14讲 傅里叶级数解析

2、引入圆频率 令w02/T为圆频率，则函数f(t)的傅里叶级数可写成：
f (t ) a0 (ak cos kw0t bk sin kw0t ).
k 1
这说明，任何一个周期信号f(t)必定可以分解为直流成分a0和基波 成分(w0)以及高次谐波成分(kw0)之和。
3、空间坐标的傅里叶级数
l l
0
l
在边界处满足Ⅱ类边界： f ( x) x 0,l 0. 三、有限区间上函数的周期延拓 定义在(0,l)上的非周期函数f(x) ，总可以采用延拓的办法找到周 期函数g(x)，使之在(0,l)有g(x)≡f(x)。这样对g(x)的傅里叶展开级 数在(0,l)上即代表f(x)。

二、奇偶函数的傅里叶展开 若周期函数f(x)是奇函数，则傅里叶级数中偶基函数的系数a0和 l 1 ak都应等于0。而展开系数 bk f ( ) sin k d
l 2 l k 中的被积函数是偶函数，故系数可写成： bk f ( ) sin d . 0 l l
l
l
由于在边界x=0和x=l处,sin(kx/l)=0,故f(0)=0=f(l),这称为Ⅰ边界. 若周期函数f(x)是偶函数，则傅里叶级数中bk都应等于0，而 1 l l a0 f ( )d , ak 2 f ( ) cos k d . 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
则称该函数为正交函数系。 若函数系中的每个函数的模均为1，则称该函数系为区间[a,b]上
的正交归一函数系。
任何正交系都可构造成一个正交归一系。例如，{fn}正交不归 一，可构建新的系yn(x)= fn(x)/|fn|，则{yn}正交归一。 内积概念可以推广到复函数，其定义为： ( f , g ) r ( x) f ( z ) g * ( z )dz,
a b
其中权重函数仍为大于0的实函数。
注：正交系一定要指明区间。
三角函数族是权重为1的正交系(自证),由此可确定其傅里叶系数。 如，展开式两边同乘以基函数1，并在一个周期[-T/2,T/2]上积分得
T 2


T 2
展开式两边同乘以基函数cos(2kt/T) ，并在 [-T/2,T/2]上积分得 2 T 2 T 2 2k t 2k t 2 T2 2k t
T 2
1 f (t )dt a0 dt 0, 即a0 T 2 T
T 2

T 2
T 2
f (t )dt .
dt . ak cos dt 0, 即ak T 2 f (t ) cos T T T T 2 T2 2k t 同理，可得 bk f (t ) sin dt . 2cos2x=1+cos(2x) T T 2 T
f (t ) cos
dt
T 2
(2)基函数的完备性 零函数：若[a,b]上的实函数f(x)的模为0，则称其为零函数。 若内积(f,fn)0，仅当f(x) 为零函数时成立，则称正交系{fn}是 完备的。 完备性表明，对于任何一个非零函数总可以以正交系为基展 开，且展开系数中总有不为0的项。 注：正交不一定完备，但完备系总可以使之正交。
(3)(收敛准则)狄里希利定理：设f(t)是以T为周期的函数，在区
间[-T/2,T/2]上有有限个第一类间断点，且分段单调，则函数的傅 里叶级数在(-∞,+∞)上收敛。其和函数S(t)在f(t)的连续区域上与
之相等，而在f(t)的间断点c处有S(c)=[f(c-0)+f(c+0)]/2。
一致收敛定理：设f(t)是以T为周期的函数，在[-T/2,T/2]的一个 子区间[a,b]上连续且分段单调(无间断)，则函数的傅里叶级数在 区间[a,b]上一致收敛于f(t)。
f (t ) a0 (ak cos
k 1
T
bk sin
T
),
则该级数称为函数f(t)的傅里叶级数，展开系数为傅里叶系数。 其中：1, … cos(2kt/T)称为偶基函数, … sin(2kt/T)称为奇基函数.
(1)基函数的正交归一性 函数内积：在区间[a,b]上两个实函数f(x)和g(x)关于权重实函数 b r(x)>0的内积定义为 ( f , g ) r ( x) f ( x) g ( x)dx.
a
函数f(x)的模定义为
f ( f , f ).
若(f,g)=0，则称两函数关于权重函数在[a,b]上正交。 若定义在[a,b]上的实函数系{fn}(n=0,1…)满足：
1 (m n), 0 (m n).

b
a
r ( x)fm ( x)fn ( x)dx fn mn , 其中克罗内克符号 mn
第五章 傅里叶变换
§5.1 傅里叶级数 本节主要内容 1、周期函数的傅里叶展开、正交归一性、完备性与收 敛准则(狄里希利定理) 2、奇偶函数以及任意给定区域上函数的傅里叶展开 3、复数形式的傅里叶级数 4、多元函数的傅里叶展开 5、应用举例
一、周期函数的傅里叶展开 1、周期函数
定义：若函数f(t+T)=f(t)，则称T为函数f(t)的周期。 周期为T的函数f(t)在区间[-T/2,T/2]上可以展成以三角函数族为 基的级数 2k t 2k t
对于完备系{fn} ，任何一个连续函数f(x)都可在其上展开，且 满足完备性方程(也称巴塞瓦尔等式)：
2 f ( x) r ( x) f ( x)dx cn fn . 2 b 2 2 a n 0
方程表明，展开级数平均收敛于f(x)，但并不意味着其一定收
敛于f(x)，因此还需要条件。
若把函数f(t)变换到空间坐标x，同时时间周期T变换成空间周期 2l(l)，则傅里叶级数可写成：
k x k x f ( x) a0 (ak cos bk sin ), ( x [l , l ]). l l k 1 1 l 1 l k x 1 l k x 其中 a0 f ( x)dx , ak f ( x) cos dx , b f ( x ) sin dx. k l l l 2l l l l l