(完整版)分数的巧算教师版
分数乘除法速算巧算.教师版
gillie 教学目标分数是小学阶段的关键知识点，在小学的学习有分水岭一样的阶段性标志，许多难题也是从分数的学习开始遇到的。
分数基本运算的常考题型有（1）分数的四则混合运算（2）分数与小数混合运算，分化小与小化分的选择（3）复杂分数的化简（4）繁分数的计算知识点拨分数与小数混合运算的技巧在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。
技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。
技巧2:在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。
此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。
技巧3:在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。
技巧4:在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。
技巧5:在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。
目归例题精讲【例1】5的分母扩大到32,要使分数大小不变，分子应该为_________________________________ 。
8【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】根据分数的基本性质：分母扩大倍数，要使分数大小不变，分子应该为扩大相同的倍数。
分母扩大：32-8=4 （倍），分子为：4X5=20。
【答案】20【巩固】小虎是个粗心大意的孩子，在做一道除法算式时,这道算式的正确答案是 ____________________ 。
【考点】分数乘除法【难度】2星【关键词】走美杯，初赛，六年级一 5 5【解析】根据题意可知，被除数为120 5=75，所以正确的答案为75一：一5=90。
8 6分数乘除法速算巧算把除数5看成了5来计算，算出的结果是6 8【题型】填空120，【答案】90【例2】将下列算式的计算结果写成带分数:【难度】2星0.5 236 59119【题型】计算原式= 0.5 236 59=118化口1119119 119)X 59=59-59=5860119 119【答案】5811933_疋0.2【例3】计算45.841.38【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】计算【解析】【答330.241.38735.843584=4 -1383 146138146 _ 7346 ~23 23【巩固】计算42 2.5231 21.05【考点】分数乘除法【难度】2星【关键词】希望杯，2试【题型】计算【解析】14 252 14 252X：: —83 71053 147516 5 258 —X-—X59【例4】计算31102 1733 3 32512 236 93【考点】分数乘除法【难度】3星【题型】计算8^ —25 59【解析】【答31 102 1733一3 32512 236 9393詡16 5 6 1759 -512 3 9331 102 25 33 236 32264 5 17 59 512 3 93=--------------- x -------------31 102 25 33 236 32-3 74480十21934- 1185568333 25909 35255【难度】3星【题型】填空74480十21934- 1185568333 25909 3525562811 25909 352558333 21934 538113 7 3 997 13 199313 641 2 11 9975 641 11333 19937 52 3【解析】22.524「乂----------31 21.05【答案】8【例5】计算【解析】6【解析】 原式= --------23561 2356 2357亠 2356 23561 (23562357)纱612357_ 2357-2358【答案】【例9】2357 2358r8个90计算 1202 30303 90UI909卄 19 1919 191919 列口99个19【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试 原式=1OOx2x3x9x2£ =3806 5 15380【例7】计算19971997*19971998【考点】分数乘除法 【难度】2星【题型】填空【解析】 原式= (1997 J"7)十 1997=1997 ~M997 J"7*1997 =1 +1=1 119981998 19981998【答案】1丄1998本题考察学生对带分数的灵活转化及四则运算定律的准确理解 本题非常容易出现的一种错误解法是：19971997 19971997 "1997-199^-(1997)=1997 ^1997 1997亠—— -1 1998=1999 19981998 1998也就是学生会惯性的理解为除法具有除法分配率！正确的解法如下：19971997X1998+199719971999 1998 19981997 +1997 ------ 1997----------------- 1997----------- 1997 ------------ -----1998 1998199819981999 1997 19991999【答案】【巩固】2009 +20092009= ______ .2010【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】填空【解析】 【答【解析】 2007 “ 2007 2007=2007 20082008X2008 2007 200820072009【答案】20082009【例8】1997 *19971997【解析】原式二——2009 120092010 亠 22009 ________ 1 ______= 2009 (2009 ------ ) :一20092010 20112010【答案】2010 2011【巩固】2356亠23562356= _______2357【考点】分数乘除法【难度】2星【关键词】2008年，清华附中考题【题型】填空【巩固】计算2007 -：- 200720072008【考点】分数乘除法 【难度】2星【题型】填空1998【考点】分数乘除法 【难度】2星 【题型】填空 【解析】20092009^ 2008（米），第2006次剪去后剩下的铁丝长为【答案】251250【答案】54【例6】计算：100 4_1.2;<34_5：<1 一=615【考点】分数乘除法【难度】3星【解析】本题用是重复数字的拆分和分数计算的综合,【题型】填空例如：abcabc=abc 1001 =abc 7 11 13 , ababab = ab 10101 =ab 3 7 13 37—8 个10 ,、一-9 10 101 1 十2 3 」9 45 19 型呼1 19 19 19 19 19—8 个 10原式1 2 101 3 10101__ + ________ + __________19 19 101 19 10101【答案】4519【例10】一根铁丝，第一次剪去了全长的1 ,第二次剪去所剩铁丝的 1,第三次剪去所剩铁丝的1,23 4第2008次剪去所剩铁丝的，这时量得所剩铁丝为1米，那么原来的铁丝长 2009【考点】分数乘除法【难度】2星【关键词】中环杯，六年级，初赛【题型】填空米。
初级奥数分数的巧算
初级奥数分数的巧算
初级奥数分数的巧算是指通过一些简单的策略来解决奥数分数题。
以下是一些实用的技巧和方法：
1. 简化分数：
- 将分数进行约分，找到最大公因数，将分子和分母都除以最大公因数，使分数变得更简单。
- 将带分数转化为假分数，即将整数部分乘以分母，加上原分子作为新的分子，保持分母不变。
2. 分数的基本运算：
- 加法和减法: 相同分母的分数，直接将分子相加或相减，并将结果保持相同的分母。
- 乘法: 将分数的分子和分母分别相乘，得出的新分子和新分母即为乘法的结果。
- 除法: 将除数的倒数作为乘数，即分子和分母对调，然后进行乘法操作。
3. 分数的比较：
- 直接比较分子和分母的大小，若分子和分母都相等，则两个分数相等。
- 如果分母相同，比较分子的大小。
- 如果分母不同，可以找到它们的最小公倍数，然后将两个分数的分子和分母转化为公倍数，再进行比较。
4. 分数的转化：
- 将分数转化为小数：除法操作，将分子除以分母得到小数形式。
- 将小数转化为分数：可以将小数转化为分数，分子为小数点后的数字，分母为10的位数。
这些简单的技巧和方法可以帮助初级奥数学生更加轻松地解决分数题目。
通过熟练掌握这些巧算技巧，学生可以提高解题效率，提升数学水平。
分数的巧算教师版
分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题一、公式法： 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差20081，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。
20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007 =（20081＋20082007）×2007÷2 =211003二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋641 分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋641=1－641=6463 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。
因此，只要添上一个加数641，就能凑成321，依次向前类推，可以求出算式之和。
21 ＋41＋81＋161＋321＋641 =21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－641 =21 ＋41＋81＋161＋（321+321）－641 ……解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。
设x=21 ＋41＋81＋161＋321＋641 ① 那么，2x=（21 ＋41＋81＋161＋321＋641）×2 =1+21 ＋41＋81＋161＋321 ②用②－①得2x －x=1+21 ＋41＋81＋161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋641） x=6463 所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=6463三、裂项法1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。
分数的速算与巧算(教师)
分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数巧算(一)
蓝星教育内部专用导学案 蓝星教育内部专用 蓝星教育内部专用导学案学员姓名：一般方法：根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。
运算性质：几个数都除以同一个数所得的商之和（或差）等于这几个数的和（或差）除以这个数所得的商 a ÷m ±b ÷m ±c ÷m ＝(a ±b ±c)÷m【例1】计算：（200711×3.4＋523×200720068）÷732思路点拨 ：运用乘法分配律，提取公因数3.4，就容易计算了【例2】计算：41.2×3.6＋16×411＋53.7×6.4思路点拨 ：将53.7拆成41.2＋12.5，再运用乘法分配律巧算。
【例3】计算：05200520052005200520052005202005200520050420042004200420042004200420200420042004++++++思路点拨 ：分子提取公因数2004，分母提取公因数2005以后，可以运用约分的方法求解。
【例4】计算：52131557695770315206+⨯⨯+思路点拨 ：用调整的方法然后巧用约分计算出结果。
【例5】计算：2007×2007÷200612008思路点拨 ：硬算的方法太复杂，可以将200612008的倒数等积变形后约分求解。
分数巧算（一）【例6】计算：)413121()514131211(514131214131211++⨯++++-+++⨯+++）（）（ 思路点拨：设A =++413121B =+++51413121 原式=（1+A ）×B －（1＋B ）×A【例7】计算：12.6×125%＋523÷54＋1.4×12.5思路点拨 ：运用等积变形的方法变出相同的公因数，再运用乘法分配律巧算。
分数的巧算
分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题一、公式法： 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋641三、裂项法1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。
再变数型：因为21=211⨯=1－21，61=321⨯=21－31，121=431⨯=31－41，……，1101=11101⨯=101-111。
这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。
21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-111 =1－111 =11102、计算：511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯3、计算：21－34－154－354－634－994－1434－1954－25544、计算：21＋65＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋990098995、计算：1＋432113211211+++++++++……+100......3211++++6、计算：+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯543143213211…＋10099981⨯⨯四、分组法：计算20041+20042－20043－20044＋20045＋20046－20047－20048＋20049＋200410－……－20041999－20042000＋20042001＋20042002五、代入法：计算（1+413121++）×（51413121+++）－（1＋51413121+++）×（413121++）热点习题计算：1、49134911499497495493491++++++【1】2、12816413211618141211-------【1281】3、4213012011216121+++++【76】4、200920081200820071......199119901199019891198919881⨯+⨯++⨯+⨯+⨯4、3937137351......191711715115131⨯+⨯++⨯+⨯+⨯6、2+421133011120171215613++++7、565542413029201912116521++++++8、3994003233242552561951961431449910063643536151634+++++++++9、1102190197217561542133011209127651-+-+-+-+-10、20021+20022+20023+20024－20025－20026－20027－20028＋20029＋200210＋…＋20021995＋20021996－20021997－20021998－20021999－20022000＋20022001＋2002200211、(1+51413121+++)×（6151413121++++）－(1+6151413121++++)×(51413121+++)12、)54535251()434241()3231(21++++++++++…+（20192018...203202201+++++）13、2001年是中国共产党建党80周年，20011921是个有特殊意义的分数。
六年级《分数的巧算》奥数教案
师：那么总共可以分成多少组呢？
生：因为总共有39个分数，两两一组，所以就有 组。
师：这跟我们以前学过的等差数列求和公式是不是一样的？
生：是的。
师：那同学们接下来会计算了吗？
生：会了。
板书：
=（ ）×
=
（一）星海历练1（5分钟）
求下列所有分母不超过20的真分数的和。
分析：
利用等差数列求和公式分别求出每个括号里分数的和，再求它们的和。
师：看来同学们都找到了自己的朋友了，我们一起来看一下这些数都有什么特点？
生：它们的和都是整数，并且它们的和都相等。
师：同学们太棒了！其实在分数的计算里，这也是我们常用的方法——凑整法，今天我们就一起来学习这方面的知识。
【板书课题：分数的巧算】
二、星海遨游（30分钟）
（一）星海遨游1（10分钟）
师：同学们仔细观察一下题目中的分数，它们都有什么样的特点？
师：同学们还记得我们以前经常碰到过的一种题型吗？（老师板书展示1+2+3+4+……+100），这种题目同学们应该能够10秒钟就把它给解答出来吧？
生：能，等于5050。
师：那同学们一起说说这种方法是怎样的呢？
生：（1+100)×100÷2，也就是高斯的等差数列求和。
师：那用文字怎样表达呢？
生：头加尾的和乘项数除以2。
生：肯定是整数了。
师：老师也是那么觉得的，那么我们把每个括号里面的分数都看作一个整体，同学们有什么发现没？
生：第一个括号里的分数和第四个括号里的分数一样，第二个括号里的分数和第四个括号里的分数一样。
师：是的，那我们字母a表示第一个括号里的分数，用字母b表示第二个括号里的分数。那么式子变成什么样的呢？
分数乘除法巧算
分数乘除法巧算【知识点播】分数乘法：分数乘以整数，分母不变，分子乘以整数，最后结果化成最简分数；分数乘以分数，分子与分子相乘，分母与分母相乘，最后结果化成最简分数。
分数除法：除以一个分数，等于乘以这个数的倒数。
【经典例题】（1）乘法：例1 84×（43－31） 70453635107⨯⨯例2 ）（213439+⨯ （2）57 ×49＋27 ×49（2）除法：例1 713 ÷9＋19 ×613 6÷67 ÷25例2 239238238238÷ 1667166616661666÷（3）乘除混合运算：例1 161522.3÷⨯ 23－ 89 × 34 ÷127例2 524.16.55.2÷+⨯ 1211 ÷81＋1213×8课堂小测姓 名 成 绩1．55144233⨯ 200920082008200720072006⨯⨯2．1211 ÷81＋1213×8 ）（10111099+⨯3．63608435÷ 2005200420042004÷4．1312×73＋74×1312＋1312 181526.3÷⨯课后作业月 日 姓 名 成 绩 1.5034×74－74×509 3278458039⨯⨯2.288928882887⨯ 2113.0321.66.35.1⨯+÷+⨯3.（45 －23 ）×152 718 ÷115 ＋518 ×511 （38×14 ＋17×14 ）÷783．解方程。
5X －65＝125 32X －51X ＝1 X ＋97X ＝34解决实际问题1、织一批布，第一天织了总数的51，第二天织了100米，还剩下总数的157。
(教案)第1讲：分数的乘除法与巧算
分析：带分数的计算通常先转成假分数，运用积不变的性质寻找同类项，举行
合并达到简便计算。
板书：
三、总结：（5分）
1. 整数、小数的运算定律在分数运算中同样适用。
2. 通过看见，运用积不变性质找出同类项，举行合并简化运算。
四、随堂练习：
1. 计算：
板书：
3
33×
2.计算：
板书：
3.计算：
板书：
4. 计算：
生：乘法分配律的逆运算。
师：不错，我们需要把分子上的积算出来吗？
（引导学生发现被除数有2014的共同项可以与除数中的2014举行约分）
生：……
师：学生们的看见能力都异常得棒！
板书：
2014÷
=201
计算：
分析：
把除数的带分数先转换成假分数，运用乘法分配律的逆运算举行合并同类项，化简约分。
2. 合理运用运算逻辑简便计算。
三、教学难点：
1. 合理运用运算逻辑简便计算。
四、教学决定：
PPT
五、教学过程：
第一课时（50分钟）
一、导入（5分)
师：学生们，你们还记得分数的加减法吗？
生：记得。
师：整数、小数的加减法运算主意在分数加减法中同样适用吗？
生：适用。
师：整数、小数有乘除法运算，分数也有乘除法运算。在学习小数运算的时候，
生：同分母分数相加，只要把分子相加即可 = = 。
师：在整数、小数乘法的定义中，几个相同的数相加，就是用个数乘这个数。
几个相同分数相加的情况也是如此。2个 相加，我们可以表示成什么呢？
生：2× 。
师：45个 相加呢？
生：45× 。
师：异常棒！学生们，有没有发现整数乘分数，分母和分子之间的变化呢？
(星系站)寒假伊嘉儿6年级数学教案 第1讲：分数的巧算
星系站 备课教员：*** 第一讲 分数的巧算一、教学目标： 1. 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，要求掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力。
2. 换元：掌握等量代换的概念，通过等量代换将复杂算式变成简单算式。
3. 凑整法：掌握用凑整法将分数的计算转化为整数的计算。
二、教学重点： 发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的。
三、教学难点： 让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换将复杂算式变成简单算式。
四、教学准备： PPT 、分数卡片。
五、教学过程：第一课时（40分钟）一、外星游记（5分钟）上课前，将分数卡片（23，21，57，53……只有2个分数的和为2）分别贴在桌子底下。
让学生去找到自己的朋友（两个小朋友的分数和是整数），并且将找到的分数贴在黑板上。
哪一组先贴好并且是正确的将给予大拇指的奖励。
师：看来同学们都找到了自己的朋友了，我们一起来看一下这些数都有什么特点？生：它们的和都是整数，并且它们的和都相等。
师：同学们太棒了！其实在分数的计算里，这也是我们常用的方法——凑整法，今天我们就一起来学习这方面的知识。
【板书课题：分数的巧算】二、星海遨游（30分钟）（一）星海遨游1（10分钟）40394038403402401++⋯⋯+++ 师：同学们仔细观察一下题目中的分数，它们都有什么样的特点？生1：都是真分数。
生2：分母相同，都是40，分子是从1到39。
师：是的，分母相同的分数相加是怎么计算的？生：分母不变，分子相加减。
师：第一个加数和最后一个加数的和是多少？生：1。
师：第二个加数和倒数第二个加数的和是多少呢？生：也是1。
师：有什么发现吗？生：第n 个加数与倒数第n 个加数的和为1。
师：同学们太棒了！也就说，把式子分成两两一组，每一组的和为1，对吗？ 生：对的。
师：那么总共可以分成多少组呢？生：因为总共有39个分数，两两一组，所以就有239组。
分数的巧算
分数的巧算一、数学思维方法：凑整数法，灵活运用拆、拼的方法进行转化。
二、灵活运用运算定律和运算性质。
1.运算定律 交换律：a b b a +=+ a b b a ⨯=⨯结合律：b c a c b a ++=++)( b c a c b a ⨯⨯=⨯⨯)(分配律：c b c a c b a ⨯±⨯=⨯±)( c b c a c b a ÷±÷=÷±)(2.运算性质 )(c b a c b a +-=-- c b a c b a +-=--)()(c b a c b a ⨯÷=÷÷ c b a c b a ⨯÷=÷÷)()()(n b n a b a ⨯÷⨯=÷=)()(n b n a ÷÷÷ )0(≠n注：学会巧妙利用“添括号”和“去括号”：①括号前是“－”号，要“变号”⇒“＋”→“－” ，“－”→“＋” . ②括号前是“÷”号，要“变号”⇒“×”→“÷”，“÷”→“×” .3.学会通过“分解”或“变形”灵活应用乘法分配律三、分数的计算法则1.同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。
而异分母分数相加减，要先通分（找最小公倍数），再计算。
2.带分数相加减，先把整数部分与分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
3.分数乘法中有带分数的，先把带分数化成假分数，然后再乘。
4.分数除法中，甲数除以乙数，等于甲数乘以乙数的倒数。
四、例题分析：例1：8351+ 413814-例2： 117713⨯54315÷例3：139413427415-- )74543(7312--例4：138713873⨯-⨯ 6191824÷例5：64132116181411----- 3012011216121++++五、对应训练：1. 12595+ 2. 5444÷ 3. 5225-4. 107117÷ 5. 1871972- 6. 43177.7-.7. 122512144÷ 8.)73.01753(1744+- 9. 85625.01÷-10.87与165的差乘以95与32的和，积是多少？11. 甲数是12的43，乙数的43是12，甲乙两数的和是多少？12. 127与它的倒数的积，减去0.125所得的差，除以83，商是多少？六、变式训练 1. 18133023118513072+++ 2. 613112178.3---3. )1271742()7311253(--- 4. 417554724⨯+÷5. 548.3107225.14115.3÷+⨯+⨯ 6. 241)418761(÷-+7. 5.2)3147.347.3(⨯÷+ 8. 31173443747÷+⨯9. 152215225.915225.6-⨯+⨯ 10. 4)25.013.23(13.23⨯÷÷11. 41)1214387(÷-- 12. 3.028978.2⨯+⨯七、拔高训练：1. 200319932004⨯2. )6.27()77.1()7.13.1(1÷÷÷÷÷÷3.63135115131+++ 4. 48124112161311-----5. 分数74的分子和分母都加上一个数得到的新分数化简以后是43，求分子和分母都加上的这个数是多少？。
第一讲 巧算 教师版
第一讲 巧算下面这些公式是小学奥数中常见的计算公式，同学们一定要熟练掌握，这可是小升初考试中计算的好帮手。
同时也希望同学们在做题时能够对一些规律性比较强的数字的计算自己进行归纳。
【题型一】分数，小数的混合计算【例1】计算：（7518－61115）÷［21415＋（4－21425）÷1.35］北京市第十届“迎春杯”决赛第一题第2题解：原式＝491411721190152520⎡⎤÷+÷⎢⎥⎣⎦=4914121901515⎡⎤÷+⎢⎥⎣⎦=49490÷=493601、等差数列求和公式： (1)1232n n n ⨯+++++=； 2、重复数字多位数： 1001abcabc abc =⨯；10101ababab ab ab =⨯=；n 个数字重复m 次=这n 个数字110101010010011001m n n n ---⨯ 个个个个； 3、裂项公式：()()()()1111111112[](1)(2)(1)(1)(2)211113[](1)(2)(3)(1)(2)(1)(2)(3)3n n m m n n m n n n n n n n n n n n n n n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=-⨯+++++=-⨯++++++++〖变式1〗计算：223615323340(5.64)5÷+⨯⨯- 北京市第八届“迎春杯”决赛第一题第2题解：原式＝1101112315340 1.2⨯+⨯⨯＝88948⨯＝1154【例2】计算：59193 5.2219930.4 1.6910()52719950.51995196 5.22950+-⨯÷+⨯-+第五届“华杯赛”复赛第1题解：原式＝519 1.329519 1.329--÷19930.40.819950.5⨯+⨯=1÷0.4(19932)19950.5⨯+⨯=1÷45=54〖变式2〗计算：221411713313151)199511286651176(++÷+北京市第十一届“迎春杯”刊赛第24题解：原式＝1332211463199514221199519951463142216911995146314=+⨯=⨯=÷ 【题型二】庞大数字的运算【例3】计算：（1998+19981998+199819981998+ (19981998)个199819981998）÷（1999+19991999+199919991999 (19981999)个199919991999）×1999解：原式＝1998（1+10001+100010001+ (19981001)个100110011001）÷［1999×（1+10001+100010001+ (19981001)个100110011001）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998. 〖变式3〗1202505051313131321212121212121212121+++解：原式＝121015101011310101011251312121101211010121101010121212121⨯⨯⨯+++=+++=⨯⨯⨯ 【例4】9999 9个9×99999个9有结果有多少个奇数，多少个偶数？〖变式4〗求3333333×6666666乘积的各位数字之和。
分数乘法的巧算计算方法
分数乘法的巧算计算方法
1. 嘿，你知道吗？先约分再计算，那可真是个超级棒的方法呀！比如计算4/5×10/8，我们先约掉 4 和 8 的公约数 4，一下子就变成1/5×10/2 啦，结果就很容易出来啦，是不是很神奇呀？
2. 哇塞，把带分数化成假分数来算也很不错哦！像计算2 又1/3×3/4，就把 2 又 1/3 化成 7/3，然后算7/3×3/4，轻松得出结果呀！
3. 嘿呀，乘法分配律用起来呀！就像计算3/4×(10+2)，那就是
3/4×10+3/4×2，这多简单呀，你说呢？
4. 哎呦喂，整数和分数相乘也有巧招哦！例如5×2/3，不就是直接
10/3 嘛，多简单快捷！
5. 哇哦，分数相乘时，分子分母可以交叉约分呢！比如计算6/9×3/4，让 6 和 4 约一下，9 和 3 约一下，马上得出 1/2 啦！
6. 嘿，看到能化成整数的分数相乘，那就爽啦！比如1/4×8，那不就
是等于 2 嘛，超简单的啦！
7. 哇啦哇啦，当一个分数乘以一个特殊数的时候也有窍门哦！像
1/5×25，那妥妥的等于 5 呀！
8. 哎呀呀，分数乘法的巧算方法真的好多啊！掌握了这些，计算起来就又快又准啦！
我的观点结论就是：这些分数乘法的巧算计算方法真的超实用，能让计算变得轻松又有趣，大家一定要学会呀！。
三年级奥数-第1讲 分数的巧算
三年级奥数-第1讲分数的巧算
引言
本文档是关于三年级奥数第1讲的笔记，主要讲解了分数的巧算方法。
分数是数学中的重要概念之一，掌握好分数的运算方法对于解决数学问题非常有帮助。
分数的定义
分数是指一个整体被等分成若干份，其中一份被表示为“分子/分母”的形式。
其中，分子表示被等分的整体中所表示的份额，分母表示整体被等分的份数。
分数的巧算方法
1. 分数的加法和减法
分数的加法和减法运算可以通过分母的通分来实现。
通分是指将两个或多个分数的分母改为相同的值，然后分别对分子进行加法或减法运算。
2. 分数的乘法
分数的乘法运算可以通过将分子与分母分别进行乘法运算得到
结果。
同时，可以对乘积进行约分，即将分子和分母都除以它们的
最大公因数，使得结果为最简分数。
3. 分数的除法
分数的除法运算可以通过将除数的分子和被除数的分母相乘，
除以除数的分母和被除数的分子的乘积来实现。
同样，可以对商进
行约分，得到最简分数。
总结
本文介绍了三年级奥数第1讲中关于分数的巧算方法。
掌握好
分数的加法、减法、乘法和除法运算，对于解决数学问题非常重要。
在实际应用中，我们可以根据需要将分数的运算方法灵活运用，从
而更好地解决问题。
以上是本文的内容，希望能对你有所帮助。
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分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题一、公式法： 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差20081，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。
20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007 =（20081＋20082007）×2007÷2 =211003二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋641 分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋641=1－641=6463 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。
因此，只要添上一个加数641，就能凑成321，依次向前类推，可以求出算式之和。
21 ＋41＋81＋161＋321＋641 =21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－641 =21 ＋41＋81＋161＋（321+321）－641 ……解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。
设x=21 ＋41＋81＋161＋321＋641 ① 那么，2x=（21 ＋41＋81＋161＋321＋641）×2 =1+21 ＋41＋81＋161＋321 ②用②－①得2x －x=1+21 ＋41＋81＋161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋641） x=6463 所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=6463三、裂项法1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。
再变数型：因为21=211⨯=1－21，61=321⨯=21－31，121=431⨯=31－41，……，1101=11101⨯=101-111。
这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。
21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-111 =1－111 =11102、计算：511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯ 分析：因为514⨯=1－51，954⨯=51－91，1394⨯=91－131……33294⨯=291－331，37334⨯=331－371。
所以，我们可以将题中的每一个加数都扩大4倍后，再分裂成两个数的差进行简便计算。
511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯ =（514⨯＋954⨯＋1394⨯＋……＋33294⨯＋37334⨯）÷4 111111111=（1－371）÷4=379 3、计算：21－34－154－354－634－994－1434－1954－2554 分析：因为34=4×31=4×311⨯=4×（1－31）×21, 154=4×151=4×531⨯=4×(31－51)×21, 354=4×351=4×751⨯=4×(51－71)×21, ……2554=4×2551=4×17151⨯=4×(151－171)×21. 所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。
21－34－154－354－634－994－1434－1954－2554 =21－4×（1－31+31－51+51－71＋……＋151－171）×21 =21－2×(1－171) =19172 4、计算：21＋65＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋99009899 分析：仔细观察后发现，每个加数的分子均比分母少1.这样可变形为：21=1－21=1－211⨯，65=1－61=1－321⨯，1211=1－121=1－431⨯，2019 =1－201=1－541⨯，……，99009899=1－99001=1－100991⨯.然后再裂项相消。
21＋65＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋99009899 =（1－21）＋（1－61）＋（1－121）＋(1－201)＋……＋(1－99001) =1×99－(21＋61＋121＋201＋……＋99001) =99－(211⨯＋321⨯＋431⨯＋541⨯＋……＋100991⨯) =99－(1－1001) =991001 5、计算：1＋432113211211+++++++++……+100......3211++++ 分析：可以看出，第一项的分母为1，第二项的分母为两个数相加，依此类推，最后一个分母是100个数相加且都是等差数列。
这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质，变分母为两个数相乘。
再裂项求和。
1111=2121⨯⨯+2100)1001(1......24)41(123)31(122)21(1⨯+++⨯++⨯++⨯+ =1011002......542432322212⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ =2×（1－1011） =101991 解法二：原式= )10099......21(221......)4321(221)321(221)21(221212++++⨯⨯+++++⨯⨯+++⨯⨯++⨯⨯+⨯=1011002......432322212⨯++⨯+⨯+⨯ =2×（1011001......431321211⨯++⨯+⨯+⨯） =2×（1－1011） =101991 6、计算：+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯543143213211…＋10099981⨯⨯ 分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差：)321211(213211⨯-⨯⨯=⨯⨯，)431321(214321⨯-⨯⨯=⨯⨯，…… )10099199981(2110099981⨯-⨯⨯=⨯⨯，此时，可消中间，留两头进行巧算。
原式=21×（321211⨯-⨯）＋21×（431321⨯-⨯）+……＋21×（10099199981⨯-⨯） =21×（321211⨯-⨯＋431321⨯-⨯＋……＋10099199981⨯-⨯） =21×（100991211⨯-⨯） =198004949四、分组法：计算，20041+20042－20043－20044＋20045＋20046－20047－20048＋20049＋200410－……－20041999－20042000＋20042001＋20042002 分析：算式中共有2002个分数，从第二个分数20042开始依次往后数，每四个分数为一组，到20042001为止，共有500组，每组计算结果都是0.原式=20041+（20042－20043－20044＋20045）＋（20046－20047－20048＋20049）＋200410－……+19981999200020012002=20041+20042002 =20042003 五、代入法：计算（1+413121++）×（51413121+++）－（1＋51413121+++）×（413121++） 分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母代替，可化繁为简，化难为易。
设413121++=A ，51413121+++=B ，则 原式=（1+A ）×B －(1+B)×A=B ＋AB －A －AB=B －A =(51413121+++)－(413121++) =51热点习题计算：1、49134911499497495493491++++++【1】2、12816413211618141211-------【1281】3、4213012011216121+++++【76】4、200920081200820071......199119901199019891198919881⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ 【57055632009119881=-】4、3937137351......191711715115131⨯+⨯++⨯+⨯+⨯【391】6、2+421133011120171215613++++【41145】7、565542413029201912116521++++++【816】8、3994003233242552561951961431449910063643536151634+++++++++【211010】9、1102190197217561542133011209127651-+-+-+-+-【原式=1－3232⨯+＋4343⨯+－5454⨯++6565⨯+-7676⨯++8787⨯+－9898⨯++109109⨯+－11101110⨯+ =1－（323322⨯+⨯）+（434433⨯+⨯）－(545544⨯+⨯)+…－（111011111010⨯+⨯） =1－(2131+)+(3141+)－(4151+)+…－(101111+) =1－11121-=229】10、20021+20022+20023+20024－20025－20026－20027－20028＋20029＋200210＋…＋20021995＋20021996－20021997－20021998－20021999－20022000＋20022001＋20022002 【从第三个分数20023开始依次往后数，每8个分数为一组，到最后一个分数20022002为止，共有250组，每组计算结果都是0.所以，原式=20021+20022=20023】11、(1+51413121+++)×（6151413121++++）－(1+6151413121++++)×(51413121+++) 【设1+51413121+++=A ，51413121+++=B ，原式=A ×（B+61）－（A+61）×B=61】12、)54535251()434241()3231(21++++++++++…+（20192018...203202201+++++） 【原式=21+1+211+2+221+…+921=（21+921）×19÷2=95】13、2001年是中国共产党建党80周年，20011921是个有特殊意义的分数。