曾谨言量子力学(卷I)第四版(科学出版社)2007年1月...

曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录

第三版序言

我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。

这里涉及到科学上的继承和创新的关系。“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。 讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。

要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。

量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观

从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18；

人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18；

康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21；

在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21；

微观粒子波粒二象性的准确含义：P29；

电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31

在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32；

经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32；

波函数归一化不影响概率分布：P32

多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。例如，两个粒子的体系，波函数刻画的是六维位形空间中的概率波。这个六维空间，只不过是标志一个具有6个自由度体系的坐标的抽象空间而已。

动量分布概率：

1 波包的频谱分析

具有一定波长的平面波可表示为：

()e x p ()k x i k x ψ= （A1.1）

波长2/k λπ=,其特点是是波幅(或强度)为常数.严格的平面波是不存在的,实际问题中碰到的都是波包,它们的强度只在空间有限区域不为0.例如,高斯波包

221()exp()2x a x ψ=-

(A1.2) 其强度分布222()exp()x a x ψ=-,如图A.1所示.可以看出,波包主要集中在1

x a <

区域中.

所以波包宽度可近似估计为:

1/x a ∆ (A1.3)

波包可以看成许多不同波数(长)的平面波的叠

加,这就是波包的傅里叶分析或频谱分析.

()x ψ的傅里叶变换()k φ定义如下:

()()exp()

x k ikx dk

ψφ+∞=⎰ (A1.4a)

其逆变换为:

()()exp()

k x ikx dx φψ+∞=-⎰ (A1.4b)

例如,高斯包波的傅里叶变换为:

2222

1

11()exp()exp(/2)

2k a x ikx dx k a a φ+∞=--=-⎰

(A1.5) ()k φ代表波包()x ψ中所含波数为k 的分波的波幅, 2

()k φ代表该分波的成分.对于高斯波包, 2()k φ的图形如图A.1所示,仍为一高斯波包.波数k 主要集中在k a <范围中,因此, ()k φ的宽度可粗略估计为:

~k a ∆ (A1.6) 这样

~1x k ∆⋅∆ (A1.7)

此关系式不限于高斯波包,对任何波包都适用,它是人波包的频谱分析得出的一般结论.

与上类似,时间的函数()f t 也可作傅里叶分析,

()()exp()

f t

g i x d ωωω+∞=⎰ (A1.8a) ()()exp()

g f t i t dt ωω+∞=-⎰

(A1.8b)

2 动量分布概率

按上述波函数

《量子力学》卷II （第三版）科学出版社

波函数的统计诠释是能把波动粒子两象性统一起来的惟一符合实验的方案

1 实验已确切证明,微观粒子具有波粒一同两象性;（个人注：为什么粒子会具有波粒二象

性：量子现象本身无法用经典语言描述，但又必须借助于经典语言进行描述）

2 对波动粒子二象性做认真分析后发现,实验观测中所展现出来的“粒子性”，只不过是微

观粒子的“原子性”或“颗粒性”，即粒子是具有确切的内禀属性（电荷、质量等）的一个客体；但并不意味着粒子在空间运动具有确切的轨道，轨道是经典力学中粒子在空

间运动的特性，也双缝干涉实验中显示出的粒子的波动性是不相容的；另一方面，实验观测到的微观粒子的“波动性”，只不过是波动现象最本质的要素，即波的“相干叠加性”，但并不意味着这种波动一定是某种实在的物理量的波动（如密度波、压强波等）。 3 能把实物粒子的“原子性”和波动的“相干叠加性”统一起来的，惟一自洽的方案是玻

尔提出的“概率波”概念，即波函数的统计解释。这已为无数实验所确证。

4 对于多粒子体系，波函数描述的是6维位形空间中的波动，除了给予概率诠释外，别无

它途，因为“6维空间中的实在物理量的波动”是难以理解的。

5 波函数的统计解释中的概率分布，与数学概率论中的概率分布概念有本质不同。日常生

活中，是因为所处理的问题太复杂、决定事物进程的因素较多，人们无法根据已掌握的事物现状去准确预测事物随后将出现的结果，不得不借助于概率统计的方法进行预测；量子力学中，波函数必须采用统计解释是由波动-粒子两象性导致的。波函数所预言的概率分布，只是对粒子测量结果的一种预期，并非粒子已经具有那样的分布（既成事实）等待人们去观测。这涉及到纯态（纯系综）和混合态（混合系综）的概念。

6 认为量子力学对事物的描述总是概率性的看法是片面的。量子力学中，对于用波函数描

述的微观粒子，并非对所有物理量的测量结果的预言都是概率性的。这要看测量的是哪一个力学量，其中对某些力学量的观测结果的预言只能是概率性的，而对另外某些力学量的观测的预言则可能是决定论性的，即只能出现唯一的结果，概率为1。这里就涉及力学量的本征态的概念和本征态的相干叠加的概念。这也可以认为是“互补性原理”的一个重要方面。

7 考虑到波粒二象性，微观粒子的力学量必定有与经典粒子本质上不同的特征。首先，按

德布罗意关系/p h λ=，粒子的动量与波长成比例，波长是表征波动随空间地点变化快慢的量，所以一般说来，“在空间某一点的波长”的提法，就没有严格的意义；同样，“微观粒子局域于空间某一点的动量”的提法也无严格的意义。这表面在直接用波函数来计算动量的平均值时，不得不引进动量（梯度）算符，并可以看出，动量的平均值是也波函数的梯度（而不是与波函数在某点的局域值）相联系。这个梯度越大，就表现为波长越短，因而动量平均值就越大。这在物理图像上是很清楚的。（个人注：这里可以作为量子力学直观性的一个说明）

8 动量在直角坐标中各分量算符与坐标各分量满足对易关系:

,j k jk x p i δ⎡⎤=⎣⎦

是量子力学最基本的对易关系,是波粒二象性的反映.凡有经典对应的力学量之间的对易关

系,均可由它导出.如粒子的角动量ˆˆL r p

=⨯ 的分量之间的对易关系 ˆˆˆ[,]L L i L αβαβγγε=

其中, αβγε为Levi-civita 符号.

9 波粒二象性的另一个集中表现就是海森伯提出的坐标-动是不确定度关系.事实上,对于任何波动(无论经典波或概率波),都可以证明:

(~)1x k ∆∆>或

其中, k 为波数.但此式还不是不确定度关系.但如果考虑到微观粒子的波动性,按德布罗意关系p k = ,,才得出x p ∆∆≥ ,也由此看出,它是粒子波动性的必然结果.