初中数学专题训练：旋转

22．将一副三角尺的直角重合放置（∠B＝30°，∠C＝45°），如图 1 所示，
（1）图 1 中∠BEC 的度数为
；
（2）三角尺 AOB 的位置保持不动，将三角尺 COD 绕其直角顶点 O 顺时针方向旋转：
①当旋转至图 2 所示位置时，恰好 OD∥AB，求此时∠AOC 的大小；
②若将三角尺 COD 继续绕 O 旋转，直至回到图 1 位置，在这一过程中，是否会存在△COD 其中一
25．如图，在矩形 ABCD 中，把矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG，且点 E 落在 AD 边上，连接 BG 交 CE 于点 H （1）如图 1，求证：AE+CH＝EH： （2）如图 2，连接 FH，若 FH 平分∠EFG，则满足 2 倍关系的两条段有几对？直接写出这几对线 段．
四．附加题（共 2 小题） 26．数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为 的正方形 ABCD 与边长为 的正
的对称点为 P’（
）
2）关于 x 轴对称：两个点关于 x 轴对称时，x 相等，y 的符号相反，即点 P（x，y）关于 x 轴的
对称点为 P’（
）
3）关于 y 轴对称：两个点关于 y 轴对称时，y 相等，x 的符号相反，即点 P（x，y）关于 y 轴的
对称点为 P’（
）
23.3 课题学习 图案设计
7.利用平移、旋转、轴对称的组合设计图案
单元检测
一．选择题（共 10 小题） 1．如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转 90°后能与原来的图案重合的是（ ）
A．
B．
C．
2．如图，按 a，b，c 的排列规律，在空格 d 上的图形应该是（
D． ）
A．
B．
C．
D．
3．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现出现一小方格体正向下运动，你必须进行以
方形 AEFG 按图 1 位置放置，AD 与 AE 在同一条直线上，AB 与 AG 在同一条直线上． （1）小明发现 DG⊥BE，请你帮他说明理由． （2）如图 2，小明将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，请你帮他 求出此时 BE 的长．
27．已知，四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，点 E 在边 AB 上，矩形 AEFG 的边 AE＝ ，∠GAF ＝30°． （1）如图①，求 AF 的长； （2）如图②，将矩形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到矩形 AMNH，点 C 恰好 在 AN 上． ①求α的大小； ②求 DN 的长； （3）若将矩形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转 30°，得到矩形 ARTZ，此时，点 B 在矩形 ARTZ 的内部、 外部、还是边上？（直接写出答案即可）．
点 B1、C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将△AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到△A1B1C2 的位置，点 C2 在 x 轴上，
将△A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置，点 A2 在轴上，依次进行下去…若点 A（1.5，0），
B（0，2），B1（4，0），则点 B2018 的坐标为
下（ ）操作，才能拼成一个完整图案，使所有图案消失．
A．顺时针旋转 90°，向右平移
B．逆时针旋转 90°，向右平移
C．顺时针旋转 90°，向下平移
D．逆时针旋转 90°，向下平移
4．已知等边△ABC 的边长为 4，点 P 是边 BC 上的动点，将△ABP 绕点 A 逆时 针旋转 60°得到△
ACQ，点 D 是 AC 边的中点，连接 DQ，则 DQ 的最小值是（ ）
A．（﹣1，2+ ） B．（﹣ ，3） C．（﹣ ，2+ ）D．（﹣3， ）
二．填空题（共 10 小题）
11．笑脸（2）是由笑脸（1）经过
变换得到的．
12．已知点 A（a，1）与点 A′（5，b）关于原点对称，则 a+b＝
．
13．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC 由 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°而得，
A．
B．
C．2
D．不能确定
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A′B′C′，M 是 BC
的中点，P 是 A'B’的中点，连接 PM，若 BC＝4，AC＝3，则在旋转的过程中，线段 PM 的长度不
可能是（ ）
A．5
B．4.5
C．2.5
D．0.5
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第二象限，点 A 的坐标是（﹣2，3），先把△ABC 向右 平移 3 个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1 绕点 C1 顺时针旋转 90°得到△A2B2C1，则点 A 的对 应点 A2 的坐标是（ ）
基础知识通关答案
1. 旋转中心，旋转角 3. 相等 4. 180，对称中心 6. -x，-y，x，-y，-x，y
单元检测答案
一．选择题（共 10 小题） 1.【分析】根据旋转对称图形的概念解答．
【解答】解： A．此图案绕中心旋转 36°或 36°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意； B．此图案绕中心旋转 45°或 45°的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意； C．此图案绕中心旋转 60°或 60°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意； D．此图案绕中心旋转 72°或 72°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意； 故选：B． 【知识点】1，2 2.【分析】这是一个旋转问题，找出旋转中心，旋转方向，旋转角，按照规律判断第四个图形． 【解答】解：通过观察图形的变化，根据旋转的性质可知，每次旋转的中心是等边三角形的中心， 顺时针旋转，旋转角度是 90°，故在空格 d 上的图形应该是 D．故选 D． 【知识点】1，2 3.【分析】在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把三行排满，需要旋转和平移，通过观察即 可得到． 【解答】解：顺时针旋转 90°，向右平移． 故选：A． 【知识点】1，2 4.【分析】依据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当 DQ⊥CQ 时，DQ 的长最小，再根据勾股定 理，即可得到 DQ 的最小值． 【解答】 解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60° 又∵∠ACB＝60° ∴∠BCQ＝120° ∵点 D 是 AC 边的中点 ∴CD＝2 当 DQ⊥CQ 时，DQ 的长最小 此时，∠CDQ＝30°
（0＜α＜90°），角的两边分别与 BC，AB 交于点 M，N，连接 DM，CN，MN，下列四个结论：
①∠CDM＝∠COM；②CN⊥DM；③△CNB≌△DMC；④AN2+CM2＝MN2；其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．如图，边长为 24 的等边三角形 ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连结 MB，将线段 BM
绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连结 HN．则在点 M 运动过程中，线段 HN 长度的最小值是
（）
A．12
B．6
C．3
D．1
10．如图，平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，点 A 在 x 轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA ＝2，将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°，点 B 的对应点 B'的坐标是（ ）
∴CQ＝ CD＝1
∴DQ＝
＝
∴DQ 的最小值是 故选：B． 【知识点】3
5.【分析】连接 PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出 PC＝2，然后再依据三角形的三边 关系可得到 PM≤PC+CM，故此可得到 PM 的最大值为 PC+CM． 【解答】解：如图连接 PC． 在 Rt△ABC 中，∵BC＝4，AC＝3 ∴AB＝5 根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝5 ∴A′P＝PB′ ∴PC＝ A′B′＝2.5 ∵CM＝BM＝2 又∵PM≤PC+CM，即 PM≤4.5 ∴线段 PM 的长度不可能是 5 故选：A． 【知识点】3
．
三．解答题（共 5 小题） 21．如图，已知 A（1，﹣1），B（3，﹣3），C（4，﹣1）是直角坐标平面上三点．
（1）请画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； （2）请画出△A1B1C1 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A2B2C2； （3）判断以 B，B1，B2，为顶点的三角形的形状（无需说明理由）．
则 BB′的长度为
．
19．如图，在 4×4 的正方形网格中，有 5 个小正方形已被涂黑（图中阴影部分），若在其余网格
中再涂黑一个小正方形，使它与 5 个已被涂黑的小正方形组成的新图形是一个轴对称图形，则可
涂黑的小正方形共有
个．
20．如图，在平面直角坐标系中，将△Biblioteka BaiduBO 绕点 A 顺时针旋转到△AB1C1 的位置，点 B、O 分别落在
第二十三章 旋转
基础知识通关
23.1 图形的旋转
1.旋转：在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一定点 O 按某个方向转动一个角度，这样的运
动叫做图形的旋转。这个定点叫做
，转动的角度叫做
，如果图形上的某点 P 经
过旋转变为点 P’，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋
度后能与自身重合，那么我们就说，这
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两
个图形成中心对称。这个点就是它的
。
5.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形是全等形。 成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
成中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 6.坐标系中对称点的特征: 1）关于原点对称：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点 P（x，y）关于原点
得到矩形 OA′B′C′，此时直线 OA′与直线 BC 相交于 P．则点 P 的坐标为
．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（3，0），B（0，4），如果将线段 AB 绕点 B 顺时针旋
转 90°至 CB，那么点 C 的坐标是
．
18．如图所示，Rt△ABC 与 Rt△AB′C′关于点 A 成中心对称，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，
24．已知△ABC 为等边三角形，点 D 是线段 AB 上一点（不与 A、B 重合）．将线段 CD 绕点 C 逆时 针旋转 60°得到线段 CE．连结 DE、BE． （1）依题意补全图 1 并判断 AD 与 BE 的数量关系． （2）过点 A 作 AF⊥EB 交 EB 延长线于点 F．用等式表示线段 EB、DB 与 AF 之间的数量关系并证 明．
则 AC 所在直线的解析式是
．
14．如图，一个正方体的每个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，根据图中该正方体①②③三
种状态时所显示的数字，可推断“？”处的数字是
．
15．已知点 P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则 m 的取值范围是
．
16．如图，O 为坐标原点，矩形 OABC 中，A（﹣8，0），C（0，6），将矩形 OABC 绕点 O 旋转 60°，
A．（4，2）
B．（﹣6，0）
C．（0，0）
D．（﹣2，2）
7．如图，点 O 是等边三角形 ABC 内的一点，∠BOC＝150°，将△BCO 绕点 C 按顺时针旋转 60°得
到△ACD，则下列结论不正确的是（ ）
A．BO＝AD
B．∠DOC＝60°
C．OD⊥AD
D．OD∥AB
8．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O．将∠COB 绕点 O 顺时针旋转，设旋转角为α
边能与 AB 平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC 的大小；如果不存在，请
说明理由．
23．如图，四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD 绕点 C 顺时针旋转一定角度后，点 B 的对应点恰好与点 A 重合，得到△ACE． （1）判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）若 AD＝2，CD＝3，试求出四边形 ABCD 的对角线 BD 的长．
转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于 0°，小于
360°）。
3.旋转的性质：
1）对应点到旋转中心的距离
。
2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 3）旋转前、后的图形全等。 23.2 中心对称
4.中心对称图形与中心对称：
中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转 个图形是中心对称图形。
6.【分析】根据要求画出图形即可解决问题． 【解答】解：观察图象可知 A2（4，2） 故选：A．