电磁场与电磁波(第9章)

现在将 k 定义为传播矢量，并把平面单色波的方程写为
E E0 exp[i(t k r )]
则只需要改变 k 的分量就可以达到表示波的传播方向的目的。 利用传播矢量 k 来描述波还有一个好处：可以很容易得到 场量关于时间和空间的导数。
E E0 exp[i(t k r )]
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E P / 0 f / 0 B E t
各向同性绝缘介质中的麦克斯韦方程
E P / 0 0
只存在由于介质极 化产生的电荷和电流




B E t
B 0
c 2 B J f / 0
E P / 0 t
这里 k 代表传播方向，常矢量 E0 则表示入射电场的方向。
此外,波的传播方向可以是任意的。 第七章中曾经指出：当平面线性极化波穿过各向同性绝 缘介质时，场的方向不会产生旋转变化，这样,在假定介 质1、介质2和边界区域均为各向同性的情况下，就可以
E0 认为电场方向是不会发生旋转变化的。如果用
射波的方向，那么反射波 E'


B 0 2 c B E P / 0 t


E P / 0 0
假定仅在x方向才会有边界的 变化,沿着y和z方向没有边界


Ex Ey Ez 1 Px 1 Py 1 Pz 0 x y z 0 x 0 y 0 z
( Ex Px / 0 )1 ( Ex Px / 0 )2
结论： 电场在x方向上分量的边界条件为
2 2 n1 ( Ex )1 n2 ( Ex )2
下面考虑麦克斯韦第二方程
B E t
与x无关的所有项 的导数均应为零 令右边为零
ex E x Ex
i t
E E0 exp[i(t kx x ky y kz z)]
E i E t
对于空间坐标的导数则为
E ik x E x
E ik y E y
E ik z E z
由于
ex
ey ez x y z
ik
E x 1 Px 0 x 0 x
1 ( Ex Px ) 0 x 0
可以看出，在穿过边界时,( Ex Px / 0 ) 这一项的大小并不改变 即
( Ex Px / 0 )1 ( Ex Px / 0 )2
对于各向同性的绝缘介质，可以利用 E 和 关系，简化电场在x方向分量的边界条件。
E y x
0
Baidu Nhomakorabea
( Ey )1 ( Ey ) 2
( Ez )1 ( Ez )2
全部的磁场边界条件为
B 0
c B E P / 0 t
2


B1 B2
磁场的任何分量在穿过边界时都不改变。
9.2
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传播矢量
E E0 exp[i(t kz)] 描述了一个沿 Z 方向
ey y Ey
ez 0 z Ez
E y Ez E ex 0 ey ez x x E y Ez 0 ex 0 ey ez x x
E
B 0 t
Ez 0 x
结论： 全部的电场边界条件为
2 2 n1 ( Ex )1 n2 ( Ex )2
传播的单色平面波，其中是 E0 一个常向量，其大小确定了 电场的幅值，而其方向则给定了电场的极化方向，式中的常 数 k 为 k n / c
下面我们采用一种比较灵活的方法来确定波的传播方向,
首先考虑一个位置矢量 的标量积
r
( 描述场点的矢量)与矢量 k
k r kx x k y y kz z
9.1
电磁波传播的边界条件
边界和电磁波的传播方向如图所示 只考虑介质1和介质2 之间边界为平面的情况。 假定入射电磁波从介质1 穿过边界，并将边界置于 y-z平面上,于是x轴便垂 直于边界。这样要历经的 边界必须沿x方向行进。 边界可以看成是从介质1 电磁波的入射、反射与透射 到介质2连续变化的一个 小区域。麦克斯韦方程适用于折射率分别为n1和 n2的不同 介质,自然也适用于边界区域。
0
代表入
E0 和透射波
''
将与 E
0
同方向。
然而,按照对于所要解决问题的考虑, E0 的方向可能会出 现两种极端的情况，即它或与X-Y平面平行或垂直于X-Y 平面，E0 的其它全部可能的取向可以用这两个相互垂直
的方向的矢量和来表示。
下面我们就来分别考虑这两种极端的情况 第一种情况: 电场的极化平面垂直于X-Y平面（入射平面）
在这种情况下,电场只有 Z 分量,边界上介质1一边的电场是入射场和反
射场的矢量和，而介质2这一边的情况则比较简单，电场就是透射场
即
E1 Ei Er
E2 Et
P 之间的
r (E P / 0 ) / E
r n2
(Ex Px / 0 )1 (Ex Px / 0 )2
n2 ( E P / 0 ) / E
P 0 E(n2 1)
2 [Ex Ex (n12 1)]1 [Ex Ex (n2 1)]2
入射波：
Ei E0 exp[i(t k r )]
反射波：
' Er E0 exp[i( ' t k ' r )]
透射波：
'' Et E0 exp[i( '' t k '' r )]
平面单色波在两种理想绝缘介质交界面 上的入射、反射和透射
显然，必须首先明确地给出入射平面单色波的描述式，
2
由矢量分析可知
k k k
并且
k n / c
这时可将上式写为
2 k k k 2 kx2 ky kz2 2n2 / c2
9.3
平面边界的反射与透射
利用传播矢量来对平面单色波在两种理想的绝缘介质 ( 假定为均匀,各向同性和无损耗)之间平面边界上的反射和 透射问题重新讨论。 如右图示：