常见的表示线性变换的工具，它可以描述将一个向量映射到另一个向量的线性变换。
矩阵与向量的乘法、矩阵的加法与数乘等运算具有一定的性质，如结合律、分配律等。
4. 向量的线性相关与线性无关：在向量空间中，向量的线性相关性与线性无关性是非常重要的概念。
线性相关的向量可以通过线性组合表示为零向量，而线性无关的向量则不存在这样的组合。
5. 基与维度：向量空间的基是指一个向量组，通过线性组合可以表示该向量空间中的所有向量。
而基的维度则是由基中向量的个数决定的。
基与维度的概念与向量的线性无关性密切相关。
二、矩阵运算与特征值问题1. 矩阵的行列式与逆矩阵：行列式是矩阵的一个重要概念，它可以描述线性变换对面积（体积）的影响。
逆矩阵是对于给定的矩阵，存在一个矩阵使得它们的乘积等于单位矩阵。
2. 矩阵的秩与行空间、列空间：矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）向量的最大线性无关组的向量个数。
行空间是由矩阵的行向量张成的向量空间，列空间是由矩阵的列向量张成的向量空间。
3. 特征值与特征向量：特征值是对于一个线性变换，存在使其乘积等于该向量的数值；特征向量是与特征值相对应的非零向量，它满足在变换后与原向量方向相同或相反。
4. 对角化：对角化是指对于一个矩阵，存在一个可逆矩阵P，使得对角阵D=P^-1AP。
对角化的一个重要应用是简化矩阵的运算，例如求幂。
5. 正交变换与正交矩阵：正交变换是指一个线性变换保持向量的长度和夹角不变。
正交矩阵是方阵中的一种特殊矩阵，满足矩阵的转置等于矩阵的逆。
《高等代数》知识点梳理
（1 ）定义：由s⋅ n个数a ij（i= 1,2, s；j= 1,2, n）排成s行n列的数表a 11a s1a1n，称为s行n列矩阵，简记为A= (a ij)s⋅n。
asn（2）矩阵的相等：设A= (a ij)m⋅n，B= (a ij)l⋅k，如果m= l，n= k，且a ij= b ij，对i= 1,2, m；j= 1,2, n都成立，则称A与B相等，记A= B。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
a11（1）矩阵的加法：as1运算规律：①A+ B= B+ A②( A+ B) + C= A+ (B+ C)a11（2）数与矩阵的乘法：kas1 运算规律：①(k+ l) A= kA+ lA a1nb11b1na11+ b11+ =asnbs1bsnas1+ bs1③A+ O= A④A+(−A) = Oa1nka11ka1n=asnkas1kasn③k(lA) = (kl) Aa1n+ b1n。
a sn+b sn②k( A+ B) = kA+ kBa11 （3）矩阵的乘法：as1④A+(−A) = Oa1nb11b1mc11=asnbn1bnmcs1c1m其中csmc = a b + a b + + a b a 11ij i 1 1i i 2 2i in nj ，i = 1,2, s ； j = 1,2, m 。
运算规律：① ( A B )C = A (BC ) ③ (B + C ) A = BA + CA② A (B + C ) = AB + AC ④ k ( A B ) = A (kB ) = (kA )B 一般情况 ，① AB ≠ BA② AB = AC ， A ≠ 0 ， ⇒ B = C ③ AB = 0 ⇒ A = 0 或 A = 0a 11a 1na 11 a1s（4）矩阵的转置 ： A = ，A 的转置就是指矩阵 A '=a s 1asna n 1ans运算规律 ：① ( A ')'= A③ ( A B )'= B ' A '② ( A + B )'= A '+B '（5）方阵的行列式 ：设方阵 A =运算规律： ④ (kA )'= kA 'a 1n a11，则A 的行列式为| A |=。
高等代数的知识结构
多项式的最大公因式的定义
定义（公因式与最大公因式）
定义1 若既是的因式，又是的因式，则称是与的公因式。
因所以任意两个多项式都有公因式。
2）互素
如果，那么就说，即两个多项式只有零次公因式时，称为互素。
的公因式，就称这两个多项式互素
2.因式分解理论
1）重因式
定义 设p(x) 为不可约多项式. 如果f(x)能被p(x) 的k次方整除而p（x）的k+1次方不能, 则称p(x) 是 f(x)的k 重因式.
3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去。
3.线性方程组
一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为
式中 代表未知量， 称为方程组的系数， 称为常数项.
线性方程组 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即 .
令
， , ，
则 可用矩阵乘法表示为
，
a.线性方程组的解法
1)消元法
（1）V中零元素（或称0向量）是唯一的。
（2）（2）V中任一向量x的负元素（或称负向量）是唯一的。
（3）（3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）当且仅当k=0或x=0。 （4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。
2.欧氏空间
定义
设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：
若k=0, 则p(x) 不是f(x) 的因式.
若k=1, 则称 p(x) 是f(x) 的单因式.
若k>1, 则称 p(x) 是f(x) 的重因式.
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高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
运算规律：①|||'|A A =②||||A k kA n=③||||||||BA B A AB ==这里A ，B 均为n 级方阵。
二、矩阵的逆 1、基本概念（1）矩阵可逆的定义：n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是单位矩阵。
（2）伴随矩阵：设ij A 是矩阵=nn n n a a a a A 1111中元素ij a 的代数余子式，矩阵=nn nn A A A A A 1111*称为A 的伴随矩阵。
1、基本性质（1）矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化（0||≠A ），而||*1A A A =−（2）如果矩阵A ，B 可逆，那么'A 与AB 也可逆，且)'()'(11−−=A A ，111)(−−−=A B AB 。
（3）设A 是n s ×矩阵，如果P 是s s ×可逆矩阵，Q 是n n ×可逆矩阵，那么)()()(AQ rank PA rank A rank ==三、矩阵分块对于两个有相同分块的准对角矩阵 =l A A A 001 ，=l B B B 001如果它们相应的分块是同级的，则（1）=l l B A B A AB 0011 ；（2）++=+l l B A B A B A 0011 ；（3）||||||||21l A A A A =；（4）A 可逆的充要条件是l A A A ,,,21 可逆，且此时，=−−−111100l A A A。
四、初等变换与初等矩阵 1、基本概念（1）初等变换：初等行列变换称为初等变换所得到的矩阵。
①用一个非零的数k 乘矩阵的第i 行（列）记作)(k c k r i i ×× ②互换矩阵中i ，j 两行（列）的位置，记作)(j i j i c c r r ↔↔③将第i 行（列）的k 倍加到第j 行（列）上，记作)(j i i j kc c kr r ++称为矩阵的三种初等行（列）矩阵。
（2）初等方阵：单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。
2、基本性质（1）对一个n s ×矩阵A 作一次初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ×初等矩阵；对A 作一次初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ×初等矩阵。
（2）任意一个n s ×矩阵A 都与一形式为10000100001000000000的等价，它称为矩阵A 的标准型，主对角线上1的个数等于A 的秩。
（3）n 级矩阵A 为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积。
（4）两个n s ×矩阵A ，B 等价的充分必要条件是，存在可逆的s 级矩阵P 与可逆的n 级矩阵Q ，使PAQ B =。
3、用初等变换求逆矩阵的方法把n 级矩阵A ，E 这两个n n ×矩阵凑在一起，得到一个n n 2×矩阵)(AE ，用初等行变换把它的左边一半化成E ，这时，右边的一半就是1−A 。
第五章 二次型1、二次型及其矩阵表示（1）二次型：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式nn nn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f ++++++++= 222222112112211121222),,,(称为数域P 上的一个n 元二次型。
（2）二次型矩阵：设),,,(21n x x x f 是数域P 上的n 元二次型，),,,(21n x x x f 可写成矩阵形式AX X x x x f n '),,,(21= 。
其中)',,,(21n x x x X =，n n ij a A ×=)(，A A ='。
A 称为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵。
秩（A ）称为二次型),,,(21n x x x f 的秩。
（3）矩阵的合同：数域P 上n n ×矩阵A ，B 称为合同的，如果有属于P 上可逆的n n ×矩阵C ，使AC C B '=。
2、标准型及规范性定理 数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型2222211nn y d y d y d +++ ，用矩阵的语言叙述，即数域P 上任意一个对称矩阵合同于一个对角矩阵。
定理 任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型22221r z z z +++ ，且规范形是唯一的。
定理 任意一个实系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型22122221q p p p z z z z z ++−−−+++ ，且规范形是唯一的，其中p 称为此二次型的正惯性指数，q r p =−称为此二次型的负惯指数，sp q =−称为此二次型的符号差。
3、正定二次型及正定矩阵（1）基本概念①正定二次型：实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,都有0),,,(21>n c c c f 。
②正定矩阵：实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X '正定。
③负定、半正定、半负定、不定的二次型：设),,,(21n x x x f 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,如果0),,,(21<n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为负定的；如果都有0),,,(21≥n c c c f 那么称),,,(21n x x x f 为半正定的；如果都有0),,,(21≤n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半负定的；如果它既不是半正定的又不是半负定的，那么),,,(21n x x x f 就称为不定的。
（2）正定二次型、正定矩阵的判定：对于实二次型AX X x x x f n '),,,(21= ，其中A 是实对称的，下列条件等价：①),,,(21n x x x f 是正定的； ②A 是正定的；③),,,(21n x x x f 的正惯指数为n ； ④A 与单位矩阵合同； ⑤A 的各阶顺序主子式大于零。
第六章 线性空间1、线性空间的定义设V 是一个非空集合，P 是一个数域。
在集合V 的元素之间定义了一种代数运算；这就是说，给出了一个法则，对于V 中的任意两个元素α、β在V 中都有唯一的一个元素γ与它们对应，称为α与β的和，记为βαγ+=。
在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于属于P 中任意数k 与V 中任意元素α，在V 中都有唯一的元素δ与它们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =。
如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域P 上的线性空间。
（1）αββα+=+；（2）γβαγβα++=++)()(；（3）在V 中有一元素0，对于V 中任意元素α都有αα=+0（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）； （4）对于V 中的每一个元素α，都有V 中的元素β，使得0=+βα（β称为α的负元素）；（5）αα=1； （6）αα)()(kl l k =； （7）αααl k l k +=+)(； （8）βαβαk k k +=+)(。
2、维数，基与坐标（1）如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量。
但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V 就称为n 维的。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为无限维的。
（2）如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,21 ，且V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么V 是n 维的，而n ααα,,,21 就是V 的一组基。
（3）在n 维线性空间中，n 个线性无关的向量n εεε,,,21 称为V 的一组基。
设α是V 中任一向量，于是n εεε,,,21 ，α线性相关，因此α可以被基n εεε,,,21 唯一的线性表出n n a a a εεεα+++= 2211，其中系数n a a a ,,,21 称为α在基n εεε,,,21 下的坐标，记),,,(21n a a a 。