2020版高考数学人教版理科课时作业：52 椭圆含解析

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【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案

教学资料参考范本【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sin α－y2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.∪B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为＋＝1， ∴－>>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x±3y＝0B ．3x±4y＝0C ．4x±5y＝0D ．5x±4y＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b＝＝4，∴渐近线方程为y ＝±x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D ．x2＋＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c ＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴0<e<，故选B.4．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )A. B. C.D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，。

2020高中数学 10 椭圆的几何性质(一)(含解析)2-1

课时分层作业（十）椭圆的几何性质(一）(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆错误!＋错误!＝1（m〉0)的左焦点为F1（－4，0)，则m 等于（)A．2 B．3 C．4 D．9B ［由题意知25－m2＝16，解得m2＝9,又m〉0，所以m＝3.]2．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为错误!，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（)A．9 B．1C．1或9 D．以上都不对C [错误!解得a＝5，b＝3，c＝4。

∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c ＝1.］3．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )A.12 B 。

34C 。

错误!D 。

错误!A ［由题意得2a ＝错误!＝8错误!(cm)，短轴长即2b 为底面圆直径12 cm ，∴c ＝错误!＝2错误! cm ，∴e ＝错误!＝错误!.故选A 。

］4．曲线错误!＋错误!＝1与曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9）的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等C ［曲线错误!＋错误!＝1的焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8.曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9)的焦点在x 轴上，长轴长为2错误!,短轴长为2错误!，离心率为错误!，焦距为8.则C 正确．]5．已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0）的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为错误!，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( ）A 。

错误!＋错误!＝1B 。

错误!＋y 2＝1C 。

错误!＋错误!＝1D 。

错误!＋错误!＝1A [∵△AF 1B 的周长为4错误!，∴4a ＝4错误!，∴a＝3，∵离心率为错误!，∴c＝1，∴b＝错误!＝错误!，∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1。

高考数学一轮复习(课件+课时作业) (52)

2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A．243 B．252 C．261 D．279
解析：由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252，故选B. 答案：B
悟· 技法利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解.
[变式练]——(着眼于举一反三) 1．在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．
解析：因为焦点在x轴上，m>n，以m的值为标准分类，分为四类：第一类：m＝5时，使m>n，n有4种选择；第二类：m ＝4时，使m>n，n有3种选择；第三类：m＝3时，使m>n，n有2 种选择；第四类：m＝2时，使m>n，n有1种选择．由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有10个．答案：10
悟· 技法 1.分类加法计数原理的实质分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事． 2．使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.
3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( ) A．50个 B．45个 C．36个 D．35个

人教版2020高考数学(理科)一轮复习课时作业：52 椭圆_含解析

课时作业52 椭圆一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( A )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.2．(2019·开封模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( D )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：因为c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝16，所以c 1＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．3．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( C )A.306B.7C.306或7D.56或7 解析：由题意知m 2＝36，解得m ＝±6.当m ＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a ＝6，b ＝1，c ＝5，则e ＝306；当m ＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝1，b ＝6，c ＝7，则e ＝7.故选C.4．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝4， |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60° ＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A.5．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( C )A.14B.13C.12D.23 解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a ＋2c )·b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.6．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－12解析：设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c .又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝(5－1)24，∴0<e <5－12.故选B. 二、填空题7．(2019·河北保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|＝6，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.8．(2019·四川南充模拟)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是 3.解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3，所以b 2＝3，即b ＝ 3.9．(2019·云南昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是(－3,0)或(3,0)．解析：记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．10．(2019·南宁市摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是32.解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2－＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32.三、解答题11．(2019·云南曲靖模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得⎩⎨⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1.由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋32x 2＋m 32x 1＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75.又|AB |＝1＋34(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝72·4－m 2，O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72. 所以S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.12．已知椭圆C ：x 23m ＋y 2m ＝1，直线l ：x ＋y －2＝0与椭圆C 相交于两点P ，Q ，与x 轴交于点B ，点P ，Q 与点B 不重合．(1)求椭圆C 的离心率；(2)当S △OPQ ＝2时，求椭圆C 的方程；(3)过原点O 作直线l 的垂线，垂足为N .若|PN |＝λ|BQ |，求λ的值．解：(1)a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝2m ，e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将x ＋y －2＝0代入椭圆C 的方程并整理得4x 2－12x ＋12－3m ＝0，依题意，由Δ＝(－12)2－4×4×(12－3m )>0得m >1.且有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝12－3m4，|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·9－(12－3m )＝6m －1，原点到直线l 的距离d ＝2，所以S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12×6·m －1×2＝2，解得m ＝73>1，故椭圆方程为x 27＋3y 27＝1.(3)直线l 的垂线为ON ：y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，解得交点N (1,1)．因为|PN |＝λ|BQ |，又x 1＋x 2＝3，所以λ＝|PN ||BQ |＝|x 1－1||x 2－2|＝|2－x 2||x 2－2|＝1，故λ的值为1.13．(2019·合肥市质量检测)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( D )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5解析：由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎨⎧x ＝c ，x 2a 2＋y 24＝1，得N (c ，4a )，∴H (0，2a )，M (－2c ，－2a )．把点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a 2＋(－2a )24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.14．(2019·南昌摸底调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2， ∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ·(－8km4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54， ∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2， ∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94(1＋k 2)，又120<k 2≤54，∴0≤d 2<87，∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是[0，2147)．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·郑州市第一次质量预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为( B )A.32B.3－52 C.－1＋52D.3－12解析：如图，由题意得，A (－a,0)，B (0，b )，由在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，得点P 是以点O 为圆心，线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2与线段AB 的切点，连接OP ，则OP ⊥AB ，且OP ＝c ，即点O 到直线AB 的距离为c .又直线AB 的方程为y ＝ba x ＋b ，整理得bx －ay ＋ab ＝0，点O 到直线AB 的距离d ＝abb 2＋a 2＝c ，两边同时平方整理得，a 2b 2＝c 2(a 2＋b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)＝a 4－b 4，可得b 4＋a 2b 2－a 4＝0，两边同时除以a 4，得(b 2a 2)2＋b 2a 2－1＝0，可得b 2a 2＝－1＋52，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－－1＋52＝3－52，故选B. 16．(2019·重庆六校联考)如图，记椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π. 其中正确命题的序号是②③.解析：对于①，若点P 在椭圆x 225＋y 29＝1上，P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1，得y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．故答案为②③.。

2020高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程(1)(含解析)

课时作业10 椭圆及其标准方程（1）知识点一椭圆的定义及简单应用1。

已知在平面直角坐标系中，点A（－3,0),B（3,0)，点P为一动点，且｜PA|＋|PB|＝2a(a≥0）,给出下列说法：①当a＝2时，点P的轨迹不存在；②当a＝4时，点P的轨迹是椭圆,且焦距为3；③当a＝4时,点P的轨迹是椭圆，且焦距为6;④当a＝3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆．其中正确的说法是（）A．①②B．①③C．②③D．②④答案B解析当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在,①正确;当a＝4时,2a＝8>｜AB｜，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为｜AB|＝6,②错误，③正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB,④错误．2．已知椭圆错误!＋错误!＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7答案D解析由椭圆方程知a＝5，根据椭圆定义有｜PF1｜＋｜PF2|＝2a＝10.若|PF1｜＝3，则｜PF2|＝7.3．设F1，F2是椭圆错误!＋错误!＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为（)A．16 B．18 C．20 D．不确定答案B解析∵a＝5,b＝3，∴c＝4又｜PF1|＋｜PF2|＝2a＝10，｜F1F2|＝2c＝8，∴△PF1F2的周长为｜PF1|＋|PF2|＋|F1F2｜＝2a＋2c＝10＋8＝18，故选B。

知识点二求椭圆的标准方程4.写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1）a＝5，c＝2;(2）经过P1(错误!,1)，P2（－错误!,－错误!)两点;（3）以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点,且经过点M(2,6)．解（1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.∴椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1。

(2)解法一：①当焦点在x轴上时,设椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0）．由已知，得错误!⇒错误!即所求椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝1。

2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：56 最值、范围、证明问题 Word版含解析

课时作业56 最|值、范围、证明问题第|一次作业根底稳固练1．动圆C 与圆C 1：(x －2)2＋y 2＝1相外切 ,又与直线l ：x ＝－1相切．(1)求动圆圆心轨迹E 的方程；(2)假设动点M 为直线l 上任一点 ,过点P (1,0)的直线与曲线E 相交于A ,B 两点 ,求证：k MA ＋k MB ＝2k MP .解：(1)由题知 ,动圆C 的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x ＝－2的距离 ,所以由抛物线的定义可知 ,动圆C 的圆心轨迹是以(2,0)为焦点 ,x ＝－2为准线的抛物线 ,所以动圆圆心轨迹E 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题知当直线AB 的斜率为0时 ,不符合题意 ,所以可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1 ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝8x消去x ,得y 2－8my－8＝0 ,Δ＝64m 2＋32>0恒成立 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,M (－1 ,t ) ,那么y 1＋y 2＝8m ,y 1·y 2＝－8 ,x 1＋x 2＝8m 2＋2 ,x 1·x 2＝1 , 而2k MP ＝2·t－1－1＝－t ,k MA ＋k MB ＝y 1－tx 1＋1＋y 2－tx 2＋1 ＝y 1x 2＋y 2x 1＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝18y 1y 2(y 1＋y 2)＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝－t (8m 2＋4)8m 2＋4＝－t , 所以k MA ＋k MB ＝2k MP .2. 如图 ,椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ,右焦点为F (1,0) ,过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ,交y 轴于点C ,AB →＝6BC →.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ,N 两点 ,连接MO (O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ,求△MNQ 面积的最|大值及取最|大值时直线l 的方程．解：(1)由题知A (－a,0) ,C (0 ,a ) ,故B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 7 6a 7 , 代入椭圆E 的方程得149＋36a 249b 2＝1 ,结合a 2－b 2＝1 ,得a 2＝4 ,b 2＝3 ,故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题知 ,直线l 不与x 轴重合 ,故可设l ：x ＝my ＋1 ,代入x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0 ,设M (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2) ,那么y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4 ,y 1y 2＝－93m 2＋4 ,连接ON ,由Q 与M 关于原点对称知 , S △MNQ ＝2S △MON ＝|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋13m 2＋4＝123m 2＋1＋1m 2＋1,∵m 2＋1≥1 , ∴3m 2＋1＋1m 2＋1≥4 , ∴S △MNQ ≤3 ,当且仅当m ＝0时 ,等号成立 ,∴△MNQ 面积的最|大值为3 ,此时直线l 的方程为x ＝1. 3．(2021·河南洛阳统考)抛物线C ：x 2＝2py (p >0) ,过焦点F 的直线交C 于A ,B 两点 ,D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)假设AB ∥l ,且△ABD 的面积为1 ,求抛物线的方程； (2)设M 为AB 的中点 ,过M 作l 的垂线 ,垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解：(1)∵AB ∥l ,∴|FD |＝p ,|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1 ,故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在 ,设其方程为y ＝kx ＋p 2,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1 x 212p ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 x 222p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2x 2＝2py消去y 整理得 ,x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ,x 1x 2＝－p 2.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp k 2p ＋p 2 ,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp －p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ,∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p .∴直线AN 与抛物线相切．4．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0) ,且该椭圆过定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0) ,过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点 ,且F 2A →＝λF 2B →,λ∈[－2 ,－1] ,以QA ,QB 为邻边作平行四边形QACB ,求对角线QC 长度的最|小值．解：(1)由题易知c ＝1 ,1a 2＋12b 2＝1 , 又a 2＝b 2＋c 2 ,解得b 2＝1 ,a 2＝2 , 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1 ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0 ,Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0.设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2 ,y 1y 2＝－1k 2＋2.QC →＝QA →＋QB →＝(x 1＋x 2－4 ,y 1＋y 2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎪⎫－4(k 2＋1)k 2＋2－2k k 2＋2 , ∴|QC →|2＝|QA →＋QB →|2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2,由此可知 ,|QC →|2的大小与k 2的取值有关．由F 2A →＝λF 2B →可得y 1＝λy 2 ,λ＝y 1y 2,1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2,由λ∈[－2 ,－1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 －2 ,从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2 ,解得0≤k 2≤27.令t ＝1k 2＋2,那么t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤716 12 , ∴|QC →|2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝⎛⎭⎪⎫t －742－172 ,∴当t ＝12时 ,|QC |min ＝2.5．(2021·合肥模拟)中|心在原点 ,焦点在y 轴上的椭圆C ,其上一点P 到两个焦点F 1 ,F 2的距离之和为4 ,离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)假设直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ,B 两点 ,求△OAB 面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) ,由条件知 ,⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4 e ＝c a ＝32a 2＝b 2＋c 2解得a ＝2 ,c ＝ 3 ,b ＝1 , 故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1 y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0 ,故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4 ,x 1x 2＝－3k 2＋4 ,设△OAB 的面积为S , 由x 1x 2＝－3k 2＋4<0 ,知S ＝12×1×|x 1－x 2| ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2,令k 2＋3＝t ,知t ≥3 ,∴S ＝21t ＋1t ＋2. 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3) ,知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0 ,∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3 ,＋∞)上单调递增 ,∴t ＋1t ≥103 , ∴0<1t ＋1t ＋2≤316 ,∴0<S ≤32.故△OAB 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0 32.第二次作业（高|考）·模拟解答题体验1．(2021·四川成都七中模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,且离心率为22 ,过左焦点F 1的直线l 与C 交于A ,B 两点 ,△ABF 2的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)当△ABF 2的面积最|大时 ,求l 的方程．解：(1)由椭圆的定义知4a ＝4 2 ,a ＝ 2 , 由e ＝ca 知c ＝ea ＝1 ,b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0) ,F 2(1,0) ,|F 1F 2|＝2 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,l ：x ＝my －1 ,联立x ＝my －1与x 22＋y 2＝1 ,得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0 ,|y 1－y 2|＝22m 2＋1m 2＋2 , S △ABF 2＝22m 2＋1(m 2＋2)2＝221m 2＋1＋1m 2＋1＋2, 当m 2＋1＝1 ,m ＝0时 ,S △ABF 2最|大为 2 ,l ：x ＝－1.2．(2021·广东佛山模拟)中|心在坐标原点 ,焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12 ,椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1 ,F 2构成的三角形中面积的最|大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)假设A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点 ,连接CF 2与椭圆的另一交点为B ,求证：直线AB 与x 轴交于定点P ,并求P A →·F 2C →的取值范围．解：(1)由题意知c a ＝12 ,12·2c ·b ＝ 3 ,a 2＝b 2＋c 2 ,解得c ＝1 ,a ＝2 ,b ＝ 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,C (x 1 ,－y 1) ,直线AB ：y ＝kx ＋m . 将y ＝kx ＋m ,代入x 24＋y 23＝1得 , (4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 那么x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3 ,x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.因为B ,C ,F 2共线 ,所以kBF 2＝kCF 2 , 即kx 2＋m x 2－1＝－(kx 1＋m )x 1－1, 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0 , 所以2k 4m 2－124k 2＋3－(m －k )8km 4k 2＋3－2m ＝0 ,解得m ＝－4k .所以直线AB ：y ＝k (x －4) ,与x 轴交于定点P (4,0)．因为y 21＝3－34x 21 ,所以P A →·F 2C →＝(x 1－4 ,y 1)·(x 1－1 ,－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187.因为－2<x 1<2 ,所以P A →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－187 18.3．(2021·广东华南师大附中模拟)点C 是圆F ：(x －1)2＋y 2＝16上任意一点 ,点F ′与圆心F 关于原点对称．线段CF ′的中垂线与CF 交于P 点．(1)求动点P 的轨迹方程E ；(2)设点A (4,0) ,假设直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ,直线AQ 与直线PF 交于点B ,证明：点B 恒在曲线E 上 ,并求△P AB 面积的最|大值．解：(1)由题意得 ,F 点坐标为(1,0) ,因为P 为CF ′中垂线上的点 ,所以|PF ′|＝|PC |.又|PC |＋|PF |＝4 ,所以|PF ′|＋|PF |＝4>|FF ′|＝2 ,由椭圆的定义知 ,2a ＝4 ,c ＝1 ,所以动点P 的轨迹方程E 为x 24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(m ,n )(n ≠0) ,那么Q 点的坐标为(m ,－n ) ,且3m 2＋4n 2＝12 ,所以直线QA ：y ＝n4－m (x －4) ,即nx －(4－m )y －4n ＝0 ,直线PF ：y ＝nm －1(x －1) ,即nx －(m －1)y －n ＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx －(4－m )y －4n ＝0nx －(m －1)y －n ＝0解得x B ＝5m －82m －5 ,y B ＝3n2m －5,那么x 2B 4＋y 2B 3＝(5m －8)24(2m －5)2＋(3n )23(2m －5)2 ＝25m 2－80m ＋64＋12n 24(2m －5)2 ＝16m 2－80m ＋1004(2m －5)2＝1 , 所以点B 恒在椭圆E 上．设直线PF ：x ＝ty ＋1 ,P (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋13x 2＋4y 2＝12 消去x 整理得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0 ,所以y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4 ,y 1y 2＝－93t 2＋4, 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(－6t 3t 2＋4)2＋363t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4, 从而S △P AB ＝12|F A ||y 1－y 2|＝18t 2＋13t 2＋4＝18t 2＋13(t 2＋1)＋1＝183t 2＋1＋1t 2＋1. 令μ＝t 2＋1(μ≥1) ,那么函数g (μ)＝3μ＋1μ在[1 ,＋∞)上单调递增 ,故g (μ)min ＝g (1)＝4 ,所以S △P AB ≤184＝92 ,即当t ＝0时 ,△P AB 的面积取得最|大值 ,且最|大值为92.4．(2021·河北邢台模拟)椭圆W ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距与椭圆Ω：x 24＋y 2＝1的短轴长相等 ,且W 与Ω的长轴长相等 ,这两个椭圆在第|一象限的交点为A ,直线l 与直线OA (O 为坐标原点)垂直 ,且l 与W 交于M ,N 两点．(1)求W 的方程；(2)求△MON 的面积的最|大值．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4a 2－b 2＝1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝3 故W 的方程为y 24＋x 23＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 24＋x 23＝1 x 24＋y 2＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝3613 y 2＝413∴y 2x 2＝19.又A 在第|一象限 ,∴k OA ＝y x ＝13.故可设l 的方程为y ＝－3x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3x ＋m y 24＋x 23＝1得31x 2－18mx ＋3m 2－12＝0.设M (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2) ,那么x 1＋x 2＝18m 31 ,x 1x 2＝3m 2－1231.∴|MN |＝1＋(－3)2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10×4331－m 231. 又O 到直线l 的距离为d ＝|m |10, 那么△MON 的面积S ＝12d ·|MN | ＝23|m |31－m 231, ∴S ＝23m 2(31－m 2)31≤331(m 2＋31－m 2)＝ 3 ,当且仅当m 2＝31－m 2 ,即m 2＝312时 ,满足Δ>0 , 故△MON 的面积的最|大值为 3. 5．(2021·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B ,椭圆的离心率为53 ,点A 的坐标为(b,0) ,且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第|一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .假设|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点) ,求k 的值．解：(1)设椭圆的焦距为2c ,由有c 2a 2＝59 ,又由a 2＝b 2＋c 2 ,可得2a ＝3b .由可得 ,|FB |＝a ,|AB |＝2b ,由|FB |·|AB |＝6 2 ,可得ab ＝6 ,从而a ＝3 ,b ＝2.所以 ,椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1 ,y 1) ,点Q 的坐标为(x 2 ,y 2)．由有y 1>y 2>0 ,故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB, 而∠OAB ＝π4 ,故|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ,可得5y 1＝9y 2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx x 29＋y 24＝1 消去x ,可得y 1＝6k 9k 2＋4 .易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0 ,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kxx ＋y －2＝0消去x ,可得y 2＝2k k ＋1. 由5y 1＝9y 2 ,可得5(k ＋1)＝39k 2＋4 ,两边平方 ,整理得56k 2－50k ＋11＝0 ,解得k ＝12 ,或k ＝1128.所以 ,k 的值为12或1128.。

2020版高一数学课时作业全册(含解析) 新人教A版必修3

20203目录[课时作业1] 算法的概念 (3)[课时作业2] 程序框图与算法的顺序结构、条件结构 (7)[课时作业3] 循环结构及应用 (14)[课时作业4] 输入语句、输出语句和赋值语句 (22)[课时作业5] 条件语句 (29)[课时作业6] 循环语句 (37)[课时作业7] 算法案例 (47)[课时作业8] 简单随机抽样 (52)[课时作业9] 系统抽样 (55)[课时作业10] 分层抽样 (59)[课时作业11] 用样本的频率分布估计总体分布 (65)[课时作业12] 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (72)[课时作业13] 变量间的相关关系 (79)[课时作业14] 随机事件的概率 (86)[课时作业15] 概率的意义 (90)[课时作业16] 概率的基本性质 (95)[课时作业17] 古典概型 (101)[课时作业18] (整数值)随机数(random numbers)的产生 (106)[课时作业19] 几何概型 (110)[课时作业20] 均匀随机数的产生 (116)[课时作业1] 算法的概念[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．算法的有限性是指( ) A ．算法必须包含输出B ．算法中每个操作步骤都是可执行的C ．算法的步骤必须有限D ．以上说法均不正确解析：一个算法必须在有限步内结束称为算法的有穷性．答案：C2．给出下面一个算法：第一步，给出三个数x ，y ，z . 第二步，计算M ＝x ＋y ＋z . 第三步，计算N ＝13M .第四步，输出M ，N . 则上述算法是( ) A ．求和 B ．求余数C ．求平均数D ．先求和再求平均数解析：由算法过程知，M 为三数之和，N 为这三数的平均数．答案：D3．已知一个算法：第一步，m ＝a .第二步，如果b <m ，则m ＝b ，输出m ；否则执行第三步．第三步，如果c <m ，则m ＝c ，输出m .如果a ＝3，b ＝6，c ＝2，那么执行这个算法的结果是( ) A ．3 B ．6 C ．2 D ．m解析：当a ＝3，b ＝6，c ＝2时，依据算法设计，执行后，m ＝a ＝3<b ＝6，c ＝2<3＝m ，则c ＝2＝m ，即输出m 的值为2.答案：C4．一个算法的步骤如下：第一步，输入x 的值；第二步，计算x 的绝对值y ；第三步，计算z ＝2y－y ；第四步，输出z 的值．如果输入x 的值为－3，则输出z 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8解析：根据算法的步骤计算：第一步，输入x ＝－3. 第二步，计算x 的绝对值y ＝3. 第三步，计算z ＝2y －y ＝23－3＝5. 第四步，输出z 的值为5. 答案：B5．对于解方程x 2－5x ＋6＝0的下列步骤： ①设f (x )＝x 2－5x ＋6；②计算判别式Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0； ③作f (x )的图象；④将a ＝1，b ＝－5，c ＝6代入求根公式x ＝－b ±Δ2a ，得x 1＝2，x 2＝3.其中可作为解方程的算法的有效步骤为( ) A ．①② B．②③ C ．②④ D．③④解析：解一元二次方程可分为两步：确定判别式和代入求根公式，故②④是有效的，①③不起作用．故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分) 6．给出下列算法：第一步，输入x 的值．第二步，当x >4时，计算y ＝x ＋2；否则计算y ＝4－x . 第三步，输出y .当输入x ＝0时，输出y ＝________. 解析：∵x ＝0<4，∴y ＝4－x ＝2. 答案：27．已知A (－1,0)，B (3,2)，下面是求直线AB 的方程的一个算法，请将其补充完整：第一步，________.第二步，用点斜式写出直线AB 的方程y －0＝12[x －(－1)]．第三步，将第二步的方程化简，得到方程x －2y ＋1＝0.解析：该算法功能为用点斜式方法求直线方程，第一步应为求直线的斜率，应为“计算直线AB 的斜率k ＝12”．答案：计算直线AB 的斜率k ＝128．下面给出了解决问题的算法：S 1，输入x .S 2，若x ≤1，则y ＝2x －3，否则y ＝x 2－3x ＋3. S 3，输出y .当输入的值为________时，输入值与输出值相等．解析：该算法的作用是计算并输出分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋3，x >1，2x －3，x ≤1的函数值．因为输入值与输出值相等，所以当x >1时，x 2－3x ＋3＝x ，解得x ＝3或x ＝1(舍去)，当x ≤1时，2x －3＝x ，解得x ＝3(舍去)．答案：3三、解答题(每小题10分，共20分) 9．写出解方程x 2－2x －3＝0的一个算法．解析：算法一：第一步，移项，得x 2－2x ＝3.① 第二步，①式两边同时加1并配方，得(x －1)2＝4.② 第三步，②式两边开方，得x －1＝±2.③ 第四步，解③得x ＝3或x ＝－1.算法二：第一步，计算方程的判别式并判断其符号：Δ＝(－2)2－4×(－3)＝16>0. 第二步，将a ＝1，b ＝－2，c ＝－3代入求根公式x ＝－b ±b 2－4ac2a ，得x 1＝3，x 2＝－1.10．请设计一个判断直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)是否垂直的算法．解析：算法如下：第一步，输入k 1，k 2的值．第二步，计算u ＝k 1·k 2.第三步，若u ＝－1，则输出“垂直”；否则，输出“不垂直”．[能力提升](20分钟，40分)11．能设计算法求解下列各式中S 的值的是( ) ①S ＝12＋14＋18＋ (12100)②S ＝12＋14＋18＋…＋12100＋…；③S ＝12＋14＋18＋…＋12n (n 为确定的正整数)．A ．①② B．①③ C ．②③ D．①②③解析：因为算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法求解．易知①③能设计算法求解．答案：B12．一个算法的步骤如下：第一步，令i ＝0，S ＝2.第二步，如果i ≤15，则执行第三步；否则执行第六步．第三步，计算S ＋i 并用结果代替S . 第四步，用i ＋2的值代替i . 第五步，转去执行第二步．第六步，输出S .运行该算法，输出的结果S ＝________.解析：由题中算法可知S ＝2＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝58. 答案：5813．从古印度的汉诺塔传说中演变出一个汉诺塔游戏：如图有三根杆子A ，B ，C ，A 杆上有三个碟子(自上到下逐渐变大)，每次移动一个碟子，要求小的只能叠在大的上面，最终把所有碟子从A 杆移到C 杆上．试设计一个算法，完成上述游戏．解析：第一步，将A 杆最上面的碟子移到C 杆上．第二步，将A 杆最上面的碟子移到B 杆上．第三步，将C 杆上的碟子移到B 杆上．第四步，将A 杆上的碟子移到C 杆上．第五步，将B 杆最上面的碟子移到A 杆上．第六步，将B 杆上的碟子移到C 杆上．第七步，将A 杆上的碟子移到C 杆上．14．给出解方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为实数)的一个算法．解析：算法步骤如下：第一步，当a ＝0，b ＝0，c ＝0时，解集为全体实数；第二步，当a ＝0，b ＝0，c ≠0时，原方程无实数解；第三步，当a ＝0，b ≠0时，原方程的解为x ＝－c b；第四步，当a ≠0且b 2－4ac >0时，方程有两个不等实根 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a；第五步，当a ≠0且b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等实根x 1＝x 2＝－b2a ；第六步，当a ≠0且b 2－4ac <0时，方程无实根．[课时作业2] 程序框图与算法的顺序结构、条件结构[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．条件结构不同于顺序结构的特征是含有( ) A ．处理框 B ．判断框 C ．输入、输出框 D ．起止框解析：由于顺序结构中不含判断框，而条件结构中必须含有判断框，故选B. 答案：B2．给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的绝对值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a ，b ，c 中的最大数；④求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≤0，x 2＋1，x >0的函数值．其中需要用条件结构来描述算法的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：其中①③④都需要对条件作出判断，都需要用条件结构，②用顺序结构即可．故选C.答案：C3．运行如图所示的程序框图，输出的结果为11，则输入的x 的值为( )A．6 B．5C．4 D．3解析：依题意，令2x－1＝11，解得x＝6，即输入的x的值为6.答案：A4．已知M＝ln 2，N＝lg 10，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )A．1 B．ln 10C．ln 5 D．ln 2解析：依题意，可得M<N，故输出的S＝M＝ln 2，故选D.答案：D5．某市的出租车收费办法如下：不超过2千米收7元(即起步价7元)，超过2千米的里程每千米收2.6元，另每车次超过2千米收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填( )A ．y ＝7＋2.6xB ．y ＝8＋2.6xC ．y ＝7＋2.6(x －2)D ．y ＝8＋2.6(x －2) 解析：当x >2时，2千米内的收费为7元， 2千米外的收费为(x －2)×2.6，另外燃油附加费为1元，所以y ＝7＋2.6(x －2)＋1＝8＋2.6(x －2)．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分) 6．如图，该程序框图的功能是________．解析：该程序框图表示的算法是先输入五个数，然后计算这五个数的和，再求这五个数的平均数，最后输出它们的和与平均数．答案：求五个数的和以及这五个数的平均数7．阅读如图所示的程序框图，若运行该程序框图后，输出y 的值为4，则输入的实数x 的值为________．解析：由程序框图，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)2，x ≥02x，x <0，若y ＝4，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0(x ＋2)2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x <02x＝4，解得x ＝0.答案：08．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥22－x ，x <2，如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图，则①②处分别应填写________．解析：程序框图中的①处就是分段函数解析式的判断条件，故填写“x <2？”，②处就是当x ≥2时的函数解析式，故填写“y ＝log 2x ”．答案：x <2？，y ＝log 2x三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知半径为r 的圆的周长公式为C ＝2πr ，当r ＝10时，写出计算圆的周长的一个算法，并画出程序框图．解析：算法如下：第一步，令r ＝10. 第二步，计算C ＝2πr . 第三步，输出C . 程序框图如图所示：10．为了节约能源，培养市民节约用电的良好习惯，某省居民生活用电价格将实行三档累进递增的阶梯电价：第一档，月用电量不超过200千瓦时，每千瓦时0.498元；第二档，月用电量超过200千瓦时但不超过400千瓦时，超出的部分每千瓦时0.548元；第三档，月用电量超过400千瓦时，超出的部分每千瓦时0.798元．(1)写出电费y (元)关于月用电量z (千瓦时)的函数关系式； (2)请帮助该省政府设计一个计算电费的程序框图．解析：(1)所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.498x ，0≤x ≤2000.498×200＋(x －200)×0.548，200<x ≤4000.498×200＋200×0.548＋(x －400)×0.798，x >400，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.498x ，0≤x ≤2000.548x －10，200<x ≤4000.798x －110，x >400.(2)程序框图为[能力提升](20分钟，40分)11．阅读如图程序框图，如果输出的值y 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．[－2,0]C ．(0,2]D ．[0,2]解析：由题意得：2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1且x ∈[－2,2]，解得x ∈[－2,0]．答案：B12．阅读如图所示的程序框图，写出它表示的函数是________．解析：由程序框图知，当x >3时，y ＝2x －8；当x ≤3时，y ＝x 2，故本题框图的功能是输入x 的值，求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －8(x >3)x 2(x ≤3)的函数值．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －8(x >3)x 2(x ≤3)13．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <0，x 2＋1，0≤x <1，x 3＋2x ，x ≥1，写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．解析：算法如下：第一步，输入x .第二步，如果x <0，那么y ＝2x －1，然后执行第四步；否则，执行第三步．第三步，如果x <1，那么y ＝x 2＋1；否则，y ＝x 3＋2x . 第四步，输出y . 程序框图如图所示．14．如图所示的程序框图，其作用是：输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，求这样的x 值有多少个？解析：由题可知算法的功能是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5的函数值，要满足题意，则需要⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x 2＝x (解得x ＝0或x ＝1)或⎩⎪⎨⎪⎧2<x ≤5，2x －3＝x (x ＝3)或⎩⎪⎨⎪⎧x >5，1x＝x ，(x＝±1，舍去)∴满足条件的x 的值有3个．[课时作业3] 循环结构及应用[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列关于循环结构的说法正确的是( )A．循环结构中，判断框内的条件是唯一的B．判断框中的条件成立时，要结束循环向下执行C．循环体中要对判断框中的条件变量有所改变才会使循环结构不会出现“死循环”D．循环结构就是无限循环的结构，执行程序时会永无止境地运行下去解析：由于判断框内的条件不唯一，故A错；由于当型循环结构中，判断框中的条件成立时执行循环体，故B错；由于循环结构不是无限循环的，故C正确，D错．答案：C2.如图所示程序框图的输出结果是( )A．3 B．4C．5 D．8解析：利用循环结构求解．当x＝1，y＝1时，满足x≤4，则x＝2，y＝2；当x＝2，y＝2时，满足x≤4，则x＝2×2＝4，y＝2＋1＝3；当x＝4，y＝3时，满足x≤4，则x＝2×4＝8，y＝3＋1＝4；当x＝8，y＝4时，不满足x≤4，则输出y＝4.答案：B3．如图所示的程序框图输出的S是126，则①应为( )A．n≤5? B．n≤6?C．n≤7? D．n≤8?解析：2＋22＋23＋24＋25＋26＝126，所以应填“n≤6？”．答案：B4．执行程序框图如图，若输出y的值为2，则输入的x应该是( )A．2或 3 B．2或± 3C．2 D．2或－ 3解析：由程序框图可得：当x<0时，y＝x2－1，∴x2－1＝2，即x2＝3，∴x＝－ 3.当x≥0时，y＝2x－2，∴2x－2＝2，∴2x＝4＝22.∴x＝2，综上所述，x＝2或－ 3.答案：D5．执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )A．3 B．4C．5 D．6解析：执行第一次循环的情况是：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；执行第二次循环的情况是：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2，执行第三次循环的情况是：a＝2，b＝4，a ＝6，s＝16，n＝3，执行第四次循环的情况是：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.根据走出循环体的判断条件可知执行完第四次走出循环体，输出n值，n值为4.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．解析：第一次运算：S＝2－1，i＝1<3，i＝2，第二次运算：S＝3－1，i＝2<3，i＝3，第三次运算：S＝1，i＝3＝n，所以S的值为1.答案：17．根据条件把图中的程序框图补充完整，求区间[1，1 000]内所有奇数的和，(1)处填________；(2)处填________．解析：求[1,1 000]内所有奇数和，初始值i ＝1，S ＝0，并且i <1 000，所以(1)应填S ＝S ＋i ，(2)应填i ＝i ＋2.答案：(1)S ＝S ＋i (2)i ＝i ＋28．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n 等于________．解析：当n ＝1时，a ＝152，b ＝4，满足进行循环的条件．n ＝2，a ＝454，b ＝8，满足进行循环的条件． n ＝3，a ＝1358，b ＝16，满足进行循环的条件． n ＝4，a ＝40516，b ＝32，不满足进行循环的条件．故输出的n 值为4. 答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)9．设计一个算法，求1×2×3…×100的值，并画出程序框图．解析：算法步骤如下：第一步，S ＝1. 第二步，i ＝1. 第三步，S ＝S ×i . 第四步，i ＝i ＋1.第五步，判断i 是否大于100，若成立，则输出S ，结束算法；否则返回执行第三步．程序框图如图．10．如图所示程序框图中，有这样一个执行框x i ＝f (x i －1)，其中的函数关系式为f (x )＝4x －2x ＋1，程序框图中的D 为函数f (x )的定义域． (1)若输入x 0＝4965，请写出输出的所有x i ；(2)若输出的所有x i 都相等，试求输入的初始值x 0. 解析：(1)当x 0＝4965时，x 1＝4x 0－2x 0＋1＝1119，而x 1∈D ，∴输出x 1，i ＝2，x 2＝4x 1－2x 1＋1＝15，而x 2＝15∈D ，∴输出x 2，i ＝3，x 3＝4x 2－2x 2＋1＝－1，而－1∉D ，退出循环，故x i 的所有项为1119，15.(2)若输出的所有x i 都相等，则有x 1＝x 2＝…＝x n ＝x 0，即x 0＝f (x 0)＝4x 0－2x 0＋1，解得：x 0＝1或x 0＝2，所以输入的初始值x 0为1或2时输出的所有x i 都相等．[能力提升](20分钟，40分)11．考拉兹猜想又名3n ＋1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则乘3再加1；如果它是偶数，则除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：当a ＝10时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a 值不满足“a 是奇数”，故a ＝5，i ＝2；当a ＝5时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a 值满足“a 是奇数”，故a ＝16，i ＝3；当a ＝16时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a 值不满足“a 是奇数”，故a ＝8，i ＝4；当a ＝8时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a 值不满足“a 是奇数”，故a ＝4，i ＝5；当a ＝4时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a 值不满足“a 是奇数”，故a ＝2，i ＝6；当a ＝2时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a 值不满足“a 是奇数”，故a ＝1，i ＝7；当a＝1时，满足退出循环的条件，故输出结果为7.故选D.答案：D12．下列四个程序框图都是为计算22＋42＋62＋…＋1002而设计的．正确的程序框图为________(填序号)；图③输出的结果为________________(只需给出算式表达式)；在错误的程序框图中，不能执行到底的为________(填序号)．解析：将每一个程序框图所表示的算法“翻译”出来，即可判断．答案：④22＋42＋62＋ (982)13．某高中男子体育小组的50米短跑成绩(单位：s)如下：6.4,6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5.设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于 6.8 s 的成绩，并将这个算法用程序框图表示出来．解析：算法如下：第一步，输入a.第二步，若a<6.8成立，则输出a，否则执行第三步．第三步，若没有数据了，则算法结束，否则返回第一步．程序框图如图所示：14．设计一个算法，求1×22×33×…×100100的值，并画出程序框图(分别用直到型循环结构和当型循环结构表示)．解析：算法步骤如下(直到型循环结构)：第一步，S＝1.第二步，i＝1.第三步，S＝S×i i.第四步，i＝i＋1.第五步，判断i>100是否成立．若成立，则输出S，结束算法；否则，返回第三步．该算法的程序框图如图所示：算法步骤如下(当型循环结构)：第一步，S＝1.第二步，i＝1.第三步，判断i≤100是否成立．若成立，则执行第四步；否则，输出S，结束算法．第四步，S＝S×i i.第五步，i＝i＋1.该算法的程序框图如图所示：[课时作业4] 输入语句、输出语句和赋值语句[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列语句正确的个数是( )①输入语句INPUT a＋2；②赋值语句x＝x－5；③输出语句PRINT M＝2.A．0 B．1C．2 D．3解析：①中输入语句只能给变量赋值，不能给表达式a＋2赋值，所以①错误；②中x ＝x－5表示变量x减去5后再将值赋给x，即完成x＝x－5后，x比原来的值小5，所以②正确；③中不能输出赋值语句，所以③错误．答案：B2．下列程序运行的结果是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由赋值语句的功能知：M＝1，M＝1＋1＝2，M＝2＋2＝4，输出M的值为4，故选D.答案：D3．输入a＝5，b＝12，c＝13，经下列赋值语句运行后，a的值仍为5的是( )解析：对于选项A，先把b的值赋给a，a的值又赋给b，这样a，b的值均为12；对于选项B，先把c的值赋给a，这样a的值就是13，接下来是把b的值赋给c，这样c的值就是12，再又把a的值赋给b，所以a的值还是13；对于选项C，先把a的值赋给b，然后又把b的值赋给a，所以a的值没变，仍为5；对于选项D，先把b的值赋给c，这样c的值是12，再把a的值赋给b，于是b的值为5，然后又把c的值赋给a，所以a的值为12.于是可知选C.答案：C4．给出下列程序：若输出的A的值为120，则输入的A的值为( )A．1 B．5C．15 D．120解析：该程序的功能是计算A×2×3×4×5的值，则120＝A×2×3×4×5，故A＝1，即输入A的值为1.答案：A5．下列程序执行后，变量a，b的值分别为( )A．20,15 B．35,35C．5,5 D．－5，－5解析：a＝15，b＝20，把a＋b赋给a，因此得出a＝35，再把a－b赋给b，即b＝35－20＝15，再把a－b赋给a，此时a＝35－15＝20，因此最后输出的a，b的值分别为20,15.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．阅读如图所示的算法框图，则输出的结果是________．解析：y＝2×2＋1＝5，b＝3×5－2＝13.答案：137．下面程序的功能是求所输入的两个正数的平方和，已知最后输出的结果是3.46，试据此将程序补充完整．解析：由于程序的功能是求所输入的两个数的平方和，且最后输出的结果是3.46，所以3.46＝1.12＋x22.所以，x22＝2.25.又x2是正数，所以x2＝1.5.答案：1.58．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面上的两点，试根据平面几何中的中点坐标公式设计一个程序，要求输入A，B两点的坐标，输出它们连线中点的坐标．现已给出程序的一部分，请在横线处把程序补充完整：解析：应填入中点坐标公式．答案：(x1＋x2)/2 (y1＋y2)/2三、解答题(每小题10分，共20分)9．给出程序框图，写出相应的程序语句．解析：程序如下：10．阅读下面的程序，根据程序画出程序框图．解析：程序框图如图所示．[能力提升](20分钟，40分)11．给出下列程序：此程序的功能为( )A．求点到直线的距离B．求两点之间的距离C．求一个多项式函数的值D．求输入的值的平方和解析：输入的四个实数可作为两个点的坐标，程序中的a，b分别表示两个点的横、纵坐标之差，而m，n分别表示两点横、纵坐标之差的平方；s是横、纵坐标之差的平方和，d 是平方和的算术平方根，即两点之间的距离，最后输出此距离．答案：B12．阅读下列两个程序，回答问题．①②(1)上述两个程序的运行结果是①____________；②________；(2)上述两个程序中的第三行有什么区别：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.解析：(1)①中运行x＝3，y＝4，x＝4，故运行结果是4,4；同理，②中的运行结果是3,3；(2)程序①中的“x＝y”是将y的值4赋给x，赋值后x的值变为4；程序②中的“y＝x”是将x的值3赋给y，赋值后y的值变为3.答案：(1)①4,4②3,3(2)程序①中的“x＝y”是将y的值4赋给x，赋值后x的值变为4；程序②中的“y＝x”是将x的值3赋给y，赋值后y的值变为313．已知函数y＝x2＋3x＋1，编写一个程序，使每输入一个x值，就得到相应的y值．解析：程序如下：14．某粮库3月4日存粮50 000 kg,3月5日调进粮食30 000 kg,3月6日调出全部存粮的一半，求每天的库存粮食数，画出程序框图，写出程序．解析：程序框图如图所示．程序：[课时作业5] 条件语句 [基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．当a＝3时，下面的程序段输出的结果是( )A．9 B．3C．10 D．6解析：因为a＝3<10，所以y＝2×3＝6.答案：D2．运行下面程序，当输入数值－2时，输出结果是( )A．7 B．－3C．0 D．－16解析：该算法是求分段函数y ＝⎩⎨⎧3x ，x >0，2x ＋1，x ＝0，－2x 2＋4x ，x <0，当x ＝－2时的函数值，∴y ＝－16. 答案：D3．下列程序语句的算法功能是( )A ．输出a ，b ，c 三个数中的最大数B ．输出a ，b ，c 三个数中的最小数C ．将a ，b ，c 按从小到大排列D ．将a ，b ，c 按从大到小排列解析：由程序语句可知，当比较a ，b 的大小后，选择较大的数赋给a ；当比较a ，c 的大小后，选择较大的数赋给a ，最后输出a ，所以此程序的作用是输出a ，b ，c 中最大的数．答案：A4．为了在运行下面的程序之后输出y ＝25，键盘输入x 应该是( )A ．6B ．5C ．6或－6D ．5或－5解析：程序对应的函数是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2，x <0，(x －1)2，x ≥0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，(x ＋1)2＝25，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，(x －1)2＝25，得x ＝－6或x ＝6.答案：C5．已知程序如下：如果输出的结果为2，那么输入的自变量x 的取值范围是 ( )A ．0B ．(－∞，0]C ．(0，＋∞) D．R解析：由输出的结果为2，则执行了ELSE 后面的语句y ＝2，即x >0不成立，所以有x ≤0. 答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．将下列程序补充完整．判断输入的任意数x 的奇偶性．解析：因为该程序为判断任意数x 的奇偶性且满足条件时执行“x 是偶数”，而m ＝x MOD 2表示m 除2的余数，故条件应用“m ＝0”．答案：m ＝07．如图，给出一个算法，已知输出值为3，则输入值为________．解析：本题的程序表示一个分段函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －1，x≥0，log 2(x ＋5)，x<0，∵输出值为3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －1＝3，x≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(x ＋5)＝3，x<0，∴x＝4，∴输入值x ＝4.答案：48．阅读下面程序(1)若输入a＝－4，则输出结果为________；(2)若输入a＝9，则输出结果为________．解析：分析可知，这是一个条件语句，当输入的值是－4时，输出结果为负数．当输入的值是9时，输出结果为9＝3.答案：(1)负数(2)3三、解答题(每小题10分，共20分)9．编写求函数y＝|x|的值的程序．解析：程序如下：10．给出如下程序(其中x满足：0<x<12)．(1)该程序用函数关系式怎样表达？(2)画出这个程序的程序框图．解析：(1)函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0<x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x <12.(2)程序框图如下：[能力提升](20分钟，40分)11．阅读下面的程序：程序运行的结果是( )A．3 B．3 4C．3 4 5 D．3 4 5 6解析：本题主要考查了条件语句的叠加，程序执行条件语句的叠加的过程中对于所有的条件都要进行判断，依次验证每一个条件，直到结束．在本题中共出现四次条件判断，每一个条件都成立，故输出结果为3 4 5 6.答案：D12．如下程序要使输出的y 值最小，则输入的x 的值为________．解析：本程序执行的功能是求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2(x ≥0)，(x ＋1)2(x <0)的函数值．由函数的性质知，当x ＝1或x ＝－1时，y 取得最小值0.答案：－1或113．设计判断正整数m 是否是正整数n 的约数的一个算法，画出其程序框图，并写出相应的程序．解析：程序框图：程序为：14．到某银行办理跨行汇款，银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取手续费；超过5 000元，一律收取50元手续费，画出描述汇款额为x 元，银行收取手续费y 元的程序框图，并写出相应的程序．解析：由题意，知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0<x ≤100，0.01x ，100<x ≤5 000，50，x >5 000.程序框图如图所示：程序如下：[课时作业6] 循环语句 [基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列程序运行后，输出的i的值等于( )A．9 B．8C．7 D．6解析：第一次：S＝0＋0＝0，i＝0＋1＝1；第二次：S＝0＋1＝1，i＝1＋1＝2；第三次：S＝1＋2＝3，i＝2＋1＝3；第四次：S＝3＋3＝6，i＝3＋1＝4；第五次：S＝6＋4＝10，i＝4＋1＝5；第六次：S＝10＋5＝15，i＝5＋1＝6；第七次：S＝15＋6＝21，i＝6＋1＝7，因此S＝21>20，所以输出i＝7.答案：C2．下列循环语句，循环终止时，i等于( )A．2 B．3C．4 D．5解析：当i<3时，执行循环体，因此，循环终止时i＝3.答案：B3．如果以下程序运行后输出的结果是132，那么在程序中LOOP UNTIL后面的“条件”应为( )A．i>11 B．i>＝11C．i<＝11 D．i<11解析：该程序中使用了直到型循环语句，当条件不满足时执行循环体，满足时退出循环，由于输出的是132,132＝12×11，故选D.答案：D4．下列程序执行后输出的结果是( )A．3 B．6C．10 D．15解析：由题意得，S＝0＋1＋2＋3＋4＋5＝15.答案：D5．图中程序是计算2＋3＋4＋5＋6的值的程序．在WHILE后的①处和在s＝s＋i之后的②处所填写的语句可以是( )A．①i>1②i＝i－1B．①i>1②i＝i＋1C．①i>＝1 ②i＝i＋1D．①i>＝1 ②i＝i－1解析：程序框图是计算2＋3＋4＋5＋6的和，则第一个处理框应为i>1，i是减小1个，i＝i－1，从而答案为：①i>1②i＝i－1.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．阅读下面程序，输出S的值为________．解析：S＝1，i＝1；第一次：T＝3，S＝3，i＝2；第二次：T＝5，S＝15，i＝3；第三次：T ＝7，S ＝105，i ＝4，满足条件，退出循环，输出S 的值为105. 答案：1057．下列程序表示的表达式是________(只写式子，不计算)．解析：所给程序语句为WHILE 语句，是求12i ＋1的前九项和．所以表达式为13＋15＋…＋117＋119. 答案：13＋15＋…＋117＋1198．已知有如下两段程序：程序1运行的结果为________，程序2运行的结果为______．解析：程序1从计数变量i ＝21开始，不满足i ≤20，终止循环，累加变量sum ＝0，这个程序计算的结果是sum ＝0；程序2从计数变量i ＝21开始，进入循环，sum ＝0＋21＝21，i ＝i ＋1＝21＋1＝22，i >20，循环终止，此时，累加变量sum ＝21，这个程序计算的结果是sum ＝21.答案：0 21三、解答题(每小题10分，共20分)9．编写程序，计算并输出表达式11＋2＋12＋3＋13＋4＋…＋119＋20的值．解析：利用UNTIL 语句编写程序如下：10．分别用WHILE 语句和UNTIL 语句编写程序，求出使不等式12＋22＋32＋…＋n 2<1 000成立的n 的最大整数值．解析：方法一利用WHILE 语句编写程序如下：方法二利用UNTIL 语句编写程序如下：[能力提升](20分钟，40分)11．如下所示的程序，若最终输出的结果为6364，则在程序中横线处可填入的语句为( )A ．i>＝8B ．i>＝7C ．i<7D ．i<8解析：因为n ＝2，i ＝1，第1次循环：S ＝0＋12＝12，n ＝4，i ＝2；第2次循环：S ＝12＋14＝34，n ＝8，i ＝3；第3次循环：S ＝34＋18＝78，n ＝16，i ＝4；第4次循环：S ＝78＋116＝1516，n ＝32，i ＝5；第5次循环：S ＝1516＋132＝3132，n ＝64，i ＝6；第6次循环：S ＝3132＋164＝6364，n ＝128，i ＝7.此时输出的S ＝6364，故可填i >＝7.答案：B12．下面是利用UNTIL 循环设计的计算1×3×5×…×99的一个算法程序．请将其补充完整，则横线处应分别填入①________②________.解析：补充如下：①S＝S*i ②i>99答案：①S＝S*i ②i>9913．高一(4)班共有60名同学参加数学竞赛，现已有这60名同学的竞赛分数，请设计一个将竞赛成绩优秀的同学的平均分输出的程序(规定89分以上为优秀)．解析：程序如下：14．意大利数学家菲波那契在1202年出版的一本书里提出了这样的一个问题：一对兔子饲养到第二个月进入成年，第三个月生一对小兔，以后每个月生一对小兔，所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年，第三个月生一对小兔，以后每月生一对小兔．问这样下去到年底应有多少对兔子？试画出解决此问题的程序框图，并编写相应的程序．解析：由题意可知，第一个月有一对小兔，第二个月有一对成年兔子，第三个月有两对兔子，从第三个月开始，每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和．设第N个月有F 对兔子，第N－1个月有S对兔子，第N－2个月有Q对兔子，则F＝S＋Q.第N＋1个月时，式中变量S的新值应变为第N个月兔子的对数(F的旧值)，变量Q的新值应变为第N－1个月兔子的对数(S的旧值)，这样，用S＋Q求出变量F的新值就是第N＋1个月兔子的对数，以此类推，可以得到一列数，这列数的第12项就是年底应有兔子的对数．我们可以先确定前两个月的兔子对数均为1，以此为基准，构造—个循环结构，让表示“第x个月”的i从3逐次增加1，一直变化到12，最后一次循环得到的F就是所求结果．程序框图如图所示．程序如下：。

2020高考理科数学课时作业52

高考数学课时作业(五十二)1．(2013·广东)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案 B解析如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，对于A项，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为α，β.A1A∥平面B1BCC1，A1A∥平面DCC1D1，而平面B1BCC1∩平面DCC1D1＝C1C；对于C项，设l为A1A，平面ABCD为α，平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD，A1A∥平面DCC1D1，而平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC；对于D项，设平面A1ABB1为α，平面ABCD为β，直线D1C1为l，平面A1ABB1⊥平面ABCD，D1C1∥平面A1ABB1，而D1C1∥平面ABCD.故A、C、D三项都是错误的．而对于B项，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B 项正确．2．已知不同直线m、n及不重合平面α、β，给出下列结论：①m⊂α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β②m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β③m⊂α，n⊂α，m∥n⇒α∥β④m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β其中的假命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析①为假命题，m不一定与平面β垂直，所以平面α与β不一定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③没有任何实质意义．只有④是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．3．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β答案 B解析对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面；对于选项C，α与β也可能相交；对于选项D，α与β也可能相交．故选B.4．如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，G是EF 的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A－EFH中必有()A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面答案 A解析∵AD⊥DF，AB⊥BE，又∵B、C、D重合记为H，∴AH⊥HF，AH ⊥HE.∴AH⊥面EFH.5. 如图所示，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13 答案 B解析取BD 的中点O ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴A ′O ⊥平面BCD .∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD ，假设A ′C ⊥BD ，∵OC 为A ′C 在平面BCD 内的射影，∴OC ⊥BD ，矛盾，∴A ′C 不垂直于BD .A 错误；∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，A ′C 在平面A ′BD 内的射影为A ′D ，∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，∴A ′B ⊥A ′C ，B 正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误；V A ′－BCD ＝13S △A ′BD·CD ＝16，D 错误，故选B.6. 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的距离为( )A.63aB.66aC.22aD.12a答案 A解析设点C 到平面A 1DM 的距离为h ，则由已知得 DM ＝A 1M ＝a 2＋(a 2)2＝52a ，A 1D ＝2a ，S △A 1DM ＝12×2a ×(52a )2－(22a )2＝64a 2，连接CM ，S △CDM ＝12a 2，由VC －A 1DM ＝VA 1－CDM ，得13S △A 1DM ·h ＝13S △CDM ·a ，即64a 2·h ＝12a 2·a . 所以h ＝63a ，即点C 到平面A 1DM 的距离为63a ，选A.7. 如图所示，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的正投影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC . 其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析由题意知P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC . 又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC . ∴AF ⊥PB ，AF ⊥BC .又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ， ∴PB ⊥平面AEF .∴PB ⊥EF .故①②③正确．8．四面体ABCD 中，AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝22AC ，∠BDC ＝90°.求证：BD ⊥平面ACD . 答案略证明如图所示，取CD 的中点G ，连接EG 、FG 、EF .∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点， ∴EG 綊12AC ，FG 綊12BD .又AC ＝BD ，∴FG ＝12AC .∴在△EFG 中，EG 2＋FG 2＝12AC 2＝EF 2. ∴EG ⊥FG .∴BD ⊥AC .又∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ， ∴BD ⊥平面ACD .9．(2013·广东)如图①，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图②所示的四棱锥A ′－BCDE ，其中A ′O ＝ 3.证明：A ′O ⊥平面BCDE . 答案略证明在题图①中，易得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2.连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理可得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos45°＝ 5. 由翻折不变性可知A ′D ＝22，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD .同理可证A ′O ⊥OE ，又OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .10．(2014·保定一模) 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，点D 是AB 的中点．(1)求证：BC 1∥平面CA 1D ； (2)求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B . 答案 (1)略 (2)略解析 (1)连接AC 1交A 1C 于E ，连接DE .∵AA 1C 1C 为矩形，则E 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点， ∴在△ABC 1中，DE ∥BC 1.又DE ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .(2)∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点， ∴在△ABC 中，AB ⊥CD .又AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， ∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AB ＝A ， ∴CD ⊥平面AA 1B 1B . 又CD ⊂平面CA 1D ， ∴平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B .11. 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AB ⊥BB 1，AC ＝BC ＝BB 1＝2，D 为AB 的中点，且CD ⊥DA 1.(1)求证：BB 1⊥平面ABC ； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D ； (3)求三棱锥B 1－A 1DC 的体积．答案 (1)略 (2)略 (3)43解析 (1)证明：∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点， ∴CD ⊥AB .又∵CD ⊥DA 1， ∴CD ⊥平面ABB 1A 1. ∴CD ⊥BB 1.又BB 1⊥AB ，AB ∩CD ＝D ， ∴BB 1⊥平面ABC .(2)证明：连接BC 1，连接AC 1交CA 1于E ，连接DE ，易知E 是AC 1的中点．又D 是AB 的中点，则DE ∥BC 1. 又DE ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .(3)由(1)知CD ⊥平面AA 1B 1B ，故CD 是三棱锥C －A 1B 1D 的高．在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝2， ∴AB ＝22，CD ＝ 2.又BB 1＝2，∴VB 1－A 1DC ＝VC －A 1B 1D ＝13S △A 1B 1D ·CD ＝16A 1B 1×B 1B ×CD ＝16×22×2×2＝43.12. (2012·课标全国)如图所示，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．答案 (1)略 (2)1∶1解析 (1)证明：由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC . 由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC . 又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC . 又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC . (2)设棱锥B —DACC 1的体积为V 1，AC ＝1. 由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12. 又三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.13．(2013·陕西) 如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D . 答案略证明方法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，如图所示．∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1.∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1,1,1)．∵A 1C →＝(－1,0，－1)，BD →＝(0，－2,0)，BB 1→＝(－1,0,1)， ∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0.∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1.又BD ∩BB 1＝B ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .方法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD . 又∵底面ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C . 又∵OA 1是AC 的中垂线， ∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2.∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2.∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C . 又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1.又BB 1∩BD ＝B ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .14. 如图所示，已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面AC ，再过A 作AE ⊥SB 交SB 于E ，过E 作EF ⊥SC 交SC 于F .(1)求证：AF ⊥SC ；(2)若平面AEF 交SD 于G ，求证：AG ⊥SD . 答案 (1)略 (2)略证明 (1)∵SA ⊥平面AC ，BC ⊂平面AC ，∴SA ⊥BC . ∵ABCD 为矩形，∴AB ⊥BC 且SA ∩AB ＝A . ∴BC ⊥平面SAB .又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AE .又SB ⊥AE 且SB ∩BC ＝B ，∴AE ⊥平面SBC . 又∵SC ⊂平面SBC ，∴AE ⊥SC .又EF ⊥SC 且AE ∩EF ＝E ，∴SC ⊥平面AEF .又∵AF⊂平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴SA⊥DC. 又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD. 又AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC. 又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD.。

2020高考数学(理)一轮复习课时作业51椭圆含解析

课时作业51椭圆基础达标]一、选择题1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.x2＋y2＝122则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝a 2＋b 2y 1y 2＝－b 4a 2＋b2，又AF →＝2FB →，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2－2y 22＝－b4a 2＋b2，∴12＝4c 2a 2＋b 2，∴e ＝23依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设解析：以F A 为直径的圆经过椭圆的上顶点B ，则FB ⊥AB ，所以FB →·AB →＝0，FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0，即a 2－c 2－ac ＝0. 两边同除以a 2，得e 2＋e －1＝0，所以e ＝5－12.答案：5－127．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与3设椭圆C ⎪⎧a 2＝b a b ＝3＝2，的方程为x 216y 2＝12926三、解答题9．[2019·贵州适应性考试]设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2a >b >0)的右、右焦点，E 的离心率为22，点(0,1)是E 上一点．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程．2c 2a 2－b 213交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是AB 中点，且点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，当QM ⊥AB 时，直线l 的方程．解析：(1)由题意可知a 2＋b 2＝5，又e ＝c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝3，b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)①若直线l 的斜率不存在，此时M 为原点，满足QM ⊥AB ，A.55 B.22C.12 D.33解析：∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝(a－c)(a＋c)，即4c2＝a2－c2，即5c2＝a2，即a＝5c，∴椭圆C的离心率e＝ca＝55，故选A.答案：Ay22。

2020高中数学 7 椭圆及其标准方程(含解析)2-1

课时分层作业(七）椭圆及其标准方程(建议用时：60分钟)［基础达标练］一、选择题1．椭圆错误!＋错误!＝1的焦点坐标为( ）A．（5，0)，（－5，0）B．（0,5)，（0，－5）C．（0,12）,（0,－12) D．(12,0)，（－12,0）C［c2＝169－25＝144.c＝12，故选C.］2．已知椭圆过点P错误!和点Q错误!,则此椭圆的标准方程是（) A．x2＋错误!＝1 B。

错误!＋y2＝1或x2＋错误!＝1C。

错误!＋y2＝1 D．以上都不对A［设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n〉0,m≠n),则错误!∴错误!∴椭圆的方程为x2＋错误!＝1.]3．设F1,F2是椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点，P是椭圆上的点,且｜PF1｜∶｜PF2|＝2∶1,则△F1PF2的面积等于（）A．5 B．4C．3 D．1B［由椭圆方程，得a＝3，b＝2,c＝5,∴|PF1|＋|PF2｜＝2a ＝6,又｜PF1|∶|PF2|＝2∶1,∴｜PF1|＝4,|PF2|＝2，由22＋42＝(2错误!)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为错误!｜PF1|·|PF2|＝错误!×4×2＝4，故选B。

]4．已知椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b〉0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是（)A．圆B．椭圆C．线段D．直线B[｜PF1｜＋|PO|＝错误!｜MF1｜＋错误!|MF2｜＝错误!（｜MF1|＋｜MF2｜）＝a>｜F1O|，因此点P的轨迹是椭圆．]5．如果方程错误!＋错误!＝1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( ）A．(3，＋∞）B．（－∞,－2)C．(3，＋∞)∪(－∞，－2）D．(3，＋∞)∪(－6，－2)D[由于椭圆的焦点在x轴上，所以错误!即错误!解得a＞3或－6＜a＜－2,故选D.]二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．x2＋错误!＝1 ［由题意知错误!解得错误!则b2＝a2－c2＝3,4故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.］7．已知F1，F2是椭圆C:错误!＋错误!＝1(a〉b>0）的两个焦点，P 为椭圆C上一点,且错误!⊥错误!.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．3 ［依题意，有错误!可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。

2020届高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第3节椭圆课时作业理(含解析)新人教A版

第3节椭圆课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．(改编题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为22，则椭圆C 的方程为( )(A)x 22＋y 2＝1(B)x 2＋y 22＝1(C)x 22＋y 22＝1(D)x 22＋y 2＝1或y 22＋x 22＝1A 解析：由e ＝ca ＝22得，a 2＝2b 2，依题意12×2a ×2b ＝22，即ab ＝2，解方程组⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.故选A.2．(改编题)点P 在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此椭圆的离心率是( )(A)57 (B)56 (C)45(D)35A 解析：设|PF 1|＝m ＜|PF 2|，则由椭圆的定义可得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －m ，而|F 1F 2|＝2c .因为△F 1PF 2的三条边长成等差数列，所以2|PF 2|＝|PF 1|＋|F 1F 2|，即m ＋2c ＝2(2a －m )，解得m ＝13(4a －2c )，即|PF 1＝13(4a －2c )，所以|PF 2|＝2a －13(4a －2c )＝13(2a ＋2c )．又∠F 1PF 2＝90°，所以|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤13a －2c 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13a ＋2c 2＝(2c )2，整理得5a 2－2ac －7c 2＝0，解得a ＝75c 或a ＝－c (舍去)．故e ＝c a ＝57.故选A.3．(2019湖南调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，点M 、N 、F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN ＝∠NMF ＋90°，则椭圆C 的离心率是( )(A)5－12(B)3－12(C)2－12(D)32A 解析：cos ∠MFN ＝cos(∠NMF ＋90°)＝－sin ∠NMF 即－c a＝－b a 2＋b 2∴c 2(a 2＋b 2)＝a 2b 2即c 2(2a 2－c 2)＝a 2(a 2－c 2) ∴c 4－3a 2c 2＋a 4＝0即e 4－3e 2＋1＝0，e 2＝3±52，e ＝3－52＝6－254＝5－12，故选A. 4．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) (A)514 (B)513 (C)49D.59B 解析：由题意知a ＝3，b ＝ 5.由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6.在△PF 1F 2中，因为PF 1的中点在y 轴上，O 为F 1F 2的中点，由三角形中位线性质可得PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ＝53，所以|PF 1|＝6－|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513，故选B.5．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( )(A)12 (B)3－12(C)32(D)3－1D 解析：设A (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c －3＝－1，3×m －c 2＋n2＝0，解得A (c2，32c )，代入椭圆方程中，有c 24a 2＋3c24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)， ∴c 4－8a 2c 2＋4a 2＝0，∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23，∴e ＝3－1.故选D.6．(2018三明5月)已知中心是坐标原点的椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫1，255，且它的一个焦点为(2,0)，则C 的标准方程为________．解析：椭圆的焦点位于x 轴，则设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255，则：1a 2＋45b 2＝1，①它的一个焦点为(2,0)，则a 2－b 2＝4，②①②联立可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝1，则C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.答案：x 25＋y 2＝17．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k＞2，解得0＜k ＜1.答案：(0,1)8．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 上在第二象限内的点，直线BO 交E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率是________．解析：设AC 的中点为M ，连接OM ，FM ，则OM 为△ABC 的中位线，B ，F ，M 在一条线上，于是△OFM ～△AFB ，且|OF ||FA |＝12，即c a －c ＝12，解得e ＝c a ＝13.答案：139．(2019聊城调研)已知A 为椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，MN 为圆(x －1)2＋y 2＝1的一条直径，则AM →·AN →的最大值为________．解析：记圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，设A (x ，y )，x ∈[－3,3]，则|AC |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋5－59x 2＝49x 2－2x ＋6，当x＝－3时，(|AC |2)max ＝4＋6＋6＝16.AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·(AC →－CM →)＝|AC →|2－|CM →|2＝|AC →|2－1≤15，故AM →·AN →的最大值为15.答案：1510．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (2,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，若椭圆C 上存在点P 满足OS →＋OT →＝tOP →(其中O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．解析：(1)由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝c ＋12＝a ，(*)∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c ，a ＝2c ，代入(*)式得b ＝c ＝1，∴a ＝2b ＝2，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，设P (x 0，y 0)，将直线l 的方程代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， ∴Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＞0，解得k 2＜12.设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋2k2.由OS →＋OT →＝tOP →，得tx 0＝x 1＋x 2，ty 0＝y 1＋y 2，当t ＝0时，直线l 为x 轴，则椭圆上任意一点P 满足OS →＋OT →＝tOP →，符合题意；当t ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧tx 0＝8k 21＋2k2，ty 0＝－4k1＋2k 2.∴x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k 1＋2k 2.将上式代入椭圆方程得32k4t 2＋2k22＋16k2t 2＋2k22＝1，整理得t 2＝16k 21＋2k 2＝161k2＋2，由k 2＜12知，0＜t 2＜4，所以t ∈(－2,0)∪(0,2)，综上可得，实数t 的取值范围是(－2,2)．能力提升练(时间：15分钟)11．(2019昆明二模)已知F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，过原点的直线交E 于A ，B 两点，AF 2→·BF 2→＝0，且|AF 2||BF 2|＝34，则E 的离心率为( )(A)12 (B)34 (C)27(D)57D 解析：∵AF 2→·BF 2→＝0，∴AF 1→⊥BF 2→，连接AF 1，BF 1，由椭圆的对称性可知，F 1AF 2B 是矩形，设|AF 2→|＝3t ，则|BF 2→|＝4t ，可知|AF 1→|＝4t,2a ＝3t ＋4t ，a ＝72t ，由勾股定理可知，2c ＝t2＋t2＝5t ，c ＝52t ，e ＝c a ＝57，故选D.12．(2019烟台三模)已知动点P 在椭圆x 249＋y 240＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，点M 满足|AM →|＝1，PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是( )(A)4 (B)15 (C)15(D)16B 解析：设P (x ，y )，A (3,0)为焦点，所以|PM →|＝PA 2－1，而焦半径4≤PA ≤10，所以|PM →|∈[15，311]，故选B.13．已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是________．解析：依题意：F 1(0，－3)，F 2(0,3)．又因为3＜4，所以∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°，设P (x,3)，代入椭圆方程得：x ＝±165，即点P 到y 轴的距离为165.答案：16514．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1k 2|＝14，则椭圆的离心率e ＝________.解析：设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，则k 1＝y －y 0x －x 0，k 2＝y ＋y 0x ＋x 0，由题意有|k 1k 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－y 20x 2－x 20＝14，因为P ，M ，N 在椭圆上，所以x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y 20b2＝1，两式相减得x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，即y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，所以b 2a 2＝14，即a 2－c 2a 2＝14，解得e ＝c a ＝32.答案：3215．点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点P 到点M 的距离d 的最小值．解：(1)由题意可知点A (－6,0)，F (4,0)设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP→＝(x －4，y )，且y ＞0，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋x －＋y 2＝0.即2x 2＋9x －18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝532或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝0.(舍)∴点p 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532.(2)直线AP 的方程为x －3y ＋6＝0，设点M 的坐标为(m,0)，由题意可知|m ＋6|2＝|m－6|.又－6≤m ≤6，∴m ＝2，∴d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋15.∴当x ＝92时，d 取得最小值15.16．(2019衡水中学)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线的方程．解析：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c a ＝12b 2＝a 2－c2，解得⎩⎨⎧a ＝2b ＝3c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴以圆心(0,0)到直线的距离d ＝2|m |5.由d ＜1，得|m |＜52，(*)． ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m x 24＋y 23＝1得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3， ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－m 2－＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.。

2020届高考数学第八章第五节椭圆课后练习人教A版 .doc

"【三维设计】高考数学第八章第五节椭圆课后练习人教A 版 "一、选择题1．(2011·新课标全国卷)椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( ) A.13B.12C.33D.22 解析：∵a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝8.∴e ＝c a ＝22. 答案：D2．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：由x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1. 答案：A3．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：A4．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，左焦点为F ，A 、B 、C 为其三个顶点，直线CF 与AB 交于D 点，则tan ∠BDC 的值等于( )A ．3 3B ．－3 3 C.35 D.－35 解析：由e ＝12知b a ＝1－e 2＝32， c b ＝33. 由图知tan ∠DBC ＝tan ∠ABO ＝a b ＝233， tan ∠DCB ＝tan ∠FCO ＝c b ＝33. tan ∠BDC ＝－tan(∠DBC ＋∠DCB ) ＝－233＋331－233·33＝－3 3.答案：B5．方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若31DF u u u u r ＝DA u u u r ＋22DF u u u u r ，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15解析：设点D (0，b )，A (－a,0)则1DF u u u u r ＝(－c ，－b )，DA u u u r ＝(－a ，－b )，2DF u u u u r ＝(c ，－b )，由31DF u u u u r ＝DA u u u r ＋22DF u u u u r 得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15. 答案：D二、填空题6．(2012·江南十校联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝2×5－6＝4. 答案：47．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM u u u u r |＝1，且PM u u u r ·AM u u u u r ＝0，则|PM u u u r |的最小值是________．解析：∵|PM u u u r |·AM u u u u r ＝0，∴AM u u u u r ⊥PM u u u r .∴|PM u u u r |2＝|AP u u u r |2－|AM u u u u r |2＝|AP u u u r |2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP u u u r |min ＝2，∴|PM u u u r |min ＝ 3. 答案： 3三、解答题8．(2011·陕西高考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1，∴b ＝4. 又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925.∴a ＝5. ∴C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得 x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32， y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65. 即中点坐标为(32，－65)． 9．(2012·天津河西模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点． (1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1PF u u u r ·2PF u u u r ＝－54，求点P 的坐标； (2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为原点)，求直线l 斜率k 的取值范围．解：(1)由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设P (x ，y )(x >0，y >0)，1PF u u u r ＝(－3－x ，－y )，2PF u u u r ＝(3－x ，－y )．由1PF u u u r ·2PF u u u r ＝－54，得x 2＋y 2－3＝－54. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝74，x 24＋y 2＝1，解得点P (1，32)． (2)可设l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0. 由Δ＝(16k )2－4·(1＋4k 2)·12>0，得k 2>34. ① 又y 1·y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，∵∠AOB 为锐角，所以OA u u u r ·OB u u u r >0，即x 1x 2＋y 1y 2>0.即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝121＋k 21＋4k 2＋2k (－16k 1＋4k 2)＋4＝44－k 21＋4k 2>0. 所以－14<k 2<4. ② 由①②可知34<k 2<4，故k 的取值范围是(－2，－32)∪(32，2)． 10．(2012·南昌模拟)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点F 1，M 是椭圆的右顶点，N 是椭圆的上顶点，且MN u u u u r ＝λOP u u u r (λ>0)．(1)求该椭圆的离心率；(2)若过右焦点F 2且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A 1，直线A 1B 与x 轴交于点R (4,0)，求椭圆C 的方程．解：(1)令x ＝－c ，得y ＝b 2a，所以点P 的坐标为(－c ，b 2a )，由|MN u u u u r |＝λOP u u u r (λ>0)得到b 2a c ＝b a，所以b ＝c ，a 2＝2c 2.即离心率e ＝22. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋c (m ≠0)，与椭圆方程x 22c 2＋y 2c2＝1联立得到(m 2y 2＋2mcy ＋c 2)＋2y 2＝2c 2，即(m 2＋2)y 2＋2mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mc m 2＋2，y 1y 2＝－c 2m 2＋2. 由A 关于x 轴的对称点为A 1，得A 1(x 1，－y 1)，则直线A 1B 的方程是y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1，过点R (4,0)得到y 1(my 2－my 1)＝4(y 2＋y 1)－(my 1＋c )(y 2＋y 1)，即2my 1y 2＝(4－c )(y 1＋y 2)，所以－2mc 2m 2＋2＝(4－c )－2mc m 2＋2，得到c ＝4－c ，所以c ＝2.∴b 2＝4.∴a 2＝8.所以所求椭圆方程为x 28＋y 24＝1.。

2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元课时作业第52讲椭圆

课时作业第52讲椭圆时间/45分钟分值/100分■基础热身1 •椭圆2x2+y2=4的焦点坐标为（）A. （也,0）B.（土一,0）C.（0, ±） D .（0,±一）2. 已知焦点在x轴上冲心为坐标原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6若该椭圆的离心率为-，则椭圆的方程是（）A.—+y2=1B.—+—=1C.—+—=1D.—+—=13. m2>5”是亠+—=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若F（c,0）是椭圆一+一=1（a>b>0）的右焦点,F与椭圆上的点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与点F的距离等于的点的坐标是_________ .5. ____________________________ [ 2018 •凉山诊断]已知点P 一是椭圆一+y2=1（a>1）上的点,A,B分别是椭圆的左、右两个顶点，则△ PAB的面积为.■能力提升6. [ 2018 •大连二模]设椭圆C:—+y2=1的左焦点为F,直线l:y=kx （k^ 0）与椭圆C交于A,B 两点，则|AF|+|BF|的值是（）A. 2B.2 -C.4D.4 —7. [2018 •唐山二模]椭圆C:—+—=1（a>b>0）的右焦点为F,若存在直线y=t与椭圆C交于A,B 两点，使得△ ABF为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率e=（）A.—B. 一-1C. 一-1 D-8. [2018 •长春质检]已知椭圆一+—= 1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点，则△ ABF1的内切圆的半径为（）A.-B.1C.— D-9. [2018 •永州二模]已知点F1,F2是椭圆x2+3y2=12的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点,那么| + |的最小值是（）A.OB. 4C. 4 —D. 4 一10. 设椭圆E:一+—=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),点A(-1,1)为椭圆E内一点若椭圆E上存在一点P,使得+ =9,则椭圆E的离心率的取值范围是()A. -B. - -C. --D. --11. [2018 •郑州质检]已知椭圆C:—+—=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F I,F2，离心率为-,过F2的直线l交C于A,B两点,若厶AF1B的周长为12则C的方程为 ______________________ .12. [2018 •唐山一模]已知F为椭圆C：—+—=1(a>b>0)的一个焦点，过点F且垂直于x轴的直线交椭圆C于点A,B,若原点O在以AB为直径的圆上，则椭圆C的离心率为____________ . 13. ____________________________________________________________________________ 已知椭圆一 +—=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，且△ F1AB的面积为——,点P为椭圆上的任意一点则——+——的取值范围为__________________ .14. (10分)[2018 •吉林实验中学模拟]如图K52-1所示椭圆W:——=1(a>b>0)的焦距与椭圆+y2=1的短轴长相等且W与Q的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A,直线I经过◎在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA(O为坐标原点)垂直,1与Q的另一个交点为C,l与W交于M,N两点.(1) 求W的标准方程；(2) 求——.图K52-115. (12分)已知椭圆C：—+—=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2，椭圆C的上顶点到直线x+2y-4a=0的距离为一，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于M,N两点,且|MN|=1.(1)求椭圆C的方程；⑵过点-—的直线与椭圆C相交于P,Q两点，点A 一一，且/ PAQ= 90。

2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试：52 椭圆 Word版含解析

考点测试52　椭圆高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2．了解椭圆的简单应用3．理解数形结合的思想一、基础小题1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于，则C 的方程12是( )A ．＋＝1B ．＋＝1x 23y 24x 24y 23C ．＋＝1 D ．＋y 2＝1x 24y 23x 24答案　C解析　依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝c a 3，因此其方程是＋＝1，故选C ．x 24y 232．到点A (－4，0)与点B (4，0)的距离之和为10的点的轨迹方程为( )A ．＋＝1B ．－＝1x 225y 216x 225y 216C ．＋＝1 D ．－＝1x 225y 29x 225y 29答案　C解析　由椭圆的定义可知该点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，而c ＝4，a ＝5，故b 2＝a 2－c 2＝9．故选C ．3．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，x 23且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2B ．6C ．4D ．1233答案　C解析　依题意，记椭圆的另一个焦点为F ，则△ABC 的周长等于|AB |＋|AC |＋|BC |＝|AB |＋|AC |＋|BF |＋|CF |＝(|AB |＋|BF |)＋(|AC |＋|CF |)＝4，故选C ．34．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 等于( )A ． B ．2 C ．4 D ．1214答案　D 解析　由x 2＋＝1及题意知，2＝2×2×1，m ＝，故选D ．y 21m1m 145．已知动点M (x ，y )满足＋＝4，则动点M 的轨迹是(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段答案　D解析　设点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由题意知动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝4＝|F 1F 2|，故动点M 的轨迹是线段F 1F 2．故选D ．6．设F 1，F 2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中x 29y 25点在y 轴上，则的值为( )|PF 2||PF 1|A ．B ．C ．D ．5145134959答案　B解析　由题意知a ＝3，b ＝．由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6．在△PF 1F 2中，5因为PF 1的中点在y 轴上，O 为F 1F 2的中点，由三角形中位线的性质可推得PF 2⊥x 轴，所以由x ＝c 时可得|PF 2|＝＝，所以|PF 1|＝6－|PF 2|＝，所以＝，b 2a 53133|PF 2||PF 1|513故选B ．7．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案　B解析　点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，动点P 的轨迹是椭圆．故选B ．8．若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝x 210－a y 2a －2________．答案　4或8解析　对椭圆的焦点位置进行讨论．由椭圆的焦距为4得c ＝2，当2<a <6时，椭圆的焦点在x 轴上，则10－a －(a －2)＝4，解得a ＝4；当6<a <10时，椭圆的焦点在y 轴上，则a －2－(10－a )＝4，解得a ＝8．故a ＝4或a ＝8．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心x 2a 2y 24率为( )A ．B ．C ．D ．131222223答案　C解析　根据题意，可知c ＝2，因为b 2＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝8，即a ＝2，2所以椭圆C 的离心率为e ＝＝．故选C ．2222210．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－B ．2－C ．D ．－13233－123答案　D解析　在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，设|PF 2|＝m ，则2c ＝|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝m ，3又由椭圆定义可知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(＋1)m ，3则离心率e ＝＝＝＝－1．故选D ．c a 2c 2a 2m(3＋1)m311．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左，右焦点，Ax 2a 2y 2b 2是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝36120°，则C 的离心率为( )A ．B ．C ．D ．23121314答案　D解析　依题意易知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，且P 在第一象限内，由∠F 1F 2P ＝120°可得P 点的坐标为(2c ，c )．3又因为k AP ＝，即＝，所以a ＝4c ，e ＝，故选D ．363c 2c ＋a 361412．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，x 2a 2y 2b 2且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A ．B ．C ．D ．63332313答案　A解析　由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a ．又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝＝a ，解得a ＝b ，2ab a 2＋b 23∴＝，∴e ＝＝＝＝　＝．故选A ．b a 13c a a 2－b 2a 1－(b a )21－(13)26313．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆＋＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝x 2a 2y 2b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．b2答案　63解析　由已知条件易得B ，C ，F (c ，0)，∴＝c ＋a ，－(－32a ，b 2)(32a ，b 2)BF →32，＝c －a ，－，由∠BFC ＝90°，可得·＝0，b 2CF → 32b 2BF → CF →所以＋2＝0，(c －32a )(c ＋32a )(－b2)c 2－a 2＋b 2＝0，3414即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以＝，则e ＝＝．c 2a 223ca 63三、模拟小题14．(2018·山东济南一模)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且x 2a 2y 2b 2两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A ．＋＝1B ．＋＝1x 236y 232x 29y 28C ．＋＝1 D ．＋＝1x 29y 25x 216y 212答案　B解析　椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c ＝·2a ＝2，得c ＝1，因此，b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为＋＝13x 29y 281．故选B ．15．(2018·河南六市一模)已知点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A ．B ．C ．D ．551052552105答案　A解析　A (－1，0)关于直线l ：y ＝x ＋3的对称点为A ′(－3，2)，连接A ′B 交直线l 于点P ，则此时椭圆C 的长轴长最短，为|A ′B |＝2，所以椭圆C 的离心5率的最大值为＝．故选A ．155516．(2018·四川德阳模拟)设P 为椭圆C ：＋＝1上一点，F 1，F 2分别是椭x 249y 224圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．6答案　C解析　∵P 为椭圆C ：＋＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2ax 249y 224＝14，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又∵|F 1F 2|＝2c ＝2＝10，∴易知△PF 1F 2是直49－24角三角形，S △PF 1F 2＝|PF 1|·|PF 2|＝24，∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2＝3S12△GPF 1，∴△GPF 1的面积为8，故选C ．17．(2018·安徽宣城二模)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，x 2a 2y 2b 2右焦点为F ，若·＝0，则椭圆的离心率为( )NM → NF →A ．B ．C ．D ．322－123－125－12答案　D解析　由题意知，M (－a ，0)，N (0，b )，F (c ，0)，∴＝(－a ，－b )，＝(c ，－NM → NF → b )．∵·＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac ．又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac ．∴e 2＋e －NM → NF →1＝0，解得e ＝或e ＝(舍去)．∴椭圆的离心率为，故选D ．5－12－5－125－1218．(2018·湖南湘东五校联考)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为x 2a 2y 2b 2F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．，1B ．，3－123－1212C ．，1 D ．0，1212答案　B解析　由题意可得，|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2|·|PF 1|cos ∠PF 1F 2＝4c 2＋4c 2－2·2c ·2c ·cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|＝2c ·，所以a ＝＝c ＋21－cos ∠PF 1F 2|PF1|＋|PF 2|22c ·，又60°<∠PF 1F 2<120°，∴－<cos ∠PF 1F 2<，所以2c <a <(＋1－cos ∠PF 1F 2121231)c ，则<<，即<e <．故选B ．13＋1c a 123－1212一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：＋＝1交于A ，B 两x 24y 23点．线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－；12(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且F ＋F ＋F ＝0．证明：||，|P → A → B → FA →|，||成等差数列，并求该数列的公差．FP → FB →解　(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＋＝1，＋＝1．x 214y 213x 24y 23两式相减，并由＝k 得＋·k ＝0．y 1－y 2x 1－x 2x 1＋x 24y 1＋y 23由题设知＝1，＝m ，于是k ＝－．①x 1＋x 22y 1＋y 2234m由题设得m < ＝，且m >0，即0<m <，故k <－．1－14×3323212(2)由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则由(1)及题设得(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)，x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0．又点P 在C 上，所以m ＝，34从而P 1，－，|F |＝．32P → 32于是|F |＝＝＝2－．同理|F |＝2－．A → (x 1－1)2＋y 21(x 1－1)2＋31－x 214x 12B → x 22所以|F |＋|F |＝4－(x 1＋x 2)＝3．A →B →12故2|F |＝|F |＋|F |，即||，||，||成等差数列．P → A → B → FA → FP → FB →设该数列的公差为d ，则2|d |＝|||－|||＝|x 1－x 2|FB → FA →12＝．　②12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2将m ＝代入①得k ＝－1．34所以l 的方程为y ＝－x ＋，74代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋＝0．14故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝，代入②解得|d |＝．12832128所以该数列的公差为或－．32128321282．(2018·天津高考)设椭圆＋＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ．已知x 2a 2y 2b 2椭圆的离心率为，|AB |＝．5313(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．解　(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知得＝，c 2a 259又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b ．由|AB |＝＝，从而a ＝3，b ＝2．a 2＋b 213所以，椭圆的方程为＋＝1．x 29y 24(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1．易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组Error!消去y ，可得x 2＝．63k ＋2由方程组Error!消去y ，可得x 1＝．69k 2＋4由x 2＝5x 1，可得＝5(3k ＋2)，9k 2＋4两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－，或k ＝－．8912当k ＝－时，x 2＝－9<0，不符合题意，舍去；89当k ＝－时，x 2＝12，x 1＝，符合题意．12125所以，k 的值为－．123．(2017·北京高考)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为．32(1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ．求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5．解　(1)设椭圆C 的方程为＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2由题意得Error!解得c ＝，所以b 2＝a 2－c 2＝1，3所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1．x 24(2)证明：设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n )，由题设知m ≠±2，且n ≠0．直线AM 的斜率k AM ＝，n m ＋2故直线DE 的斜率k DE ＝－，m ＋2n 所以直线DE 的方程为y ＝－(x －m )，m ＋2n 直线BN 的方程为y ＝(x －2)．n2－m 联立Error!解得点E 的纵坐标y E ＝－．n (4－m 2)4－m 2＋n 2由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－n ．45又S △BDE ＝|BD |·|y E |＝|BD |·|n |，1225S △BDN ＝|BD |·|n |，12所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5．二、模拟大题4．(2018·湖南衡阳一模)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，x 2a 2y 2b 2F 2，离心率为，直线y ＝1与C 的两个交点间的距离为．12463(1)求椭圆C 的方程；(2)分别过F 1，F 2作l 1，l 2满足l 1∥l 2，设l 1，l 2与C 的上半部分分别交于A ，B 两点，求四边形ABF 2F 1面积的最大值．解　(1)易知椭圆过点，1，263所以＋＝1，①83a 21b 2又＝，②c a 12a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为＋＝1．x 24y 23(2)设直线l 1的方程为x ＝my －1，它与C 的另一个交点为D ．将直线l 1与椭圆C 的方程联立，消去x ，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，Δ＝144(m 2＋1)>0．|AD |＝·，1＋m 2121＋m 23m 2＋4又F 2到l 1的距离d ＝，21＋m 2所以S △ADF 2＝．121＋m 23m 2＋4令t ＝，t ≥1，则S △ADF 2＝，1＋m 2123t ＋1t 当t ＝1时，S △ADF 2取得最大值，为3．又S 四边形ABF 2F 1＝·(|BF 2|＋|AF 1|)·d 12＝(|AF 1|＋|DF 1|)·d ＝|AD |d ＝S △ADF 2，1212所以四边形ABF 2F 1面积的最大值为3．5．(2018·河南六市三模)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率e ＝，原点到过x 2a 2y 2b 263点A (0，－b )和B (a ，0)的直线的距离为．32(1)求椭圆的方程；(2)设F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，过F 2作直线交椭圆于P ，Q 两点，求△PQF 1内切圆半径r 的最大值．解　(1)直线AB 的方程为＋＝1，即bx －ay －ab ＝0．x a y －b原点到直线AB 的距离为＝，|－ab |(－a )2＋b 232即3a 2＋3b 2＝4a 2b 2，①由e ＝＝，得c 2＝a 2，②c a 6323又a 2＝b 2＋c 2，③所以联立①②③可得a 2＝3，b 2＝1，c 2＝2．故椭圆的方程为＋y 2＝1．x 23(2)由(1)得F 1(－，0)，F 2(，0)，22设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．易知直线PQ 的斜率不为0，故设其方程为x ＝ky ＋，2联立直线与椭圆的方程得Error!消去x 得(k 2＋3)y 2＋2ky －1＝0．2故Error!④而S △PQF 1＝S △F 1F 2P ＋S △F 1F 2Q ＝|F 1F 2||y 1－y 2|12＝· ，⑤2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2将④代入⑤，得S △PQF 1＝· ＝．2－22k k 2＋32＋4k 2＋326·k 2＋1k 2＋3又S △PQF 1＝(|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |)·r ＝2a ·r ＝2r ，所以＝2r ，12326· k 2＋1k 2＋33故r ＝＝≤，2· k 2＋1k 2＋32k 2＋1＋2k 2＋112当且仅当＝，即k ＝±1时取等号．k 2＋12k 2＋1故△PQF 1内切圆半径r 的最大值为．126．(2018·山东济宁一模)已知椭圆C ：＋＝1(a >2)，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)x 2a 2y 24与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 为AB 的中点．(1)若直线l 与直线OD (O 为坐标原点)的斜率之积为－，求椭圆C 的方程；12(2)在(1)的条件下，y 轴上是否存在定点M ，使得当k 变化时，总有∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解　(1)由Error!得(4＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx －3a 2＝0，显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，2a 2k 4＋a 2k 2－3a 24＋a 2k2∴x 0＝－，y 0＝－＋1＝，a 2k 4＋a 2k 2a 2k 24＋a 2k 244＋a 2k 2∴k ·＝k ·－＝－，y 0x 04a 2k 12∴a 2＝8．∴椭圆C 的方程为＋＝1．x 28y 24(2)假设存在定点M 符合题意，且设M (0，m )，由∠AMO ＝∠BMO 得k AM ＋k BM ＝0．∴＋＝0．y 1－m x 1y 2－m x 2即y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)＝0，∴2kx 1x 2＋x 1＋x 2－m (x 1＋x 2)＝0．由(1)知x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，4k 1＋2k 2－61＋2k 2∴－－＋＝0，12k 1＋2k 24k 1＋2k 24mk 1＋2k 2∴＝0，即＝0，－16k ＋4mk 1＋2k 24k (－4＋m )1＋2k 2∵k ≠0，∴－4＋m ＝0，∴m ＝4．∴存在定点M (0，4)，使得∠AMO ＝∠BMO ．。

2022版高考数学人教A版：课时作业五十二椭圆

二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6．一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3 ) 是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________．
【解析】因为椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，所以可设椭圆方程为xa22 ＋yb22 ＝1(a＞b＞0)，因为 P(2， 3 )是椭圆上一点，
【解析】选 C.把椭圆方程化成x12 ＋y12 ＝1.若 m＞n＞0，则n1 ＞m1 ＞0.所以椭 mn
圆的焦点在 y 轴上．反之，若椭圆的焦点在 y 轴上，则1n ＞m1 ＞0 即有 m＞n
＞0.故为充要条件．
5．在△ ABC 中，A(－4，0)，B(4，0)，△ ABC 的周长是 18，则顶点 C 的轨
3．椭圆 ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线 y＝1－x 交于 A，B 两点，过原点与
线段
AB
中点的直线的斜率为
3 2
，则ba
的值为(
)
A．
3 3
B．2
3 3
C．9 2 3
D．2273
【解析】选 B.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知：yax＝2＋1－byx2＝1， ⇒ (a＋b)x2－2bx＋b－1＝0， x1＋x2＝a＋2bb .
设线段 AB 中点为 C，则 xC＝a＋b b .
将 xC＝a＋b b 代入 y＝1－x 得到 yC＝a＋a b .
a
因为 kOC＝a＋b b
＝ba
＝
3 2
，故ba
＝23
3.
a＋b
【秒杀绝招】
1
因为(－1)· 2 3
＝－b1

2020年高中数学课时作业本椭圆的几何性质(含答案)

2020年高中数学课时作业本椭圆的几何性质1.若直线y=kx ＋2与椭圆＋=1相切，则斜率k 的值是( )x23y22A. B.－ C.± D.±636363332.直线y=kx ＋1与椭圆＋=1总有公共点，则m 的取值范围是( )x25y2mA.(1，＋∞)B.(0，＋∞)C.(0,1)∪(1,5)D.[1,5)∪(5，＋∞)3.经过椭圆＋y 2=1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，x22则·=( )OA ―→ OB ―→ A.－3 B.－ C.－或－3 D.±1313134.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C 的方程为2263( )A.＋y 2=1B.x 2＋=1C.＋=1D.＋=1x23y23x23y22x22y235.设椭圆C ：＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠x2a2y2b2PF 1F 2=30°，则C 的离心率为________.6.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C 的方程是____________.127.椭圆x 2＋4y 2=16被直线y=x ＋1截得的弦长为________.128.已知椭圆＋=1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，x2a2y2b263B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________.9.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2=m(m>0)的离心率e=，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐32标、顶点坐标.10.如图，以P(0，-1)为直角顶点的等腰直角△PMN 内接于椭圆＋y 2=1(a>1)，设直线PM 的斜x2a2率为k.(1)试用a ，k 表示弦长|MN|；(2)若这样的△PMN 存在3个，求实数a 的取值范围．答案解析1.答案为：C ；解析：把y=kx ＋2代入＋=1得，(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6=0，x23y22因为直线与椭圆相切，∴Δ=(12k)2－4(3k 2＋2)×6=0，解得k=±.632.答案为：D ；解析：∵直线y=kx ＋1恒过(0,1)点，若5＞m ，则≥1，m 若5＜m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.3.答案为：B ；解析：椭圆右焦点为(1,0)，设l ：y=x －1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∴·=x 1x 2＋y 1y 2.OA ―→ OB ―→ 把y=x －1代入＋y 2=1得，3x 2－4x=0.∴A(0，－1)，B .∴·=－.x22(43，13)OA ―→ OB ―→ 134.答案为：A ；解析：∵=，且c=，∴a=，b==1.∴椭圆方程为＋y 2=1.c a 6323a2－c2x235.答案为：33解析：法一：由题意可设|PF 2|=m ，结合条件可知|PF 1|=2m ，|F 1F 2|=m ，故离心率e==3c a 2c 2a===.|F1F2||PF1|＋|PF2|3m 2m ＋m 33法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x=c 代入椭圆方程可解得y=±，所以b2a|PF 2|=.b2a又由∠PF 1F 2=30°可得|F 1F 2|=|PF 2|，故2c=·，变形可得(a 2－c 2)=2ac ，33b2a 3等式两边同除以a 2，得(1－e 2)=2e ，解得e=或e=－(舍去).33336.答案为：＋=1x24y23解析：依题意，设椭圆方程为＋=1(a ＞b ＞0)，所以Error!解得a 2=4，b 2=3.x2a2y2b27.答案为：；35解析：由Error!消去y 并化简得x 2＋2x －6=0.设直线与椭圆的交点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2=－2，x 1x 2=－6.∴弦长|MN|=|x 1－x 2|= = =.1＋k254[ x1＋x2 2－4x1x2]544＋24 358.答案为：－13解析：设点M(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(－x 1，－y 1)，则y 2=b 2－，y =b 2－.b2x2a221b2x 21a2所以k 1·k 2=·==－=－1=e 2－1=－，即k 1·k 2的值为－.y －y1x －x1y ＋y1x ＋x1y2－y 21x2－x 21b2a2c2a213139.解：椭圆方程可化为＋=1，x2m y2mm ＋3由m>0，易知m>，∴a 2=m ，b 2=.m m ＋3m m ＋3∴c==.由e=，得 =，解得m=1，a2－b2m m ＋2 m ＋332m ＋2m ＋332∴椭圆的标准方程为x 2＋=1.∴a=1，b=，c=.y2141232∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1，F 2，(－32，0)(32，0)顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1，B 2.(0，－12)(0，12)10.解：(1)不妨设直线PM 所在的直线方程为y=kx-1(k<0)，代入椭圆方程＋y 2=1，x2a2整理得(1＋a 2k 2)x 2-2ka 2x=0，解得x 1=0，x 2=，2ka21＋a2k2则|PM|=|x 1-x 2|=-，所以|MN|=|PM|=-.1＋k22ka21＋k21＋a2k2222ka21＋k21＋a2k2(2)因为△PMN 是等腰直角三角形，所以直线PN 所在的直线方程为y=-x-1(k<0)，1k同理可得|PN|=-=.21k a21＋1k21＋a21k22a21＋k2k2＋a2令|PM|=|PN|，整理得k 3＋a 2k 2＋a 2k ＋1=0，k 3＋1＋a 2k(k ＋1)=0，(k ＋1)(k 2-k ＋1)＋a 2k(k ＋1)=0，即(k ＋1)[k 2＋(a 2-1)k ＋1]=0.若这样的等腰直角三角形PMN 存在3个，则方程k 2＋(a 2-1)k ＋1=0有两个不等于-1的负根k 1，k 2，则Error!因为a>1，所以a>.3。

2020高考数学 8.5 椭圆课后限时作业理(通用版).doc

高考立体设计理数通用版 8.5 椭圆课后限时作业一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.若椭圆222x ym+=1的离心率为12，则实数m等于 ( )答案：A2.（2011届·沈阳质检）若方程x2a－y2b＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系式成立的是( ) A.－b＞a B.－b＜aC.b＞－aD.b＜－a解析：所给方程为椭圆，且焦点在y轴上，所以－b＞a＞0，即－b＞a.选A.答案：A3.如果椭圆E:4x2+y2=k上两点间的距离最大是8，则k的值为 ( )A.32B.16C.8D.4解析：方程变为,1422=+kykx所以a2=k.根据椭圆的对称性，椭圆上距离最大的两点即长轴两端点，所以2a=8,a=4,k=16.答案：B4.（2011届·合肥质检）已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 ( )A．2 3 B．6 C．4 3 D．12解析：由x23＋y2＝1，可知b＝1，a＝ 3.由椭圆的定义|AB |＋|BF 1|＝|AC |＋|CF 1|＝2a ，|BC |＝|BF 1|＋|CF 1|. 所以△ABC 的周长为|AB |＋|AC |＋|BC |＝4a ＝4 3.选C. 答案：C5.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 ( ) A.12B. 32C.33D.不能确定解析：依题意：c=3b,所以a=2b,e=c a =32. 答案：B6.（2011届·日照调研）已知椭圆方程x 225＋y 29＝1，椭圆上点M 到该椭圆的一个焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长度为 ( )A ．2B ．4C ．8 D.32解析：如图所示，设椭圆的左、右焦点为F 1、F 2.因为N 为F 1M 的中点，O 为F 1F 2的中点，所以在△F 1MF 2中，ON 为其中位线，则ON ＝12MF 2.又因为|F 1M |＋|MF 2|＝10，所以|MF 2|＝10－|F 1M |＝10－2＝8，所以ON ＝12×8＝4.答案：B二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7.（2011届·枣庄质检）椭圆3x 2＋ky 2＝3的一个焦点是(0，2)，那么k ＝__ .解析：由题意得3k－1＝(2)2，所以k ＝1.答案：18.椭圆22123x y =1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 .答案：±349.在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于 .解析：因为以椭圆焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，所以椭圆满足b=c,所以.22222==+==c c cb c a c e .答案：2 10.设椭圆2222x y m n +=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，离心率为12,则此椭圆的标准方程为 .答案：221612x y +=1 三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11.求以坐标轴为对称轴，一焦点为（0，2），且截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为12的椭圆方程.解：根据题意设所求椭圆的方程为2222x y b a+=1(a>b>0).因为2,所以a 2=b 2+50.得消去由y b y bx x y ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=150,23222210（b 2+5）x 2-12b 2x-b 2(b 2+46)=0. 设直线与椭圆相交于M(x 1，y 1),N(x 2,y 2)两点，则x 1,x 2是上述方程的根，且有Δ>0.即Δ=40b 6+2 184b 4+9 200b 2>0恒成立.12. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°. 因为m ＋n ＝2a ，所以m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4a 2－2mn ，所以4c 2＝4a 2－3mn .即3mn ＝4a 2－4c 2.又mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．所以4a 2－4c 2≤3a 2，所以c 2a 2≥14，即e ≥12.所以e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明：由(1)知mn ＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．B 组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.（2011届·宁波质检）椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形．若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 ( ) A.12 B.32 C ．4－2 3 D.3－1解析：由题意可知另外两边中点⎝ ⎛⎭⎪⎫±c 2，3c 2在椭圆上，所以c 24a 2＋3c 24b2＝1.将b 2＝a 2－c 2代入得c 24a 2＋3c24a 2－c2＝1，整理得c 2a 2＝4－23＝(3－1)2，所以c a＝3－1.选D.答案：D2.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为 ( )A.1B. 2C.2D.22解析：设椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)，则使三角形面积最大的三角形的椭圆上的顶点为椭圆短轴端点.所以S=12×2c ×b=bc=1≤22222b c a +=,所以a 2≥2,所以a ≥2. 所以长轴长2a ≥22,故选D.答案：D二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3. 长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹是 (写出形状即可)．解析：设点C 的坐标为(x ，y )．依题意：A (3x,0)，B (0，32y )．|AB |2＝(3x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32y 2＝32.所以x 2＋y 24＝1，轨迹为椭圆．答案：椭圆答案：53三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5.（2011届·温州质检）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内，求m 的取值范围．解：(1)因为c a ＝22，所以b 2a 2＝a 2－c 2a 2＝1－12＝12，所以a 2＝2b 2. ①曲线过⎝⎛⎭⎪⎫1，22，则1a 2＋12b 2＝1. ②由①②解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.则椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 整理得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0. 则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＝8(－m 2＋3)>0.解得－3<m < 3. ③由x 1＋x 2＝－43m ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－43m ＋2m ＝23m 知AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23m ，m 3. 又因为AB 的中点不在x 2＋y 2＝59内，所以49m 2＋m 29＝5m 29≥59，解得m ≤－1或m ≥1. ④由③④得－3<m ≤－1或1≤m < 3.6. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的两点，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，若m·n ＝0且椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点． (1)求椭圆的方程；(2)若直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线AB 的斜率k 的值；(3)试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解：(1)2b ＝2，b ＝1，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32⇒a ＝2，c ＝3，椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)由题意，设AB 的方程为y ＝kx ＋3，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，y 24＋x 2＝1⇒(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0.x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4. 由已知m ·n ＝0得： x 1x 2b 2＋y 1y 2a 2＝x 1x 2＋14(kx 1＋3)(kx 2＋3) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 24x 1x 2＋3k 4(x 1＋x 2)＋34＝k 2＋44⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＋3k 4·－23k k 2＋4＋34＝0，解得k ＝± 2.(3)当直线AB 斜率不存在时，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2，由m ·n ＝0，x 21－y 214＝0⇒y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 21＋4x 214＝1⇒|x 1|＝22，|y 1|＝ 2.S ＝12|x 1||y 1－y 2|＝12|x 1|·2|y 1|＝1. 当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋b .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 24＋x 2＝1⇒(k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0得到x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4，x 1x 2＋y 1y 24＝0⇒x 1x 2＋kx 1＋b kx 2＋b 4＝0，代入整理得2b 2－k 2＝4. S ＝12|b |1＋k 2|AB |＝12|b |x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4＝4b 22|b |＝1，所以三角形的面积为定值．。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何课时作业52 椭圆(含解析)文

课时作业52 椭圆一、选择题1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F 是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a ＝4 3.答案：C2．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D .1925或21解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，解得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，若c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 答案：C3．(2017·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A .514B .513C .49D .59解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM∥PF 2，∵OM⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B . 答案：B4．(2016·新课标全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A .13B .12C .23D .34解析：解法1：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋c 2＝14×2b，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12(e ＝－12舍去)，故选B .解法2：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋c 2＝14×2b，所以bc a ＝14×2b，所以e ＝c a ＝12，故选B .答案：B5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线，与椭圆的一个交点为P ，则使得PF 1→·PF 2→<0的点M 的概率为( )A .22B .223 C .63D .12解析：设P(x ，y)，PF 1→＝(－c －x ，－y)，PF 2→＝(c －x ，－y)，∵PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y)·(c－x ，－y)＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24－3＝3x 24－2<0，∴－263<x<263.∴使得PF 1→·PF 2→<0的点M 的概率为2×2632×2＝63.答案：C6．(2017·湖北武昌调研)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点F(－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离心率是( )A .24B .34C .33D .22解析：设左焦点F(－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点为P(m ，n)，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，b·m －c 2＋c·n 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ＝c b ，bm －bc ＋nc ＝0，所以m ＝b 2c －c3b 2＋c2＝2－2c 2a 2＝(1－2e 2)c ，n ＝c 2b ＋bc 2b 2＋c 2＝2bc2a2＝2be 2.因为点P(m ，n)在椭圆上，所以－2e 22c2a2＋4b 2e 4b2＝1，即(1－2e 2)2e 2＋4e 4＝1，即4e 6＋e 2－1＝0，将各选项代入知e ＝22符合，故选D . 答案：D 二、填空题7．直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的左焦点F 1和一个顶点B ，则椭圆的方程为________．解析：直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c ＝2. 直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b ＝1.故a 2＝b 2＋c 2＝5，椭圆方程为x 25＋y 2＝1.答案：x 25＋y 2＝18．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为________．解析：如图，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为C(－1,1)．又∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.答案：4639．(2017·安徽江南十校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若|PQ|＝a ，AP⊥PQ，则椭圆C 的离心率为________．解析：不妨设点P 在第一象限，由对称性可得|OP|＝|PQ|2＝a2，在Rt △POA 中，cos ∠POA＝|OP||OA|＝12，故∠POA＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，34a ，代入椭圆方程得：116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，则c 2a 2＝45，所以离心率e ＝255.答案：255三、解答题10．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F 2(1,0)，点H ⎝⎛⎭⎪⎫2，2103在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)点M 在圆x 2＋y 2＝b 2上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：△PF 2Q 的周长是定值．解：(1)设椭圆的左焦点为F 1，根据已知，椭圆的左右焦点分别是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，c ＝1，∵H ⎝⎛⎭⎪⎫2，2103在椭圆上，∴2a ＝|HF 1|＋|HF 2|＝＋2＋⎝⎛⎭⎪⎫21032＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21032＝6，∴a＝3，b ＝22，故椭圆的方程是x 29＋y 28＝1. (2)证明：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 219＋y 218＝1，|PF 2|＝1－2＋y 21＝1－2＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13－32， ∵0<x 1<3，∴|PF 2|＝3－13x 1，在圆中，M 是切点， ∴|PM|＝|OP|2－|OM|2＝x 21＋y 21－8＝x 21＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219－8＝13x 1， ∴|PF 2|＋|PM|＝3－13x 1＋13x 1＝3，同理：|QF 2|＋|QM|＝3，∴|F 2P|＋|F 2Q|＋|PQ|＝3＋3＝6，因此△PF 2Q 的周长是定值6.11．(2016·浙江卷)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a>1)．(Ⅰ)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(Ⅱ)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．解：(Ⅰ)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k2.因此|AP|＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝2a 2|k|1＋a 2k2·1＋k 2. (Ⅱ)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2.由(Ⅰ)知，|AP|＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21， |AQ|＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0. 由于k 1≠k 2，k 1，k 2>0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此 (1k 21＋1)(1k 22＋1)＝1＋a 2(a 2－2)，① 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)>1，所以a> 2.因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a 得，所求离心率的取值范围为0<e≤22.1．(2017·福建厦门一模)已知椭圆x 29＋y25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A(0,23)，当△APF 的周长最大时，△APF 的面积等于( )A .1134 B .2134 C .114D .214解析：由椭圆x 29＋y 25＝1知a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，在Rt △AOF 中，|OF|＝2，|OA|＝23，则|AF|＝4.设椭圆的左焦点为F 1，则△APF 的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a －|PF 1|＝4＋6＋|PA|－|PF 1|≤10＋|AF 1|(当且仅当A ，P ，F 1三点共线，P 在线段AF 1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF 1的方程为x －2＋y 23＝1，与椭圆的方程5x 2＋9y 2－45＝0联立并整理得32y 2－203y －75＝0，解得y P ＝－538(正值舍去)，则△APF 的周长最大时，S △APF ＝12|F 1F|·|y A －y P |＝12×4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪23＋538＝2134.故选B .答案：B2．(2016·浙江卷)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m>1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n>0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m>n 且e 1e 2>1B ．m>n 且e 1e 2<1C ．m<n 且e 1e 2>1D ．m<n 且e 1e 2<1解析：由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m>n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n2 >1，所以e 1e 2>1.故选A . 答案：A3．(2017·石家庄质检)已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x ，y)在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．解析：设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A 1B|＝26，因此椭圆C 的离心率e ＝|AB||PA|＋|PB|＝4|PA|＋|PB|的最大值为426＝22613.答案：226134．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)·(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0，所以k 1>－12.又x 1＋x 2＝8k 11－3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21，因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝PM →2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以[16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4]·(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1>－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x.。

高考数学总复习课时作业52椭圆理北师大版

A 级1．已知椭圆的一个焦点为(1,0) ，离心率e ＝ 1，则椭圆的标准方程为 ()F2x 2 22y 2A. 2 ＋ y ＝ 1 B ． x ＋2＝1x 2y 2 D. y 2 x 2C. ＋＝ 14 ＋＝1 4 332．设直线 l ：x － 2y ＋ 2＝0 过椭圆的左焦点 F 和一个极点 B ( 如图 ) ，则这个椭圆的离心率＝ ()e2 55 A. 5B. 5 3D.1C.223．(2012 ·海淀模拟 ) 2＜m ＜ 6 是方程x 2y 2＝ 1 表示椭圆的 ()＋m － 2 6－ mA ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件x 224．已知△ ABC 的极点 B 、C 在椭圆 3 ＋ y ＝1上，极点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 ()A ． 2 3B ． 6C ． 43D ． 12x 22→ →5．已知椭圆 4 ＋ y ＝ 1 的左、右焦点分别为F 1、 F 2，点 M 在该椭圆上，且 MF 1· MF 2＝0，则点 M 到 y 轴的距离为 ()2 32 6 A. 3B. 33D. 3C.36．已知椭圆 C 的中心在座标原点，椭圆的两个焦点分别为( － 4,0) 和 (4,0) ，且经过点(5,0) ，则该椭圆的方程为 ________ ．x 2y 267．已知椭圆的方程为a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆的一个极点为A (0,2)，离心率 e ＝ 3 ，则椭圆方程为 ________．1y 28．(2012 ·郑州模拟 ) 设F1、F2分别是椭圆E： x2＋2＝ 1(0 ＜b＜ 1) 的左、右焦点，过bF1的直线 l 与 E 订交于 A，B 两点，且| AF2|，| AB|，|BF2|成等差数列，则| AB|的长为________．9．(2011 ·新课标全国卷 ) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C的中心为原点，焦点 F1，2 在x轴上，离心率为21 的直线l交C于，B两点，且△2 的周长为16，那么C . 过F2F A ABF 的方程为 ________．10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为3，直线l：，且经过点 (4,1)2My＝ x＋ m交椭圆于不一样的两点A， B.(1)求椭圆的方程；(2)求 m的取值范围．11．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2| F1F2|＝| PF1|＋| PF2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点 P 在第二象限，∠ F2F1P＝120°，求△ PF1F2的面积．B 级1．(2012 ·长春二模 ) 在以O为中心，F1、F2为焦点的椭圆上存在一点→M，知足| MF1|＝→→)2| MO|＝ 2|MF2|，则该椭圆的离心率为(23A. 2B. 362C. 3D. 42．底面直径为 12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为 ________，离心率为 ________．x2y263．(2011 ·北京卷 ) 已知椭圆G：a2＋b2＝1( a＞ b＞0)的离心率为 3 ，右焦点为(2 2，0) ．斜率为 1 的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，极点为P(－3,2) ．(1)求椭圆 G的方程；(2)求△ PAB的面积．详解答案课时作业 ( 五十二 )A级1223，1． C 由题意，c＝ 1，e＝c＝，∴a＝ 2，∴b＝a－c ＝a22x 轴上，∴椭圆的方程为x2y2又椭圆的焦点在4＋3＝1.2． A B(0,1) ，F( － 2,0)，22c25故 c＝2， b＝1， a＝ b ＋ c ＝5， e＝a＝5.x2y2m－2＞06－m＞ 03．B 若－2＋6－＝ 1 表示椭圆，则有，m m－2≠6－mm∴ 2＜m＜ 6 且m≠4，故 2＜m＜ 6 是x2＋y2＝ 1 表示椭圆的必需不充足条件．m－2 6－ m4． C设椭圆的另一焦点为F，则由椭圆的定义知| BA| ＋| BF| ＝ 2 3，且| CF| ＋| AC| ＝2 3，因此△ ABC的周长＝| BA|＋|BF|＋|CF|＋| AC|＝4 3. 5． B 方法一：由题意，得F1(－3， 0) ，F2(3，0)．→→3－x，－y) ·(22＝ 3①设 M( x， y)，则 MF1· MF2＝(－3－x，－y) ＝ 0，整理得x＋ y又因为点在椭圆上，故x2y2y2x2＋＝ 1，即＝1－②M443226将②代入①，得4x＝ 2，解得x＝±3 .26故点 M到 y 轴的距离为 3.2π2θ方法二：由题可知 b ＝1，θ＝2，c＝3，代入焦点三角形的面积公式S＝ b tan 2 ＝126c| y P|可得，| y P|＝3，代入椭圆方程得| x P| ＝3 .6．分析：由题意， c＝4，且椭圆焦点在x 轴上，∵椭圆过点 (5,0) ．∴a＝5，∴b＝a2－ c2＝3.x2y2∴椭圆方程为25＋9＝ 1.x2y2答案：25＋9＝1b＝2，7．分析：依题意得c a2－ b26e＝＝＝ .a a33x 2 y 2∴ a ＝2 3，故椭圆方程为 12＋ 4 ＝1.x 2y 2答案：＋＝112 48．分析：由题意 |2|＋|2|＝2| | ①，AF BF AB由椭圆的定义， | AF 1| ＋ | AF 2| ＝ 2， | BF 1| ＋ | BF 2| ＝2，∴ | AF 1| ＋ | AF 2| ＋ | BF 1| ＋ | BF 2| ＝4＝ | AF 2| ＋| BF 2| ＋ | AB |＝3| AB |，∴ | AB | ＝ 43.4答案：3x 2 y 29．分析：设椭圆的方程为 a 2＋ b 2＝ 1， 2 c 2 b 2 1 由 e ＝ 2 知a ＝ 2 ，故 a 2＝ 2.因为△ ABF 2的周长为 | AB | ＋ | B F 2| ＋ | AF 2| ＝ | AF 1| ＋ | AF 2| ＋| BF 1| ＋ | BF 2| ＝ 4a ＝ 16. 故 a ＝4.22∴ b 2 ＝ 8. ∴椭圆 C 的方程为 x＋ y＝ 1. 168x 2 y 2答案：16＋ 8＝110．分析： (1) 设椭圆的方程为x 2 y 2＝ 1( ＞＞ 0) ，因为＝3222＋ 2e ，因此a ＝ 4b ，又aba b216 122x 2 y 2因为椭圆过点 M (4,1) ，因此 a 2 ＋ b 2＝ 1，解得 b ＝ 5， a ＝ 20，故椭圆方程为20＋ 5 ＝1.x 2 y 222(2) 将 y ＝ x ＋ m 代入 20＋ 5 ＝ 1 并整理得5x ＋ 8mx ＋ 4m － 20＝ 0，22＝ (8 m ) － 20(4 m － 20) ＞0，解得－ 5＜ m ＜ 5.11．分析：(1) 依题意得， | F 1F 2| ＝2，又 2| F 1F 2| ＝ | PF 1| ＋ | PF 2| ，∴ | PF 1| ＋ | PF 2| ＝ 4＝ 2a ，∴ a ＝ 2， c ＝ 1， b 2＝ 3.x 2 y 2∴焦点在 x 轴上，∴所求椭圆的方程为4 ＋ 3 ＝ 1.(2) 设 P 点坐标为 ( x ， y ) ，∵∠ F 2F 1 P ＝120°，∴ PF 1 所在直线的方程为 y ＝ ( x ＋1) ·tan 120 °，y ＝－ 3 x ＋ 1 ，即 y ＝－3( x ＋ 1) ．解方程组x 2y 24＋3＝1.48x ＝－ 5，并注意到 x ＜ 0， y ＞ 0，可得3 3 y ＝ 5 .13333∴ S △PF 1F 2＝ 2| F 1F 2| · 5 ＝ 5 .B 级1．C 不如设 F 1 为椭圆的左焦点， F 2 为椭圆的右焦点，过点M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于c， 0→1 →→2→ 1 N 点，则 N 点坐标为 2. 设| MF | ＝2| MO | ＝ 2| MF | ＝ 2t ( t ＞ 0) ，依据勾股定理可知，| MF2→2→ 2 → 2 63t c6| －| NF 1| ＝ | MF 2| － | NF 2| ，获得 c ＝ 2 t ，而 a ＝ 2 ，则 e ＝ a ＝ 3 ，应选 C.2．分析：作出经过椭圆长轴的圆柱的轴截面，12易得 2a ＝ cos 30 ° ＝ 8 3 cm ，短轴长即为底面圆直径12 cm ，2 2 ∴ e ＝1∴ c ＝ a － b ＝2 3. c＝ .a 2答案：8 13 cm12 cm2c63．分析：(1) 由已知得， c ＝ 22， a ＝ 3 . 解得 a ＝ 2 3.222x 2 ＋ y 2又 b ＝a － c ＝ 4，因此椭圆G 的方程为＝ 1.124(2) 设直线 l 的方程为 y ＝ x ＋ m ，y ＝x ＋ m ，由 x 2 y 22 2得 4x ＋ 6mx ＋ 3m － 12＝ 0.12＋ 4 ＝1，设 A ，B 的坐标分别为 ( x ， y ) ， ( x ， y )( x <x ) ，AB 中点为 E ( x ， y ) ，则 x ＝ 1 2x ＋x ＝1122120023m＝ x ＋ m ＝ m－ 4， y4.因为 AB 是等腰△ PAB 的底边，因此 PE ⊥ AB .5m2－4因此 PE的斜率 k＝＝－ 1，解得m＝2.－ 3＋3m4此时方程①为4x2＋ 12x＝0. 解得x1＝－ 3，x2＝ 0.因此 y ＝－1， y ＝2.因此 | AB| ＝3 2.12此时，点 P(－3,2)到直线 AB： x－ y＋2＝0的距离d＝| －3－2＋ 2|322＝2，19因此△ PAB的面积 S＝2|AB|· d＝2.6。

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课时作业52 椭圆一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( A )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.2．(2019·开封模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( D )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：因为c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝16，所以c 1＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．3．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( C )A.306B.7C.306或7D.56或7 解析：由题意知m 2＝36，解得m ＝±6.当m ＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a ＝6，b ＝1，c ＝5，则e ＝306；当m ＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝1，b ＝6，c ＝7，则e ＝7.故选C.4．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝4， |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60° ＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A.5．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( C )A.14B.13C.12D.23 解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a ＋2c )·b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.6．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－12解析：设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c .又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝(5－1)24，∴0<e <5－12.故选B. 二、填空题7．(2019·河北保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为x 225＋y216＝1.解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|＝6，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.8．(2019·四川南充模拟)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是 3.解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3，所以b 2＝3，即b ＝ 3.9．(2019·云南昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是(－3,0)或(3,0)．解析：记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．10．(2019·南宁市摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是32.解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2－＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32.三、解答题11．(2019·云南曲靖模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得⎩⎨⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1.由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋32x 2＋m 32x 1＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75.又|AB |＝1＋34(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝72·4－m 2，O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72. 所以S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.12．已知椭圆C ：x 23m ＋y 2m ＝1，直线l ：x ＋y －2＝0与椭圆C 相交于两点P ，Q ，与x 轴交于点B ，点P ，Q 与点B 不重合．(1)求椭圆C 的离心率；(2)当S △OPQ ＝2时，求椭圆C 的方程；(3)过原点O 作直线l 的垂线，垂足为N .若|PN |＝λ|BQ |，求λ的值．解：(1)a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝2m ，e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将x ＋y －2＝0代入椭圆C 的方程并整理得4x 2－12x ＋12－3m ＝0，依题意，由Δ＝(－12)2－4×4×(12－3m )>0得m >1.且有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝12－3m4，|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·9－(12－3m )＝6m －1，原点到直线l 的距离d ＝2，所以S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12×6·m －1×2＝2，解得m ＝73>1，故椭圆方程为x 27＋3y 27＝1.(3)直线l 的垂线为ON ：y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，解得交点N (1,1)．因为|PN |＝λ|BQ |，又x 1＋x 2＝3，所以λ＝|PN ||BQ |＝|x 1－1||x 2－2|＝|2－x 2||x 2－2|＝1，故λ的值为1.13．(2019·合肥市质量检测)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( D )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5解析：由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎨⎧x ＝c ，x 2a 2＋y 24＝1，得N (c ，4a )，∴H (0，2a )，M (－2c ，－2a )．把点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a 2＋(－2a )24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.14．(2019·南昌摸底调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2， ∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ·(－8km 4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54， ∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2， ∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94(1＋k 2)，又120<k 2≤54，∴0≤d 2<87，∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是[0，2147)．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·郑州市第一次质量预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为( B )A.32B.3－52 C.－1＋52D.3－12解析：如图，由题意得，A (－a,0)，B (0，b )，由在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，得点P 是以点O 为圆心，线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2与线段AB 的切点，连接OP ，则OP ⊥AB ，且OP ＝c ，即点O 到直线AB 的距离为c .又直线AB 的方程为y ＝ba x ＋b ，整理得bx －ay ＋ab ＝0，点O 到直线AB 的距离d ＝abb 2＋a 2＝c ，两边同时平方整理得，a 2b 2＝c 2(a 2＋b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)＝a 4－b 4，可得b 4＋a 2b 2－a 4＝0，两边同时除以a 4，得(b 2a 2)2＋b 2a 2－1＝0，可得b 2a 2＝－1＋52，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－－1＋52＝3－52，故选B. 16．(2019·重庆六校联考)如图，记椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π. 其中正确命题的序号是②③.解析：对于①，若点P 在椭圆x 225＋y 29＝1上，P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1，得y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．故答案为②③.。