第一章 线性系统的状态空间描述
线性系统的状态空间描述
第一章 线性系统的状态空间描述 1. 内容系统的状态空间描述化输入－输出描述为状态空间描述 由状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统的坐标转换组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵2. 基本概念系统的状态和状态变量状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组。
状态变量：构成系统状态的变量。
状态向量设系统状态变量为)(,),(),(21t x t x t x n 写成向量形式称为状态向量，记为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t x t x t x t x n状态空间状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n 维空间。
状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条轨迹。
3. 状态空间表达式设系统r 个输入变量：)(,),(),(21t u t u t u r m 个输出：)(,),(),(21t y t y t y m n 个状态变量：)(,),(),(21t x t x t x n例：图示RLC 电路，建立状态空间描述。
电容C 和电感L 两个独立储能元件，有两个状态变量，如图中所注，方程为)()()()()()(t i dtt du C t u t u t Ri dtt di LL c c L L ==++ )()(),()(21t u t x t i t x c L ==状态方程)(01)()(0/1/1/)()()()()()()()(212112211t u t x t x C L L R t xt x t x t xC t u t x t Rx t x L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇔⎩⎨⎧==++⇔输出方程[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)()(01)()(21t x t x t u t y c 一般定义状态方程：状态变量与输入变量之间的关系[][][]t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx r n n n n r n r n );(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()(212121212222121111======用向量表示，得到一阶的向量微分方程[]t t u t x f t x),(),()(= 其中n n r r n n f f f f t u t u t u t u t x t x t x t x R R R ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙=∙∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()(:)(,)()()(:)(,)()()(:)(212121输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即[][][]t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y r n m m r n r n );(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()(2121212122212111=== 用向量表示为[]t t u t x g t y ),(),()(=4系统分类：1) 非线性时变系统[][]⎩⎨⎧==t t u t x g t y t t u t x f t x ),(),()(),(),()(2) 非线性定常系统[][]⎩⎨⎧==)(),()()(),()(t u t x g t y t u t x f t x3) 线性时变系统⎪⎩⎪⎨⎧+++++=+++++=rnr n n nn n n r r n n u t b u t b x t a x t a xu t b u t b x t a x t a x)()()()()()()()(1111111111111写成向量形式即为⎩⎨⎧+=+=)()()()()()()()()()(t u t D t x t C t y t u t B t x t A t x其中：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t b t b t b t b t b t b t b t b t b t B t a t a t a t a t a t a t a t a t a t A nr n n r r nn n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t d t d t d t d t d t d t d t d t d t D t c t c t c t c t c t c t c t c t c t C mr m m r r mn m m n n4) 线性定常系统⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x5 状态空间表达式的系统结构图状态和输出方程可以用结构图表示，形象地表明系统中信号传递关系。
线性系统的状态空间描述
解：根据各元件的电流与电压关系、回路电压和等于
零，得到系统的方程：
RiLdi 来自t1 C
id t
ui
uo
1 C
id t
系统的输入、输出分别为
uui，yuo 24
第1章 线性系统的状态空间描述
状态变量选取方法不同，则状态空间描述不同。
a）选取状态变量 x1i，x2C 1 idtu0，则状态空
第1章 线性系统的状态空间描述
第一章 线性系统的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述 1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立 1.3 系统的传递函数矩阵 1.4 线性系统等价的状态空间描述 1.5 组合系统的状态空间描述
1
第1章 线性系统的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述
一．系统数学描述的基本类型
输出量可以选作状态变量。 输入量不允许选作状态变量。
状态变量有时是不可测量的。
状态变量是时间域的。
系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇
异变换的关系。
11
第1章 线性系统的状态空间描述
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量
x(t)x1(t),x2(t), ,xn(t)T称为n维状态向量。
22
第1章 线性系统的状态空间描述
一．根据系统机理建立状态空间表达式 根据系统机理建立状态空间描述的基本步骤： 1）根据系统所遵循的物理规律，建立系统的微
分方程或差分方程； 2）选取有关物理量 (变量) 作为状态变量，推导
出系统的状态方程和输出方程。
23
第1章 线性系统的状态空间描述
例1-1（P403例9-1）：建立RCL网络的状态方程
第1章线性系统的状态空间描述
x&(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
• 情况1：输入u不含导数
y(n) an1y(n1) L a1y& a0 y bu
自主技术与智能控制研究中心
二、状态空间模型的建立
输入u不含导数 y(n) an1y(n1) L a1y& a0 y bu
选取状态变量 x1 y x2 y x3 y
I ml2 ml
自主技术与智能控制研究中心
ml M m
二、状态空间模型的建立
用一阶微分方程组表示系统模型！
&x& 1m2l2 g 1(I ml2 )u && 1(M m)mgl 1mlu
引入新的变量
x1 x x2 x&
x3 x4 &
x&1 x2
x&2 x&3
{1m2l x4
x&% Ax% Bu%
y%
Cx%
Du%
f1
A
f x
|x0
,u0
x1
M
fn x1
L O L
f1 xn
M
fn xn
B
f u
|x0 ,u0
,C
g x
|x0
,u0
,
D
g u
|x0 ,u0
自主技术与智能控制研究中心
二、状态空间模型的建立 例3：质量-弹簧-阻力器系统
自主技术与智能控制研究中心
u
线性化 0 V mg
m
d2 dt 2
(x
l
sin )
H
I&& Vl Hl
m d 2 (l cos) V mg
1线性系统的状态空间描述
数学表达式(具有代数方程形式),称输出方程. 二. 状态和状态空间 1. 状态和状态向量 状态——是指系统的时域行为或运动状态.定义为完全表征系统时间域行为的 一个最小内部变量组. 状态变量——是指能够完全描述系统时域行为的一个最小变量组中的每个变量. 状态向量——由状态变量构成的列向量称状态向量. 如某组状态变量有n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t) (t>=t0) 则状态向量为:
n ×1
b 11 ( t ), L , b 1 p ( t ) B (t ) = M b ( t ), L , b ( t ) np n1 n× p d 11 ( t ), L , d 1 p ( t ) D (t ) = M d ( t ), L , d ( t ) qp q1 q× p
x ( k + 1 ) = f ( x ( k ), u ( k ), k ) y ( k ) = g ( x ( k ), u ( k ), k ) k = 0 ,1 , 2 L
x ( k + 1) = G ( k ) x ( k ) + H ( k )u ( k ) 线性离散系统: y ( k ) = C ( k ) x ( k ) + D ( k )u ( k )
u(t)—输入标量函数; y(t)—输出标量函数; d(t)—标量函数,称直接传递系数. 2 多输入多输出时变系统的状态空间模型
& X (t ) = A (t ) x (t ) + B (t )u (t ) y (t ) = C (t ) x (t ) + D (t )u (t )
式中:
X ( t ) = [x 1 ( t ), x 2 ( t ), L , x n ( t ) ]T a 11 ( t ) L a 1 n ( t ) A (t ) = M a (t ) L a (t ) nn n1 n× n c 11 ( t ), L , c 1 n ( t ) C (t ) = M c q 1 ( t ), L , c qn ( t )
第一章 线性定常系统的状态空间描述及运动分析
称 G ( s ) 为系统的传递函数矩阵。G ( s ) 为的一个有理分式 矩阵。当 g ij ( s ) 除严格真还包含真有理分式时，即 G ( s ) 的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等 的最高幂次时，称为真有理分式矩阵。
7
§1.1-2 传递函数矩阵 当且仅当 G ( s )为真的或严格真的时，它才是物理上可实 现的。当且仅当 lim G ( s ) = 零阵 s →∞ G ( s ) 为严格真的， lim G ( s ) =非零常阵 s →∞ 传递函数矩阵为真的。
8
§1.2 线性定常系统的状态空间描述
§1.2-1 状态和状态空间 系统的状态空间描述是建立在状态和状态空间概念的基 础上的。 定义1.1 动力学系统的状态定义为完全的表征系统时间 域行为的一个最小内部变量组。组成这个变量组的变 xn (t ) 称为系统的状态变量，其中t ≥ t0， "， 量 x1 (t ), x2 (t )， t0 为初始时刻。由状态变量 ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎥, t ≥ t 构成的列向量 x(t ) = ⎢ # 0 ⎢ ⎥ 称为系统的状态向量，简称为状态。状态空间则定义为 状态向量取值的一个向量空间。
15
§1.2-2 动态系统的状态空间描述 离散动态过程的状态空间的描述。离散动态过程的一个 重要特点是，系统的各个变量都被处理成为只在离散时 刻取值，其状态空间描述只反映离散时刻的变量组间的 因果关系和转换关系。用k=0,1,2来表示离散的时刻，则 离散时间系统（简称离散系统）的状态方程和输出方程 的最一般形式为：
2
§1.1-1 单变量情形回顾 已知由下列常系数微分方程描述的定常系统
y n + a n −1 y ( n −1) + " + a1 y (1) + a 0 y
线性多变量系统线性系统理论完整
x(t)
x2
(t)
x
n
(t
)
状态空间 状态空间定义为状态向量（取值）的一个集合,状态空间的维数等同 于状态的维数
几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1(t0 ), x2 t0 , , xn (t0 )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t),u2 t , , u p (t)
代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的 映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的 形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题
多变量频域方法
一是频域方法
二是多项式矩阵方法
1/2,4/5
1.3 本书的论述范围
1：状态空间法 2：多项式矩阵法
2/2,5/5
第一部分: 线性系统时间域理论
(2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程
(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不
能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
R1iL
R1C
duc dt
L diL dt
L diL dt
0 e
e(t)
L
iL Uc R2 U R2
uc
iL
(R1
1
R2 R1
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
)C
uc
iL
(
R1
1
R2 R2
第一章线性控制系统的状态空间描述lyq
X3
X0 X(t)
状态变量 完全表征系统运动状态的
X2
最小一组变量 X1
状态向量 以状态变量为分量所构成的向量
状态空间 以状态变量x1(t), x2(t)… xn(t)为坐标轴构成的 n维空间称为状态空间。系统在任何时刻的状 态都可用状态空间中的一个点来表示。随着时 间的推移，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹， 称为状态轨迹。
和古典控制理论不同，状态空间描述考虑了“输入 －状态－输出”这一过程，它注意到了被输入－输 出描述所忽略了的状态。输入引起了状态的变化， 而状态才决定了输出的变化。因此状态空间描述是 对系统的结构特性的反映，而输入－输出描述只是 对系统的端部特性的反映。然而具有相同端部特性 的系统，都可以具有不同的结构特性经。这表明状 态空间描述是对系统的一种完全的描述。
P
m
x,v
f
1.1 线性控制系统的状态空间表达
例2 系统如图所示，输入为u，输出uc，列写 其动态方程
L
R2
u
iL
R1
uc
1.选择状态变量：
x1 iL , x2 u C ,
1.1 线性控制系统的状态空间表达
2 列写一阶微分方程组
iL
(uLdiL) 1CduC dt R1 dt
L
u
iL
R2 R1
t t0
yq gq(x1, ,xn;u1, ,up;t)
D(t)
u(t)
B(t)
•
X (t)
++
dt
X(t)
C(t)
+
+ Y(t)
A(t)
1.1 线性控制系统的状态空间表达
1.1.3 系统的状态空间描述列写举例
现代控制理论 第1章 状态空间描述
得动态方程组 1 x2 x k b 1 x 2 y y u y m m m k b 1 x1 x2 u m m m y x 1
问题：到底有 何区别？
13
状态空间表达式为
1 0 x k x 2 m
如果将储能元件的物理变量选为系统的状态变量，则状态变量的个数 等于系统中独立储能元件的个数
5
基本概念
状态方程：系统状态方程描述的结构图如下图所示
假设：causal system ——现在的输出只取决 于现在和过去的输入， 而与将来的输入无关。
输入引起状态的变化是一个动态过程，每个状态变量的一阶导数与所有 状态变量和输入变量的数学表达(常微分方程ODE)称为状态方程，一般形式 为：
1896192019872006状态变量和状态空间表达式状态变量和状态空间表达式化输入化输入输出方程为状态空间表达式输出方程为状态空间表达式系统的线性变换对角线标准型和约当标准型系统的线性变换对角线标准型和约当标准型由状态空间表达式导出传递函数阵由状态空间表达式导出传递函数阵离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式从系统黑箱的输入输出因果关系中获悉系统特性传递函数描述属系统的外部描述系统的内部描述白箱系统完整地表征了系统的动力学特征状态空间表达式属系统的内部描述状态变量
x1 f1 ( x1 , x2 f 2 ( x1 , xn f n ( x1 , , xn , u1 , , xn , u1 , , xn , u1 , , um , t ) , um , t ) , um , t )
标量形式，繁琐!
6
矢量形式
第一章：状态空间描述2
Y(s) N(s) U(s) D(s)
写成微分方程形式
y(n)
a y(n1) n1
L
a1y&
a0
y
u(n1) n1
u(n2) n2
L
1u&0u
y(n) an1y(n1) an2y(n2) L
a1y&a0
y
u(n1) n1
u(n2) n2
L
1u&0u
(9.14)
对式(9.14)两侧各进行n次不定积分，并整理有
an1
1
c 0 1 n1
x1 0 0 0 0 a0 x1 0
x2
1
0
0
0
a1
x2
1
x3
0
1
0
0
a2
x3
2
u
xn1
0 0 0
0
an2
xn1
n2
xn 0 0 0 1 an1 xn n1 (9.16)
0
s 1
1 0
0 1
1 s(s 2)
s 2
0
1 s
0 s2
§ 1-3 系统的实现问题
（G(s) 状态空间的表示）
1．实现问题的基本概念
给定一个单变量线性定常系统的传函
G(s)
bmsm bm1• sm1
sn
a
n
sn 1
1
b1s a1s a0
b0
mn
所谓实现问题，就是根据上式寻求如下式的状态空间表达式
(b1 a0
a1bn
)s
(b0
a0bn
)
0 1 0 0
0
A
线性系统理论(最终) -1
第1章线性系统的数学描述建立起系统中各变量间的数学关系和变换关系，是系统分析与综合的前提条件。
由于分析方法或解决问题的目的不同，描述系统行为的数学方程也有所不同。
在线性系统时域理论中所使用的数学描述可分为两大类，即系统的输入-输出描述和系统的状态空间描述。
系统的输入-输出描述又称为外部描述，他是通过建立系统的输入和输出之间的数学关系来描述系统特性的。
在经典线性系统控制理论中的传递函数和微分方程都属于系统的外部描述。
系统的状态空间描述又称为内部描述，它选用能够完善描述系统行为的被称为状态的内部变量，通过建立状态和系统的输入以及输出之间的数学关系，来描述系统行为的。
系统的外部描述不是对系统的全部特性的描述，而状态空间描述是对系统行为的完善描述。
本章首先论述系统的外部描述，接着着重讨论系统的内部描述。
线性系统的状态空间描述是分析和综合线性系统的基础，在此给出线性系统状态空间的概念、组成方法、基本性质、描述特性和变换等，这些概念和结论对于后面的各章的讨论是不可缺少的。
1.1线性系统的输入-输出描述系统的输入－输出描述揭示了系统的输入和输出之间的某种数学关系。
在建立系统输入—输出描述时，可以假设系统的内部特性是完全未知的，即将系统看作一个“黑箱”。
向该“黑箱”施加各种类型的输入并测量出与之相应的输出，根据这些输入－输出数据，可以确定出系统的输入和输出之间的数学关系。
在图1-1所示的系统中，外部对系统施加的作用或激励称为系统的输入变量，系统对外部的影响则称为系统的输出变量。
假设系统有p 个输入，q 个输出，分别用12,,p u u u ⋅⋅⋅和12,,,q y y y ⋅⋅⋅来表示，或记为向量的形式：12[]Tp u u u =⋅⋅⋅u ，12[]T q y y y =⋅⋅⋅y ，称u 、y 为系统的外部变量，其中"T"表示向量的转置。
图1-1系统的外部描述如果系统只有一个输入和一个输出(p 1,1)q ==，则称系统为单变量系统，用符号SISO 表示；当系统的输入量或输出量多于一个时．则称其为多变量系统，用符号MIMO 表示。
现代控制理论-线性系统的状态空间描述
c11(t) c12 (t) c1n (t)
C
(t)
c21
(
t
)
c22 (t)
c2n (
t
)
,
m n维输出矩阵 表 征 输 出 和 每 个 状 态 量 变 的 关 系
cm1(t) cm2 (t) cmn (t)
d11(t)
D(t)
d 21 ( t )
d12 (t)
d22 (t)
最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用n阶微分方
程描述的含有n个独立变量的系统，当求得n个独立变量随时
间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于n，
必有变量不独立；若少于n，又不足以描述系统状态。
2021/8/24
电气信息学院《现代控制理论课程》
12
状态变量的选取具有非唯一性，即可 用某一组、也可用另一组数目最少的变量 （状态变量不唯一）。状态变量不一定要 象系统输出量那样，在物理上是可测量或 可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容 易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、 改善系统性能的需要。
常用符号： 积分器
比例器
ki
注：有几个状态变量，就建几个积分器
加法器
注:负反馈时为－
系统框图：
U
B
D
•
X
A
X C Y
X•
AX
BU
Y CX D U
2021/8/24
电气信息学院《现代控制理论课程》
22
线性时变系统状态空间描述：x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u
t)
b11(t) b12 (t) b1r (t)
B(t)
b21 ( t )
《现代控制理论》线性系统的状态空间描述
关键：选取输出量导数为状态变量
【例】
设系统
u
y
y
y
y
6
7
41
6
=
+
+
+
&
&
&
&
&
&
解:
选择状态变量
令：
3.从微分方程出发
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
则:
b. 系统输入量中含有导数
原则：使状态方程不含u的导数。
系统输入量中含有导数
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
由上式求导得：
整理得：
则：
续
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
注 意：这种方法不适用。 可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。
注 意
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
【例】
状态空间表达式为：
【例】 已知状态转移矩阵为
，试求
和A。
拉氏反变换，有
则
【例】试求状态方程的解。
，初始条件为
解：
拉氏变换法例题
线性定常连续系统状态方程的解
则：
三、 状态转移矩阵的性质 [要求熟练掌握]
证明：
有
成立
状态转移矩阵的性质
线性定常连续系统状态方程的解
5.
6.
7.
证明：
续
线性定常连续系统状态方程的解
其中：
（2）可观测标准型状态空间表达式为：
其中：
可观测标准形例题
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
线性系统理论(xue)
线性系统理论Linear System Theory 1-1 状态空间的基本概念例1-1 图示RLC 网络。
设：u i 为输入变量；u o =u c 为输出变量。
2 状态空间描述中常用的基本概念例1-1 图示RLC 网络。
设：u i 为输入变量；u o =u c 为输出变量。
用矩阵表示状态空间表达式：⎪⎨+−−=u x R x x 11&1-2 线性连续系统状态空间表达式的建立1......)((b s b s b s b s Y G n n ++++−1 N(s)/D(s)的串联分解——可控标准型实现x&x x⎤⎡⎡00010L &状态变量图例1-5 已知系统微分方程：u u T y y y +=ω+ωζ+试求系统的状态空间表达式，并绘制该系统的状态变量图。
21u x x x+ζω−ω−=22&2 可观测标准型实现设可控标准型实现为例1-6 已知系统微分方程：试求可观测标准型实现，并绘制其状态变量图。
3 并联分解——Jordan标准型实现⎤⎡−s L 0001ss s s U s G 89)()(23++==例1-7 已知某系统传递函数:⎡1⎤4 矩阵的特征方程、特征值1）方阵2 线性定常连续系统状态方程的求解2-1 齐次状态方程的解⎢⎣⎥⎦⎢⎣−−=⎥⎦⎢⎣22x 32x &解：用拉氏变换的方法:例2-1 求已知状态方程的状态转移矩阵。
2-2 状态转移矩阵的性质例2-2 已知状态转移矩阵，求Φ-1和系统矩阵A。
性质9 若例2-3已知系统矩阵，求状态转移矩阵及其状态转移矩阵的逆。
非齐次状态方程：例2-4 已知状态空间描述及零初始条件，输入为单位阶跃，求状态方程的解SISO系统：例9-29 已知系统动态方程，试求系统的传递矩阵。
⎡x&9-4-2开环与闭环传递矩阵MIMOU(s)E(s)Y(s)由图可知：3-1 线性系统的可控性与可观性3-1-1 问题的提出例3-2 已知系统状态空间表达式，⎧3-2 可控性问题基本概念考虑线性系统：3-3 可观测性的基本概念3-4 线性定常系统可控性判据考虑线性定常系统：例3-3 判断已知系统的可控性。
线性控制系统理论
例
设 y 5y8y6y 3u
求（A，B，C，D）
解：选
x1 y
..
x3 y
.
x2 y
线性控制系统理论
16
则： x1 x2 x2 x3
x 3 6 x 1 8 x2 5 x 3 3 u
y x1
线性控制系统理论
17
状态空间表达式为
x1 0 1 0x1 0
xx3206
0 8
1x20u 5x3 3
线性反馈系统的时间域综合
• 引言
– 综合问题的提法(*) – 性能指标的类型 – 研究综合问题的思路(*) – 工程实现中的一些理论问题
• 状态反馈和输出反馈
– 状态反馈(*) – 输出反馈 – 状态反馈和输出反馈的比较(*)
• 状态反馈极点配置：单输人情形(*)
– 问题的提法 – 期望闭环极点组 – 极点配置定理 – 极点配置算法(*)
– 由输入输出描述导出状态空间描述（*) – 由方块图描述导出状态空间描述(*)
线性控制系统理论
2
• 线性时不变系统的特征结构 – 特征多项式(*) – 特征值(*) – 特征向量和广义特征向量
• 状态方程的约当规范形 – 特征值为两两相异的情形(*)
• 由状态空间描述导出传递函数矩阵 – 传递函数矩阵 – G(s)基于(A,B,C,D)的表达式(*)
• 外部稳定性和内部稳定性(*)
– 外部稳定性 – 内部稳定性 – 内部稳定性和外部稳定性的关系
• 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
– 李亚普诺夫第一方法和第二方法
– 自治系统.平衡状态和受扰运动
– 李亚普诺夫意义下的稳定 – 渐近稳定 – 不稳定
• 李亚普诺夫第二方法的主要定理(*)
线性系统的状态空间描述
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量
x(t)x1(t),x2(t),L,xn(t)T称为n维状态向量。
状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组 成的 n 维空间称为状态空间Rn。
状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间 所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
连续系统：
x&(t)f [x(t),u(t),t] y(t)g[x(t),u(t),t]
离散系统：
xy(t(ktk1))gf[[xx(t(ktk),),uu(t(ktk),)t,ktk]] 或 x(yk(k)1)g[fx[(xk()k,)u,(uk()k,)k,]k]
4．线性系统状态空间表达式：状态方程与输出方 程都是线性方程的系统是线性系统。线性系统的状态方 程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程。
关于状态的几点说明
系统的状态空间描述
状态变量组选取上的不唯一性： 由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个
是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不 唯一性。
➢状态变量不是所有变量的总和。 ➢输出量可以选作状态变量。 ➢输入量不允许选作状态变量。 ➢状态变量有时是不可测量的。 ➢状态变量是时间域的。
对于控制工程而言，它可能是被控对象、控 制装置，也可能是某些部件的串联、并联和反馈 组合。
图1-1 系统的方块图表示
✓ 图中方块以外的部分为系统环境; ✓ 环境对系统施加的作用或激励称为系统输入，
用向量 u[u1,u2,Lup]T表示; ✓ 系统对环境的作用（即从外部量测到的系统信
息）称为系统输出，用向量 y[y1,y2,Lyq]T表示； ✓ 系统输入和输出统称为系统的外部变量。 ✓ 描述系统内部状况的变量称为系统的状态变量，
第1章 线性系统的状态空间描述(2)
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 0 0 ⋮ b = ⋮ 0 1 β 0 −an−1
C = [1 0 ⋯ 0]
状态变量结构图
例1 设
y
(3)
+ 5 ɺɺ+ 8 y+ 6 y = 3u y ɺ
求（A 求（A，B，C，D）
( n −1)
z
(n)
+ an−1 z
ɺ + ⋯ + a1 z + a0 z = u
y(s) z(s)
= β n −1 s
n −1
+ ⋯ + β 1s + β 0
y = β n −1 z
选取状态变量
( n −1 )
ɺ + ⋯ + β1z + β 0 z
ɺ x1 = z , x 2 = z , x3 = ɺɺ, ⋯ , x n = z z
其中h0 , h1 ,⋯ , hn −1是n个待定系数
ɺ y ɺ 求 出 y , ɺɺ , ⋯ , y ( n − 1 ) ⇐ 由 x i 及 u , u , ⋯ 表 示
即：
x1 = y − h0u ⇒ y = x1 + h0u
ɺ ɺ ɺ ɺ x2 = y − h0u − h1u ⇒ y = x2 + h0u + h1u
+⋯+ hn−1u
xn = y
( n−1)
− h0u
( n−1)
( n−1)
− h1u
( n−2)
−⋯− hn−1u
( n−2)
⇒ y
= xn + h0u
( n−1)
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章节安排
1.1 状态空间分析法 1.2 由系统框图导出状态空间描述 1.3 由系统机理导出状态空间描述 1.4 由输入输出描述导出状态空间描述及其几种标准型式
1.5 离散时间线性系统的状态空间描述
1.6 线性定常系统的特征结构 1.7 由状态空间描述求传递函数
1.8 状态矢量的线性变换
1.9 组合系统的状态空间描述
（1-11）
（1-12）
Note:
高阶微分方程通过选择适当的变量可转换为一阶 微分方程组
一阶微分方程组的个数等于变量的个数，即等于
高阶微分方程的阶数
变量的选择不是唯一的，选择的变量不同，得到 的方程组也不同
二、状态变量和状态矢量
1. 状态：系统的运动状态
2. 状态变量：完全表征系统运动状态的且个数最少 的一组变量
B(t), C(t),D(t) 的样式与A相同
（4）对于非线性系统，状态空间描述为
1 f1 ( x1 , x2 , xn ;u1, u2 ,ur ; t ) x x 2 f1 ( x1 , x2 , xn ;u1, u2 ,ur ; t ) n f1 ( x1 , x2 , xn ;u1, u2 ,ur ; t ) x y1 g1 ( x1 , x2 , xn ;u1, u2 ,ur ; t ) y g ( x , x , x ;u , u ,u ; t ) 2 1 1 2 n 1 2 r ym g1 ( x1 , x2 , xn ;u1, u2 ,ur ; t )
U ( s)
b
Y ( s)
1/ s
1/ s
u
b
x1
a1
x1 x 2
x2 y
a1 a2
a2
x1 a1 x1 a2 x2 bu x2 x1 y x2
举例：已知系统的结构图如下，求状态空间表达式。
U ( s)
k1 T1 s 1 k2 T2 s 1 k3 T3 s
b11 b12 b b 21 22 B bn1 bn 2 b1 p b2 p bnp
y1 c11x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d1 pu p y2 c21x1 c22 x2 c2n xn d21u1 d2 pu p yq cq1x1 cq2 x2 cqn xn dq1u1 dqpu p
y Cx Du
……….
c11 c 21 C cq1
c12 c22 cq 2
c1n c2 n cqn
d11 d 21 D d q1
d12 d 22 dq2
（1-13）
（1）对于SISO线性定常系统，状态空间描述的一般形式为
1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2u x n 1 an 11 x1 an 12 x2 an 1n xn bn 1u x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu x
n an1x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bnpu p x
Ax Bu x
a11 a A 21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
在选取状态变量时，一般遵循把系统储能元件的输出、 系统的输出及其各阶导数为状态变量的选取原则。
1.3由系统微分方程求出状态空间表达式
在学习古典控制理论中，一个系统的运动情况可由一个高阶微分 方程式来描述。在这种形式中，将所有的内部变量消去，只是保留 输入输出变量，这种描述称为外部描述。
若对已知的外部描述重新选择状态变量，建立相应的状态空间表 达式，则称为实现问题。 所求得的状态空间表达式既保持了原微分方程的输入输出的关系， 又将系统的内部关系揭示出来。当然，由于状态变量的选择不同， 状态空间表达式并不是唯一的，一般会有无穷多个内部结构能够得 到相同的输入输出关系。
同一个系统状态变量的选取不是唯一的 状态变量应该是相互独立的，且个数应等于微分方程 的阶数，即等于系统中独立的储能元件的个数 状态变量在初始时刻的值就是系统的初始状态，即系 统的n个独立初始条件。
3. 状态矢量：如果n个状态变量 x1 t , x2 t , xn t 用矢量的形式表示为：
（1.8）
由系统的高阶微分方程式或传递函数建立系统的状态空 间表达式，就是由方程的系数来构造A、B、C和D四个矩阵。 分别讨论以下两种情况下，建立状态空间表达式。 • 系统输入量不含导数项 • 系统输入量含有导数项的
d1 p d2 p d qp
（3）对于线性时变系统，状态空间描述为
A(t ) x B(t )u x y C (t ) x D(t )u
a11 (t ) a12 (t ) a1n (t ) a (t ) a (t ) a (t ) 22 2n A(t ) 21 an1 (t ) an 2 (t ) ann (t )
2. 状态空间描述：也称状态空间表达式或动态方程， 用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程 组。在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出 方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程 合起来称为系统的状态空间表达。
状态 方程
f x, u x y g x, u
输出 方程
Y (s) b U (s) s a
Y (s) b/s U (s) 1 a / s
U ( s)
b
1/ s
Y ( s)
u
b
y
a
a
系统框图
系统结构图
x ax bu yx
2. 二阶系统
Y (s) b 2 U ( s ) s a1 s a2
Y (s) b / s2 U ( s) 1 a1 / s a2 / s 2
现代控制理论基础
雷金莉 宝鸡文理学院 电子电气工程系 2014.9
第一章 线性系统的状态空间描述
教学要求
1.
正确理解线性系统的数学描述，状 态空间的基本概念。 熟练掌握状态空间的表达式，线性 变换.
2.
重点内容
状态空间表达式的建立，线性变换的基 本性质，传递函数矩阵的定义。
要求熟练掌握通过传递函数、微分方程 和结构图建立电路、机电系统的状态空 间表达式，并画出状态变量图，以及可 控、可观、对角和约当标准型。
R 1 1 x1 x2 u （1-7） L CL L
（1-8）
2 x1 x
R L x 1
1 1 CL x L u 0 0
（1-10）
1 1 y (t ) c (t ) x2 0 x C C y Cx Du
x1 t x t xt 2 xn t
则x(t)称为状态矢量。
三、状态空间和状态空间描述
1. 状态空间：以状态变量 x1 , x2 ,, xn 为坐标轴构 成的n维空间
在某一时刻的状态矢量在状态空间中就是一个点。随着 时间的推移，状态矢量在状态空间中描绘出一条轨迹，称 为状态轨迹。
f ( x , u, t ) x y g ( x , u, t )
四、状态结构图
在状态空间分析中，常用状态结构图来反映 系统各状态变量之间的信息传递关系。
状态结构图绘制方法： 积分器的数目等于状态变量数 将他们画在适当的位置，每个积分器的输出为 相应的状态变量 根据所给的状态方程和输出方程。画出相应的 加法器和放大器 最后用箭头将这些元件连接起来。
Ax bx x
（1-14）
y c11 x1 c12 x2 du y cx du
（16）
（1-15）
其中：
x1 x x 2 xn
状态矢量
a11 a A 21 an1
a12 a22 an 2
（1-3）
dc(t ) d 2c(t ) u(t ) RC LC c(t ) dt dt
（1-5）
（2）用现代法分析： 设变量 x1 (t ) i(t )
1 Rx1 Lx 1 x2 u C
（1-6）
x2 (t ) idt
x x1 x2
（1-9）
1 x
a1n a2 n ann
b1 b b 2 bn
输入或控制矩阵
系统矩阵
c c1 c2 cn
输出矩阵
（2）对于MIMO系统，状态空间描述为
………
1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b1 pu p x 2 a21 x1 a22 x2 a2n xn b21u1 b2 pu p x
常见的控制系统，可分为电气、机械、机电、液压等系 统，根据相应的物理规律，当系统的具体物理机构已知、各 参数已知，根据各种基本定律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、 能量守恒定律等，可直接建立系统的状态方程。当指定了系 统的输出时，也不难写出系统的输出方程。步骤如下：
（1）根据系统的机理建立相应的微分方程。 （2）选择有关的物理量作为状态变量。 （3）导出状态空间表达式。