二次函数与三角形

∵顶点 D 的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4﹣ = ，
∵点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴t1= ；
②如图 3，如果∠BPC=90°，那么 PB2+PC2=BC2，
8
即（0+1）2+（n﹣3）2+（1+1）2+（n﹣0）2=10， 化简整理得 n2﹣3n+2=0，解得 n=2 或 1， ∴P 点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1）， ∵顶点 D 的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4﹣2=2 或 PD=4﹣1=3， ∵点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴t2=2，t3= 3； ③如图 4，如果∠BCP=90°，那么 BC2+PC2=PB2， 即 10+（1+1）2+（n﹣0）2=（0+1）2+（n﹣3）2， 化简整理得 6n=﹣4，解得 n=﹣ ，
∴P 点坐标为（﹣1，﹣ ），
∵顶点 D 的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4+ = ，
∵点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴t4= ；
综上可知，当 t 为 秒或 2 秒或 3 秒或 秒时，以 P、B、C
为顶点的三角形是直角三角形．
2、解：（1）∵矩形 ABCD，B（5，3）， ∴A（5，0），C（0，3）．
∴AF=AB﹣BF=3﹣（3﹣ t）= t． 过点 P 作 PE⊥AD 于点 E，则 PEAF 为矩形，
10
∴PE=AF= t，AE=PF=4﹣ t，∴EQ=AQ﹣AE=（t﹣3）﹣（4﹣ t）= t﹣7． 在 Rt△PQE 中，由勾股定理得：EQ2+PE2=PQ2， 即：（ t﹣7）2+（ t）2=（7﹣t）2， 整理得：13t2﹣56t=0， 解得：t=0（舍去）或 t= ．
2
2
的实数根，所以 (2)2 4k 3 0 ，即 k 2 .
2
3
综上所述，若函数的图像与 x 轴只有一个交点，则 k 的值为 0 或 2 ………………..4 分 3
（2）设反比例函数为 y m ， x
则 k m ，即 m k .所以，反比例函数为 y k
1
x
要使该反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，则 k 0 …..………….5 分
∴DE=t+ t= t． 由勾股定理得：DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2， 即（ t）2+（ t）2=42+（3﹣t）2， 整理得：11t2+6t﹣25=0， 解得：t= 或 t=﹣5（舍去），
∴t= ；
②若 PD=DQ，如答图 3 所示： 此时 PD=t，DQ=AB+AD﹣t=7﹣t， ∴t=7﹣t， ∴t= ； ③若 PQ=DQ，如答图 4 所示： ∵PD=t，∴BP=5﹣t； ∵DQ=7﹣t，∴PQ=7﹣t，AQ=4﹣（7﹣t）=t﹣3． 过点 P 作 PF⊥AB 于点 F，则 PF=PB•sinB=（5﹣t）× =4﹣ t，BF=PB•cosB=（5﹣t）× =3﹣ t．
2
3、已知函数
y

kx2

2x

3 2
（
k
是常数）
⑴若该函数的图像与 x 轴只有一个交点，求 k 的值；
⑵若点 M 1, k 在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数 y kx2 2x 3 都是 y 随 x 的
2
增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；
⑶设抛物线
（3）在抛物线 y 1 x2 平移过程中，将△PAB 沿直线 AB 翻折得到△DAB，点 D 能否落在抛物线 C 上？如 3
能，求出此时抛物线 C 顶点 P 的坐标；如不能，说明理由．
y
y
y 1 x2
B
3源自文库
B
O
x
O
x
A
A
备用图
5
6．已知：如图，抛物线 y ax 2 bx 2 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C ， OC OA ，△ ABC 的 面积为 2 ．
二次函数 y kx2 2x 3 k(x 1 )2 1 3 的对称轴为 x 1 ，要使二次函数 y kx2 2x 3 是
2
k k2
k
2
y 随着 x 的增大而增大，在 k 0 的情况下， x 必须在对称轴的左边，即 x 1 时，才能使得 y 随着 x 的 k
参考答案
7
1、解：（1）∵y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， ∴当 y=0 时，x=﹣3，即 A 点坐标为（﹣3，0）， 当 x=0 时，y=3，即 B 点坐标为（0，3）， 将 A（﹣3，0），B（0，3）代入 y=﹣x2+bx+c，
得
，
解得
，
∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3；
说明理由．
6
7．平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax2 4ax 4a c 与 x 轴交于点 A、点 B，与 y 轴的正半轴交于 点 C，点 A 的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为 D．
(1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足∠APB=∠ACB，求点 P 的坐标； (3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于∠AQB 的平分线的对称点为 A ，若 QA QB 2 ，求点 Q 的坐标和 此时△ QAA 的面积．
令 y=0，即 x2
x+3=0，解得 x=1 或 x=5．
∴D（1，0），∴DH=2，AH=2，AD=4．
9
∵tan∠ADB= = ，∴GH=DH•tan∠ADB=2× = ，
∴G（3， ）． ∵S△MBD=6，即 S△MDG+S△MBG=6， ∴ MG•DH+ MG•AH=6，
即： MG×2+ MG×2=6， 解得：MG=3． ∴点 M 的坐标为（3， ）或（3， ）．
二次函数与三角形
抛物线与三角形的结合是抛物线与平面几何结合生成综合性问题的一种重要形式，这类 问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊图形，有以下常见的形式：
（1）抛物线上的点能否构成特殊的线段； （2）抛物线上的点能否构成特殊的角； （3）抛物线上的点能否构成特殊三角形； （4）抛物线上的点能否构成全等三角形、相似三角形； 这类问题把抛物线性质和平面图形性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、 分类讨论等思想方法。
（2）如图 1，设第三象限内的点 F 的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），则 m＜0，﹣m2﹣2m+3＜0． ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴对称轴为直线 x=﹣1，顶点 D 的坐标为（﹣1，4）， 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G，连接 FG，则 G（﹣1，0），AG=2． ∵直线 AB 的解析式为 y=x+3， ∴当 x=﹣1 时，y=﹣1+3=2， ∴E 点坐 标为（﹣1，2）．
y

kx2

2x

3 2
与
x
轴交于
Ax1, 0,
B x2, 0两点，且
x1

x2
，
x12

x22

1 ，在
y
轴上，
是否存在点 P，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出点 P 及△ABP 的面积；若不存在，请说明理由。
3
4、如图，抛物线 y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交 x 轴于 A、B 两点，A 点坐标为（3，0），与 y 轴交于点 C（0，4），以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴 l 在边 OA（不包括 O、A 两点）上平行移动，分别交 x 轴于点 E，交 CD 于点 F， 交 AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示 PM 的长； （3）在（2）的条件下，连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得以 P、C、F 为 顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明 理由．
∵点 A（5，0），C（0，3）在抛物线 y= x2+bx+c 上，
∴
，解得：b= ，c=3．
∴抛物线的解析式为：y= x2
x+3．
（2）如答图 1 所示，
∵y= x2
x+3= （x﹣3）2﹣ ，
∴抛物线的对称轴为直线 x=3． 如答图 1 所示，设对称轴与 BD 交于点 G，与 x 轴交于点 H，则 H（3，0）．
∵S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG= ×2×2+ ×2×（m2+2m﹣3）﹣ ×2×（﹣1﹣m）=m2+3m，
∴以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 3 时，m2+3m=3，
解得 m1=
，m2=
（舍去），
当 m=
时，﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=
，
∴点 F 的坐标为（
，
）；
（3）设 P 点坐标为（﹣1，n）． ∵B（0，3），C（1，0）， ∴BC2=12+32=10． 分三种情况： ①如图 2，如果∠PBC=90°，那么 PB2+BC2=PC2， 即（0+1）2+（n﹣3）2+10=（1+1）2+（n﹣0）2， 化简整理得 6n=16，解得 n= ，
∴P 点坐标为（﹣1， ），
4
5.如图，直线 y 3 x b 经过点 B( 3 ，2)，且与 x 轴交于点 A．将抛物线 y 1 x2 沿 x 轴作左右平移，
3
3
记平移后的抛物线为 C，其顶点为 P． （1）求∠BAO 的度数； （2）抛物线 C 与 y 轴交于点 E，与直线 AB 交于两点，其中一个交点为 F．当线段 EF∥x 轴时，求平移后 的抛物线 C 对应的函数关系式；
1、如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴交于另一个点 C，对称轴与直线 AB 交于点 E，抛物线顶点为 D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 3，求点 F 的坐标； （3）点 P 从点 D 出发，沿对称轴向下以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P、B、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的 t 值．
∴t= ．
综上所述，当 t= ，t= 或 t= 时，以 D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．
3、解：(1)①当 k 0 时，函数 y 2x 3 的图像与 x 轴只有一个交点………………2 分 2
②当 k 0 时，若函数 y kx2 2x 3 的图像与 x 轴只有一个交点，则方程 kx2 2x 3 0 有两个相等
（3）在 Rt△ABD 中，AB=3，AD=4，则 BD=5，∴sinB= ，cosB= ． 以 D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，则： ①若 PD=PQ，如答图 2 所示： 此时有 PD=PQ=BQ=t，过点 Q 作 QE⊥BD 于点 E， 则 BE=PE，BE=BQ•cosB= t，QE=BQ•sinB= t，
（1）求抛物线的解析式；
（2）若平行于 x 轴的动直线 DE 从点 C 开始，以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于点 E、点 D ，同时动点 P 从点 B 出发，在线段 OB 上以每秒 2 个单位的速度向原点 O 运动．当点 P 运动到点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动．联结 DP ，设点 P 的运动时间为 t 秒． ①当 t 为何值时， 1 1 的值最小，并求出最小值； ED OP ②是否存在 t 的值，使以 P, B, D 为顶点的三角形与△ ABC 相似．若存在，求出 t 的值；若不存在，请
1
2、如图，在平面直角坐标系中，点 O 是原点，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 C 在 y 的 正半轴上，点 B 的坐标是（5，3），抛物线 y= x2+bx+c 经过 A、C 两点，与 x 轴的另一个交点是点 D， 连接 BD． （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是抛物线对称轴上的一点，以 M、B、D 为顶点的三角形的面积是 6，求点 M 的坐标； （3）点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 D→B 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 B→A→D 匀速运动，当点 P 到达点 B 时，P、Q 同时停止运动，设运动的时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．