2020高考理科数学押题密卷含参考答案 (8)
2020年高考理科数学押题预测卷及答案
2020年高考理科数学押题预测卷及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈N|x<3}，B={x|x2–x≤0}，则A∩B=A．{0，1} B．{1}C．[0，1] D．（0，1]2．在复平面内，复数z23ii+=对应的点的坐标为A．（3，2）B．（2，3）C．（–2，3）D．（3，–2）3．已知函数f（x）2333x xx x⎧≤=⎨->⎩，，，则f（f（1）–f（5））的值为A．1 B．2 C．3 D．–34．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图可能为A．B．C．D．5．已知双曲线C：2222y xa b-=1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线C的离心率为A．5B．55C．5D．256．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A．12B．13C．16D．1127．若实数x，y满足20x yy xy x b-≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y=+的最小值为3，则实数b的值为A．1 B．2C．94D．528．在正方体ABCD–A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是A．A1O∥D1C B．A1O⊥BCC．A1O∥平面B1CD1D．A1O⊥平面AB1D19．函数()ln1xf xx=+的图象大致是A．B．C ．D ．10．已知圆C ：x 2+y 2+2x –3＝0，直线l ：x +2+a （y –1）＝0（a ∈R ），则A ．l 与C 相离B ．l 与C 相交C ．l 与C 相切D ．以上三个选项均有可能11．已知函数f （x ）=3sin （ωx +φ）（ω>0，0<φπ2<），f （π3-）=0，f （2π3x -）=f （x ），且函数f （x ）的最小正周期为π，则()8f π=A ．3B ．3-C ．3D ．3-12．若函数f （x ）=e x–ax 2在区间（0，+∞）上有两个极值点x 1，x 2（0<x 1<x 2），则实数a 的取值范围是 A ．a 2e ≤B ．a >eC ．a ≤eD ．a 2e >第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量AB =u u u r（1，2），AC =u u u r （–3，1），则AB BC ⋅=u u u r u u u r _________．14．某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样抽方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为_________．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4=3S 2，a 7=15，则{a n }的公差为_________． 16．已知点P （2，–2）和抛物线C ：y 214x =，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若PA PB ⋅=u u u r u u u r25，则k =_________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos A （b cos C +c cos B ）3=a ． （1）求角A ；（2）若a =1，△ABC 的周长为5+1，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，AB =BC =2，AC =CC 1=22，其中点P 为棱CC 1的中点，Q 为棱CC 1上且位于P 点上方的动点．（1）求证：BP ⊥平面A 1B 1C ；（2）若平面A 1B 1C 与平面ABQ 所成的锐二面角的余弦值为251，求直线BQ 与平面A 1B 1C 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼的时间进行调查，调查结果如下表：平均每天锻炼的时间/分钟[0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） 总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”． （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；锻炼不达标锻炼达标合计 男 女 20 110 合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？ （2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流， ①求这10人中，男生、女生各有多少人？②从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：K 2()()()()2()n ad bc a b c d a c b d -=++++，其中n =a +b +c +d ．临界值表P （K 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 k 02.7063.8415.0246.63520．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>及点(2,1)D ，若直线OD 与椭圆C 交于点,A B ，且|||AB OD =（O 为坐标原点），椭圆C的离心率为2． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若斜率为12的直线l 交椭圆C 于不同的两点,M N ，求DMN △面积的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x x x =--． （1）求函数()f x 的极值；（2）若12,x x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根，求证：12ln ln ln x x a ++2<0．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数标方程为e e e et t t tx y --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t 为参数），在以O 为极点、x 轴的正半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin()3ρθ-=（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|f x m x =--，m ∈R ，且1()02f x +≥的解集为{|11}x x -≤≤．（1）求m 的值；（2）若,,a b c 都为正数，且111232m a b c ++=，证明：239a b c ++≥．。
2020河北衡水中学高三数学 数学押题卷8(附参考答案及详细解析)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题60分）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知全集U=R ，则A. B.C. D.3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 145.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，A. B. C. D.6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A. B. C. D.10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知实数，满足约束条件，则的最小值为________.14.已知数列，若数列的前项和，则的值为________.15.由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.16.已知函数的图像关于直线对称，当时，的最大值为____________.三．解答题：共70分。
2020高考理科数学押题卷含答案
形镜子的最大面积为 （ ）
A、10 平方分米
B、20 平方分米
C、40 平方分米 D、
1600 平方分米
41
（文）函数 y 3x 1的图象
x2
A. 关于点(2,3)对称
C. 关于直线 x= 2 对称
称
（） B. 关于点(2,3)对称
D. 关于直线 y= 3 对
9．若双曲线 x2 y2 1的左支上一点 P（a ，b）到直线 y x 的距离为
4
4
7．（理）C .如图，复数2 i 与 3 3i 对应的向量垂直，
2
所以 3 3i 的辐角主值是 3 。
2
2
C 32+3i
O
2-i
B
（文）A .当函数的图像左右平移时，不改变函数的
B
A
值域。 8．(理)C．如图可设 A 的坐标为 (5cos,4sin ) ，
-6
-4
-2 -1
-2
C
-3
-4
D
16．3 .
2
由非负性
1 2 3
P
0
P
3 2
，Eξ＝0
1
2 3
P
1
P 3
2
P 3
P
3 2
三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤)
17．解：(1)∵2sin2A-cos2A=2 ∴cos2A=- 1 ∴A=
2
3
分)
…………(6
(2)y=2sin2B+sin(2B+ )=1+sin(2B- )
2
2
（1）求 a, k 之值；
2020年高考数学(理)终极押题卷(全解全析)
2020年高考数学（理）终极押题卷（全解全析）1．【答案】C 【解析】因为312iz i-=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．2．【答案】C【解析】由题得221,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩∴1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,1,x y =⎧⎨=⎩则A ∩B ={(1,0),(0,1)}.故选C.3．【答案】B【解析】因为222131331()44244x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,,22-<-<∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，故选B.4．【答案】D【解析】由图表可知：2012年我国实际利用外资规模较2011年下降，可知A 错误；2000年以来，我国实际利用外资规模总体呈现上升趋势，可知B 错误； 2008年我国实际利用外资同比增速最大，高于2010年，可知C 错误，D 正确.本题正确选项：D . 5．【答案】A【解析】Q 设等差数列{}n a 的公差为d ，()0d ≠，11a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列，2326a a a ∴=⋅，()()()211125a d a d a d ∴+=++，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616562S a d ⨯=+()65612242⨯=⨯+⨯-=-. 故选：A. 6．【答案】B【解析】由a r ∥b r得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+⋅=++≥+=，当且仅当49x y y x=时取等号，所以选B. 7．【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrr r T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C. 8．【答案】C【解析】如图所示，直角三角形的斜边长为2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =. 所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．9．【答案】C【解析】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项． 10．【答案】B【解析】()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k πϕπ=+∈Z ．因为0ϕπ<<，故2ϕπ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a a π==，所以12a =． 综上，()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．11．【答案】A【解析】设BC 的中点是E ，连接DE ，A ′E ， 因为AB ＝AD ＝1，BD， 由勾股定理得：BA ⊥AD ，又因为BD ⊥CD ，即三角形BCD 为直角三角形， 所以DE为球体的半径，2DE =，2432S ππ==， 故选A . 12．【答案】A【解析】由题可知2(31),0()2ln 1,0x m x f x mx x x -+≤++'⎧=⎨>⎩，当0x >时，令()0f x '=，可化为ln 12x m x +-=，令()ln 1x g x x +=，则()2ln xg x x-='，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()g x 的图象如图所示，所以当021m <-<，即12m -<<时，()0f x '=有两个不同的解；当0x ≤，令()0f x '=，3102m x +=<，解得13m <-，综上，11,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.13．【答案】22【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22. 14．【答案】乙【解析】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书， 丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小， 得到年龄从大到小是乙>丙>学委， 由此得到乙不是学委，故乙是班长． 故答案为乙． 15．【答案】985987【解析】由题1n a +＝n a +n +2，∴12n n a a n +-=+，所以213a a -=，324a a -=，435a a -=，…，()112n n a a n n --=+≥，上式1n -个式子左右两边分别相加得()()1412n n n a a +--=，即()()122nn n a ++=，当n =1时，满足题意，所以111212n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，从而12985111111111985 (22334986987987)a a a L +++=-+-++-=. 故答案为985987. 16．【答案】y x =±【解析】设12,PF m PF n == ,可得2m n a -= ,可得22224m mn n a -+=（1）, 在12PF F △中，由余弦定理可得2222242cos3c m n mn m n mn π=+-=+-（2），因为2PO b =，所以在1PFO △，2POF V 中分别利用余弦定理可得， ()2222221144cos ,44cos m c b b POF n c b b POF π=+-∠=+--∠,两式相加可得222228m n c b +=+ ,分别与（1）、（2）联立得22222222222284102,28462mn c b a b a mn c b c b a =+-=-=+-=-，消去mn 可得22a b =，a b = 所以双曲线的渐近线方程为by x a=±，即y x =±，故答案为y x =±.17．（12分）【解析】（1）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：22b c a a ⎫+=⎪⎭，即222b c a +-=，再由余弦定理可得2cos bc A =，即cos A =所以4A π=.（6分）（2）因为3B π=，所以()sin sin C A B =+=由正弦定理sin sin a b A B=，可得b =13sin 24ABC S ab C ∆+==.（12分） 18．（12分）【解析】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP .（5分） （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=.由432AFa=，得23AF a=.又由20,,23a a F⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02B a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，知32,,223a a aBF⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v，20,,23a aOF⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u v.设平面BDF的法向量为(),,n x y z=v，由n BF⊥u u u vv，n OFu u u vv⊥，得3223223a a ax y za ay z⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z=，得()0,4,3n=v.又0,,2aP a⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,0D a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以3,,2a aPD a⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v.设PD与平面BDF所成角为θ，则222232sin1031544n PD a an PDa a aθ⋅-===++u u u vvu u u vv.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为210.（12分）19．（12分）【解析】（1）依题意得33,2cc aa==⇒=，又2231a b b-=⇒=∴椭圆C的方程为2214xy+=.（4分）（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++. 由题设知()()12212121212kx m kx m y y k k k x x x x ++=== ()212212km x x m k x x ++=+， ∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k-+=+， ∵0m ≠，∴214k =. 此时()()()222221212224184,211414m km x x m x x m k k --⎛⎫+====- ⎪++⎝⎭则2222222222121122121144x x OM ON x y x y x x +=+++=+-++-()()2221212123322244x x x x x x ⎡⎤=⨯++=+-+⎣⎦()223441254m m ⎡⎤=--+=⎣⎦ 故直线l 的斜率为221,52k OM ON =±+=.（12分）20．（12分）【解析】（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在(]4,8上的概率为：()20.140.0620.45p =+⨯==， 设“任选3台电脑，至少有两台使用时间在(]4,8”为事件A ，则 ()23233323244·555125P A C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（4分） （2）（ⅰ）由a bxy e +=得ln y a bx =+，即t a bx =+，10110221110ˆ0i i i ii x t xtbx x =-=-=-∑∑279.7510 5.5 1.90.338510 5.5-⨯⨯==--⨯()1.90.3 5.53ˆ.55a=--⨯=，即0.3 3.55t x =-+，所以0.3 3.55ˆx y e -+=.（8分） （ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：根据（1）中的回归方程，在区间(]0,2上折旧电脑价格的预测值为 3.550.31 3.2526e e -⨯=≈， 在区间(]2,4上折旧电脑价格的预测值为 3.550.33 2.6514e e -⨯=≈， 在区间(]4,6上折旧电脑价格的预测值为 3.550.35 2.057.8e e -⨯=≈， 在区间(]6,8上折旧电脑价格的预测值为 3.550.37 1.45 4.3e e -⨯=≈， 在区间(]8,10上折旧电脑价格的预测值为 3.550.390.85 2.3e e -⨯=≈， 于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：0.2260.36140.287.80.12 4.30.04 2.313.032⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的的费用为： 100013.0321303200⨯=（元）（12分） 21．（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是()0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是()0,+?，没有单调减区间；（5分） （2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增.从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--. 对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-Q ，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证.（12分） 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（4分）（2）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d αP 的直角坐标为31(,)22.（10分）23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，①当1x ≤-时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解； ②当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜． ③当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（5分）（2）当x ∈R 时，()()11112f x x x x x =+--≤++-=； ()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x ∈R 时， ()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．（10分）。
2020年高考全国卷理科数学模拟试卷(8)Word版附答案及解析
2020年高考全国卷理科数学模拟试卷（8）时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.3.下列命题中的真命题是（）A. 若，则向量与的夹角为钝角B. 若，则C. 若命题“是真命题”，则命题“是真命题”D. 命题“，”的否定是“，”4.已知，则（）A. B. C. D.5.已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A. B. C. 1 D. 06.已知等比数列满足，则（）A. 5B. -5C. 7D. -77.下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. 12B. 15C.D.8.在平面区域，内任取一点，则存在，使得点的坐标满足的概率为（ ）A.B.C.D.9.已知数列的前项和满足 ，则（ ）A. 196B. 200C.D.10.已知双曲线的左右焦点分别为，，斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点，若，则双曲线的离心率是（ ）A.B.C. 2D.11.已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ） A.B.C.D. 12.已知函数（，）满足，，且在上是单调函数，则的值可能是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.88X P ≤=，则()04P X <<=_____________14.已知点()1,2P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是______15.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若521212f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间为_______16.设数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()*111222,>2,3n n n n T T T T n N n a --+=∈=. 若1n n nb a a =+，则数列{}n b 的前n 项和n S 为________． 三、解答题：共70分。
2020届全国金太阳联考新高考押题仿真模拟(八)理科数学
2020届全国金太阳联考新高考押题仿真模拟（八）数学试题（理）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题相应答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题相应答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持答题卡卡面清洁，无污渍，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分.）1.12i12i+=- A. 43i 55--B. 43i 55-+C. 34i 55--D. 34i 55-+【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii Q ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2.已知集合{}{}2|02,N ,|450,N A y y y B x x x x =≤<∈=--≤∈，则A B =I （ ）A. {}1B. {}0,1C. [)0,2 D. ∅【答案】B 【解析】集合{}0,1A =，{}0,1,2,3,4,5B =，所以{}0,1A B =I .故选择B.3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上， 则cos2θ＝( ) A. －45B. －35C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos θ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cos θ的平方代入即可求出值．【详解】解：根据题意可知：tan θ＝2，所以cos 2θ22221115cos sin cos tan θθθθ===++， 则cos2θ＝2cos 2θ﹣1＝215⨯-135=-． 故选：B ．【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．【此处有视频，请去附件查看】4.曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点（1，1）处的切线的斜率k ． 【详解】解：由题意知，1x y xe-=，则()11x y x e-=+' ，∴在点（1，1）处的切线的斜率k ＝2，故选：B【点睛】本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题． 5.下列叙述正确的是（ ）A. 命题“p 且q ”为真，则,p q 恰有一个为真命题B. 命题“已知,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件”C. 命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤D. 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()0)·(f a f b <，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点 【答案】C 【解析】 【分析】由p 且q 的真值表，可判断正误；由充分必要条件的定义和特值法，可判断正误；由全称命题的否定为特称命题，可判断正误；由函数零点存在定理可判断正误.【详解】解：对于A ，命题“P 且q 为真，则P ，q 均为真命题”，故错误；对于B ，“a ＞b ”推不出“a 2＞b 2”，比如a ＝1，b ＝﹣1；反之也推不出，比如a ＝﹣2，b ＝0，“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不充分不必要条件，故错误；对于C ，命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤，故正确； 对于D ，如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）•f （b ）＜0，由零点存在定理可得函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，故错误． 其中真命题的个数为1， 故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假判断，考查命题的否定和充分必要条件的判断，以及函数零点存在定理和函数的单调性的判断，考查判断能力和运算能力，属于中档题．6.若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【分析】作出可行域,,比较斜率的大小找到最优解,根据最优解求得最大值. 【详解】作出可行域,如图所示:将目标函数化为斜截式可得:322z y x =-+, 根据图象,比较斜率的大小可知,最优解为点M ,联立220x y y --=⎧⎨=⎩,解得2,0x y ==,所以(2,0)M ,将2,0x y ==代入目标函数可得z 的最大值为6. 故选:C.【点睛】本题考查了线性规划求最大值,属于中档题. 7.若1a b >>，01c <<，则（ ） A. c c a b < B. c c ab ba <C. log log b a a c b c <D. log log a b c c <【答案】C【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误， 因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b ab a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<Q lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<Q 选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 【此处有视频，请去附件查看】8.在ABC ∆中，0,2,AB BC AB BC •===u u u r u u u r u u u r u u u r D 为AC 的中点，则BD DA •u u u r u u u r=( )A. 2B. -2C. D. -【答案】B 【解析】∵D 为AC 的中点∴1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，11()22DA CA CB BA u u u v u u u v u u u v u u u v ==+∵•0,2,AB BC AB BC ===u u u v u u u v u u u v u u u v∴221111()()()(412)22244BD DA BA BC CB BA BA BC ⋅=+⋅+=-=-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v故选B.9.函数()11xx f x e x -=++的部分图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】当x →-∞时，120,1111xx e x x -→=-→++，所以去掉A,B; 因为21(0)0,(1),(2)3f f e f e ===+，所以(2)(1)(1)(0)f f f f ->-，因此去掉C ，选D.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．10.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）A.33πB. 8πC. 6πD.433π【答案】B 【解析】几何体如图，球心为O ，半径为1+1=2，表面积为242=8ππ（），选B.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 11.不等式x e x ax ->的解集为P ,且[]0,2P ⊆,则a 的取值范围是（ ） A. (),1e -∞- B. ()1,e -+∞C. (),1e -∞+D. ()1,e ++∞【答案】A 【解析】试题分析：即不等式xe x ax ->在(0,2]是上恒成立，即min (1),(0,2]xe a x x<-∈，令(1),(0,2]x e y x x =-∈，则(1)01x e x y x x ==⇒'-=，列表分析可得1x =时(1)xe y x=-取最小值1e -，从而a 的取值范围是(),1e -∞-，选A. 考点：不等式恒成立【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f （x ）≥a 恒成立，只需f （x ）min≥a 即可；f （x ）≤a 恒成立，只需f （x ）max≤a 即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.12.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导数为()f x '，()0f x >且()1f e =，若()ln ()0xf x x f x '+>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则不等式1ln ()x f x <的解集为（ ） A. (0,1) B. (1,)+∞C. (,)e +∞D. (0,)e【答案】C 【解析】 【分析】令g （x ）＝f （x ）lnx ﹣1，g （e ）＝f （e ）lne ﹣1＝0．x ∈（0，+∞）．xg ′（x ）＝xf ′（x ）lnx +f （x ）＞0，在x ∈（0，+∞）上恒成立．可得函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调性，即可解出． 【详解】解：令g （x ）＝f （x ）lnx ﹣1，g （e ）＝f （e ）lne ﹣1＝0，x ∈（0，+∞）． ∵xg ′（x ）＝xf ′（x ）lnx +f （x ）＞0，在x ∈（0，+∞）上恒成立． ∴函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增．由()1f x ＜lnx ，可得()()10f x lnx f x ->，即()()0g x f x > 又()0f x > ∴g （x ）＞0=g （e ）， ∴x ＞e ．即不等式()1f x ＜lnx 的解集为{x |x ＞e }． 故选：C ．【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知向量(1,),(,4)a x b x ==r r ，若a r 与b r反向则x =_________【答案】2- 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标公式即可得到结果.【详解】∵向量(1,),(,4)a x b x ==r r ， a r 与b r反向∴240x a b ⎧=⎨⋅<⎩v v ，解得2x =-，故答案为：2-【点睛】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用． 14.函数()cos26sin 1f x x x =++的最大值为_______【答案】6 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式，转化为关于t 的一元二次函数，进而可根据二次函数的性质来解决． 【详解】解：y ＝﹣2sin 2x +6sin x +2， 设sin x ＝t ，则﹣1≤t ≤1，f （t ）＝﹣2t 2+6t +2，对称轴为x 32=，开口方向向下，在区间[﹣1，1]上单调增， ∴f （t ）max ＝f （1）＝6， 故答案为：6．【点睛】本题主要考查了三角函数的最值问题．解题过程中运用了函数思想和转化与化归思想．15.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,60a b c ABC ABC ︒∠=∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_________【答案】【解析】 【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】解：由题意得12ac sin60°12=a sin30°12+c sin30°，＝a +c ，得11a c+=， 得4a +c4a +c ）（11a c +）45c a a c ⎫=++⎪⎝⎭5⎫⎪⎪⎝⎭＝， 当且仅当4c aa c=，即c ＝2a 时，取等号，故答案为：．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用与三角形的面积公式，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．16.设()f x 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当[2,3]x ∈时，()f x x =，则当[2,0]x ∈-时，()f x 的解析式为______________【答案】()3|1|f x x =-+ 【解析】 【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x ∈[2，3]时，f （x ）＝x ，可得答案． 【详解】解：∵f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，x ∈[2，3]时，f （x ）＝x ， ∴x ∈[﹣2，﹣1]时， 2+x ∈[0，1]，4+x ∈[2，3]， 此时f （x ）＝f （4+x ）＝4+x ， x ∈[﹣1，0]时，﹣x ∈[0，1]，2﹣x ∈[2，3]，此时f （x ）＝f （﹣x ）＝f （2﹣x ）＝2﹣x ， 综上可得：x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝3﹣|x +1| 故答案为：()3|1|f x x =-+【点睛】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）17.已知函数()22sin cos 1f x x x x =-++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，求()f x 的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)T π=，对称中心(,0),()212k k Z ππ-∈； (Ⅱ)min max ()()1,()()266f x f f x f ππ=-=-==. 【解析】试题分析：(Ⅰ)先通过三角恒等变换把()f x 化简成一角一名一次式即y=sin()A x ωϕ+的形式，由正弦函数的性质求得其最小正周期和对称中心；(Ⅱ)由63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出x ωϕ+的范围，结合图象找出函数的最值点，进而求得()f x 的最值，得解.试题解析：解：（Ⅰ）()3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+∴()f x 的最小正周期为， 令，则，∴()f x 的对称中心为；（Ⅱ）∵∴∴ ∴∴当时，()f x 的最小值为； 当时，()f x 的最大值为． 考点：二倍角公式、两角和与差的正弦公式及三角函数的图象与性质.【易错点晴】本题涉及到降幂公式，要注意区分两个公式，同时要注意两个特殊角的三角函数值，保证化简过程正确是得分的前提，否则一旦出错将会一错到底，一分不得，不少考生犯这样的低级错误，实在可惜；对于给定区间上的最值问题，在换元的基础上结合三角函数的图象搞清楚其单调性，找准最值点，再求最值，部分考生不考虑单调性，直接代入区间两个端点的值来求最值，说明对函数单调性对函数最值的影响认识肤浅、不到位.18.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 满足11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）1n n +. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据{}n a 是等差数列，设公差为d ，由通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （Ⅱ）求得()1111111n n n b a a n n n n +===-⋅++，由裂项相消求和，化简运算可得所求和． 【详解】（Ⅰ）公差d 不为零的等差数列{}n a ，若515S =，且124,,a a a 成等比数列，可得2121451015,a d a a a +==，即21113a d a a d +=+（）（）， 解得111a d ==，．则n a n =；（Ⅱ）()1111111n n n b a a n n n n +===-⋅++， 可得前n 项和1111112231n T n n =-+-++-+L .1111n n n =-=++． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式与等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．19.如图，直棱柱111ABC A B C -中，D E ，分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB ===，22AB =（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（26 【解析】【分析】（1）连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，连接DF ，则BC 1∥DF ，由此能证明BC 1∥平面A 1C ． （2）以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系C ﹣xyz ，利用向量法能求出二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．【详解】（1）如图，连接1AC 交1A C 于点F ，则点F 为1AC 的中点，连接DF .因为D 是AB 的中点，所以在1ABC ∆中，DF 是中位线，所以1//DF BC .因为1BC ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD .（2）因为22AC CB AB ==， 所以90ACB ︒∠=，即AC BC ⊥.则以C 为坐标原点，分别以CA u u u r ，u u r CB ，1CC u u u u r 为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设12AA AC CB ===，则(0,0,0)C ，(1,1,0)D ，(0,2,1)E ，1(2,0,2)A则(1,1,0)CD =u u u r ，(0,2,1)CE =u u u r ，1(2,0,2)CA =u u u r . 设111(,,)m x y z =u r 是平面1DA C 的一个法向量，则100m CD m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩， 取11x =，则11y =-，11z =-，则(1,1,1)m =--u r. 设222(,,)n x y z =r 是平面1EA C一个法向量，则100n CE n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u uv v ，即222220220y z x z +=⎧⎨+=⎩， 取22x =，则21y =，22z =-，则(2,1,2)n =-r .所以cos ,m n 〈〉==u r r ， 所以sin ,3m n 〈〉=u r r ， 即二面角1D A C E --. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos cos B C b c +=（1）求b 的值；（2）若cos 2B B =,求a c +的取值范围. 【答案】（1）b =（2）a c +∈⎝ 【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b 的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos ,cos B C 分别用边表示，再根据正弦定理可以将sin sin A C转化为a c ，于是可以求出b 的值；（2）首先根据sin 2B B +=求出角B 的值，根据第（1）问得到的b 值，可以运用正弦定理求出ABC ∆外接圆半径R ，于是可以将a c +转化为2sin 2sin R A R C +，又因为角B 的值已经得到，所以将2sin 2sin R A R C +转化为关于A 的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角B 的值后，应用余弦定理及重要不等式222a c ac +≥，求出a c +的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.试题解析：（1）由cos cos B C b c +=应用余弦定理，可得22222222a c b a b c abc abc +-+-+=化简得2b =则b =（2）Q cos 2B B +=1cos 12B B ∴+=即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,B π∈Q 62B ππ∴+= 所以3B π=法一.Q 21sin bR B ==,则sin sin a c A C +=+ =2sin sin 3A A π⎛⎫+- ⎪⎝⎭=3sin 2A A +6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭又20,3A π<<Q 2a c ∴<+≤法二因为b =由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得()2334a c ac =+-， 又因为22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时“=”成立. 所以()2334a c ac =+- ()()222324a c a c a c ++⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭a c ∴+≤2a cb +>=综上a c +∈⎝21.已知数列{}n a 中，132a =且12n a =()11n a n -++()2n n N *≥∈，． （Ⅰ）求2a ，3a ；并证明{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）设2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）925,48，证明见解析；（Ⅱ）()1122n n n +-⋅++. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据递推式逐步代入算出2a 和3a 的值，再根据题意将n a 的递推式代入n a n -进行计算化简最终会得到n a n -和()11n a n ---的关系，最终得证数列{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求得n b 的通项公式，得到·21n n b n =+，由n b 通项公式的特点可根据错位相减法得到数列{}n b 的前n 项和n S ． 【详解】（Ⅰ）由题意，可知：()211212a a =++= 13921224⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭， ()321312a a =++= 192531248⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭．①当1n =时，1311122a -=-=， ②当2n ≥时，()1112n n a n a n n --=++-= 1111222n a n n -++-= 1111222n a n --+= ()1112n a n --+= ()1112n a n --+= ()1112n a n -⎡⎤--⎣⎦． ∴数列{}n a n -是以12为首项，12为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ），可知：12nn a n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴ 12nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．*n N ∈． ∴ 1222n n n n n b a n ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 122212n n n n n n ⋅+⋅=⋅+． 123n n S b b b b ∴=++++L()()12121221=⋅++⋅++ ()()332121n n ⋅++⋅+L1231222322n n n =⋅+⋅+⋅++⋅+L ， ③2321222n S =⋅+⋅+L ()11222n n n n n ++-⋅+⋅+ ④③-④，可得： 123121212n S -=⋅+⋅+⋅+L +11222n n n n n +⋅-⋅+- 1122212n n n n ++-=-⋅-- ()1122n n n +=-⋅--，()1122n n S n n +∴=-⋅++【点睛】本题第（Ⅰ）题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第（Ⅱ）题主要考查利用错位相减法来求数列的前n 项和．本题属中档题．22.已知21()(2)(0)2x f x ax ax x e a =-++->． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在3个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）22(2,)(,)e e e +∞U【解析】【分析】(1)对函数求导，比较导函数的两根大小，进而得到单调性；（2）通过函数表达式可得到函数有一个零点2，要使得()f x 有3个零点，即方程()1022x ax e x -+=≠有2个实数根，即()22,0x e a x x=≠，令()2xe h x x=对函数求导研究函数单调性，结合函数的图像得到参数范围. 【详解】（1）()()()()21x x x f x ax a e x e x e a =-+++-=--' 因为0a >，由()0f x '=，得11x =或2ln x a =．（i ）当0a e <<时，1ln a >，在(),ln a -∞和()1,+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；在()ln ,1a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，（ii ）当a e =时，1ln a =，在(),-∞+∞上，()0f x '≥，()f x 单调递增，（iii ）当a e >时，ln 1a >，在(),1-∞和()ln ,a +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；在()1,ln a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，（2）()()()2112222x x f x ax ax x e x ax e ⎛⎫=-++-=--+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 有一个零点2x =．要使得()f x 有3个零点，即方程()1022x ax e x -+=≠有2个实数根， 又方程()()12022,02x x e ax e x a x x -+=≠⇔=≠，令()()22,0xe h x x x=≠，即函数y a =与()y h x =图像有两个交点，令()()2221220x x x e x xe e h x x x-='-==，得1x = ()h x 的单调性如表：x (),0-∞()0,1 1 ()1,2 ()2,+∞ ()h x '－ － 0 ＋ ＋ ()h x↘ ↘ 极小值 ↗ ↗当0x <时，()0h x <，又()22h e =，()h x 的大致图像如图， 所以，要使得()f x 有3个零点，则实数a 的取值范围为()()222,,e e e ⋃+∞ 【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.。
2020年高考(理科)数学预测押题密卷 试题-含答案
1. 已知集合 A {x | y
x2
2x 3} ，全集U
R
，集合 B
{x |
1 2x 2
0} ，则 (CU
A) B
A. [2，3)
B. [1，3)
C. (2，3)
D. (1，3)
（）
2. 已知 i 为虚数单位，且复数 z 满足 z(1 2i) i i2020 ，则 | z | 的值为
13.已知向量 a (2，3) ， b (3，k) ， a b ，则 | a b |
.
14.某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨标准煤）有如下几组样本数据，
x
3
4
y
2.5
3
a
6
4
4.5
理科数学试题第 2 页（共 4 页）
学校：
班级：
_______________________________装____________________________________订_______________________________线____________________________________
分别为椭圆 C
的左顶点、上顶点、左焦点，若 MFN
NMF
90°，
则椭圆 C 的离心率是
（）
A. 5 1 2
B. 3 1 2
C. 2 1 2
D. 3 2
11. 已知正数 a ，b ，c 满足 a2 4ab 16b2 c 0 ，当 ab 取得最大值时，则 c 4a 32 的最小值为
c
4b 4
（）
A. 1 5
B. 10
C. 5
D. 2
2020年高考押题 理科数学试卷及其详细解析
初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店 第 1 页 共 31 页2020年高考押题数学理科1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()R A B I ð等于（ ） A.{|21}x x -<< B.{|22}x x -<< C.{|23}x x ≤< D.{|2}x x < 【答案】B【解析】{}{}|2,|23,A x x B x x =≥=-<<得{}|2R A x x =<ð，{}()|22.R A B x x =-<<I ð2. 已知复数()4i 1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】41bi z i +=-＝(4)(1)44(1)(1)22bi i b b i i i ++-+=+-+，则由412b -=-，得6b =，所以15z i =-+，所以75z b i -=--，其在复平面上对应点为(7,5)--，位于第三象限. 3.若复数z 满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（ ）1 C.1【答案】A【解析】由()1i 1i i z -=-+=i + ,得i i)(1i)1i (1i)(1i)z +==--+=11i 22+,所以z的实部为12,故选A ． 4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)2π上是减函数的是（ ）A ．3y x = B. sin y x =- C ．21y x =+ D ．cos y x =【答案】B【解析】选项C 、D 不是奇函数，3y x = 在R 上都是增函数，只有选项B 符合.。
2020年高考数学押题密卷(含解析)
2020年全国高考数学试卷及答案(名师押题预测试卷+解析答案，值得下载)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(A B = )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．(1，2]D ．(2,)+∞【解析】解：，，则【答案】A ． 2．已知向量，(3,1)b =，若//a b ，则(a b = ) A ．1 B ．1-C ．10-D ．1±【解析】解：，(3,1)b =， 若//a b ，则，1m ∴=-，【答案】C ．3．已知α是第二象限角，若，则sin (α= )A ．223-B ．13-C ．13D ．223【解析】解：α是第二象限角，若可得1cos 3α=-，所以．【答案】D ．4．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与8a 的等差中项为10，则10(S = ) A ．200B ．100C ．50D ．25【解析】解：由等差数列的性质可得：，则．【答案】B ．5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m α⊂，//n α，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：①若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，故不正确； ②若//m α，//m β，则α与β可能相交或平行，故不正确； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β，m 也可能在平面内，故不正确；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确 【答案】B ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A．11 B．9 C．7 D．5 【解析】解：模拟程序的运行，可得1n=，0S=不满足条件37S，执行循环体，113S=⨯，3n=不满足条件37S，执行循环体，，5n=不满足条件37S，执行循环体，，7n=此时，满足条件37S，退出循环，输出n的值为7．【答案】C．7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD-中，AB⊥平面BCD，BC CD⊥，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A．23B．34C．33D．24【解析】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则(1A，0，1)，(1B，0，0)，(0C，0，0)，(0D，1，0)，111 (,,)222 M，则，(0CD =，1，0)，设异面直线BM 与CD 夹角为θ，则．∴异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33． 【答案】C ．8．设0a >且1a ≠，则“b a >”是“log 1a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：充分性：当01a <<时，“b a >”时“log 1a b <”故充分性不成立． 必要性：当log 1a b >时，若01a <<，则0b a <<，故充分性不成立． 综上，“b a >”是“log 1a b >”的既不充分也不必要条件． 【答案】D ．9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是( )A．322+B．312+C．3122++D．23+【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥A BCD-，正方体的棱长为1，所以几何体的表面积为：．【答案】C．10．程序框图如图，若输入的2a=，则输出的结果为()A ．20192B ．1010C ．20232D ．1012【解析】解：模拟程序的运行，可得2a =，0S =，0i = 执行循环体，2S =，12a =，1i = 满足条件2019i ，执行循环体，122S =+，1a =-，2i = 满足条件2019i ，执行循环体，1212S =+-，2a =，3i = 满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，4i = ⋯由于，观察规律可知，满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，2020i = 此时，不满足条件2019i ，退出循环，输出．【答案】D ．11．将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，则概率()P A B 等于( ) A ．14B ．3536C ．518D ．512【解析】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”， 基本事件总数，AB 包含的基本事件个数，∴概率．【答案】C ．12．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，，若在3[,2]2ππ上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2-，)+∞ C ．(-∞，2] D ．[2-，1]-【解析】解：定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，方程()0f x '=无解，即()f x 为R 上的单调函数，，则()2018x f x +为定值， 设，则，易知()f x 为R 上的减函数，，，又()g x 与()f x 的单调性相同， ()g x ∴在R 上单调递减，则当3[,2]2x ππ∈，()0g x '恒成立， 即，当3[,2]2x ππ∈，则5[63x ππ+∈，13]6π， 则当26x ππ+=时，取得最大值2，此时取得最小值2-，即2m -，即实数m 的取值范围是(-∞，2]-， 【答案】A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数1()x f x e -=在(1,1)处切线方程是 ． 【解析】解：函数1()x f x e -=的导数为1()x f x e -'=，∴切线的斜率k f ='（1）1=，切点坐标为(1,1)，∴切线方程为1y x -=，即y x =．故答案为：y x =．14．已知P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值是 ．【解析】解：抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)，P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值，就是PF 的距离减去y 轴与准线方程的距离， 可得最小值为：．故答案为：2．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 1nn + ．【解析】解：点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，2n a n ∴=．．∴．则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．故答案为：1nn +． 16．已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 254π ．【解析】解：由圆锥体积为23π，其底面半径为1， 可求得圆锥的高为2， 设球半径为R ，可得方程：，解得54R =， ∴，故答案为：254π． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值． 【解析】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）由、及正弦定理可得：，⋯⋯由于sin 0A >，整理可得：，又sin 0B >， 因此得3sin 5B =．⋯⋯ （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 5B =， 又ABC ∆的面积为42，且10a =， 从而有，解得14c =，⋯⋯又角B 是最小的内角， 所以03Bπ<，且3sin 5B =，得4cos 5B =，⋯⋯ 由余弦定理得，即62b =．⋯⋯18．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0~2000步，（说明：“0~2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B 、2000~5000步，C 、5000~8000步，D 、8000~10000步，E 、步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”． （Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000~8000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“认定类别”与“性别”有关？参与者超越者 合计 男 20 女20合计 40附：，，20()P K k0.10 0.050 0.010 0k 2.706 3.841 6.635【解析】解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人， 女14人⋯⋯，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数 约为：人⋯⋯；（Ⅱ）该天抽取的步数在8000~12000的人数：男8人，女4人， 再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人⋯⋯所求概率（或⋯⋯ （Ⅲ）完成22⨯列联表⋯⋯参与者 超越者 合计男 12 8 20女 16 4 20合计 28 12 40计算，⋯⋯因为1.905 3.841<，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关， 即“认定类别”与“性别”无关 ⋯⋯19．如图，在正三棱柱中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//B E 平面ACF ；（Ⅱ）求CE 与平面ACF 所成角的正弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中， 因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以//EM BC 且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，所以1//B F BC 且112B F BC =，即1//EM B F 且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，所以，又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊂/平面ACF ，所以1//B E 平面ACF ．⋯⋯解：（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO 、OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB 、AO 、OF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 ⋯⋯ 则有， 得 设平面ACF 的一个法向量为(n x =，y ，)z则00n CA n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3020x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令3z =-，则(23n =，2，3)-，⋯⋯ 设CE 与平面ACF 所成的角为θ，则，所以直线CE 与平面ACF 所成角的正弦值为21919．⋯⋯。
2020高考理科数学经典押题(含答案)
2020高考数学经典押题（含答案）满分：100分，时间：60分钟一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则（）A ． BCD ． 2.已知，则A ∩B =（）A ．B ．C ．D ． 3. 在中，角的对边分别为，若且，则（）A ．B ．C ．D ． 4.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A． B ． C ．D ．5. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 6. 函数的部分图象大致是（） z ()(1)1z i i +-=z =21222{|log (31)},{|4}A x y x B y x y ==-=+=1(0,)31[2,)3-1(,2]31(,2)3ABC ∆,,A B C ,,a b c sin 3sin ,A B c ==5cos 6C =a =348+6+6+8+,x y 22026020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩2y x z x y =-7[,1]2-7[2,]2-77[,]23--3[,1]2-()22x xe ef x x x --=+-7. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8. 已知函数，若成立，则的最小值为（） A ． B ． C ． D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面向量与向量互相垂直，且，若，则．14.在二项式的展开式中，其3项为，则．15.如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为．16. 已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是．22221(0,0)x y a b a b-=>>x ,A B D ABD∆2))+∞U ()()231,ln 42x x f x eg x -==+()()f m g n =n m -1ln 22+ln 212ln 22+2ln 2m u r n r 2(11,2)m n -=-u r r 5m =u r n =r 6120x =E 1111ABCD A B C D -11C D 1//BD 1B CF 1BDCE A 2:2(0)C x py p =>O ,A B (0,8)M OA C ABO ∆p三、解答题（本大题共2小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知正项数列满足，数列的前项和满足.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.18.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数） （1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，若上的点对应的参数为，点上在，点为的中点，求点到直线距离的最小值.{}n a 221111,n n n n a a a a a ++=+=-{}n b n n S 2n n S n a =+{}n a {}n b 11{}n n a b +n n T xOy 1C cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩2C 2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩1C 2C x l (cos 2sin )4ρθθ-=1C P 2πθ=Q 2C M PQ M l2020高考数学经典押（答案）一、选择题1-5: ACB CA 6-8: D D A二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1）因为，所以，，因为，所以，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，当时也满足，所以.（2）由（1）可知， 所以. 18.解：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，为半径的圆，的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆. （2）由已知得，设，则， 直线，点到直线的距离为 ， 所以 ，即到直线的距离的最小值为. 52232211n n n n a a a a +++=-()()1110n n n n a a a a +++--=10,0n n a a +>>10n n a a ++≠11n n a a +-={}n a 11n a n =2n ≥12n n n b S S n -=-=1n =12b =2n b n =111111()2(1)21n n a b n n n n +==-++11111111[(1)()()()]22233412(1)n n T n n n =-+-+-++-=++L 1C 22(1)1x y +-=(0,1)12C 2214x y +=x (0,2)P (2cos ,sin )Q θθ1(cos ,1sin )2M θθ+:240l x y --=Ml d ==5d ≤=Ml 5。
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三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考
题，每个考题考上都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共 60 分。
17．已知圆 C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线 l：x﹣y+3＝0．当直线 l 被圆 C 截得
点向圆 C 引切线，切线长的最小值为____.
14．在正四面体 P ABC 中，点 M 是棱 PC 的中点，点 N 是线段 AB 上一动点，且
AN
AB
，设异面直线
NM
与
AC
所成角为
，当
1 3
2 3
时，则 cos
的取值范围是
__________．
15．函数
fn
x
n2 3 2
n2
n2 n2
D． X 2n
5．已知复数 z 满足 1 i z 3 i ， i 为虚数单位，则 z 等于（ ）
A．1 i
B．1 i
C． 1 1 i 22
D． 1 1 i 22
6．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E ， F 分别为 AA1 ， BC 的中点，点 M 在棱 B1C1
值.
【详解】
如图 1， B2 , M , F 三点共线，连结 B2E, B2 MF 从而 B2 平面 FEM ，则 B2E 与 A1B1 的交点即
为点 N
，又 RtB1B2 N
与 RtA1EN
相似，所以
A1E B1B2
A1N NB1
1 2
；
如图 2，设 B1D1N 的外接圆圆心为 O1 ，半径为 r ，球半径为 R ，在 B1D1N 中，
线的离心率是（）
A． 2 B． 3 C． 2 2 D． 5 12．设 是直角坐标平面上的任意点集，定义
．若
，则称
点集 “关于运算*对称”．给定点集
，
，
，其中“关于运算*对称”的点集个数为
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13．直线 x y 1 0 被圆 C ： x2 y2 2 所截得的弦长为______；由直线 x y 3 0 上的一
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用向量平行，根据坐标公式和正弦定理求得角 A ，再利用均值不等式和两边之和大于第三 边求得周长的范围.
【详解】
因为向量 m 与向量 n 平行，故可得 asinB 3bcosA
利用正弦定理将角化边可得 sinAsinB 3sinBcosA ，
又因为 sinB 0 ，故可得 tanA
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。） 1．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚， 问积几何？”设每层外周枚数为 ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（）
A．121B．81C．74D．49 2．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将 1，2，...，9 填入 3 3 的方格
NB1D1 45,
4 D1N 3
10 ，由正弦定理得 r 4 3
5
，所以
D1P
8 3
5 ，在 RtDD1P 中，解
得
DP
4
29 3
，即
2R
4 3
29 ，所以所求的球的半径为 2 29 . 3
【点睛】
本题以正方体为载体，考查线面位置关系，球的性质等基础知识，考查数形结合思想、运算
求解能力、推理论证能力，综合性较强．
y 2sin x(2 x 4) 的图象的所有交点的横坐标之和等于（）
A．2
B．4
C．6
D．8
11．已知 F
为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左焦点，点
A 为双曲线虚轴的一个端点，过
F ， A 的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴右侧的交点为 B ，若 FA 2 1 AB ，则此双曲
赋值先令 n 1 ，得 X 2n ；当 n 2 时， 2n 1 x 1 xn 利用二项式定理展开即可求
解。 【详解】 当 n 1 时，显然 X 2n ；当 n 2 时，
2n 1 x 1 xn Cn0 1 xn Cn1 1 x n1 1 x ... Cnn 1 xn 1 xn 1 xn ，
3
，又
A
0,
2
故可得 A 60 ；
8
由余弦定理可得 b2 c2 a2 bc
整理得 bc 1 b c2 1 1 b c2
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）中点；（Ⅲ）V 3 ． 3
【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理，因为 O，M 分别为 AB ，VA 的中点，所以 VB // MO ，即可证明VB // 平面 MOC ； （Ⅱ）根据面面平行的性质定理，两个平行平面被第三个平面所截，则交线平行，根据已知 平面 MON ∥ 平面VBC ，与平面VAC 交于 MN ,VC ，所以 MN // VC ，则能推出点 N 的位置．
n2
n2 1
2 n
n
n2 1 2
，即 Nn n
n2 1
10 102 1
2 , N10
2
505 ，故选
D.
6
3．B 解析：B 【解析】 【详解】 分析：圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心为（-1，2）代入直线 3x+y+a=0，解方程求得 a 的值． 解答：圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心为（-1，2）， 代入直线 3x+y+a=0 得：-3+2+a=0，∴a=1， 故选 B． 点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围 4．D 解析：D 【解析】 【分析】
1
内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于 15(如图）.一般地，将连续的正整数 1， 2，3，…， n2 填入 nn 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方 形就叫做 n 阶幻方.记 n 阶幻方的一条对角线上数的和为 Nn (如：在 3 阶幻方中， N3 15 )， 则 N10 （）
21．
f
x
1
1 a 2bx
的定义域为 R
，a
0
，且 lim n
f
n
0
（1）求证： b 0 ；
（2） f 1 4 ， f x 在0,1 最小值为 1 ，求 f x 的解析式；
5
2
（3）在（2）的条件下，设 x
表示不超过
x
的最大整数，求
g
x
f
x
1 2
f
x
1 2
的值域．
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一道题作答。如果多做，则按所做的第
（Ⅱ）解：连结 ON，MN．因为平面 MON ∥ 平面VBC ，
且平面 MON 平面VAC MN ，平面VBC 平面VAC VC ，所以 MN ∥VC ．
因为 M 为VA 的中点，所以 N 为 AC 的中点．
（Ⅲ）解：因为 AC BC ，且 AC BC 2 ，且 O 为 AB 的中点，
所以 OC AB ， AB 2 ．
3
x
1
n N*
，当 n 1, 2,3
时， fn x 的零点依次记作
x1,
x2 ,
x3
,
，则
lim
n
xn
______；
16．在 ABC 中， AB 1, BC 7,CA 3,O 为 ABC 的外心，若 OP m OB n OC ，其中
m, n 0,1 .则点 P 的轨迹所对应图形的面积是__________．
A．1890
B．1891
C．1892
D．1893
9．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若∠C=120°，c= 2 a，则
2
A．a＞b C．a＝b
B．a＜b D．a 与 b 的大小关系不能确定
10．将函数 y 1 的图象按向量 a (1, 0) 平移，得到的函数图象与函数 x
【参考答案】
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1．B
解析：B
【解析】满足 ，第一次循环：
；满足 ，第二次循环：
；满足 ，第三次循环：
；满足 ，第四次循环：
；满足 ，第五次循环：
。故选 B。
2．D
解析：D
【解析】
n 阶幻方共有 n2 个数，其和为1 2 ... n2 n2 n2 1 , n 阶幻方共有 n 行，每行的和为 2
3
的弦长为 2 2 时，求 （Ⅰ）a 的值； （Ⅱ）求过点（3，5）并与圆 C 相切的切线方程． 18．如图，在三棱锥V ABC 中，平面VAB 平面 ABC ， △VAB 为等边三角形， AC BC ，且 AC BC 2 ，O，M 分别为 AB ，VA 的中点．
（Ⅰ）求证：VB ∥平面 MOC ； （Ⅱ）设 N 是线段 AC 上一点，满足平面 MON ∥ 平面VBC ，试说明点的位置 N ； （Ⅲ）求三棱锥V ABC 的体积．
直平分线的极坐标方程． 23．如图,在 Rt△ABC 中, ACB 90 ,且 AC BC a , E 是 AC 的中点,以 AC 为直径作一圆 E ；连接 BE 并延长至 D ,使 BE ED ,连接 AD ．
（1）求证：直线 AD 是圆 E 的切线；