1.7定积分的简单应用 教学设计 教案
人教a版数学【选修2-2】1.7《定积分的简单应用》ppt课件
[答案]
1 2
2 3
[解析] 曲线y＝x 与y＝cx 由题意知
1 1 的交点为c ，c2.
2 1 ＝3.∴c＝2.
典例探究学案
不分割型平面图形面积的求解
如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面 积S.
[分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为一 个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积分求 出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和 抛物线的交点的横坐标．
(1)(2014· 山东理，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内 围成的封闭图形的面积为( A．2 2 C．2 ) B．4 2 D．4
(2)由y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S＝________.
9 [答案] (1)D (2)2
[解析] (1)如图所示
y＝4x， 由 3 y ＝ x .
[答案] C
) B．gt2 0 1 2 D．6gt0
[解析] 如果变速直线运动的速度为 v＝v(t)(v(t)≥0)， 那么
b 从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程是 v(t)dt，
a
故应选 C.
2 4．若两曲线y＝x 与y＝cx (c＞0)围成的图形的面积是 3 ，
2 3
则c＝________.
[解析]
y＝2x， 解方程组 2 y ＝ x ，
得x1＝0，x2＝2.
故所求图形的面积为 S＝ 2xdx－ x
2 0 2 0
2
2 2 dx＝x 0
1 3 4 2 －3x 0 ＝3.
[方法规律总结] 利用定积分求平面图形的面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象． (2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在x轴上方与下方的 部分． (3)借助图形确定出被积函数． (4)求出交点坐标，确定积分的上、下限． (5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数和( 定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正)，求出面 积．
1.7定积分的简单应用
总结： 当 x∈[a， b]有 f(x)>g(x)时， 由直线 x＝a， x＝b(a≠b) 和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积 S＝
f x g x dx . a
b
三、新知建构，典例分析
注：
两曲线围成的平面图形的面积的计算 2 2 例 1. 计算由两条抛物线 y x 和 y x 围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
y x x 0 x 1 解方程组 或 2 y 0 y 1 y x
y
y
C o O
2 y xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
y x2
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
4. 用微积分基本定理求定积分.
1、变速直线运动的路程 设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
s v(t )dt
a
b
v
v v(t )
O
a
b
t
三、新知建构，典例分析
例 2.一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶的路程 .
S S1 S2
4 0
y 2x
S2
S1
y x4
8
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
4
(
2 xdx) ( x 4)dx 2 xdx ( x 4)dx 0 4 4 0 4 能否给出其它的解法？ 3 2 2 2 8 1 2 40 8 x |0 ( x 4 x) |4 3 2 3
定积分的简单应用教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
定积分的简单应用教案一、教学目标：1. 理解定积分的概念及其在实际问题中的应用；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决简单应用问题。
二、教学内容：1. 定积分的概念及其性质；2. 定积分的计算方法和基本性质；3. 定积分在实际问题中的应用。
三、教学重难点：1. 定积分的概念和计算方法；2. 定积分在实际问题中的应用。
四、教学过程：1. 导入与激发兴趣（5分钟）引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的好奇和兴趣。
2. 定积分的概念和计算方法（20分钟）a. 介绍定积分的概念：定积分是对函数在一定区间上的值进行求和的极限过程，表示函数在这个区间上的总量。
b. 讲解定积分的计算方法：i. 用一组割线逼近曲线下的面积；ii. 分割区间，用矩形逼近曲线下的面积；iii. 讲解Riemann和Darboux定义；iv. 使用不等式判断积分的上限和下限。
3. 定积分的基本性质（15分钟）a. 讲解定积分的线性性质；b. 讲解定积分的区间可加性；c. 引导学生理解定积分的平均值性质。
4. 定积分在实际问题中的应用（30分钟）a. 通过具体的实际问题，引导学生应用定积分解决问题，如：i. 曲线下的面积计算；ii. 曲线长度计算；iii. 物体在一定时间内的位移计算。
b. 引导学生分析问题，确定所给问题可以通过定积分求解。
5. 拓展与巩固（20分钟）通过课堂练习和教师引导，进一步巩固学生对定积分的理解和应用能力。
六、教学评价：1. 课堂练习的完成情况；2. 学生对定积分概念的理解和计算方法的掌握；3. 学生对定积分在实际问题中的应用能力。
七、教学反思：本节课通过引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的兴趣，再结合具体的实际问题进行教学，使学生能够理解定积分的概念和计算方法，并能够应用定积分解决简单的实际问题。
同时，通过课堂练习和教师引导，巩固了学生的学习成果。
综上所述，本节课教学效果较好。
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
学习目标：通过求解平面图形的体积了解定积分的应用。
学习重点：定积分在几何中的应用
学习难点：求简单几何体的体积.
学法指导：探析归纳
一、课前自主学习 (阅读课本内容找出问题答案).
1.定积分定义.
2旋转几何体的体积是根据旋转体的一个 ,再进行求出来的.
3解决的关键(1)找准旋转体
(2)通过准确建系,找出坐标,确定 .
二、课堂合作探究：
1.给定直角边为1的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一个圆锥体,求它的体积.
2.一个半径为1的球可以看成是由曲线与x轴所围成的区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的 ,求球的体积.
三、当堂检测.
1.将由直线=x,x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周,得到一
个圆台,利用定积分求该圆台的体积.
2. 求由直线,x轴,轴以及直线x=1围成的'区域绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积.
3．求由双曲线,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
四、巩固练习.
1 .将由曲线=x和所围成的平面图形绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积
2．求半椭圆绕x轴旋转一周所得到的旋转体的
体积.
3.求由曲线 ,直线x=1以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
五、课堂小结：
※学习小结：1. 定积分应用之二求旋转几何体的体积。
2. 旋转几何体体积的求法。
六、我的收获：
七、我的疑惑:。
定积分的简单应用教案
教案课 题1.7定积分的简单应用课型：新授课教师总课时： 第 课时学习目标1.进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2.让学生了解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法难点 定积分求体积以及在物理中应用教学过程：1、复习1.求曲边梯形的思想方法是什么？2.定积分的几何意义是什么？3.微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：201y x x x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =(x -x )dx 32130233xx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和备课札记2x y =y x= ABC D OS 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x=的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点．解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|3323x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．例3.求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。
[教学设计]定积分的简单应用精品教案
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定积分的简单应用导学案学科：高二数学课型：新授课课时：课时【导案】【学习目标】1．熟练掌握应用定积分求解平面图形的面积问题。
2．掌握应用定积分解决变速直线运动的路程和变力做功等问题。
3．培养学生的建模水平和解决实际问题的能力。
【学习重难点】重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。
难点：将实际问题化归为定积分的问题。
【学案】1．计算平面图形面积的一般步骤在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先____________，再借助________________直观确定出____________________以及积分的____________。
2．变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a, b]上的定积分，即s=____________________________.3．变力作功（1）恒力F的作功公式一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为____________。
（2）变力F(x)的作功公式如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a＜b)，那么变力F(x)所作的功为W=________________。
4．例题分析【例1】计算由曲线y2=x, y=x2所围图形的面积S。
【例2】计算由直线y=x-4，曲线x轴所围图形的面积S.【例3】一辆汽车的速度-时间曲线如图所示。
求汽车在这1min行驶的路程。
【例4】如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，求克服弹力所做的功。
5．达标检测教材P58 练习 P95 练习 P60 习题A组 B组定积分的简单应用练案（一）1. 求由抛物线y2=8x(y＞0)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积。
定积分的简单应用教案03
1.7.1 定积分在几何中的应用一、教学目标：1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求曲边图形的面积二、教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算的应用三教学过程：（一）练习1．若11(2)a x x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ）A ．6B ．4C ．3D ．2 2．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（ C ） A ．34B ．45C ．56D ．不存在 3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值 解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰223221200(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1．4．求定分3-⎰x ．5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S 6． 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰ba dx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和， 在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负二、新课例1．教材P56面的例1例2．教材P57面的例2。
练习：P58面例3．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。
练习： 1．如右图，阴影部分面积为（ B ）A ．[()()]b af xg x -⎰d x B ．[()()][()()]c ba c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d xC ．[()()][()()]b b a c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]ba g x f x +⎰d x 2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0）处的切线所围成的面积．32 四、作业：《习案》作业十九。
高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用说课稿新人教版
1.7定积分的简单应用一、教材地位、作用分析：《定积分的简单应用》选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2第一章第七节。
本节课内容是在学生理解掌握定积分的概念，性质，定理基础之上，来应用定积分解决实际问题。
本章内容在考纲中只要求理解定义并能简单应用,但是根据近几年高考在学科整合处加大考察力度的命题的趋势，结合定积分在物理和化学反应速率中的重要应用,所以我认为本节课在教学中应该引起足够重视，值得在教学中深入研究，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值，注意到定积分在物理化学等多领域的广泛应用，使学生“形成用数学的意识”，更重要的是为学生在高等学校进一步学习奠定基础。
二、教学重点、难点分析：本节重点：应用定积分解决平面图形的面积，变速直线运动的路程和变力做功等问题；本节难点：“理解积分的思想——无限求和”，即“分割、近似代替、求和、取极限”重点的确定是根据课程标准和考试大纲的要求，更是由积分的工具性所决定；难点的确定主要是因为微积分思想不同于前面学习过的函数与方程思想、数形结合思想等基本的思想方法，在学生的头脑中并没有与之相联系的认知结构，要想深刻理解只有将头脑中原有的认知结构加以改组和顺应，而这种改组和顺应要在短短几节课内完成是很难的，所以，它将成为本节的难点所在。
难点的突破我一方面是借助于多媒体计算机的使用，使用直观演示，数据的无穷逼近让学生从感性上去直观感受；另一方面借助于学科之间的融合，借助于学生对于物理中变速运动和变力做功这些有知识的理解来帮助体会积分思想。
三、教学目标分析：1、知识与技能目标：（1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题；（2）学会将实际问题化归为定积分的问题。
2、过程与方法目标：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。
3、情感态度与价值观目标：（1）认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点；（2）培养将数学知识应用于生活的意识。
1.7定积分的简单应用第2课时 精品教案
1.7 定积分的简单应用【课题】： 1.7.2 定积分在物理中的应用【教学目标】：（1）知识与技能：通过举例复习变速直线运动的路程，引导学生解决变力所作的功等一些简单的物理问题．（2）过程与方法：利用问题的物理意义，有时也要注意借助于定积分的几何意义，用“数形结合”的思想方法解决问题．（3）情感态度与价值观：体会数学在物理的应用，也即是在客观物质世界的应用。
【教学重点】：解决变力所作的功等一些简单的物理问题．进一步巩固利用定积分解决实际问题的思路和方法．【教学难点】：理解问题的物理意义，并且转化为数学问题，借助于定积分解决．【课前准备】：Powerpoint（或投影片）【教学过程设计】：速度()v t曲线与x轴的所围把下图的变力F类比为上图为时间t，那么在下图中，F2dbr r⎰)b -（简单题）1. 如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了弹簧拉长6cm ，所耗费的功为（ ） (A )0.18J (B )0.26J (C )0.12J (D )0.28J 答案：A解释：设()F x kx =，当1F =N 时，0.01m x =，则100k =．0.060.062100d 500.18(J)W x x x ===⎰2. 将一弹簧压缩x 厘米，需要4x 牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，作的功为 答案：0.5焦耳解释：由()0.04F x kx k =⇒=牛顿/米，∴()0.04F x x =，∴552000.04d 0.020.05W xx x===⎰（焦耳）3、如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 （ ）A ．0.28JB ．0.12JC ．0.26JD ．0.18J 答案：D解释：设()F x kx =，当10F =N 时，0.1m x =，则100k =。
0.060.062100d 500.18(J)W x x x ===⎰4、物体作变速直线运动的速度为v (t )，当t =0时，物体所在的位置为0s ，则在1t 秒末时它所在的位置为（ ）A ．⎰10)(t dtt v B ．⎰+10)(t dtt v sC ．001)(s dt t v t -⎰D ．⎰-10)(t dtt v s答案：B解释：设1t 秒末时它所在的位置为S ，又在时间[]10,t 段的位移0()s t S s =- ，又1()()d t s t v t t=⎰，∴100()d t S s v t t =+⎰。
1.7定积分的简单应用第1课时精品教案
1.7 定积分的简单应用【课题】：定积分在几何中的应用【教课目的】：（1）知识与技术：解决一些在几何顶用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，经过数形联合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解（3）感情态度与价值观：领会事物间的互相转变、对峙一致的辩证关系，培育学生辩证唯心主义看法，提高理性思想能力．【教课要点】：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。
（2）数形联合的思想方法【教课难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适合的切割，从而把求平面图形面积的问题转变为求曲边梯形面积的问题．【课前准备】： Powerpoint或投电影【教课过程设计】：教课环节教课活动设计企图一、（1）师：我们已经看到，定积分能够用来计算曲引入课题例题 1 边梯形的面积，事实上，利用定积分还能够求比较复杂的平面图形的面积。
（2）例题 1 计算由曲线 y2 x, y x2所围图形的面积 S。
yy=x21C B y 2=xD AO1x生：思虑，议论师（指引，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，绘图并确立图形大概形状、范围，借助几何直观，将所求平面图形面积看成位于x 轴上方的两个曲边梯形面积之差；y y1 y=x 21 B y 2=x BA AO 1 x O 1 x师：第二步，确立积分上、下限，即经过解方程组求出交点的横坐标，从而确立被积函数和积分上、下限 ( 本例中需将曲线 y2 x 的解析式进行变形，得到 y x ，由于所围图形在 x 轴上方，因此取 y x ) ；yy= x1 BAO1x2解方程组y x 得 交 点 的 横 坐 标 为 x 0 及 x 1 。
yx 2师：第三步，写出平面图形面积的定积分表达式，运用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积所以，所求图形的面积为S S 曲边梯形 OABCS 曲边梯形OABD1 xdx1x 2 dx0 023 1 1 3 1 3 x2x32 13 3 13板书解题详尽步骤，规范学生的解题格式。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用教学案 2数学教学案
1.7 定积分的简单应用预习课本P56～59，思考并完成下列问题(1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？ (2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？[新知初探]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f (x )在[a ，b ]上是连续函数，由直线y ＝0，x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积为S .(2)x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积为S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x .[点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解．2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛a bv (t )d t .3．力做功(1)恒力做功：一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s ，则力F 所做的功为W ＝Fs .(2)变力做功：如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛a bF (x )d x .[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v ＝v (t )，则物体在区间[a ，b ]上的位移为定积分⎠⎛a b v (t )d t ；物体在区间[a ，b ]上的路程为⎠⎛a b|v (t )|d t .[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( )(2)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为⎠⎛－2 2(4－x 2)d x .( )(3)速度是路程与时间的函数关系的导数．( )(4)一个物体在2≤t ≤4时，运动速度为v (t )＝t 2－4t ，则它在这段时间内行驶的路程为⎠⎛24(t 2－4t )d t .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．曲线y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是( )A ．2B ．3 C.52 D ．4答案：B3．已知做自由落体运动的物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( )A.13gt 20 B. gt 20 C. 12gt 20 D.14gt 20 答案：C4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从刹车到停车所前进的路程为________．答案：405利用定积分求平面图形的面积[典例] 2[解] 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28()2x －x ＋4d x＝423x 3220＋⎝ ⎛⎭⎪⎫223x 32－12x 2＋4x 82＝18.法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为S ＝⎠⎛2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4－y －y 22d y＝⎝⎛⎭⎪⎫4y －y 22－y 362－4＝18.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． [活学活用]求曲线y ＝e x，y ＝e －x及直线x ＝1所围成的图形的面积．解： 如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e －x，解得交点为(0,1)，所求面积为S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )10＝e ＋1e －2.求变速直线运动的路程、位移[典例] )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程和点P 的位移； (2)经过时间t 后又返回原点时的t 值． [解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点沿x 轴正方向运动，当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 40－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪60＝0.(2)依题意，⎠⎛0t(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，因为t ＝0对应于点P 刚开始从原点出发的情况，所以t ＝6为所求，(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．[活学活用]一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求点在t ＝4 s 时的位置及经过的路程．解：在t ＝4 s 时该点的位移为 ⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t ⎪⎪⎪4＝43(m)． 即在t ＝4 s 时该点距出发点43 m.又因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0.所以在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪1－⎝ ⎛⎭⎪⎫t33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪43＝4(m).求变力做功[典例] 一物体在变力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，0≤x ≤2，x 2＋2x ，2≤x ≤5，(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向从x ＝0运动到x ＝5处，求变力所做的功．[解] 变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛02(2x ＋4)d x ＋⎠⎛25(x 2＋2x )d x ＝(x 2＋4x ) ⎪⎪⎪2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪52＝12＋60＝72(J)．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [活学活用]在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ，求变力F 做的功． 解：设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )＝kx (k >0)，当x ＝10 cm ＝0.1 m 时，F (x )＝200 N ，即0.1k ＝200，得k ＝2 000，故F (x )＝2 000x ， 所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是W ＝⎠⎛0 0.12 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪1＝10(J)．层级一 学业水平达标1．在下面所给图形的面积S 及相应的表达式中，正确的有( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．③④解析：选D ①应是S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )A ．31 mB ．36 mC ．38 mD ．40 m解析：选B S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B.3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：选C S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.4．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝( )A.14B.12 C.13D ．1解：选A 图形如图所示，S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x ＝⎠⎛0134x 2d x＝14x 310＝14. 5．曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10D ．9解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪20＝8，故选B.6．若某质点的初速度v (0)＝1，其加速度a (t )＝6t ，做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．解析：v (2)－v (0)＝⎠⎛02a (t )d t ＝⎠⎛026t d t ＝3t 2⎪⎪⎪2＝12，所以v (2)＝v (0)＋3×22＝1＋12＝13. 答案：137．一物体沿直线以速度v ＝1＋t m/s 运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是______．解析：S ＝⎠⎛0101＋t d t ＝23(1＋t )32 ⎪⎪⎪10＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1132－1. 答案：23⎝ ⎛⎭⎪⎫1132－18．由y ＝1x，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为________．解析：画出曲线y ＝1x(x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示的阴影部分面积．∴S ＝⎠⎛121xd x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2－ln 1＝ln 2.答案：ln 29．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92. 10. 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解：(1)∵y ＝f (x )是二次函数且f ′(x )＝2x ＋2， ∴设f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又f (x )＝0有两个等根，∴4－4c ＝0，∴c ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)y ＝f (x )的图象与两坐标所围成的图形的面积S ＝⎠⎛-10(x 2＋2x ＋1)d x ＝13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪-1＝13. 层级二 应试能力达标1．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8 JB ．10 JC ．12 JD ．14 J解析：选 D 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x ) ⎪⎪⎪31＝14(J)，故应选D.2．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12 B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2解析：选D ⎠⎛3636td t ＝6t ⎪⎪⎪63＝6－32，故应选D.3．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t 2＝4，t ＝2.∴h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪2＝80－803＝1603(m)．故选A.4．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛024x －x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪2＝4.5．椭圆x 216＋y29＝1所围区域的面积为________．解析：由x 216＋y 29＝1，得y ＝±3416－x 2. 又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S ＝4⎠⎛043416－x 2d x ＝3⎠⎛0416－x 2d x.由y ＝ 16－x 2，得x 2＋y 2＝16(y≥0)．由定积分的几何意义知⎠⎛0416－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝4和曲线x 2＋y 2＝16(y≥0)及x 轴所围成图形的面积，∴⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×16＝4π，∴S＝3×4π＝12π.答案：12π6.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为____________．解析：∵S 阴＝2⎠⎛01(e －e x )d x ＝2(e x －e x) ⎪⎪⎪1＝2，S 正方形＝e 2，∴P＝2e2.答案：2e27．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C(3,3)，8．函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x ，若f(x)为实数集R 上的单调函数，且a ≥－1，设点P 的坐标为(b ，a )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .解：当a ＝0时，由f (x )在R 上单调，知b ＝0.当a ≠0时，f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立．∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2＋36a ≤0，a ≥－1.∴a ≤－19b 2且a ≥－1.因此满足条件的点P (b ，a )在直角坐标平面xOy 的轨迹所围成的图形是由曲线y ＝－19x2与直线y ＝－1所围成的封闭图形．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－19x 2，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，如图，其面积S ＝⎠⎛3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 327⎪⎪⎪3-3＝(3－1)－(－3＋1)＝4.(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( ) A ．sin x B ．cos xC ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πB ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析：选 A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0， 22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎥⎤0， 22 解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0D ．－1解析：选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－12＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，67B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－316C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，－116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－310∪⎝ ⎛⎭⎪⎫67，＋∞ 解析：选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫103a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67.故选D.8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．11．已知定义在R 上的函数f (x )，f (x )＋x ·f ′(x )＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af (a )＜bf (b ) B ．af (b )＜bf (a ) C ．af (a )＞bf (b )D ．af (b )＞bf (a )解析：选C [x ·f (x )]′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )＜0， ∴函数x ·f (x )是R 上的减函数， ∵a ＜b ，∴af (a )＞bf (b )．12．若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定解析：选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x＋cos x －cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，得a >b ，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.答案：2314．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝__________.解析：S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32a 0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49. 答案：4915．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)， 因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b . 答案：c <a <b 16．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x2x 2＋12，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)． 又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． 解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 解得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x . 因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.18. (本小题满分12分)(北京高考)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝x ea －x＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝2e ＋2，f ′2＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋e x －1)及e2－x>0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋ex －1.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)， 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A ，B 两种商品，据调查统计，当投资额为x (x ≥0)万元时，在经销A ，B 商品中所获得的收益分别为f (x )万元与g (x )万元，其中f (x )＝a (x －1)＋2，g (x )＝6ln(x ＋b )(a ＞0，b ＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a ，b 的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解：(1)由投资额为零时收益为零， 可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)． 设投入经销B 商品的资金为x 万元(0＜x ≤5)， 则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元， 设所获得的收益为S (x )万元， 则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1)＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0＜x ≤5)．S ′(x )＝6x ＋1－2，令S ′(x )＝0，得x ＝2.当0＜x ＜2时，S ′(x )＞0，函数S (x )单调递增； 当2＜x ≤5时，S ′(x )＜0，函数S (x )单调递减． 所以当x ＝2时，函数S (x )取得最大值，S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时， 他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(1－x )(a 为常数)．(1)若f (x )在x ＝－1处有极值，求a 的值并判断x ＝－1是极大值点还是极小值点； (2)若f (x )在[－3，－2]上是增函数，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝2ax －21－x，x ∈(－∞，1)，f ′(－1)＝－2a －1＝0，所以a ＝－12.f ′(x )＝－x －21－x ＝x ＋1x －21－x. ∵x <1，∴1－x >0，x －2<0， 因此，当x <－1时f ′(x )>0， 当－1<x <1时f ′(x )<0， ∴x ＝－1是f (x )的极大值点．(2)由题意f ′(x )≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立， 即2ax －21－x ≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立∴a ≤1－x 2＋x在x ∈[－3，－2]上恒成立，∵－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14∈[－12，－6]，∴1－x 2＋x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，－112， ∴⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋ x min＝－16，a ≤－16.即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－16. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1ln x2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减， 当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，f (x )只有一个零点．②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，故f (x )存在两个零点．③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． 若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))内单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)内单调递增． 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，又f (x )在(－∞，1)内单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0. 由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2， 而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0， 所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x－e x)．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0， 故当x >1时，g (x )<0.从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.。
17定积分的应用学案(人教A).docx
1.7定积分的简单应用【学习目标】1.进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法;2.让学生了解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
【学习重难点】重点：曲边梯形面积的求法难点：定积分求面积以及在物理中应用【学习过程】一、学前准备1. (1 ) f xdx =(2 )[x^dx =(3) j4xdx =(4 ) P"cOSX6?X =(5 )1 £ sin xdx =(6 )£ e x dx =2 .直线x=0, x=l, y=0与曲线y=x，所围成的曲边梯形的面积S怎样用定积分表示, 它的大小是多少？3.利用定积分求平面图形面积时，可分成几个步骤？二、合作探究：探究：如何用定积分表示曲边图形的面积?结论:1.当/'(X)在[a,b]±.有正有负时，则S= £|/(x)^x.2.平面图形是由两条曲线y r = f (x), y2F g(x) xe[a可及直线x = a,x = b所围成，且/■(x)>g(x).求其面积都可以用公式S =幺⑴协三、典型例题(日)利用定积分求平面图形的面积例1.计算由两条抛物线r = x和y = /所围成的图形的面积.【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
例2.计算由直线y = x-4,曲线y = J云以及x轴所围图形的面积S.小结：由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观性，确定出被积函数，并通过解方程求得积分的上、下限. (二；)、定积分在物理中应用(1)求变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S,等于其速度函数v=v(t)(v(t) 20)在时间区间[a,b]上的定积分，即s=^v(t)dt例3.一辆汽车的速度一时间曲线如图所示.求汽车在这1 min行驶的路程.2.变力作功探究：如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x)相同的方向从x =a移动到x=b (a<b),那么如何计算变力F(x)所作的功W呢？例4.如图，在弹性限度内，将。
《定积分的简单应用》教学设计
《定积分的简单应用》教学设计七教学过程师生活动设计意图（一）知识回顾复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义、微积分的基本定理。
问题：如何用定积分和平面图形的面积有怎样的联系？【学生活动】思考后请一位同学回答。
【课件展示】图１图２(),()0(),()0babaf x dx f xsf x dx f x⎧≥⎪=⎨⎪-≤⎩⎰⎰问题：怎样计算定积分的值？【学生活动】思考口答【课件展示】微积分的基本定理（二）新课讲授：例1：求如图所示阴影部分的面积培养学生复习的学习习惯。
复习定积分的几何意义七教学过程特征，联系我们以前的知识将问题化简后再解答，提高效率.【课件展示】解答过程【抽象概括】一般地，设由(),()y f x y g x==以及直线,x a x b==所围成的平面图形的面积为S，则[]()()()()b b ba a aS f x dx g x dx f x g x dx=-=-⎰⎰⎰.【学生活动】思考、探究、讨论【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验。
问题：下面两个图是否满足上述公式？【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家例3：求图中所示阴影部分的面积【课件展示】解答过程【学生活动】学生独立思考【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家完成了一般理论和具体问题的有机结合，初步达到了识记的目标，突显了教学重点。
探索到的结果通过实践，学生都得到了一些解题心得，及时指导学生进行抽象归纳，便是探究的阶段小结，得到解题的一般方法。
定积分的简单应用(教学设计)
定积分的简单应用(教学设计)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12§1.7定积分的简单应用教学目标1.会利用定积分的几何意义求定积分的值，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解;2.会用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积;3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用;重难点：求多条曲线围成的分割型图形的面积，将几何问题和物理问题转化为定积分问题一、复习回顾1.微积分的基本思想2.微积分基本定理--------牛顿－莱布尼茨公式利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是_____________3.定积分的几何意义：____________4.微积分的性质(1) ______________________ (2) ______________________(3) ______________________ (4) ______________________ 思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值.图1 图23_______________________ ________________________图3 图4_______________________ ________________________归纳定积分()ba f x dx ⎰的几何意义 它是介于x 轴、函数()f x 的图象及________________________之间的各部分面积的_________(在x 轴上面的____________，在x 轴下面的____________).二、自主探究探究一：定积分的计算例1．(1)若0,a > 则220a axdx -=⎰____________ (2)120(1(1))x x dx ---=⎰____________练习：(1)sin xdx ππ-=⎰______ (2) 22cos xdx ππ-=⎰________ (3)20cos xdx π=⎰ _________探究二：求面积4 例2.计算由曲线2y x = ，直线4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积.练习1（课本变式题）：计算由曲线22y x = ，直线4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积.练习2.计算由曲线36y x x =- 和2y x =所围成的图形的面积.例3．已知抛物线22y x x =-及直线0,,0x x a y === 围成的平面图形的面积为43,求a 的值.5探究三：物理学方面的应用微积分在物理方面的应用十分广泛，中学阶段主要掌握求物体的路程（位移）、变力作功等问题例1.一物体的运动速度随时间的变化关系为32()2532,V t t t t =-+-则该物体在0至3秒, 的位移和路程分别为多少？例2. 如图，在弹性限度内，倔强系数为k,将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L 米处，求克服弹力所作的功．练习：一物体从0至1小时内运动的速度（千米/小时）随时间t （小时）6 的关系式为12)(2+-=t t t V（1） 求这1个小时该物体所走的路程S ；（2）问该物体从开始运动经历多长的时间走过一半路程.三、课堂小结求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤:(1)画草图;(2)求曲线的交点定出积分上、下线;(3)确定被积函数,但要保证求出的面积是非负的;(4)写出定积分并计算.四、训练案1．求下列曲线所围成的图形的面积:(1)2,23;y x y x ==+ (2),,0;x y e y e x ===(3)求由抛物线28(0)y x y => 与直线60x y +-= 及0y =所围成的图形的面积.7 2． 抛物线24y x =-与直线3y x =的两个交点为,A B ，点P 在抛物弧上从A 向B 运动(1)求使△PAB 的面积为最大时P 点的坐标(,)a b ;(2)证明由抛物线与线段AB 围成的图形，被直线x a =分为面积相等的两部分.3.求)0(321lim 1>+++++∞→p n n p pp p p n。
人教版高一数学教案-定积分的简单应用第1课时
§1.7.1 定積分在幾何中的應用【學情分析】：在上一階段的學習中，已經學習了利用微積分基本定理計算單個被積函數的定積分，並且已經理解定積分可以計算曲線與x軸所圍面積。
本節中將繼續研究多條曲線圍成的封閉圖形的面積問題。
學生將進一步經歷到由解決簡單問題到解決複雜問題的過程，這是一個研究問題的普遍方法。
學生能正確的理解定積分的幾何意義，是求面積問題的基礎。
但是對各種圖形分割的技巧以及選擇x－型區域或y－型區域計算是比較陌生的。
突破點是一定要借助圖形直觀，讓學生清楚根據曲線的交點劃分圖形（分塊）以及根據曲線的特點（解出變數x還是y簡單）選擇x－型區域或y－型區域。
【教學目標】：（1）知識與技能：解決一些在幾何中用初等數學方法難以解決的平面圖形面積問題（2）過程與方法：在解決問題中，通過數形結合的思想方法，加深對定積分幾何意義的理解（3）情感態度與價值觀：體會事物間的相互轉化、對立統一的辯證關係，培養學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力．【教學重點】：（1）應用定積分解決平面圖形的面積問題，使學生在解決問題的過程中體驗定積分的價值以及由淺入深的解決問題的方法。
（2）數形結合的思想方法【教學難點】：利用定積分的幾何意義，借助圖形直觀，把平面圖形進行適當的分割，從而把求平面圖形面積的問題轉化為求曲邊梯形面積的問題．【教學過程設計】：若函數()f x 和()g x 在區間[],a b 上連續且在[],a b 上有()()f x g x ≥,那麼由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所圍成的有界區域面積為b[()()]d a A f x g x x =-⎰＝b()d af x x ⎰－b()d ag x x ⎰－＝A y=g(x)baOxyy=f(x)我們看到，儘管我們的證明的示意圖中曲線()y f x =與()y g x =的均在x 軸上方，但是，由1.6的學習我們可以知道，曲線()y f x =或()y g x =在x 軸下方也不影響我們的證明，結論仍然是正確的。
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案教案标题：定积分的简单应用教案教学目标：1. 理解定积分的概念和基本性质；2. 掌握定积分的简单应用，包括计算曲线下面积和求解定积分的基本方法；3. 能够灵活运用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 定积分的概念和性质；2. 计算曲线下面积；3. 解决实际问题的定积分应用。
教学难点：1. 定积分的概念和性质的理解；2. 如何将实际问题转化为定积分的应用。
教学准备：1. 教学投影仪；2. 教学板书工具；3. 教学课件。
教学过程：Step 1：导入与激发兴趣（5分钟）通过引入一个实际问题，例如计算一个曲线下的面积，引发学生对定积分的兴趣，并与他们讨论如何解决这个问题。
Step 2：定积分的概念与性质（15分钟）2.1 讲解定积分的概念，包括黎曼和、黎曼积分的定义；2.2 介绍定积分的性质，包括线性性、区间可加性和保号性；2.3 通过例题演示如何计算定积分，强调积分的几何意义。
Step 3：计算曲线下面积（20分钟）3.1 介绍如何利用定积分计算曲线下面积；3.2 通过几个简单的例题，引导学生掌握计算曲线下面积的方法；3.3 引导学生思考如何处理复杂形状的曲线下面积计算问题。
Step 4：定积分的简单应用（15分钟）4.1 介绍定积分在实际问题中的应用，如求解速度、质量、体积等问题；4.2 通过实际问题的例题，引导学生将问题转化为定积分的形式，并解决问题。
Step 5：练习与巩固（15分钟）5.1 分发练习题，让学生进行个人或小组练习；5.2 教师巡回指导，解答学生的疑问；5.3 针对性地讲解一些典型问题的解法。
Step 6：总结与拓展（5分钟）6.1 总结定积分的概念和性质；6.2 引导学生思考定积分在更复杂问题中的应用；6.3 鼓励学生继续探索定积分的更多应用领域。
教学延伸：1. 鼓励学生自主阅读相关教材，进一步加深对定积分的理解；2. 提供更多的实际问题，让学生进行定积分的应用训练；3. 引导学生进行小研究，探索定积分在其他学科领域的应用。
《定积分的简单应用》教案
定积分的简单应用教学目标知识与技能：初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感、态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
教学重点与难点重点：应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题．在解决问题的过程中体验定积分的价值。
难点：将实际问题化归为定积分的问题。
教学过程给出教学目标：应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题．在解决问题的过程中体验定积分的价值。
一、复习回顾1、定积分的几何意义2、微积分基本定理内容二、新课引入如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．问题2：你能求得其面积吗？如何求？三、新课讲解（一）平面图形的面积一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则S ＝∫ba f (x )d x －∫b a g (x )d x ，f (x )≥g (x )．解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．考点一：求平面图形的面积[例1] 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤：①画图；②求交点，确定积分上、下限；③确定被积函数；④将面积用定积分表示；⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．题组集训1．(2011·湖南高考)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12B ．1 C.32 D. 32．求y ＝－x 2与y ＝x －2围成图形的面积S .3、求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．[一点通] 分割型图形面积的求解：（1）通过解方程组求出曲线的交点坐标（2）将积分区间进行分段（3）对各个区间分别求面积进而求和（被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数）4．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．5、求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．（二）求变速直线运动的路程、位移[例2] 有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移；(2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．[点评] 路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s ′情况如下：(1)若v (t )≥0，则s ＝⎠⎛a b v (t )d t ；s ′＝⎠⎛ab v (t )d t . (2)若v (t )≤0，则s ＝－⎠⎛a b v (t )d t ；s ′＝⎠⎛ab v (t )d t . (3)若在区间[a ，c ]上v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0，则s ＝⎠⎛a c v (t )d t －⎠⎛cb v (t )d t ，s ′＝⎠⎛ab v (t )d t . 所以求路程时要事先求得速度的正负区间．（三）求变力做功[例3] 一物体按规律x ＝bt 3做直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质阻力与速度的平方成正比，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功．【点评】对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速度，进而由d s ＝v d t 来确定做功的积分式W ＝⎠⎛0t Fv d t .题组集训6．已知自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为（ )A.13gt 20 B ．gt 20 C.12gt 20 D.16gt 207．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为( ) A．0.18J B．0.26JC．0.12J D．0.28J四、小结这节课你学到了什么？五、作业：课本P90习题4-3 第1、2、3、4题。
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教学准备
1. 教学目标
（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解
（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．
2. 教学重点/难点
【教学重点】：
（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。
（2）数形结合的思想方法
【教学难点】：
利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．
3. 教学用具
多媒体
4. 标签
1.7.1 定积分在几何中的应用
教学过程
课堂小结。