二次函数与三角形
二次函数与三角形周长最值问题
二次函数与三角形周长最值问题1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊一个既有趣又实用的话题，那就是二次函数和三角形周长的最值问题。
听起来是不是有点晦涩？别担心，我会尽量把这些复杂的数学概念变得简单易懂，就像喝水一样容易。
你有没有发现，数学其实就像生活中的调味品，适量的话，能让一切变得更美味。
今天我们就来看看，如何用二次函数来找出三角形周长的最值。
2. 二次函数的基本概念2.1 二次函数是什么？首先，咱们得搞清楚二次函数是什么。
简单来说，二次函数就是形如 ( y = ax^2 + bx + c ) 的函数，其中 ( a, b, c ) 是常数，而 ( a neq 0 )。
这个公式的图像通常是一条抛物线，像个笑脸，或者说是个哭脸，真是个多情的家伙。
它的形状和位置全靠那个 ( a ) 的值决定——如果 ( a ) 是正的，它就笑得特别灿烂；如果是负的，那就是个忧伤的小抛物线。
2.2 如何求最值？在二次函数中，最值也就是我们常说的“顶点”。
顶点的横坐标可以用公式 ( x = frac{b{2a ) 来计算。
得到横坐标后，把它带回原方程，就能算出对应的纵坐标。
这样一来，我们就能轻松找到函数的最大值或最小值，就像捡到了一个大便宜。
3. 三角形周长的计算3.1 三角形的周长公式接下来，我们来聊聊三角形的周长。
三角形的周长简单来说就是三条边的长度加起来。
无论你是直角三角形、等边三角形还是其他类型，周长都是那个公式：( P = a + b + c )，其中 ( a, b, c ) 就是三条边的长度。
很简单吧？不过，别忘了，边的长度可不是随便定的哦，得满足三角形不等式。
3.2 周长与二次函数的关系现在问题来了，怎么把周长和二次函数联系起来呢？我们可以设定一条边的长度为( x )，另外两条边用 ( y ) 和 ( z ) 表示。
然后通过一些简单的代数变换，把三角形的周长表达为 ( P(x) = x + f(x) )，其中 ( f(x) ) 是个二次函数，表示与 ( x ) 相关的边长。
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。
二次函数与等边三角形的存在性问题
二次函数与等边三角形的存在性问题引言本文旨在研究二次函数与等边三角形的存在性问题。
通过了解二次函数和等边三角形的定义和性质，我们将探讨它们之间是否存在关联，并通过简单的策略来解决这个问题。
二次函数的定义和性质二次函数是一种具有形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是实数，且 $a \neq 0$。
二次函数的图像通常是一个抛物线，可向上开口（当 $a > 0$）或向下开口（当 $a < 0$）。
二次函数的图像关于其顶点对称。
等边三角形的定义和性质等边三角形是一种具有三条边长度相等的三角形。
等边三角形的内角均为 $60^\circ$。
等边三角形也可以看作是一个正三角形。
二次函数与等边三角形的关联分析我们将研究二次函数与等边三角形的存在性问题，即我们要找到一个二次函数，使得它的图像与一个等边三角形的图像重合。
根据二次函数的性质，我们知道它的图像总是是一个抛物线，而等边三角形的图像是正三角形。
由此可见，单纯的二次函数是不可能与等边三角形相重合的。
然而，我们可以采用一些简单的策略来实现这一目标。
例如，我们可以将二次函数进行线性变换，使得抛物线的形状与正三角形更加接近。
通过适当的调整函数的参数，我们能够使得抛物线的顶点位置和曲线开口方向与等边三角形完全相匹配。
这样，我们就能够找到一个满足题设的二次函数，使其图像与等边三角形的图像重合。
结论通过简单策略的运用，我们可以找到一个二次函数，使其图像与等边三角形的图像重合。
这个问题的关键在于适当调整二次函数的参数，以使其图像的形状与等边三角形完全相匹配。
通过这种方法，我们可以解决二次函数与等边三角形的存在性问题。
参考文献:。
二次函数 直角三角形
二次函数直角三角形二次函数是一种常见的数学模型，其图像呈现出连续的曲线，可以用于描述许多实际问题，如物体的运动轨迹、物体的抛射运动、电子电路等。
而直角三角形是一个三角形中的一种特殊情况，其中一个角为90度。
在这篇文章中，我们将讨论二次函数与直角三角形之间的关系，以及如何利用二次函数和三角函数求解直角三角形问题。
一、二次函数二次函数是一种以自变量x的二次多项式的形式表示的函数，其一般式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像通常呈现出抛物线状，其开口向上或向下取决于系数a的正负性。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
二、二次函数与直角三角形之间的关系二次函数可以用于描述许多物理问题，如自由落体运动、抛体运动等。
这些物理问题中通常包含有物体的高度、速度、加速度等数值。
而这些数值往往与直角三角形有直接关系。
例如，在自由落体运动中，当一个物体从高度h自由落下时，其高度与时间的关系可以表示为二次函数y=-gt²/2 + h，其中g为重力加速度，t为时间。
同时，当物体与地面碰撞时，其速度可以表示为v=gt，即与时间t存在线性关系。
这些物理问题中的二次函数常常与直角三角形有关，我们可以将物体高度与时间关系中的高度看作直角三角形中的斜边，将时间看作直角三角形中的一条直角边，将落地时的高度看作直角三角形中的另一条直角边。
这样，我们就可以将二次函数转化为三角函数的形式，利用三角函数求解直角三角形的问题。
三、利用三角函数求解直角三角形的问题在直角三角形中，我们通常会用三角函数来计算三角形的各边和角度的大小。
其中最常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
通过利用三角函数可以快速地求解直角三角形的各项参数，如角度、斜边、直角边以及三角形的面积等。
下面是利用三角函数求解直角三角形的常用公式：1.正弦定理：a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)。
二次函数关于三角形点坐标
二次函数关于三角形点坐标二次函数在三角形中的应用十分广泛，特别是在研究三角形的顶点、重心、外心、垂心等点的坐标时，二次函数是一个很好的工具。
下面我们就来看看如何使用二次函数求解三角形的各点坐标。
1. 三角形的顶点坐标设三角形的顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则三角形的顶点坐标可以表示为以下二次函数的形式：A(x1,y1): y = k1x + b1B(x2,y2): y = k2x + b2C(x3,y3): y = k3x + b3其中，k1、k2、k3是直线的斜率，b1、b2、b3是直线的截距。
我们可以通过求解这些二次函数的解析式，得到三角形的顶点坐标。
2. 三角形的重心坐标三角形的重心是三条中线的交点，中线是连接三角形各顶点和对边中点的线段。
设三角形的中点分别为D、E、F，则三角形的重心坐标可以表示为以下二次函数的形式：重心G(x,y): y = kGx + bG其中，kG、bG分别是中线DG、EF的斜率和截距。
我们可以通过求解这两条中线的解析式，得到重心G的坐标。
3. 三角形的外心坐标三角形的外心是三角形外接圆的圆心，外接圆是三角形三条边所在的圆。
设三角形的外接圆半径为R，圆心坐标为O(x0,y0)，则三角形的外心坐标可以表示为以下二次函数的形式：外心O(x0,y0): y = kOx + bO其中，kO、bO分别是过AB、AC中垂线的斜率和截距。
我们可以通过求解这两条中垂线的解析式，得到外心O的坐标。
4. 三角形的垂心坐标三角形的垂心是三角形三条高的交点，高是连接三角形各顶点和对边垂线的线段。
设三角形的垂足分别为H1、H2、H3，则三角形的垂心坐标可以表示为以下二次函数的形式：垂心H(xh,yh): y = khx + bh其中，kh、bh分别是过A、BC的垂线的斜率和截距。
我们可以通过求解这两条垂线的解析式，得到垂心H的坐标。
总之，二次函数在求解三角形各点坐标时是一个非常有用的工具，掌握二次函数的基本知识和求解方法，可以帮助我们更加深入地理解三角形的性质和特点。
二次函数与三角形面积问题
二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题的关系是通过求解二次函数图像与x轴交点来得到三角形的面积。
具体而言，如果给定二次函数的表达式，我们可以求解方程f(x) = 0的解，这些解就是二次函数图像与x轴交点的横坐标。
通过这些横坐标，我们可以确定三角形的底边的长度。
同时，我们可以求解二次函数的最值来确定三角形的高，进而计算出三角形的面积。
首先，让我们来回顾一下二次函数的定义和性质。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a不等于零。
二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向由a的正负号决定，当a 大于零时开口向上，当a小于零时开口向下。
二次函数的顶点是抛物线的最值点，当a大于零时顶点是最小值点，当a小于零时顶点是最大值点。
现在，让我们将二次函数与三角形面积问题联系起来。
假设我们有一个给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望求解该二次函数图像与x轴交点的横坐标，并计算出通过这些交点确定的三角形的面积。
首先，我们需要求解方程f(x) = 0，也就是求解ax^2 + bx + c = 0。
这可以通过使用求根公式来进行计算。
根据求根公式，对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据这个公式，我们可以求解出具体的x值。
假设我们求解得到了两个根，x1和x2。
接下来，我们可以通过计算这两个根之间的距离来确定三角形的底边的长度。
根据数学知识，我们知道两个点(x1, 0)和(x2, 0)之间的距离等于|x2 - x1|。
因此，通过计算|x2 - x1|，我们可以得到底边的长度。
接下来，我们需要确定三角形的高。
为了做到这一点，我们需要找到二次函数的顶点。
二次函数的顶点的横坐标可以通过使用公式x = -b / (2a)来计算。
通过计算出的顶点横坐标，我们可以计算出顶点在x轴上的纵坐标。
中考复习函数专题28 二次函数中的三角形问题(学生版)
专题28 二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
要点补充：一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s （阴影部分），则s与t的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．7123．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是A ．16B ．15C ．14D ．134．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A＜x C＜x B，那么符合上述条件的抛物线条数是（）A．7B．8C．14D．165．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图△）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图△），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（）A．1B．1.5C．2D．0.8或1.26．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．7．如图，正三角形ABC和正三角形ECD的边BC，CD在同一条直线上，将ABC向右平移，直到点B 与点D 重合为止，设点B 平移的距离为x ，=2BC ，4CD =．两个三角形重合部分的面积为Y ，现有一个正方形FGHI 的面积为S ，已知sin 60Y S=︒，则S 关于x 的函数图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．以下说法正确的是（ ）A ．三角形的外心到三角形三边的距离相等B ．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形C ．分式方程11222x x x -=---的解为x ＝2 D ．将抛物线y ＝2x 2－2向右平移1个单位后得到的抛物线是y ＝2x 2－39．二次函数2(1)22y m x mx m =+-+-的图象与x 轴有两个交点()1,0x 和()2,0x ，下列说法：△该函数图象过点(1,1)-；△当0m =时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是△若该函数的图象开口向下，则m 的取值范围为21m -<<-；△当0m >，且21x --时，y 的最大值为(92)m +．正确的是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△ 10．以下四个命题：△如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；△在实数-7.54-π，)2中，有4个有理数，2个无理数；△的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为43； △二次函数221y ax ax =-+，自变量的两个值x 1，x 2对应的函数值分别为y 1，y 2，若|x 1-1|>|x 2-1|，则a (y 1-y 2)>0．其中正确的命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．定义[a ，b ，c ]为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m ，1－m ，－1－m ]的函数的一些结论：△当m ≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；△当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；△当m ＜0时，函数在14x >时，y 随x 的增大而减小；△当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则13m =，正确的结论是________．（填写序号）12．如图，在第一象限内作与x 轴的夹角为30°的射线OC ，在射线OC 上取点A ，过点A作AH △x 轴于点H ，在抛物线y ＝x 2（x ＞0）上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 有____个．13．如图，直线l ：1134y x =+经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)…B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1(x 1，0)，A 2(x 2，0)，A 3(x 3，0)…，A n+1(x n+1，0)（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d （0＜d ＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d 的值是__．14．如图，抛物线与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，设抛物线的顶点为D ．坐标轴上有一动点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似．则点P 的坐标______．。
二次函数三角形面积定值问题
二次函数三角形面积定值问题二次函数三角形面积定值问题是高中数学中的一个重要概念，也是考试中常考的难点之一。
本文将从三个方面进行探讨，分别是二次函数的定义和性质、三角形面积公式以及如何利用二次函数求解三角形面积定值问题。
一、二次函数的定义和性质二次函数是一种以 x 的平方为自变量的函数，通常的表达式为y=ax²+bx+c。
其中，a、b、c 分别是常数，a 不等于零。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，其中顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二次函数具有以下性质：1. 对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的直线，方程为 x=-b/2a。
2. 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，方程为 ax²+bx+c=0。
3. 单调性：当 a 大于零时，二次函数开口朝上，图像在顶点处取得最小值；当 a 小于零时，二次函数开口朝下，图像在顶点处取得最大值。
4. 范围：当 a 大于零时，二次函数的值域为 [c-b²/4a, +∞)；当a 小于零时，二次函数的值域为 (-∞, c-b²/4a]。
二、三角形面积公式三角形面积公式是计算三角形面积的基本公式，其表达式为S=1/2bh，其中S 表示三角形面积，b 和h 分别表示底边和高。
此外，还有两个重要的推论：1. 海伦公式：当已知三角形的三边长 a、b、c 时，可以利用海伦公式求出三角形面积 S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。
2. 正弦定理：当已知三角形的一个角度和两边长时，可以利用正弦定理求出第三边长，从而进一步计算出三角形面积。
正弦定理的表达式为 a/sinA=b/sinB=c/sinC。
三、利用二次函数求解三角形面积定值问题在高中数学中，经常会遇到给定三角形底边和两条高的长度，求解三角形面积的问题。
此类问题通常可以通过构建二次函数来解决。
以一个例子来说明：已知三角形底边长为 8，两条高分别为 6 和 10，求解该三角形的面积。
二次函数三角形最大值和最小值
二次函数是高中数学中的重要内容，在数学应用中有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数在三角形中的最大值和最小值问题，通过对相关概念和定理的讲解，结合具体的数学实例，帮助读者深入理解二次函数与三角形的关系，从而掌握相关的解题方法和技巧。
二、二次函数与三角形1. 二次函数二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，通过定点（0，c）。
2. 三角形三角形是平面几何中的基本图形之一，其具有三条边和三个角。
根据三角形的三个顶点的位置关系，可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同种类。
三、二次函数三角形最大值和最小值1. 最大值对于给定的二次函数y=ax^2+bx+c，在一定范围内求最大值，可以通过二次函数的顶点公式来求解。
顶点公式为x=-b/2a，y=f(-b/2a)。
结合数学实例，可以更加直观地理解最大值的求解方法。
与求最大值类似，对于给定的二次函数y=ax^2+bx+c，在一定范围内求最小值，也可以通过二次函数的顶点公式来求解。
在实际应用中，需要灵活运用二次函数图像的性质，加快最小值的求解过程。
四、应用举例通过具体的数学实例，可以更好地理解二次函数与三角形最大值和最小值的求解过程。
可以选择一个具体的三角形，确定对应的二次函数，通过求解二次函数的最大值和最小值来解决相关的数学问题。
五、总结通过本文的讲解，读者可以对二次函数与三角形最大值和最小值问题有一个较为全面的了解。
这一知识点不仅在高中数学学习中有重要意义，而且在各类数学竞赛和应用问题中都有广泛的应用。
加深对二次函数与三角形的理解，掌握相关的解题方法和技巧，对于提高数学水平具有重要意义。
六、二次函数与三角形面积的关系除了最大值和最小值问题外，二次函数与三角形还有一个重要的关系，那就是二次函数与三角形的面积。
在解决一些数学问题时，我们经常需要计算三角形的面积，而二次函数可以帮助我们更加方便地进行计算。
二次函数与直角三角形有关的问题
二次函数的综合——与直角三角形有关的问题一.知识回顾(一)证明直角三角形(或直角)的定理：1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2， 那么这个三角形是直角三角形；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边 的夹角叫做底角.2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角. (二)与直角三角形(或直角)有关的线段关系：1. 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ,b ，斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2 ；2. 辅助线构造“一线三垂直”相似三角形模型(如下图)，对应边的比相等.二．例题解析例1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =－x 2+2x +3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，连接BC 、CD 、BD .证明：△BCD 是直角三角形. 解：x =0时，y =3；y =0时，x 1=－1，x 2=3; ∴C 为(0，3)，点B 为(3，0).∵y =－x 2+2x +3=－(x －1)2+4，∴抛物线的顶点D 为(1，4)，方法一：∵BC 2=(3－0)2+(0－3)2=18，CD 2=(1－0)2+(4－3)2=2，BD 2=(3－1)2+(0－4)2=20, ∴BC 2+CD 2=BD 2，即∠DCB =90°，△BCD 是直角三角形.方法二：过点D 做DE ⊥y 轴于点E ， 则DE =CE =1，OB =OC =3，∴∠DCE ＝∠BCO ＝45°，即∠BCD ＝90°，△BCD 是直角三角形.方法三：过点D 做DE ⊥y 轴于点E ，则DE =CE =1，OB =OC =3，∴CE DEBO CO =，又∵∠CED =∠BOC =90°，∴△CED ∽△BOC ，∠ECD =∠OBC ， 而∠OBC+∠OCB =90°，∴∠BCD =180°－(∠ECD+∠OCB )=90°， △BCD 是直角三角形.已知三个顶点判断直角三角的方法：(1) 用勾股定理逆定理证明；(2)构造“一线三垂直”相似证明；(3)根据坐标判断某些特殊角，求出直角.交于点C ，点E 是抛物线对称轴上一点，若△ACE 是直角三角形，求出点E 的坐标. 解：x =0时，y =3，y =0时，x 1=－1，x 2=3; ∴C 为(0，3)，点A 为(－1，0). ∵y =－x 2+2x +3=－(x －1)2+4， ∴抛物线的的对称轴为直线x =1. 设点E 的坐标为(1，a )， 方法一：AC 2=[0－(－1)]2+(3－0)2=10， EA 2=[1－(－1)]2+(a －0)2=a 2+4， CE 2=(1－0)2+(a －3)2=a 2－6a +10， 若∠CAE =90°，则CE 2=AC 2+EA 2， 即a 2－6a +10=10+a 2+4，解得：a =－32，点E 为(1，－32)； 若∠ACE =90°，则AE 2=AC 2+CE 2，即a 2+4=10+a 2－6a +10，解得：a =38，点E 为(1，38)；若∠CEA =90°，则AC 2=CE 2+EA 2，即10=a 2－6a +10+a 2+4，解得：a 1=1，a 2=2，点E 为(1，1)或(1，2)；综上所述，点E 为(1，－32)，(1，38)，(1，1)或(1，2).方法二：若∠CAE =90°，过点A 作直线l //y 轴，分别过点C 、点E 作CM ⊥l 于点M ，EN ⊥l 于点N ， 可证△AMC ∽△ENA ， ∴MA NECM NA =，即3)1(11−−=−a ， 解得：a =－32，∴点E 为(1，－32)；若∠ACE =90°，过点C 作直线l //x 轴，分别过点A 、点E 作AM ⊥l 于点M ，EN ⊥l 于点N ， 可证△AMC ∽△CNE ，∴AMCNMC NE =，即3113=−a ，解得：a =38，∴点E 为(1，38)； 若∠AEC =90°，过点E 作直线l //y 轴，分别过点A 、点C 作AM ⊥l 于点M ，CN ⊥l 于点N ，可证△AME ∽△ENC ，∴EN AM NC ME =，即aa −=321， 解得：a 1=1，a 2=2，点E 为(1，1)或(1，2)； 综上所述，点E 为(1，－32)，(1，38)，(1，1)或(1，2). 直角三角形已知两个顶点，求第三个顶点坐标的方法：(1)按直角顶点分类(“一圆两垂直”)；(2)用勾股定理或构造“一线三垂直”相似列方程计算.交于点C ，连接BC ，点M ，N 分别是线段AB ，BC 上的动点，且AM ＝BN ，连接MN ．当△BMN 是直角三角形时，求点M 的坐标． 方法一：解：x =0时，y =3；y =0时，x 1=－1，x 2=3； ∴A 为(－1，0)，B 为(3，0)，C 为(0，3). 设点M 坐标为（m ，0），∴BN =AM =m －(－1)=m +1，BM =3－m ， ∵OB =OC =3，∠BOC ＝90°， ∴∠CBO ＝∠BCO ＝45°． 若∠MNB =90°， △BMN ∽△BCO ，则BN BM 2=，即()123+=−m m ，解得524−=m ， ∴点M 的坐标为（524−，0）； 若∠NMB =90°，△BMN ∽△BOC ，则BM BN 2=， 即()m m −=+321，解得247−=m ，∴点M 的坐标为（247−，0）；综上所述，点M 坐标为（524−，0）或（247−，0）．方法二：解：x =0时，y =3；y =0时，x 1=－1，x 2=3； ∴A 为(－1，0)，B 为(3，0)，C 为(0，3). ∴直线BC 的解析式为y =－x +3， ∵OB =OC =3，∠BOC ＝90°， ∴∠CBO ＝∠BCO ＝45°． 设点A M =BN=m ，过点N 作NG ⊥x 轴于点G , 在Rt △BNG 中，m BN BG NG 2222===， ∴点M 为(m －1，0)，N 为(m 223−，m 22)， ∴BM 2=(3-m +1)2=m 2-8m +16， BN 2=2222m =m 2， MN 2=22222231+ +−−m m m=162482222+−−+m m m m ， 若∠MNB =90°，则MN 2+BN 2=MB 2，G即162482222+−−+m m m m +m 2=m 2-8m+16， 解得m 1=0(舍去)，m 2=424−， ∴点M 的坐标为（524−，0）； 若∠NMB =90°， 则MN 2+BM 2=NB 2，即162482222+−−+m m m m +m 2-8m+16=m 2， 解得m 1=4(舍去)，m 2=248−， ∴点M 的坐标为（247−，0）；综上所述，点M 坐标为（524−，0）或（247−，0）．直角三角形已知一个顶点，另两个点伴随运动，求动点坐标的方法： (1)按直角顶点分类；(2)用勾股定理或相似列方程计算.三．方法总结：四．变式训练：1．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A （1，1），且与直线y ＝x ﹣2交于B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点C 的坐标； （2）求证：△ABC 是直角三角形．【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C 点坐标；（2）分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于点D 、E 两点，结合A 、B 、C 三点的坐标可求得∠ABO ＝∠CBO ＝45°，可证得结论；解：（1）∵顶点坐标为（1，1）， ∴设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）2+1， 又抛物线过原点，∴0＝a （0﹣1）2+1，解得a ＝﹣1， ∴抛物线解析式为y ＝﹣（x ﹣1）2+1， 即y ＝﹣x 2+2x ，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B （2，0），C （﹣1，﹣3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB+OE＝2+1＝3，EC＝3，∴∠ABO＝∠CBO＝45°，即∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．2．如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线C1：y1＝x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c，求得y2＝﹣+x+2，B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，E（6，﹣1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，E（10，﹣13）；③若E为直角顶点，设E（m，﹣m2+m+2）不符合题意；解：由抛物线C1：y1＝x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c得，解得，∴y2＝﹣+x+2，B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，k BE•k AB＝﹣1，∴k BE＝﹣1，直线BE解析式为y＝﹣x+5联立，解得x＝2，y＝3或x＝6，y＝﹣1，∴E（6，﹣1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，同理得AE解析式：y＝﹣x﹣3，联立，解得x＝﹣2，y＝﹣1或x＝10，y＝﹣13，∴E（10，﹣13）；③若E为直角顶点，设E（m，﹣m2+m+2）由AE⊥BE得k BE•k AE＝﹣1，即，，，（m﹣2）2（m﹣6）（m+2）＝﹣16（m+2）（m﹣2），（m+2）（m﹣2）[（m﹣2）（m﹣6）+16]＝0，∴m+2＝0或m﹣2＝0，或（m﹣2）（m﹣6）+16＝0（无解）解得m＝2或﹣2（不符合题意舍去），∴点E的坐标E（6，﹣1）或E（10，﹣13）．3．如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C （0，4），点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；利用等腰三角形的性质得B（3，0），然后计算自变量为3所对应的二次函数值可得到D点坐标；（2）利用勾股定理计算出BC＝5，设M（0，m），则BN＝4﹣m，CN＝5﹣（4﹣m）＝m+1，由于∠MCN＝∠OCB，根据相似三角形的判定方法，当＝时，△CMN∽△COB，于是有∠CMN＝∠COB＝90°，即＝；当＝时，△CMN∽△CBO，于是有∠CNM＝∠COB＝90°，即＝，然后分别求出m的值即可得到M点的坐标；解：（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣5ax+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OB＝OA＝3，∴B（3，0），∵BD⊥x轴交抛物线于点D，∴D点的横坐标为3，当x＝3时，y＝﹣×9+×3+4＝5，∴D点坐标为（3，5）；（2）在Rt△OBC中，BC＝＝＝5，设M（0，m），则BN＝4﹣m，CN＝5﹣（4﹣m）＝m+1，∵∠MCN＝∠OCB，∴当＝时，△CMN∽△COB，则∠CMN＝∠COB＝90°，即＝，解得m ＝，此时M点坐标为（0，）；当＝时，△CMN∽△CBO，则∠CNM＝∠COB＝90°，即＝，解得m＝，此时M点坐标为（0，）；综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A 的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；（2）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据t＝2可得点A（﹣2，2），因为B在直线l1上，所以设B（x，x+1），利用y＝0代入y＝x+1可得G点的坐标，在Rt△ABG中，利用勾股定理列方程可得点B 的坐标；（2）先把（7，4）代入s＝中计算得b的值，计算在﹣1＜t＜5范围内图象上一个点的坐标值：当t＝2时，根据（1）中的数据可计算此时s＝，可得坐标（2，），代入s＝a（t+1）（t﹣5）中可得a的值；解：（1）如图1，连接AG，当t＝2时，A（﹣2，2），设B（x，x+1），在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，∴G（0，1），∵AB⊥l1，∴∠ABG＝90°，∴AB2+BG2＝AG2，即（x+2）2+（x+1﹣2）2+x2+（x+1﹣1）2＝（﹣2）2+（2﹣1）2，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，∴B（﹣，）；（2）存在，设B（x，x+1），分两种情况：①当∠CAB＝90°时，如图4，∵AB⊥l1，∴AC∥l1，∵l1：y＝x+1，C（0，3），∴AC：y＝x+3，∴A（﹣2，1），∵D（﹣2，﹣1），在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，即（x+2）2+（x+1﹣1）2+（x+2）2+（x+1+1）2＝22，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2（舍），∴B（﹣1，0），即B在x轴上，∴AB＝＝，AC＝＝2，∴S△ABC＝＝＝2；②当∠ACB＝90°时，如图5，∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），∴（x+2）2+（x+1﹣t）2＝（x+2）2+（x+1+1）2，（x+1﹣t）2＝（x+2）2，x+1﹣t＝x+2或x+1﹣t＝﹣x﹣2，解得：t＝﹣1（舍）或t＝2x+3，Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即（﹣2）2+（t﹣3）2+x2+（x+1﹣3）2＝（x+2）2+（x+1﹣t）2，把t＝2x+3代入得：x2﹣3x＝0，解得：x＝0或3，当x＝3时，如图5，则t＝2×3+3＝9，∴A（﹣2，9），B（3，4），∴AC＝＝2，BC＝＝，∴S△ABC＝＝＝10；当x＝0时，如图6，此时，A（﹣2，3），AC＝2，BC＝2，∴S△ABC＝＝＝2．。
二次函数与三角形
教师姓名 学生姓名 填写时间 学科 初中数学年级初三 教材版本 人教版课题名称二次函数与三角形的关系 本人课时统计第（ 、 ）课时 共（ ）课时上课时间教学目标同步教学知识内容掌握二次函数与三角形的综合应用问题 个性化学习问题解决解决三角形在二次函数中的面积问题教学重点 三角形在二次函数中的面积问题 教学难点如何利用“割补法”求解三角形的面积教 学 过 程 、 课 堂 设 计二次函数与三角形在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：ED CBAFEDA BCD FEDCBAh45︒D CBA1.如图，过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．1122ABC ACD ADB C B ACE CEB A B S S S AD y y S S CE x x ∆∆∆∆∆=+=⋅-=+=⋅-其中D ,E 两点坐标可以通过BC 或AB 的直线方程以及A 或C 点坐标得到． 2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积． ABC DEBF DAC AEB CBF S S S S S ∆∆∆∆=---.所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得．3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．()()()()()()111222ABC ADEB CFEB ADFC A B A B B C B c C A C A S S S S x x y y x x y y x x y y ∆=-++=-++-++-+4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边与0x y ±=平行，则可以快速求解．12ABC S h BC ∆=⋅．一、二次函数与三角形综合【例1】 二次函数218y x =的图象如图所示，过y 轴上一点(0M ，2)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．⑴ 当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；⑵ 在⑴的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点A 在抛物线上运动时(点A 与点O 不重合)，求AC BD ⋅的值．y x O M D CBA【例2】 已知一元二次方程210x px q +++=的一根为2．（1）求q 关于p 的解析式；（2）求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；（3）设抛物线2y x px q =++的顶点为M ，且与x 轴相交于()()1200A x B x ，、，两点，求使AMB ∆面积最小时的抛物线的解析式．【例3】 已知二次函数22(2)4y m x mx n =--+的图象的对称轴是直线2x =，且它的最高点在直线112y x =+上．⑴ 求此二次函数的解析式；⑵ 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线112y x =+上移动到M 点时，图象与x 轴恰好交于A 、B 两点，且8ABM S ∆=，求这时的二次函数的解析式．lMBA yx O【例4】 如图，已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于点A 、B ，交y 轴负半轴于C 点，点B 在点A 的右侧，90ACB ∠=︒，112OA OB OC-=． (1)求抛物线的解析式；(2)求ABC ∆的外接圆的面积；(3) 在抛物线2y x px q =++上是否存在点P ，使得PAB ∆的面积为22． 如果有，这样的点有几个；如果没有，请说明理由．yxOBCA【例5】 一开口向上抛物线与x 轴交于A （2m -，0），B （m ＋2，0）两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ．（1）若m 为常数，求抛物线的解析式；（2）若m 为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ （3）设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【例6】 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （-1，0），如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．xyOBC (-1,0)A (0,2)【例7】 如图所示，抛物线2()y x m =--的顶点为A ，其中0m >．（1）已知直线l ：3y x =，将直线l 沿x 轴向 （填“左”或“右”）平移 个单位（用含m 的代数式）后过点A ；（2）设直线l 平移后与y 轴的交点为B ，若动点Q 在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P ，使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 相似，且相似比为2？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．【例8】 如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．⑴ 求A 、B 、C 三点的坐标．⑵ 过点A 作AP CB ∥交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．⑶ 在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG x ⊥轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA ∆相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．xyO PCBA【例9】 如图，过ABC ∆的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，侧两条直线之间的距离叫ABC ∆的“水平宽”()a ，中间的这条直线在ABC ∆内部线段的长度叫ABC ∆的“铅垂高()h ”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：12ABC S ah ∆=，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.水平宽铅垂高haCB解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点()14C ，,交x 轴于点()30A ，，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求CBA ∆的铅垂高CD 及CAB S ∆；（3）是否存在一点P ，使98PAB CAB S S ∆∆=，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.13yxC OA B【例10】 已知抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于点1(0)A x ，，2(0)B x ，12()x x <，且12x x ，是方程2230x x --=的两个实数根，点C 为抛物线与y 轴的交点．（1）求a b ，的值；（2）分别求出直线AC 和BC 的解析式；（3）若动直线(02)y m m =<<与线段AC BC ，分别相交于D E ，两点，则在x 轴上是否存在点P ， 使得DEP △为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在3214y【例11】 如图，抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且()10A -，． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；） （2）判断ABC △的形状，证明你的结论； （3）点(0)M m ，是x 轴上的一个动点，当MC MD +的值最小时，求m 的值．11-1BD CA Oxy【例12】 如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．C-241yxAB O【例13】 如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A (1,0),B (- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.CyxABO【例14】 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为()20-，，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120︒，得到线段OB ．⑴ 求点B 的坐标；⑵ 求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；⑶ 在⑵中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使BOC ∆的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．⑷ 如果点P 是⑵中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么PAB ∆是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及PAB ∆的最大面积；若没有，请说明理由．BO A xy提交时间 教学组长审批 教学总监审批。
二次函数与直角三角形
二次函数与三角形（一）一、二次函数与直角三角形①已知三顶点A、B、C②已知两点A、B，找另一点③等腰直角三角形归纳总结：例1.（09福建）如图，已知抛物线C1：()522-+=xay的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．例2. （09崇文一模）如图，抛物线两点轴交于与B A x bx axy ,32-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==．（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由。
例3.（09北京东城一模）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示，抛物线22 y ax ax=+-经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B 角形？若存在，求所有点P例4. （09丰台一模） 已知抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于不同的两点()10A x ，和()20B x ，，与y 轴交于点C ，且12x x ，是方程2230x x --=的两个根（12x x <）．（1）求抛物线的解析式；（2）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1．在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为反比例函数4y x=(0)x >的图象上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将4y x=(0)x >的图象绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为'A ，B 点的对应点为'B ．（1）求旋转后的图象解析式； （2）求'A 、'B 点的坐标；（3）连结'AB ．动点M 从A 点出发沿线段'AB 以每秒1个单位长度的速度向终点'B 运动；动点N同时从'B 点出发沿线段''B A 以每秒1个单位长度的速度向终点'A 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使'M N B △为等腰直角三角形的t 值，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．日期：__________ 上课内容:___________ 作业：已知抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于点1(0)A x ，，2(0)B x ，12()x x <，且12x x ，是方程2230x x --=的两个实数根，点C 为抛物线与y 轴的交点．（1）求a b ，的值；（2）分别求出直线A C 和BC 的解析式；（3）若动直线(02)y m m =<<与线段AC BC ，分别相交于D E ，两点，则在x 轴上是否存在点P ，使得D EP △为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考二次函数与直角三角形有关的问题知识解读
二次函数与直角三角形有关的问题知识解读【专题说明】二次函数之直角三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的直角三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
【解题思路】直角三角形的存在性问题1.找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点2.方法：（1）以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1（2）以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解下面主要介绍2种常用方法：【方法1 几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由，易证0213232222C C C BN AM B A N MB BN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：设，，坐标得、由求法相同，如下：易证、040231a ,4a ,3ab ,3ab 1N a,31,4333333343C C C C C C C C C C b b M BN AM B A NBM N AMNB AM ==+=======∆≈∆【方法2 代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A【典例分析】【方法1 勾股定理】【典例1】（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（4）在y轴上存在点E，使△ADE为直角三角形，理由如下：∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4），设E点坐标为（0，m），∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20，当∠EAD＝90°时，有AE2+AD2＝DE2，∴m2+9+20＝m2+8m+17，解得m＝，∴此时点E的坐标为（0，）；当∠ADE＝90°时，DE2+AD2＝AE2，m2+8m+17+20＝m2+9，解得m＝﹣，∴此时点E的坐标为（0，﹣）；当∠AED＝90°时，AE2+DE2＝AD2，m2+9+m2+8m+17＝20，解得m＝﹣1或m＝﹣3，∴此时点E的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）．【变式1-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），∴3a＝3，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点为（2，﹣1）；（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设E（2，t），∵△BCE是直角三角形，∴BE⊥CE，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，BE＝，CE＝，①当BC为斜边时，∴18＝（）2+（）2，解得t＝，∴E点坐标为（2，）或（2，）；②当BE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝5，∴E点坐标为（2，5）；③当CE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝﹣1，∴E点坐标为（2，﹣1）；综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）【变式1-2】（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．【方法2 构造“K”字型利用相似作答】【典例2】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c 交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+6x+5，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴顶点D（﹣3，﹣4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，设E（t，t2﹣6t+5），过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，∵∠DOE＝90°，∴∠GOD+∠HOE＝90°，∵∠GOD+∠GDO＝90°，∴∠HOE＝∠GDO，∴△GDO∽△HOE，∴＝，∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，∴＝，∴t＝4或t＝，∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．【变式2-1】（2022•济南）抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式和t，k的值；（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；【解答】解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2+x﹣6，∴64a+22﹣6＝0，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+x﹣6，当y＝0时，﹣t2+t﹣6＝0，解得t＝3或t＝8（舍），∴t＝3，∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上，∴8k﹣6＝0，解得k＝，∴y＝x﹣6；（2）作PM⊥x轴交于M，∵P点横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m﹣6），∴PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3，在Rt△COA和Rt△AMP中，∵∠OAC+∠P AM＝90°，∠APM+∠P AM＝90°，∴∠OAC＝∠APM，∴△COA∽△AMP，∴＝，即OA•MA＝CO•PM，3（m﹣3）＝6（m2﹣m+6），解得m＝3（舍）或m＝10，∴P（10，﹣）；【变式2-2】（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．【解答】解：（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AC＝＝；（2）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，设M（m，m2﹣2m﹣3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM＝90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，∴∠HMC＝45°＝∠HCM，∴CH＝MH，∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，∴﹣m2+2m＝m，∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，∴M（1，﹣4）；②当∠CBM＝90°时，过点M作M'H'⊥x轴，同①的方法得，M'（﹣2，5）；③当∠BMC＝90°时，如图2，Ⅰ、当点M在第四象限时，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM＝∠E＝90°，∴∠DCM+∠DMC＝90°，∵∠DMC+∠EMB＝90°，∴∠DCM＝∠EMB，∴△CDM∽△MEB，∴，∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，∴，∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝，∴M（，﹣），Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．。
二次函数全等三角形问题解决方法
二次函数全等三角形问题解决方法嘿，咱今儿就来唠唠这二次函数和全等三角形的问题解决办法。
你说这俩家伙，一个是函数里的翘楚，一个是三角形里的明星，它们凑到一块儿，还真有点让人头疼呢！先来说说二次函数吧。
那图像，就像个调皮的曲线，一会儿上，一会儿下，变化多端。
要想搞定它，咱得先弄清楚它的那些关键要素，什么顶点啊，对称轴啊，开口方向啊。
这就好比了解一个人的性格特点，知道了这些，才能更好地和它打交道嘛！然后呢，计算的时候可不能马虎，一个数字错了，那可就谬之千里啦！再讲讲全等三角形。
全等三角形那可是相当严格的，边边边、角角边、边角边，这些条件一个都不能少。
就好像给三角形定了个铁规矩，必须得完全符合才行。
有时候找全等的条件就像在玩捉迷藏，得仔细去发现那些隐藏的线索。
那遇到二次函数和全等三角形一起出现的问题咋办呢？这就像是一场综合格斗赛，得把两者的技巧都用上。
比如说，通过二次函数的某些条件求出一些边长或者角度，然后再用这些去判断全等三角形的条件是否满足。
这可需要咱有一双敏锐的眼睛和一个灵活的大脑哦！咱举个例子吧，假设有个二次函数的图像，上面有两个点，然后又有两个三角形，让咱判断它们是不是全等。
这时候，咱就得先从二次函数里挖出有用的信息，比如那两个点的坐标，通过坐标算出边长或者角度啥的。
然后再和三角形的条件一对比，嘿，说不定全等的答案就出来啦！哎呀，是不是感觉挺有意思的？其实啊，数学就是这样，看似复杂，只要咱用心去钻研，就一定能找到解决问题的办法。
就像爬山一样，虽然过程有点累，但当你爬到山顶，看到那美丽的风景时，一切都值啦！所以啊，别害怕这二次函数和全等三角形的问题，大胆地去尝试，去探索。
每次解决一个问题，就像攻克了一个小堡垒，那种成就感，别提多棒啦！你想想，当你轻松地搞定这些难题，别人投来羡慕的眼光时，你心里得多美呀！总之呢，对于二次函数全等三角形问题，咱要有耐心，有细心，还要有信心。
相信自己一定能行，加油吧！让我们在数学的海洋里尽情遨游，享受解题的乐趣！。
二次函数三角形面积
二次函数三角形面积二次函数是高中数学中的重要内容之一，而二次函数与三角形面积之间的关系也是数学中的一个经典问题。
本文将通过简单的例子和详细的讲解，介绍二次函数与三角形面积的关系。
我们来看一个简单的例子：假设有一个三角形，它的底边长为3，高为2。
我们想要求这个三角形的面积。
这时我们可以使用二次函数来求解。
二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
而三角形的面积可以通过底边长和高来计算，公式为S = 1/2 * 底边长 * 高。
我们可以将三角形的面积S表示为二次函数的形式，即S = ax^2 + bx + c。
由于我们已知底边长为3，高为2，代入公式可得2 = a * 3^2 + b * 3 + c。
接下来，我们需要求解二次函数的系数a、b、c。
由于已知三个点(3,2)，我们可以通过代入这三个点的坐标来求解。
代入第一个点(3,2)，可得2 = 9a + 3b + c。
接着，代入第二个点(0,c)，可得c = a * 0^2 + b * 0 + c，即 c = c。
最后，代入第三个点(-3,2)，可得2 = 9a - 3b + c。
通过以上三个方程，我们可以解得a、b、c的值。
进一步求解，我们可以得到二次函数的解析式。
在得到二次函数的解析式之后，我们可以进一步求解三角形的面积。
将求得的系数a、b、c代入二次函数的解析式中，我们可以得到三角形的面积函数S(x)。
通过对S(x)进行化简，我们可以得到一个简化的表达式，即二次函数与三角形面积的关系式。
在进一步讨论之前，我们可以先来看一下二次函数的图像。
由于二次函数是一个抛物线，它的图像可以分为两种情况：开口向上和开口向下。
当二次函数的系数a大于0时，它的图像开口向上；当系数a小于0时，它的图像开口向下。
对于开口向上的二次函数，它的最低点即为抛物线的顶点。
而顶点的横坐标就是二次函数的极值点。
我们可以通过求导来找到这个极值点。
二次函数与三角形相似问题
二次函数与三角形相似问题二次函数是初中数学中的重要内容，而三角形相似问题是初中几何中的重点难点。
在解决一些复杂的几何问题时，我们常常需要将二次函数和三角形相似问题结合起来进行思考。
本文将从几个方面探讨二次函数与三角形相似问题的关系和应用。
一、二次函数的解析式与三角形的边长关系在解决与三角形相似的二次函数问题时，我们需要先确定三角形的边长关系。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么这个直角三角形的斜边长为5。
如果以这个直角三角形的斜边为底边构造一个新的直角三角形，那么它的另一条直角边就是原来直角三角形的斜边的一半，即2.5。
因此，我们可以得出以下结论：当一个直角三角形的一条直角边与另一个直角三角形的斜边相等时，这两个直角三角形是相似的。
二、二次函数的最大值与最小值与三角形的高线关系在解决与三角形相似的二次函数问题时，我们还需要考虑二次函数的最大值和最小值与三角形的高线的关系。
例如，已知一个抛物线的顶点坐标为(0,2)，对称轴为y轴。
如果以这个抛物线的顶点为原点构造一个新的抛物线，那么它的顶点坐标就是原来的顶点坐标加上或减去某个常数c。
因此，我们可以得出以下结论：当一个抛物线的顶点与另一个抛物线的顶点之间的距离等于它们到某个固定点的距离之差时，这两个抛物线是相似的。
三、二次函数的对称性与三角形的对称性关系在解决与三角形相似的二次函数问题时，我们还需要考虑二次函数的对称性和三角形的对称性之间的关系。
例如，已知一个抛物线的对称轴为x=1，如果以这个抛物线的对称轴为中心构造一个新的抛物线，那么它的对称轴就是原来的对称轴加上或减去某个常数d。
因此，我们可以得出以下结论：当一个抛物线的对称轴与另一个抛物线的对称轴之间的距离等于它们到某个固定点的距离之和时，这两个抛物线是相似的。
二次函数与三角形
1、已知二次函数y=x2-2x-8， 若函数与x轴两个交点为A，B，与y轴的交 点为C，求△ABC的面积，若函数的顶点为P， 求△ABP的面积。
S=24
2、如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B ＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／ 秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1 厘米／秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时 出发，几秒后ΔPBQ的面积最大？最大面积是 A 多少？
⑵如果D为抛物线上一点，使得△AOD面积是 △AOP的面积的4倍,求D点坐标。
解：∵ S△AOD＝4S△AOP 且OA＝4， P(1，3) ∴ D的纵坐标为12 y 2 又∵ D在抛物线y＝3x 上， B ∴3x 2 ＝12， 即x＝± 2 ∴ D(－2，12)或(2，12) P O A x
4、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点A （-1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C， 顶点是D。 1）若△ABC是直角三角形，求 a的值； 2）若△ABD是直角三角形，求 a的值。
当t=2秒时，Smax=24cm2
PHale Waihona Puke QB3、如图直线l经过点A(4,0)和B(0,4)两点,它与二 次函数y=ax2的图像在第一象限内相交于P点,若 △AOP的面积为6。(1)求二次函数的解析式。 解：由已知,A(4,0),B(0,4)得直 线AB的解析式为 y=-x+4, y 作PE⊥OA于E, 则 0.5OA×PE=6, 可得PE=3 B 当y=3时,3=-x+4, ∴ X=1, P ∴ P(1,3) ∵P在抛物线上, ∴把x=1,y=3代入y=ax2 ,得a=3, O E A ∴ y=3x2
5、如图，直角坐标系内的 梯形AOBC（O为原点）， AC∥OB，AO⊥OB，AC=1， OA=2，BO=5。 （1）求经过O，C，B三点的 抛物线的解析式； （2）延长AC交抛物线于点D， 求线段CD的长；
二次函数与特殊三角形问题
3
二次函数与等腰三角形
二次函数的顶点坐标可以与一个等腰三角形的顶角顶点重合。
二次函数与直角三角形的关系
直角三角形的性质
包含一个直角的三角形。
直角三角形的斜边
斜边是直角三角形的最长边。
二次函数与直角三角形
二次函数的图像可以与一个 直角三角形的斜边相切。
二次函数与锐角三角形的关系
1 锐角三角形的性质
所有边相等，所有内角均为60 度。
二次函数与等边三角形
当二次函数的开口朝上时，其 图像可以与一个等边三角次函数的开口朝下时，其 图像可以包含一个等边三角形。
二次函数与等腰三角形的关系
1
等腰三角形的性质
两边相等，两内角也相等。
2
等腰三角形的高与底边平行
对于一个等腰三角形，高与底边平行。
三个内角均小于90度。
2 二次函数与锐角三角形
二次函数的图像可以与一个锐角三角形的顶角顶点重合。
2. 首项系数a决定抛物线的开口程度。
3. 顶点为(xv,yv)，其中xv=-b/2a， yv=f(xv)。
特殊三角形的定义和性质
等边三角形
三边相等，内角均为60度。
直角三角形
包含一个直角的三角形。
等腰三角形
两边相等，两内角也相等。
锐角三角形
三个内角均小于90度。
二次函数与等边三角形的关系
等边三角形的性质
二次函数与特殊三角形问 题
本演示文稿将探讨二次函数以及与特殊三角形之间的关系。了解二次函数的 定义和特点，以及特殊三角形的性质与例子。
二次函数的定义和特点
1 定义：
二次函数是指形式为f(x)=ax^2+bx+c的函 数，其中a、b和c是实数且a≠0。
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令 y=0，即 x2
x+3=0，解得 x=1 或 x=5．
∴D（1，0），∴DH=2，AH=2，AD=4．
9
∵tan∠ADB= = ，∴GH=DH•tan∠ADB=2× = ，
∴G（3， ）． ∵S△MBD=6，即 S△MDG+S△MBG=6， ∴ MG•DH+ MG•AH=6，
即： MG×2+ MG×2=6， 解得：MG=3． ∴点 M 的坐标为（3， ）或（3， ）．
2
3、已知函数
y
kx2
2x
3 2
（
k
是常数）
⑴若该函数的图像与 x 轴只有一个交点，求 k 的值；
⑵若点 M 1, k 在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数 y kx2 2x 3 都是 y 随 x 的
2
增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；
⑶设抛物线
1、如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴交于另一个点 C，对称轴与直线 AB 交于点 E，抛物线顶点为 D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 3，求点 F 的坐标； （3）点 P 从点 D 出发，沿对称轴向下以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P、B、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的 t 值．
∵S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG= ×2×2+ ×2×（m2+2m﹣3）﹣ ×2×（﹣1﹣m）=m2+3m，
∴以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 3 时，m2+3m=3，
解得 m1=
，m2=
（舍去），
当 m=
时，﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=
，
∴点 F 的坐标为（
（1）求抛物线的解析式；
（2）若平行于 x 轴的动直线 DE 从点 C 开始，以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于点 E、点 D ，同时动点 P 从点 B 出发，在线段 OB 上以每秒 2 个单位的速度向原点 O 运动．当点 P 运动到点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动．联结 DP ，设点 P 的运动时间为 t 秒． ①当 t 为ED OP ②是否存在 t 的值，使以 P, B, D 为顶点的三角形与△ ABC 相似．若存在，求出 t 的值；若不存在，请
，
）；
（3）设 P 点坐标为（﹣1，n）． ∵B（0，3），C（1，0）， ∴BC2=12+32=10． 分三种情况： ①如图 2，如果∠PBC=90°，那么 PB2+BC2=PC2， 即（0+1）2+（n﹣3）2+10=（1+1）2+（n﹣0）2， 化简整理得 6n=16，解得 n= ，
∴P 点坐标为（﹣1， ），
4
5.如图，直线 y 3 x b 经过点 B( 3 ，2)，且与 x 轴交于点 A．将抛物线 y 1 x2 沿 x 轴作左右平移，
3
3
记平移后的抛物线为 C，其顶点为 P． （1）求∠BAO 的度数； （2）抛物线 C 与 y 轴交于点 E，与直线 AB 交于两点，其中一个交点为 F．当线段 EF∥x 轴时，求平移后 的抛物线 C 对应的函数关系式；
∴P 点坐标为（﹣1，﹣ ），
∵顶点 D 的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4+ = ，
∵点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴t4= ；
综上可知，当 t 为 秒或 2 秒或 3 秒或 秒时，以 P、B、C
为顶点的三角形是直角三角形．
2、解：（1）∵矩形 ABCD，B（5，3）， ∴A（5，0），C（0，3）．
二次函数 y kx2 2x 3 k(x 1 )2 1 3 的对称轴为 x 1 ，要使二次函数 y kx2 2x 3 是
2
k k2
k
2
y 随着 x 的增大而增大，在 k 0 的情况下， x 必须在对称轴的左边，即 x 1 时，才能使得 y 随着 x 的 k
∵顶点 D 的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4﹣ = ，
∵点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴t1= ；
②如图 3，如果∠BPC=90°，那么 PB2+PC2=BC2，
8
即（0+1）2+（n﹣3）2+（1+1）2+（n﹣0）2=10， 化简整理得 n2﹣3n+2=0，解得 n=2 或 1， ∴P 点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1）， ∵顶点 D 的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4﹣2=2 或 PD=4﹣1=3， ∵点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴t2=2，t3= 3； ③如图 4，如果∠BCP=90°，那么 BC2+PC2=PB2， 即 10+（1+1）2+（n﹣0）2=（0+1）2+（n﹣3）2， 化简整理得 6n=﹣4，解得 n=﹣ ，
（3）在 Rt△ABD 中，AB=3，AD=4，则 BD=5，∴sinB= ，cosB= ． 以 D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，则： ①若 PD=PQ，如答图 2 所示： 此时有 PD=PQ=BQ=t，过点 Q 作 QE⊥BD 于点 E， 则 BE=PE，BE=BQ•cosB= t，QE=BQ•sinB= t，
（2）如图 1，设第三象限内的点 F 的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），则 m＜0，﹣m2﹣2m+3＜0． ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴对称轴为直线 x=﹣1，顶点 D 的坐标为（﹣1，4）， 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G，连接 FG，则 G（﹣1，0），AG=2． ∵直线 AB 的解析式为 y=x+3， ∴当 x=﹣1 时，y=﹣1+3=2， ∴E 点坐 标为（﹣1，2）．
二次函数与三角形
抛物线与三角形的结合是抛物线与平面几何结合生成综合性问题的一种重要形式，这类 问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊图形，有以下常见的形式：
（1）抛物线上的点能否构成特殊的线段； （2）抛物线上的点能否构成特殊的角； （3）抛物线上的点能否构成特殊三角形； （4）抛物线上的点能否构成全等三角形、相似三角形； 这类问题把抛物线性质和平面图形性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、 分类讨论等思想方法。
1
2、如图，在平面直角坐标系中，点 O 是原点，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 C 在 y 的 正半轴上，点 B 的坐标是（5，3），抛物线 y= x2+bx+c 经过 A、C 两点，与 x 轴的另一个交点是点 D， 连接 BD． （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是抛物线对称轴上的一点，以 M、B、D 为顶点的三角形的面积是 6，求点 M 的坐标； （3）点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 D→B 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 B→A→D 匀速运动，当点 P 到达点 B 时，P、Q 同时停止运动，设运动的时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．
说明理由．
6
7．平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax2 4ax 4a c 与 x 轴交于点 A、点 B，与 y 轴的正半轴交于 点 C，点 A 的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为 D．
(1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足∠APB=∠ACB，求点 P 的坐标； (3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于∠AQB 的平分线的对称点为 A ，若 QA QB 2 ，求点 Q 的坐标和 此时△ QAA 的面积．
参考答案
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1、解：（1）∵y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， ∴当 y=0 时，x=﹣3，即 A 点坐标为（﹣3，0）， 当 x=0 时，y=3，即 B 点坐标为（0，3）， 将 A（﹣3，0），B（0，3）代入 y=﹣x2+bx+c，
得
，
解得
，
∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3；
∴AF=AB﹣BF=3﹣（3﹣ t）= t． 过点 P 作 PE⊥AD 于点 E，则 PEAF 为矩形，
10
∴PE=AF= t，AE=PF=4﹣ t，∴EQ=AQ﹣AE=（t﹣3）﹣（4﹣ t）= t﹣7． 在 Rt△PQE 中，由勾股定理得：EQ2+PE2=PQ2， 即：（ t﹣7）2+（ t）2=（7﹣t）2， 整理得：13t2﹣56t=0， 解得：t=0（舍去）或 t= ．
∴t= ．
综上所述，当 t= ，t= 或 t= 时，以 D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．
3、解：(1)①当 k 0 时，函数 y 2x 3 的图像与 x 轴只有一个交点………………2 分 2
②当 k 0 时，若函数 y kx2 2x 3 的图像与 x 轴只有一个交点，则方程 kx2 2x 3 0 有两个相等
∴DE=t+ t= t． 由勾股定理得：DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2， 即（ t）2+（ t）2=42+（3﹣t）2， 整理得：11t2+6t﹣25=0， 解得：t= 或 t=﹣5（舍去），
∴t= ；