无穷网络的解题思路20180615

无穷网络的解题思路

2018-6-15-

20世纪80年代以来，在各种物理竞赛（包括奥林匹克物理竞赛）中，常常出现无穷网络的等效电阻的计算问题．解决这类问题的的基本思路和技巧，就是理解“无限”的意义，分析无限和有限这对矛盾，巧妙地创造条件，使无限向有限转化．本讲主要讨论几种不同类型的无穷网络，然后以此为基础去分析比较复杂的问题． 【基本思路】 若

，⋯++++=a a a a x （a ＞0）

在求x 值时，注意到x 是由无限多个

a 组成，所以去掉左边第一个+a 对x 值

毫无影响，即剩余部分仍为x ，这样，就可以将原式等效变换为

x a x +=，即

02=--a x x 。所以

2411a x ++=

这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路，那就是：无穷大和有限数的和仍为无

穷大。

一、一维无限网络 【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A 、B 两点间的电阻R AB 。

解：在此模型中，我们可以将“并联一个R 再串联一个R ”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。在上图乙中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即

R AB ∥R + R = R AB

解这个方程就得出了R AB 的值。

答案：R AB =

2

5

1+R 。 【例题2】如图所示，由已知电阻r 1、r 2和r 3组成的无穷长梯形网络，求a 、b 间的等效电阻R ab ．（开端形）

【例题3】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻R ab．（闭端形）

二、双边一维无限网络

【例题4】如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻r2，求e、f之间的等效电阻。（中间缺口形）

【例题5】如图所示，两头都是无穷长，唯独旁边缺一个电阻r2，求f、g之间的等效电阻.（旁边缺口形）

【例题6】如图所示，求g、f间的等效电阻。（完整形）

小结：一维无限网络利用网络的重复性。

三、二维无限网络

【例题7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络，网络的每一个节点都有四个电阻与上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为R，由此，按左右、上下一直延伸到无穷远处．A和B为网络中任意两个相邻节点，试求A、B

间的等效电阻R AB．

模型分析：如图，设有一电流I从A点流入，从

无穷远处流出．由于网络无穷大，故网络对于A点是

对称的，电流I将在联接A点的四个电阻上平均分

配．这时，电阻R（指A、B两节点间的电阻）上的

电流为I/4，方向由A指向B．

同理，再设一电流I 从无穷远处流处，从节点B 流出．由于网络无穷大，B 也是网络的对称点，因此在电阻R 上分得的电流也为I /4，方向也是由A 指向B ．

将上述两种情况叠加，其结果将等效为一个从节点A 流入网络，又从节点B 流出网络的稳恒电流I ，在无穷远处既不流入也不流出．每个支路上的电流也是上述两种情况下各支路电流的叠加．因此，R 电阻上的电流为I /2．所以A 、B 两节点间的电势差为：

【例题8】对图示无限网络，求A 、B 两点间的电阻R AB 。

【例题9】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。所有六边形每边的电阻为0R

，求：

（1）结点a 、b 间的电阻。

（2）如果有电流I 由a 点流入网络，由g 点流出网络，那么流过de 段电阻的电流 I de 为多大。

解： （1）设有电流I 自a 点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有3/I

电流由a 流向c ，有6/I 电流由c 流向b 。再假设有电流I 由四面八方汇集

b 点流出，那么必有6/I 电流由a 流向

c ，有3/I 电流由c 流向b 。

将以上两种情况综合，即有电流I 由a 点流入，自b 点流出，由电流叠加原理可知

263I I I I ac =

+=

（由a 流向c ） 263I I I I cb =

+=（由c 流向b ）

因此，a 、b 两点间等效电阻

00

0R I R I R I I U R cb ac AB AB =+==

（2）假如有电流I 从a 点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设

A I I I I ===741

B I I I I I I I ======986532 应该有

I I I A =+B 63

1

2

3

4

567

89a

b c d e g

因为b 、d 两点关于a 点对称，所以

A be de

I I I 21

=='

同理，假如有电流I 从四面八方汇集到g 点流出，应该有

B

de

I

I =''

最后，根据电流的叠加原理可知

()I I I I I I I I B A B A de de

de 61636121=+=+=''+'=

四、三维无限网络

【例题10】假设如图有一个无限大NaCl 晶格，每一个键电阻为r ，求相邻两个Na 和Cl 原子间的电阻。

【例题11】在图示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R ，试求A 、B 两点间的等效电阻R AB 。

当A 、B 两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，C 、D 、E …各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以看成不存在。这里取后一中思想，将CD 间的导体、DE 间的导体…取走后，电路可以等效为图乙所示的二维无限网络。

【答案】R AB = 21

2R