第4章 机械振动 湘潭大学 大学物理 期末复习

v0 0 arctg ( ) 0, x0
(2)按题意
t=0 时 x0=0，v0>0 m O
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2
x=9.810-2cos(10t+3/2) m
3、位相、初位相、位相差（Phase, Initial phase, Phase difference） 从简谐振动的运动学方程，可以看到，对于振幅和圆频率都已知的谐振 动中，任意时刻的振动状态完全取决于物理量 . t 0 位相：确定振动系统任意时刻运动状态的物理量。
v0 初位相：T=0 时刻的位相。 tan 0 x0
如位移，电流，电场，磁场，温度等
如：机械波：机械振动在连续介质中的传播； 电磁波：电磁振动在真空或介质中的传播； 物质波：和实物粒子相联系的波。
2、从物理学角度看，振动和波动是唯一一个横跨物理学所有学科，既 与经典物理紧密联系，又与现代物理融为一体的概念。
3、振动和波动在各分支学科中，具体内容不同、本质不同，但描述形 式却具有相似性，，并且都具有干涉、衍射等波动特征。
x A cos( t 0 )
v vm cos(t 0

2
)
a am cos( t 0 )
例1:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cm t=0时, x0=-9.8cm,v0=0,1）取开始振动时为计时零点， 写出振动方程；2）若取x0=0，v0>0为计时零点，写 出振动方程,并计算振动频率。 ⑴ 确定平衡位置取为原点：k=mg/ l 令向下有位移x, 则：f=mg-k(l +x)=-kx 作谐振动 设振动方程为：
A, 0
为积分常数，由初始条件决定，若初始条件：
t0
x0 A cos0
2 v0
v0 A sin 0
1
A x
2 0
2
v0 0 tan ( ) （代回原式决定取舍） x0
二、描述简谐振动的三个重要参量 1、振幅（Amplitude）： 作简谐振动的物体偏离平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。 给出了振动物体的运动范围，即
1 2 1 2 dv dx d 2x k m v kx E m v kx 0 2 x0 2 2 dt dt m dt
通过能量守恒得到动力学方程，有时会使我们的计算得到简化。
例1：在横截面积为S的U形管中有适量液体，液体 总长度为l，质量为m，密度为ρ，求液面上下起伏 的振动频率。（忽略液体与管壁间的摩擦）
简谐振动：一个做往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移（角 位移）随时间按余弦（或正弦）规律变化，即：
x A cos( t 0 )
则这种振动称为简谐振动（Simple Harmonic Motion ）。
一、弹簧振子模型（Spring oscillator）
忽略摩擦阻力
F kx
T 2
如：比较位移、速度、加速度的位相。
x A cos( t 0 )
v A sin( t 0 ) vm cos( t 0 ) 2

a A2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
故速度比位移超前位相π/2， 加速度比位移超前π或落后 π ，加速度比速度超前 π/2或落后3π/2
2


§4-3 弹簧振子：
简谐振动的能量
1 1 1 2 2 2 2 2 2 动能： E k mv m A sin (t 0 ) kA sin (t 0 ) 2 2 2 1 1 势能： E p kx 2 kA 2 cos 2 (t 0 ) 2 2 1 1 1 2 总能量： E E k E p kA 2 m 2 A 2 mv m 2 2 2 说明
J mgh
频率：单位时间内系统所完成的完全振动的次数
1 T 2
圆频率： 2π时间内系统所完成的完全振动的次数
2 2 T
由于周期、频率、圆频率都只与系统性质有关，故称为固有周期、固 有频率、固有圆频率，与系统处于什么振动状态及是否在振动无关。 如：可绕其一端转动的质量为m，长度为l的细直棍的周期为：
固有频率
x X
1 2 2
g 1.6 Hz l
可见，对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变
例2:如图所示，振动系统由一倔强系数为 k的 轻弹簧、一半径为R、转 动惯量为I的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位 置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期 T. 取位移轴ox，m在平衡位置时， R J 设弹簧伸长量为l，则
第四章
机械振动
孟利军
1、振动和波动是物质的基本运动形式，是自然界中的普遍现象。 振动（Vibration） ：任何一个 具有质量和弹性的系统在其运动 如弹簧振子、单摆、复摆等。
状态发生突变时都会发生振动
广义地说，任何一个物理量 在某一量值附近随时间做周 期性变化都可以叫做振动。 波动：如果空间某处发生 的振动，以有限的速度向 四周传播，这种传播着的 振动称为波动。
1）动能和势能都随时间作周期性变化 （周期减半），总机械能不变，如图。 2）动能和势能在一个周期内的平均值 相等，等于总能量的一半；
1 T 1 T1 2 2 Ek Ek (t )dt kA sin (t 0 )dt T 0 T 0 2 1 1T 1 2 1 kA2 kA E 2 T 2 4 2
非线性振动：不能用线性微分方程描述的运动。
原因： a)内部：出现非线性回复力； b)外部：存在非线性影响，如非线性阻尼力。
地震仪
§4-1 简谐振动的动力学特征
简谐振动是自然界中最简单最基本的振动形式 . 任何一个复杂的振动都可以看成若干个或无限多个简谐振动的合成， 任何一个复杂的振动都可以分解为若干个或无限多个简谐振动。
如：机械波和电磁波： y( x, t ) Ae
x i ( t ) u
( Et pr ) 物质波： (r , t ) 0 e
i

机械振动：物体在某固定位置附近的往复运动；
线性振动：能用线性微分方程描述的运动；
如：忽略空气阻力的情况下，弹簧振子、单摆、复摆的小幅度振动；
三、简谐振动的旋转矢量表示法 为了直观形象的领会简谐振动表达式中
A, , 0
三个物理量的意义，并为后面讨论简 谐振动的合成提供简洁的方法，引入 简谐振动的旋转矢量表示法。 旋转矢量A的末端在x轴的投影点 P点做简谐振动：
x A cos( t 0 )
x x
t 0
2、用旋转矢量法表示位移、速度、加速度：
m
O
x X
x A cos(t 0 )
k g 9.8 10rad / s m l 0.098 由初始条件得
A x0 2 ( v0

)2 0.098m
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0= 振动方程为： x=9.810-2cos(10t+) m
g l
2
2、复摆（Physics pendulum)：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体
o 忽略空气阻力的小角度摆动 5
运动学方程：
d 2 d 2 mgh J mgh J 2 2 2 0 dt dt
mgh J
2
§4-2
一、简谐振动的运动学方程
1 2 1 同样： E p kA E 4 2
3）判断实际系统是否作简谐振动，只需证明其是否满足简谐振 动的动力学特征，即所受力是否为线性回复力。 如：系统沿x轴振动，势能函数为Ep(x) 如果势能曲线存在一个极小值，则该位置就是系统平衡位置。 证明：取该位置为x=0, 将势能在x=0附近用级数展开： 2 dEp 1 d Ep 2 E p ( x) E p (0) ( ) x 0 x ( ) x x 0 2 dx 2 dx 若系统作微振动，有 (
xA
反映振动强弱，振幅越大，振动越强，平衡位置速度越大。 2、周期、频率、圆频率（Period, Frequency, Circular frequency）： 反映振动的快慢。
周期：物体完成一次全振动所需的时间
m T 2 弹簧振子： k
l T 2 单摆： g
T
2

复摆： T 2
可见在一个周期内不同的位相表示不同的振动状态，不同周期内凡位 移和速度都相同的振动状态，它们对应的位相必然相差 2π的整数倍. 由此可见，相位反映了振动的周期性特征。
为了比较两个相同或不同物理量振动步调上的差异，引入相位差。 位相差：两振动位相之差： 2 1
讨论：1、同相（in phase） 2k
如：弹簧振子
t 0 0
t 0 t 0 2 t 0 3 2
x A, v 0, a A 2
x A, v 0, a A 2 x 0, v A, a 0 x 0, v A, a 0
简谐振动的运动学
解运动学方程得： d 2 x
dt
2
x 0
2
m cos(t 0 )
t 0 ) 位移： x A cos(
速度： v A sin(t 0 )
2 t 0 ) 加速度： a A cos(
物体做简谐振动时，其 速度和加速度都随时间 做周期性变化.
平衡位置：物体所受合外力为零处。
d 2x d 2x F m a m 2 kx 2 2 x 0 dt dt