1.2 晶体点群与极射赤面投影投影(简版)
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晶体投影
FCC(111)极射赤面投影
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
应用：面角测量 N
S
极式网：经线上的纬度差
吴式网：能转动
有且只有一个大圆过两点，此大圆必与0°经线相交于xy平面内 N
S
转动直到两点在一条经线上，读出纬度的差值即为面角
第二章：晶体投影 § 2.3 心射切面投影
极射赤面投影（Stereographic projection）：主要用来表示 线、面的方位，及其相互之间的角距关系和运动轨迹， 把物体三维空间的几何要素（面、线）投影到平面上来 进行研究。 特点：简便、直观、是一种形象、综合的定量图解。 在结晶学、地质和航海上被广泛地应用。 步骤: 1. 球面投影：视点-球心，投影面-参考球面 作晶面的法线交投影面于极点P； 2. 极射赤面投影：视点-南极S，投影面-赤平面，赤道-基圆 连接SP，交赤平面于一点即极射赤面投影点p。
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影
晶体学第一定律的意义：使人们从实际晶体千变万化的形态 中，找到它们外形上的内在规律，得以根据面角的关 系，来恢复晶体的理想形状，从而奠定了几何结晶学 的基础。对晶体学的发展产生了极为深远的影响。 面角: 两个晶面法线间的夹角，等于外角
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影 极射赤面投影：
N 晶面 P 晶面法线
p
投影面 基圆 S
晶面在球上的投影
北半球晶面的极射赤面投影
南半球晶面的极射赤面投影
N
S
大圆的极射赤面投影
小圆的极射赤面投影
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用 § 2.3 心射切面投影
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
晶体点群
除了Dn群的特征外， 还含有n个对称面m。
Sn群
含有一个非真轴Sn(n为偶 数)，Sn=Cnh(n为奇数)。
Td与T群
Oh与O群
Ci群
国际符号一般由三 个位构成，每个位代表 一个窥视方向。每个晶 系的晶轴选择都有特别 的规定：
注意各晶系点 群国际符号中的不 同位置所代表的对 称性方向！
Raman
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.1027430 0.1027695 0.1027755 N N N N N N Y Y Y
Point Group=32, Oh
萤石(CaF2) 计算Raman谱
319
分 子 点 群
>32
n
晶体学点群表示
极射赤面投影图
Schonflies符号 国际符号
N
O
S
N
S
N P
P’
S
极 射 赤 面 投 影 图
任何分子的全部对称元 素交于一点，其全部对 称操作必构成点群。 点群用熊夫利斯符号表 示，如Cn、Dn、Cnh等。
Arthur Schö nflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schö nflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
Sn群
含有一个非真轴Sn(n为偶 数)，Sn=Cnh(n为奇数)。
Td与T群
Oh与O群
Ci群
国际符号一般由三 个位构成，每个位代表 一个窥视方向。每个晶 系的晶轴选择都有特别 的规定：
注意各晶系点 群国际符号中的不 同位置所代表的对 称性方向！
Raman
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.1027430 0.1027695 0.1027755 N N N N N N Y Y Y
Point Group=32, Oh
萤石(CaF2) 计算Raman谱
319
分 子 点 群
>32
n
晶体学点群表示
极射赤面投影图
Schonflies符号 国际符号
N
O
S
N
S
N P
P’
S
极 射 赤 面 投 影 图
任何分子的全部对称元 素交于一点，其全部对 称操作必构成点群。 点群用熊夫利斯符号表 示，如Cn、Dn、Cnh等。
Arthur Schö nflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schö nflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
极射赤平投影整理精装版经典实用
（二）面的旋转
问题：一个产状已知的平面，沿某方向旋转一定角度后，求此面的产状。原理：平面的投影是一个大圆，大圆是无数个点组成的，因此大圆的旋转实际上是组成该大圆上许多点的旋转。 球面上任一点绕SN轴 (定轴) 旋转，该点的旋转轨迹为一圆，此圆为走向东西的一个直立平面，其投影与吴氏网的纬向小圆重合。因此只要求出大圆上各点绕轴旋转后的位置，即可知道旋转后的平面产状。
实例: 根据下图向斜两翼的产状数据，推断鞍状矿层的倾伏向和倾伏角（即向斜枢纽的产状），并指出钻孔应布置在地表铁矿层露头的什么地方才能探到地下铁矿层。
(1)、143∠37, (2)、104∠30, (3)、直立，走向104，(4)、154∠44
π图解： 是指褶皱面各部位法线的赤平投影图解。对圆柱状褶皱来说，同一褶皱面的极点在赤平投影网上将落在一个特定的大圆上或附近。这个大圆即π圆，π圆的极点代表褶皱枢纽（β）
例9: 已知平面产状310°∠50°，如果绕走向SN轴水平旋转30 °求旋转后的平面产状。
操作步骤：投影平面FD；将大圆上若干点沿其所在纬向小圆逆时针旋转30°（箭头所示）到新位置；将旋转后得到的新位置点旋转到同一经向大圆上，拟合大圆弧即为旋转后的平面D′F′投影。
例9: 已知一角度不整合上覆地层的产状240°∠30°，下伏老地层产状为120 ° ∠ 40 °，求新地层水平时老地层的产状。
投影新地层DHF 、老地层ABC 的产状;将新地层产状恢复水平，旋转DHF 大圆弧与SN向经向大圆重合，将大圆弧上各点转到基圆上。将老地层向相同方向旋转相同角度，使老地层ABC大圆达到新位置，将新位置各点拟合大圆即可。
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例6: 线理LI 产状为120 ° ∠ 40 °，L2 产状为180 °∠36°所决定的平面产状。
赤平投影原理经典实用
•赤平投影原理
•4
(二）、投影网：吴尔福网和施密特网
1、吴氏网的结构及成因原理
吴氏网的结构：基圆、径向大圆弧、纬向小圆弧、
东西、南北经纬线，间距2°，误差±0.5°。
（1）、基圆：赤平大圆，代表水平面，0°-
360°方位角刻度。
（2）、两条直径：EW，SN。
（3）、经向大圆弧：由一系列走向SN的，向东
•赤平投影原理
•22
例9: 已知平面产状310°∠50°，如果绕走向SN轴水 平旋转30 °求旋转后的平面产状。
操作步骤： ❖ 投影平面FD； ❖ 将大圆上若干点沿其所在
纬向小圆逆时针旋转30° （箭头所示）到新位置； ❖ 将旋转后得到的新位置点 旋转到同一经向大圆上， 拟合大圆弧即为旋转后的 平面D′F′投影。
•赤平投影原理
•23
例9: 已知一角度不整合上覆地层的产状 240°∠30°，下伏老地层产状为120 ° ∠ 40 °， 求新地层水平时老地层的产状。
❖ 投影新地层DHF 、老地层 ABC 的产状;
❖ 将新地层产状恢复水平，旋 转DHF 大圆弧与SN向经向 大圆重合，将大圆弧上各点 转到基圆上。
❖ 将老地层向相同方向旋转相
同角度，使老地层ABC大圆
达到新位置，将新位置各点
拟合大圆即可。
•赤平投影原理
•24
作业：
P230 9、11、12、16、18
•赤平投影原理
•25
•赤平投影原理
•9
（3） 、法线的投影 关键：法线和平面垂直，倾向相反（90°），倾角互 余。 例3: 产状为90 °∠40 °平面的法线投影。
•赤平投影原理
•10
（4）、已知真倾角求视倾角 例4:某岩层产状300°∠40°，求在
晶体学中的极射赤面投影
ppt课件
15
• 3.转换投影面：将原投影面上的极射赤面投影转换到另一
个新的投影面上去。这是一种投影基圆圆心的移动过程。
如：要将原投影面O1上的极射赤面投影A1、B1、C1、D1转换到另一个新投 影面O2上去。 具体步骤：1）先转动新投影图透明纸，使新投影图极点O2落在吴氏网赤 道直径上，然后沿赤道将O2移到投影基圆中心O1； 2）同时将原投影面O1上投影A1、B1、C1、D1各 沿其所在纬线移动同样角度到相应新位置 A2、B2、C2、D2。
ppt课件
9
吴里夫网：将经纬线网投影到过NS轴平面上的投影方法。 实际应用的吴氏网投影基圆直径为20cm，大圆弧与小圆弧
互相均分的角度间隔为2°。
ppt课件
10
§7.3 极射赤面投影的性质及其应用
• 1.晶面间夹角的求法
在吴氏网中，最基本的应用是利 用它在极射赤面投影图上直接测量 晶面和晶向间的夹角。
ppt课件 13
（2）极点围绕位于投影面上的一个轴
转动（转动轴平行于投影面，轴的 投影为基圆直径，转动角沿纬线小 圆弧度量）
方法：转动投影图，使转动轴与吴氏
网NS轴重合，将极点沿所在纬线向
指定方向转动预定角度，即转动后 极点新位置。（如：A1 →A2）
若转到投影图背面，则用不同符号标明
（如：B1→B1′）； 或反向延长到基圆圆心另一侧的等半径 处（如：B1→B2）。
如图，晶面极点A与B,C与D，E与
F之间的夹角可沿其所在的大圆，数 出其相隔的度数即可求得。必须指 出，角C-D和角E-F相等，因为它们 的纬度差相等。假如A,B,C,D,E,F为 晶向的极射赤面投影时，则所求得 的角度即为晶向间的夹角。
ppt课件 11
晶体投影ppt课件
如图中001，
它既是(001)的投影点，又是[001]的极点。[001]在立方晶体中是四次旋
转轴，所以在图中001处标注了号(表示四次轴， Δ表示三次轴，表
示二次轴)。从图上还可以看出，其他极点均是以四次旋转对称形式分布
在001点周围的。
绘制标准投影时，须要知道各点阵面之间的夹角。在附 录中给出了立方晶系的某些晶面间的夹角数值。当然，亦可 根据有关公式计算。
9.930
4.197
30
10.392
5.196
35
10.987
6.302
40
11.749
7.552
45
12.728
9.000
50
14.002
10.726
55
15.691
12.853
60
18.000
15.588
65
21.296
19.301
70
26.314
24.727
75
34.773
33.588
80
51.829
3. 极式网与乌里夫网
极式网
γ
如果在投影球面上由每隔相等的间隔作出经线族和纬线族交织成经纬线坐标网，就可确 定出球面上某点P的球座标ρ和φ，也可定出它的经度ρ和纬度γ
经纬线坐标网在投影平面上的极射赤面投影是由投影基圆内的放射状直径族（经线的投 影）和同心圆族（纬线的投影）构成的网，此网称为极式网。 由图可以看出，相应于经线 族的放射状直径族仍将投影基圆等分成360°；相应于纬线族的同心小圆族将投影基圆的直 径等分成180°。
乌式网绘图计算（投影基圆半径R=9）
角度
大圆弧半径
小圆弧半径
R/(COS(C4*PI()/180))
极射赤平投影基本作图方法
极射赤平投影基本作图方法极射赤平投影基本作图方法§1 极射赤平投影的基本原理一、投影要素1、投影球—以任意长为半径的球，球面即球表面2、赤平面—过投影球球心的水平面3、基圆—赤平面与球面相交的大圆，或称赤平大圆凡过球心的平面与球面相交的大圆，统称为大圆，不过球心的一球面与球面相交所成的圆统称小圆。
4、极射点—球上两极发射点，分上半球投影和下球投影。
二、平面和直线的投影的解析（一）平面投影1、过球心的平面投影任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层面、断层面、节理面或轴面等），必然于球面相交成球面大圆，球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面，在赤平面上这些穿透点的连线即为该平面的相应大圆的赤平投影，简称大圆弧。
1）直立大圆（平面）——为基圆直径2）水平大圆（平面）——为基圆本身3）倾斜大圆（平面）——以基圆直径为弧的大圆弧性质：球面大圆投影后在赤平面上仍为一个圆。
2、不过球心的平面投影不过球心的平面与球面相交成直径小于球直径的小圆、球面小圆投影仍为一个小圆。
1）直立小圆（平面）——部分为基圆内一条弧，部位为基圆外一条弧2）水平小圆（平面）——为基圆的同心圆3）倾斜小圆（平面）①全部位于圆基内的小圆②部位于基圆内，部分在基圆外③全部在基圆外性质：1）球面大圆或球面小圆投影在赤平面仍为一个圆2）半径角距相等的球面小圆（即面积相等的小圆），其投影小圆面积不等，近基圆圆心处，远离圆在大。
3）任何过极射点（P）的球面大圆或小圆其赤平投影均为一条直线。
4）球面大圆或小圆在赤平面上的投影圆的圆心（R’）与作图圆心（C）是不重合的；只有水平球面大圆和水平球面小圆投影后，投影圆心（R’）作图圆心（C）与基圆的圆心O点重合，并且投影圆的圆心（R’）与基圆圆心（O）愈远，R’与C分离愈大。
（二）直线投影过球心的直线无限延伸心交于球面两点，称极点。
1、铅直线投影点为基圆圆心2、水平线投影点为基圆直径的两个端点3、倾斜线股影点，一个在基圆内，另一个在基圆外，称对距点，其角距为180°三、投影网：吴尔福网和施密特网（一）吴氏网的结构及成因原理吴氏网的结构：基圆、径几大圆弧、纬向小圆弧、东西、南北经纬线，间距2°，误差±0.5°1、基圆，赤平大圆，代表水平面，0°-360°方位角刻度2、经向大圆弧，由一系列走向SN的，向东或西倾斜，倾角不同（0°-90°），间隔2°的投影大圆弧（代表倾斜平面）组成。
极射赤平投影及原理
2．直径 分别为南北走向和东西走向直立平面的投影.自
圆心至基圆为900—00，每小格20，表示倾角、倾伏角.
3．经线大圆 经线大圆是通过球心的一系列走向南北，
向东或向西倾斜的平面投影．自南北直径向基圆代表倾角 由陡到缓的倾斜平面．
4．纬线小圆 纬线小圆是一系列不通过球心的东西走
向直立平面的投影，它们将南北向直径及经线大圆弧和基 圆等分(每小格20)
2．直线的投影 投影产状为3300 ∠ 400的直线。 (1)使透明纸上指N标记与网上N重合，以N为00，顺时针在基圆上 数至3300得A，为直线的倾伏向[图A] ;
(2)把A点转至东西直径上(也可转至南北直径上)，由基圆向圆心数 400(倾伏角)得A’点[图B]; (3)把透明纸的指N标志转至与网上正N重合，A’即为产状 3300∠400直线的投影（图C)。
2求两平面交线的产状(图12—11) (1)据巳知两平面的产状，在吴氏网上分别求出其投影大 圆弧EHF和JHK，两大圆弧的交点H为两平面交线与下半球 面交点的投影。 (2)作圆心O与H点的连线交基圆于G点，G点的方位角即两 平面交线的倾伏向，GH间的角距则为交线的倾伏角 。
极射赤平投影原理及应用
3．两直线为1200∠360和1800∠200，求所构成平面的产状及两直线间的夹角(图12-12)]
极射赤平投影原理及应用
将透明纸(或透明胶片 等)蒙在吴氏网上，描 画基圆及‘+’字中心， 固定网心,使透明纸能 旋转(或固定透明纸旋 转网)，然后在透明纸 上标出N，E，S，W．
1．平面的投影 投影产状l200∠300的平面(图12-5) (1)将透明纸上的指N标记与投影网正N重合，以N为00,在基圆上顺时针数至 1200(倾向)得一点D，为平面的倾向[图12-5(A)]。
圆心至基圆为900—00，每小格20，表示倾角、倾伏角.
3．经线大圆 经线大圆是通过球心的一系列走向南北，
向东或向西倾斜的平面投影．自南北直径向基圆代表倾角 由陡到缓的倾斜平面．
4．纬线小圆 纬线小圆是一系列不通过球心的东西走
向直立平面的投影，它们将南北向直径及经线大圆弧和基 圆等分(每小格20)
2．直线的投影 投影产状为3300 ∠ 400的直线。 (1)使透明纸上指N标记与网上N重合，以N为00，顺时针在基圆上 数至3300得A，为直线的倾伏向[图A] ;
(2)把A点转至东西直径上(也可转至南北直径上)，由基圆向圆心数 400(倾伏角)得A’点[图B]; (3)把透明纸的指N标志转至与网上正N重合，A’即为产状 3300∠400直线的投影（图C)。
2求两平面交线的产状(图12—11) (1)据巳知两平面的产状，在吴氏网上分别求出其投影大 圆弧EHF和JHK，两大圆弧的交点H为两平面交线与下半球 面交点的投影。 (2)作圆心O与H点的连线交基圆于G点，G点的方位角即两 平面交线的倾伏向，GH间的角距则为交线的倾伏角 。
极射赤平投影原理及应用
3．两直线为1200∠360和1800∠200，求所构成平面的产状及两直线间的夹角(图12-12)]
极射赤平投影原理及应用
将透明纸(或透明胶片 等)蒙在吴氏网上，描 画基圆及‘+’字中心， 固定网心,使透明纸能 旋转(或固定透明纸旋 转网)，然后在透明纸 上标出N，E，S，W．
1．平面的投影 投影产状l200∠300的平面(图12-5) (1)将透明纸上的指N标记与投影网正N重合，以N为00,在基圆上顺时针数至 1200(倾向)得一点D，为平面的倾向[图12-5(A)]。
晶体的投影和倒易点阵ppt课件
正空间的晶面(hkl)可用倒空间的一个点hkl表示，正空间 中同一根晶带轴[uvw]的所有晶面可用倒空间的一个倒易 阵 面 (uvw) * 来 表 示 ， 广 义 晶 带 中 的 不 同 倒 易 阵 面 可 用 (uvw)N*表示。
倾斜大圆
平行于赤道的小圆 倾斜于赤道的小圆 垂直于赤面的小圆
9
二、极式网与乌式网
1.极式网： 将经纬线坐标网以其本身的赤道平面为投影面，作极射赤面投影， 所得的极射赤面投影网。 由一系列直径和一系列同心圆组成，每一直径和同心圆分别表示经 线和纬线的极射赤面投影，经线等分投影基圆圆周，纬线等分投影 基圆直径。 基圆直径为20 mm，等分间隔为2°
3
2023年10月17日1时53分
概念：晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一 定的规则投影到投影面上，使晶向、晶面等几何元素的空间关系 转换成其在投影面上的关系。
分类：球面和赤平面，对应的投影为球面投影和极射赤面投影。 关系的确定：通过晶体的投影可获得晶体的晶向、晶面等元素之
间的关系。此关系通常由极式网和乌式网确定。
23
2023年10月17日1时53分
五、倒易点与正点阵中的(hkl)晶面的对应关系
g*hkl的基本性质表达了与（hkl）的一一对应关系，即一 个g *与一组（hkl）对应；
g* hkl的方向与大小表达了（hkl）在正点阵中的方位与晶 面间距，反之，（hkl）决定了g *的方向和大小；
g* hkl的基本性质也建立了作为终点的倒易阵点与（hkl） 的一一对应关系：
求得其相应倒易点阵参数，从而建
立其倒易点阵。
c
a b V
20
2023年10月17日1时53分
四、倒易点阵的基本性质
倾斜大圆
平行于赤道的小圆 倾斜于赤道的小圆 垂直于赤面的小圆
9
二、极式网与乌式网
1.极式网： 将经纬线坐标网以其本身的赤道平面为投影面，作极射赤面投影， 所得的极射赤面投影网。 由一系列直径和一系列同心圆组成，每一直径和同心圆分别表示经 线和纬线的极射赤面投影，经线等分投影基圆圆周，纬线等分投影 基圆直径。 基圆直径为20 mm，等分间隔为2°
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2023年10月17日1时53分
概念：晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一 定的规则投影到投影面上，使晶向、晶面等几何元素的空间关系 转换成其在投影面上的关系。
分类：球面和赤平面，对应的投影为球面投影和极射赤面投影。 关系的确定：通过晶体的投影可获得晶体的晶向、晶面等元素之
间的关系。此关系通常由极式网和乌式网确定。
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2023年10月17日1时53分
五、倒易点与正点阵中的(hkl)晶面的对应关系
g*hkl的基本性质表达了与（hkl）的一一对应关系，即一 个g *与一组（hkl）对应；
g* hkl的方向与大小表达了（hkl）在正点阵中的方位与晶 面间距，反之，（hkl）决定了g *的方向和大小；
g* hkl的基本性质也建立了作为终点的倒易阵点与（hkl） 的一一对应关系：
求得其相应倒易点阵参数，从而建
立其倒易点阵。
c
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2023年10月17日1时53分
四、倒易点阵的基本性质
晶体点群与极射赤面投影投影(简版)
05
晶体点群与极射赤面投影 的未来发展
新的研究方法和技术
引入人工智能和机器学习 方法
利用人工智能和机器学习技术对晶体点群与 极射赤面投影进行高效、准确的分类和识别 。
发展高精度测量技术
提高晶体点群与极射赤面投影的测量精度，为相关 领域的研究和应用提供更准确的数据支持。
探索新的数学模型和算法
针对晶体点群与极射赤面投影的特点，研究 和发展新的数学模型和算法，以更好地揭示 其内在规律和特性。
晶体点群与极射赤面投 影投影(简版)
目录 CONTENT
• 晶体点群 • 极射赤面投影 • 晶体点群与极射赤面投影的关系 • 晶体点群与极射赤面投影的实际
应用 • 晶体点群与极射赤面投影的未来
发展
01
晶体点群
点群的分类
按照对称元素
可以分为一维、二维、三维点群 ，如C1、Cs、Ci为一维点群，C2 、C2h、S2、D2、D2h等为二维 点群，Fd3m、Fm3m、Im3m等 为三维点群。
对未来发展的展望
跨学科融合
加强晶体点群与极射赤面投影投影与相关学科的交叉融合， 推动其在更多领域的应用和发展。
标准化和规范化
建立晶体点群与极射赤面投影投影的标准化和规范化体系， 促进其在学术交流和实际应用中的广泛认可和应用。
人才培养和队伍建设
加强人才培养和队伍建设，培养一批具备专业素养和实践 经验的人才，为晶体点群与极射赤面投影投影的未来发展 提供有力的人才保障。
04
晶体点群与极射赤面投影 的实际应用
在材料科学中的应用
确定晶体结构
通过极射赤面投影，可以直观地 表示晶体中原子或分子的排列情 况，有助于确定材料的晶体结构。
预测材料性质
极射赤平投影重点(共24张PPT)
斜，倾角不同〔0°-90°〕，间隔2°的投影大圆弧〔代表 倾斜平面〕组成。
〔4〕、纬向小圆“为一系列走向东西、直立小圆的投影 小圆弧组成。他们将SN直径、经向大圆和基圆等分，每小 格为2 °。幻灯片 7
6
7
2、一般操作步骤： 预备阶段 ①将透明纸蒙吴氏网上， ②画“+〞中心， ③标出E、S、W、N方位〔顺钟向
❖
任何一个过球心的无限伸展的平面〔岩层面、
断层面、节理面或轴面等〕和线，必然与球面相交
成球面大圆和点。
❖
球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面，在
赤平面上这些穿透点的连线即为该平面的相应大圆
的赤平投影，简称大圆弧。
4
1.平面的投影 平面(PGF)产状:SN/90 ° ∠40°,投影到 赤平面上为PHF。PF代表走向，OH代表倾向，DH代表 倾角。 2.线的投影 直线(OG)产状：90 ° ∠40°,投影到赤平 面上为H点。OD为直线的倾伏向，HD为倾伏角。
20
〔二〕据共轭剪节理求三个 主应力轴(σ1 、 σ2 、 σ3)
一共轭节理产状为 :70°∠60°和 120°∠60°，
求三个主应力轴产状。
21
〔二〕面的旋转
❖ 问题：一个产状的平面，沿某方向旋转一定角度后，求此 面的产状。
❖ 原理：平面的投影是一个大圆，大圆是无数个点组成的， 因此大圆的旋转实际上是组成该大圆上许多点的旋转。
❖
球面上任一点绕SN轴 (定轴) 旋转，该点的旋转
轨迹为一圆，此圆为走向东西的一个直立平面，其投影
与吴氏网的纬向小圆重合。因此只要求出大圆上各点绕
轴旋转后的位置，即可知道旋转后的平面产状。
22
例9: 平面产状310°∠50°，如果绕走向SN轴水平旋转30 °求 旋转后的平面产状。
〔4〕、纬向小圆“为一系列走向东西、直立小圆的投影 小圆弧组成。他们将SN直径、经向大圆和基圆等分，每小 格为2 °。幻灯片 7
6
7
2、一般操作步骤： 预备阶段 ①将透明纸蒙吴氏网上， ②画“+〞中心， ③标出E、S、W、N方位〔顺钟向
❖
任何一个过球心的无限伸展的平面〔岩层面、
断层面、节理面或轴面等〕和线，必然与球面相交
成球面大圆和点。
❖
球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面，在
赤平面上这些穿透点的连线即为该平面的相应大圆
的赤平投影，简称大圆弧。
4
1.平面的投影 平面(PGF)产状:SN/90 ° ∠40°,投影到 赤平面上为PHF。PF代表走向，OH代表倾向，DH代表 倾角。 2.线的投影 直线(OG)产状：90 ° ∠40°,投影到赤平 面上为H点。OD为直线的倾伏向，HD为倾伏角。
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〔二〕据共轭剪节理求三个 主应力轴(σ1 、 σ2 、 σ3)
一共轭节理产状为 :70°∠60°和 120°∠60°，
求三个主应力轴产状。
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〔二〕面的旋转
❖ 问题：一个产状的平面，沿某方向旋转一定角度后，求此 面的产状。
❖ 原理：平面的投影是一个大圆，大圆是无数个点组成的， 因此大圆的旋转实际上是组成该大圆上许多点的旋转。
❖
球面上任一点绕SN轴 (定轴) 旋转，该点的旋转
轨迹为一圆，此圆为走向东西的一个直立平面，其投影
与吴氏网的纬向小圆重合。因此只要求出大圆上各点绕
轴旋转后的位置，即可知道旋转后的平面产状。
22
例9: 平面产状310°∠50°，如果绕走向SN轴水平旋转30 °求 旋转后的平面产状。
第三讲—晶体投影
点阵，Lattice 基元，Basis
31
晶体结构 = 基元 + 点阵
a
a 基元，Basis
点阵，Lattice
32
1
2 a a/2
3
a
1
2
基元，Basis
3
对称性？？ 点阵，Lattice
33
点阵，Lattice
3 2
基元 Basis
初基晶胞，primitive unit cell
4
b
a
1
Oblique, a ≠ b ≠ 90o
z xy
y
x
极射赤面（平）投影
28
1, 2, 3, 4, 5, 6, … 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
29
习题： 结晶学 Page 23: 3, 5, 6, 7
30
第二讲 晶体中的点、线、面
周期性 晶体的对称性是由其周期性所决定的
晶体结构 = 基元 + 点阵
晶体是这样构成的：在每一个格点上附加一个全同的基元，该 基元由s个原子组成，其原子的位置由 rj = xja + yjb +zjc 决定， j = 1, 2, 3, ……., s; x, y, z 在0至1之间取值。
44
[010] [120] (010)
[110]
b a
[100]
(110) (100) (120)
a = b, = 90o
[010]
(010)
b a
[120]
[110]
a ≠ b, = 90o
[100] (110) (100) (120)
45
[010] [120] (010)
31
晶体结构 = 基元 + 点阵
a
a 基元，Basis
点阵，Lattice
32
1
2 a a/2
3
a
1
2
基元，Basis
3
对称性？？ 点阵，Lattice
33
点阵，Lattice
3 2
基元 Basis
初基晶胞，primitive unit cell
4
b
a
1
Oblique, a ≠ b ≠ 90o
z xy
y
x
极射赤面（平）投影
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1, 2, 3, 4, 5, 6, … 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
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第二讲 晶体中的点、线、面
周期性 晶体的对称性是由其周期性所决定的
晶体结构 = 基元 + 点阵
晶体是这样构成的：在每一个格点上附加一个全同的基元，该 基元由s个原子组成，其原子的位置由 rj = xja + yjb +zjc 决定， j = 1, 2, 3, ……., s; x, y, z 在0至1之间取值。
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[010] [120] (010)
[110]
b a
[100]
(110) (100) (120)
a = b, = 90o
[010]
(010)
b a
[120]
[110]
a ≠ b, = 90o
[100] (110) (100) (120)
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[010] [120] (010)
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了解Herman-Mauguin空间群符号
• 空间群是经常用简略Herman-Mauguin符号(即
Pnma、I4/mmm等)来指定。 在简略符号中包含 能产生所有其余对称元素所必需的最少对称元素。 • 从简略H-M符号，我们可以确定晶系、Bravais 点阵、点群和某些对称元素的存在和取向（反之 亦然）。
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称 元素 方向 第二位 可能对称 元素 无 2，m Y 无， 2，m X 方向 第三位 可能对称 元素 方向 点群
三斜 1,`1
单斜 2,m,2/m 正交 2，m 四方 4,`4， 4/m 三方 3,`3 六方 6,`6, 6/m
任意 无
Y X Z
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一
个在y = 0，另一个在y = ½ 位置。 通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z 第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将 必须是0或½ )，镜面反射操作就不会产生第二个原子。
Wyckoff位置 （2）
Z Z
无， 2，m X 无， 2，m X
立方 2,m,4, `4
X
3,`3
体对 无， 2，m 面对 角线 角线
对称方向
晶系 第一 三斜 单斜 正交 四方 六方 三方 (R) 立方 无 b [010] a [100] c [001] c [001] a+b+c [111] a [100]/[010]/ [001] b [010] a [100]/[010] a [100]/[010] a-b [1 `1 0] a+b+c [111] a+b [110] c [001] a+b [110] 2a+b [120] 对称方向 第二 第三
多重性 Wyckoff记号 点对称 坐标 (2) x， - y， z x， ½ ， z x， 0 ， z
2
1 1cLeabharlann b a1m m
(1) x， y， z
在晶体结构描述中，经常把多重性和Wyckoff 记号结合在一起作为等效位置的名称。如把Pm 空间群中的等效点位置称为1a,1b,2c 等。
一般位置-特殊位置
T：除了四个三次旋转轴外，还包括三个 正交的二次旋转轴。 Th：除了T的对称性外，还包括与二次旋 转轴垂直的三个对称面。 Td：除了T的对称性外，还包括六个平分 两个二次旋转轴夹角的对称面。 O：包括三个互相垂直的四次旋转轴，六 个二次旋转轴，和四个三次旋转轴。 Oh：除了O的对称性外，还包括Td与Th的 对称面。
一般位置：空间群表里最先列出的Wyckoff位置， 1. 不处在任何一个对称元素上的位置； 2. 一般位置具有最高多重性（M）。初级晶胞中M等于点群的对称操作 总数；带心晶胞M等于点群的阶数乘以晶胞中的阵点数。
3. 在一般位置的原子总具有三个位置自由度，它的三个分数坐标都可以独 立变化。 特殊位置：所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置；
无
无 2，m Z 无， 2，m 底对 角线 无 无， 2，m 底对 角线
1，`1
2,m,2/m 222,mm2,mmm 4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm 3,`3, 32,3m, `3m 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m
7. 点位置(首先一般等效点，然后特殊点) ：
多重性(等效点的个数)
“Wyckoff记号“
在该位置的点对称性（site symmetry） 点的坐标 8.出现衍射的条件 9-12：（略）
从空间群符号辨认晶系 1.
v
v v 立方–第2个对称符号： 3 或 `3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
1
1
2
m
2/m
单一极轴 10
mm2 2
222 2
mmm 2
对称中心 11
3
3
3m 2
32
2
3m 2
无心多极轴 11
4 4 42m 4/m 4mm 422 4/mmm
6
6
62m
6/m
6mm
622 622
6/mmm
23
m3
43m
432
m3m
国际符号 international symbol
采用国际符号，不仅可以表示出各种晶类中 有那些对称元素，而且还能表示出这些对 称元素在空间的方向。国际符号根据各种 晶类的对称性可以是三项、或二项、或一 项符号组成，它分别表示晶体某三个、或 二个、或一个方向上的对称元素。如果在 某一个方向上，同时具有对称轴和垂直于 此轴的对称面，则写成分数形式。
• 多重性（ multiplicity ）：告诉我们如果安 置一个特定原子在该位置，经过空间群的所 有对称操作，总共会产生多少个原子。 • 记号（ letter ）是从高对称性位置开始按英 文字母顺序指定的位置标记。 • 对称（ symmetry ）告诉我们原子所在之处 具有的对称元素。
Pm空间群的 Wyckoff位置
熊夫利斯（Schöenfles）符号
Cn：字母表示旋转的意思，组标n表示旋 转的次数，n=1、2、3、4、6。例如C2代 表二次旋转轴。 Cnh：表示除了n次旋转轴外，还包括一个 与此轴垂直的对称面。 Cnv：表示除了n次旋转轴外，还包括一个 与此轴重合（即平行）的对称面。 Cni：表示除了n次旋转轴外，还包括一个 对称中心。
Ci：表示有一个对称中心。 S4：表示有一个四次旋转倒反轴。 Dh：表示除了n次主旋转轴外，还包括n 个与之轴垂直的二次旋转轴。 Dnh：表示除了Dh 的对称性外，还包括一 个与主旋转轴垂直的对称面，和n个与二 次旋转轴重合（即平行）的对称面。 Dnd：表示除了Dh 的对称性外，还包括n 个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。
1 1
2
m
2/m
mm2 2
222 2
mmm 2
3
3
3m 2
32 2
3m 2
4
4
42m
4/m
4mm
422
4/mmm
6
6
62m
6/m
6mm
622 622
6/mmm
23
m3
43m
432
m3m
群的定义，group
元素的集合G={gi}，并且定义了一种乘法: gi g j = gk 1。封闭性：集合中的任意元素和另一元素 的乘积仍在这一集合中，gigj =gk G 2。单位元素e, gie = gi（恒等元素） 3。有逆元素,若 gigj =e，则gi和gj互为 逆元素，gi =gj-1 4。缔结律：gigj gk=gi（gj gk)= （gigj)gk
胞中某个坐标点有一个原子时，由于对称性 的要求，必然在另外一些坐标点也要有相同 的原子。这些由对称性联系起来，彼此对称 等效的点，称为等效点系。 • 等效点系在空间群表中表示为Wyckoff位置 。
Wyckoff位置 （1）
在国际表中包含的一个最有用的信息是Wyckoff位置。
Wyckoff位置告诉我们在晶体中何处可以找到原子。
从晶系到空间群
7个晶系
（按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
32个点群
230个空间群
空间群(Space Group)
• 晶体学中的空间群是三维周期性物体(晶体)变换成 它自身的对称操作(平移，点操作以及这两者的组合) 的集合。一共有230种空间群。 • 空间群是点阵、平移群(滑移面和螺旋轴)和点群的 组合。 230个空间群是由14个Bravais点阵与32个晶 体点群系统组合而成。
参见： /asda/Libraries/sgtable.html
空间群分布
• • 三斜晶系：2个；单斜晶系：13个 正交晶系：59个； 三方晶系：25
•
•
四方晶系：68个；六方晶系：27个
立方晶系：36个。
•
•
有对称中心90个，无对称中心140个。
73 个 symmorphic (点式) ， 157个 nonsymmorphic。
国际符号与熊氏符号对比
国际符号 1 2 3 4 6 m
1
4
熊氏符号 C1 C2 C3 C4 C6 Cs Ci，S2 S4
• 点群： 保留一点不变的对称操作群。
• 空间群：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作 群，由点群对称操作和平移对称操作组合而成； 由 32 晶体学点群与 14个Bravais 点阵组合而成； 空间群是一个单胞（包含单胞带心）的平移对称 操作；反射、旋转和旋转反演等点群对称性操作、 以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合。
1.2 点群与极射赤面投影
极射赤面投影 群的概念 32种晶体点群
Stereographic projections
1 1
a point
2 m 2/m
P p
mm2 2
222 2
mmm 2
3
3
3m 2
32 2
3m 2
4
4
42m
4/m
4mm
422
4/mmm
6
6
62m
6/m
6mm
622 622
6/mmm
p
1.把所有滑移面全部转换成镜面；
2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。
例如： • 空间群= Pnma 点群= mmm 空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
国际表中的空间群P21/c
P21/c
P21/c的图示