3第二型曲线与第二型曲面积分习题课(0425)

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4．计算曲线积分
C
ydx 4x2
xdy y2
，其中
C
是
圆周 x2 y2 1，取逆时针方向.
注：1）如果 C 是10x2 3 y2 1，取逆时针方向. 2）如果 C 是 x y 1，取逆时针方向.
结论是否相同？
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A(a,
0) 经
上半椭圆
解：
x2 a2
y2 b2
1(
y
0)
到达点
B(a,
0) 的弧段，且 0ba 。
x y
x y
， P x2 y2 ，Q x2 y2 ，
y
x2 y2 a2
当( x, y)(0,0)时
且
P y
y2 x22xy ( x2 y2 )2
Q x
，.
A(a, 0) oo
C
B(a, 0)
x
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(x2 y2 z2)2
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根据高斯公式
xdy
dz
ydz
dx
zdx
3
dy＝0dxdydz＝0
（＋ （ －1）
(x2 y2 z2)2
根据高斯公式
xdy dz ydz dx zdx dy
3
－1
(x2 y2 z2)2
＝－ xdy dz ydz dx zdx dy
2. Ñ L
9x2 4 y2
,
L : x2 y2 1,顺时针。 49
(0)
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3．计算曲线积分 I C (12xy e y )dx ( xe y cos y )dy ， 其中 C 为从 A(1, 1) 沿曲线 yx2 到 O( 0, 0 )再沿 直线 y 0到 B( 2, 0 )的路径。
Ñ 1. 求 ( x2 y)dx ( x2 y2 )dy ( x y z)dz, L
其中L
:
x2 z
y2 x2
z2 y2
11的交线，其方向 1
与z轴正向成右手系
（-π）
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( x 3 y e y )dx ( xy3 xe y 2 y)dy
３.第二型(对坐标)曲面积分 与第一型曲面积分的关系
４.向量值函数的散度与旋度的计算
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9．计算第二型曲面积分
I 8xydydz2(1 y2 )dzdx4 yzdxdy
其中 为 x2 z2 y1 位于1 y3 间的一片，
正向的夹角成锐角。
z
(32 )
1
o
y
x
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第二型曲线积分与 第二型曲面积分习题课
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第二型曲线积分的内容： １．背景：质点沿曲线形路径做功问题 ２.第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式， 曲线积分与路劲无关问题 ３.第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系
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典型练习:
其中f ( x, y, z)为连续函数，为平面 x y z 1在第四卦限部分的上侧
10. 计 算 I (z2 4)dy dz yzdz dx , 其
x2 y2 z2
中为半球面 z 9 x2 y2 的上侧.
z
3
（27 ）
4
o
3
x
3y
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11.计算
I
xdy dz ydz dx zdx dy ，其中 为
3
(x2 y2 z2)2
＝（4） ＝－1 3 dxdydz x2 y2 z2 1
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12.设密度为
1
的流体的流速为
v
xz 2 i
sinxk ,曲面
是由曲线
y
1 z2 (1z2) 绕 z 轴旋转而成的旋转面,
x0
其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角,求单位时间内流体
流向曲面指定侧的流量 Q. 解： v xz2isinxk{xz2, 0, sinx}， 旋转曲面的方程为 x2 y2 z2 1(1z2) ，取内侧。
8．设 x0 ， f ( x) 为连续可微函数，且 f (1)2 ，对 x0
的任一闭曲线 C，有 4x3 ydx xf ( x)dy0 ，求 f ( x) C
和积分
4x3 ydx xf ( x)dy 的值，其中 AB 是由 A(2,0)
C( AB)
至 B(3,3) 的一段弧。
解：（1）由 4x3 ydx xf ( x)dy0 P Q 。
曲面 2x2 2 y2 z2 4的外侧（09）
（4）
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解： 取1：x2＋y2＋z2＝1的外侧， 为与1之间的部分。
I
xdy dz ydz dx zdx dy
3
(x2 y2 z2)2
＝（
－
）xdy
dz
ydz
dx
zdx
3
dy
（＋ （ －1）－1
C
y x
P 4x3 y ，Q xf ( x) ， P 4x3 ， Q f ( x) xf ( x) ，
y
x
从而 f ( x) 1 f ( x)4x2 ， x
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第二型曲面积分内容： １．背景：流经指定的有向曲面侧的流量问题
２.第二型(对坐标)曲面积分的计算， 高斯公式及其应用;
xtsint ， y1cost ，从 t 0 到 t 的一段.
解：Q x
P y
y2 x2 2xy ( x2 y )2C 2 .
y
故在不含原点的任一单连通区域内, 曲线积分与路径无关.
ox
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7．求 I C
x x2
y y2
dx
x x2
y y2
dy
，其中
C
Baidu Nhomakorabea
从点
流量Q xz2dy dz sin xdx dy
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不能用高斯公式计算的第二型曲面 积分
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1. 求
[ f ( x, y, z) x]dy dz [2 f ( x, y, z) y]dz dx
( f ( x, y, z) z)dx dy,
5．设
f
(u)
具有连续导数，且
4
0
f
(u)du4 ，C
为半圆
周 y 2x x2 ，起点为 A(0,0) ，终点为 B(2,0) ，
求C f ( x2 y2 )( xdx ydy)
（C 2）
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6．计算
(
C
x
y)dx( x x2 y2
y)dy
,
其中 C 为摆线