直线和圆的位置关系(3)弦切角定理PPT课件

D
C
∴∠FDC=∠DAC
∴ EF∥BC
一题多变：
（1）在∆ABC中，过点A与BC相切于D的圆分别交AB、AC于E、F，且 EF∥BC，求证：AD平分∠A
（2）在∆ABC中，∠A的平分线AD与∆AEF的外接圆交于D，过D作 BC∥EF，求证：BC与圆相切
练习6：如图，BC切⊙O于B，CE⊥AF于E，AF 是直径，求证：CD＝CB.
证明：连结BC．
∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90°
∠B+∠CAB=90°
∵AD⊥CE ∴ ∠ADC=90°B
O
1A
2
∠DAC=∠CLeabharlann B即AC平分∠BAD．E
C
D
思路二:
连结OC,由切线性 质,可得OC∥AD,
于是有∠2=∠3,又 B
由于∠1=∠3,可证 得∠1=∠2
E
O
1A
3
2
C
D
例2： 已知：如图，△ABC内接于⊙O ，PA是⊙O的
· E O
F
A
D
B
C
例3已知： O1和O2都经过A、B两点，AC是O2的切 线，交O1于点C，AD是O1的切线，交O2于点D. 求证：AB2＝BC•BD
分析：要证AB2＝BC•BD，
A
可转化为BC：AB＝AB：BD，
O1
观察图形看到需证明
∆ACB∽∆DAB
B C
O2 D
小结：
1、概念的引入
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相 切的角叫做弦切角。
O
B
38°
M
C
A
D N
3、如图：AB切⊙O于点A，
圆周被AC所分成的优弧与劣弧
之比为3‫׃‬1，则夹劣弧的弦切角
∠BAC=＿4＿5°。
C
O
B
A
练A⌒B习=A2⌒、C,如那图么D∠ED切A⊙B和O于∠AE,AACB是,A否C是相⊙等O?为的什弦么,若?
C
B
O
E
A
D
推论 如果两个弦切角所夹的弧相等， 那么这两个弦切角也相等。
• 画出图中弦切角所夹的弧所对的圆周角.
C
m
C
P
●O
mP
C ●O
m
●O
P
A
B
A
B
A
B
弦切角与所夹的弧所对的圆周角有什么数量关系?
猜一猜 4
弦切角定理
• 定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
C
m
C
P
●O
mP
C ●O
m
●O
P
A
B
(1)
A
B
(2)
AB (3)
你能证明这个结论吗?与同伴交流自己的想法和做法.
九年级数学(下)第三章 圆
5.直线和圆的位置关系(4)弦切角定理
我们曾经学习过的有关于圆的角APB
P
点P运动到圆上
O(P)
O
B A
P与圆心O重合
APB为圆心角
使
PA PA
与
绕
圆P
相
旋
切
转
B
A
APB为圆周角
P
此时APB是什么角？
A
O
B
C
B
如图所示，点C在圆上，CA与圆
相交，CB与圆相切，∠ACB是圆周角
2、定理的发现
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论：两个弦切角所夹的弧相等，
那么这两个弦切角相等。
7、如图：经过⊙O上的点T 的切线和弦AB的延长线相交C. 求证:(1)∠ATC=∠TBC,
(2)CT 2 =CB·CA
T
O
A
B
C
应用拓展
已知：∆ABC内接于⊙Ｏ，AE切⊙Ｏ于A，直径BD平 分∠ABC交⊙Ｏ于D，交AC于G，交AE于F，DF⊥AE于F。
读一读 5
弦切角定理(证一证)
• 1.如图(1)特殊情况:圆O在∠CAB的一边上.
∵AC是⊙O的直径,AB是⊙O的切线,弦切角∠CAB所夹的
弧是AmC,∠P是弧AmC所对的圆周角.
C
∴∠CAB=90°,∠P=90°.
P
●O
m
∴∠CAB=∠P.
┓
A
B
定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角. 推论1.弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.
推论2.弦切角等于它所夹的弧的度数的一半.
C
Q
Q
P
·P Om
CC
· · O 1m
2 Om
1
A
B
P
AB
A
B
∠BAC＝ ∠APC
E D
A
C
B
1、当BCE 750时，D ______; 当E 600时，ACD ______ . 2、已知E 700，BCE 800， 则DCE ___
如图，AB是⊙O的直径，DE切⊙O于点C。若
∠ACD=40°，则∠BAC=（ C ）
A、30°；B、40°；C、50°；D、60°。
练习
如图，BC切⊙O于点B，圆心O在AC上，∠A ＝25°，那么∠ABC＝ 115 °.
连结BD，
∵ BC切⊙O于点B
A
·O D
∴ ∠CBD＝ ∠A＝25°
∵ AD是直径 C ∴ ∠ABD＝90 °
B
∴ ∠ABC＝ ∠CBD+ ∠CBD ＝ 25°+ 90 °=115 °
B
P A
如图:DE切⊙O于点A ，AB、AC是⊙O的弦，若
AB=AC，且∠DAB=45°，则∠BAC= （D ）
A、45°；B、50°；C、60°；D、90°。
C E
O
B
A
D
练习
例1如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和 ⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D.
求证(1)AC平分∠BAD. (2)AC²=2AD·AO
C
D ·O B
E
A
F
练习五：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过
点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F。
求证：EF∥BC。
A
证明：连结DF.
∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠DAC 又∵∠EFD=∠BAD
∴∠EFD=∠DAC
O
E
F
又∵⊙O切BC于D
B
∴∠FDC=∠DAC
吗？
∠ACB的特征：
(1) 顶点在圆上；
A
三要素
(2) 一边和圆相交；
(3) 一边和圆相切。
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与 圆相切的角叫做弦切角。
判别下列图形中的角是不是弦切角，并说明理由。
注意：弦切角的定义三要素缺一不可！
读一读 3
弦切角(找找规律)
• 指出下列图中弦切角所夹的弧（AB与圆相切于A）
练习题1、如图：AB为⊙O的直径,直线EF 切于⊙O于C,若∠BAC=56°，则∠ECA =
＿3＿4 度
A E
56° O
C B
F
2 、如图：四边形ABCD为圆内 接四边形，AB是直径，MN切⊙O于 C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的
度数是（ B ）。
A、38°B、52°C、68° D、42°
切线， A为切点。PD∥BC，交AB于D，交
AC于E求证：AD·PE=PA·AE
A 证明：∵ PA是⊙O的切线
∴∠Ｂ＝∠ＰＡＣ ∵ PD∥BC ∴∠ＡＤＰ＝∠Ｂ
D
E
O·
P
∴∠ＰＡＣ＝∠ＡＤＰ B
C
∵∠Ｐ＝∠Ｐ
∴△ＡＰＥ∽△ＤＰＡ ∴ AD PA
AE PE
∴AD·PE=PA·AE
练习4： 已知：如图， ⊙O为△ABC的外接圆，EF与 ⊙O相切于点A，BD∥EF，交AC于D， 求证：AB2=AC·AD