(完整版)分数的巧算教师版

分数的速算与巧算

（一）分数巧算（求和）

分数求和的常用方法：

1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。

2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。

3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。

4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。

5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。

典型例题

一、公式法： 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008

2007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差2008

1，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。

20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008

2007 =（20081＋2008

2007）×2007÷2 =2

11003

二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋64

1 分析：解法一，先画出线段图：

从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋64

1=1－641=6463 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数

641，就能凑成

32

1，依次向前类推，可以求出算式之和。 21 ＋41＋81＋161＋321＋64

1 =21 ＋41＋81＋161＋32

1＋（641＋641）－641 =21 ＋41＋81＋161＋（321+32

1）－641 ……

解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。

设x=21 ＋41＋81＋161＋321＋64

1 ① 那么，2x=（21 ＋41＋81＋161＋321＋64

1）×2 =1+21 ＋41＋81＋161＋32

1 ②

用②－①得

2x －x=1+21 ＋41＋81＋161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋64

1） x=64

63 所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=64

63

三、裂项法

1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110

1 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。 再变数型：因为21=211⨯=1－21，61=321⨯=21－31，121=431⨯=31－4

1，……，1101=11101⨯=101-11

1。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。

21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110

1 =1－21＋21－31＋31－4

1＋……＋91－101＋101-111 =1－11

1 =11

10

2、计算：511⨯＋951⨯＋13

91⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯ 分析：因为5

14⨯=1－51，954⨯=51－91，1394⨯=91－131……33294⨯=291－331，37334⨯=331－371。所以，我们可以将题中的每一个加数都扩大4倍后，再分裂成两个数的差进行简便计算。

511⨯＋951⨯＋13

91⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯ =（514⨯＋954⨯＋13

94⨯＋……＋33294⨯＋37334⨯）÷4 111111111

=（1－

371）÷4=37

9 3、计算：21－34－154－354－634－994－1434－1954－255

4 分析：因为34=4×31=4×311⨯=4×（1－31）×2

1, 154=4×151=4×531⨯=4×(31－51)×2

1, 354=4×351=4×751⨯=4×(51－71)×2

1, ……

2554=4×2551=4×17151⨯=4×(151－171)×2

1. 所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。

21－34－154－354－634－994－1434－1954－255

4 =21－4×（1－31+31－51+51－71＋……＋151－171）×2

1 =21－2×(1－17

1) =1917

2 4、计算：21＋65＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋99009899 分析：仔细观察后发现，每个加数的分子均比分母少1.这样可变形为：21=1－21=1－211⨯，65=1－6

1=1－321⨯，1211=1－12

1=1－431⨯，2019 =1－201=1－541⨯，……，99009899=1－99001=1－100991⨯.然后再裂项相消。

21＋65＋1211＋2019＋30

29＋……＋97029701＋99009899 =（1－21）＋（1－61）＋（1－12

1）＋(1－201)＋……＋(1－99001) =1×99－(21＋61＋121＋20

1＋……＋99001) =99－(211⨯＋321⨯＋431⨯＋541⨯＋……＋100

991⨯) =99－(1－100

1) =99100

1 5、计算：1＋432113211211+++++++++……+100

......3211++++ 分析：可以看出，第一项的分母为1，第二项的分母为两个数相加，依此类推，最后一个分母是100个数相加且都是等差数列。这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质，变分母为两个数相乘。再裂项求和。

1111