无穷网络的解题思路20180615

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求解网络最大流问题的标号算法

求解网络最大流问题的标号算法赵礼峰;白睿;宋常城【摘要】It provides a new way-labeling algorithm to solve network flow. Every vertex is labeled and vertex has the same number in arc as grades. Choose the way that has a grade. After every way that has only a grade,choose the way that has bigger arc capacity and shorter path. The algorithm is easy to understand and avoids the shortcomings of several labeling and adjusting process through improving Ford-Fulkerson labeling algorithm. The algorithm improves efficiency to solve the maximum network flow. The algorithm gives specific steps and manifests the practices of the algorithm through example.%给出了一种新的求解网络流问题的标号算法,对每个顶点进行标号,顶点有几个人弧,即有几个标号,每次在选择路径时先选取只有一个标号的路径,当所有单标号的路径走完时,再按照弧容量较大且最短的路径选择增广链.通过对Ford-Fulkerson标号算法进行改进,使得该算法容易理解,且又避免了Ford-Fulkerson标号算法在求解网络最大流问题时需经过多次的调整与标号,从而大大提高了求解最大流执行的效率.该算法通过实例给出了具体算法步骤并且表明了算法的实用性.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2011(021)012【总页数】3页(P113-115)【关键词】最大流;Ford-Fulkerson标号算法;增广链;标号【作者】赵礼峰;白睿;宋常城【作者单位】南京邮电大学理学院,江苏南京210003;南京邮电大学理学院,江苏南京210003;南京邮电大学理学院,江苏南京210003【正文语种】中文【中图分类】TP301.60 引言在现实生活中，存在着大量的“流”的问题，计算机技术和网络技术的迅速发展使得网络最大流问题在通信、物理、电力等科学领域都得到了广泛的应用。

高考数学中的无穷递归解析技巧

高考数学中的无穷递归解析技巧高考是每个中国学生都要经历的一场考试，而数学则是高考中最为重要的科目之一。

其中，无穷递归解析技巧是数学中一个相对较难但又十分重要的概念，也是很多学生感到困惑的部分。

本文将详细介绍无穷递归解析技巧，以帮助同学们更好地掌握这个知识点。

1. 什么是无穷递归解析在学习无穷递归解析之前，我们需要了解一下递归的定义。

“递归”是指一个过程或函数调用（或解决问题的方法）在其定义或描述中包含对本身的调用。

简单来说，就是一个函数可以通过直接或间接调用自己来解决一个问题。

然后，我们来了解一下无穷递归的概念。

所谓“无穷递归”，就是指函数没有结束条件，导致函数不断调用自身，最终无法得到结果的情况。

当一个函数无穷递归时，它将不断调用自身执行类似的操作，直到内存用完或计算机崩溃。

递归本身就是一种重要的数学思想，而无穷递归更是递归思想的极端体现。

在数学中，无穷递归一般用于定义序列或集合，它可以通过规则来定义序列或集合中的元素，从而让我们更容易地理解这些序列或集合。

2. 无穷递归解析的基本原理无穷递归解析的核心思想是基于一个递归公式，通过递推求得序列中每一项的值。

该递归公式需要定义出首项以及后面每一项与前面一项之间的关系，从而完成对序列的规定。

例如，斐波那契数列就是一个很好的无穷递归解析的例子。

斐波那契数列中的每一项都是前两项的和。

所以，我们可以定义斐波那契数列的递归公式为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中 f(0)=0，f(1)=1。

通过这个递归公式，我们可以求出斐波那契数列中任意一项的值，而无需手动计算每一项。

3. 无穷递归解析的应用无穷递归解析常常出现在高数考试的数列与数学归纳证明题目中。

而数论中的一些问题也需要用到无穷递归解析技巧。

下面我们来看一个典型的例子：如果已知数列 {a_n} 的递推公式为a_n=2a_{n-1}+n，且a_1=1，那么该数列的通项公式是多少？我们可以将a_n代入递推公式中：a_n = 2a_{n-1}+n= 2(2a_{n-2}+(n-1)) + n= 2^2a_{n-2} + 2(n-1) + n= 2^2(2a_{n-3}+(n-2)) + 2(n-1) + n= 2^3a_{n-3} + 2^2(n-2) + 2(n-1) + n= ……= 2^{n-1}a_1 + 2^{n-2}\times2 + 2^{n-3}\times3 + …… +2\times(n-1)+n将a_1代入可得：a_1=2^0×a_1因此，通项公式为：a_n = 2^{n-1} + 2^{n-2}\times2 + 2^{n-3}\times3 + …… +2\times(n-1)+n通过这个例子，我们可以看到无穷递归解析技巧可以帮助我们快速求出类似的数列通项公式，而且求解过程简单明了，不需要过多计算。

网络最大流问题.docx

给定一个有向图D=(V,A),在V中指定一点称为发点(记为 )，该点只有出发去的弧，指定另一点称为收点(记为，)，该点只有指向它的弧，其余的点叫做中间点。

对于A中的每一条弧W f,对应一个数*亠20(简记片)，称之为弧的容量。

通常我们把这样的D叫做网络，记为D=(V,A,C)。

(2)网络流：在弧集A上定义一个非负函数y_ (Z(Pl JV P)是通过弧的实际流量，简记匚，称扌是网络上的流函数，简称网络流或流，称计Q为网络流的流量。

■ ⅛~ "»丄 / √ 第七章F⅛wearch ι§ 4网络最大流问题网络最大流冋题是网络的另一个基本冋题。

许多系统包含了流量问题。

例如交通系统有车流量，金融系统有现金流，控制系统有信息流等。

许多流问题主要是确定这类系统网络所能承受的最大流量以及如何达到这个最大流量。

4.1基本概念与定理1. 1.网络与流定义14 (1)网络：例1如图7-20是连结某产品产地二和销地一的交通图。

弧∣∕Λ√<.;表示从二到的运输线，弧旁的数字表示这条运输线的最大通过能力IL ,括号内的数字表示该弧上的实际流一］。

现要求制定一个运输方案，使从-r运到甘t的产品数量最多。

可行流与最大流4⑴5(3)IO （I ）输网络的实际问题中，我们可以看出，对于流有两个基本要求：一是每条弧上的流量必须是非负的且不能超过该弧的最大通过能力（即该弧的容量）二是起点发出的流的总和（称为流量），必须等于终点接收的流的总和，且各中间点流入的流量之和必须等于从该点流出的流量之和，即流入的流量之和与流出的流量之和的差为零，也就是说各中间点只起转运作用，它既不产出新的物资，也不得截留过境的物资。

因此有下面所谓的可行流的定义。

定义14对于给定的网络 D= （ V,A,C ）和给定的流 ."H ■...，若一.满足下列条件：（1）容量限制条件：对每一条弧工宀L ,有(7.9)（2）平衡条件：对于中间点：流出量=流入量，即对于每一个i （i ≠ s,t ）,有(7.10)对于出发带点二，有∑Λ ■J l ）对于收点■■-，有⑺12)则称」_'；丨为一个可行流，’.丄称为这个可行流的流量。

无限网络的工作原理

无限网络的工作原理
无限网络的工作原理是基于无线通信技术，通过无线信号传递数据。

具体原理如下：
1. 信号传输：无限网络使用的是无线电波或红外线等无线信号进行数据传输。

设备将数据转换为数字信号后，通过天线或红外线传输到接收设备。

2. 发射与接收：发送设备通过无线电发射器或红外线发射器将信号传输到空中。

接收设备上的无线接收器或红外线接收器接收到信号后进行解码。

3. 频率与通道：无限网络使用特定的频率进行通信。

设备需要选择不同的频率或通道来避免干扰和碰撞，确保数据传输的可靠性。

4. 数据加密：为了保护数据的安全性，无限网络通常采用数据加密技术，将传输的数据进行加密，只有经过授权的设备可以解密并读取数据。

5. 路由和节点：无限网络中还存在着路由和节点的概念。

路由是指数据通过无线网络传输时选择的路径，节点则是连接到无限网络的设备。

路由器负责将数据从一个节点传输到另一个节点。

6. 无线网络协议：无限网络还需要采用特定的无线网络协议，如Wi-Fi（IEEE 802.11）等，以规定通信时的数据格式、传输速率、协议等。

总体来说，无限网络的工作原理是通过无线信号传递数据，利用频率和通道进行通信，采用加密和路由技术保障数据的安全和传输的可靠性。

探究无穷奥秘

探究无穷奥秘无穷，是一个充满神秘和光芒的概念。

它是一个无限的、不可估量的存在，被广泛地应用于自然科学、哲学、宗教和人文社科学以及艺术等领域。

对于人类来说，无穷代表着未知和探究的挑战。

本文将从数学、物理、哲学等角度，探究无穷的奥秘。

一、数学中的无穷在数学中，无穷可以被理解为一种存在，它选取了一个随着时间的推移，不断增大的数列，并指出这个数列无论到什么时候都不会停止。

这个概念之所以具有强大的力量，是因为它可以用来解决一些看似无解的问题，例如：圆的周长和面积问题。

在古希腊时期，著名数学家欧多克索斯等人曾面临着以有限的尺规作图求解圆面积问题，但最终悉数无能为力，最终不得不将他所面对的无穷与圆面积问题联系起来。

而后人们通过莫比乌斯带、拓扑学等概念和道具，才成功地创造了意义上的无穷，建立了不同于有限性的数学世界，描绘了一幅令人震撼的无穷神奇图景。

二、物理中的无穷在物理学中，无穷被运用于各种自然现象、宏大的宇宙空间和微观的基本粒子层面，以及各种自然规律等方面。

比如牛顿的万有引力在空间里不存在空隙，因此数学中的连续函数在描述物理规律时也是必要的；再如，理论物理学家斯蒂芬黑尔宣称，宇宙的起源可以用数学上的无穷“奇点”来解释，而他的黑洞理论以及剥夺了整个宇宙被称为最强力量的信息论，也都涉及了数学中的无穷。

当然，无穷也存在着某种深刻而神奇的本性，特别是在关于时间的问题上，数学家霍金指出，时间从爆炸开始，终究会趋向于无穷。

而到了无穷时刻，我们会面对比做死物碳化更加深刻的延伸性问题。

三、哲学中的无穷在哲学领域，无穷更多地被视为一种本质存在，或是人类思维的极限。

在柏拉图哲学中，无穷是与超越感的经验世界联系在一起的，被看作是意识中的“最高境界”。

而在康德哲学中，无穷被视作人类理性的极限，理性的能力和局限性都集中在无穷之中。

在黑格尔哲学中，无穷被视为“绝对真理”、“终极意识”，它在意识中亘古不变，被视为最新颖、最深刻的本原问题。

网络及花式电阻,极值电功率物理竞赛专题

第一课时
1，网络电路的分析方法
例1]（2008黄高）（8分）有如图所示的电
阻分布，求①ab两点间的电阻Rab②如果流过4Ω姆电阻的电流为1A。求ab两点间的电压：Uab。
2，（2013黄高）
(5分) 图中所有电阻的额定功率都是4W，若从A点流入的电流为2A，则图中阻值为2Ω的那个电阻消耗的功率为 W。
S a b Rp
S
Ra Rb
如图，RP的最大阻值为20Ω，电源电压为6V；求当滑片由a移动到b的过程中，灯泡的亮度如何变化。
RaRb R a ( 20 R a ) R RL RL Ra Rb R a 20 R a 1 2 ( R a 20R a ) R L 20 1 ( R a 10) 2 5 R L 20
5.
15mA A R1 9V V 12mA A R2 V 电阻的解法
例1，（2012黄高）（6分）用粗细均匀的同
种电阻丝制成三个相同的圆圈，并焊接成如图所示的球形框架，用伏安法测出球形框架在A、 B两点间的总电阻为R，其中AB这一段电阻丝的电阻为R。，若用同AB等长，但粗于AB三倍的同种电阻丝将AB替换下来，求替换后的球形框架的总电阻R’
三、利用关于电流或电阻的二次函数 1、关于电流的二次函数
如图，灯泡L标有“6v 3.6w”字样，RP 的标有20Ω 2A，滑片在最左端时灯泡正常发光，求滑片在移动的过程中，滑动变阻器消耗的最大功率电源电压U=6V 灯泡的电阻RL=U2/PL=10Ω L 当I=0.3A时，P最大最大值 P=0.9W Rp S
滑动变阻器的功率
P=UI-I2RL=6I-10I2 =-10(I2-0.6I)
滑动变阻器接入电路中的阻值

无穷网络电阻

试求框架上A、B两点间电阻R AB.此框架是用同种金属制作的,单位长度的电阻为ρ.一连串内接等边三角形的数目可认为趋于无穷（如图所示）.取AB边长为a,以下每个三角形的边长依次减少一半.
解答：
这种题不能硬算,需要用技巧.
按题意,大三角形一条边的电阻应该是ρa,为书写方便,先用R表示.AB间等效电阻用R AB表示.
仅次于大三角形的那个倒着的三角形及其往里的所有三角形,左右两点的等效电阻应该是R AB/2,这样就能列出如下方程
R AB = (R//(R AB/2) + R) // R
“ // ” 的意思是并联
整理,解出：R AB = （√7-1）R / 3 即 RAB = （√7-1）ρa / 3。

运筹学课程设计之最大网速问题的数学模型

最大网速问题的数学模型摘要本题给出了各节点之间的网络流图，需求解它们之间的最大流，即最大网速，为了能有效地解决此问题，我们首先利用求解最大流的标号法对网络图中的可增广链进行逐一分析，并对该链上的流量进行调整，直到该图中没有可增广链后，求得节点1到节点6的最大网速为6兆，然后再通过MATLAB 编程实现对标号法求解的结果进行验证。

最后，又通过提高各节点之间的网速来达到提高从节点1到节点6网速的目的，得出了各链之间增加的具体流量。

即s v 到1v 的容量应增加到263x +，3v 到t v 的容量应增加到22x+，2v 到4v 与4v 到t v 的容量都应增加到72x+。

当然若2023x <<，即03x <<，则s v 到1v 的容量不变。

同理，若032x<<，即06x <<，则2v 到4v 与4v 到t v 的容量也不变。

关键词：网络最大流；可增广链；网络流图；MATLAB ；THE MAXIMUM SPEED ISSUSE MATHEMATICAL MODELABSTRACTThe title gives the network flow graph between nodes, the maximum flow demand solution between them, that is the maximum speed, in order to effectively address this problem, we first use labeling method for solving the maximum flow of the network diagram can be augmented by one chain analysis, and adjust the flow of the chain until after this figure does not augmented chain, and seek the maximum speed node 1 to node 6 is 6 trillion, and then realized through MATLAB programming the results were validated method to solve the label.Finally, and by increasing the speed to achieve between the nodes from node 1 to increase the speed of the object 6, Drawn between the increase in the specific flow chain.In other words, to achieve the purpose of improving x trillion, then s v to 1v the capacity should be increased to 6+2x/3, 3v to t v the capacity should be increased to 2+x/2,2v to4v and 4v to t v the capacity should be increased to7+x/2.Of course, if 0<2x/3<2, that is 0<x<3, s v to1v the capacity to un changed. Similarly, if 0<x/2<3, that is 0<x<6, 2v to4v the capacity is the same and4v to t v.Keywords: network maximum flow; augmenting chain; network flow diagram; MATLAB;目录一问题的提出 (1)二模型假设 (1)三符号说明 (2)四问题的分析 (2)五模型的建立与求解 (2)5.1 模型的建立 (2)5.1.1 可行流 (3)5.1.2 割集 (3)5.1.3 最大流-最小割定理 (4)5.1.4 可增广链推论 (4)5.1.5 寻求最大流的方法 (4)5.1.6 可行流调整算法 (4)5.1.7 最大流的标号算法 (4)5.2 模型的求解 (5)六模型的优化 (13)6.1 网络最大流的算法拓展 (13)6.2 问题的优化求解 (14)模型评价 (16)参考文献 (17)附录 (18)一、问题的提出下图为一网络，节点1到节点2的宽带带宽为6兆，节点1到节点3的宽带带宽为2兆，节点2到节点4的宽带带宽为3兆，…节点4到节点6的宽带带宽为2兆，求节点1到节点6的最大网速。

求解无穷线性方程组

第１章绪论１．１课题来源及研究的目的和意义早在１９６２年，Ｋｏｎｔｏｒｏｖｉｃｈ在文献…中对正则无穷方程组ｘ—ＡＡＸ＝ｂ的迭代法的收敛性进行了讨论，其中Ａ是无穷矩阵，他又在另外一篇重要论文『２１中证明了此方程的截断方程的收敛性。

但以后很长时间在文献中很少见到关于求解无穷方程组的讨论，这并不代表无穷方程组不重要，只是人们满足于传统解法，在这个问题上显得力不从心，停滞不前了。

无穷方程组之所以重要是因为大量实际问题最终都会转化为无穷方程组的求解问题：文献ｆ３１给出了变系数曲线支承的Ａｍｂａｒｔｓｕｍｉａｎ矩形厚板自由振动问题的级数解，将位移和剪力在板域内展成重傅里叶级数，将其导数在边界上展成单傅里叶级数，通过傅里叶交换将控制微分方程和边界条件转化成关于位移级数的系数的一组无穷线性代数方程，最终将板的自由振动问题转化为矩阵特征值问题。

文献ｆ４１采用解析法研究相邻多个线圆弧凹陷地形对平面ＳＨ波散射问题。

文中由分离变＿阜＝法把相邻多个圆弧凹陷对平面ＳＨ波的多重散射表示为各局部坐标中的级数之和，再利用Ｇｒａｆ加法公式的内域和外域表达式进一步表示某个局部坐标中的双重无穷级数形式。

问题最后可归结为求解一组无穷型的线性代数方程。

文献『５１给出了非均匀曲线支承的Ｍｉｎｄｌｉｎ矩形厚板自由振动问题的级数解，将位移和转角在板域内展成重博里叶级数，将其导数在边界上展成单傅里叶级数，通过博里叶变换将控制微分方程和边界条件转化成关于位移级数的系数的一组无穷线性代数方程，最终将板的自由振动问题转化为矩阵特征值问题。

文献『６１采用波函数展开方法提出弹性半空间表面一任意圆弧形凸起边界对平面ＳＨ波二维散射的封闭级数解答。

利用引入的辅助函数和推广的外域型Ｇｒａｆ加法公式将解答归结为一组无穷代数方程组的求解。

解答的数值结果可由无穷方程的截断计算得出。

文中从级数项数增加时计算结果的收敛以及边界条件的收敛满足两方面检验了截断计算的精度，弗指出了位移解答的收敛速度与主要参数之间的关系。

如何用向量方法解释方程组的无穷解

如何用向量方法解释方程组的无穷解下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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1无穷型极限解法

1无穷型极限解法
无穷型极限解法(Infinite-Limit Solution)是一种通过极限运算来对复杂系统问题进行分析和解决的技术。

它是一种基于极限运算的算法，能够采用分析和数值计算相结合的方法，以极大地减少计算的复杂度。

与经典的数学模型解法不同，无穷型极限解法是通过分析系统的特点，把整个复杂系统分解为多个简单的子系统，而每个子系统的基本方程式均为递推的形式，从而实现节约大量的计算时间。

在采用无穷型极限解法分析问题时，首先在问题当中特定定义一个无限极限解法准则，根据该准则，将问题分解成许多极限解法子系统，然后用极限运算对每个子系统构建递推关系式，通过不断解关系式来获取最终的结果。

这种方法既能够节约计算效率，又能够提高计算精度。

无穷型极限解法的应用非常广泛，它们可以用来解决微分方程、数学优化、工程设计等多种复杂问题。

它们不仅能够有效节约计算资源，还能够改善精度，弥补传统算法在确定性和速度上的不足。

总而言之，无穷型极限解法推动了计算机技术的发展，它的应用已经极大地改善了许多数学问题的分析和解决。

它的出现极大地丰富了数学工具的应用范围，提高了技术服务的精度和速度，为人们的日常生活提供了丰富的数学资源和技术服务。

论解决网络问题的数学方法

论解决网络问题的数学方法网络问题是我们在生活和工作中经常遇到的挑战。

从网络速度慢到连接不稳定，这些问题给我们带来了许多困扰。

然而，数学方法可以为我们提供一种解决这些网络问题的有效途径。

本文将探讨几种数学方法，帮助我们解决网络问题。

1. 稳定网络连接的数学模型网络连接的不稳定性常常是我们遇到的主要问题之一。

为了解决这个问题，我们可以利用数学来建立一个稳定网络连接的模型。

通过对网络信号传输的数学特性进行分析，我们可以确定网络连接的优化方案，以提高连接的稳定性。

首先，我们可以利用概率论来分析网络连接的不稳定性。

通过收集大量的数据，我们可以建立网络连接的概率分布模型，了解连接在不同时间段的稳定性。

进一步，我们可以使用统计学方法，如方差分析和回归分析，来确定影响网络连接稳定性的因素，并提出优化策略。

其次，我们可以利用图论来建立网络拓扑结构模型。

通过将网络连接视为一个图，节点表示网络设备，边表示设备之间的连接，我们可以利用图论算法来优化网络拓扑结构，以提高网络连接的稳定性。

例如，最小生成树算法可以用于确定连接设备的最优路径，从而减少连接中断的可能性。

2. 提高网络速度的数学方法网络速度慢是影响我们在线体验的另一个常见问题。

数学方法可以帮助我们分析和解决网络速度慢的问题。

首先，我们可以利用信息论来分析网络速度问题。

信息论是研究信息传输和压缩的数学领域。

通过对网络数据传输的信息熵进行分析，我们可以确定数据传输的最优方案，以提高网络速度。

例如，压缩算法可以减少数据传输的体积，从而加快网络速度。

其次，我们可以利用优化理论来优化网络传输的策略。

优化理论是研究如何找到最优解的数学分支。

通过建立网络传输的数学模型，并应用优化算法，如线性规划和整数规划，我们可以确定数据传输的最优策略，以实现网络速度的提升。

3. 解决网络安全问题的数学方法除了网络连接和速度问题，网络安全也是我们必须面对的重要问题。

数学方法可以帮助我们解决网络安全问题，保护我们的信息和数据安全。

无穷比无穷的三种解法

无穷比无穷的三种解法
众所周知，无穷比无穷是一个古老而又令人费解的概念。

它的解释为“一个大的值（比如数学中的无穷）与一个更小的值（比如无穷小）比率相等”。

虽然这个概念可能令人望而生畏，但令人欣喜的是，有几种方法可以理解这一概念。

第一种方法是用演绎法来解释无穷比无穷。

这种方法大致是一个解释为什么这种比率是不变的过程。

它由一系列经过演绎而构成的论点，即可以在推理的过程中推断出这种比率是不变的。

第二种方法是用归纳法来解释无穷比无穷。

这种方式的基本思想是将无穷比无穷的定义用于具体的案例，并通过这些案例来确定是否符合数学公理，以确定这种比率为不变。

第三种方法是用数学例子来解释无穷比无穷。

这种方法将无穷比无穷的定义运用到数学例子，可以增强大家对这种概念的理解。

例如，一个无限大的数和一个非常小的数，假如比率相等，那么它们之间也是无穷比无穷的。

总之，这三种方法能够让我们更好地理解无穷比无穷。

虽然无穷比无穷的概念令人困惑，但是深入研究之后，我们能够用上述三种方法来解释它，让它变得可理解，从而给予我们更深入的认识。

以上就是关于无穷比无穷的三种解法的介绍，可以看出，无穷比无穷是一个深奥的概念，但它确实存在。

只要掌握了这三种解法，我们就可以深入了解这个概念。

- 1 -。

傅里叶变换的应用Ⅲ——无穷电阻网络

傅里叶变换的应用Ⅲ——无穷电阻网络
题：有一平面正方形无穷电阻网络，相邻两节点间的小段电阻均为r，求整个网络上任意两节点间的电阻。

解：为便于说明，不妨记两端点为和，并且以作为原点建立坐标系.的坐标设为。

采用电流分布法。

假设点流入电流，点流出电流。

记为
记节点的电势为，则待求电阻即为
流入节点的电流可以表示为
定义算符
则式(3)可以改写为
问题关键就是如何求解方程(5)。

这是一个非齐次方程，对应的齐次方程为：
即没有电流从外界流进无穷网络，无穷网络中也没有电流流出。

而无穷网络内部不存在电源，此时显然也不应该有电流。

因此，齐次方程的解为
再寻找原方程的特解。

原方程即
在时的极限。

引入之后会说明。

构造函数F(x,y)，使它在⊗上能展开成二维傅里叶级数，且展开系数恰为，即
代入式(5)得
注意上式中对、的求和都是覆盖全体整数的，因此应当有
上式的变形中利用了欧拉公式。

通知要注意到求和是对、进行的，因此将含、的项从求和号中提出来是完全合理的。

将(9)式代入(11)式即得到一个关于的方程。

容易解出
在式(8)时我们引入了，从而避免了发散的问题。

对于，由傅里叶逆变换有
由于计算结果应当为实数，式中直接取了实部。

因此方程(5)的特解即
将极限移至积分号内易得
原方程的解是通解与特解之和，故
将(14)(15)二式结果代入式(2)，即可得。

无穷网络的解题思路与示例

．② 三、中间缺口形无穷梯形网络
图3
如图 3 所示电路为中间缺口形无穷梯形网络．它可以看成是在ｅ、ｆ处两个相同的开端形半无穷梯形网络并联而成，所以有Ｒｅｆ＝（ 1／2）Ｒａｂ＝．③ 四、底边缺口形无穷梯形网络
图4
如图 4 所示电路称为底边缺口形无穷梯形网络．它可以看成是两个相同的闭端形半无穷梯形网络与电阻Ｒ 1 串联而成，则Ｒｇｈ＝Ｒ１＋ 2Ｒｃｄ＝
图1
如图 1 所示电路称为开端形半无穷梯形网络．因为是无穷网络，所以ａ、ｂ间等效电阻与去掉一个格子后的电阻应相等，即Ｒａｂ＝Ｒ１＋Ｒ３＋（Ｒ２Ｒａｂ／（Ｒ２＋Ｒａｂ）），即
．① 二、闭端形半无穷梯形网络
图2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图 2 所示电路称为闭端形半无穷梯形网络．因为是无穷网络，所以ｃ、ｄ间的电阻同样应与格子数无关，故有Ｒｃｄ＝Ｒ２（Ｒ１＋Ｒ３＋Ｒｃｄ）／（Ｒ２＋（Ｒ１＋Ｒ３＋Ｒｃｄ）），即
－Ｒ３． ④ 五、完整形无穷梯形网络
图5
如图 5 所示电路称为完整形无穷梯形网络．欲求ｉ、ｊ间的等效电阻Ｒｉｊ可以有不同的方法．我们可以将完整形无穷梯形网络看成是一个开端形半无穷梯形网络与一个闭端形半无穷梯形网络并联而成，因此有Ｒｉｊ＝ＲａｂＲｃｄ／（Ｒａｂ＋Ｒｃｄ），将式①、②式代入上式化简得Ｒｉｊ＝
无穷网络的解题思路与示例
20 世纪 80 年代以来，在各种物理竞赛（包括奥林匹克物理竞赛）中，常常出现无穷网络的等效电阻的计算问题．解决这类问题的的基本思路和技巧，就是理解“无限”的意义，分析无限和有限这对矛盾，巧妙地创造条件，使无限向有限转化．下面我们先来讨论几种不同类型的无穷网络，然后以此为基础去讨论比较复杂的问题．一、开端形半无穷梯形网络

网络优化图及网络(运筹学)

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29
(0,S) (3,3)
(2,1) (5,2)
30
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3) (7,5)
31
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3)
(7,5)
(8,4)
32
用WinQSB求解把节点数和节点之间边的长度输入，节点间没有边则不输入任何值注意：无向图中i-j的边与j-i的边的长度相同
C1 根
C2
C3
C4
叶
6
例5（石油流向管网示意图，P131）
此为一个有向图
v2
24
v5
20 8
11 10
v1
15
10
v4 8
v7
20
v3
6
v6
7
1 图的基本概念
无向图：G={V，E} V v1,v2,...,vp E e1,e2,...,eq
顶点或节点：v 边：e=eij=[vi,vj] =[vj,vi] 链：连接两个顶点的一个序列；例1中{a,b,c}，{a,b,e,d}等圈：两个端点重合的链，例1中{a,b,c,a}，{a,b,d,a}等
v5
38
(16, v1)
v2
22
41
16 16
30
30
(0,S) v1
59
41(22, v1) v3
23
(30, v1) v4 23 17
v6
18 v5 (41, v1) 39
(16, v1) v2
16 16
30
v1
59

无穷大∞的算术运算

无穷大∞的算术运算（作者：文德）0不能做分母，不知道历史上从什么时候开始就有这么一条规定，后世坚定奉行，是自小学起就要求学生掌握的一个数学常识。

为什么0不能做分母?通常的回答可以归结为两点：第一没有意义，一般举生活中的例子来说明，比如分苹果：6个苹果6个人分每人得1个，6/6＝16个苹果3个人分每人得2个，6/3＝26个苹果1个人分每人得6个，6/1＝66个苹果0个人分每人得几个，6/0＝?0个人分等于没有人分，也就不存在怎么分以及分得多少的问题，所以0做分母没有实际意义；第二产生矛盾，分数被看成是分子除以分母，而按照除法与乘法互为逆运算，分母×商＝分子，由以上分数式可以得到下列算术式：6×1＝63×2＝61×6＝60×?＝60乘什么等于6?这与常识0乘任何数都等于0相矛盾，以此反过来证明式子6/0不成立、无意义。

但有一个反例，当分子分母同为0，0/0＝?，此时不论0/0等于什么数，都满足乘法作为除法逆运算的检验，分母0乘以商，商可以是任何数，乘积都为0，等于分子。

这时不存在矛盾，似乎昭示着0可以做分母。

但固有的观念告诉我们，分数都是一个确定的数，或者说除法运算都必须得到一个确定的结果，而0/0可以等于任何数，意味着0除0除出来的结果不确定，即0/0虽有分数之形却无分数之实，所以它不是分数，0不能做分母依然成立。

想让0做分母，首先要面对这两点诘难。

这两点理由都很充分，一般驳不倒，但从中可以得到一些启发。

第一点，没有人分就不分，干嘛非要钻牛角尖、一根筋，自己折腾自己?！于是这个问题就被有意无意地忽略掉了。

这种止于实用的态度，认为0做分母没有实际用处而不加深究的人，其实是错过了一个发现数学奥妙的绝好机会，所以有问题不能不当回事；而第二点给了我们两点启示：一、让0做分母，可以，但得自圆其说，论域之内不能出现矛盾；二、理解分数，乃至数需要有新的观念和视角。

如何计数无穷大

如何计数无穷大有些数字真的是无限的，比我们能写出的任何数都要大。

因此“所有数字的数目”显然是无穷大的，“一条线段上的所有几何点的数目”也一样。

那么，有没有什么办法可以描述它们而不只是说它们是无穷大的，或者说，有没有可能举个例子，比一比两个不同的无穷大，看哪一个“更大”？“所有数字的数目相比一条线上所有点的数目是大还是小？”这样的问题有意义吗？这个乍看有些荒诞的问题，著名数学家乔治·康托尔（Georg Cantor）最先思考过，他确实可以被称为“无穷大数算数”的奠基人。

当我们想要讨论无穷大数是更大还是更小时，我们面临的问题是，需要比较我们既不能命名又不能写下的数字，这时我们就像一位正在查看自己的宝箱中是玻璃珠多还是铜币多的霍屯督人，但是你应该还记得，霍屯督人数不了比3大的数。

那他会因为数不了大于3的数而放弃比较玻璃珠和铜币的数目吗？显然不可能。

如果他足够聪明，他会通过一个一个比较玻璃珠和铜币来得到答案。

他会把一粒玻璃珠放在一块铜币旁边，另一粒玻璃珠放在另一块铜币旁边，然后继续下去……如果玻璃珠用完了而铜币还有，他便知道铜币更多，反之玻璃珠更多，如果都用完了就是一样多。

康托尔提出了完全一致的方法来比较两个无穷大的数：假使我们能将两个无穷大里的成分一一配对的话，如果没有剩余成分，就说明两个无穷大是一样的。

但如果这样的安排是无法进行的，其中一个无穷大中有成分剩余，我们就说这个无穷大比另一个更大，或者说更强。

这显然是最合理的，也是唯一可行的比较无穷大的数量的方法。

但当我们准备实际套用它的时候我们会再大吃一惊。

举个例子，奇数和偶数都是无穷多，你会自然而然地觉得这两个无穷大是一样大的，即奇数和偶数一样多，这和上述的法则也完全一致，因为一对一配对这些数字可以得到：911131517191 0 121416182在这里每一个偶数都与一个奇数配对，反之亦然，因此偶数的无限多与奇数的无限多一样大。

这是显而易见的！下面哪个数目你认为更大：所有整数的数目，包括所有偶数和奇数，还是只有偶数的数目？你当然会说所有整数的数目更大，因为它既包含了偶数，还包含了奇数。