(完整版)证明圆的切线经典例题

证明圆的切线方法及例题

证明圆的切线常用的方法有:

一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直•

例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F.

求证：EF与O 0相切.

证明：连结OE, AD.

•/ AB是O 0的直径，

••• AD 丄BC.

又••• AB=BC ,

•••/ 3= / 4.

——

• BD=DE，/ 1 = / 2.

又••• OB=OE , OF=OF ,

•••△ BOF ◎△ EOF ( SAS)

•••/ OBF= / OEF.

••• BF与O O相切，

•OB 丄BF.

•••/ OEF=9O°.

•EF与O O相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA

与O O 相切.

证明一：作直径AE ，连结EC.

•/ AD 是/ BAC 的平分线， •••/ DAB= / DAC. •/ PA=PD , •••/ 2= / 1+ / DAC. •••/ 2= / B+ / DAB , •••/ 1 = / B.

•/ AE 是O O 的直径,

• AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. •••/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. • PA 与O O 相切.

•/ PA=PD , •••/ PAD= / PDA. 又•••/ PDA= / BDE,

证明二：延长AD 交O O 于E ,连结

•/ AD 是/ BAC 的平分线, • BE=CE , • OE 丄

BC.

•••/ E+/ BDE=90 0.

•/ OA=OE , •••/ E=/ 1. P

P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.

说明：例3 求证：证明一

证明二

•••/ 1 + / PAD=90°

即OA丄PA.

• PA与O O相切

此题是通过证明两角互余，证明垂直的

如图，AB=AC，AB是O O的直径，

DM与O O相切.

:连结OD.

-AB=AC ,

•/ B= / C.

-OB=OD ,

•/ 仁/ B.

•/ 仁/C.

•OD // AC.

-DM 丄AC,

•D M 丄OD.

•D M与O O相切

:连结OD, AD.

•/ AB是O O的直径，

•AD 丄BC.

又••• AB=AC,

• / 1= / 2.

•/ DM 丄AC ,

•/ 2+Z °

，解题中要注意知识的综合运用

O O交BC于D, DM丄AC于M • / 3+/4=90°.

即0D 丄DM. ••• DM 是O O 的切线

解题中注意充分利用已知及图上已知

例4 如图，已知：AB 是O 0的直径，点 D 在AB 的延长线上.

求证：DC 是O 0的切线 证明：连结OC 、BC.

•/ OA=OC ,

•••/ A= / 1= / 30°.

•••/ BOC= / A+ / 1= 60°. 又••• OC=OB , • △ OBC 是等边三角形 • OB=BC. •/ OB=BD , • OB=BC=BD. • OC 丄 CD. • DC 是O O 的切线.

说明：此题是根据圆周角定理的推论

例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且OA 2=OD • OP. 求证：PC 是O O 的切线. 证明：连结OC

•/ OA 2=OD • OP , OA=OC ,

说明：证明一是通过证平行来证明垂直的

.证明二是通过证两角互余证明垂直的,

C 在O O 上，且/ CAB=30 °, BD=OB ,

3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较

• OC2=OD • OP,

OC op OD

OC .

又•••/ 1= / 1,

•••△ OCP s\ODC.

•••/ OCP= / ODC.

•/ CD 丄AB ,

•••/ OCP=9O°.

• PC是O O的切线.

说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的

例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.

求证：CE与厶CFG的外接圆相切

分析：此题图上没有画出△ CFG的外接圆，但△ CFG是直角三角形，圆心在斜边

FG的中点, 证明：为此我们取FG的中点O,连结. OC,证明CE丄OC即可得解.取FG中点O,连结OC.

T ABCD是正方形，

• BC 丄CD , △ CFG 是

Rt△

•/ O是FG的中点，

E

C • O是Rt A CFG的外心.

•/ OC=OG ,

•••/ 3= / G,

•/ AD // BC,

• / G= / 4.

•/ AD=CD , DE=DE ,

/ ADE= / CDE=45°,

• △ ADE CDE (SAS)