离散数学(大作业)与答案
《离散数学》作业参考答案
7 (P→Q) (P→R) ( P Q) ( P R) (合取范式) ( P Q (R R) ( P ( Q Q) R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(主合取范式)
(P ( Q Q)) (( P P) Q) (P Q) (P Q) ( P Q) (P Q) (P Q) (P Q) ( P Q)(主析取范式) 2.Q→( P R) Q P R(主合取范式) (Q→( P R)) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R)
E
(6)
(8)
E
前提
(9) E E
(7),(8)
8 、A→(C B),B→ A,D→ C A→ D.
证明:
(1) A
附加前提
(2) A→(C B) 前提
(3) C B
(1),(2)
(4) B→ A
前提
(5) B
(1),(4)
(6) C
(3),(5)
(7) D→ C
前提
(8) D
( P (Q Q)) (( P P) Q) ( P Q) ( P Q) ( P Q) (P Q) ( P Q) ( P Q) (P Q)(主析取范式) 4. (P→Q) (R P) ( P Q) (R P) (P Q) (R P)(析取范式) (P Q (R R)) (P ( Q Q) R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)(主析取范式) ( (P→Q) (R P)) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
离散数学大作业答案
一、简要回答下列问题:(每小题3分,共30分)1.请给出集合的结合率。
答:结合律(AUB)UC=AU(BUC)x∈(AUB)UC,即 x∈AUB 或 x∈C即 x∈A 或 x∈B 或 x∈C 即 x∈A 或 x∈B∪C即 x∈AU(BUC)说明 (AUB)UC包含于AU(BUC)同理可证AU(BUC)包含于(AUB)UC所以(AUB)UC=AU(BUC)2.请给出一个集合A,并给出A上既不具有自反性,又不具有反自反性的关系。
3.设A={1,2},问A上共有多少个不同的对称关系?答:不同的对称关系有:8种R = ΦR = {<1,1>}R = {<2,2>}R = {<1,1>,<2,2>}R = {<1,2>,<2,1>}R = {<1,1>,<1,2>,<2,1>}R = {<1,2>,<2,1>,<2,2>}R = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}4.设A={1,2,3,4,5,6},R是A上的整除关系,M={2,3},求M的上界,下界。
5.关于P,Q,R请给出使极小项m0,m4为真的解释。
答:m0= ┐p∧┐q∧┐r m4= p∧┐q∧┐r6.什么是图中的简单路?请举一例。
答:图的通路中,所有边e1,e2,…,ek互不相同,称为简单通路。
7.什么是交换群,请举一例。
答:如果群〈G,*〉中的运算*是可以交换的,则称该群为可交换群,或称阿贝尔群。
如〈I,+〉是交换群。
8.什么是群中右模H合同关系?答:设G是群,H是G的子群,a,b∈G,若有h∈H,使得a =bh,则称a合同于b(右模H),记为a≡b(右mod H)。
9.什么是有壹环?请举一例。
答:幺元:如果A中的一个元素e,它既是左幺元又是右幺元,则称e为A中关于运算☆的幺元。
离散数学试题与参考答案
离散数学试题与参考答案(总4页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《离散数学》试题及答案一、选择题:本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式2.设P 表示“天下大雨”, Q 表示“他在室内运动”,则命题“除非天下大雨,否则他不在室内运动”符号化为( )。
(A). P Q →; (B).P Q ∧; (C).P Q ⌝→⌝; (D).P Q ⌝∨.3.设集合A ={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}},则下式为真的是( ) (A) 1A (B) {1,2, 3}A (C) {{4,5}}A (D) A4. 设A ={1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >} (C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>} 5. 设G 如右图:那么G 不是( ). (A)哈密顿图; (B)完全图;(C)欧拉图; (D) 平面图.二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。
把答案填在对应题号后的横线上。
6. 设集合A ={,{a }},则A 的幂集P (A )=7. 设集合A ={1,2,3,4 }, B ={6,8,12}, A 到B 的关系R =},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><, 那么R -1=8. 在“同学,老乡,亲戚,朋友”四个关系中_______是等价关系. 9. 写出一个不含“→”的逻辑联结词的完备集 . 10.设X ={a ,b ,c },R 是X 上的二元关系,其关系矩阵为M R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001001101,那么R 的关系图为三、证明题(共30分)11. (10分)已知A 、B 、C 是三个集合,证明A ∩(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C) 12. (10分)构造证明:(P (Q S))∧(R ∨P)∧Q R S13.(10分)证明(0,1)与[0,1),[0,1)与[0,1]等势。
吉大网院 离散数学 大作业及答案 201903
一、简要回答下列问题(每小题5分,共30分)1、请给出集合的吸收率。
2、设A={1,2},请给出A上的所有关系。
答:集合A上的全部关系有2^(2^2)=16种:空关系{},全关系{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}{<1,1>}{<2,2>}{<1,2>}{<2,1>}{<1,1>,<1,2>}{<1,1>,<2,1>}{<1,1> ,<2,2>}{<1,2>,<2,1>}{<1,2>,<2,2>}{<2,1>,<2,2>}{<1,1>,<1,2>,<2,1>}{<1,1>,<1,2>,<2,2>}{< 1,1>,<2,1>,<2,2>}{<1,2>,<2,1>,<2,2>}3、什么是子句?请给出一例。
答:子句集S称为是可满足的,如果存在一个个体域和一种解释,使S中的每一个子句均为真,或者使得S的每一个子句中至少有一个文字为真。
否则, 称子句集S是不可满足的4、什么是前束范式?答:前束范式亦称前束式,一种谓词演算公式。
指其一切量词都未被否定地处于公式的最前端且其辖域都延伸至公式的末端的谓词演算公式。
设Q∈{∃,ᗄ},一个公式α是前束范式,当且仅当存在一个不含量词的公式β,使得α=(Q₁x₁)(Q₂x₂)…(Qₑxₑ)β.5、什么是谓词逻辑中的项?答:谓词逻辑中的项指变项和常项,变项又分为自由变项和约束变项。
6、什么是命题公式的演绎?答:用A'表示非A,则(A+B)'=A'B',(AB)'=A'+B'.二、设A是m元集合,B是n元集合。
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案解析(总16页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--离散数学习题答案习题一及答案:(P14-15)14、将下列命题符号化:(5)李辛与李末是兄弟解:设p:李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p(6)王强与刘威都学过法语∧解:设p:王强学过法语;q:刘威学过法语;则命题符号化的结果是p q(9)只有天下大雨,他才乘班车上班→解:设p:天下大雨;q:他乘班车上班;则命题符号化的结果是q p (11)下雪路滑,他迟到了解:设p:下雪;q:路滑;r:他迟到了;则命题符号化的结果是()∧→p q r 15、设p:2+3=5.q:大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起.求下列复合命题的真值:(4)()(())∧∧⌝↔⌝∨⌝→p q r p q r解:p=1,q=1,r=0,∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔,p q r()(110)1p q r⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔(())((11)0)(00)1∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔()(())111p q r p q r19、用真值表判断下列公式的类型:(2)()→⌝→⌝p p q解:列出公式的真值表,如下所示:由真值表可以看出公式有3个成真赋值,故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值: (4)()p q q ⌝∨→解:因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是:()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有:01,10,11。
习题二及答案:(P38)5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ⌝→∧∧解:原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨,此即公式的主析取范式, 所以成真赋值为011,111。
*6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: (2)()()p q p r ∧∨⌝∨解:原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔,此即公式的主合取范式, 所以成假赋值为100。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数,2<n<8}$,求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作:$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子,描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$,合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图,图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$,证明下列结论:a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径,则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径,则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表:3. 对于任意$n$,我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数,其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数,因为它们都至少有一个小于它自身的因子,所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意,从$i$到$j$只有一条权值最小的路径,即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径,假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径,那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优,又因为这条路径是最短路径,所以这段子路径也一定不优于最短路径,矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径,则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等,所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象?A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案:C2. 在逻辑学中,下列哪个命题是真命题?A. 如果今天是周一,那么明天是周二。
B. 如果今天是周一,那么明天是周三。
C. 如果今天是周一,那么明天是周四。
D. 如果今天是周一,那么明天是周五。
答案:A3. 在集合论中,下列哪个符号表示集合的并集?A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案:B4. 在图论中,下列哪个术语描述的是图中的顶点集合?A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案:D二、填空题(每题5分,共20分)1. 如果一个集合A包含5个元素,那么它的子集个数是______。
答案:322. 在逻辑学中,如果命题P和命题Q都是真命题,那么复合命题“P且Q”的真值是______。
答案:真3. 在图论中,如果一个图的顶点数为n,那么它的最大边数是______。
答案:n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3,那么它最多包含______个节点。
答案:7三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述什么是图的连通性,并给出一个例子。
答案:图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
例如,在一个完全图K3中,任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接,因此它是连通的。
2. 解释什么是逻辑蕴含,并给出一个例子。
答案:逻辑蕴含是指如果一个命题P为真,则另一个命题Q也必须为真。
例如,命题P:“如果今天是周一”,命题Q:“明天是周二”。
如果今天是周一,那么根据逻辑蕴含,明天必须是周二。
3. 请描述什么是二叉搜索树,并给出它的一个性质。
答案:二叉搜索树是一种特殊的二叉树,其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数,右子树只包含大于当前节点的数。
它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。
四、计算题(每题15分,共30分)1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5},请计算它的幂集,并列出所有元素。
离散数学(大作业
一、请给出一个集合A ,并给出A 上既具有对称性,又具有反对称性的关系。
(10分) A:(A ∩B)∪A=A,(A ∪B)∩A=A.二、请给出一个集合A ,并给出A 上既不具有对称性,又不具有反对称性的关系。
(10分) A:(A ∩B)∪A=A,(A ∪B)∩A=A.三、设A={1,2},请给出A 上的所有关系。
(10分){1,2} {2,1}四、设A={1,2,3},问A 上一共有多少个不同的关系。
(10分)集合中有三个元素,3个元素对,可定义二元关系2^3=8种(3个元素对分别满足或者不满足关系R )五、证明: 命题公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中,每个子句均至少包含一个原子及其否定。
(10分)证明:设公式G 的合取范式为:G ’=G 1∧G 2∧…∧G n若公式G 恒真,则G ’恒真,即子句G i ;i=1,2,…n 恒真为其充要条件。
G i 恒真则其必然有一个原子和它的否定同时出现在G i 中,也就是说无论一个解释I 使这个原子为1或0 ,G i 都取1值。
若不然,假设G i 恒真,但每个原子和其否定都不同时出现在G i 中。
则可以给定一个解释I ,使带否定号的原子为1,不带否定号的原子为0,那么G i 在解释I 下的取值为0。
这与G i 恒真矛盾。
因此,公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中,每个子句均至少包含一个原子及其否定。
六、若G=(P ,L)是有限图,设P(G),L(G)的元数分别为m ,n 。
证明:n ≤2m C ,其中2m C 表示m 中取2的组合数。
(10分)证明:如果G=(P,L)为完全图,即对于任意的两点u 、v (u ≠v ),都有一条边uv ,则此时对于元数为m 的P(G),L(G)的元数取值最大为C m 2。
因此,若G=(P,L)为一有限图,设P(G)的元数为m ,则有L(G)的元数n ≤C m 2 ,其中C m 2 表示m 中取2的组合数。
离散数学习题集十五套含答案
离散数学试题与答案试卷一一、填空20% (每小题2分)1.设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+xExxBxNxxA且且(N:自然数集,E+正偶数)则=⋃BA{0,1,2,3,4,6} 。
2.A,B,C表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为ACB-⊕)(。
3.设P,Q 的真值为0,R,S的真值为1,则)()))(((SRPRQP⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 1 。
4.公式PRSRP⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为)()(RSPRSP∨⌝∨⌝∧∨∨⌝。
5.若解释I的论域D仅包含一个元素,则)()(xxPxxP∀→∃在I下真值为1 。
6.设A={1,2,3,4},A上关系图为则R2 = {<>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d> 。
7.设A={a,b,c,d},其上偏序关系R的哈斯图为则R= {<>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>}IA。
8.图的补图为9.设A={a,b,c,d} ,A上二元运算如下:* a b c dabcda b c db c d ac d a bd a b c那么代数系统<A,*>的幺元是 a ,有逆元的元素为a , b , c ,d,它们的逆元分别为 a , d , c , d 。
10.下图所示的偏序集中,是格的为 c 。
二、选择20% (每小题2分)1、下列是真命题的有(CD)A.}}{{}{aa⊆;B.}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ;C.}},{{ΦΦ∈Φ;D.}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有(BC )A.{4,3}Φ⋃;B.{Φ,3,4};C.{4,Φ,3,3};D.{3,4}。
3、设A={1,2,3},则A上的二元关系有( C )个。
A.23 ;B.32 ;C.332⨯;D.223⨯。
4、设R,S是集合A上的关系,则下列说法正确的是(A )A.若R,S 是自反的,则SR 是自反的;A BCB .若R ,S 是反自反的, 则S R 是反自反的;C .若R ,S 是对称的, 则S R 是对称的;D .若R ,S 是传递的, 则S R 是传递的。
离散数学考试题目及答案
离散数学考试题目及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},集合B={3,4,5},则A∩B的元素个数为:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B2. 函数f: X→Y是一个双射,当且仅当:A. f是单射且满射B. f是单射C. f是满射D. f是双射答案:A3. 命题p: "x是偶数",命题q: "x是3的倍数",下列逻辑运算中,表示"x是6的倍数"的是:A. p∧qB. p∨qC. ¬p∧¬qD. ¬p∨¬q答案:A4. 有向图G中,若存在从顶点u到顶点v的有向路径,则称顶点u可达顶点v。
若G中任意两个顶点都相互可达,则称G为:A. 强连通图B. 弱连通图C. 无向图D. 有向无环图答案:A5. 在二进制数系统中,下列哪个数的值最大?A. 1010B. 1100C. 1110D. 1101答案:C6. 布尔代数中,逻辑或运算符表示为:A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案:B7. 有限自动机中,状态q0是初始状态,状态q1是接受状态。
若存在从q0到q1的ε-转移,则该自动机:A. 仅在输入为空时接受B. 仅在输入非空时接受C. 无论输入为何都接受D. 无法确定是否接受答案:C8. 命题逻辑中,若命题p和q都为真,则p∧q的真值是:A. 真B. 假C. 可能为真,也可能为假D. 无法确定答案:A9. 集合{1,2,3}的子集个数为:A. 4B. 6C. 7D. 8答案:D10. 若关系R在集合A上是自反的,则对于A中的任意元素a,有:A. (a,a)∈RB. (a,a)∉RC. (a,a)是R的自反对D. (a,a)不是R的自反对答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 集合A={1,2,3}的幂集包含__个元素。
答案:82. 若函数f: X→Y是满射,则对于Y中的任意元素y,至少存在X中的一个元素x,使得f(x)=__。
大学试卷《离散数学》及答案.docx
离散数学一、填空题(本大题共48分,共16小题,每小题3分)1.--公式为之充分必要条件是其合取范式之每一合取项中均必同时包含一命题变元及其否定2.无向图G具有是生成树,当且仅当的,若G为(n,m)连通图,要确定G的一棵生成树必删掉G的条边。
3.一个无向图的欧拉回路要求经过图中一次且仅一次,汉密顿图要求经过图中一次且仅一次。
4.设P:我生病,Q:我去学校(1)命题“我虽然生病但我仍去学校”符号化为o (2)命题“只有生病的时候,我才不去学校”符号化为o (3)命题"如果我生病,那么我不去学校”符号化为o5.设有33盏灯,拟公用一个电源,则至少需要5个插头的接线板数6.若HlAH2A-AHn是 ,则称Hl, H2, -Hn是相容的,若HlAH2A-AHn是 ,则称H1.H2, -Hn是不相容的7.设f,g,h 是N 到N上的函数(N 为自然数集合),f(n)=n+l;g(n)=2n;h(n)=0;贝lj(fdg)oh=8.K5的点连通度为 ,边连通度为o9.A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 24, 36}, R 是A 上的整除关系。
子B={1, 2, 3, 4},那么B的上界是; B的下界是;:6的上确界是; B的下确界为10.命题公式P-*QAR的对偶式为11.设入={1, {2}, <t>},则A的幕集有元素个。
12.设A={0, 1,2, 3}, B={4,6, 7}, C={8, 9, 12, 14}, R1 是由A 到B 的关系,R2 是由B到C原关系,分别定义为Rl={<2, 6>, <3, 4>, <0, 7>} ;R2={<4, 8>, <4, 12>, <6, 12>,〈7, 14〉},则复合关系RloR2 为:13.设A= {<i)}, B={<t>, (<!>}},贝i]P(A) nP(B)= 。
吉林大学奥鹏吉大20年9月课程考试《离散数学》学生试卷考核试题标准答案
2019-2020学年第二学期期末考试《离散数学》大作业
学生姓名专业
层次年级学号
学习中心成绩
年月日
作业要求:大作业要求学生手写完成,提供手写文档的清晰扫描图片,并将图片添加到word文档内,最终wod文档上传平台,不允许学生提交其他格式文件(如JPG,RAR等非word文档格式),如有雷同、抄袭成绩按不及格处理。
6. 设R是非空集合A上的关系,如果
1)对任意aA,都有a R a;
2)若aRb,aRc,则bRc;证明:R是等价关系。(10分)
7. 证明:映射的乘法满足结合律,举例说明:映射的乘法不满足交换律。 (10 分)
三 问答题 (共6题 ,总分值30分 )
8. 请给出集合的分配率。 (5 分)
9. 设A={,{}},B={1},求(A),(B)。 (5 分)
一 综合题 (共3题 ,总分值30分 )
1. 设A是m元集合,B是n元集合。问A到B共有多少个不同的二元关系?设A={a,b},B={1, 2},试写出A到B上的全部二元关系。 (10 分)
2. 指出下列表达式中的自由变量和约束变量,并指明量词的作用域:
(1)(xP(x)xQ(x))(xP(x)Q(y))
(2)xy((P(x)Q(y))zR(z))
(3)A(z)(xyB(x,y,a))
(4)x A(x)yB(x,y)
(5)(x)yG(x,y,z))zH(x,y,z)(10分)
3. 设下面所有谓词的定义域都是{a,b,c}。试将下面谓词公式中的量词消除,写成与之等价的命题公式。
(1)xR(x)xS(x)
(2)x(P(x)Q(x))
(3)xP(x)xP(x)(10分)
离散数学参考答案
1.(单选题)A.明年“五一”是晴天。
B.这朵花多好看呀!。
C.这个男孩真勇敢啊! D.明天下午有会吗?答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A问题解析:2.(单选题) 在上面句子中,是命题的是( )A.1+101=110 B.中国人民是伟大的。
C.这朵花多好看呀! D.计算机机房有空位吗?答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B问题解析:3.(单选题) 在上面句子中,是命题的是( )A.如果天气好,那么我去散步。
B.天气多好呀!C.x=3。
D.明天下午有会吗?答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A问题解析:4.(单选题) 在上面句子中( )是命题下面的命题不是简单命题的是( )A.3 是素数或4 是素数B.2018 年元旦下大雪C.刘宏与魏新是同学 D.圆的面积等于半径的平方与π之积答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A问题解析:5.(单选题) 下面的表述与众不一致的一个是( )A.P :广州是一个大城市 B.ØP :广州是一个不大的城市C.ØP :广州是一个很不小的城市 D.ØP :广州不是一个大城市答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C问题解析:6.(单选题) 设,P:他聪明;Q:他用功。
在命题逻辑中,命题:“他既聪明又用功。
”可符号化为:()A.PÙQ B.P®QC.PÚØQ D.PÙØQ答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A问题解析:7.(单选题) 设:P :刘平聪明。
Q:刘平用功。
在命题逻辑中,命题:“刘平不但聪明,而且用功”可符号化为:()A.PÙQ B.ØPÚQC.PÚØQ D.PÙØQ答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A问题解析:8.(单选题)设:P:他聪明;Q:他用功。
吉林大学2020-2021学年第一学期期末考试《离散数学》大作业参考答案
2020-2021学年第一学期期末考试《离散数学》大作业
一综合题 (共1题,总分值10分 )
1. 设I是如下一个解释:
D={3,2}
试求出下列公式在I下的真值:
(1)(a,f(a))∧P(b,f(b));
(2)x∃yP(y,x);
(3)x∀y(P(x,y)→P(f(x),f(y)));(10 分)
解:
二证明题 (共1题,总分值10分 )
2. 设K和H都是群G的子群,试证明:若H·K是G的子群,则K·H = H·K。
(10 分)
证明:首先,证明*对于H∩K是封闭的。
设a,b∈H∩K,于是有a∈H,b∈H和a∈K,b∈K;由于(H,*)和(K,*)都是群,所以a*b∈H和a*b ∈K,即a*b∈H∩K,由此证得*对于H∩K是封闭的。
其次,运算*满足结合律是继承的.幺元e∈H∩K是易见的。
如果a∈H∩K,则a∈H,a∈K,并且a-1∈H,a-1∈K,由此可得a-1∈H∩K。
综上证明,(H∩K,*)是(G,*)的子群。
三问答题 (共8题,总分值80分 )
3. 什么是图?(10 分)
答:图(意指离散数学中的图这一概念)中的基本(初级)回路均是简单回路。
离散数学大作业2
一、单项选择题1、三个结点最多可以构成__________个非同构的无向简单图。
A .1B .2C .3D .42. 下列四组数据中,不能成为任何4阶无向简单图的度数序列的为( )A. 1,1,1,3,B.3,2,2,3C. 2,2,2,2,D. 1,2,3,43.无向图的关联矩阵中,每行的元素之和为( )。
A .边数的2倍B .2C .顶点数D .顶点的度数4、二部图(偶图)K 2,3是( )。
A .欧拉图B .哈密顿图C .非平面图D .平面图5.3阶无向完全图(K 3)不是以下哪种图?( )A .欧拉图B .平面图C .二部图D .哈密顿图二、填空题1. 一个无向图有4个结点,4条边,其中的3个顶点度数分别为1,2,3,则第4个结点度数一定是_______。
2、无向完全图K 4要成为欧拉图至少要添加_____________条边。
3.完全二部图K 2,3是平面图,它的平面嵌入共有______________个面。
4. 一棵无向树T 有4度、3度、2度的分枝点各1个,其余顶点均为树叶,则T 中有_____________片树叶。
三、设无向图G 有12条边,2个4度顶点,其余顶点度数均为3或2。
(1)计算该图最少有多少个顶点?(2)画出一棵具有最少顶点的无向图。
四、以下是具有结点V 1,V 2,V 3,V 4的有向图的邻接矩阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1001200010100110 (1)画出该图; (2)求长度为2的通路总数和回路总数;(3)该图是否为欧拉图?五、右图是具有四个结点的有向图:(1)写出该图的邻接矩阵、可达矩阵;(2)求长度为2的通路总数。
(3)判断该图为单向连通还是强连通?六、右下图为无向图:(1)它是否为平面图?若是,请画出它的一个平面嵌入图;否则,说明理由。
(2)判断该图是否为哈密尔顿图?请说明理由。
(3)判断该图是否为二部图?请说明理由。
七. 图G是一个简单的连通的平面图,顶点数为8为四边形(次数为4),计算平面图G的边数和面数。
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一、请给出一个集合A,并给出A上既具有对称性,又具有反对称性的关系。
(10分)解:A={1,2} R={(1,1),(2,2)}
二、请给出一个集合A,并给出A上既不具有对称性,又不具有反对称性的关系。
(10分)集合A={1,2,3}
A上关系{<1,2>,<2,1>,<1,3>},既不具有对称性,又不具有反对称性
三、设A={1,2},请给出A上的所有关系。
(10分)
答:A上的所有关系:
空关系,{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
{<1,1>}
{<1,2>}
{<2,1>}
{<2,2>}
{<1,1>,<1,2>}
{<1,1>,<2,1>}
{<1,1>,<2,2>}
{<1,2>,<2,1>}
{<1,2>,<2,2>}
{<2,1>,<2,2>}
{<1,1>,<1,2>,<2,1>}
{<1,1>,<1,2>,<2,2>}
{<1,2>,<2,1>,<2,2>}
{<1,1>,<2,1>,<2,2>}
四、设A={1,2,3},问A 上一共有多少个不同的关系。
(10分)
设A={1,2,3},A 上一共有2^(3^2)=2^9=512个不同的关系。
五、证明: 命题公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中,每个子句均至少包含一个原子及其否定。
(10分)
证明:设公式G 的合取范式为:G ’=G1∧G2∧…∧Gn
若公式G 恒真,则G ’恒真,即子句Gi ;i=1,2,…n 恒真 为其充要条件。
Gi 恒真则其必然有一个原子和它的否定同时出现在Gi 中,也就是说无论一个解释I 使这个原子为1或0 ,Gi 都取1值。
若不然,假设Gi 恒真,但每个原子和其否定都不同时出现在Gi 中。
则可以给定一个解释I ,使带否定号的原子为1,不带否定号的原子为0,那么Gi 在解释I 下的取值为0。
这与Gi 恒真矛盾。
因此,公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中,每个子句均至少包含一个原子及其否定。
六、若G=(P ,L)是有限图,设P(G),L(G)的元数分别为m ,n 。
证明:n ≤2m C ,其中2m C 表
示m 中取2的组合数。
(10分)
证明:如果G=(P,L)为完全图,即对于任意的两点u 、v (u ≠v ),都有一条边uv ,则此时对于元数为m 的P(G),L(G)的元数取值最大为C m 2。
因此,若G=(P,L)为一有限图,设P(G)的元数为m ,则有L(G)
的元数n ≤C m 2 ,其中C m 2 表示m 中取2的组合数。
七、设G 是有限图,P(G),L(G)的元数分别为m ,n 。
δ,∆分别是G 中点的最小度和最大度。
证明:δ≤2n/m ≤∆。
(10分)
证明:因为 m δ≤∑∈)(P v G (v)d G ≤m ∆
同时由定理1知∑∈)
(P v G (v)d G =2n
则有 m δ≤2n ≤m ∆ 由m>0有:δ≤2n/m ≤∆
八、设G=(P ,L)是有限图,P(G),L(G)的元数分别为m ,n 。
证明:如果n>
,则G 是
连通的。
(10分) 证明:反证法,假设此时G 不是连通的,则将G 中的一个连通分支作为一个子图记为G1,剩余的部分记为G2。
可设P(G1)的元数为m1,P(G2) 的元数为m2,其中1≤m1,m2<m ,m1+m2=m 。
则: n ≤2221m m C C += m1(m1-1)/2+ m2(m2-1)/2
=1/2(m12+m22- m1- m2)
=1/2(m12+(m-m1)2- m)
=1/2(m2-m-2mm1+2m12)
=1/2(m2-m-2m1(m-m1))
=1/2(m2-m-2m1m2)
由于(m1-1) (m2-1) ≥0所以有:
m1 m2- (m1+m2)+1≥0 即m1 m2≥m-1
则有:n ≤1/2(m2-m-2m1m2)
≤1/2(m2-m-2(m-1))
=1/2(m2-3m+2)
=1/2(m-1)(m-2)
=21-m C
显然这与已知n>C m-12矛盾,命题得证。
九、设G为图(可能无限),无回路,但若任意外加一边于G后就形成一回路,试证G必为
树。
(10分)
证明:从树的定义出发,
1)由已知有G中无回路
2)要证G连通,反证法,假设G不连通,则一定存在点u和v,满足在G中没有从u到v的路,现在连接u、v,即在G中添加一条边uv,由已知G中加一条边后形成一回路可知,G中u、v两点间有一回路,即若G中删除边uv后,点u、v仍然连通,矛盾。
所以G连通。
因此,G必为树
十、证明:一个有限连通图G是一条非回路的简单路,当且仅当G中有两个点的度为1,且
其余点的度均为2。
(10分)
证明:必要性,设P(G)的元数为n,k=3时显然成立。
假设k=n-1
时,G中有两个点的度为1,且其余点的度均为2。
则当k=n时,设v1是路G的起点v2是与v1相邻的另一点,把点v1及边v1v2从G 中删去得G'。
显然G'仍是非回路的简单路且有n-1个节点,有归纳假设知G'中有两个点的度为1,且其余点的度均为2。
把点v1及边v1v2加入到G'中得G,显然G中有两个点的度为1,且其余点的度均为2,归纳法完成。
充分性,k=3时显然成立,假设k=n-1时,G是一条非回路的简单路。
则当k=n时,设v1是路G中度为1的一点,v2是与v1相邻的另一点,把点v1及边v1v2从G中删去得G',此时v2的度必为1(若为0则与G是连通图矛盾;若为2则在G中v2的度为3,矛盾),有假设知G'是一条非回路的简单路。
把点v1及边v1v2加入到G'中得G显然仍成立,归纳法完成。