定理2-5(牛顿法平方收敛性

定理2-5（牛顿法平方收敛性）

证明：牛顿迭代法的迭代函数为 )

()()(x f x f x x '-=ϕ。 由于*

x 为)(x f 的单根，所以0)(*≠'x f ，从而)(**x x ϕ=，即*x 是)(x ϕ的不动点。 对迭代函数)(x ϕ求导，得 2

22)]([)()()]([)()()]([1)(x f x f x f x f x f x f x f x '''='''-'-='ϕ 由于0)(*≠'x f ，因此，0)(*='x ϕ，由迭代法局部收敛性定理知，牛顿迭代公式局部收敛。

将)(*x f 在k x 处泰勒展开，得

2***)(!

2)())(()()(0k k k k k x x f x x x f x f x f -''+-'+==ξ （*x x k k 与在ξ之间） 将牛顿迭代公式改写为 1)()()(+'-='-k k k k k x x f x x f x f ，代入上式得

2*1*)(!

2)())((0k k k k x x f x x x f -''+-'=+ξ 即 )(2)()

(2**1k k k k x f f x x x x '''=--+ξ 从而 )(2)()(2)(lim )(lim **2**1x f x f x f f x x x x k k k k k k '''='''=--∞→+∞→ξ，故牛顿法至少平方收敛。