高三数学《一题多解 一题多变》试题及详解答案

高三《一题多解 一题多变》题目一题多解 一题多变（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <40≤≤∴m变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911822,∈+++=x nx mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 5==n m ∴ 当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 一题多变（二）已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式qqa a s n n 一一11=，q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解 一题多变（三）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（四）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ）（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个（C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。

故选D解法二：由题知124321)(21max 21=⨯=•⨯=∆b F F S F pF ，而在椭圆中：164tan221==∆πb S F PF ，∴不可能成立,1612>故选D解法三：由题意知当p 点在短轴端点处21PF F <最大，设α221=<PF F ，∴<⇒<=,4,143tan παα此时21PF F <为锐角，与题设矛盾。

故选D解法四：设)sin 4,5(θθcon P ，由,21PF PF ⊥知02121=•⇒⊥PF PF PF PF ，而⇒-=⇒=+-=+-=•970sin 16925)sin 4,35)(sin 4,35(22221θθθθθθθcon con con con PF PF 无解，故选D解法五：设θ=∠21F PF ，假设21PF PF ⊥，则26)4sin(26sin 66||||21≤+=+=+πθθθcon PF PF ，而102||||21==+a PF PF 即：2610≤，不可能。