将调和级数中分母含有数字9的项去掉,所得的级数必收敛

证明：将调和级数中分母含有数字9的项去掉，所得的级数必收敛！

求出一个级数(不特别的)收敛值.

从没做过这样的题(一般证一致收敛)-----(求一般项1/N^2的级数和值倒是见过)

楼主的题目以前做过,不过方法忘了.现在证明方法比较偏,如下:

只要证明第K项级数小于1/k*[ln(k)]^2 即分母大于k*[ln(k)]^2就可以了!

(要得分,最好是:分母大于k^2, 一样证明)

很明显分母中不出现9 等价于9进制(很重要).

所以9进制数的表示法,k可表示为:k=n'0 * 9^0 + n'1 * 9^1 + .... +n'i * 9^i (n'i 为自然数) 而第K项数值的分母记为m: m = n'0 * 10^0 + n'1 * 10^1 + .... +n'i * 10^i

当K足够大时候有 m/k >{(10/9)^(i-1)> k*[ln(k)]^2/k= [ln(k)]^2 }

(后面那个不等式,左边增长速度快右边[很重要].而去掉有限项对级数收敛性无影响)

所以m>k*[ln(k)]^2.

由于级数1/k*[ln(k)]^2 收敛,所以的命题得求证!

我也来解解，大家看错没错。谢谢！！

r1=一位数倒数的和，

r2=二位数倒数的和，

......

rn=n位数倒数的和

......

n位数中不含9的项共有8*（9的n-1次方）

n位数倒数大于1/99.....99，小于1/100......00.

所以

rn小于8*（9的n-1次方）*1/100......00=8*[（9/10）的n-1次方]

原级数=r1+r2+....+rn+....

很容易看出收敛的。

如果我的方法没错的话，

题目可以改成这样的。

证明：将调和级数中分母含有数字n的项去掉，所得的级数必收敛！

（n是0，1....，9中的某个数）

如果是去掉含有两个相同的数（如含两个9的数），则级数是不收敛的。

或如果是去掉含有两个不同的数（如含两个9，8的数），则级数是不收敛的。

更一般的：

如果是去掉含有i个相同的数（如含i个9，9..9的数），则级数也是不收敛的。

有兴趣的可以看看含有i个不相同的数，级数好象也不收敛。

胡说这些，不知道对不对。

请指教。

微积分中10大经典问题

悬赏金额: 1 金币

这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平，尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。

1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这

个问题是锻炼数学能力的好题！

2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引

入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这

类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。

3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。

如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有

面积任意大的内接折面。

4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数

无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却

处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。

至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。

5）填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新

审视以往对曲线的看法。

BTW：先写到这里，明天接着写另外5个。1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。

6)重积分变量替换定理。该定理可以说是数学分析中比较大的一个定理，选择它的理由

是因为其具有微积分的显著特征，即用一般化的通法代替特殊化技巧性的方法。微积分

的出现解决了不少以前从为解决的难题，使数学一般化了。比如求面积，你不再像以往那样使用特殊的分割技巧，然后求和求极限了，而且范围也更广泛了。

7）泰勒级数和傅立叶级数是如何发现的。注意这里是发现，而不是证明。教材中对于一个定理，往往是直接列出定理，接着证明，最后举例。但是对于数学思想阐述不够，尤其是对定理的“发现”过程介绍甚少，而这和定理本身同样重要。泰勒级数和傅立叶级数源

自于人们这样朴素的思想，即用简单函数表示复杂函数。而人们所熟悉的简单函数要数幂函数（整数次）和三角函数了。泰勒级数来自泰勒多项式，而后者是泰勒从牛顿差分法中得到的，而且非常不严密。傅立叶级数是傅立叶用分离变量法解热传导方程（二阶抛物型偏微分方程）时得到的。此前欧拉等人也曾得到过类似结果，不过他们大都持怀疑态度。谁会想到任意一个连续函数可以用和它根本不像的三角函数表示呢？人们对于无穷的认识