九年级数学上册《中位线》教案1 华东师大版
华师大版-数学-九上-23.4 中位线 教案
23.4中位线教学目标:经历三角形中位线的性质定理形成过程,掌握两个定理,并能利用它们解决简单的问题 教学重点:经历三角形中位线的性质定理形成过程,掌握定理,并能利用它解决简单的问题.教学难点:经历三角形中位线的性质定理形成过程,掌握定理,并能利用它解决简单的问题.教学过程:新课引入:1.回顾相似三角形的概念及判定方法.2.如图,△ABC 中,DE ∥BC ,则△ADE ∽△ABC .由此可以进一步推知,当点D 是AB 的中点时,点E 也是AC 的中点.现在换一个角度考虑,探究:如果点D.E 原来就是AB 与AC 的中点,那么是否可以推出DE ∥BC 呢?DE 与BC 之间存在什么样的数量关系呢?从画出的图形看,可以猜想: DE ∥BC ,且DE =21BC .证明:如图,△ABC 中,点D.E 分别是AB 与AC 的中点,∴ 21==AC AE AB AD . ∵ ∠A =∠A ,∴ △ADE ∽△ABC (如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似),∴ ∠ADE =∠ABC ,21=BC DE (相似三角形的对应角相等,对应边成比例), ∴ DE ∥BC 且BC DE 21= 概括:我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.应用新知:例1. 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.已知:如图所示,在△ABC 中,AD =DB ,BE =EC ,AF =FC . 求证:AE.DF 互相平分.【答案】连结DE.EF .因为AD =DB ,BE =EC所以DE ∥AC (三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)同理EF ∥AB所以四边形ADEF 是平行四边形因此AE.DF 互相平分(平行四边形的对角线互相平分)例2.如图,△ABC 中,D.E 分别是边BC.AB 的中点,AD.CE 相交于G . 求证: 31==AD GD CE GE【答案】连结ED∵ D.E 分别是边BC.AB 的中点∴ DE ∥AC ,21=AC DE (三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半) ∴ △ACG ∽△DEG∴21===AC DE AG GD GC GE ∴ 31==AD GD CE GE 三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31.课堂小结:说说你在本节课的收获.。
华师大版九年级数学三角形的中位线教案精选全文
可编辑修改精选全文完整版三角形的中位线教学目的:1. 使学生掌握三角形中位线概念与三角形中位线定理.2.使学生能熟练应用定理进行有关证明和计算,提高学生分析问题和解决问题的能力.重点难点:三角形中位线的概念和三角形中位线定理是本课的重点;三角形中位线定理的证明是本课的难点.教学过程:一、复习引入1. 复习平行线等分线段定理推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边.2. 如图:B、C两点被池塘隔开,在BC外选一点A,连结AB和AC,并分别找出AB和AC的中点D、E.如果测得DE =20m,那么B、C两点的距离是多少?二、新授1.三角形的中位线的概念:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.三角形中位线定理如图,DE是ΔABC的一条中位线,如果过D作DE∥BC,交AC于E’,那么根据平行线等分线段定理推论2,得E’是AC的中点,可见DE’与DE重合,所以DE∥BC.由此得到:三角形中位线平行于第三边.同样,过D作DF∥BC,且DE∥FC,DE=1/2BC.因此,又得出:三角形中位线等于第三边的一半.以上两点就是三角形中位线定理.例1:已知:如图ΔABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点(1)指出图中有几个平行四边形(2)图中与ΔDEF全等的三角形有哪几个(3)若AB=10cm,AC=6cm,则四边形ADFE的周长为______cm(4)若ΔABC周长为6cm,面积为12cm2,则ΔDEF的周长是 _____cm,面积是_____cm例2:顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形师生共同写出已知求证,在分析的基础上写出证明过程.然后作适当的变式:(1)(1)若AC=BD,则四边形EFGH是什么图形?(2)(2)若AC⊥BD,则四边形EFGH是什么图形?(3)(3)若AC=BD,且AC⊥BD,则四边形EFGH是什么图形?例3:如图ΔABC的中线BE、CD相交于点O,F、G分别是BO、CO的中点,试猜想DF与GE有怎么的关系?并证明你的猜想.小结:(1)本课所授内容.(2)定理的特征与应用.。
华东师大版九年级数学上册《中位线》教案及教学反思
华东师大版九年级数学上册《中位线》教案及教学反思一、教学背景本节课是九年级数学上册的第六章《统计与概率》中的第二节《中位线》。
该课时的主要内容为中位线的概念、求法及其作用。
本节课所涉及的主要知识点包括数列、中位数和中位线等。
二、教学目标1.了解中位线的定义并掌握相关计算方法。
2.能够熟练应用中位线解决实际问题。
3.培养学生观察、总结、归纳、推理和解决问题的能力。
三、教学流程1. 导入课题(5分钟)教师可以通过讲解概率论中的介绍,引出中位线的概念。
随后,教师可用图片、数据等形式展示实际问题,引起学生的兴趣和好奇心,提高学生学习中位线的积极性。
2. 课堂讲解(20分钟)(1)中位线的定义:中位线是一条把一个数据分布分成两部分的线。
它是按照一定的顺序排列的所有数据中位数所在的位置划出来的。
中位线一般用一条竖线来表示。
(2)如何求中位线:以有序数列的中间数为分隔符。
对于“奇数个数”序列来说,中位线就是序列的中间数。
对于“偶数个数”序列,中位线就是中间两个数的平均数。
(3)中位线的作用:中位线用来表示数据分布的集中趋势。
当数据分布集中时,中位线和平均数会接近;当出现异常值的时候,中位线比平均数更能体现数据分布的趋势。
3. 课堂练习(25分钟)(1)练习1:把下面的数据排序后求中位线:9,13,7,3,21,8,22,6。
(2)练习2:一个班级有12名女生,身高分别是:155cm, 165cm, 161cm, 153cm, 170cm, 168cm, 164cm, 151cm, 157cm, 172cm, 169cm, 175cm。
请根据这些数据,求出中位线并表示出来。
4. 综合应用(20分钟)(1)案例1:一家用餐的餐馆想了解顾客的消费水平,店主需要用到这些数据:15,25,30,65,85,90,95,100。
请你在这些消费数据间划分中位线。
(2)案例2:小明家有10个木盒,每个盒子中有一些石子。
这些盒子中石子的数目依次为:5,9,11,15,19,23,23,30,31,50。
九年级数学上册 23.4 中位线教案 (新版)华东师大版
23.4中位线教学目标:1、经历三角形中位线的性质定理形成过程,掌握定理,并能利用它解决简单的问题。
2、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它解题。
3、进一步训练说理的能力。
4、通过学习,进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯;进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点;转化的思想。
教学重点:经历三角形中位线的性质定理形成过程,掌握定理,并能利用它解决简单的问题。
教学难点:进一步训练说理的能力。
教学过程:一、三角形的中位线(一)问题导入在23.3中,我们曾解决过如下的问题:如图24.4.1,△ABC 中,DE ∥BC ,则△ADE ∽△ABC 。
由此可以进一步推知,当点D 是AB 的中点时,点E 也是AC 的中点。
现在换一个角度考虑,图24.4.1如果点D 、E 原来就是AB 与AC 的中点,那么是否可以推出DE ∥BC 呢?DE 与BC 之间存在什么样的数量关系呢?(二)探究过程1、猜想从画出的图形看,可以猜想: DE ∥BC ,且DE =21BC .图24.4.22、证明:如图24.4.2,△ABC 中,点D 、E 分别是AB 与AC 的中点,∴ 21==AC AE AB AD . ∵ ∠A =∠A ,∴ △ADE ∽△ABC (如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似),∴ ∠ADE =∠ABC ,21=BC DE (相似三角形的对应角相等,对应边成比例), ∴ DE ∥BC 且BC DE 21=. 思考:本题还有其他的解法吗?已知: 如图所示,在△ABC 中,AD =DB ,AE =EC 。
求证: DE ∥BC ,DE =21BC 。
分析: 要证DE ∥BC ,DE =21BC ,可延长DE 到F ,使EF =DE ,于是本题就转化为证明DF =BC ,DE ∥BC ,故只要证明四边形BCFD 为平行四边形。
还可以作如下的辅助线作法。
九年级数学教案三角形中位线(华师大版)
三角形中位线(华师大版)24.4.1三角形的中位线从化三中初三备课组一、教学目标:1.知识技能目标:(1)探索并掌握三角形的中位线的概念性质;(2)会用三角形中位线的性质解决有关问题;2.过程方法目标:经历探索三角形的中位线性质的过程,体会转化的思想方法;3.情感态度目标:通过变式练习,小组讨论、交流等活动,培养良好的学习态度以及自主意识和合作精神.二、教学过程:(一)问题引入(5分钟)1、如图△abc中,de∥bc,ad:ab=1:3,ae=2则ac=学生活动:根据相似三角形的判定方法判定ade△∽△abc,再由相似三角形的性质对应边成比例求出ac的长。
2、问题延伸△abc中,de∥bc,当点d是ab的中点时, ae:ac=学生活动:ae:ac=1:2,即ae=ac教师活动:当点d是ab的中点时,de∥bc,我们可以得到点e也是ac中点。
通过上面的问题我们可以看到线段de实质上就是三角形两边中点的连线,我们给这样特殊的线段起个名称叫做三角形的中位线这就是我们这节课所要探讨的问题(板书:三角形的中位线)(二)新课探讨1、中位线定义cbaed我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、探索中位线的性质试一试:任意画一个△abc,并画出它的中位线。
你能画几条?学生活动:动手画图,与同伴交流,得出三角形的中位线有三条。
猜一猜:de与bc有怎样的位置关系和数量关系?学生猜想:de∥bc,(学生可借助直尺和量角器通过测量来得到)教师提问:你能证明你所猜想的结论吗?学生活动:动手证明,并与同伴交流。
思路点拨:(1)弄清楚已知条件是什么?结论是什么?(已知条件:在△abc中,点d、e分别是ab与ac的中点。
求证:de∥bc,)(2)引导学生先证ade△∽△abc,得对应角相等和对应边成比例,可得证。
证明:如图,△abc中,点d、e分别是ab与ac的中点,∴.∵∠a=∠a,∴△ade∽△abc(如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似),∴∠ade=∠abc,(相似三角形的对应角相等,对应边成比例),∴de∥bc且3、三角形中位线定理三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.用符号语言表示:∵ de是△abc的中位线∴ de∥bc,(三)灵活运用,巩固新知1、已知:如果,点d、e、f分别是△abc的三边的中点.(1)若ab=8cm,则ef= . ;(2)若de=5cm,则bc= .(3)若增加m、n分别bd、bf的中点,问mn与ac有什么关系?为什么?2、例:已知:如图所示,在△abc中,ad=db,be=ec,af=fc.(1)四边形adef是什么形状的四边形?并加以证明。
华东师大版初中数学九年级上册23.4中位线教案
第23章图形的相似23.4 三角形的中位线教学目标:知识目标1、理解三角形中位线的概念;2、会运用定理进行相关的论证和计算。
能力目标1、经历观察、测量、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理论证能力。
2、通过交流与合作培养学生的探究式学习的方法,学会几何推理。
情感目标1、落实新课程“合作学习,主动探究”思想。
2、培养学生自己探索数学的精神;教学重难点:重点:三角形中位线定理及其应用。
难点:三角形中位线定理的验证及添加辅助线解决实际问题。
教法:五步教学法课前准备:多媒体、课件、教案、三角板。
教学过程:一、根据目标及重、难点自主预习书P77-78二、实验探究,引出概念:活动:动手实践任意一张三角形纸片,能否只剪一刀,使分成的两部分拼成一个平行四边形?结合刚才的学习,回答以下几个问题:1、概念-----连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线2、几何语言:∵点D、E分别是AB和AC的中点∴DE是△ABC的中位线反过来也成立∵DE是△ABC的中位线∴点D、E分别是AB和AC的中点3、提问:三角形有几条中位线?答:有三条中位线。
4、区别中位线与中线概念三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线.【引导启发】启发学生发现剪出的这条线段与第三边之间有怎样的关系?(提示学生回答位置关系和数量关系)二、教师释疑:引导学生从观察、测量、猜测、证明 这四步探索法得出定理。
----形成探索问题的一般方法。
1、观察、测量。
2、猜想:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
3、证明:已知:在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点。
求证:DE ∥BC ,DE=BC 21 方法一:利用三角形相似方法二:构造平行四边形(提示:由剪纸、拼图得到启发,从而构造平行四边形)4、形成定理:C B A ED C B AE D①、三角形中位线的性质定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
九年级数学上册《中位线》教案1 华东师大版【精品教案】
中位线教学目标:1、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程,掌握两个定理,并能利用它们解决简单的问题。
2、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
3、进一步训练说理的能力。
4、通过学习,进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯;进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点;转化的思想。
教学重点:经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程,掌握两个定理,并能利用它们解决简单的问题。
教学难点:进一步训练说理的能力。
教学过程:一、三角形的中位线(一)问题导入在§24.3中,我们曾解决过如下的问题:如图24.4.1,△ABC中,DE∥BC,则△ADE∽△ABC。
由此可以进一步推知,当点D是AB的中点时,点E也是AC的中点。
现在换一个角度考虑,图24.4.1如果点D、E原来就是AB与AC的中点,那么是否可以推出DE∥BC呢?DE与BC之间存在什么样的数量关系呢?(二)探究过程1、猜想从画出的图形看,可以猜想: DE ∥BC ,且DE =21BC .图24.4.22、证明:如图24.4.2,△ABC 中,点D 、E 分别是AB 与AC 的中点,∴ 21==AC AE AB AD . ∵ ∠A =∠A ,∴ △ADE ∽△ABC (如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似),∴ ∠ADE =∠ABC ,21=BC DE (相似三角形的对应角相等,对应边成比例), ∴ DE ∥BC 且BC DE 21= 思考:本题还有其它的解法吗?已知: 如图所示,在△ABC 中,AD =DB ,AE =EC 。
求证: DE ∥BC ,DE =21BC 。
分析: 要证DE ∥BC ,DE =21BC ,可延长DE 到F ,使EF =DE ,于是本题就转化为证明DF =BC ,DE ∥BC ,故只要证明四边形BCFD 为平行四边形。
2022年华师大版《中位线》公开课教案
23.4 中位线1.掌握中位线的定义以及中位线定理;(重点)2.综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题.(难点)一、情境导入如以下图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,点E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=5米,他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,你能求出需要篱笆的长度吗?二、合作探究探究点:三角形的中位线【类型一】利用三角形中位线定理求线段的长如图,在△ABC中,D、E分别为AC、BC的中点,AF平分∠CAB,交DE于点F.假设DF=3,那么AC的长为()A.32B .3C .6D .9 解析:∵D 、E 分别为AC 、BC 的中点,∴DE ∥AB ,∴∠2=∠3,又∵AF 平分∠CAB ,∠1=∠3,∴∠1=∠2,∴AD =DF =3,∴AC =2AD C.方法总结:此题考查了三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质.解题的关键是熟记性质并熟练应用.【类型二】 利用三角形中位线定理求角如图,C 、D 分别为EA 、EB 的中点,∠E =30°,∠1=110°,那么∠2的度数为( )A .80°B .90°C .100°D .110°解析:∵C 、D 分别为EA 、EB 的中点,∴CD 是三角形EAB 的中位线,∴CD ∥AB ,∴∠2=∠ECD .∵∠1=110°,∠E =30°,∴∠ECD =80°,应选A.方法总结:中位线定理牵扯到平行线,所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题.【类型三】 运用三角形的中位线性质进行证明如图,在△ABC 中,AB =5,AC =3,点N 为BC 的中点,AM 平分∠BAC ,CM ⊥AM ,垂足为点M ,延长CM 交AB 于点D ,求MN 的长.解析:为证MN 为△BCD 的中位线,应根据三线合一,得到DM =MC ,即可解决问题. 解:∵AM 平分∠BAC ,CM ⊥AM ,∴AD =AC =3,DM =CM .∵BN =CN ,∴MN 为△BCD的中位线,∴MN =12(5-3)=1. 方法总结:当三角形的一边的中点时,要注意分析问题中是否有隐含的中点.如一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时,根据“三线合一〞可知,这实际上是又告诉了我们一个中点.【类型四】 中位线定理的综合应用如图,E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线上一点,且CE =DC ,连接AE ,分别交BC 、BD 于点F 、G ,连接AC 交BD 于O ,连接OF ,判断AB 与OF 的位置关系和大小关系,并证明你的结论.解析:此题可先证明△ABF ≌△ECF ,从而得出BF =CF ,这样就得出了OF 是△ABC 的中位线,从而利用中位线定理即可得出线段OF 与线段AB 的关系.解:AB =2OF .证明如下:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB =CD ,OA =OC .∴∠BAF =∠CEF ,∠ABF =∠ECF .∵CE =DC ,在平行四边形ABCD 中,CD =AB ,∴AB =CE .∴在△ABF 和△ECF 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF =∠CEF ,AB =CE ,∠ABF =∠BCE ,∴△ABF ≌△ECF (ASA),∴BF =CF .∵OA =OC ,∴OF 是△ABC 的中位线,∴AB =2OF ,AB ∥OF .方法总结:此题综合的知识点比拟多,解答此题的关键是判断出OF 是△ABC 的中位线.三、板书设计1.三角形的中位线连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.本节课,通过实际生活中的例子引出三角形的中位线,又从理论上进行了验证.在学习的过程中,体会到了三角形中位线定理的应用时机.对整个课堂的学习过程进行反思,能够促进理解,提高认识水平,从而促进数学观点的形成和开展,更好地进行知识建构,实现良性循环.第1课时 比赛积分和行程问题【知识与技能】1.了解列二元一次方程组与列一元一次方程组的异同.2.经历和体验方程组解决实际问题的过程,了解应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.【过程与方法】经历二元一次方程组解决实际问题的过程,体会列二元一次方程组与列一元一次方程组的异同,知道列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.【情感态度】针对问题的探究,鼓励学生大胆尝试,通过交流、合作、讨论,享受学习的乐趣和成功感,培养学生大胆发言的习惯,敢于面对挑战.【教学重点】重点是会用列方程组解决比赛积分和行程问题.【教学难点】难点是在实际问题中找等量关系、列方程组.一、情境导入,初步认识【情境】实物投影,并呈现问题:甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步,假设同向跑,那么每隔103分钟相遇一次;假设反向跑,那么每隔40秒相遇一次.又知甲比乙跑得快,求甲、乙两人的速度.你能找出问题中所含的等量关系吗?你能列方程组解决问题吗?总结列方程组解应用题的一般步骤.【教学说明】情境中同向跑是追及问题,追及时甲比乙多跑一周;反向跑是相遇问题,相遇时两人所跑路程之和是环形跑道的长.解:设甲的速度为x米/秒,乙的速度为y米/秒.依题意,得4040400200200400x yx y+=⎧⎨-=⎩,.解得64.xy=⎧⎨=⎩,甲的速度6米/秒,乙的速度4米/秒.【教学说明】通过现实情景再现,让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入,在老师的引导下,通过自己的观察,归纳出结论,进而体验到成功的喜悦,同时,也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究,获取新知列二元一次方程组解应用题的一般步骤问题列二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么?【教学说明】学生通过类比一元一次方程应用的步骤,在经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】列二元一次方程组解应用题的一般步骤:①设出题中的两个未知数;②找出题中的两个等量关系;③根据等量关系列出需要的代数式,进而列出两个方程,并组成方程组;④解这个方程组,求出未知数的值;⑤检验所得结果的正确性及合理性并写出答案.三、运用新知,深化理解1.小明去郊游,早上9时下车,先走平路,然后登山,到山顶后又沿原路返回到下车处,正好是下午2时,假设他走平路每小时走4 km,爬山时每小时走3 km,下山时每小时走6 km,那么小明从上午到下午一共走的路程是〔〕2.某校学生进行军训,以每小时5km的速度去执行任务,出发4小时12分钟后,学校军训指挥部派通讯员骑摩托车追赶学生队伍传达新任务,用了36分钟赶上了队伍,求摩托车的速度.【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习,充分做到讲练结合,让学生更好地稳固新知识.通过本环节的讲解与训练,让学生对列二元一次方程组解应用题有了更加明确的认识,同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的,需要前后联系,才能更好地处理问题.x千米.根据题意,列方程得3660x=5×(41260+3660)解这个方程得x=40答:摩托车的速度为每小时40千米.四、师生互动,课堂小结1.列方程组解比赛积分和行程问题需要注意哪些问题?2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑,大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法,从而将本节知识点进行很好的回忆以加深学生的印象,同时使知识系统化.1.布置作业:从教材第109页“练习〞和教材第112页“〞中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.这节课充分利用学生身边的实际问题,尽可能增加教学过程的趣味性、实践性,强调学生的动脑思考和主动参与,通过集体讨论、小组活动,以合作学习促进学生的自主探究.在列方程组的建模过程中,强化了方程的模型思想,培养了学生列方程组解决实际问题的意识和能力,在实际问题的解决中,进一步提高学生解方程组的能力.同时,利用列表、画线段图等手段能帮助学生提高分析问题和解决问题的能力.。
华东师范大学出版社初中数学九年级上册 中位线-一等奖
《中位线》教案设计教学目标:一、知识与技能1、理解和领会三角形中位线的概念.2、理解并掌握三角形中位线定理及其应用.二、过程与方法新旧知识的结合,通过回忆三角形中线的定义来引出中位线的定义3、激情投入,全力以赴,感受主动学习的收获和快乐。
三、情感态度和价值观培养学生合情推理意识,形成几何思维分析思路,体会几何学在日常生活中的应用价值.教学重点:理解并应用三角形中位线定理.教学难点:三角形中位线定理的探索与推导.教学过程:一、导入新课出示图片提出问题:A、B两点被池塘隔开,如何测量A、B两点距离呢为什么解决这个问题就要用到我们今天要学习的知识:三角形的中位线二、新课学习回忆:三角形中线的定义由中线的定义来引出中位线的概念问题1:你能给“中位线”下个确切的定义吗提问学生,教师总结分析三角形的中位线定义的两层含义:①∵D、E分别为AB、AC的中点,∴DE为△ABC的中位线.②∵ DE为△ABC的中位线,∴ D、E分别为AB、AC的中点.问题2:三角形有几条中位线提问学生问题3:三角形的中线与中位线的区别提问学生问题4:三角形中位线有什么样的特殊性质(本节课的重点难点)老师引导学生提出假设的解决方案:我们曾经学过以下结论:在△ABC 中,DE现在换一个角度考虑,如果点D,E分别是AB与AC的中点,那么是否可以推出DE几何语言:∵DE是△ABC的中位,∴DE∥BC,ED=1/2BC这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.(二)实际运用例1 为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB,AC的中点D、E,若测出DE的长,就能求出池塘BC的长,你知道为什么吗例2. 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.已知: 如图所示,在△ABC 中,AD =DB ,BE =EC ,AF =FC .求证: AE 、DF 互相平分.F E DBA证明 连结DE 、EF .∵ AD =DB ,BE =EC ,∴ DE ∥AC (三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半). C同理EF∥AB.∴四边形ADEF是平行四边形.∴AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分).三:当堂训练1、如图,在△ABC中,DE是中位线。
九年级数学上册《中位线》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中,九年级的学生已经具备了较为扎实的数学基础和逻辑思维能力。《中位线》作为九年级数学上册的教学内容,旨在帮助学生理解几何图形中的特殊线段——中位线,并运用中位线的性质解决实际问题。本案例以九年级数学上册《中位线》为背景,结合学生的实际水平和教学目标,设计了一系列具有实用性和启发性的教学活动。通过引导学生探索中位线的性质,培养他们的空间想象力和几何直观,进一步提高学生的数学素养和解决问题的能力。在教学过程中,教师将采用人性化的语言,激发学生的学习兴趣,营造轻松愉快的教学氛围,让九年级学生在掌握知识的同时,感受到数学学习的乐趣。
四、教学内容与过程
(一)导入新课
在导入新课环节,我将通过一个简单的实际问题和一则相关的数学故事来吸引学生的注意力,为新课的学习做好铺垫。
1.实际问题:向学生展示一个关于土地划分的问题,提出如何公平地划分一块三角形的土地给三个人的问题。这个问题与学生的生活息息相关,可以激发他们的好奇心和探究欲望。
2.数学故事:讲述古希腊数学家欧几里得如何运用中位线原理解决土地划分问题的故事,以此来引出中位线的概念,让学生感受到数学的实用性和历史渊源。
-鼓励学生在学习过程中积极提问、勇于挑战,培养他们面对困难的勇气。
-对学生的每一次进步给予肯定和表扬,增强他们的自信心。
2.引导学生认识到数学学习的价值,激发他们的学习兴趣和动力。
-通过实例讲解,让学生感受到数学在生活中的重要作用。
-举办数学知识竞赛、讲座等活动,拓宽学生的知识视野,提高他们的学习兴趣。
1.创设生活情境:以学生熟悉的生活场景为例,如校园里的操场、家庭房间布局等,引导学生发现中位线在生活中的பைடு நூலகம்用,从而引出中位线的概念。
华师版数学九年级上册教案 中位线
课题 中位线【学习目标】1.理解三角形中位线定义与性质; 2.会应用三角形中位线解决实际问题;3.经历探究三角形中位线定义、性质的过程,感受三角形中位线定理的应用思想; 4.培养良好的探究意识和合作交流的习惯,体会数学推理的应用价值. 【学习重点】 三角形中位线定理. 【学习难点】三角形中位线定理的形成和应用.情景导入 生成问题在书中,我们曾解决过如下的问题:如图,△ABC 中,DE ∥BC ,则△ADE ∽△ABC.由此可以进一步推知,当点D 是AB 的中点时,点E 也是AC 的中点.现在换一个角度考虑,如果点D 、E 原来就是AB 与AC 的中点,那么是否可以推出DE ∥BC 呢?DE 与BC 之间存在什么样的数量关系呢?自学互研 生成能力知识模块一 三角形的中位线的探究 阅读教材P 61~P 63的内容.猜想:从画出的图形看,可以猜想:DE ∥BC ,且DE =12BC.问题:用演绎推理怎么做呢?证明:△ABC 中,点D 、E 分别是AB 与AC 的中点,∴AD AB =AE AC =12.∵∠A =∠A ,∴△ADE ∽△ABC(如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似).∴∠ADE =∠ABC ,DE BC =12(相似三角形的对应角相等,对应边成比例),∴DE ∥BC 且DE =12BC.结论:我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.知识模块二 三角形中位线的简单应用范例:求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.已知:如图所示,在△ABC 中,AD =DB ,BE =EC ,AF =FC.求证:AE 、DF 互相平分.证明:连结DE 、EF.因为AD =DB ,BE =EC ,所以DE ∥AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半),同理EF ∥AB ,所以四边形ADEF 是平行四边形,因此AE 、DF 互相平分(平行四边形的对角线互相平分).仿例:如图,△ABC 中,D 、E 分别是边BC 、AB 的中点,AD 、CE 相交于G.求证:GE CE =GD AD =13.证明:连结ED ,∵D 、E 分别是边BC 、AB 的中点,∴DE ∥AC ,DE AC =12(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半),∴△ACG ∽△DEG ,∴DG AG =EG CG =12,∴DG AD =GE CE =13.拓展:如果在如图中,取AC 的中点F ,假设BF 与AD 交于G′,如图,那么我们同理有G ′D AD =G ′F BF =13,所以有GD AD =G ′D AD =13,即两图中的点G 与G′是重合的.结论:三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的连线的长是对应中线长的三分之一.交流展示 生成新知1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.知识模块一 三角形中位线的探究 知识模块二 三角形中位线的简单应用检测反馈 达成目标1.如图,D 、E 、F 三点分别为△ABC 三边的中点,则下列说法中不正确的是( D ) A .△ADE ∽△ABC B .S △ABF =S △AFC C .S △ADE =14S △ABC D .DF =EF(第1题图)(第2题图)2.如图,在△ABC 中 ,AB =4,AC =6,AD 平分∠BAC ,BD ⊥AD 于D ,E 是BC 的中点,则DE =__1__.3.在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AC =6,点P 、Q 分别为AC 、BC 的中点,AQ 、BP 相交于点O ,则OP =__1__.4.D 、E 分别是不等边三角形ABC(即AB ≠BC ≠AC)的边AB 、AC 的中点.O 是△ABC 所在平面上的动点,连结OB 、OC ,点G 、F 分别是OB 、OC 的中点,顺次连结点D 、G 、F 、E.(1)如图,当点O 在△ABC 的内部时,求证:四边形DGFE 是平行四边形;(2)若四边形DGFE 是菱形,则OA 与BC 应满足怎样的数量关系?(直接写出答案,不需要说明理由).解:(1)∵D 、E 、G 、F 分别是AB 、AC 、OB 、OC 的中点,∴DE ∥BC ,GF ∥BC ,DE =12BC ,GF =12BC ,∴DE ∥GF ,DE =GF ,∴四边形DGFE 是平行四边形.(2)OA =BC课后反思 查漏补缺1.收获:________________________________________________________________________ 2.存在困惑:________________________________________________________________________。
《中位线》教学设计
《中位线》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标理解中位线的概念,明确中位线与中线的区别。
掌握三角形中位线定理和梯形中位线定理,并能运用定理解决相关的几何问题。
2、过程与方法目标通过观察、测量、猜想、验证等活动,培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力。
经历中位线定理的探究过程,体会转化的数学思想。
3、情感态度与价值观目标让学生在自主探究和合作交流中,体验数学学习的乐趣,增强学习数学的信心。
通过解决实际问题,培养学生的应用意识和创新精神。
二、教学重难点1、教学重点三角形中位线定理和梯形中位线定理的证明与应用。
中位线定理的探究过程,培养学生的数学思维能力。
2、教学难点三角形中位线定理的证明中辅助线的添加方法。
灵活运用中位线定理解决复杂的几何问题。
三、教学方法讲授法、探究法、练习法相结合四、教学过程1、导入新课展示生活中常见的含有三角形和梯形的图片,如桥梁、屋顶等,引导学生观察并思考这些图形中线段的特殊关系。
提出问题:在三角形中,如果连接两边中点的线段,它具有怎样的性质呢?从而引出中位线的概念。
2、讲授新课(1)中位线的概念结合图形,给出三角形中位线和梯形中位线的定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
强调中位线与中线的区别:中位线是连接两边中点的线段,而中线是连接顶点和对边中点的线段。
(2)三角形中位线定理的探究让学生动手操作:画一个三角形,然后分别找出三边的中点,连接两边中点,测量中位线和第三边的长度,并比较它们的数量关系。
提出猜想:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
引导学生进行证明:延长中位线至一点,使得延长后的线段长度等于中位线长度,然后连接第三边的端点,构造平行四边形,利用平行四边形的性质证明猜想。
(3)梯形中位线定理的探究同样让学生通过测量、观察等方法,对梯形中位线的性质进行猜想。
梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
证明方法:连接一条对角线,将梯形转化为三角形,利用三角形中位线定理进行证明。
华东师大版九年级数学上册《中位线》教案
《中位线》教案教学目标1、知识与技能:理解并掌握三角形中位线的概念和性质定理;明确三角形中位线与中线的不同;使学生能熟练应用定理进行有关证明和计算.2、过程与方法:引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质,通过对问题的探究和变式思维训练,培养学生分析问题和解决问题的能力以及思维的灵活性.3、情感与态度:激发学生的热情和兴趣,激活学生思维,对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育.教学重点三角形中位线的概念和三角形中位线定理的证明及应用教学难点三角形中位线性质定理证明中添加辅助线的思想方法.教学过程一.画一画,观察与思考:1.什么是三角形的中线?画出ΔABC 的中线BE .取边 AB 上的中点D ,连结DE ,线段DE 是中线吗?以上线段DE 叫做△ABC 的中位线,请同学们尝试定义什么叫做三角形的中位线? 三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线. 问题:(1)三角形有几条中位线?(动手画一画) (2)三角形的中位线与中线有什么区别? 得出:①三角形的中位线与中线都是三角形中的重要线段,一个三角形有三条中位线,三条中线.②三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点,而三角形的中线只有一个端点是边的中点,另一个端点是三角形的一个顶点.做一做:请度量DE 和BC 的长度.测量∠ADE 与∠ABC 的度数.让学生们互相讨论所得的结果,猜想三角形的中位线有什么性质.猜想:DE 和BC 的关系(位置关系和数量关系).通过实践体会和感知出:DE ∥BC ,DE =12BC .你能证明你的结论是正确的吗?二.新课探究:释疑引导学生写出已知、求证,并启发分析. 已知:△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点. 求证:DE ∥BC ;DE =12BC 启发1:证明直线平行的方法有那些?启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等.启发2:证明线段的倍分的方法有那些?(截长或补短)学生分小组讨论,教师巡视指导,经过分析后,师生共同完成推理过程,板书证明过程.强调还有其他证法.证明:延长中位线DE 到F ,使EF =DE ,连结CF . 易证△ADE ≌△CFE(或证四边形ADCF 为平行四边) 得AD ∥FC ,又∵AD =DB ,∴DB ∥FC ,∴四边形DBCF 是平行四边形,DF ∥BC . ∵DE =12DF ,∴DE ∥BC ,DE =12BC 归纳定理,并用文字语言表述:三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 符号语言:∵△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点(已知) ∴DE ∥BC ,DE =12BC (三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半) 引导学生分析定理:一个条件:DE 是△ABC 的中位线 两个结论:一是表明位置关系——平行 二是表明数量关系——倍、分作用:可以证明两直线平行、证明线段的相等或倍分.想一想:如图,小明家和学校之间有一个池塘.在没有任何工具的前提下,小明通过下面的方法估测出A 、B 间的距离:先在AB 外选一点C ,然后步测出AC 、BC 的中点M 、N ,并测出MN 的长,由此他就知道了A 、B 间的距离.你能说说其中的道理吗?三.巩固新知 变式训练:(1)如图:DE 是△ABC 的中位线,若∠1=42°,则∠C =______;若DE =4cm , 则AC =______; (2)已知三角形三边长分别为6,8,10,顺次连接各边中点所得的三角形周长是________由本题的图形你能否联想到一般性的结论?(如果△ABC 的三边的长分别为a 、b 、c ,那么△DGE 的周长是多少?)例:已知,如图,在△ABC 中,AD =DB ,BF =FC ,AE =EC求证:AF 、DE 互相平分. 证明:联结DF 、EF ∵AD =DB ,BF =FC ∴DF ∥AC ,同理FE ∥AB ∴四边形ADFE 是平行四边形 ∴AF 、DE 互相平分设问:你还有其他的证明方法吗? 四.梳理反思 课堂小结 1.基础知识:⑴三角线的中位线定义以及它与三角形中线的区别; ⑵三角线中位线的性质及其应用; 2.基本技能:(1)在三角形中给出一边中点时,要转换为中位线;C(2)线段的倍分要转化为相等问题来解决;(3)三角形的中位线定理的发现过程所用到的数学方法(包括画图、实验、猜想、分析、归纳等);(4)证明“中点四边形”的辅助线的方法,连结对角线.3.基本方法:三角形中位线是三角形的一个重要性质定理,它的特点是:在同一个题设下,有两个结论,一个结论是表明位置关系的,另一个结论是表明数量关系的,在应用这个定理时,不一定同时需要两个结论,有时需要平行关系,有时需要倍分关系,可以根据具体情况,按需选用.。
初中数学"中位线"说课稿
初中数学"中位线"说课稿
中位线说课稿
一,教材分析
本节课是义务教育课程标准实验教科书(华东师大)九年级上册第24章第四节,三角形中位线是继三角形的角平分线,中线,高线之后的第四条重要线段,它既是上节相似三角形的应用,又为学生学习三角形重心和梯形中位线起了铺垫作用,也为今后学习其他相关的几何知识奠定了基础.
另外三角形中位线定理的证明和应用,对于培养学生的合理推理能力,发散思维能力以及探索,检验数学思维规律和用数学知识解决实际问题的能力等方面起着重要的作用.
二,教学目标分析
依据教学大纲,结合新课程理念,在确定教学目标时不但要力求胸中有纲,更要目中有人,即坚持以育人为本,以学生发展为本,以学生终身学习能力作为课堂教学的价值取向为本.由此确定本节课教学目标如下:
知识目标:
1,理解三角形中位线的概念,明确三角形的中位线和中线的区别和联系.
2,掌握三角形中位线的性质定理并能利用它解决简单的问题.
3,通过命题的教学,了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题.。
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中位线
教学目标:
1、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程,掌握两个定理,并能利用它们解决简单的问题。
2、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
3、进一步训练说理的能力。
4、通过学习,进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯;进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点;转化的思想。
教学重点:
经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程,掌握两个定理,并能利用它们解决简单的问题。
教学难点:
进一步训练说理的能力。
教学过程:
一、三角形的中位线
(一)问题导入
在§24.3中,我们曾解决过如下的问题:
如图24.4.1,△ABC中,DE∥BC,则△ADE∽△ABC。
由此可以进一步推知,当点D是AB的中点时,点E也是AC的中点。
现在换一个角度考虑,
图24.4.1
如果点D、E原来就是AB与AC的中点,那么是否可以推出DE∥BC呢?DE与BC之间存在什么样的数量关系呢?
(二)探究过程
1、猜想
从画出的图形看,可以猜想: DE ∥BC ,且DE
=21BC .
图24.4.2
2、证明:如图24.4.2,△ABC 中,点
D 、
E 分别是AB 与AC 的中点,
∴ 2
1==AC AE AB AD . ∵ ∠A =∠A ,
∴ △ADE ∽△ABC (如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似),
∴ ∠ADE =∠ABC ,2
1=BC DE (相似三角形的对应角相等,对应边成比例), ∴ DE ∥BC 且BC DE 2
1= 思考:本题还有其它的解法吗?
已知: 如图所示,在△ABC 中,AD =DB ,AE =EC 。
求证: DE ∥BC ,DE =2
1BC 。
分析: 要证DE ∥BC ,DE =2
1BC ,可延长DE 到F ,使EF =DE ,于是本题就转化为证明DF =BC ,DE ∥BC ,
故只要证明四边形BCFD 为平行四边形。
还可以作如下的辅助线作法。
3、概括 我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,并且有
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
介绍三角形的中位线时,强调指出它与三角形中线的区别。
(三)应用
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
图24.4.3
已知: 如图24.4.3所示,在△ABC 中,AD =DB ,BE =EC ,AF =FC 。
求证: AE 、DF 互相平分。
证明 连结DE 、EF .因为AD =DB ,BE =EC
所以DE ∥AC (三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)
同理EF ∥AB
所以四边形ADEF 是平行四边形
因此AE 、DF 互相平分(平行四边形的对角线互相平分)
例2 如图24.4.4,△ABC 中,D 、E 分别是边BC 、AB 的中点,AD 、CE 相交于G 。
求证: 31
==AD GD CE GE
图24.4.4
证明 连结ED
∵ D 、E 分别是边BC 、AB 的中点
∴ DE ∥AC ,21
=AC DE
(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)
∴ △ACG ∽△DEG
∴
2
1===AC DE AG GD GC GE ∴ 31==AD GD CE GE
图24.4.5
小结:
如果在图24.4.4中,取AC 的中点F ,假设BF 与AD 交于G ′,如图24.4.5,那么我们同理有31='='BF F G AD D G ,所以有3
1='=AD D G AD GD ,即两图中的点G 与G ′是重合的。
于是,我们有以下结论:
三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的连线的长是对应中线长的3
1。
[同步训练] 如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点.求证:四边形ADEF 是菱形。
二、梯形的中位线
由三角形的中位线的有关结论,我们还可以得到
梯形的中位线平行于两底边,并且等于两底和的一半.
已知: 如图24.4.6所示,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AE =BE ,DF =CF .
求证: EF ∥BC ,EF =2
1(AD +BC ).
图24.4.6
分析 由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近,可以连结AF ,并延长AF 交BC 的延长线于G ,证明的关键在于说明EF 为△ABG 的中位线。
于是本题就转化为证明AF =GF ,AD =CG ,故只要证明△ADF ≌△GCF .
证明略
思考
图24.4.7
如图24.4.7,你可能记得梯形的面积公式为
h l l S )(2
121+=. 其中1l 、2l 分别为梯形的两底边的长,h 为梯形的高.现在有了梯形中位线,这一公式可以怎样简化呢?它的几何意义是什么?
三、 小结与作业
小结:谈一下你有哪些收获?。