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第32课正弦定理与余弦定理的综合应用

【自主学习】

第32课正弦定理与余弦定理的综合应用

(本课时对应学生用书第页

)

自主学习回归教材

1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=.

【答案】-1 2

【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C=

222

78-13

278

+

⨯⨯=-

1

2.

2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b2= 3bc，sin C3sin B，则角A=.

【答案】π6

【解析】由sin C3sin B得c3b，代入a2-b23bc得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b，

所以cos A=

222

-

2

b c a

bc

+

=

3

2，所以角A=

π

6.

3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为n mile/h.

(第3题) 【答案】

176

4.(必修5P26本章测试7

改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin

A+c sin C-2a sin C=b sin B，则角B=.

【答案】45°

【解析】由正弦定理得a2+c2-2ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos

B=

2

2，因此B=45°.

5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c 成等比数列，则角B的取值范围为.

【答案】

π0

3⎛⎤ ⎥⎝⎦，

【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cos B=

222

-

2

a c b

ac

+

=

22-

2

a c ac

ac

+

≥1 2，

因为0

1.测量问题的有关名词

(1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角.

(2)方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30°，南偏西45°.

(3)方位角：是指北方向线顺时针转到目标方向线的角.

(4)坡角：是指坡面与水平面所成的角.

(5)坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.

2.求解三角形实际问题的基本步骤

(1)分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；

(2)建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；

(3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；

(4)检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解. 【要点导学】

要点导学各个击破

利用正、余弦定理解常见的三角问题

例1 (2016·苏北四市期中)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=4，c=6，且a sin B3.

(1)求角A的大小；

(2)若D为BC的中点，求线段AD的长.

【解答】(1)由正弦定理，得a sin B=b sin A.

因为b=4，a sin B3，所以sin A=3

.

又0

2，所以A=

π

3.

(2)若b=4，c=6，由余弦定理得

a2=b2+c2-2bc cos A=16+36-2×24×1

2=28，

所以a =27.

又因为a sin B=23，所以sin B=21 7，

所以cos B=27

.

因为D为BC的中点，所以BD=DC=7. 在△ABD中，由余弦定理，

得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B，

即AD2=36+7-2×6×7×27

=19，

所以AD=19.

变式(2015·全国卷)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B=2sin A sin C.

(1)若a=b，求cos B的值；

(2)若B=90°，且a2，求△ABC的面积.

【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.

又因为a=b，所以b=2c，a=2c，

由余弦定理可得cos B=

222

-

2

a c b

ac

=

1

4.

(2)由(1)知b2=2ac.

因为B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2.

故a2+c2=2ac，得c=a2.

所以△ABC的面积为1.

【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形的方向.

实际问题中解三角形

例2 2011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图(1)，某天，信息中心在A处获悉：在其正东方向相距80 n mile的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40 n mile的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援.

(例2(1))

(1)若救援船的航行速度为60 n mile/h，求救援船到达客轮遇险位置的时间(7≈2.646，结果保留两位小数)；

(2)求tan θ的值.

【思维引导】(1)把问题转化为三角形中的边角关系，因此本题的关键是找出图中的角和边，利用余弦定理求出BC即可解决；(2)首先利用正弦定理求出sin∠ACB，然后利用同角基本关系求出tan ∠ACB，再利用两角和的正切公式即可得出结果.

(例2(2))

【解答】(1)如图(2)，

在△ABC中，AB=80，

AC=40，∠BAC=120°，