(完整版)湖南省雅礼中学2019届高三上学期11月份月考(三)数学理试题++版含答案,推荐文档
2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学(理)试题含答案
2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1．已知{}{}(31)222log ,1x A x y B y x y -===+=，则A B =A ．1(0,)3B ．1[2,)3-C ．1(,2]3D ．1(,2)32．若2210()cos 2x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于 A ．1- B ．1 C ．2 D ．43．命题“*x R n N ∀∈∃∈，，使得2n x ≥”的否定形式是（ ）A ． *x R n N ∀∈∃∈，，使得2n x <B ． *x R n N ∀∈∀∈，，使得2n x <C ． *x R n N ∃∈∃∈，，使得2n x <D ． *x R n N ∃∈∀∈，，使得2n x <4．函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为( ) A ． 3 B ． 2 C ． 1 D ． 05．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ）A ． 1433AD AB AC =-+ B ． 1433AD AB AC =- C ． 4133AD AB AC =+ D ． 431-3AD A AC B = 6．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老实说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩8．设函数的图象为，下面结论中正确的是（）A．函数的最小正周期是B．图象关于点对称C．图象可由函数的图象向右平移个单位得到D．函数在区间上是增函数9．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A． B． C． D．10．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A． B． C． D．11．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )A．6 B．7 C．8 D．912．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A． [–1，0） B． [0，+∞） C． [–1，+∞） D． [1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线在点处的切线的斜率为，则________.14．已知,x y 满足30350 30x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是__________.15．若,则____________.16．已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a=7，b=8，cosB= – ．（1）求∠A ；（2）求AC 边上的高．18．（本小题满分12分）已知函数()()2cos sin cos 1f x x x x x R =-+∈，．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值． 19．（本小题满分12分）已知为等差数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC −中，平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为，AC ，，的中点，AB=BC=，AC==2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角B −CD −C 1的余弦值；21．（本小题满分12分）设函数()1ln x xbe f x ae x x -=+,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求,a b ；(2)证明: ()1f x >.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为（t 为参数），直线l 2的参数方程为.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M 为l 3与C 的交点，求M的极径.23（本小题满分10分）．已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.高三年级数学（理科）答案一、选择题（12x5）二、填空题（4x5）13. -3 14. 514. 16. 36π三、解答题（70分）17（12分）．解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–，∴B ∈（，π），∴sin B =．由正弦定（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A ==．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =，∴h ==，∴AC 边上的高为．18（12分）．（Ⅰ）解： ()()π2cos sin cos 1sin2cos224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭． 因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）因为()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数， 在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-．19（12分）．（1）设等差数列的公差为，则由已知，得，解得,故；（2）由已知可得，．20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E， F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．∴，设平面BCD 的法向量为，∴，∴，令a =2，则b =-1，c =-4，∴平面BCD 的法向量，又∵平面CDC 1的法向量为，∴．由图可得二面角B -CD -C 1为钝角，所以二面角B -CD -C 1的余弦值为．21．（12分）试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()112'ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+. 由题意可得()12f =， ()'1f e =.故1a =， 2b =.（2）证明：由（1）知， ()12ln x x f x e x e x -=+， 从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-. 设函数()ln g x x x =，则()'1ln g x x =+. 所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()'0g x <；当1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0g x >. 故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,+∞上的最小值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设函数()2x h x xe e-=-，则()()'1x h x e x -=-. 所以当()0,1x ∈时， ()'0h x >；当()1,x ∈+∞时， ()'0h x <.故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()h x 在()0,+∞上的最大值为()11h e=-. 综上，当0x >时， ()()g x h x >，即()1f x >.22（10分）．（1）消去参数得的普通方程；消去参数m 得l 2的普通方程.设,由题设得，消去k 得.所以C的普通方程为.（2）C的极坐标方程为.联立得.故，从而.代入得，所以交点M的极径为. 23．（10分）解：（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．。
湖南省雅礼中学2019届高三上学期11月份月考(三)数学文科试题含答案
雅礼中学2019届高三月考试卷(三)数学(文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第I 卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个，选项中只有一个选项是符合题目要求的．1(i 为虚数单位)等于 A.1 B ．1- C ．i D ．i -2．若集合{13,11,A y y x x B x x A B ⎧⎫==-≤≤==⋂=⎨⎬⎩⎭，则A.(]1-∞，B.[]11-，C.∅D.{}13．已知向量()1,2a =，向量()(),2,b x a a b =-⊥-且，则实数x 等于A.9B.4C.0D.4-4．已知{}n a 为等差数列，若()15928cos a a a a a π++=+，则的值为A.12- B ． C.12 D 5．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=(a 是实数)的距离为1，则a 等于A.1±B.±C. D ．±6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是,,a b c ，若角,,,3B a b c π=成等差数列，且6ac b =，则的值是7．如图，函数()y f x =的图象在点()()5,5P f 处的切线方程是()()855y x f f '=-++=，则 A.12 B.1 C.2 D.08．若将函数cos y x x =的图象向左平移()0m m >个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为 A.6π B.3π C.23π D.56π 9．不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于 A.32 B.23 C.43 D.3410．阅读右边的程序框图，则输出的S=A.14B.20C.30D.5511.函数()2,0,4sin ,0,x x f x x x π⎧≤=⎨<≤⎩则集合()(){}0x f f x =中元素的个数有A.2个B.3个C.4个D.5个12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()(),2f x f x f x -=--=()2,f x +x ∈且 ()1,0-时，()()()2122018log 205x f x f f =++=，则A.1 B ．45 C.1- D ．45- 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是____________cm 3．14.已知()2810,0x y x y x y+=>>+，则的最小值为__________． 15．已知()1,4,A F 是双曲线221412x y -=的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为_____________．16．若关于x 的不等式()2221x ax -<的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是___________．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()111,1n n a S a n N *+==-∈． (1)证明数列{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若()21log nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2项的和2n T ．18．(本小题满分12分)如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2,AD PA CD E F ===、分别是AB 、PD的中点．(1)求证：AF ⊥平面PCD ．(2)求三棱锥P EFC -的体积．为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n名学生的数学成绩(百分制)作为样本；按成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80)中的人数为20．(1)求a和n的值；(2)根据样本估计总体的思想，估计该校高三学生数学成绩的平均数x和中位数m；(3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50，80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：()()()()()22,n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++．20．(本小题满分12分)知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点，若16AB=．(1)求抛物线的方程；(2)若AB的中垂线交抛物线于C、D两点，求过A、B、C、D四点的圆的方程．已知函数()1ln f x a x x =+． (1)若()12x f x =是的极值点，求a 的值，并求()f x 的单调区间； (2)在（1）的条件下，当0m n <<时，求证：()()22112.2m n f m n f n n m n --+-<++．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)(坐标系与参数方程)已知圆的极坐标方程为2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭． (1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点(),P x y 在该圆上，求x y +的最大值与最小值的和．23．(本小题满分10分)(不等式选讲)已知函数()f x x a =-．(1)若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．。
湖南省雅礼中学2019届高三上学期11月份月考(三)数学理试题含答案.doc
- 1 - 雅礼中学2019届高三11月月考试卷(三)
数学(理科)
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．
第I 卷
一、选择题：本题共
12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集I 是实数集R ，3,310M
x x N x x x 都是I 的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为
A. 13x x
B ．13x x
C ．1
3x x D ．13x x 2．设1+1i x yi ，其中,x y 是实数，则x
yi A.1
B ．2 C. 3D ．2 3．已知命题
p ：函数12x y a 的图象恒过定点(1，2)；命题q ：若函数1y f x 为偶函数，则函数
y f x 的图象关于直线1x 对称，则下列命题为真命题的是A. p q B ．p q C ．p q D ．p q
4．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是
[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，
[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于
22.5小时的人数是A.56 B ．60 C ．120 D ．140
5．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①sin f x x ；②cos f x x ；③1
f x x ；④2
.f x x 则输出的函数是
A. sin f x x
B. cos f x x。
2019届湖南省高三上第三次月考理数学试卷【含答案及解析】
2019届湖南省高三上第三次月考理数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若复数，则在复平面内对应的点位于（_________ ）A．第一象限______________ B．第二象限___________ C．第三象限______________________ D．第四象限2. 已知集合，集合，则 =（_________ ）A．______________ B．___________ C．D．3. 已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如右图所示，则这个几何体的体积是（________ ）A．_________________________________ B． ________ C．_______________________ D．4. 设、是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，则或；④若，，，则 .其中正确命题的个数为（_________ ）A.1B.2C.3D.45. 下列命题错误的是（_________ ）A．命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为则”B．若命题，则C．中，是的充要条件D．若向量满足，则与的夹角为锐角6.（_________ ）A．1 B． C．2 D．7. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（）A．0．3_________________________________ B．C． 4___________________________________ D．8. 若函数为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为(_________ )A．_____________________________________B．C．D．9. 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（________ ）A．________________________ B．____________________________C．________________________ D．10. 用数学归纳法证明“ ” ，从“到”左端需增乘的代数式为（）A．____________________ B．______________ C．________________________ D．11. 直线与曲线围成图形的面积为（________ ）A．____________________________ B．______________________________ C．______________________________ D．12. 如果数列满足，，且 ( ≥2) ，则这个数列的第10 项等于（_________ ）A．_______________________ B．_________________________ C．______________________ D．二、填空题13. 展开式中的系数为________________________________________________ .14. 设的内角的对边分别为且，则＝________.15. 已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则该椭圆离心率的取值范围为____________________________ ．16. 已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是____________________________ ．三、解答题17. 已知数列满足（Ⅰ ）求证：数列成等差数列；（Ⅱ ）求数列的前项的和18. 已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ ）求函数的解析式；（Ⅱ ）在△ 中，角的对边分别是，若，求的取值范围．19. 如图 1 ，平行四边形中，，为中点，将沿边翻折，折成直二面角，为中点，（Ⅰ ）求证：平面；（Ⅱ ）求直线与平面所成夹角的正弦值 .20. 已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．21. 已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性（Ⅱ）若函数与函数的图像关于原点对称且就函数分别求解下面两问：① 问是否存在过点的直线与函数的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由 .② 求证：对于任意正整数，均有（为自然对数的底数）22. 选修4-1:几何证明选讲如图，直线与相切于点，是的弦，的平分线交于点，连结，并延长与直线相交于点，若，．（ 1 ）求证：；（ 2 ）求弦的长．23. 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线（为参数），（为参数）．（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线距离的最小值．24. 选修4-5:不等式选讲设函数，其中，为实数．（ 1 ）若，解关于的不等式；（ 2 ）若，证明：参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)
2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案) 2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)总分150分，考试用时120分钟。
一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知全集集合集合，则集合为( )A. B. C. D.2.已知点，则与同方向的单位向量是( )A. B. C. D.3.命题对随意都有的否定是( )A.对随意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得4.已知函数的定义域为，则的定义域为( )A. B. C. D.5.已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为( )A. B. C. D.6.已知函数的导函数为，且满意关系式，则的值等于( )A.2B.C.D.7.已知向量，，则与夹角的余弦值为( )A. B. C. D.8.已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为( )A. B. C. D.9.函数有零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.10.设分程和方程的根分别为和，函数，则( )A. B.C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卡上.11.已知，则的值为13. 中，，，三角形面积，14.已知函数在处取得极值10，则取值的集合为15.若关于的方程有实根，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)17.(本小题满分12分)已知函数，其中为使能在时取得最大值的最小正整数.(1)求的值;(2)设的三边长、、满意，且边所对的角的取值集合为，当时，求的值域.18.(本小题满分12分)中，设、、分别为角、、的对边，角的平分线交边于， .(1)求证： ;(2)若，，求其三边、、的值.19.(本小题满分12分)工厂生产某种产品，次品率与日产量 (万件)间的关系( 为常数，且 )，已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元(1)将日盈利额 (万元)表示为日产量 (万件)的函数;(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件?(注： )20.(本小题满分13分)已知，当时， .(1)证明 ;(2)若成立，请先求出的值，并利用值的特点求出函数的表达式.21.(本小题满分14分)已知函数 ( 为常数，为自然对数的底)(1)当时，求的单调区间;(2)若函数在上无零点，求的最小值;(3)若对随意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围.数学(理)参考答案答案DADCBDBBCA11. 12. 13. 14. 15.16.若命题为真明显或故有或5分若命题为真，就有或命题或为假命题时， 12分17.(1) ，依题意有即的最小正整数值为25分(2) 又即即 8分10分故函数的值域是 12分18.(1)即5分(2) ① 7分又② 9分由①②解得 10分又在中12分19.(1)当时，， 2分当时，4分日盈利额 (万元)与日产量 (万件)的函数关系式为5分(2)当时，日盈利额为0当时，令得或 (舍去)当时，在上单增最大值 9分当时，在上单增，在上单减最大值 10分综上：当时，日产量为万件日盈利额最大当时，日产量为3万件时日盈利额最大20.(1) 时4分(2)由得到5分又时即将代入上式得又8分又时对均成立为函数为对称轴 10分又12分13分21.(1) 时，由得得故的减区间为增区间为 3分(2)因为在上恒成立不行能故要使在上无零点，只要对随意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分(3)当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当改变时，，的改变状况如下0+↘最小值↗时，，随意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满意下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④ 当时对随意，在上存在两个不同的使成立2019届高三数学上期第三次月考试题就共享到这里了，更多相关信息请接着关注高考数学试题栏目！。
2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考(三)数学(文)试题(教师版)
数学资料库 2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考（三）数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．复数(i 为虚数单位)等于A ．1B ．C ．iD ．2．若集合，则A ． ，B ． ，C ．D ．3．已知向量 ，向量 且 ，则实数x 等于A ．9B ．4C ．0D ． 4．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则()28cosa a +的值为 ABCD 5．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=（a 是实数）的距离为1，则a =A ．1±BCD 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是 ，若角成等差数列，且 ，则的值是A ．B ．C ．D ．7．如图，函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则A ．B ．C ．D ．0 8．把函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ． B ． C ． D ． 9．不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A ． B ． C ． D ． 10．阅读右面的程序框图，则输出的S= A ．14 B ．20 C ．30 D ．55 11．函数 则集合 中元素的个数有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 12．已知定义在R 上的函数 满足 且 时， ，则 A ．1 B ． C ． D．二、填空题此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号数学资料库 13．已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3.14．已知 ＞0， ＞ ，则 的最小值为________．15．已知点 ，又 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为__________．16．若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围是________________．三、解答题17．设数列 的前 项和为 ，且 ．(1)证明数列 是等比数列，并求 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项的和 ．18．如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面， 、 分别是AB 、PD 的中点．(1)求证： 平面PCD ．(2)求三棱锥 的体积．19．为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n 名学生的数学成绩(百分制)作为样本；按成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80)中的人数为20．(1)求a 和n 的值；(2)根据样本估计总体的思想，估计该校高三学生数学成绩的平均数 和中位数m ；(3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50，80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：． 20．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A 、B 两点，若 ． (1)求抛物线的方程； (2)若AB 的中垂线交抛物线于C 、D 两点，求过A 、B 、C 、D 四点的圆的方程．21．已知函数 ． (1)若 是 的极值点，求 的值，并求 的单调区间； (2)在（1）的条件下，当 时，求证： ． 22．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知某圆的极坐标方程为 （I ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （II ）若点 在该圆上，求 的最大值和最小值．23．（本小题满分12分）已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 数学资料库2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考（三）数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】利用复数的四则运算计算可得结果.【详解】，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.2．B【解析】【分析】算出后可计算.【详解】，，故，选B.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.3．A【解析】【分析】算出的坐标利用可得的值.【详解】，又，故，所以，故选A.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.4．A【解析】考点：数列，三角函数．5．B【解析】试题分析：圆心为()3,1，半径为2，由于圆上有3个点到直线的距离等于1，所以圆心到直线的距离等于1，即考点：直线与圆锥曲线位置关系.6．D【解析】【分析】利用余弦定理可得，结合成等差数列可得，从而.【详解】由余弦定理可以得打，又成等差数列，故，所以，，，所以，因，所以为等边三角形，故，选D.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.7．C【解析】略8．C数学资料库【解析】，将其图像向左平移个单位长度后得到函数的图象，则其对称轴为即，所以，则。
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学试题(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖南省雅礼中学2019届高三英语上学期11月月考试题三含解析
雅礼中学2019届高三11月月考试卷(三)英语试题本试题卷共12页。
时量120分钟。
满分150分。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A．￡19．15． B．￡9r 18． C．￡9．15．答案是C。
1．What do you know about the speakers?A．The woman likes scary movies very much．B．The man is going to see a scary movie．C．Neither of them enjoys scary movies．2．When did the dialogue take place?A．At 2：32 p．m B：At 2：23 a．m． C．At 3：22 P．m．3．What do we know about Susan?A．She's the youngest child in her family．B．She's her father's favorite child．C．She's the spoiled child in her family．When will the woman go to meet the man tomorrow morning?．4．A．At 10：00． B．At 10：30． C．At 11：00．5．What does the man mainly do in his spare time at present?A．He learns a language．B．He does some sports．C．He plays the violin．第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
2019届湖南省雅礼中学高三第一次月考数学(理)试题
2019届湖南省雅礼中学高三第一次月考数学（理）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7．考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}22230,||0A x x x B x log x =+-<=<，则（）(A).()0,1AB = (B)()3,1A B =-(C).AUB R = (D).(1,1)AUB =-2.已知13z i =+，则21izz =-（） (A)29- (B)29 (C)29i - (D)29i3.命题“00,30x x R ∃∈≤”的否定是（）(A)不存在00,30xx R ∈> (B)存在00,30xx R ∈≥ (C),30xx R ∀∈≤ (D)以,30xx R ∀∈>4.若正方形ABCD 边长为4，E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于（） (A)132 (B)78 (C)38 (D)185.()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为（）(A)20 (B)8 (C)-20 (D)-286.要得到函数y cosx =的图象，只需将函数()3y sin x π=-的图象（）(A)向右平移56π个单位 (B)向右平移23π个单位 (C)向左平移23π个单位 (D)向左平移56π个单位7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入,n x 的值分别为4，2.则输出v 的值为（）(A)5 (B)12 (C)25 (D)508.在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 已知85,2a c C A ==，则cosC =（） (A)725 (B)725- (C)725± (D)24259.如图是某几何体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该几何体的体积为（）(A)43 (B)83 (C)163 (D)10310.已知函数()23 cos ,f x sin x sin x x x R ωωω=+∈，又()()10,f a f β==，若||a β-的最小值为34π，则正数的值为（） (A)29 (B)13 (C)49 (D)9811.已知正方形ABCD 四个顶点均在双曲线22221x y M a b-=：()0,0a b >>上，M 的焦点在正方形内，则M 的离心率e 的取值范围是（）(A)351,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)()2,+∞(C)()1,2 (D)512,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭12.定义在D 上的函数()f x 若同时满足:①()f x 的图像存在对称中心；②存在，0M >使得对任意的12x x D ∈，，都有()()12||f x f x M -<.则称()f x 为“P 一函数”已知函数121()21x xf x -=+和22()lg(1)f x x x =+-x)，则以下结论一定正确的是（）(A)()1f x 和()2f x 都是P 一函数(B)()1f x 是P 一函数，()2f x 不是P 一函数 (C ()1f x 不是P 一函数，()2f x 是P 一函数 (D)()1f x 和()2f x 都不是P 一函数第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
湖南重点高中2019届高三11月大联考理科数学(解析版)
2018-2019学年湖南省重点高中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|a﹣2＜x＜a+3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣4）＞0}，若A∪B＝R，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（1，3）C．[1，3]D．[3，+∞）2．已知函数f（x）＝是偶函数，则g（﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则S5＝（）A．15B．20C．21D．254．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．5．已知xy满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．4B．5C．6D．76．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．将f（x）的图象向右平移个单位所得函数图象关于y轴对称8．设a＝log23，b＝ln3，c＝（），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．设函数f（x）＝x sin x+cos x﹣，则下列是函数f（x）极小值点的是（）A．﹣B．﹣C．D．10．如图所示几何体是由正四棱锥P﹣A1B1C1D1与长方体ABCD﹣A1B1C1D1组成，AB＝BC＝，AA1＝2，若该几何体存在一个外接球，则异面直线PD1与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知△ABC的外心为O，且||＝4，+2+2＝，则cos A的值为（）A．﹣B．﹣C．D．12．设函数f（x）＝，若关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0（a∈R）有且仅有两个整数解x1，x2，则x1+x2＝（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则sin（θ+）cos（θ+）＝．14．已知函数f（x）＝x cos x，则（x2+f（x））dx＝．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，，若S n＜nλ对任意的n∈N*恒成立，则正整数λ的最小值为．16．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝3，鳖臑A1﹣BCC1外接球的表面积为25π，则阳马A1﹣BCC1B1体积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos C（a cos B+b cos A）+c＝0．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a＝，b＝2，求sin（B﹣C）的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1，数列{b n}满足b1＝1，（1+log2a n）b n+1＝n（b n+2）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．19．（12分）已知函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，求a的取值范围．20．（12分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，E、F分别为SA、SD的中点．（1）当SA＝时，证明：平面BEF⊥平面SAD；（2）若平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，求直线SC与平面BEF所成角的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝，a∈R．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若x＞0时，f（x）＞2，求整数a的最小值22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（2a﹣1）x+ln（x+1）有两个极值点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f（x1）+f（x2）＜2ln2﹣．2018-2019学年湖南省重点高中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|a﹣2＜x＜a+3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣4）＞0}，若A∪B＝R，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（1，3）C．[1，3]D．[3，+∞）【分析】可解出B＝{x|x＜1，或x＞4}，根据A∪B＝R即可得出，解出a的范围即可．【解答】解：B＝{x|x＜1，或x＞4}；∵A∪B＝R；∴；∴1＜a＜3；∴a的取值范围是（1，3）．故选：B．【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集的概念及运算．2．已知函数f（x）＝是偶函数，则g（﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（）与f（﹣）的值，结合函数奇偶性的性质可得f（）＝f（﹣），即﹣1＝g（﹣）﹣1，分析可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（）＝﹣1＝﹣1，f（﹣）＝g（﹣）﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（）＝f（﹣），即﹣1＝g（﹣）﹣1，解可得：g（﹣）＝；故选：A．【点评】本题考查分段函数的奇偶性，涉及函数的求值，属于基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则S5＝（）A．15B．20C．21D．25【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1，a2，a5成等比数列，∴＝a1•a5，∴（1+d）2＝1•（1+4d），解得d＝2．∴S5＝5+＝25．故选：D．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，根据锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S＝（1+2）×1＝，高h＝1，故体积V＝Sh＝，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．5．已知xy满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图形可知A（2，2）当直线y＝﹣2x+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：6．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．【分析】由已知＝1，结合cos（π﹣B）＝可得a cos B，结合余弦定理可求a及cos B，代入△ABC的面积S＝可求．【解答】解：∵AB＝1，AC＝3，＝1，∴cos（π﹣B）＝＝，∴a cos B＝﹣1，由余弦定理可得，a×＝﹣1，∴a2+1﹣9＝﹣2，∴a2＝6即a＝，cos B＝﹣，则△ABC的面积S＝＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了向量数量积的定义及余弦定理，三角形的面积公式的简单应用，解题中要注意向量夹角定义的应用．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．将f（x）的图象向右平移个单位所得函数图象关于y轴对称【分析】由图象经过两点，解方程可得函数f（x）的解析式，由对称轴的特点可判断A；由对称中心解方程可判断B；运用正弦函数的图象解不等式可得解集，可判断C；运用图象平移规律和函数奇偶性的性质，可判断D．【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），可得2sinφ＝1，由|φ|＜）即有φ＝，由2sin（ω+）＝﹣2，0＜ω＜1，即有ω+＝，可得ω＝，则f（x）＝2sin（x+），由f（﹣）＝2sin（﹣+）＝0不为最值，故A错；可令x+＝kπ，可得x＝2kπ﹣，k∈Z，即有对称中心为（2kπ﹣，0），故B错；由f（x）≥1即sin（x+）≥，可得+2kπ≤x+≤2kπ+，即4kπ≤x≤4kπ+，k∈Z，故C对；f（x）的图象向右平移个单位可得y＝2sin（x﹣+），即y＝2sin x，所得函数图象关于原点对称，故D错．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数解析式的求法和对称性、图象平移，考查化简运算能力，属于中档题．8．设a＝log23，b＝ln3，c＝（），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】利用对数的换底公式及单调性比较a，b，c的大小．【解答】解：∵a＝log23＝，b＝ln3＝，且lge＞lg2＞0，∴b＜a＝log23＜log24＝2，而c＝（）＞＝2．∴b＜a＜c．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．9．设函数f（x）＝x sin x+cos x﹣，则下列是函数f（x）极小值点的是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，结合三角函数的性质求出极小值点即可．【解答】解：∵f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x﹣x＝x（cos x﹣），令f′（x）＝0，解得：x＝0或x＝2kπ±，令k＝1，则k＝1时，x＝或，显然x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，函数的极小值点是，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，是一道常规题．10．如图所示几何体是由正四棱锥P﹣A1B1C1D1与长方体ABCD﹣A1B1C1D1组成，AB＝BC＝，AA1＝2，若该几何体存在一个外接球，则异面直线PD1与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由题意知∠PD1A1是异面直线PD1与BC所成的角，长方体的对角线是外接球的直径，由此求出异面直线PD1与BC所成角的余弦值．【解答】解：由题意，BC∥B1C1，B1C1∥A1D1，∴BC∥PD1，∴∠PD1A1是异面中心PD1与BC所成的角；连接BD1，取BD1的中点O，连接OP，如图所示；由题意知该几何体外接球的直径为BD1，半径为OP；连接A1C1，则交OP于点O1，且O1是A1C1的中心；∴BD1＝＝4，∴OP＝2，∴O1P＝1；又O1D1＝××＝，∴PD1＝＝2；取A1D1的中点M，连接PM，则△PMD1是直角三角形，∴cos∠PD1M＝＝＝，即异面直线PD1与BC所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查了异面直线所成角的大小计算问题，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系应用问题，是中档题．11．已知△ABC的外心为O，且||＝4，+2+2＝，则cos A的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】取BC的中点为D，由+2+2＝，得4＝﹣，所以点A，O，D三点共线，又OD⊥BC，∴AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，再算出|AB|，|BC|后用余弦定理算出cos A【解答】解：取BC的中点为D，由+2+2＝，得4＝﹣，所以点A，O，D三点共线，又OD⊥BC，∴AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，∴|AD|＝1，|OD|＝3，∴|BD|＝，∴|AB|＝＝2，∴cos A＝＝﹣，故选：A．【点评】本题考查了平面向量基本定理．属中档题．12．设函数f（x）＝，若关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0（a∈R）有且仅有两个整数解x1，x2，则x1+x2＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】先利用导数求出函数的极小值，再分类讨论，即可求出关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0（a∈R）有且仅有两个整数解x1，x2，问题得以解决．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝，∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴f（x）在x＝2处取得极小值f（2）＝，若a＜0，则a≤f（x）≤0，由图可知，无论a取何值均有无数个整数解，当a＞0时，则0≤f（x）≤a，此时f（x）在x＝2取得最小值，故有一整数根x＝2，∵f（1）＝，f（3）＝＜，∴另一整数根为x＝3，此时≤a＜，∴x1+x2＝5，故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法、函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则sin（θ+）cos（θ+）＝﹣．【分析】利用两个向量垂直的性质求得tanθ的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则•＝2cosθ﹣sinθ＝0，故tanθ＝2．故sin（θ+）cos（θ+）＝sin（2θ+）＝cos2θ＝•＝•＝•＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，二倍角公式的应用，属于基础题．14．已知函数f（x）＝x cos x，则（x2+f（x））dx＝．【分析】根据奇函数的性质和定积分的计算法则计算即可．【解答】解：因为f（x）＝x cos x为奇函数，所以f（x）dx＝0，因为x2dx＝＝[23﹣（﹣2）3]＝，故（x2+f（x））dx＝，故答案为：．【点评】本题考查定积分的计算和奇函数的性质，属于基础题15．已知数列{a n}的前n项和为S n，，若S n＜nλ对任意的n∈N*恒成立，则正整数λ的最小值为2．【分析】先根据裂项求和求出S n，即可得到λ＞1+，问题得以解决【解答】解：a n＝＝＝1+＝1+＝1+﹣，∴S n＝n+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝n+1﹣＝n+，∵S n＜nλ对任意的n∈N*恒成立，∴n+＜nλ对任意的n∈N*恒成立，∴λ＞1+，∵数列为单调递减数列，∴λ＞1+＝，故正整数λ的最小值为2，故答案为：2【点评】本题考查了求和公式，以及数列的函数特征，属于中档题16．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝3，鳖臑A1﹣BCC1外接球的表面积为25π，则阳马A1﹣BCC1B1体积的最大值为4．【分析】利用外接球的表面积求解外接球的半径，推出A1B的长，设出设AC＝x，BC＝y，转化求解阳马A1﹣BCC1B1体积，求解最大值．【解答】解：鳖臑A1﹣BCC1外接球的表面积为25π，可得外接球的半径为r，4πr2＝25π，可得r＝，则A1B＝5，设AC＝x，BC＝y，由题意得x＞0，y＞0，x2+y2+9＝25，x2+y2＝16，∵当阳马A1﹣BCC1B1体积最大，∴V＝×x×3×y＝xy，∵xy≤＝8，当且仅当x＝y＝2时，取等号，V的最大值为：4．故答案为：4．【点评】本题考查阳马A1﹣BCC1B1体积的求法，外接球的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos C（a cos B+b cos A）+c＝0．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a＝，b＝2，求sin（B﹣C）的值．【分析】（1）利用正弦定理转化求解即可．（2）利用余弦定理以及正弦定理，以及两角和与差的三角函数求解即可．【解答】解：（1）由已知及正弦定理得，∴，∴；（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C⇒c2＝2+4+4，∴，由，∴．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1，数列{b n}满足b1＝1，（1+log2a n）b n+1＝n（b n+2）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（1）分n＝1和n≥2两种情况，根据数列的通项公式的定义求得a n＝2n﹣1，然后代入已知条件推知{b n}的通项公式；（2）利用错位相减法求得T n．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，﹣1当n＝1时也适合，故a n＝2n﹣1，所以1+log2a n＝n，故nb n+1＝n（b n+2）．b n﹣b n+1＝2，b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）a n b n＝（2n﹣1）•2n﹣1．T n＝1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，①2T n＝2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，②由①﹣②得：﹣T n＝1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n＝1+2（2n﹣2）﹣（2n﹣1）•2n，T n＝（2n﹣3）•2n+3．【点评】本题考查了数列的求和、“错位相减”法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，求a的取值范围．【分析】（1）利用和与差公式打开，化简，即可求解单调递增区间；（2）根据区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，结合单调性即可求a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．＝（cosπx cos﹣sinπx sin）（cosπx cos+sinπx sin）＝cos2πx sin2πx＝＝cos2πx令2kπ﹣π≤2πx≤2kπ，k∈Z得：k﹣≤x≤k∴f（x）的单调递增区间为[k﹣，k]，k∈Z．∵x∈[，a]上∴2πx∈[，2πa]上f（x）值域为[﹣，﹣]，≤cos2πx．结合余弦函数的性质：π≤2πa．解得：故得a的取值范围是[，]．【点评】本题考查三角函数的图象及性质的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，E、F分别为SA、SD的中点．（1）当SA＝时，证明：平面BEF⊥平面SAD；（2）若平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，求直线SC与平面BEF所成角的正弦值．【分析】（1）连结AC，交BD于点O，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BEF⊥平面SAD．（2）设OS＝h，则S（0，0，h），求出平面BEF的法向量和平面ABCD的法向量，由平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，得h＝，利用向量法能求出直线SC与平面BEF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于点O，建立如图所示空间直角坐标系，∵SA＝，∴OS＝，则S（0，0，），A（，0，0），D（0，﹣，0），B（0，，0），E（，0，），F（0，﹣，），设G是AD的中点，则G（，﹣，0），＝（，﹣，﹣），＝（﹣，﹣，0），＝（﹣），∵＝0，＝0，∴SG⊥EF，SG⊥EB，∵EF∩EB＝E，∴SG⊥平面BEF，∵SG⊂平面SAD，∴平面BEF⊥平面SAD．解：（2）设OS＝h，则S（0，0，h），E（，0，），F（0，﹣，），则＝（﹣，﹣，0），＝（﹣，，﹣），设平面BEF的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣），取平面ABCD的法向量＝（0，0，1），∵平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，∴cos＝＝，解得h＝，∴＝（），∴sin＜，＞＝＝＝．∴直线SC与平面BEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝，a∈R．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若x＞0时，f（x）＞2，求整数a的最小值【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出a＞在（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）f′（x）＝，令y＝x2+ax﹣a，当△≤0即﹣4≤a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，△＞0，x2+ax﹣a＝0的两根为x1＝，x2＝，∵x2＜0＜x1，∴f（x）在（0，x1）递减，在（x1，+∞）递增，当a≤﹣4时，△＞0，0＜x2＜x1，故f（x）在（0，x2），（x1，+∞）递增，在（x2，x1）递减；（2）由已知得a＞在（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，则g′（x）＝，令h（x）＝2﹣e x﹣2x，h′（x）＝﹣e x﹣2＜0，故h（x）＜h（0）＝1，∵h（）＜0，∴h（x）在（0，）上存在零点，设为x0，则＝2﹣2x0，g（x）≤g（x0）＝，x0∈（0，），设m（x）＝，则m′（x）＝＞0，故m（x）在（0，）递增，故m（x）∈（0，），故整数a的最小值是1．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（2a﹣1）x+ln（x+1）有两个极值点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f（x1）+f（x2）＜2ln2﹣．【分析】（1）根据x1，x2是方程2a（x+1）2﹣（x+1）+1＝0的两正实根，得到a的取值范围，（2）求出f（x1）+f（x2）＝﹣﹣2a﹣ln（2a）+1，令2a＝t，0根据函数令2a＝t，，的单调性证明即可．【解答】解：（1）＝；∵函数f（x）＝ax2+（2a﹣1）x+ln（x+1）有两个极值点x1，x2．∴y＝2at2﹣t+1有两个正实根x1+1，x2+1，∴．∴0．（2），由，（（x2+1）＝．f（x1）+f（x2）＝+ln（x1+1）（x2+1）＝a[（2﹣2x1x2]+（2a﹣1）（﹣2）﹣ln（2a）＝﹣﹣2a﹣ln（2a）+1令2a＝t，0，，．∴g（t）单调递增，g（t）＝2ln2﹣．∴f（x1）+f（x2）＜2ln2﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论数思想，是一道综合题．。
湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)
雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP ++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ …()4x t t ππ=-∈Z 10151016min1014420282P P =⨯=。
【100所名校】2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考(三)数学(文)试题(含详细解析)
好教育云平台 名校精编卷 第1页（共6页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共6页） 2019届湖南省长沙市雅礼中学 高三上学期11月月考（三）数学（文）试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．复数√3+i 1−√3i (i 为虚数单位)等于 A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i 2．若集合A ={y |y =x 13,−1≤x ≤1},B ={x |y =√1−x}，则A ∩B = A ．(−∞，1] B ．[−1，1] C ．∅ D ．{1} 3．已知向量a =(1,2)，向量b =(x,−2),且a ⊥(a −b )，则实数x 等于 A ．9 B ．4 C ．0 D ．−4 4．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则()28cos a a +的值为 A ．12- B ．32- C ．12 D ．32 5．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=（a 是实数）的距离为1，则a = A ．1± B ．24± C ．2± D ．32± 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a,b,c ，若角B =π3,a,b,c 成等差数列，且ac =6，则b 的值是 A ．√2 B ．√3 C ．√5 D ．√6 7．如图，函数y =f (x )的图象在点P(5,f (5))处的切线方程是y =−x +8，则f (5)+f ′(5)=A ．12B ．1C ．2D ．0 8．把函数y =cosx −√3sinx 的图象向左平移m(m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 9．不等式组{x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4 所表示的平面区域的面积等于 A ．32 B ．23 C ．43 D ．34 10．阅读右面的程序框图，则输出的S= A ．14 B ．20 C ．30 D ．55 11．函数f (x )={x 2,x ≤0,4sinx,0<x ≤π, 则集合{x |f(f (x ))=0}中元素的个数有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 12．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (−x )=−f (x ),f (x −2)= f (x +2), 且x ∈(−1,0)时，f (x )=2x +15，则f (2018)+f (log 220)= A ．1 B ．45 C ．−1 D ．−45 二、填空题 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号好教育云平台 名校精编卷 第3页（共6页）好教育云平台 名校精编卷 第4页（共6页） 13．已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3.14．已知2x +8y =1(x ＞0，y ＞0)，则x +y 的最小值为________．15．已知点A(1,4)，又F 是双曲线x 24−y 212=1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为__________．16．若关于 x 的不等式 (2x −1)2<ax 2 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是________________．三、解答题17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1,S n =a n+1−1(n ∈N ∗)．(1)证明数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)若b n =a n +(−1)n log 2a n ，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．18．如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，AD =PA =2,CD =2√2,E 、F 分别是AB 、PD 的中点．(1)求证：AF ⊥平面PCD ．(2)求三棱锥P −EFC 的体积．19．为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n 名学生的数学成绩(百分制)作为样本；按成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80)中的人数为20．(1)求a 和n 的值；(2)根据样本估计总体的思想，估计该校高三学生数学成绩的平均数x 和中位数m ； (3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50，80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：K 2=n (ad−bc)2a+b c+d a+c b+d ,n =a +b +c +d ． 20．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A 、B 两点，若|AB |=16． (1)求抛物线的方程； (2)若AB 的中垂线交抛物线于C 、D 两点，求过A 、B 、C 、D 四点的圆的方程． 21．已知函数f (x )=alnx +1x ． (1)若x =12是f (x )的极值点，求a 的值，并求f (x )的单调区间； (2)在（1）的条件下，当0<m <n 时，求证：f (m +n )−f (2n )<2m−2n−12n +1m+n .． 22．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知某圆的极坐标方程为 （I ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（II）若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值．23．（本小题满分12分）已知函数f(x)=|x−a|.（1）若不等式f(x)≤3的解集为{x|−1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数恒成立，求实数的取值范围.好教育云平台名校精编卷第5页（共6页）好教育云平台名校精编卷第6页（共6页）2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考（三）数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】利用复数的四则运算计算可得结果.【详解】√3+i 1−√3i =√3+i)(1+√3i)(1−√3i)(1+√3i)=4i4=i，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.2．B【解析】【分析】算出A,B后可计算A∩B.【详解】A={y|−1≤y≤1}，B={x|x≤1}，故A∩B=[−1,1]，选B.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如{x|y=f(x),x∈D}表示函数的定义域，而{y|y=f(x),x∈D}表示函数的值域，{(x,y)|y=f(x),x∈D}表示函数的图像.3．A【解析】【分析】算出a⃑−b⃑⃑的坐标利用a⃑·(a⃑−b⃑⃑)=0可得x的值.【详解】a⃑−b⃑⃑=(1−x,4)，又a⃑·(a⃑−b⃑⃑)=0，故1−x+2×4=0，所以x=9，故选A.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用|a⃑|=√a⃑·a⃑；（2）计算角，cos⟨a⃑,b⃑⃑⟩=a⃑⃑·b⃑⃑|a⃑⃑||b⃑⃑|.特别地，两个非零向量a⃑,b⃑⃑垂直的充要条件是a⃑·b⃑⃑=0.4．A【解析】试题分析：159553,3a a a a aππ++===，()()28521cos cos2cos32a a aπ+===-.考点：数列，三角函数．5．B【解析】试题分析：圆心为()3,1，半径为2，由于圆上有3个点到直线的距离等于1，所以圆心到直线的距离等于1，即1,4d a===±.考点：直线与圆锥曲线位置关系.6．D【解析】【分析】利用余弦定理可得b2=a2+c2−ac，结合a,b,c成等差数列可得a=b=c，从而a=c=√6.【详解】由余弦定理可以得打b2=a2+c2−ac，又a,b,c成等差数列，故2b=a+c，所以(a+c2)2=a2+c2−ac，(a+c)2=4a2+4c2−4ac，a2+c2−2ac=0，所以a=c=√6，因B=π3，所以ΔABC为等边三角形，故b=√6，选D.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.7．C【解析】略8．C好教育云平台名校精编卷答案第1页（共12页）好教育云平台名校精编卷答案第2页（共12页）【解析】y=cosx−√3sinx=2cos(x+π3)，将其图像向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=2cos(x+π3+m)的图象，则其对称轴为x+π3+m=kπ(k∈Z)即x=−π3−m+kπ(k∈Z)，所以−π3−m+kπ(k∈Z)=0，则m=−π3+kπ(k∈Z)。
湖南省长沙市雅礼中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
增，所以1
h(x)
Hale Waihona Puke e2．当k
1
时，
g
'( x)
0
，
g(x)
在 [0,
]上递增，
g(x)
g (0)
0
，符合题意；当
2
k
e2
时，
g
'( x)
0
，
g(x)
在 [0,
] 上递减，
g(x)
g (0)
0
，与题意不合；当1
k
e2
时，
g ( x)
为一
2
个递增函数，而
g
'(0)
1
k
0
，
g
'( )
2
e2
k
0
，由零点存在性定理，必存在一个零点
2． 【答案】D 【解析】
考 点：函数导数与不等式．1
【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令 f x 0 将函数变为两个函 数 g x ex 2x 1 , h x ax a ，将题意中的“存在唯一整数，使得 g t 在直线 h x 的下方”，转化为 存在唯一的整数，使得 g t 在直线 h x ax a 的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得 m 的取值
湖南省长沙市雅礼中学 2018-2019 学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案（参考答案） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.）
1． 【答案】C
【解析】由已知等式，得 c 3b cos C 3c cos B ，由正弦定理，得 sin C 3(sin B cos C sin C cos B) ，则 sin C 3sin(B C) 3sin A ，所以 sin C : sin A 3 :1 ，故选 C．
湖南省雅礼中学2019届高三上学期11月份月考(三)数学文试题含答案.doc
1
A.
2
3
B．
2
1
C.
2
3
D．
2
5．若圆 x2 y2 6x 2y 6 0 上有且仅有三个点到直线 ax y 1 0 (a 是实数 )的距离为
1，则 a 等于
A. 1
2
B.
4
C. 2
3
D．
2
6．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边长分别是 a, b, c ，若角 B , a,b, c 成等差数列，且 3
ac 6，则 b 的值是
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
7 ．如图，函数 y f x 的图象在点 P 5, f 5 处的切线方程是
y x 8，则 f 5 f 5
1
A.
B. 1
C. 2
D.0
2
-1-
3i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．复数
(i 为虚数单位 )等于
1 3i
A.1
B． 1
2．若集合 A y y
1
x3, 1
C． i x 1 ,B
D． i
x x 1 x ，则 A B
A.
，1
B. 1，1
C.
D. 1
3．已知向量 a 1,2 ，向量 b x, 2 , 且a a b ，则实数 x 等于
A.9
B.4
C.0
D. 4
4．已知 an 为等差数列，若 a1 a5 a9 ，则 cos a2 a8 的值为
雅礼中学 2019 届高三月考试卷 (三 )
数 学( 文科 )
本试卷分第 I 卷(选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。
湖南省雅礼中学2019届高三上学期11月份月考(三)物理试卷(含答案)
雅礼中学2019届高三11月月考试卷(三)物 理(考试范围：必修1、必修2、选修3—l 、电磁感应)本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页．时量90分钟，满分110分.一、选择题(本题包含12小题，每小题4分，共48分，其中1～8小题只有一个选项正确，9～12小题有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不选得0分，将选项填在答题卷上)1．设想把物体放到地球的中心，则此物体与地球间的万有引力是A ．零B ．无穷大C ．与放在地球表面相同D ．无法确定2．如图为一质点运动的x-t 图象，下列关于该质点运动情况的判断，正确的是A ．前2s 内质点始终向着正方向运动B ．在t=2s 时质点的运动方向发生改变C ．在t=1s 时质点的速度为零D ．在一个运动周期内物体的运动方向改变4次3．已知通电长直导线周围某点的磁感应强度kI B r，即磁感应强度B 与导线中的电流I 成正比，与该点到导线的距离r 成反比．如图所示。
两根平行直导线通以大小相等、方向相反的电流，则两根导线附近的区域内磁感应强度为零的点应该A ．在两根导线中间B ．在I 1左侧C ．在I 2右侧D ．不存在4．铁路上使用一种电磁装置向控制中心传输信号以确定火车的位置．能产生匀强磁场的磁铁被安装在火车首节车厢下面，如图所示(俯视图)．当它经过安放在两铁轨间的线圈时，便会产生一个电信号，通过和线圈相连的电压传感器被控制中心接收，从而确定火车的位置．现一列火车以加速度a 驶来，则电压信号关于时间的图象为5．某研究性学习小组设计了如图所示的装置用来在月球上“称量”物体的质量．一轻质弹簧左端固定在竖直墙壁上，质量为低的凹槽紧靠弹簧右端(不连接)将其压缩在O 位置，释放后凹槽左端恰能运动到A 点．在凹槽放入被测物体，再将弹簧压缩到O 位置，释放后凹槽离开弹簧，左端恰能运动到B 点，测得OA 、OB 长分别为x 1和x 2．则被测物体的质量为A ．1202x x m x -B ．1202x x m x +C ．102x m xD ．201x m x 6．如图所示的电路中，两个完全相同的灯泡都正常发光，现发现B 灯比原来更亮了，则电路可能的故障为A ．R 1短路B ．R 2断路C ．R 3断路D ．灯A 断路7．竖直细杆上套有一个质量为1kg 的小圆环，圆环左侧系有一劲度系数k=500N ／m 的轻弹簧，已知弹簧与竖直方向的夹角为00053,sin 530.8,cos530.6θ===，环与细杆间的动摩擦因数为0.75μ=，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧一直处于弹性限度内．以下说法正确的是(g 取10m ／s 2)；A ．当弹簧的伸长量 2.5x =时，圆环与细杆间的摩擦力为零B ．当弹簧的伸长量0.5x =时，圆环与细杆间的摩擦力为1.5NC ．当弹簧的伸长量 4.0x =时，圆环与细杆间的摩擦力为12ND ．当弹簧的伸长量 2.0x =时，圆环与细杆间的摩擦力为2N8．如图所示，BD 是竖直平面内圆的一条竖直直径，AC 是该圆的另一条直径，该圆处于匀强电场中，场强方向平行于圆．带等量负电荷的相同小球从O 点以相同的动能沿不同方向射出，小球会经过圆周上不同的点．小球在经过这些点时，过A 点的小球的动能最小．忽略空气阻力，则下列说法中正确的是A ．可以断定电场方向由O 点指向圆弧AMB 上的某一点B ．小球经过圆周上的不同点时，过B 点的小球的动能和电势能之和最小C ．小球经过圆周上的不同点时，过C 点的小球的电势能和重力势能之和最大D ．小球经过圆周时，机械能最小的小球应经过圆弧CND 上的某一点9．如图所示，空间中存在着方向未知的匀强电场E ，倾角为θ的斜面顶端有不带电的小球A 和带负电的小球B 同时开始运动．其中小球A 以初速度v 0沿水平方向抛出，小球B沿斜面静止释放，经过一段时间，两小球恰好在斜面上相遇，则电场强度的方向可能为A ．水平向左B ．水平向右C ．竖直向上D ．竖直向下10．如图所示，竖直放置的两平行金属板，长为l ，板间距离为d ，接在电压为U 的直流电源上．在两板间还有与电场方向垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里．一个质量为m 、电量为+q 的油滴，从距金属板上端h 高处由静止开始自由下落，并经两板上端的中央P 点进入板间．设油滴在P 点所受的电场力与洛伦兹力恰好大小相等，且最后恰好从金属板的下边缘离开．空气阻力不计，重力加速度为g ，下列说法正确的是A ．油滴刚进入两板间时的加速度大小为gB ．油滴开始下落的高度2222U h B d g= C ．油滴从左侧金属板的下边缘离开D ．电场力对油滴做正功11．如图所示，光滑圆弧槽面末端切线水平，并静置一质量为m 2的小球Q ，另一质量为m 1的小球P 从槽面上某点由静止释放，沿槽面滑至槽口处与Q 球正碰，设碰撞过程中无机械能损失，已知两球落地点到O 点水平距离之比为1：2，则P 、Q 两球的质量之比可能是A ．1：2B ．2：1C ．1：5D ．3：512．如图所示；以O 为圆心、MN 为直径的圆的上半部分内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个重力不计、质量相同、电荷量相同的带正电粒子a 、b 、c 以相同的速率分别沿AO 、BO 和CO 方向垂直于磁场射入磁场区域，已知BO 垂直MN ，AO 、CO 和BO 的夹角都为30°，a 、b 、c 三个粒子从射入磁场到射出磁场所用时间分别为ta 、tb 、tc ，则下列给出的时间关系可能正确的是A ．t a <t b <t cB ．t a =t b <t cC ．t a <t b =t cD ．t a =t b =t c二、实验题(本题共2小题，共15分)13．(6分)某实验中学的物理兴趣实验小组利用如图甲所示的实验装置验证系统的机械能守恒定律．将一气垫导轨倾斜地固定在水平桌面上，导轨的倾角为θ，在气垫导轨的左端固定一光滑的定滑轮，在靠近滑轮的B 处固定一光电门，将质量为m 的小球通过一质量不计的细线与一带有遮光板的总质量为M 的滑块相连接．现将带有遮光板的滑块由气垫导轨的A 处由静止释放，通过计算机测出遮光板的挡光时间为t ，用游标卡尺测出遮光板的宽度为b ，用刻度尺测出A 、B 之间的距离为d ．假设滑块在B 处的瞬时速度等于挡光时间t 内的平均速度．由以上的叙述回答下列问题：(1)若游标卡尺的读数如图乙所示，则遮光板的宽度为______mm ；(2)滑块到达光电门B 处的瞬时速度v B 为__________；(用字母表示)(3)如果该小组的同学测得气垫导轨的倾角030θ=，在滑块由A 点运动到B 点的过程中，系统动能增加量k E ∆为______，系统重力势能减少量p E ∆为______，若在误差允许的范围内k p E E ∆=∆，则滑块与小球组成的系统机械能守恒．重力加速度用g 表示．(以上结果均用字母表示)14．(9分)某同学想测量一节旧干电池的电动势和内阻，身边的器材仅有“一个多用电表、一个滑动变阻器R1(可调范围0到20Ω)、一个约为几欧的定值电阻R 2、一个开关S 、导线若干”．小明利用上述器材设计了实验原理图(如图1所示)，实验步骤如下：①根据原理图，连接实验器材，且S 断开；②多用电表选择电阻“×1”挡，先_______，后将两表笔接在R 2的两端，记录下示数(如图3所示)；由图可知R 2测量值为______Ω．③S 闭合，多用电表选择“直流电压1V ”挡，红表笔接_____(填“a ”或“b ”)端，黑表笔接______(填“a ”或“b ”)端，记录下ba U 示数，然后再用同样的方法记录下ab U 示数；④改变滑动变阻器滑片位置，重复步骤③，至少记录六组数据；⑤然后以c 、b 电压为横轴，b 、a 两端电压为纵轴，描点并连线，画出“ba ab U U -”关系图(如图2所示)．由图象可得旧干电池的电动势为____V ，内阻为____Ω (结果保留两位有效数字)三、计算题(本题共4小题，共47分)15．(9分)一束硼离子以不同的初速度，沿水平方向经过速度选择器，从O 点进入方向垂直纸面向外的匀强偏转磁场区域，分两束垂直打在O 点正下方的硼离子探测板上P 1和P 2点，测得OP 1：OP 2=2：3，如图甲所示，速度选择器中匀强电场的电场强度为E ，匀强磁场的磁感应强度为B 1，偏转磁场的磁感应强度为B 2．若撤去探测板，在O 点右侧的磁场区域中放置云雾室，硼离子运动轨迹如图乙所示．设硼离子在云雾室中运动时受到的阻力f F kq =，式中k 为常数，q 为硼离子的电荷量．不计硼离子重力．忽略硼离子电子的质量．求：(1)硼离子从O 点射出时的速度大小；(2)两束硼离子的电荷量之比；(3)两种硼离子在云雾室里运动的路程之比．16．(10分)法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验研究.实验装置的示意图如右，两块面积为S 的矩形金属板，平行、正对、竖直地全部浸在河水中，间距为d ．水流速度处处相同，大小为v ，方向水平．金属板与水流方向平行．地磁场磁感应强度的竖直分量为B ，水的电阻率为ρ，水面上方有一阻值为R 的电阻通过绝缘导线和开关S 连接到两金属板上，忽略边缘效应，求：(1)该发电装置的电动势；(2)通过电阻R 的电流强度；(3)电阻R 消耗的电功率．17．(12分)如图所示，可视为质点的小物块位于木板的最右端：“某时刻起将它们一同轻轻放置在足够长的传送带上．传送带运行速度v=8m ／s ，已知m=1kg ，M=2kg ，木板长L=1.5m ，物块与木板间动摩擦因数1μ=0．3，木板与传送带之间的动摩擦因数2μ=0.5，重力加速度g=10m/s 2，求：(1)物块与木板刚刚放上传送带时的加速度a 1和a 2；(2)从物块与木板刚刚放上传送带到它们分离的瞬间，整个系统产生的热量Q.18.(16分)如图所示，在O ≤x ≤2m 的区域内存在着沿y 轴方向的匀强电场E ，E 在y 轴方向区域足够大．有一个比荷为47.510/q C Kgm=⨯带正电粒子(粒子重力不计)从O 点出发，以40810/v m s =⨯的初速度字沿x 轴正方向射入电场，经过点A(2，-0.75)离开电场．在第四象限垂直于x 轴的边界MN 右侧的区域有磁感应强度为B 的匀强磁场，M 点的坐标为(4.2，0)．粒子进入磁场后，又穿过边界MN 离开磁场．求：(1)电场强度E 的大小；(2)满足条件的磁感应强度B 的最小值；(3)若磁感应强度保持(2)中的最小值，将磁场区域改成圆形，为了使粒子能垂直击中x 轴上点G 19,03⎛⎫⎪⎝⎭，求磁场区域的最小面积．。
湖南省雅礼中学2019届高三上学期11月份月考(三)化学试卷(带答案)
雅礼中学2019届高三11月月考试卷(三)化学考生须知：1．本试卷共20小题，满分为100分。
考试时量90分钟。
2．请将第I卷的选择题答案用2B铅笔填写在机读答题卡上，将第Ⅱ卷的答案填写在答卷上。
本卷答案必须做在答题卡或答卷的相应位置上，做在试卷上无效。
3．本卷可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 N—14 O—16 Na—23 S—32第I卷选择题(共48分)一、选择题(本题共16小题，每小题只有一个正确答案，每小题3分，共48分)1．下列关于元素周期表的说法正确的是A．每一周期的元素都从碱金属开始，最后以稀有气体结束B．第二、三周期上下相邻的元素的原子核外电子数相差8个C．只有第2列元素的原子最外层有2个电子D．元素周期表共有十六个纵行，也就是十六个族2．下列说法不正确的是A．钠离子的电子式：Na+B．蔗糖的分子式：C12H22O11C．氯离子的结构示意图：D．水分子的比例模型：3．X元素最高价氧化物对应的水化物为H3XO4，则它对应的气态氢化物为A．HX B．H2XC．XH3D．XH44．已知33As、35Br位于同一周期。
下列关系正确的是A．还原性：．As3->S2->Cl-B．热稳定性：HC1>AsH3>HBrC．原子半径：As>C1＞PD．酸性：H3AsO4>H2SO4>H3PO45．下列说法不正确的有①质子数相同的微粒一定属于同一种元素②同一元素的核素种数由中子数决定③Cl2中35Cl与37C1两种核素的个数之比与HC1中35Cl与37Cl的个数之比相等④18g H2O中含有的中子数为10N A⑤标准状况下，等体积CH4和HF所含的分子数相同⑥只有活泼金属元素与活泼非金属元素之间才能形成离子键⑦等物质的量的CN-和N2含有的共用电子对数相等⑧通过化学变化可以实现16O与18O之间的相互转化A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 6．下列说法不正确的是A ．SiO 2硬度大的原因与Si 、O 原子之间的成键方式及排列方式有关B ．乙醇沸点高于二甲醚的原因与分子间作用力大小有关C ．冰醋酸加水稀释时c(H +)减小D ．MgO 熔点高达2800℃是因为其中的离子键较难被破坏．7．元素X 、Y 、Z 均位于短周期，它们的最高及最低化合价如下表所示，下列判断一定正确的是A ．原子序数：X>Y>Z ．B ．Z 的氢化物的沸点在同族中最高C ．X 的含氧酸的酸性最强D ．Y 的一种同素异形体具有漂白能力8．根据元素周期表和元素周期律，判断下列叙述不正确的是A ．如上图所示实验可证明元素的非金属性：C1>C>SiB ．已知Ra 是第七周期ⅡA 族的元素，故Ra(OH)2的碱性比Me(OH)2的碱性强C ．由SiC 中元素的化合价可知C 的非金属性强于SiD ．用中文“”(ào)命名的第118号元素在周期表中位于第七周期0族9．在一个恒温、恒容密闭容器中，有两个可左右自由滑动的密封隔板(a 、b)，将容器分成三部分，已知充入的三种气体质量相等，当隔板静止时，容器内气体所占体积如图所示。
湖南重点高中2019届高三11月大联考理科数学(精编含解析)
2018-2019学年湖南省重点高中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|a﹣2＜x＜a+3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣4）＞0}，若A∪B＝R，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（1，3）C．[1，3]D．[3，+∞）2．已知函数f（x）＝是偶函数，则g（﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则S5＝（）A．15B．20C．21D．254．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．5．已知xy满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．4B．5C．6D．76．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．将f（x）的图象向右平移个单位所得函数图象关于y轴对称8．设a＝log23，b＝ln3，c＝（），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．设函数f（x）＝x sin x+cos x﹣，则下列是函数f（x）极小值点的是（）A．﹣B．﹣C．D．10．如图所示几何体是由正四棱锥P﹣A1B1C1D1与长方体ABCD﹣A1B1C1D1组成，AB＝BC＝，AA1＝2，若该几何体存在一个外接球，则异面直线PD1与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知△ABC的外心为O，且||＝4，+2+2＝，则cos A的值为（）A．﹣B．﹣C．D．12．设函数f（x）＝，若关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0（a∈R）有且仅有两个整数解x1，x2，则x1+x2＝（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则sin（θ+）cos（θ+）＝．14．已知函数f（x）＝x cos x，则（x2+f（x））dx＝．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，，若S n＜nλ对任意的n∈N*恒成立，则正整数λ的最小值为．16．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝3，鳖臑A1﹣BCC1外接球的表面积为25π，则阳马A1﹣BCC1B1体积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos C（a cos B+b cos A）+c＝0．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a＝，b＝2，求sin（B﹣C）的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1，数列{b n}满足b1＝1，（1+log2a n）b n+1＝n（b n+2）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．19．（12分）已知函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，求a的取值范围．20．（12分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，E、F分别为SA、SD的中点．（1）当SA＝时，证明：平面BEF⊥平面SAD；（2）若平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，求直线SC与平面BEF所成角的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝，a∈R．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若x＞0时，f（x）＞2，求整数a的最小值22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（2a﹣1）x+ln（x+1）有两个极值点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f（x1）+f（x2）＜2ln2﹣．2018-2019学年湖南省重点高中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|a﹣2＜x＜a+3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣4）＞0}，若A∪B＝R，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（1，3）C．[1，3]D．[3，+∞）【分析】可解出B＝{x|x＜1，或x＞4}，根据A∪B＝R即可得出，解出a的范围即可．【解答】解：B＝{x|x＜1，或x＞4}；∵A∪B＝R；∴；∴1＜a＜3；∴a的取值范围是（1，3）．故选：B．【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集的概念及运算．2．已知函数f（x）＝是偶函数，则g（﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（）与f（﹣）的值，结合函数奇偶性的性质可得f（）＝f（﹣），即﹣1＝g（﹣）﹣1，分析可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（）＝﹣1＝﹣1，f（﹣）＝g（﹣）﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（）＝f（﹣），即﹣1＝g（﹣）﹣1，解可得：g（﹣）＝；故选：A．【点评】本题考查分段函数的奇偶性，涉及函数的求值，属于基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则S5＝（）A．15B．20C．21D．25【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1，a2，a5成等比数列，∴＝a1•a5，∴（1+d）2＝1•（1+4d），解得d＝2．∴S5＝5+＝25．故选：D．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，根据锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S＝（1+2）×1＝，高h＝1，故体积V＝Sh＝，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．5．已知xy满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图形可知A（2，2）当直线y＝﹣2x+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：6．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．【分析】由已知＝1，结合cos（π﹣B）＝可得a cos B，结合余弦定理可求a及cos B，代入△ABC的面积S＝可求．【解答】解：∵AB＝1，AC＝3，＝1，∴cos（π﹣B）＝＝，∴a cos B＝﹣1，由余弦定理可得，a×＝﹣1，∴a2+1﹣9＝﹣2，∴a2＝6即a＝，cos B＝﹣，则△ABC的面积S＝＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了向量数量积的定义及余弦定理，三角形的面积公式的简单应用，解题中要注意向量夹角定义的应用．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．将f（x）的图象向右平移个单位所得函数图象关于y轴对称【分析】由图象经过两点，解方程可得函数f（x）的解析式，由对称轴的特点可判断A；由对称中心解方程可判断B；运用正弦函数的图象解不等式可得解集，可判断C；运用图象平移规律和函数奇偶性的性质，可判断D．【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），可得2sinφ＝1，由|φ|＜）即有φ＝，由2sin（ω+）＝﹣2，0＜ω＜1，即有ω+＝，可得ω＝，则f（x）＝2sin（x+），由f（﹣）＝2sin（﹣+）＝0不为最值，故A错；可令x+＝kπ，可得x＝2kπ﹣，k∈Z，即有对称中心为（2kπ﹣，0），故B错；由f（x）≥1即sin（x+）≥，可得+2kπ≤x+≤2kπ+，即4kπ≤x≤4kπ+，k∈Z，故C对；f（x）的图象向右平移个单位可得y＝2sin（x﹣+），即y＝2sin x，所得函数图象关于原点对称，故D错．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数解析式的求法和对称性、图象平移，考查化简运算能力，属于中档题．8．设a＝log23，b＝ln3，c＝（），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】利用对数的换底公式及单调性比较a，b，c的大小．【解答】解：∵a＝log23＝，b＝ln3＝，且lge＞lg2＞0，∴b＜a＝log23＜log24＝2，而c＝（）＞＝2．∴b＜a＜c．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．9．设函数f（x）＝x sin x+cos x﹣，则下列是函数f（x）极小值点的是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，结合三角函数的性质求出极小值点即可．【解答】解：∵f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x﹣x＝x（cos x﹣），令f′（x）＝0，解得：x＝0或x＝2kπ±，令k＝1，则k＝1时，x＝或，显然x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，函数的极小值点是，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，是一道常规题．10．如图所示几何体是由正四棱锥P﹣A1B1C1D1与长方体ABCD﹣A1B1C1D1组成，AB＝BC＝，AA1＝2，若该几何体存在一个外接球，则异面直线PD1与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由题意知∠PD1A1是异面直线PD1与BC所成的角，长方体的对角线是外接球的直径，由此求出异面直线PD1与BC所成角的余弦值．【解答】解：由题意，BC∥B1C1，B1C1∥A1D1，∴BC∥PD1，∴∠PD1A1是异面中心PD1与BC所成的角；连接BD1，取BD1的中点O，连接OP，如图所示；由题意知该几何体外接球的直径为BD1，半径为OP；连接A1C1，则交OP于点O1，且O1是A1C1的中心；∴BD1＝＝4，∴OP＝2，∴O1P＝1；又O1D1＝××＝，∴PD1＝＝2；取A1D1的中点M，连接PM，则△PMD1是直角三角形，∴cos∠PD1M＝＝＝，即异面直线PD1与BC所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查了异面直线所成角的大小计算问题，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系应用问题，是中档题．11．已知△ABC的外心为O，且||＝4，+2+2＝，则cos A的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】取BC的中点为D，由+2+2＝，得4＝﹣，所以点A，O，D三点共线，又OD⊥BC，∴AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，再算出|AB|，|BC|后用余弦定理算出cos A【解答】解：取BC的中点为D，由+2+2＝，得4＝﹣，所以点A，O，D三点共线，又OD ⊥BC，∴AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，∴|AD|＝1，|OD|＝3，∴|BD|＝，∴|AB|＝＝2，∴cos A＝＝﹣，故选：A．【点评】本题考查了平面向量基本定理．属中档题．12．设函数f（x）＝，若关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0（a∈R）有且仅有两个整数解x1，x2，则x1+x2＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】先利用导数求出函数的极小值，再分类讨论，即可求出关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0（a∈R）有且仅有两个整数解x1，x2，问题得以解决．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝，∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴f（x）在x＝2处取得极小值f（2）＝，若a＜0，则a≤f（x）≤0，由图可知，无论a取何值均有无数个整数解，当a＞0时，则0≤f（x）≤a，此时f（x）在x＝2取得最小值，故有一整数根x＝2，∵f（1）＝，f（3）＝＜，∴另一整数根为x＝3，此时≤a＜，∴x1+x2＝5，故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法、函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则sin（θ+）cos（θ+）＝﹣．【分析】利用两个向量垂直的性质求得tanθ的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则•＝2cosθ﹣sinθ＝0，故tanθ＝2．故sin（θ+）cos（θ+）＝sin（2θ+）＝cos2θ＝•＝•＝•＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，二倍角公式的应用，属于基础题．14．已知函数f（x）＝x cos x，则（x2+f（x））dx＝．【分析】根据奇函数的性质和定积分的计算法则计算即可．【解答】解：因为f（x）＝x cos x为奇函数，所以f（x）dx＝0，因为x2dx＝＝[23﹣（﹣2）3]＝，故（x2+f（x））dx＝，故答案为：．【点评】本题考查定积分的计算和奇函数的性质，属于基础题15．已知数列{a n}的前n项和为S n，，若S n＜nλ对任意的n∈N*恒成立，则正整数λ的最小值为2．【分析】先根据裂项求和求出S n，即可得到λ＞1+，问题得以解决【解答】解：a n＝＝＝1+＝1+＝1+﹣，∴S n＝n+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝n+1﹣＝n+，∵S n＜nλ对任意的n∈N*恒成立，∴n+＜nλ对任意的n∈N*恒成立，∴λ＞1+，∵数列为单调递减数列，∴λ＞1+＝，故正整数λ的最小值为2，故答案为：2【点评】本题考查了求和公式，以及数列的函数特征，属于中档题16．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝3，鳖臑A1﹣BCC1外接球的表面积为25π，则阳马A1﹣BCC1B1体积的最大值为4．【分析】利用外接球的表面积求解外接球的半径，推出A1B的长，设出设AC＝x，BC＝y，转化求解阳马A1﹣BCC1B1体积，求解最大值．【解答】解：鳖臑A1﹣BCC1外接球的表面积为25π，可得外接球的半径为r，4πr2＝25π，可得r＝，则A1B＝5，设AC＝x，BC＝y，由题意得x＞0，y＞0，x2+y2+9＝25，x2+y2＝16，∵当阳马A1﹣BCC1B1体积最大，∴V＝×x×3×y＝xy，∵xy≤＝8，当且仅当x＝y＝2时，取等号，V的最大值为：4．故答案为：4．【点评】本题考查阳马A1﹣BCC1B1体积的求法，外接球的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos C（a cos B+b cos A）+c＝0．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a＝，b＝2，求sin（B﹣C）的值．【分析】（1）利用正弦定理转化求解即可．（2）利用余弦定理以及正弦定理，以及两角和与差的三角函数求解即可．【解答】解：（1）由已知及正弦定理得，∴，∴；（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C⇒c2＝2+4+4，∴，由，∴．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1，数列{b n}满足b1＝1，（1+log2a n）b n+1＝n（b n+2）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（1）分n＝1和n≥2两种情况，根据数列的通项公式的定义求得a n＝2n﹣1，然后代入已知条件推知{b n}的通项公式；（2）利用错位相减法求得T n．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝1．＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1当n＝1时也适合，故a n＝2n﹣1，所以1+log2a n＝n，故nb n+1＝n（b n+2）．b n﹣b n+1＝2，b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）a n b n＝（2n﹣1）•2n﹣1．T n＝1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，①2T n＝2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，②由①﹣②得：﹣T n＝1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n＝1+2（2n﹣2）﹣（2n﹣1）•2n，T n＝（2n﹣3）•2n+3．【点评】本题考查了数列的求和、“错位相减”法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，求a的取值范围．【分析】（1）利用和与差公式打开，化简，即可求解单调递增区间；（2）根据区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，结合单调性即可求a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．＝（cosπx cos﹣sinπx sin）（cosπx cos+sinπx sin）＝cos2πx sin2πx＝＝cos2πx令2kπ﹣π≤2πx≤2kπ，k∈Z得：k﹣≤x≤k∴f（x）的单调递增区间为[k﹣，k]，k∈Z．∵x∈[，a]上∴2πx∈[，2πa]上f（x）值域为[﹣，﹣]，≤cos2πx．结合余弦函数的性质：π≤2πa．解得：故得a的取值范围是[，]．【点评】本题考查三角函数的图象及性质的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，E、F分别为SA、SD的中点．（1）当SA＝时，证明：平面BEF⊥平面SAD；（2）若平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，求直线SC与平面BEF所成角的正弦值．【分析】（1）连结AC，交BD于点O，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BEF⊥平面SAD．（2）设OS＝h，则S（0，0，h），求出平面BEF的法向量和平面ABCD的法向量，由平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，得h＝，利用向量法能求出直线SC与平面BEF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于点O，建立如图所示空间直角坐标系，∵SA＝，∴OS＝，则S（0，0，），A（，0，0），D（0，﹣，0），B（0，，0），E（，0，），F（0，﹣，），设G是AD的中点，则G（，﹣，0），＝（，﹣，﹣），＝（﹣，﹣，0），＝（﹣），∵＝0，＝0，∴SG ⊥EF ，SG ⊥EB ，∵EF ∩EB ＝E ，∴SG ⊥平面BEF ， ∵SG ⊂平面SAD ，∴平面BEF ⊥平面SAD ．解：（2）设OS ＝h ，则S （0，0，h ），E （，0，），F （0，﹣，），则＝（﹣，﹣，0），＝（﹣，，﹣），设平面BEF 的法向量为＝（x ，y ，z ），则，取x ＝1，得＝（1，﹣1，﹣），取平面ABCD 的法向量＝（0，0，1），∵平面BEF 与底面ABCD 所成锐二面角为，∴cos ＝＝，解得h ＝，∴＝（），∴sin ＜，＞＝＝＝．∴直线SC 与平面BEF 所成角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f （x ）＝，a ∈R ．（1）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性； （2）若x ＞0时，f （x ）＞2，求整数a 的最小值【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出a ＞在（0，+∞）恒成立，令g （x ）＝，根据函数的单调性求出a 的最小值即可．【解答】解：（1）f ′（x ）＝，令y ＝x 2+ax ﹣a ，当△≤0即﹣4≤a ≤0时，f ′（x ）≥0， f （x ）在（0，+∞）递增，当a ＞0时，△＞0，x 2+ax ﹣a ＝0的两根为x 1＝，x 2＝，∵x 2＜0＜x 1，∴f （x ）在（0，x 1）递减，在（x 1，+∞）递增， 当a ≤﹣4时，△＞0，0＜x 2＜x 1，故f （x ）在（0，x 2），（x 1，+∞）递增，在（x 2，x 1）递减；（2）由已知得a ＞在（0，+∞）恒成立，令g （x ）＝，则g ′（x ）＝，令h （x ）＝2﹣e x ﹣2x ，h ′（x ）＝﹣e x ﹣2＜0， 故h （x ）＜h （0）＝1，∵h （）＜0，∴h （x ）在（0，）上存在零点，设为x 0，则＝2﹣2x 0，g （x ）≤g （x 0）＝，x 0∈（0，），设m （x ）＝，则m ′（x ）＝＞0，故m （x ）在（0，）递增，故m （x ）∈（0，），故整数a的最小值是1．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（2a﹣1）x+ln（x+1）有两个极值点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f（x1）+f（x2）＜2ln2﹣．【分析】（1）根据x1，x2是方程2a（x+1）2﹣（x+1）+1＝0的两正实根，得到a的取值范围，（2）求出f（x1）+f（x2）＝﹣﹣2a﹣ln（2a）+1，令2a＝t，0根据函数令2a＝t，，的单调性证明即可．【解答】解：（1）＝；∵函数f（x）＝ax2+（2a﹣1）x+ln（x+1）有两个极值点x1，x2．∴y＝2at2﹣t+1有两个正实根x1+1，x2+1，∴．∴0．（2），由，（（x2+1）＝．f（x1）+f（x2）＝+ln（x1+1）（x2+1）＝a[（2﹣2x1x2]+（2a﹣1）（﹣2）﹣ln（2a）＝﹣﹣2a﹣ln（2a）+1令2a＝t，0，，．∴g（t）单调递增，g（t）＝2ln2﹣．∴f（x1）+f（x2）＜2ln2﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论数思想，是一道综合题．。
湖南省2019届高三上学期第三次月考数学(理)含答案
2019届高三月考试卷(三)数学（理科）得分:本试卷共8页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R ，集合{}1)12(log 3≤-=x x A ，{}x x xy B 232-==，则=B AA. ]1,21(B. ]2,32[C. ]1,32(D. )32,21(★2. 若关于x 的不等式a x ＜1-成立的充分条件是]4＜＜0x ，则实数a 的 取值范围是A. 1≤aB. 1＜aC. ＞3aD. 3≥a 3. 设向量 a=(m ，1)，b= (-1， 2)，且b a b a b a ⋅=--+22)()()，则=m .A.2B. 13-C. 15-D.44.某中学高三第二次月考后，对全校的数学成绩进行统计，发现数学成绩的频率分布直方图形状与正态分布（(95，82)的密度曲线非常拟合.据此统计:在全校随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的数学成绩超过95 分的概率是A. 61B. 21C. 31D. 83 5.已知a>1，b>1，且a b b a b a a b ==+,310log log ，则如图所示的程序框图输出的S=A. 2B. 2C. 3D.3★6.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息。
设定原信息为{})2,1,0(1,0,,,210=∈i a a a a i ，传输信息为12100,,,,h a a a h ，1，其中⊕⊕=⊕=,,201100a h h a a h 的运算规则为: 011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕㊉0(!1㊉.例如原信息为111，则传输信息为 01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是A. 11 010B. 01 100C. 10 111D. 00 0117.在数列{n a }中，若5,1124==a a ,且任意连续三项的和都是15,则=2018aA.5B. 7C. 9D.1 8.函数ωπω)(6cos()(+=x x f >0)在[0，π]内的值域为]23,1[-，则ω的取值范围是 A. ]35,23[ B. ]23,65[ C. ],56[+∞ D. ]35,65[ 9.设4log ,34,3log 32===c b a ，则a ，b ，c 的大小关系为 A. b ＜a ＜c B. c ＜a ＜b C. a ＜b ＜c D. c ＜b ＜a10.函数)1(1)(-+=x x e x e x f (其中e 为自然对数的底数)的图象大致为11.锐角△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为△ABC 的重心，若 AG⊥BG，则cos C 的取值范围为A. ]35,23[B. ]23,65[C. ],56[+∞D. ]35,65[ 12.设实数m>0，若对任意的x≥e(其中e 为自然对数的底数），不等式0ln 2≥-x m x x 恒成立，则m 的最大值是 A. e1 B. 3e C. e2 D. e 选择题答题卡二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是2 3p ∨ qp ∧ q C ． ⌝p ∧ q C ． {x 1 < x ≤ 3}D ． {x 1 ≤ x ≤ 3}雅礼中学 2019 届高三 11 月月考试卷(三)数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8 页．时量120 分钟．满分150 分．第 I 卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集 I 是实数集 R ， M ={x x ≥ 3}, N = {x (x - 3)(x -1)≤ 0}都是 I 的子集(如图所示)， 则阴影部分所表示的集合为A.2.设(1+i )x = 1+ yi ，其中 x , y 是实数，则A.1B ． C. D ．23.已知命题 ：函数 y = 2 - ax +1的图象恒过定点(1，2)；命题 q ：若函数 y = f (x -1)为偶函数，则函数 y = f (x )的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是A. B ． D ．4.某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)， B ． {x 1 ≤ x < 3} p p ∨ ⌝qx = 1 x + yi ={x 1< x < 3}f (x )= 1xf (x )= 1 xf (x )= sin x f (x )= cos x f (x )= sin x ⎨⎩A.56 B ．60 C ．120 D ．1405.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：① ② ③ ④ f (x )= x 2. 则输出的函数是A. B.C.D.⎧x + y ≤ 2, 6.若变量 x , y 满足⎪2x - 3y ≤ 9,则x 2 + y 2 的最大值是 ⎪x ≥ 0,A.4B ．9C.10D ．127.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.则下列说法错误的是A. 此人第二天走了九十六里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C. 此人第三天走的路程占全程的D. 此人后三天共走了 42 里路8.如图，下列三图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中F 1，F 2 为焦点．设图①②③中双曲线的离心率分别为 e 1, e 2 , e 3 ，则81 f (x )= x 2f (x )= cos xPN + 9 QM e 2 > e 1 = e 3e 1 > e 2 > e 32 2A. B. C. D.9.已知△ABC 是边长为 4 的等边三角形，P 为△ABC 内一点，则 PA ⋅ (PB + PC )的最小值为A.10.已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为A.B ．4C ．3D.11. 如图，已知抛物线C 1 的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上， 且过点(2，4)，圆 C : x 2 + y 2 - 4x + 3 = 0 ，过圆心 C 的直线l 与抛物线和圆分别交于 P ，Q ，M ，N ，则 的最小值为 A.36B ．42-3 B ．-6 C ．-2 D ．- 833 10 229 e 1 = e 3 > e 2 e 3 > e 2 > e 1{x ∈ Z x (f (x )- a ≥ 0}设A = ⎩-x 3 - 3x 2+ 4, x < 0,2f(x )=⎪-3x + 6x , x ≥ 0,C.49 D ．5012. 已知函数 ，若 A 中有且仅有 4 个元素，则满足条件的整数 a 的个数为A.31B ．32C.33D.34第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 已知{a }是等差数列， S 是其前 n 项和．若 a + a 2 = -3, S = 10，则a的值是nn1259．14. 定义在区间[0，3]上的函数 y = sin 2x 的图象与 y = cos x 的图象的交点个数是 ．15. 若直线 ( 都是正实数)与圆 x2+ y 2 = 1相交于 A ，B 两点，当△AOB(O 是坐标原点)的面积最大时，a +b 的最大值为 ．16. 如右图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，作以 A 为顶点，分别以AB ，AD ，AA 1 为轴，底面圆半径为 r (0 < r ≤ 1)的圆锥．当半径 r变化时，正方体挖去三个 1圆锥部分后，余下的几何体的表面积4的最小值是．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60 分． 17．(本小题满分 12 分)已知△ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边分别为 a , b , c , ∆ABC 的面积 S 满足ax + by = 1 a , bPF 1 PF 2 = 1 PC ⊥ BC(1) 求角 C 的值；(2) 求 cos 2 A + cos(A - B )的取值范围．18.(本小题满分 12 分)如图，四棱锥中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，AD=2BC=2，∠BAD=∠ABC= 90°．(1) 证明： ；(2) 若直线 PC 与平面 PAD 所成角为 30°，求二面角 B —PC —D 的余弦值．19．(本小题满分 12 分)已知椭圆两焦点分别为 F 1、F 2 , P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA 、PB 分别交椭圆于 A 、B 两点．(1) 求 P 点坐标；(2) 求证：直线 AB 的斜率为定值；(3) 求△PAB 面积的最大值．- 4S = a 2 + b 2 - c 2 ．3 P - ABCD x 2 + y 2 = 12 420．(本小题满分12 分)十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立．(1)求在未来3 年里，至多1 年污水排放量X∈[270，310)的概率；(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当X ∈[230，270)时，没有影响；当X∈[270，310)时，经济损失为10 万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60 万元．为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350 吨的污水排放，每年需要防治费3.8 万元；方案二：防治310 吨的污水排放，每年需要防治费2 万元；方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．21．(本小题满分12 分)已知函数f (x)=x2 - 8x +a ln x (a ∈R)．(1)当x =1 时，f (x)取得极值，求a 的．(2)当函数f (x)有两个极值点x1, x2(x1<x2)，且x1≠1 时，总有>(m -2)(4 + 3x -x2 )成立，求m 的取值范围．a ln x11 11-x1PQ - RS f (x )= 2 x - a + 4 x + 3 2(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 C 1 : = 2 cos ，曲线 C 2 : sin = 4 cos .以极点为坐标原点，极轴⎧x = 2 + 1 t , 为 x 轴正半轴建立直角坐标系 xOy ，曲线 C 的参数方程为2 (t 为参数)⎨ 3 ⎪ y = t ⎩ 2(1) 求 C 1, C 2 的直角坐标方程；(2) C 与 C 1, C 2 交于不同四点，这四点在 C 上的排列顺次为 P ，Q ，R ，S ，求 的值.23．(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲已知函数 ．(1) 若 a = 2 时，解不等式： f(x )> 22 ；(2) 对任意实数 x ，不等式 f(x )≥ 3a + 4 恒成立，求实数 a 的取值范围．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。